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2.8 直角三角形全等的判定
题型一：用“HL”作为判断依据判断三角形全等
1．
（24-25 八年级上·全国·期中）如图，AD为
ABC
的高，E 为AC 上一点，BE 交AD于点F，且有BF
AC
=
，
FD
CD
=
，要证明
ADC
BDF
△
≌△
需要的判定方法是（ ）
A．HL
B．SSS
C．AAS
D．ASA
【答案】A
【分析】本题考查了直角三角形全等的判定.
根据AD是三角形的高，得到
90
BDF
ADC
=
=
，故可根据HL 可以判定．
【详解】解：∵AD是三角形的高，
∴
90
BDF
ADC
=
=
，
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∵BF
AC
=
，FD
CD
=
，
∴
ADC
BDF
△
≌△
（HL ），
故选A．
2．
（24-25 八年级下·广东深圳·期末）如图，
90
BAC
BDC
=
=
，AB
DB
=
，据此可以证明
ABC
DBC
△
≌△
，
依据是（ ）
A．SSS
B．AAS
C．ASA
D．HL
【答案】D
【分析】本题主要考查三角形全等的判定方法，掌握三角形全等的判断是解题的关键．
依据图形可得到BC
BC
=
是公共边，结合
90
BAC
BDC
=
=
，AB
DB
=
进行判断即可．
【详解】解：∵
90
BAC
BDC
=
=
，
∴
ABC
和
DBC
△
均为直角三角形，
∵
AB
DB
BC
BC
=
=
，
∴
(
)
HL
ABC
DBC
≌
．
故选：D ．
3．
（24-25八年级下·陕西榆林·期中）如图，在ABE
与
CBD
△
中，AE
BD
⊥
于点E，CD
BD
⊥
于点D，AB
BC
=
，
BE
CD
=
，则可判定Rt
Rt
ABE
BCD
△
≌
△
的理由是（ ）
A．AAS
B．SAS
C．HL
D．ASA
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【答案】C
【分析】本题考查全等三角形判定．根据题意利用HL判定Rt
Rt
ABE
BCD
△
≌
△
即可得到本题答案．
【详解】证明：∵AE
BD
⊥
，CD
BD
⊥
，
∴
90
=
=
AEB
BDC
，
在Rt
ABE
△
和Rt
BCD
△
中，
AB
BC
BE
CD
=
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
ABE
BCD
△
≌
△
．
故选：C．
4．（24-25 八年级下·陕西咸阳·期中）如图，BC
AC
⊥
于点C，BD
AD
⊥
于点D，连接AB ，且AC
AD
=
，
则可直接判定
ABC
ABD
△
≌△
的依据是（ ）
A．SAS
B．AAS
C．SSS
D．HL
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定，能熟练地运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键．
根据全等三角形的判定定理判断即可．
【详解】解：∵
,
AC
BC AD
BD
⊥
⊥
，
90
ACB
ADB
=
=
，
∵在Rt ABC
和Rt ABD
中
AB
AB
AC
AD
=
=
，
(
)
Rt ABC
Rt ABD HL
≌
，
故选：D．
5．（24-25 八年级下·陕西咸阳·期中）如图所示，在Rt
ACD
△
和Rt BCE
中，
90
C
=
，点E 在AC 上，点
D 在BC 上，AD与BE 交于点O，AD
BE
=
，DC
EC
=
，则可判定Rt
Rt
ACD
BCE
≌
的依据是（ ）
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A．SAS
B．ASA
C．HL
D．SSS
【答案】C
【分析】此题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握HL定理是关键．在Rt
ACD
△
和Rt BCE
中，
90
ACD
BCE
=
=
，AD
BE
=
，DC
EC
=
，即可根据HL定理证明Rt
Rt
ACD
BCE
≌
．
【详解】解：在Rt
ACD
△
和Rt BCE
中，
90
ACD
BCE
=
=
，AD
BE
=
，DC
EC
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
ACD
BCE
≌
，
故选：C
6．（24-25 八年级下·陕西榆林·期中）如图，在
ABC
和DEF
中，
90
A
D
=
=
，EF
BC
=
，DF
AC
=
，
则能直接判断
ABC
DEF
≌△
△
的依据是（ ）
A．HL
B．ASA
C．SAS
D．SSS
【答案】A
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题关键是理解并掌握全等三角形的判定定理：SSS，SAS，
ASA，AAS，HL等．根据全等三角形的判定定理，即可获得答案．
【详解】解：∵
90
A
D
=
=
，EF
BC
=
，DF
AC
=
，
∴
(
)
HL
ABC
DEF
≌
△
△
，即判断
ABC
DEF
≌△
△
的依据是“HL”．
故选：A．
7．（24-25 八年级下·陕西渭南·期中）如图，在ABC
和DEF
中，
90
B
E
= =
，BC
EF
=
，AC
DF
=
，
则能直接判断ABC
DEF
≌
的理由是（ ）
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A．HL
B．ASA
C．SAS
D．SSS
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，熟练掌握判定方法是解题的关键．对于直角三角形ABC
和
DEF
斜边和一组直角边对应相等，可以用HL 判定两个三角形全等．
【详解】解：
90
B
E
= =
，
ABC
和DEF
均为直角三角形，
其中AC 和DF 为斜边，BC 和EF 为直角边，
在Rt ABC
和Rt DEF
中
AC
DF
BC
EF
=
=
，
(
)
HL
ABC
DEF
≌
，
能直接判断ABC
DEF
≌
的理由是HL．
故选：A．
题型二：添加一个条件使得两三角形全等
1．（24-25 八年级上·河南南阳·期末）如图，DE
AC
⊥
于点
,
E BF
AC
⊥
于点F ，且DE
BF
=
，若利用“H.L.”
证明DEC
BFA
≌
，则需添加的条件是（ ）
A．DC
BA
=
B．EC
FA
=
C．
DCE
BAF
=
D．
D
B
=
【答案】A
【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定，
题目中已经给出一对直角边相等，再添加斜边对应相等可得答案．
【详解】解：在Rt
DEC
△
和Rt BFA
中，
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CD
AB
DE
BF
=
=
∴DEC
BFA
≌
．
所以需要添加的条件是DC
AB
=
．
故选：A．
2．（24-25 八年级上·安徽芜湖·期中）如图，已知AB
AD
=
，那么添加下列一个条件后，仍无法判定
ABC
ADC
△
≌△
的是（ ）
A．
90
B
D
=
=
B．
ABC
ADC
=
C．
BAC
DAC
=
D．CB
CD
=
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：由题可知AB
AD
=
，AB
AC
=
，
A.
90
B
D
=
=
，利用HL可以得到
ABC
ADC
△
≌△
，不符合题意；
B.
ABC
ADC
=
，不能证明
ABC
ADC
△
≌△
，符合题意；
C.
BAC
DAC
=
，利用SAS可以得到
ABC
ADC
△
≌△
，不符合题意；
D. CB
CD
=
，利用SSS可以得到
ABC
ADC
△
≌△
，不符合题意；
故选B．
3．（23-24 八年级下·全国·课后作业）如图，BE
CF
=
，AE
BC
⊥
，DF
BC
⊥
， 要根据“ HL ”证明
Rt ABE
Rt DCF
≌
，则还需要添加一个条件是（ ）
A．AB
DC
=
B．
A
D
=
C．
B
C
=
D．AE
DF
=
【答案】A
【分析】本题考查三角形的判定，根据“ HL ”的判定方法，结合题干条件判断，即可解题．
【详解】解： BE
CF
=
，AE
BC
⊥
，DF
BC
⊥
，
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要根据“ HL ”证明Rt ABE
Rt DCF
≌
，
需添加条件为斜边相等，即AB
DC
=
，
故选：A．
4．（24-25 八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在
ABC
和
ADC
△
中，
90
B
D
=
=
，要根据“HL”证明
Rt
Rt
ABC
ADC
≌
△
△
，还应添加一个条件是（ ）
A．1
2
=
B．
2
4
=
C．AB
AC
=
D．AB
AD
=
【答案】D
【分析】本题考查直角三角形的判定，根据HL定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，
由此即可得到答案．
【详解】解：∵
90
B
D
=
=
，AC
AC
=
，
∴要根据“HL”证明Rt
Rt
ABC
ADC
≌
△
△
，还应添加一个条件是AB
AD
=
，
故选：D．
5．（24-25 八年级下·全国·期中）如图，在
ABC
和
DCB
△
中，
90
A
D
=
=
，要使
ABC
DCB
△
≌△
，若
根据“HL”判定，则还需要添加条件： ．
【答案】AB
DC
=
（或AC
DB
=
）
【分析】根据题意，BC 是公共边，只需添加AB
DC
=
或AC
DB
=
即可解答．
本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
【详解】解：根据题意，BC 是公共边，只需添加AB
DC
=
或AC
DB
=
．
故答案为：AB
DC
=
或AC
DB
=
．
6．（24-25 八年级下·河北保定·阶段练习）如图，AB
BC
⊥
，CD
BC
⊥
，垂足分别为B ，C ，要根据“HL”
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直接证明Rt
Rt
ABC
DCB
≌
，应添加的条件是 ．
【答案】AC
BD
=
【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定方法“HL”是解题的关键．
根据“HL”判定方法求解即可．
【详解】解：应添加的条件是AC
BD
=
，理由是：
∵AB
BC
⊥
，CD
BC
⊥
，
∴
90
ABC
DCB
=
=
，
∵BC
CB
=
，AC
BD
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
ABC
DCB
≌
△
△
，即应添加的条件是AC
BD
=
，
故答案为：AC
BD
=
．
题型三：利用直角三角形全等的判定求线段长度
1．（24-25 八年级下·湖南株洲·期末）如图，EC
BD
⊥
，垂足为C ，A 是EC 上一点，且AC
CD
=
，连接AB 、
ED，AB
DE
=
．若
3.5
AC =
，
9
BD =
，则CE 的长为（ ）
A．5.5
B．2.5
C．3
D．2
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．证明
(
)
Rt
Rt
HL
ABC
DEC
≌
，得到AC
CD
=
，BC
CE
=
，即
可求解．
【详解】解：
EC
BD
⊥
，
90
ACB
DCE
=
=
，
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在Rt
ABC
△
和Rt DEC
中，
AB
DE
AC
CD
=
=
，
(
)
Rt
Rt
HL
ABC
DEC
≌
，
AC
CD
=
，BC
CE
=
，
3.5
AC =
，
9
BD =
，
9
3.5
5.5
CE
BC
BD
CD
BD
AC
=
=
−
=
−
= −
=
，
故选：A．
2．（24-25 八年级下·陕西西安·期中）如图，EC
BD
⊥
，垂足为C ，A 是EC 上一点，且AC
CD
=
，连接AB 、
ED，AB
DE
=
．若
3.5
AC =
，
9
BD =
，则CE 的长为（ ）
A．5.5
B．2.5
C．3
D．2
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．证明
(
)
Rt
Rt
HL
ABC
DEC
≌
，得到AC
CD
=
，BC
CE
=
，即可求解．
【详解】解：
EC
BD
⊥
，
90
ACB
DCE
=
=
，
在Rt
ABC
△
和Rt DEC
中，
AB
DE
AC
CD
=
=
，
(
)
Rt
Rt
HL
ABC
DEC
≌
，
AC
CD
=
，BC
CE
=
，
3.5
AC =
，
9
BD =
，
9
3.5
5.5
CE
BC
BD
CD
BD
AC
=
=
−
=
−
= −
=
，
故选：A．
3．（24-25 八年级上·四川自贡·阶段练习）如图：
ABC
中，
90
C
AC
BC
AD
=
=
，
，
平分
CAB
交BC 于
D，DE
AB
⊥
于E，且
6cm
AB =
，则DEB
的周长是 ．
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【答案】6cm
【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距
离相等是解题的关键．先利用角平分线的性质得到DC
DE
=
，则DEB
的周长=
+
BC
BE ，再证明
Rt
Rt
ACD
AED
△
△
≌
得到AC
AE
=
，所以DEB
的周长
AE
BE
AB
=
+
=
．
【详解】解：∵
90
C
AD
=
，
平分
CAB
交BC 于D，DE
AB
⊥
于E，
DC
DE
=
，
DEB
的周长
DE
BE
BD
CD
BD
BE
BC
BE
=
+
+
=
+
+
=
+
，
在Rt
ACD
△
和Rt
AED
△
中
AD
AD
CD
CE
=
=
，
Rt
Rt
HL
ACD
AED
≌
（
）
，
AC
AE
=
，
AC
BC
=
，
AE
BC
=
，
DEB
的周长
6cm
AE
BE
AB
=
+
=
=
．
故答案为：6cm．
4．（24-25 八年级上·福建厦门·期中）如图，四边形ABCD中，AB
AC
=
，
90
D
=
，BE
AC
⊥
于点F ，
交CD于点E ，连接EA，EA平分
DEF
．若
7
BF =
，
3
DE = ，求CE 的长= ．
【答案】4
【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握这些知识是解题的关键；由
角平分线的性质得AD
AF
=
；再证明ADC
AFB
≌
，得
7
CD
BF
=
=
，从而求得CE ．
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【详解】解：∵
90
D
=
，BE
AC
⊥
，EA平分
DEF
，
∴AD
AF
=
；
∵
90
AB
AC
D
AFB
=
=
=
，
，
∴
(HL)
ADC
AFB
≌
，
∴
7
CD
BF
=
=
，
∴
7 3
4
CE
CD
DE
=
−
=
−= ．
故答案为：4．
5．
（23-24 八年级上·全国·课后作业）如图，在ABC
中，
90
C
=
，D 是AC 上一点，DE
AB
⊥
于点E，BE
BC
=
，
连结BD，若
8
AC
cm
=
，则AD
DE
+
等于
【答案】8cm
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明
(
)
Rt
Rt
HL
BCD
BED
≌
，由全等三角形的性质得
出CD
DE
＝
，则可得出答案，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】解：∵DE
AB
⊥
，
∴
90
DEB
=
，
在Rt
BCD
△
和Rt BED
中，
BD
BD
BE
BC
=
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
BCD
BED
≌
，
∴CD
DE
=
，
∴AD
DE
AD
CD
AC
+
=
+
=
，
∵
8cm
AC =
，
∴
8cm
AD
DE
AC
+
=
=
，
故答案为：8cm ．
6．（23-24 八年级下·山西大同·阶段练习）如图，在Rt
ABC
△
中，
90 ,
15,
12
C
AB
AC
=
=
=
，以A 为圆心，
适当长为半径画弧，交
,
AC AB 于点
,
D E 两点，再分别以
,
D E 为圆心，以大于DE 的长为半径画弧，两弧交
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于点M ，作射线AM 交BC 于点F ，则线段BF 的长为 ．
【答案】5
【分析】过F 点作FH
AB
⊥
于H 点，如图，利用基本作图得到AM 平分
BAC
，则根据角平分线的性质得
到FH
FC
=
，再利用勾股定理计算出
9
BC =
，接着证明Rt
Rt
AFH
AFC
得到
12
AH
AC
=
=
，所以
3
BH = ，
设BF
x
=
，则
9
FC
FH
x
=
= −，利用勾股定理得
2
2
2
3
(9
)x
x
+
−
=
，然后解方程即可．
【详解】解：过F 点作FH
AB
⊥
于H 点，如图，
由作图痕迹得AM 平分
BAC
，
而FC
AC
⊥
，FH
AB
⊥
，
FH
FC
=
，
90
C
=
，
15
AB =
，
12
AC =
，
2
2
15
12
9
BC
=
−
= ，
在Rt
AFH
△
和Rt
AFC
△
中，
AF
AF
FH
FC
=
=
，
(
)
Rt
Rt
HL
AFH
AFC
≌
，
12
AH
AC
=
=
，
15 12
3
BH
AB
AH
=
−
=
−
= ，
设BF
x
=
，则
9
FC
FH
x
=
= −，
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在Rt
BHF
△
中，
2
2
2
3
(9
)x
x
+
−
=
，
解得
5
x = ，
即BF 的长为5．
故答案为：5．
题型四：利用直角三角形全等的判定求角度
1．（24-25 七年级下·山东威海·期末）如图，在ABC
中，AB
BC
=
，
90
ABC
=
，点E 在BC 上，点F 在AB
的延长线上，AE
CF
=
，若
25
BAE
=
，则
ACF
=（ ）
A．50
B．60
C．70
D．80
【答案】C
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，首先根据AB
BC
=
，
90
ABC
=
，
可得：
45
BAC
BCA
=
=
，
90
CBF
=
，利用HL 可证Rt
Rt
ABE
CBF
≌
，根据全等三角形对应角相等
可得：
25
BCF
BAE
=
=
，从而可得：
70
ACF
ACB
BCF
=
+
=
．
【详解】解：AB
BC
=
，
90
ABC
=
，
45
BAC
BCA
=
=
，
90
CBF
=
，
在Rt ABE
和Rt CBF
中，
AE
CF
AB
BC
=
=
，
Rt
Rt
ABE
CBF
≌
，
25
BCF
BAE
=
=
，
45
25
70
ACF
ACB
BCF
=
+
=
+
=
．
故选：C．
2．（24-25 八年级下·辽宁丹东·期末）如图，在
ABC
中，
ABC
的角平分线BD与AC 边的垂直平分线DE
交于
ABC
的外部D点处，连接CD
AD
，
，过点D 作DF
BC
⊥
，交BC 延长线于点F ，过点D 作DG
AB
⊥
，
交AB 于点G ．若
80
DAB
=
，则
DCB
的度数为（ ）
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A．40
B．100
C．110
D．120
【答案】B
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是
熟练掌握线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．证明
DG
DF
=
．DA
DC
=
．再证明Rt
Rt
(HL)
DGA
DFC
≌
．得出
80
DCF
DAB
=
=
．则可求出答案．
【详解】解：
BD
平分
ABC
，DG
AB
⊥
，DF
BC
⊥
，
DG
DF
=
．
D
在AC 的垂直平分线上，
DA
DC
=
．
在Rt
DGA
△
与Rt
DFC
△
中，
DA
DC
DG
DF
=
=
，
Rt
Rt
(HL)
DGA
DFC
≌
．
80
DCF
DAB
=
=
．
180
100
DCB
DCF
=
−
=
．
故选：B．
3．（24-25 八年级下·陕西榆林·期中）如图，点P 为
AOB
内部一点，点P 到OA的距离为3，连接OP ，过
点P 作PQ
OB
⊥
于点Q ，若
6
OP =
，
30
POB
=
，则
AOP
的度数为（ ）
A．40
B．30
C．25
D．20
【答案】B
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15 /
【分析】本题主要考查了含30 度角的直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助
线是解题关键．过点P 作PH
OA
⊥
于点H ，结合含30度角的直角三角形的性质以及点P 到直线的距离定义，
可得PH
PQ
=
，利用“HL”证明Rt
Rt
OPQ
OPH
≌
，由全等三角形的性质即可获得答案．
【详解】解：如下图，过点P 作PH
OA
⊥
于点H ，
∵PQ
OB
⊥
，
30
POB
=
，
6
OP =
，
∴
1
3
2
PQ
OP
=
=
，
∵点P 到OA 的距离为3，
∴
3
PH = ，
∴PH
PQ
=
，
在Rt
OPQ
△
和Rt OPH
中，
OP
OP
PQ
PH
=
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
OPQ
OPH
≌
，
∴
30
AOP
POB
=
=
．
故选：B．
4．（24-25 八年级下·湖南邵阳·期中）如图，在
ABC
中AD
BC
⊥
于点D ，E 为AC 上一点，连结BE交AD
于点F ，若BF
AC
=
，DF
DC
=
，则1
与
2
的和为（ ）
A．30
B．45
C．60
D．90
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定性质、等角对等边、直角三角形的两个锐角互余等知识点，证明
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16 /
Rt
Rt
BDF
ADC
△
△
≌
是解题的关键．由AD
BC
⊥
于点D ，可以得到BDF
和
ADC
△
是直角三角形，根据
直角三角形的判定“HL”，可以证明Rt
Rt
BDF
ADC
△
△
≌
,得到AD
BD
=
，进而得到1
2
45
+=
．
【详解】解：∵AD
BC
⊥
于点D
∴
90
BDF
ADC
=
=
在Rt
BDF
△
和Rt ADC
中
BF
AC
DF
DC
=
=
∴Rt
Rt
HL
BDF
ADC
≌
（
）
∴
2
DBF
BD
AD
=
=
，
∴
45
DBA
DAB
=
=
∴1
2
1
45
DBF
DBA
+= +
=
=
∴1
2
45
+=
故选：B．
5．（24-25 八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，BD是它的对角线，AD
CD
=
，若BD
平分
ABC
，
119
A
=
，则
DCB
的度数为（ ）
A．62
B．61
C．60
D．59
【答案】B
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，熟练掌握角平分线的性质定
理是关键．过点D作
,
DE
BA DF
BC
⊥
⊥
，垂足分别为
,
E F ，证明
(
)
Rt
Rt
HL
ADE
CDF
≌
，即可得到答案．
【详解】解：过点D作
,
DE
BA DF
BC
⊥
⊥
，垂足分别为
,
E F ，
∵BD平分
ABC
，
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17 /
∴DE
DF
=
，
∵
119
BAD
=
，
∴
180
61
DAE
BAD
=
−
=
，
∵AD
CD
=
，DE
DF
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
ADE
CDF
≌
，
∴
61
DCB
DAE
=
=
，
故选：B
6．（2025·安徽黄山·模拟预测）如图，Rt ABC
中，
90
C
=
，
30
BAC
=
．点D 在
ABC
外，且BD
BA
=
，
EF 垂直平分BD交线段AC 、BD于E 、F ，连接DE ，若
16
EDB
=
，则
ADB
的度数为 ．
【答案】76/76 度
【分析】连接BE ，根据含30角的直角三角形的性质得出
1
2
BC
AB
=
，根据线段垂直平分线的性质得出
DE
BE
=
，
1
2
BF
BD
=
，
90
EFB
=
，根据等边对等角得出
16
EBD
EDB
=
=
，根据HL证明
Rt
Rt
BCE
BFE
≌
，得出
16
CBE
EBD
=
=
，进而求出
28
ABD
=
，然后根据等边对等角和三角形内角和
定理求解即可．
【详解】解∶连接BE ，
∵
90
C
=
，
30
BAC
=
，
∴
1
2
BC
AB
=
，
60
ABC
=
，
∵EF 垂直平分BD，
∴DE
BE
=
，
1
2
BF
BD
=
，
90
EFB
=
，
∴
16
EBD
EDB
=
=
，
∵BD
BA
=
，
1
2
BC
AB
=
，
1
2
BF
BD
=
，
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18 /
∴BC
BF
=
，
又BE
BE
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
BCE
BFE HL
≌
，
∴
16
CBE
EBD
=
=
，
∴
28
ABD
ABC
CBE
EBD
=
−
−
=
，
∵BD
BA
=
，
∴
180
76
2
ABD
BAD
BDA
−
=
=
=
，
故答案为：76．
7．
（24-25 八年级下·湖南郴州·期末）如图，在Rt
ABC
△
与Rt
DEF
△
中，
90
B
E
= =
，AC
DF
=
，BF
CE
=
，
若
65
A
=
则
DFE
的度数为 ．
【答案】25
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，先证明
(
)
Rt
Rt
HL
ABC
DEF
≌
，则有
65
A
D
=
=
，然后通过三角形内角和定理即可求解，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】解：∵BF
CE
=
，
∴BF
FC
CE
FC
+
=
+
，
∴BC
EF
=
，
在Rt
ABC
△
与Rt
DEF
△
中，
BC
EF
AC
DF
=
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
ABC
DEF
≌
，
∴
65
A
D
=
=
，
∵
180
D
DFE
E
+
+=
，
∴65
90
180
DFE
+
+
=
，
∴
25
DFE
=
，
故答案为：25．
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19 /
题型五：“HL”中面积的相关应用
1．（24-25 八年级下·陕西榆林·期末）如图，在
AOB
中摆放两个相同的直角三角板，两个三角板的一条直
角边
,
EM FN 分别与边
,
OA OB 重合，两个三角板的长直角边交于点P，作射线OP ，若
6
OMP
S
=
，PM
PN
=
，
则
ONPM
S四边形
为（ ）
A．3
B．6
C．12
D．16
【答案】C
【分析】本题考查三角形全等的判定．由垂线的定义可得OMP
和
ONP
△
都是直角三角形，已知条件满足
斜边相等和一组直角边相等，因此依据 “HL”可判定Rt
Rt
OMP
ONP
≌
，进而得到
6
ONP
OMP
S
S
=
=
，由
ONP
OMP
ONPM
S
S
S
=
+
四边形
即可得出答案．
【详解】解：∵PM
OA
⊥
，PN
OB
⊥
，
∴
90
OMP
ONP
=
=
，
在Rt OMP
和Rt
ONP
△
中
OP
OP
PM
PN
=
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
OMP
ONP
≌
，
∴
6
ONP
OMP
S
S
=
=
，
∴
12
ONP
OMP
ONPM
S
S
S
=
+
=
四边形
．
故选：C．
2．（24-25 九年级下·河北沧州·期中）如图，AD是
ABC
的角平分线，DF
AB
⊥
，垂足为F ，DE
DG
=
，
ADG
△
和
AED
△
的面积分别为48 和26，则EDF
的面积为（ ）
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20 /
A．11
B．22
C．26
D．37
【答案】A
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，
作DH
AC
⊥
，根据角平分线的性质定理得DF
DH
=
，再证明Rt
Rt
FDE
HDG
≌
，Rt
Rt
FDA
HDA
≌
，进得出
方程，求出解即可．
【详解】解：过点D 作DH
AC
⊥
，于点H，
∵AD是
ABC
的角平分线，
,
DF
AB DH
AC
⊥
⊥
，
∴DF
DH
=
．
在Rt
FDE
△
和Rt
HDG
△
中，
DF
DH
DE
DG
=
=
，
∴Rt
Rt
FDE
HDG
≌
，
同理Rt
Rt
FDA
HDA
≌
．
设EDF
的面积是x，则
HDG
△
的面积是x，根据题意，得
48
26
x
x
−
=
+ ，
解得
11
x =
，
所以EDF
的面积是11．
故选：A．
3．（24-25 八年级下·安徽·期末）如图：在
ABC
中，
90
C
=
，AD是
BAC
的平分线，DE
AB
⊥
于E ，
F 在AC 上，BD
DF
=
，
8
BC = ，
10
AB =
，则FCD
的面积为（ ）
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21 /
A．12
B．6
C．5
D．10
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，勾股定理，关键是灵活运用这些性质解
决问题．
根据题意可证Rt
Rt
ACD
ADE
≌
，可得
6
AE
AC
=
=
，CD
DE
=
，根据勾股定理可得DE ，CD的长，再根
据勾股定理可得FC 的长，即可求FCD
的面积．
【详解】解：
AD
是
BAC
的平分线，DE
AB
⊥
于E ，
90
C
=
CD
DE
=
，
CD
DE
=
，AD
AD
=
，
Rt
Rt
ACD
ADE
≌
，
AE
AC
=
，
在Rt
ABC
△
中，
2
2
6
AC
AB
BC
=
−
=
，
6
AE
= ，
4
BE
AB
AE
=
−
=
，
在Rt
DEB
△
中，
2
2
2
BD
DE
BE
=
+
．
2
2
16
(8
)
DE
DE
+
=
−
，
3
DE
=
∴
5
BD =
，
3
CD =
，
BD
DF
=
，
5
DF
= ，
在Rt DCF
中，
2
2
4
FC
DF
CD
=
−
=
，
FCD
的面积为
1
6
2
FC CD
=
=
．
故选：B．
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22 /
4．（24-25 八年级下·陕西西安·期中）如图，AD是
ABC
的角平分线，DF
AB
⊥
，垂足为F ，点E、G 分
别在AB
AC
、
上且DE
DG
=
，
ADG
△
和
AED
△
的面积分别为50 和40，则EDF
的面积为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】B
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，直角三角形的判定定理，解题的关键是熟练掌握角平分线的性
质．
过点D作DH
AC
⊥
交AC 于点H ，得到Rt
Rt
DFE
DHG
≌
和Rt
Rt
ADF
ADH
≌
△
△
，然后利用三角形面积
的和差即可求解．
【详解】解：如图，过点D 作DH
AC
⊥
交AC 于点H ，
∵AD是
ABC
的角平分线，DF
AB
⊥
，
DF
DH
=
又∵DE
DG
=
，
(
)
Rt
Rt
HL
DFE
DHG
≌
AD
AD
DH
DF
=
=
∴Rt
Rt
(HL)
ADF
ADH
≌
DEF
AED
ADF
ADH
S
S
S
S
\
+
=
=
50
DEF
AED
DHG
ADG
S
S
S
S
\
+
+
=
=
(
)
1
50
40
5
2
EDF
S
=
−
=
．
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23 /
故选：B．
5．（24-25 八年级上·河北沧州·期末）如图，在四边形ABCD中，
90
D
C
=
=
，
ABC
的平分线与
BAD
的平分线交于点E ，且点E 恰好在边CD上．若四边形ABCD的面积为40，
4
CE =
，则AB 的长为（ ）
A．9
B．10
C．12
D．26
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线性质，过点E 作EF
AB
⊥
于点F，根据角平
分线的性质得出EF
ED
=
，
4
EF
EC
=
=
，证明
(
)
Rt
Rt
HL
BEC
BEF
≌
，得出
BEC
BEF
S
S
=
，同理得出
AED
AEF
S
S
=
，根据
1
1
40
20
2
2
ABE
AEF
BEF
ABCD
S
S
S
S
=
+
=
=
=
四边形
，
1
2
ABE
S
AB EF
=
，求出结果即可．
【详解】解：过点E 作EF
AB
⊥
于点F，如图所示：
∵
90
D
C
=
=
，
∴ED
AD
⊥
，EC
BC
⊥
，
∵AE 平分
BAD
，BE 平分
ABC
，
∴EF
ED
=
，
4
EF
EC
=
=
，
∵BE
BE
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
BEC
BEF
≌
，
∴
BEC
BEF
S
S
=
，
同理得：
(
)
Rt
Rt
HL
AED
AEF
≌
，
∴
AED
AEF
S
S
=
，
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24 /
∴
1
1
40
20
2
2
ABE
AEF
BEF
ABCD
S
S
S
S
=
+
=
=
=
四边形
，
∵
1
2
ABE
S
AB EF
=
，
∴1
4
20
2
AB
=
，
解得：
10
AB =
，
故选：B．
6．
（24-25 八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
B
?
? ，点E 在边AB 上，DE
CD
=
，DF
AC
⊥
于点F ，BE
CF
=
．若
12
AB =
，
4
BD =
，
ABC
的面积是54，则线段AC 的长为（ ）
A．13
B．15
C．16
D．18
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，根据题意证明
BDE
FDC
≌
△
△
，可得
4
DF
BD
=
=
，根据三
角形的面积公式可得
15
AC =
，即可求解．
【详解】解：∵DF
AC
⊥
，
90
B
?
? ，
∴
90
CFD
B
= =
，
∵BE
CF
=
，DE
CD
=
，
∴
BDE
FDC
≌
△
△
(
)
HL
∴BD
DF
=
∵
4
BD =
，
∴
4
DF
BD
=
=
，
∵
1
1
54
2
2
ABC
ABD
ADC
S
S
S
AB BD
AC
DF
=
+
=
+
=
∴1
1
12 4
4
54
2
2 AC
+
=
解得：
15
AC =
故选：B．
7．（24-25 八年级下·甘肃陇南·期中）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，以顶点A 为圆心，适当长为半径画
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25 /
弧，分别交AC ，AB 于点M，N，再分别以点M，N 为圆心，大于1
2 MN 的长为半径画弧，两弧交于点P，
作射线AP 交边BC 于点D，点E 在AB 上．若
16
AC =
，
20
AB =
，当DE 长度最小时，BDE
的面积是（ ）
A．6
B．16
3
C．32
3
D．24
【答案】C
【分析】本题考查了垂线段最短，角平分线的尺规作图及性质，全等三角形性质与判定，勾股定理，熟练
掌握角平分线性质是解题的关键．
由垂线段最短可知，当DE
AB
⊥
时，DE 长度最小，由作图过程可知AD平分
BAC
，结合角平分线性质
得到CD
DE
=
，证明
(
)
Rt
Rt
HL
ACD
AED
≌
，利用全等三角形性质得到
16
AE
AC
=
=
，根据勾股定理求出
2
2
12
BC
AB
AC
=
−
=
，求出
16
3
BE =
，最后利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：如图所示，由垂线段最短可知，当DE
AB
⊥
时，DE 长度最小，
由作图过程可知AD平分
BAC
，
90
C
=
，
CD
DE
=
，
AD
AD
=
，
(
)
Rt
Rt
HL
ACD
AED
≌
，
16
AE
AC
=
=
，
20
AB =
，
2
2
12
BC
AB
AC
=
−
=
，
4
BE
AB
AE
=
−
=
，
12
BD
BC
CD
DE
=
−
=
−
，
2
2
2
BD
DE
BE
=
+
，
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26 /
(
)
2
2
2
12
4
DE
DE
−
=
+
，
16
3
DE
=
，
1
1
16
32
4
2
2
3
3
BDE
S
BE DE
=
=
=
，
故选：C．
题型六：直角三角形全等判定中基础证明
1．（24-25 八年级下·陕西渭南·期末）如图，DE
AB
⊥
的延长线于点E ，DF
AC
⊥
于点F ，BE
CF
=
，连
接BD、CD和AD，DB
DC
=
．求证：AD是
BAC
的平分线．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，先证明
(
)
Rt
Rt
HL
BDE
CDF
△
≌
△
，得到
DE
DF
=
，再根据角平分线的判定即可求证，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】证明：∵DE
AB
⊥
的延长线于点E ，DF
AC
⊥
于点F ，
∴
90
BED
CFD
=
=
，
又∵BE
CF
=
，DB
DC
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
BDE
CDF
△
≌
△
，
∴DE
DF
=
，
∵DE
DF
=
，DE
AB
⊥
，DF
AC
⊥
，
∴点D 在
BAC
的平分线上，
∴AD是
BAC
的平分线．
2．（24-25 八年级下·陕西渭南·期末）如图，在四边形ABEC中，CE
BE
⊥
，连接BC ，点D 为AC 的中点，
连接BD，BE
CD
=
，
A
ACB
=
，求证：
ADB
BEC
△
≌△
．
【答案】见解析
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【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形三线合一的性
质是解题关键．由等角对等边可得AB
CB
=
，再结合等腰三角形三线合一的性质，得到BD
AC
⊥
，AD
CD
=
，
进而得到
90
ADB
BEC
=
=
°，AD
BE
=
，利用“ HL ”证明全等即可．
【详解】解：
A
ACB
=
，
AB
CB
=
，
点D 为AC 的中点，
BD
AC
⊥
，AD
CD
=
，
90
ADB
=
，
BE
CD
=
，
AD
BE
=
，
CE
BE
⊥
，
90
BEC
=
，
在Rt ADB
和Rt
BEC
△
中，
AD
BE
AB
BC
=
=
，
(
)
Rt
Rt
HL
ADB
BEC
≌
．
3．（24-25 八年级下·陕西延安·期中）如图，在
ABC
中，AD
BC
⊥
于D，EC
BC
⊥
于C，且
,
AB
BE
AC CD
CE
=
=
=
，求证：Rt
Rt
ABD
BEC
△
≌
△
．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定、等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质和全等三角形的判
定是解答的关键．先根据等腰三角形的三线合一性质得到BD
CD
CE
=
=
，然后利用HL证明三角形全等即
可．
【详解】解：∵AB
AC
=
，AD
BC
⊥
，CD
CE
=
，
∴BD
CD
CE
=
=
，
∵EC
BC
⊥
，
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∴
90
ADB
BCE
=
=
，
在Rt
ABD
△
和Rt BCE
中，
AB
BE
BD
CE
=
=
∴
(
)
Rt
Rt
HL
ABD
BEC
≌
．
4．（24-25 八年级下·陕西西安·期中）如图，
90
A
B
=
=
，E 是AB 上的一点，且AE
BC
=
，1
2
= ．求
证：AD
BE
=
．
【答案】见解析
【分析】本题考查等腰三角形的判定，全等三角形的判定及性质．由“等角对等边”得到DE
EC
=
，再由“HL”
证明Rt
Rt
ADE
BEC
△
≌
△
，由全等三角形的性质即可得证．
【详解】证明：∵1
2
= ，
∴DE
EC
=
，
∵
90
A
B
= =
，
∴在Rt ADE
和Rt BEC
中，
DE
EC
AE
BC
=
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
ADE
BEC
≌
△
△
，
∴AD
BE
=
．
5．（24-25 八年级下·福建三明·期末）已知：如图，AB
CD
=
，DE
AC
⊥
，BF
AC
⊥
，垂足分别为E ，F ，
且BF
DE
=
．求证：AB
CD
∥
．
【答案】见解析
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【分析】此题考查全等三角形的判定及性质，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键．证明
(
)
Rt
Rt
HL
CDE
ABF
≌
，可得
C
A
= ，可得AB
CD
∥
．
【详解】证明：∵DE
AC
⊥
，BF
AC
⊥
，
∴
90
AFB
CED
=
=
，
在Rt
CDE
△
和Rt ABF
中，
AB
CD
BF
DE
=
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
CDE
ABF
≌
，
∴
C
A
= ，
∴AB
CD
∥
．
6．（24-25 八年级上·全国·期中）如图
DBC
△
中，
90
DBC
=
，过C 作CA
BC
⊥
，使AC
BC
=
，在BC 上
取一点E，连接AE ，且AE
DC
=
．求证：CE
BD
=
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用HL证明Rt
Rt
DBC
ECA
△
≌
△
即可证明CE
BD
=
．
【详解】证明：∵CA
BC
⊥
，
∴
90
ACE
=
，
在Rt
DBC
△
和Rt
ECA
△
中，
CD
AE
BC
CA
=
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
A
DBC
EC
△
△
≌
，
∴CE
BD
=
．
7．（24-25 八年级下·陕西汉中·期末）如图，D 是
ABC
的BC 边上的中点，DE
AC
⊥
，DF
AB
⊥
，垂足分
别为E ，F ，且DE
DF
=
，求证：
ABC
是等腰三角形．
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【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定、等腰三角形的判定等几何知识点及其应用问题，牢固掌握全等三
角形的判定、等腰三角形的判定等几何知识点是解题的基础和关键．首先运用HL定理证明BDF
CDE
≌
，
进而得到
B
C
=
，运用等腰三角形的判定定理即可解决问题；
【详解】证明：∵D 是
ABC
的BC 边的中点，DF
AB
⊥
，DE
AC
⊥
，
∴
,
BD
CD
BDF
=
、CDE
均为直角三角形，
在Rt
,Rt
BDF
CDE
中
BD
CD
DF
DE
=
=
(
)
Rt
Rt
HL
BDF
CDE
≌
，
B
C
=
，
AB
AC
=
，
∴
ABC
是等腰三角形．
8．（24-25 八年级下·江西上饶·期末）已知：如图，
,
,
AD
BD BC
AC AC
BD
⊥
⊥
=
，求证：OA
OB
=
．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，证明
(
)
Rt
Rt
HL
ABC
BAD
≌
，
得出
CAB
DBA
=
，从而证出OA
OB
=
,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】证明：∵AC
BC
BD
AD
⊥
⊥
，
，
∴
90
ADB
ACB
=
=
，
在Rt
ABC
△
和Rt BAD
中，
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AB
BA
AC
BD
=
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
ABC
BAD
≌
，
∴
CAB
DBA
=
，
∴OA
OB
=
．
题型七：直角三角形全等判定中解答题综合
1．（24-25 八年级下·辽宁丹东·期中）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ABC
=
，D 是BC 上的一点，过点D 作AC
的垂线交AC 于点
,
E AE
AB
=
，连接
,
AD BE ，交于点P ．
(1)求证：AD平分BE ；
(2)若
60
CDE
=
，试判断ABE
的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2) ABE
是等边三角形，见解析
【分析】该题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，全等三角形的判定等知识点，解题的
关键是掌握以上知识点．
（1）证明Rt
Rt
AED
ABD
≌
，得出
EAD
BAD
=
，根据等腰三角形三线合一的性质即可求解．
（2）根据DE
AC
⊥
，
60
CDE
=
得出
30
C
=
，结合
90
ABC
=
，得出
60
CAB
=
，结合AE
AB
=
，即
可证明．
【详解】（1）证明：
90 ,
ABC
DE
AC
=
⊥
，
90
ABC
DEA
=
=
，
,
AE
AB AD
AD
=
=
，
(
)
Rt
Rt
HL
AED
ABD
≌
，
EAD
BAD
=
，
AE
AB
=
，
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PE
PB
=
，
AP
平分BE ，
即AD平分BE ．
（2）解：ABE
是等边三角形，理由：
DE
AC
⊥
，
90
DEC
=
，
60
CDE
=
，
30
C
=
，
90
ABC
=
，
60
CAB
=
，
AE
AB
=
，
2．
（24-25 八年级下·四川成都·期末）如图，AB
CD
=
，DE
AC
⊥
，BF
AC
⊥
，垂足分别为E ，F ，且DE
BF
=
，
连接BD交AC 于点G ．求证：
(1) AE
CF
=
；
(2)已知
3
DE
AE
=
= ，
16
AC =
，求BD的长．
【答案】(1)见解析
(2)2 34
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关
键．
（1）证明
(
)
Rt
Rt
HL
DEC
BFA
≌
得出AF
CE
=
，即可得证；
（2）证明
(
)
AAS
DEG
BFG
≌
，得出EG
GF
=
，DG
BG
=
，求出
5
EG =
，再由勾股定理可得
34
DG =
，
即可得解．
【详解】（1）证明：∵DE
AC
⊥
，BF
AC
⊥
，
∴
90
DEC
BFA
=
=
，
在Rt
DEC
△
和Rt BFA
中，
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DE
BF
CD
AB
=
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
DEC
BFA
≌
，
∴AF
CE
=
，
∴AF
EF
CE
EF
−
=
−
，即AE
CF
=
；
（2）解：∵DE
AC
⊥
，BF
AC
⊥
，
∴
90
DEC
BFA
=
=
，
在
DEG
△
和BFG
中，
DEG
BFG
DGE
BGF
DE
BF
=
=
=
，
∴
(
)
AAS
DEG
BFG
≌
，
∴EG
GF
=
，DG
BG
=
，
∵AE
CF
=
，AC
AE
EG
GF
CF
=
+
+
+
，
3
DE
AE
=
= ，
16
AC =
，
∴
5
EG =
，
∴
2
2
34
DG
DE
EG
=
+
=
，
∴
2
2 34
BD
DG
=
=
．
3．（24-25 八年级下·湖南邵阳·期末）如图，CD平分
BCA
且平分
BDA
，
90
A
=
，点F 在射线CB 上，
且DF
DE
=
．
(1)求证：AE
BF
=
；
(2)若
45
6
ACB
BD
=
=
，
，求CE 的长度．
【答案】(1)见解析
(2)6 2
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关
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键．
（1）由角平分线的定义可得
BCD
ACD
=
，
BDC
ADC
=
，再利用ASA 证明
BCD
ACD
≌
△
△
，推出
DB
DA
=
，
90
CBD
A
= =
，，再证明
(
)
HL
BFD
AED
≌
，即可得证；
（2）由全等三角形的性质可得
90
A
FBD
=
=
，再证明CE
DE
=
，利用勾股定理即可求出答案．
【详解】（1）证明：∵CD平分
BCA
且平分
BDA
，
∴
BCD
ACD
=
，
BDC
ADC
=
，
在
BCD
△
和ACD
中，
BCD
ACD
CD
CD
BDC
ADC
=
=
=
，
∴
(
)
ASA
BCD
ACD
≌
，
∴DB
DA
=
，
90
CBD
A
= =
，
∴
90
FBD
A
=
= ，
在BFD
和AED
中，
DF
DE
BD
AD
=
=
，
∴
(
)
HL
BFD
AED
≌
，
∴AE
BF
=
；
（2）解：∵
45
ACB
=
，CD平分
BCA
，
∴
22.5
BCD
ACD
=
=
，
∵
90
CBD
A
= =
，
∴
360
135
BDA
CBD
A
ACB
=
−
−−
=
，
∴
1
67.5
180
45
2
CDB
CDA
ADB
BDF
ADB
=
=
=
=
−
=
，
，
∴
45
ADE
BDF
=
=
，
∴
22.5
CDE
ADC
ADE
=
−
=
，
∴
CDE
DCE
=
，
∴CE
DE
=
，
∵
90
45
AED
ADE
ADE
=
−
=
=
，
∴
6
AE
AD
BD
=
=
=
，
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∴
2
2
2
2
6
6
6 2
DE
AE
AD
=
+
=
+
=
，
∴
6 2
CE
DE
=
=
．
4．（24-25 八年级下·江西吉安·期末）已知，如图，
,
AE
BE AF
CF
⊥
⊥
，点E F
､
分别为垂足，BE
CF
=
，
A
ABC
CB
=
∠
．
(1)证明：AE
AF
=
；
(2)试说明DA平分
EDF
(3)延长EB FC
､
相交于点D ，连结AD．证明：AD垂直平分线段BC ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，中垂线的判定，熟练掌握相关知识点，是
解题的关键：
（1）证明
(
)
Rt
Rt
HL
ABE
ACF
△
≌
△
即可得证；
（2）根据到角两边距离相等的点，在角的角平分线上，进行判断即可；
（3）根据到线段两端点距离相等的点在线段的中垂线上，进行判断即可．
【详解】（1）证明：
,
ABC
ACB
=
,
AB
AC
=
,
AE
EB AF
CF
⊥
⊥
，
90
E
F
=
=
，
又
,
BE
CF
=
(
)
Rt
Rt
HL
ABE
ACF
△
≌
△
，
AE
AF
=
；
（2）
,
,
AE
EB AF
CF AE
AF
⊥
⊥
=
，
DA
平分
EDF
；
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（3）证明：
,
,
AE
AF AD
AD
=
=
Rt
Rt
ADE
ADF
△
≌
△
（HL），
DE
DF
=
，
,
BE
CF
=
DE
BE
DF
CF
−
=
−
，即DB
DC
=
，
又
AB
AC
=
，
AD
垂直平分线BC ．
5．（24-25 八年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知
,
AB
CD DE
AC
=
⊥
于点
,
E BF
AC
⊥
于点F ，且AE
CF
=
，
连接BD交EF 于点M ．
(1)求证：DE
BF
=
；
(2)若
2,
6
DE
BD
=
=
，求EF 的长．
【答案】(1)见解析
(2) 2 5
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理．
（1）先证明AF
CE
=
，再根据HL证明
ABF
CDE
△
△
≌
，根据全等三角形对应边相等即可证明结论；
（2）根据AAS证明BMF
DME
≌
即可得出MB
MD
=
，代入数据可得结论．
【详解】（1）证明：∵AE
CF
=
，
∴AE
EF
CF
FE
+
=
+
，即AF
CE
=
，
在Rt ABF
和Rt
CDE
△
中，
AF
CE
AB
CD
=
=
，
∴
(
)
HL
ABF
CDE
≌
，
∴DE
BF
=
．
（2）解：∵DE
AC
BF
AC
⊥
⊥
，
，
∴
90
BFM
DEM
=
=
，
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在BMF
和DME
中，
90
BFM
DEM
BMF
DME
DE
BF
=
=
=
=
，
∴
(
)
AAS
BMF
DME
≌
，
∴
,
MB
MD ME
MF
=
=
，
∴
1
3
2
DM
BD
=
= ，
2
EF
EM
=
，
∴
2
2
2
2
3
2
5
EM
DM
DE
=
−
=
−
=
．
∴
2
2 5
EF
EM
=
=
．
6．（23-24 八年级上·重庆永川·期中）如图，四边形ABCD中，CD
CB
=
，AC 平分
DAB
，CF
AB
⊥
于点
F，CE
AD
⊥
的延长线于点E．
(1)求证：
180
ADC
B
+=
．
(2)若
2
4
AD
AB
=
=
，
，求AF 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
3
AF =
【分析】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质定理，掌握这两个知识点是解题的关
键．
（1）由角平分线的性质定理得CE
CF
=
，再由CD
BC
=
可证明Rt
Rt
CED
CFB
≌
，从而有
EDC
B
= ；
由
180
EDC
ADC
+
=
即可求证结论成立；
（2）证明Rt
Rt
AEC
AFC
≌
△
△
，则
2
AF
AE
DE
=
= +
；由Rt
Rt
CED
CFB
≌
得DE
BF
=
，则
4
AF
DE
= +
，
由此即可求解．
【详解】（1）证明：∵AC 平分
DAB
，CF
AB
⊥
，CE
AD
⊥
,
∴CE
CF
=
；
∴CD
BC
=
，
∴Rt
Rt
(HL)
CED
CFB
≌
，
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∴
EDC
B
= ；
∴
180
EDC
ADC
+
=
，
∴
180
B
ADC
+
=
；
（2）解：∵CE
CF
AC
AC
=
=
，
，
∴Rt
Rt
(HL)
AEC
AFC
≌
，
∴
2
AF
AE
AD
DE
DE
=
=
+
= +
；
∵Rt
Rt
CED
CFB
≌
，
∴DE
BF
=
，
∴
4
AF
AB
BF
DE
=
−
= −
，
∴2
6
AF =
，
∴
3
AF =
．
7．
（24-25 七年级下·四川成都·期末）如图，在
ABC
中，CD是AB 边上的高，已知
9
AC =
，
12
BC =
，
15
AB =
．
(1)求CD的长；
(2)过点A 作
CAB
的角平分线交BC 边于点E，求AEB
的面积．
【答案】(1) 36
5 ；
(2)135
4 ．
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理．
（1）先证明
ABC
是直角三角形且
90
ACB
=
，再根据等面积法计算即可；
（2）过点E 作EF
AB
⊥
交AB 于点F，根据角平分线的性质得到CE
EF
=
，证明
ACE
AFE
△
≌△
，设
CE
EF
x
=
=
，根据勾股定理求出
9
2
x =
，根据三角形面积公式计算即可．
【详解】（1）解：∵
2
2
2
2
2
2
9
12
225
15
AC
BC
AB
+
=
+
=
=
=
，
∴
ABC
是直角三角形且
90
ACB
=
，
∵
1
1
2
2
=
=
ABC
S
AC
BC
AB CD ，
∴
9 12
36
15
5
AC
BC
CD
AB
=
=
=
；
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（2）解：如图，过点E 作EF
AB
⊥
交AB 于点F，
∵AE 平分
CAB
，
∴CE
EF
=
，
∴
(
)
HL
ACE
AFE
≌
∴
9
AC
AF
=
=
，
∴
6
BF =
，
设CE
EF
x
=
=
，则
12
BE
x
=
−
，
∴
(
)
2
2
2
6
12
x
x
+
=
−
，
解得：
9
2
x =
，
∴
1
1
9
135
15
2
2
2
4
AEB
S
AB EF
=
=
=
．
8．（24-25 八年级下·贵州贵阳·期末）如图，在四边形ABCD中，AD
CD
=
，BD平分
ABC
，DE
AB
⊥
，
垂足为点E，DF
BC
⊥
交BC 的延长线于点F．
(1)求证：AE
CF
=
；
(2)若
5,
2,
1
AB
DF
AE
=
=
= ，求四边形ABCD的面积．
【答案】(1)见解析
(2)8
【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质．
（1）由BD平分
ABC
，
,
DE
AB DF
BC
⊥
⊥
可知
,
90
DE
DF
AED
CFD
=
=
=
，可证
Rt
Rt
(HL)
AED
CFD
△
≌
△
，即可得到AE
CF
=
；
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（2）求出
4
BE = ，证明Rt
Rt
(HL)
DEB
DFB
≌
，得到
4,
DEB
DFB
BE
BF
S
S
=
=
=
△
△
，由Rt
Rt
AED
CFD
≌
得
到
AED
CFD
S
S
=
△
△
，进而可求四边形ABCD的面积．
【详解】（1）证明：
BD
平分
ABC
，
,
DE
AB DF
BC
⊥
⊥
．
,
90
DE
DF
AED
CFD
=
=
=
．
AD
DC
=
，
Rt
Rt
(HL)
AED
CFD
△
≌
△
．
AE
CF
∴
=
；
（2）解：
5,
1
AB
AE
=
=
，
4
BE
=
．
90
DEB
DFB
=
=
，
且
,
DE
DF BD
BD
=
=
，
Rt
Rt
(HL)
DEB
DFB
≌
．
4,
DEB
DFB
BE
BF
S
S
=
=
=
△
△
．
Rt
Rt
AED
CFD
△
≌
△
，
AED
CFD
S
S
=
△
△
．
2,
4
DF
BF
BE
=
=
=
，
∴
1
2
2
8
2
ABD
BCD
DEB
DFB
DFB
ABCD
S
S
S
S
S
S
BF DF
=
+
=
+
=
=
=
△
△
△
△
△
四边形
．
7．
（24-25 八年级下·山西运城·期中）已知：如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，在Rt
CDE
△
中，
90
CDE
=
，
BC
ED
=
，AB
CE
=
．
(1)求证：CA
CD
=
；
(2)若点D 在AB 边上，证明CE
AB
∥
；
(3)在（2）的条件下，若BC 与DE 交于点F，直接写出图中所有的等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3) ACD
，
BFD
△
，
CFE
△
【分析】本题考查了全等三角形性质和判定，等腰三角形性质和判定，平行线判定定理，解题的关键在于
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熟练掌握相关知识．
（1）根据题意证明
ABC
CED
△
≌△
，即可证明CA
CD
=
；
（2）利用全等三角形性质和等腰三角形性质推出
ADC
DCE
=
，再结合平行线判定定理求解即可；
（3）根据全等三角形性质，以及等腰三角形判定分析求解，即可解题．
【详解】（1）证明：
90
CDE
ACB =
=
，BC
ED
=
，AB
CE
=
，
(
)
ABC
CED HL
≌
，
CA
CD
=
；
（2）证明：
ABC
CED
△
≌△
，
A
DCE
=
∴
，
CA
CD
=
，
A
ADC
=
，
ADC
DCE
=
，
CE
AB
∥
；
（3）解：CA
CD
=
，
ACD
为等腰三角形；
ABC
CED
△
≌△
，
E
B
=，
CE
AB
∥
，
,
E
BDE
B
BCE
=
=
，
E
BDE
B
BCE
=
= =
，
,
DF
BF CF
EF
=
=
，
BFD
△
，
CFE
△
为等腰三角形；
综上所述，ACD
，
BFD
△
，
CFE
△
为等腰三角形．
8．（24-25 八年级上·湖南湘西·期中）如图，DE
AB
⊥
于点E，DF
AC
⊥
于点F，BD
CD
=
，BE
CF
=
．
(1)求证：DCF
DBE
≌
；
(2)若
50
C
=
，求
DAE
的度数．
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【答案】(1)见解析
(2)
20
DAE
=
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，角平分线判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS，
ASA，AAS，SSS，以及HL全等三角形的对应边相等，对应角相等．
（1）根据“HL”证明DCF
DBE
≌
即可；
（2）根据直角三角形两锐角互余得出
90
50
40
EAC
=
−
=
，根据全等三角形的性质得出DE
DF
=
，根据
角平分线定义得出AD平分
EAC
，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵DE
AB
⊥
，DF
AC
⊥
，
∴
90
E
DFC
=
=
，
在Rt BED
和Rt CFD
中，
BD
CD
BE
CF
=
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
DCF
DBE
≌
；
（2）解：∵
90
E
=
，
50
C
=
，
∴
90
50
40
EAC
=
−
=
，
∵DCF
DBE
≌
，
∴DE
DF
=
，
∵DE
AB
⊥
，DF
AC
⊥
，
∴AD平分
EAC
，
∴
1
20
2
DAE
EAC
=
=
．
题型一：直角三角形全等判定中动点问题
1．（24-25 八年级下·广东揭阳·期中）如图，ABC
中，
90
C
=
，
10cm
AB =
，
6cm
BC =
，动点P 从点C 出
发，以每秒2cm 的速度按C
A
→
的路径运动，设运动时间为t 秒．当t = 时，BP恰好平分
ABC
．
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【答案】3
2
【分析】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理的应用，熟练掌握角平分
线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等），结合勾股定理建立方程求解是解题的关键．
先利用勾股定理求出AC 的长度，再根据角平分线的性质，过点P 作PD
AB
⊥
于D ，得到PC
PD
=
，然后
通过全等三角形或面积法等建立关于t 的方程，求解得出t 的值．
【详解】解：在Rt ABC
中，
90
C
=
，
10cm
AB =
，
6cm
BC =
，
由勾股定理得
2
2
2
2
10
6
8cm
AC
AB
BC
=
−
=
−
=
．
过点P 作PD
AB
⊥
于D ，
∵ BP平分
ABC
，
90
C
=
，PD
AB
⊥
，
∴ PC
PD
=
，设
2 cm
PC
t
=
（P 在CA 上运动阶段 ），则
2 cm
PD
t
=
，
(
)
8
2
cm
AP
t
=
−
．
∵BP
BP
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
BCP
BDP
≌
∴
6cm
BC
BD
=
=
，
∴
10 6
4cm
AD
AB
BD
=
−
=
−=
．
在Rt APD
中，由勾股定理得
2
2
2
AP
PD
AD
=
+
，
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即
2
2
2
(8
2 )
(2 )
4
t
t
−
=
+
，
展开得
2
2
64
32
4
4
16
t
t
t
−
+
=
+
，
移项化简得32
48
t =
，
解得
3
2
t =
．
故答案为：3
2 ．
2．
（24-25 八年级上·重庆开州·期末）如图，AC
BC
⊥
，垂足为C ，
12 cm
BC =
，
4 cm
AC =
，射线BN
BC
⊥
，
垂足为B ，动点Q 从点B 出发以2cm/s的速度沿射线BN 运动，点P 为射线BC 上一动点，满足PQ
AB
=
，
当点Q 运动 秒时，
ABC
与点B 、P 、Q 为顶点的三角形全等．
【答案】2 或6/6 或2
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，分两种情况讨论：当AC
BQ
=
时，可得ABC
QPB
≌
，
当
12
BQ
BC
=
=
时，可得ABC
PQB
≌
，再进一步求解即可．
【详解】解：∵ AC
BC
⊥
，BN
BC
⊥
，
∴
90
ACB
QBP
=
=
，
∵AB
PQ
=
，
当AC
BQ
=
时，
∴ABC
QPB
≌
，
设Q 运动时间为st ，
∴2
4
t =
，
解得：
( )
2 s
t =
；
当
12
BQ
BC
=
=
时，
∴ABC
PQB
≌
，
∴2
12
t =
，
解得：
( )
6 s
t =
故答案为：2 或6．
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3．
（24-25 八年级上·广东汕头·期中）如图，CA
AB
⊥
，垂足为点A，射线BM
AB
⊥
，垂足为点B，
15cm
AB =
，
6cm
AC =
．动点E 从A 点出发以3cm/s的速度沿射线AN 运动，动点D 在射线BM 上，随着E 点运动而运
动，始终保持ED
CB
=
．若点E 的运动时间为t 秒(
)
0
t
，则当t = 秒时，DEB
与BCA
全等．
【答案】3 或7 或10
【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，学会分类是解题的关键．分情况，当E 在线段AB 上，
或当E 在线段AB 延长线上，由HL即可求解．
【详解】解：∵CA
AB
⊥
，BM
AB
⊥
，
∴
90
CAB
DBE
=
=
，
∵ED
CB
=
，
当E 在线段AB 上时，
若BE
AC
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
DEB
BCA
≌
，
∵
3 cm
AE
t
=
，
∴
(
)
15
3 cm
BE
AB
AE
t
=
−
=
−
，
∴15
3
6
t
−
=
，
∴
3
t =
；
若BE
AB
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
DEB
CBA
≌
，
∴
0
AE = ，
∴
0
t =
（舍去），
当E 在线段AB 延长线上时，
若BE
AC
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
DEB
BCA
≌
，
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∵
(
)
3
15
6
21 cm
AE
t
AB
BE
=
=
+
=
+
=
，
∴
7
t =
，
若BE
AB
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
DEB
CBA
≌
，
∵
(
)
3
15 15
30 cm
AE
t
AB
BE
=
=
+
=
+
=
，
∴
10
t =
，
∴当
3
t =
或7 或10 秒时，DEB
与BCA
全等．
故答案为：3 或7 或10．
4．（24-25 七年级下·广东深圳·期末）如图，长方形ABCD 中，
6cm
8cm
AB
BC
=
，
=
，动点 P 从点 A 出发，
以2cm/ 秒的速度沿长方形的边AB
BC
CD
DA
−
−
−
返回到点A 停止，设点P 运动的时间为t 秒．
(1)当
8
t =
时，求CP 的长；
(2)连接
,
CP DP ，当
CDP
△
中有任意两边相等时，求t 的值；
(3)Q 为AD边上的一点，且
6cm
AQ =
，直接写出当t 为何值时，以长方形的两个顶点及点 P 为顶点的三
角形与DCQ
全等．
【答案】(1)
2cm
CP =
(2) 3
2 或4 或13
(3)4 或6 或11 或13
【分析】本题考查了动点问题，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的定义，灵活运用分类讨论思想是
解题关键．
（1）根据题中条件求出CP 的长即可求解；
（2）分三种情况讨论：①当点P 在AB 上时，②当点P 在BC 上时，③当点P 在AD上时；
（3）连接CQ ，要使一个三角形与DCQ
全等，则另一条直角边必须等于DQ ，分类讨论即可．
【详解】（1）解：∵长方形ABCD 中，
6cm
8cm
AB
BC
=
，
=
，
∴
6cm,
8cm
CD
AB
AD
BC
=
=
=
=
，
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当
8
t =
时，则
16
2 8 16
20
AB
BC
AB
BC
CD
+
=
=
+
+
=
，
∴此时，点P 在CD上，
∴
16
2cm
CP
AB
BC
=
−
−
=
；
（2）解：当点P 在AB 上时，
CDP
△
是等腰三角形，如图，
∵
,
CP
BC
CD DP
AD
CD
，
∴
=
CP
DP ，
根据题意得：
,
90
AD
BC
A
D
=
=
=
∵
=
CP
DP ，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
DAP
CBP
≌
，
∴
1
3cm
2
AP
BP
AB
=
=
=
，
∴
3
3
2
2
t =
=
（秒）；
当点P 在BC 上时，
CDP
△
是等腰三角形，如图所示，
∵
90
C
=
，
∴
6cm
CD
CP
=
=
，
∴
2cm
BP
CB
CD
=
−
=
，
∴
6
2
4
2
2
AB
BP
t
+
+
=
=
=
（秒）；
当点P 在AD上时，
CDP
△
是等腰三角形．如图所示，
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∵
90
D
?
? ，
∴
6cm
DP
CD
=
=
，
∴
6 8
6
6
13
2
2
AB
CB
CD
DP
t
+
+
+
+ + +
=
=
=
（秒），
综上所述，
3
2
t =
或4 或13时，
CDP
△
是等腰三角形，即
CDP
△
中有任意两边相等；
（3）解：根据题意，如图，连接CQ ，
∵
6cm,
6cm
AB
CD
AQ
=
=
=
，
∴
2cm
DQ
AD
AQ
=
−
=
，
∴要使一个三角形与DCQ
全等，则以长方形的两个顶点及点 P 为顶点的三角形的直角边长分别为
2cm,6cm ，
如图，当Rt
Rt
BAP
DCQ
≌
时，
此时
2cm
BP
DQ
=
=
，
∴
6
2
4
2
2
AB
BP
t
+
+
=
=
=
（秒）；
如图，当Rt
Rt
CDP
DCQ
≌
时，
此时
2cm
CP
DQ
=
=
，则
6cm
BP
BC
CP
=
−
=
，
∴
6
6
6
2
2
AB
BP
t
+
+
=
=
=
（秒）；
如图，当Rt
Rt
ABP
DCQ
≌
时，
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此时
2cm
AP
DQ
=
=
，
∴
6 8
6 8
2
13
2
2
AB
BC
CD
AD
AP
t
+
+
+
−
+ + + −
=
=
=
（秒）；
当点
,
P Q 重合时，Rt
Rt
DCP
DCQ
≌
，
此时，
6 8
6
2
11
2
2
AB
BC
CD
DP
t
+
+
+
+ + +
=
=
=
（秒）；
综上，以长方形的两个顶点及点 P 为顶点的三角形与DCQ
全等时，t 的值为4 或6 或11 或13．
5．（24-25 八年级下·广东·期中）(综合运用)如图，在ABC
中，AD
BC
⊥
，
2
BD = ，
3
CD =
，
4
=
AD
．
(1)判断ABC
的形状，并说明理由；
(2)动点P 从点D开始，按D
A
C
→
→
的路径运动．
①当点P 在线段AD上，且在
ACD
的平分线上时，求CDP
的面积；
②若CDP
是以CP 为底的等腰三角形，求CP 的长度．
【答案】(1)等腰三角形，理由见解析
(2)①9
4 ；②3 2 或18
5
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质，解题的关键是掌握等腰
三角形“三线合一”，直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方，角平分线到两边距离相等．
（1）根据勾股定理求出
5
AC =
，再求出
5
BC
BD CD
=
+
=
，即可得出结论；
（2）①过点P 作PE
AC
⊥
于点E ，证明Rt
Rt
PDC
PEC
≌
△
△
，得出
3
CD
CE
=
= ，则
2
AE
AC
CE
=
−
= ．根
据勾股定理求出
3
2
PE =
，则
3
2
PD =
，根据三角形面积公式即可求解；
②根据题意，进行分类讨论即可当点P 在AD上且
3
CD
PD
=
= 时，用勾股定理求解；当点P 在AC 上且
3
CD
CP
=
= 时，
3
CP = ；当点P 在AC 上且
3
CD
DP
=
=
时，过点D 作DF
AC
⊥
于点F ，此时CF
PF
=
，用
等面积法求得
12
5
DF =
，根据勾股定理可得
9
5
CF =
，根据
2
CP
CF
=
，即可求解．
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【详解】（1）解：
ABC
是等腰三角形；
理由：在Rt ADC
中，
2
2
2
AD
CD
AC
+
=
，即
2
2
2
4
3
AC
+
=
，解得
5
AC =
．
∵
5
BC
BD CD
=
+
=
，
∴AC
BC
=
，
∴
ABC
是等腰三角形；
（2）①如答图1，过点P 作PE
AC
⊥
于点E ．
∵CP 平分
ACD
，AD
BC
⊥
，PE
AC
⊥
，
∴PD
PE
=
．
在Rt PDC
和Rt PEC
中，
PD
PE
PC
PC
=
=
∴Rt
Rt
PDC
PEC
≌
△
△
，
∴
3
CD
CE
=
= ，
∴
2
AE
AC
CE
=
−
= ．
在Rt APE
中，
2
2
2
PE
AE
AP
+
=
，即
(
)
2
2
2
2
4
PE
PE
+
=
−
，
解得
3
2
PE =
，
∴
3
2
PD =
，
∴
1
1
3
9
3
2
2
2
4
CDP
S
PD CD
=
=
=
△
．
②如答图2，当点P 在AD上时．
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∵
3
CD
DP
=
= ，AD
BC
⊥
，
∴
2
2
3 2
CP
CD
PD
=
+
=
．；
如答图3，当点P 在AC 上时，过点D 作DF
AC
⊥
于点F ．
∵CD
DP
=
，∴CF
PF
=
．
∵
1
1
2
2
ACD
S
AD CD
AC DF
=
=
，
∴AD CD
AC DF
=
，即3 4
5DF
=
，
解得：
12
5
DF =
．
根据勾股定理可得
2
2
9
5
CF
CD
DF
=
−
=
，
∴
18
2
5
CP
CF
=
=
．
综上所述，CP 的长度为3 2 或18
5 ．
6．（24-25 八年级下·全国·期中）如图，ABC
中，
90
5cm
3cm
ACB
AB
BC
=
=
=
，
，
，若点P 从点A 出发，
以每秒2cm 的速度沿折线A
C
B
A
→
→
→
运动，设运动时间为(
)
s
0
t
t
．
(1)若点P 恰好在
BAC
的平分线上，求t 的值；
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(2)若点P 在AB 边上运动，则当t 为何值时，BCP
为等腰三角形？
【答案】(1)
8
3
t =
(2)19
4 或5 或53
10
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判
定，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
（1）连接AP ，作PD
AB
⊥
于点D，由勾股定理可得
4cm
AC =
，由角平分线的性质可得PC
PD
=
，证明
(
)
Rt
Rt
HL
APC
APD
≌
，得到
4cm
AD
AC
=
=
，则
1cm
BD
AB
AD
=
−
=
，由题意得：
(
)
2
4 cm
PD
PC
t
=
=
−
，
则
(
)
7
2
cm
PB
t
=
−
，由勾股定理得(
)
(
)
2
2
2
7
2
2
4
1
t
t
−
=
−
+
，解方程即可得到答案；
（2）分当PC
PB
=
时，当
3cm
BC
BP
=
=
时，当CB
CP
=
时，三种情况画出对应的示意图讨论求解即可．
【详解】（1）解：如图，当P 点在
BAC
的平分线上时，连接AP ，作PD
AB
⊥
于点D，
∵
90
5cm
3cm
ACB
AB
BC
=
=
=
，
，
，
∴
2
2
4cm
AC
AB
BC
=
−
=
，
∵P 点在
BAC
的平分线上，PD
AB
⊥
，
90
ACB
=
，
∴PC
PD
=
，
又∵AP
AP
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
APC
APD
≌
，
∴
4cm
AD
AC
=
=
，
∴
1cm
BD
AB
AD
=
−
=
，
由题意得：
(
)
2
4 cm
PD
PC
t
=
=
−
，
∴
(
)
(
)
3
2
4
7
2
cm
PB
BC
PC
t
t
=
−
=
−
−
=
−
，
在Rt BDP
中，由勾股定理得
2
2
2
PB
PD
BD
=
+
，
∴(
)
(
)
2
2
2
7
2
2
4
1
t
t
−
=
−
+
，
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解得
8
3
t =
；
（2）解：当PC
PB
=
时，，
∴
PCB
B
= ．
∵
90
ACB
=
，
∴
90
90
ACP
PCB
A
B
+
=
+=
，
，
∴
ACP
A
= ，
∴PA
PC
PB
=
=
，
∴
1
5 cm
2
2
BP
AP
AB
=
=
=
，
∴
(
)
5
2
4
3
2
t −
+
=
，
解得
19
4
t =
；
当
3cm
BC
BP
=
=
时，
∴
(
)
2
4
3
3
t −
+
= ，
解得
5
t =
．
当CB
CP
=
时，作CF
AB
⊥
于点F，
∴
2
PB
BF
=
，
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∵
1
1
·
·
2
2
ABC
S
BC AC
AB CF
=
=
，
∴1
1
3 4
5
2
2
CF
=
，
解得
12 cm
5
CF =
．
在Rt
FBC
△
中，根据勾股定理得
2
2
9 cm
5
BF
BC
CF
=
−
=
，
∴
18
2
cm
5
BP
BF
=
=
，
∴
(
)
18
2
4
3
5
t −
+
=
，
解得
53
10
t =
．
综上所述，当t 的值为19
4 或5 或53
10 时，BCP
为等腰三角形．
7．（24-25 八年级下·安徽淮北·期中）如图，
ABC
中，
90
ACB
=
，
10 cm
AB =
，
6 cm
BC =
，若点P 从
点A 出发，以每秒1cm 的速度沿折线A C
B
A
−
−
−
运动，设运动时间为t 秒(
)
0
t
．
(1)若PA
PB
=
时，求出此时t 的值；
(2)若点P 恰好在
BAC
的角平分线上（A 点除外），求t 的值；
【答案】(1)
25
4
t =
秒或19秒；
(2) 32
3 秒．
【分析】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是作辅
助线，构造全等三角形．
( )
1 根据勾股定理可以求出
8cm
AC =
，当点P 在AC 上时，则
cm
PA
PB
t
=
=
，
(
)
8
cm
PC
t
=
−
，利用勾股定
理可得：(
)
2
2
2
8
6
t
t
−
+
=
，解方程求出
25
4
t =
；当P 点在AB 中点时，可得：
8
6
5
19
2
AB
t
AC
BC
=
+
+
= + +
=
秒；
( )
2 过P 作PE
AB
⊥
，因为点P 恰好在
BAC
的角平分线上，可证Rt
Rt
ACP
AEP
≌
，根据全等三角形的
性质可知
8
AC
AE
=
= ，则
2
BE =
，设
cm
CP
EP
x
=
=
，则
(
)
6
cm
BP
x
=
−
，利用勾股定理可得
(
)
2
2
2
2
6
x
x
+
=
−
，
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解方程可得：
8
3
x =
，所以可得
32
3
t =
．
【详解】（1）解：
ABC
中，
90
ACB
=
，
10 cm
AB =
，
6 cm
BC =
，
(
)
2
2
10
6
8 cm
AC =
−
=
，
当点P 在AC 上时，
如下图所示：连接BP，
当PA
PB
=
时，则
cm
PA
PB
t
=
=
，
(
)
8
cm
PC
t
=
−
，
在Rt
PCB
△
中，
2
2
2
PC
CB
PB
+
=
，
(
)
2
2
2
8
6
t
t
−
+
=
，
解得：
25
4
t =
，
当
25
4
t =
秒时，PA
PB
=
；
当P 点在AB 中点时，PA
PB
=
，
1
8
6
5
19
2
AB
t
AC
BC
=
+
+
=
+
+
=
秒，
当
25
4
t =
秒或19秒时，PA
PB
=
；
（2）解：如下图所示，过P 作PE
AB
⊥
，
又点P 恰好在
BAC
的角平分线上，且
90
C =
∠
，
10
AB =
，
6
BC =
，
CP
EP
=
，
在Rt ACP
和Rt AEP
中，
AP
AP
CP
EP
=
=
，
Rt
Rt
ACP
AEP
≌
（HL），
8
AC
AE
=
= ，
2
BE
=
，
设
cm
CP
EP
x
=
=
，则
(
)
6
cm
BP
x
=
−
，
在Rt BEP
中，
2
2
2
BE
PE
BP
+
=
，
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(
)
2
2
2
2
6
x
x
+
=
−
，
解得：
8
3
x =
，
8
3
CP
=
，
8
32
8
3
3
t
CA CP
=
+
= +
=
，
32
3
t
=
，
综上，若点P 恰好在
A
的角平分线上，t 的值为32
3 秒．
题型二：直角三角形全等判定中最值问题
1．（24-25 九年级下·四川眉山·期中）如图，Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
4
BC =
，
5
AB =
，利用尺规在BC 、
BA上分别截取BE ，BD，使BE
BD
=
；分别以D，E 为圆心、以大于1
2 DE 的长为半径作弧，两弧在
CBA
内交于点F；作射线BF 交AC 于点G．点P 为AB 上一动点，则GP 的最小值为（ ）
A．1
B．5
3
C．4
3
D．无法确定
【答案】C
【分析】过点G作GH
AB
⊥
于H．根据角平分线性质得出GH
GC
=
，根据勾股定理求出
2
2
3
AC
AB
BC
=
−
=
，
证明
(
)
Rt
Rt
HL
BGH
BGC
≌
，得出
4
BH
BC
=
=
，设GC
GH
x
=
=
，则
3
AG
x
= −
，得出(
)
2
2
3
1
x
x
−
=
+ ，
求出x 的值，根据垂线段最短可知，GP 的最小值为4
3 ，
【详解】解：如图，过点G 作GH
AB
⊥
于H．
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由作图可知，GB 平分
ABC
，
∵GH
BA
⊥
，
90
C
=
，
∴GH
GC
=
，
∵
90
C
=
，
4
BC =
，
5
AB =
，
∴
2
2
3
AC
AB
BC
=
−
= ，
∵BG
BG
=
，GH
GC
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
BGH
BGC
≌
，
∴
4
BH
BC
=
=
，
∴
5
4
1
AH = −
= ，
设GC
GH
x
=
=
，则
3
AG
x
= −
，
根据勾股定理得：
2
2
2
AG
AH
GH
=
+
，
即(
)
2
2
3
1
x
x
−
=
+ ，
解得：
4
3
x =
，
即
4
3
GH =
，
根据垂线段最短可知，GP 的最小值为4
3 ，
故选：C．
2．（24-25 八年级上·河南周口·期中）如图，已知Rt
ABC
△
，
90
ACB
=
，AD平分
BAC
与BC 交于D 点，
M
N
、
分别在线段AD、AC 上的动点，连接MN
MC
、
，当MN
MC
+
最小时，画出M
N
、
的位置．已知
ABC
的面积为
2
12cm ，
6cm
AB =
，求MN
MC
+
的最小值为 ．
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【答案】4cm
【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题、角平分线的性质 ，解题的关键是掌握“两点之间线段最短”与“点
到直线的所有连线当中，垂线段最短”.
作DE
AB
⊥
于点E ， 连接CE ， 作EN
AC
⊥
于点N ，交AD于点M ，则点M 、N 就是所求作的点.作
MF
AB
⊥
于点F ， 证明： MN
MC
+
的最短距离为MN
ME
EN
+
=
，再证明点F 、M 、C 三点共线，NE
CF
=
，
然后根据三角形的面积求解即可.
【详解】解：如图： 作DE
AB
⊥
于点E ， 连接CE ， 作EN
AC
⊥
于点N ，交AD于点M ，则点M 、N 就
是所求作的点.
∵AD平分
BAC
与BC 交于D 点，
90
ACB
=
，
∴由作图可知： CD
DE
=
，
∴ADE
与ADC
关于直线AD对称， 即点C 与点E 关于直线AD对称，
∵作EN
AC
⊥
于点N ， 交AD于点M ，
∴EN 是点E 到AC 的最短距离，
∴MN
MC
MN
ME
EN
+
=
+
=
，
作MF
AB
⊥
于点F ，
则MN
MF
=
，
在Rt FME
与Rt NMC
中，
MF
MN
ME
MC
=
=
，
(
)
Rt
Rt
HL
FME
NMC
≌
，
∴
FME
NMC
=
，即
180
FME
EMC
EMC
NMC
+
=
+
=
.
∴点F 、M 、C 三点共线， NE
CF
=
，
∵ABC
的面积为
2
12cm ,
6cm,
AB =
1
6
12
2
CF
=
，
(
)
4 cm
CF
=
，
即：MN
MC
+
的最小值为4cm ，
故答案为：4cm ．
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59 /
题型三：直角三角形全等判定中多结论问题
1．（2025 七年级下·全国·专题练习）如图，P ，Q 分别是BC ，AC 上的点，过点P 作PR
AB
⊥
于点R ，作
PS
AC
⊥
于点S，若AQ
PQ
=
，PR
PS
=
，则下面三个结论：①AS
AR
=
；②PQ
AR
∥
；③
BRP
CSP
△
≌△
，
正确的是（ ）
A．①③
B．②③
C．①②
D．①②③
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的定义及判定、全等三角形的判定及性质，熟练掌握以上知识点是解题的关
键．根据角平分线的判定，先证AP 是
BAC
的平分线，再证
(
)
HL
APR
APS
≌
，可证得AS
AR
=
，PQ
AR
∥
成立．
【详解】解：如图所示，连接AP ，
PR
PS
=
，
AP
是
BAC
的平分线，
(
)
HL
APR
APS
≌
，
AS
AR
=
，①正确；
AQ
PQ
=
，
QAP
QPA
=
，
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AP
是
BAC
的平分线，
BAP
QAP
=
，
BAP
QPA
=
，
PQ
AR
∥
，②正确；
BC 只是过点P ，并没有固定，
BRP
CSP
△
≌△
③无法确定；
故选：C．
2．
（24-25 八年级下·陕西榆林·期末）如图，在
ABC
中，点E、D 分别在AB
AC
、
的延长线上，BAC
与
CBE
的平分线相交于点P，BE
BC
=
，PB 与CE 交于点H，PG
AD
∥
交BC 于F，交AB 于G，下列结论：①GA
GP
=
；
②CP 平分
BCD
；③BP垂直平分CE ，其中正确的结论有（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各性质
定理是解题的关键．
①根据角平分线的定义和平行线的性质即可得到结论；②过P 作PM
AB
⊥
于M，PN
AC
⊥
于N，PS
BC
⊥
于
S，利用AAS证明ANP
AMP
≌
和PSB
PMB
≌
，得出NP
MP
=
，PS
PM
=
，即可得出PN
PS
=
，再利用
HL证明Rt
Rt
CNP
CSP
≌
，然后根据全等三角形的性质即可得证；③利用SAS证明BHC
BHE
≌
，根据
全等三角形的性质得出
90
BHC
BHE
=
=
，CH
EH
=
，即可得证．
【详解】解：①∵AP 平分
BAC
，
∴
CAP
BAP
=
，
∵PG
AD
∥
，
∴
APG
CAP
=
，
∴
APG
BAP
=
，
∴GA
GP
=
，故①正确；
②过P 作PM
AB
⊥
于M，PN
AC
⊥
于N，PS
BC
⊥
于S，
90
ANP
AMP
PSB
=
=
=
，
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AP 平分
BAC
，
DAP
MAP
=
，
在ANP
和AMP中，
ANP
AMP
NAP
MAP
AP
AP
=
=
=
，
(
)
AAS
ANP
AMP
≌
，
NP
MP
=
，
BP平分
CBE
，
SBP
MBP
=
，
在
PSB
△
和
PMB
△
中，
PSB
PMB
SBP
MBP
BP
BP
=
=
=
，
(
)
AAS
PSB
PMB
≌
，
PS
PM
=
，
PN
PS
=
，
在Rt CNP
和Rt CSP
中，
PN
PS
CP
CP
=
=
，
(
)
Rt
Rt
HL
CNP
CSP
≌
，
NCP
SCP
=
，
即CP 平分
BCD
；故②正确；
③∵BP平分
CBE
，
CBH
EBH
=
，
在
BHC
△
和BHE
中，
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BC
BE
CBH
EBH
BH
BH
=
=
=
，
(
)
SAS
BHC
BHE
≌
，
90
BHC
BHE
=
=
，CH
EH
=
，
BH
CE
⊥
，
∴BP垂直平分CE ，故③正确；
故选：D．
3．（24-25 八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在
ABC
中，AQ
PQ
=
，PR
PS
=
，PR
AB
⊥
于点R，
PS
AC
⊥
于点S，则下列结论：①AS
AR
=
；②QP
AR
∥
；③BPR
≌QSP
；④PA平分
RPS
．其中正
确的结论的个数是（ ）．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、等边对等角，角平分线的判定，平行线的判定．首先证
明
ARP
△
和ASP
全等，推出①④正确，再根据AQ
PQ
=
，推出相关角相等，通过等量代换即可得
QPA
QAR
=
，即可推出②正确，根据BP与SQ 不一定相等，则
BRP
△
和QSP
不一定全等，推出④错
误．
【详解】解：∵PR
AB
⊥
，PS
AC
⊥
∴
90
ARP
ASP
=
=
，
在Rt
ARP
△
和Rt
ASP
△
中，
PR
PS
AP
AP
=
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
ARP
ASP
≌
，
∴AS
AR
=
，
QAP
PAR
=
，
APR
APS
=
，故①正确；
∴PA平分
RPS
，故④正确；
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∵AQ
PQ
=
，
∴
PAR
QPA
=
，
∴
QPA
QAR
=
∴QP
AR
∥
，故②正确；
∵BP与SQ 不一定相等，
∴
BRP
△
和QSP
不一定全等，故④错误；
故选：C．
4．（24-25 八年级上·广东汕头·期末）如图，已知
ABC
中BC 边上的垂直平分线DE 与
BAC
的平分线交
于点E，EF
AB
⊥
交AB 的延长线于点F，EG
AC
⊥
交于点G．则下列结论：
①EF
EG
=
；②BF
CG
=
；③
⊥
EF
EG；④
(
)
1
2
CG
AC
AB
=
−
．
其中正确结论序号是（ ）．
A．①②
B．③④
C．①③④
D．①②④
【答案】D
【分析】主要题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识点，熟记全等三角形的判
定与性质是解题的关键．
如图：连接BE 和CE ，根据线段垂直平分线求出BE
CE
=
，根据角平分线性质求出EF
GE
=
，证出
(
)
(
)
HL ,
AAS
Rt BFE
Rt CGE
AFE
AGE
=
≌
，根据全等三
角形的性质及线段的和差即可解答．
【详解】解：如图：连接BE 和CE ，
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∵DE 是BC 的垂直平分线，
∴BE
CE
=
，
∵AE 平分
BAC
，EF
AB
EG
AC
⊥
⊥
，
，
∴
90
BFE
EGC
EF
EG
=
=
=
，
，故①正确，符合题意；
在Rt
BFE
△
和Rt
CGE
△
中，
BE
CE
EF
EG
=
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
BFE
CGE
≌
，
∴BF
CG
=
，故②正确，符合题意；
∵AE 平分
BAC
，EF
AB
EG
AC
⊥
⊥
，
，
∴
90
AFE
AGE
FAE
GAE
=
=
=
，
，
在
AFE
△
和AGE
中，
90
FAE
GAE
AFE
AGE
AE
AE
=
=
=
=
，
∴
(
)
AAS
AFE
AGE
≌
，
∴AF
AG
=
，
∵BF
CG
=
，
∴
(
)
2
AC
AB
AG
CG
AF
BF
AG
CG
AF
BF
CG
−
=
+
−
−
=
+
−
+
=
，即
(
)
1
2
CG
AC
AB
=
−
，即④正确，符合题
意；
根据题意，无法求出
⊥
EF
EG，故③错误，不符合题意．
综上，正确的有①②④．
故选∶D．
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5．（24-25 八年级上·广东汕头·期末）如图，BD平分
ABC
，且
BEC
BCE
=
，D 为BE 延长线上的一点，
BD
BA
=
，过D 作DG
AB
⊥
，垂足为G ．下列结论：①ABE
DBC
≌
；②
180
BCE
BCD
+
=
；③
AD
AE
DG
=
=
；④
2
BA
BC
BG
+
=
．其中正确的是（ ）
A．①②③
B．①③④
C．①②④
D．①②③④
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、等边对等角等知识点，熟练掌握全
等三角形的判定与性质是解题的关键．
根据题意运用SAS可证ABE
DBC
≌
可得
BCD
AEB
=
，由
BEC
BCE
=
、
BEC
AED
=
，
180
BEA
AED
+
=
以及等量代换可判定①②；根据等角对等边可得AE
AD
=
，AE
DG
，即判定③；
如图：过D 作DF
BC
⊥
交BC 的延长线于点F，根据角平分线的性质可得DG
DF
=
，然后证明三角形全等
可得AG
CF
=
、BG
BF
=
，再根据线段和差及等量代换即可判断④．
【详解】解：∵BD平分
ABC
，
∴
ABE
CBE
=
，
∵
BEC
BCE
=
，
∴BC
BE
=
，
在ABE
和
DBC
△
中，
BC
BE
ABE
CBE
BD
BA
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
ABE
DBC
≌
，①正确；
∴
BCD
AEB
=
，
∵
BEC
BCE
=
、
BEC
AED
=
，
180
BEA
AED
+
=
，
∴
180
BCE
BCD
+
=
，即②正确；
∵
ABD
EBC
=
，AB
BD
=
，BE
BC
=
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∴
BAD
BDA
BEC
BCE
AED
=
=
=
=
∴
ADE
AED
=
∴AE
AD
=
∵DG
AB
⊥
，AE 和BD不垂直
∴AE
DG
，即AD
AE
DG
=
=
不成立，故③错误；
如图：过D 作DF
BC
⊥
交BC 的延长线于点F，
∵BD平分
ABC
，DG
AB
⊥
，
∴DG
DF
=
，
在Rt AGD
和Rt
CDF
△
中，
AD
CD
DG
DF
=
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
AGD
CFD
≌
，
∴AG
CF
=
，
在Rt
BDG
△
和Rt
BDF
△
中，
BD
BD
DG
DF
=
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
BDG
BDF
≌
，
∴BG
BF
=
，
∴
2
BA
BC
BG
AG
BF
CF
BG
AG
BG
AG
BG
+
=
+
+
−
=
+
+
−
=
，④正确．
综上，正确的有①②④．
故选：C．
6．（24-25 八年级上·河南驻马店·期末）如图，在
ABC
中，
90
C
=
，AD平分
BAC
，DE
AB
⊥
于E ，
有下列结论：①CD
ED
=
；②AC
BE
AB
+
=
；③
BDE
BAC
=
；④AD平分
CDE
；⑤
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:
:
ACD
ABD
S
S
AC AB
=
△
△
，其中正确的有（ ）
A．5 个
B．4 个
C．3 个
D．2 个
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，由角平分线的性质可
以判断①；证明
(
)
Rt
Rt
HL
ADC
ADE
≌
可以判断②；由同角的余角相等可以判断③；由
Rt
Rt
ADC
ADE
≌
，根据全等三角形的性质可以判断④；利用三角形面积和角平分线的性质可以判断⑤；
熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：①∵
90
C
=
，
∴BC
AC
⊥
，
∵AD平分
BAC
，DE
AB
⊥
，
∴CD
ED
=
，故①正确；
②由①得CD
ED
=
，
∵DE
AB
⊥
，
∴
90
AED
ACD
=
=
，
在Rt ADC
和Rt ADE
中，
CD
ED
AD
AD
=
=
∴
(
)
Rt
Rt
HL
ADC
ADE
≌
，
∴AC
AE
=
，
∴AC
BE
AE
BE
AB
+
=
+
=
，故②正确；
③∵DE
AB
⊥
，
∴
90
AED
BED
=
=
，
∴
90
B
BDE
+
=
，
∵
90
C
=
，
∴
90
B
BAC
+
=
，
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∴
BDE
BAC
=
，故③正确；
④由②得：Rt
Rt
ADC
ADE
≌
，
∴
ADC
ADE
=
，
∴AD平分
CDE
，故④正确；
⑤由
1
·
2
1
·
2
ACD
ABD
AC CD
S
S
AB DE
=
，
∵CD
ED
=
，
∴
1
·
2
1
·
2
ACD
ABD
AC CD
S
AC
S
AB
AB DE
=
=
，
∴
:
:
ACD
ABD
S
S
AC AB
=
△
△
，故⑤正确，
综上①②③④⑤正确，共5个，
故选：A．
7．（24-25 八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，D 为BAC
的外角平分线上一点并且满足BD
CD
=
，过D
作DE
AC
⊥
于E，DF
AB
⊥
交BA的延长线于F，则下列结论：①
CDE
BDF
△
△
≌
；②CE
AB
AE
=
+
；
③
BDC
BAC
=
；④
DAF
ACD
=
．其中正确的结论有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】本题考查角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并准
确识图判断出全等的三角形是解题的关键．
根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE
DF
=
，再证明
(
)
Rt
Rt
HL
CDE
BDF
≌
；然后得到
CE
AF
=
，证明
(
)
Rt
Rt
HL
ADE
ADF
≌
，得AE
AF
=
，然后求出CE
AB
AE
=
+
；根据Rt
Rt
CDE
BDF
≌
可得
DBF
DCE
=
，然后根据三角形内角和定理得到
BDC
BAC
=
，利用三角形的外角的性质，得到
DAF
FBD
ACD
=
即可．
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【详解】解：如图所示，
∵AD平分
CAF
，DE
AC
⊥
，DF
AB
⊥
，
∴DE
DF
=
，
在Rt
CDE
△
和Rt
BDF
△
中，
BD
CD
DE
DF
=
=
∴
(
)
Rt
Rt
HL
CDE
BDF
≌
，故①正确；
∴CE
AF
=
，
在Rt ADE
和Rt ADF
中，
AD
AD
DE
DF
＝
＝
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
ADE
ADF
≌
，
∴AE
AF
=
，
∴CE
AB
AF
AB
AE
=
+
=
+
，故②正确；
∵Rt
Rt
CDE
BDF
≌
，
∴
DBF
DCE
=
，
又∵
AOB
DOC
=
，
∴
BDC
BAC
=
，故③正确；
∵
DAF
是
ABD
△
的一个外角，
∴
DAF
FBD
ACD
=
，故④错误；
故选：C．
题型四：直角三角形全等判定解答压轴题
1．（24-25 七年级下·河南周口·期末）（1）如图1，AD平分
BAC
，
180
B
C
+
=
．当
90
B
?
? 时，根
据角平分线的性质，我们可知DB与DC 之间的数量关系为______；
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（2）如图2，AD平分
BAC
，
180
B
C
+
=
．当
90
B
时，试说明DB与DC 之间的数量关系；
（3）如图3，AD平分
BAC
，若
70
B
=
，DB
DC
=
，求
ACD
的度数．
【答案】（1）DB
DC
=
；（2）DB
DC
=
；（3）
110
ACD
=
．
【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了全等三角形的
判定与性质．
（1）直接根据角平分线的性质可判断DB
DC
=
；
（2）过点D 作DE
AB
⊥
于E，DF
AC
⊥
交AC 延长线于F，如图2，先根据角平分线的性质得到DE
DF
=
，
再利用等角的补角相等得到
B
DCF
=
，然后证明BDE
CDF
≌
得到DB
DC
=
；
（3）过点D 作DE
AB
⊥
于E，DF
AC
⊥
交AC 延长线于F，如图3，先根据角平分线的性质得到DE
DF
=
，
再根据HL判断Rt
Rt
BDE
CDF
≌
，所以
70
B
DCF
=
=
，然后根据邻补角的定义计算
ACD
的度数．
【详解】解：（1）如图1，
∵
180
B
C
+
=
，
90
B
?
? ，
∴
90
C
=
，
∴DB
AB
⊥
，DC
AC
⊥
，
∵AD平分
BAC
，
∴DB
DC
=
；
故答案为：DB
DC
=
；
（2）DB
DC
=
，
如图2，过点D 作DE
AB
⊥
于E，DF
AC
⊥
交AC 延长线于F，
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AD
平分
BAC
，DE
AB
⊥
，DF
AC
⊥
，
DE
DF
=
，
90
BED
CFD
=
=
180
B
ACD
+
=
，
180
FCD
ACD
+
=
，
B
FCD
=
，
在
EBD
△
和FCD
中，
B
FCD
BED
CFD
DE
DF
=
=
=
，
(
)
AAS
EBD
FCD
≌
．
∴DB
DC
=
；
（3）如图3，过点D 作DE
AB
⊥
于E，DF
AC
⊥
交AC 延长线于F，
∵AD平分
BAC
，
∴DE
DF
=
，
在Rt
BDE
△
和Rt
CDF
△
中，
DE
DF
AD
AD
=
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
BDE
CDF
≌
，
∴
70
B
DCF
=
=
，
∴
180
180
70
110
ACD
DCF
=
−
=
−
=
．
2．（2025·吉林·模拟预测）【教材回顾】
证明：三角形的三条角平分线交于一点．
（1）补全教材中例题的证明过程．
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已知：如图1，
ABC
的角平分线AD
BE
，
相交于点P．
求证：点P 在
C
的平分线上．
证明：过点P 作PF
AB
⊥
，PM
BC
⊥
，PN
AC
⊥
，垂足分别为点F，点M，点N，
AD
平分
BAC
，PF
AB
⊥
，PN
AC
⊥
，
_______，
同理_______．
_______，
点P 在
C
的平分线上．
【拓展研究】
问题一：如果一个四边形的四条角平分线交于一点，那么这个四边形会具有怎样的性质？
（2）如图2，在四边形ABCD中，
BAD
，
ABC
，
ADC
的平分线相交于点O．
求证：①点O 在
BCD
的平分线上：
AB
CD
AD
BC
+
=
+
②
；
问题二：满足什么条件的四边形的四条角平分线交于一点？
（3）如图3，在四边形ABCD中，如果四条边满足_______时，那么它的四条角平分线交于一点（不需证明）．
【答案】（1）PF
PN
=
；PF
PM
=
；PM
PN
=
；（2）①见解析；②见解析；（3）AB
CD
AD
BC
+
=
+
【分析】（1）根据角平分线的性质定理，等量代换，角平分线的判定定理解答即可．
（2）①过点O 作OE
AB
⊥
，OF
BC
⊥
，OG
CD
⊥
，OH
AD
⊥
，垂足分别为点E，点F，点G，点H，根
据角的平分线性质定理和判定定理解答即可．
②根据角的平分线性质定理，三角形全等的判定和性质解答即可；
（3）根据前面的证明解答即可．
本题考查了角的平分线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：过点P 作PF
AB
⊥
，PM
BC
⊥
，PN
AC
⊥
，垂足分别为点F，点M，点N，
AD
平分
BAC
，PF
AB
⊥
，PN
AC
⊥
，
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PF
PN
=
，
同理PF
PM
=
．
PM
PN
=
，
点P 在
C
的平分线上，
故答案为：PF
PN
=
；PF
PM
=
；PM
PN
=
．
（2）解：①过点O 作OE
AB
⊥
，OF
BC
⊥
，OG
CD
⊥
，OH
AD
⊥
垂足分别为点E，点F，点G，点H，
∵
BAD
，
ABC
，
ADC
的平分线相交于点O．
∴OE
OH
=
，OE
OF
=
，OG
OH
=
，
∴OE
OH
OF
OH
OG
=
=
=
=
，
∴点O 在
BCD
的平分线上，
故四边形四个内角的角平分线交于一点．
②证明：根据前面的证明，得OE
OH
OF
OH
OG
=
=
=
=
，
∵
90
AEO
AHO
=
=
，
OE
OH
OA
OA
=
=
∴
(
)
Rt
Rt
HL
AOE
AOH
≌
，
∴AE
AH
=
，
同理可证，BE
BF
=
，CG
CF
=
，DG
DH
=
，
∴AB
CD
AE
BE
CG
DG
BF
AH
CF
DH
AD
BC
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
，
∴AB
CD
AD
BC
+
=
+
．
故四边形的四条边满足对边之和相等时，四边形的四条角平分线交于一点．
（3）解：根据四边形的四条边满足对边之和相等时，四边形的四条角平分线交于一点．
故AB
CD
AD
BC
+
=
+
即可．
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74 /
故答案为：AB
CD
AD
BC
+
=
+
．
3．
（24-25 八年级下·陕西咸阳·期中）将Rt
ABC
△
和Rt DBE
按如图①方式摆放，已知Rt
Rt
ABC
DBE
≌
△
△
，
,
90
60
=
=
=
=
ACB
DEB
ABC
DBE
，点E 在线段AB 上，延长DE 交线段AC 于点F ．
(1)线段EF 与CF 之间的数量关系是___________；
(2)若将图①中的DBE
绕点B 按顺时针方向旋转角，且0
60
，其余条件不变，如图②，求证：
AF
EF
DE
+
=
；
(3)若将图①中的DBE
绕点B 按顺时针方向旋转角，且60
120 ,
AC 的延长线交线段DE 于点F ，
其余条件不变，如图③，
（2）中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时线段AF
EF
、
与DE 之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)CF
EF
=
(2)见解析
(3)（2）中的结论不成立，AF
EF
DE
−
=
，理由见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质：
（1）连接BF ，根据全等三角形的性质可得BC
BE
=
，可证明Rt
Rt
BCF
BEF
≌
△
△
，即可解答；
（2）连接BF ，根据全等三角形的性质可得BC
BE
=
，AC
DE
=
，可证明Rt
Rt
BCF
BEF
≌
△
△
，可得CF
EF
=
，
即可求证；
（3）连接BF ，根据全等三角形的性质可得BC
BE
=
，AC
DE
=
，可证明Rt
Rt
BCF
BEF
≌
△
△
，可得CF
EF
=
，
即可解答．
【详解】（1）解：如图，连接BF ，
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∵Rt
Rt
ABC
DBE
≌
△
△
，
∴BC
BE
=
，
∵
90
ACB
DEB
=
=
，
∴
90
ACB
FEB
=
=
，
∵BF
BF
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
BCF
BEF
≌
，
∴CF
EF
=
；
故答案为：CF
EF
=
（2）证明：如图，连接BF ，
∵Rt
Rt
ABC
DBE
≌
△
△
，
∴BC
BE
=
，AC
DE
=
，
∵
90
ACB
DEB
=
=
，
∴
90
ACB
FEB
=
=
，
∵BF
BF
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
BCF
BEF
≌
，
∴CF
EF
=
，
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∴AF
EF
AF
CF
AC
DE
+
=
+
=
=
；
（3）解：（2）中的结论不成立，AF
EF
DE
−
=
，理由如下：
如图，连接BF ，
∵Rt
Rt
ABC
DBE
≌
△
△
，
∴BC
BE
=
，AC
DE
=
，
∵
90
ACB
DEB
=
=
，
∴
90
=
=
FCB
FEB
，
∵BF
BF
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
BCF
BEF
≌
，
∴CF
EF
=
，
∴
−
=
−
=
=
AF
EF
AF
CF
AC
DE ．
4．（24-25 八年级下·河南平顶山·阶段练习）【例题回顾】本学期我们学习了角平分线定理及其逆定理，下面
的例题1 同时运用了角平分线定理及其逆定理完成了该几何问题的证明．
例题1 已知∶如图，AO ，BO分别是
A
，
B
的平分线，OD
BC
⊥
，OE
AB
⊥
，垂足分别为点D，E．
求证：点O 在
C
的平分线上．
证明∶过点O 作OF
AC
⊥
，垂足为点F，
∵AO ，BO分别是
A
，
B
的平分线（已知），
OE
AB
⊥
，OD
BC
⊥
（已知），
OF
AC
⊥
（所作）．
∴OE
OD
=
，OE
OF
=
（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等），
∴OD
OF
=
（等量代换），
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77 /
∴点O 在
C
的平分线上（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．
【研究老图形】
在例题1 的图中，分别连接DE ，EF ，FD ．
（1）点O 为
ABC
三条的 交点，点O 为DEF
三条 的交点（填写序号）；
①边的垂直平分线②角平分线③高④中线
（2）小普发现DEF
和
ABC
的内角之间存在一定的数量关系，如果
BAC
m
=
，那么
EDF
= ；（用
含m 的代数式表示）
【解决新问题】
为了方便研究，小普同学把满足例1 条件的DEF
叫做
ABC
的“内三角形”，点O 叫做“共心”．
（3）已知DEF
是
ABC
的“内三角形”，点O 是“共心”，点D，E，F分别在边BC ，AB ，AC 上，且OE
BC
∥
．先
画出符合条件的示意图，再过点E 作EG
DF
⊥
于点G，求证∶点G 在直线AO 上．
【答案】解∶（1）②，①；（2）
1
90
2 m
−
；（3）见解析
【分析】本题考查角平分线的判定和性质，中垂线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相
关判定和性质，是解题的关键：
（1）对于
ABC
：根据角平分线的定义和已知条件，AO 、BO是角平分线，利用角平分线性质及逆定理，
判断点O是
ABC
三条角平分线交点．对于DEF
：通过证明Rt
Rt
ODB
OEB
≌
等，得出点B 、O在线段DE
垂直平分线上，同理证OA、OC 是EF 、DF 垂直平分线，从而确定点O是DEF
三条边垂直平分线交点．
（2）先利用OD
OE
=
、OD
OF
=
，结合等腰三角形性质表示出
ODE
、
ODF
，进而得出
EDF
与
DOE
DOF
+
的关系．再依据OE
AB
⊥
、OF
AC
⊥
，结合四边形内角和及
BAC
m
=
，求出
EOF
，进
而得到
DOE
DOF
+
，最终算出
EDF
．
（3）先根据OE
BC
∥
、OE
AB
⊥
推出
90
ABC
=
，结合（2）的结论得
45
EFD
=
．由EG
DF
⊥
推出
GEF
EFG
=
，得EG
FG
=
，即点G 在EF 垂直平分线上 ．证明
AEO
AFO
△
≌△
，得出AE
AF
=
、OE
OF
=
，
即AO 是EF 垂直平分线，从而证得点G 在直线$AO$上 ．
【详解】解：（1）已知AO ，BO分别是
A
，
B
的平分线，OE
AB
⊥
，OD
BC
⊥
，
过点O作OF
AC
⊥
．
根据角平分线定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 ．
因为AO 是
A
的平分线，OE
AB
⊥
，OF
AC
⊥
，
所以OE
OF
=
；
又因为BO是
B
的平分线，OE
AB
⊥
，OD
BC
⊥
，
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78 /
所以OE
OD
=
．
由OE
OF
=
且OE
OD
=
，
通过等量代换可得OD
OF
=
．
因为OD
OF
=
，OD
BC
⊥
，OF
AC
⊥
，
所以点O在
C
的平分线上．
由于AO 、BO、CO分别是
ABC
三个角的平分线，
所以点O为
ABC
三条角平分线的交点．
如图所示，
在Rt
ODB
△
和Rt
OEB
△
中，
∵OD
OE
=
，OB
OB
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
ODB
OEB
≌
，
∴BD
BE
=
，
∴点B 在线段DE 的垂直平分线上，
∵OE
OD
=
，
∴点O 在线段DE 的垂直平分线上，
∴OB 是线段DE 的垂直平分线，
同理：OA是线段EF 的垂直平分线，OC 是线段DF 的垂直平分线，
因此，点O 为DEF
三条边的垂直平分线的交点．
故答案为：②，①；
（2）如图1 所示，
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79 /
OD
OE
=
，OD
OF
=
，
1
1
(180
)
90
2
2
ODE
OED
DOE
DOE
=
=
−
=
−
，
1
1
(180
)
90
2
2
ODF
OFD
DOF
DOF
=
=
−
=
−
，
1
1
1
90
90
180
(
)
2
2
2
EDF
ODE
ODF
DOE
DOF
DOE
DOF
=
+
=
−
+
−
=
−
+
，
OE
AB
⊥
，OF
AC
⊥
，
90
AEO
AFO
=
=
，
在
AEO
△
和AFO
中，
180
AEO
AOE
OAE
+
+
=
，
180
AFO
AOF
OAF
+
+
=
，
180
180
AEO
AOE
OAE
AFO
AOF
OAF
+
+
+
+
+
=
+
，
即
360
AEO
AFO
BAC
EOF
+
+
+
=
，
BAC
m
=
，
360
360
90
90
180
EOF
AEO
AFO
BAC
m
m
=
−
−
−
=
−
−
−
=
−
，
(
)
360
360
180
180
DOE
DOF
EOF
m
m
+
=
−
=
−
−
=
+
，
(
)
1
1
1
180
(
)
180
180
90
2
2
2
EDF
DOE
DOF
m
m
=
−
+
=
−
+
=
−
．
故答案为：
1
90
2 m
−
；
（3）示意图如图2 所示．
OE
BC
∥
，OE
AB
⊥
，
90
ABC
AEO
=
=
，
由（2）可知
1
90
45
2
EFD
ABC
=
−
=
．
EG
DF
⊥
，
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90
EGF
=
，
90
45
GEF
EFG
=
=
−
，
GEF
EFG
=
，
EG
FG
=
，
点G 在EF 的垂直平分线上．
在
AEO
△
和AFO
中，
90
AEO
AFO
=
=
，
EAO
FAO
=
，AO
AO
=
，
(
)
AAS
AEO
AFO
≌
，
AE
AF
=
，OE
OF
=
，
AO
是EF 的垂直平分线，
点G 在直线AO 上．
5．（24-25 七年级下·四川成都·期末）在
ABC
中，AB
AC
=
，
46
CAB
=
，在
ABC
的外侧作直线AP ，
作点C 关于直线AP 的对称点D ，连接BD，CD，AD，其中BD交直线AP 于点E ．
(1)如图1，①若
5
AD = ，
3
BC = ，求
ABC
的周长；②若
25
PAC
=
，求
BDC
的度数；
(2)如图2，当
90
PAC
=
时，作AF
CE
⊥
于点F ，若
2
EF =
，
6
BE =
，求DE 的长．
【答案】(1)①13；②23
(2)10
【分析】（1）①由对称可得，
5
AC
AD
=
= ，然后求出
5
AB
AC
=
=
，然后根据三角形周长公式求解即可；
②由对称可得，
25
PAD
PAC
=
=
，求出
25
25
50
DAC
=
+
=
，
96
DAB
DAP
CAP
BAC
=
+
+
=
，
然后利用等边对等角和三角形内角和定理求解即可；
（2）如图所示，过点A 作AG
DB
⊥
于点G，首先利用三线合一得到
CEP
DEP
=
，得到AF
AG
=
，证明
出
(
)
Rt
Rt
HL
AEF
AEG
≌
，得到
2
GE
FE
=
=
，然后求出
8
DG
BG
=
= ，进而求解即可．
【详解】（1）解：①由对称可得，
5
AC
AD
=
= ，
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∴
5
AB
AC
=
= ，
∵
3
BC = ，
∴
ABC
的周长
5 5 3 13
AC
AB
BC
=
+
+
= + + =
；
②∵
25
PAC
=
，
由对称可得，
25
PAD
PAC
=
=
，
∴
25
25
50
DAC
=
+
=
，
∵
46
CAB
=
，
∴
96
DAB
DAP
CAP
BAC
=
+
+
=
，
∵AD
AC
AB
=
=
，
∴
(
)
1 180
42
2
ADB
ABD
DAB
=
=
−
=
，
(
)
1 180
65
2
ADC
ACD
DAC
=
=
−
=
，
∴
23
BDC
ADC
ADB
=
−
=
；
（2）解：如图所示，过点A 作AG
DB
⊥
于点G，
∵
90
PAC
=
，
由对称可得，AC
AD
=
，
∴AP
CD
⊥
，
∴CE
DE
=
，
∴
CEP
DEP
=
，
∵AF
CE
⊥
，AG
DB
⊥
，
∴AF
AG
=
，
又∵AE
AE
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
AEF
AEG
≌
，
∴
2
GE
FE
=
=
，
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∴
2
6
8
GB
GE
BE
=
+
=
+
= ，
∵AB
AC
=
，
∴AB
AD
=
，
∵AG
DB
⊥
，
∴
8
DG
BG
=
= ，
∴
8
2
10
DE
DG
GE
=
+
= +
=
．
6．（24-25 七年级下·广东佛山·期中）操作实验：
如图，把等腰三角形沿顶角平分线对折并展开，发现被折痕分成的两个三角形成轴对称．
所以
ABD
ACD
≌
△
△
，所以
B
C
=
．
归纳结论：如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等．
根据上述内容，回答下列问题：
思考验证：
（1）如图（4），在
ABC
中，AB
AC
=
．试说明
B
C
=
的理由；
探究应用：如图（5），CB
AB
⊥
，垂足为B，DA
AB
⊥
，垂足为A，E 为AB 的中点，AB
BC
=
，CE
BD
⊥
．
（2）BE 与AD是否相等，为什么？
（3）小明认为AC 是线段DE 的垂直平分线，你认为对吗？说说你的理由；
（4）探究
DCE
与
DBA
的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）理由见解析；（2）相等，理由见解析；（3）对，理由见解析；（4）2
90
DBA
DCE
+
=
，理
由见解析．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性
质是解答本题的关键．
（1）过A 点作AD
BC
⊥
于D，证明
(
)
HL
ABD
ACD
≌
即可求解；
（2）先证明
ADB
BEC
=
，再根据AAS证明DAB
EBC
≌
即可求解；
（3）可证点A，C 在线段DE 的垂直平分线上，进而可说明AC 垂直并且平分线段DE ；
（4）由
ADB
BEC
△
≌△
得DB
CE
=
，等量代换得CD
BD
=
，从而可证2
90
DBA
DCE
+
=
．
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【详解】解：（1）如图，过A 点作AD
BC
⊥
于D，
∴
90
ADB
ADC
=
=
，
在Rt
ABD
△
和Rt
ACD
△
中，
AB
AC
AD
AD
=
=
∴
(
)
HL
ABD
ACD
≌
，
∴
B
C
=
；
（2）∵BD
EC
⊥
，
∴
1
90
CEB
+=
，
∵1
90
ADB
+
=
，
∴
ADB
BEC
=
，
在ADB
和BEC
中
90
ADB
BEC
DAB
EBC
AB
BC
=
=
=
=
，
∴
(
)
AAS
DAB
EBC
≌
．
∴DA
BE
=
．
（3）∵E 是AB 中点，
∴AE
BE
=
．
∵AD
BE
=
，
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∴AE
AD
=
．
∵AB
BC
=
，
∴
BAC
BCA
=
．
∵CB
AB
⊥
，DA
AB
⊥
，
∴AD
BC
∥
，
∴
DAC
BCA
=
．
∴
BAC
DAC
=
．
在
ADC
△
和
AEC
△
中，
AD
AE
DAC
EAC
AC
AC
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
ADC
AEC
≌
．
∴DC
CE
=
．
∴C 在线段DE 的垂直平分线上．
∵AD
AE
=
，
∴A 在线段DE 的垂直平分线上．
∴AC 是线段DE ．
（4）2
90
DBA
DCE
+
=
，理由如下，
∵
ADB
BEC
△
≌△
，
∴DB
CE
=
，
DBA
BCE
=
，
∵CD
CE
=
，
∴CD
BD
=
，
∴
BCD
CBD
=
，
∵
90
DBA
CBD
ABC
+
=
=
，
∴
2
90
DBA
DCE
BCE
DBA
DCE
DBA
DBA
DCE
+
+
=
+
+
=
+
=
．
7．（2025·江西吉安·一模）【课本再现】
我们知道三条边分别相等的两个三角形全等，由此可推出：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形
全等．
【性质证明】
请你根据下面的“已知”和“求证”证明该结论；
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已知：如图1，在
ABC
与DEF
中，
90
C
F
AB
DE
AC
DF
=
=
=
=
，
，
．
求证：
ABC
DEF
≌△
△
．
【知识应用】
如图2，在梯形ABCD中，
90
A
B
= =
，点E 是AB 边的中点，且DE 平分
ADC
．若
3
AD = ，
4
BC =
，
求CD的长．
【答案】（1）见解析（2）7
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解
题的关键．
（1）证出BC
EF
=
，由SSS证明
ABC
ABD
△
≌△
即可；
（2）根据角平分线这个条件添加辅助线即可．
【详解】解：（1）∵
ABC
和DEF
中，
90
ACB
DFE
=
=
，
2
2
2
2
2
2
AC
BC
AB
DF
EF
DE
+
=
+
=
，
（勾股定理）．
∴
2
2
2
2
2
2
BC
AB
AC
EF
DE
DF
=
−
=
−
，
．
∵
,
AB
DE AC
DF
=
=
．
∴BC
EF
=
．
在
ABC
与DEF
中，
BC
EF
AB
DE
AC
DF
=
=
=
．
∴
(
)
SSS
ABC
DEF
≌
．
（2）证明：作EM
CD
⊥
垂足为M，如图所示：
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∵DE 平分
,
90 ,
ADC
A
EM
CD
=
⊥
，
∴AE
EM
=
，
∵点E 为AB 的中点，
∵AE
EB
=
，
∴EM
EB
=
，
∵EM
CD
⊥
，
∴
90
EMC
B
A
=
=
=
∠
∠
∠
，
在Rt DEA
和Rt DEM
中，
DE
DE
AE
EM
=
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
DEA
DEM
≌
，
∴DA
DM
=
，
同理可证：
(
)
Rt
Rt
HL
BEC
MEC
≌
，
∴CB
CM
=
，
∴CD
DM
MC
AD
BC
=
+
=
+
，
即AD
BC
CD
+
=
，
∵
3
AD = ，
4
BC =
，
∴
3
4
7
CD = +
=
．
8．（2025·重庆·二模）在学习了三角形全等和等腰三角形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他
发现，三角形一个角的角平分线上的点，如果满足到另外两个顶点距离相等，这个三角形有可能是等腰三
角形．其解决思路是利用角平分线的性质和全等得出结论．请根据他的思路完成以下作图与填空：
(1)如图，在
ABC
中，AE 平分
BAC
交BC 于E，点D 在线段AE 上，用尺规过点D 作AB 的垂线，交AB
于点F．（不写作法，保留作图痕迹）
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(2)已知：点D 在
ABC
内，且在AE 上，DB
DC
=
，DG
AC
⊥
于G．
求证：AB
AC
=
．
证明：∵AE 平分
BAC
，DF
AB
⊥
，DG
AC
⊥
，
∴① ，
在Rt
DBF
△
和Rt
DCG
△
中
_____
DF
DG
=
②
(
)
Rt
Rt
HL
DBF
DCG
≌
∴③ ．
又∵DB
DC
=
，
∴
DBC
DCB
=
．
∴
ABC
ABD
BAC
=
+
，
ACB
ACD
DCB
=
+
∴④ ；
∴AB
AC
=
．
进一步思考，点D 在
ABC
外，其余条件不变，AB
AC
=
还成立吗？写出你猜想的结论：⑤ ．（填“成立”
或者“不成立”）
【答案】(1)见解析
(2) DF
DG
=
，DB
DC
=
，
ABD
ACD
=
，
A
ABC
CB
=
∠
，成立，证明见解析
【分析】（1）根垂直平分线的作法求解即可；
（2）首先得到DF
DG
=
，然后证明出
(
)
Rt
Rt
HL
DBF
DCG
≌
，得
ABD
ACD
=
，然后得出
A
ABC
CB
=
∠
，
即可得到AB
AC
=
；当点D 在
ABC
外时，分两种情况讨论，然后分别根据角平分线的性质和全等三角形
的性质证明即可．
【详解】（1）如图所示，
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（2）证明：∵AE 平分
BAC
，DF
AB
⊥
，DG
AC
⊥
，
∴①DF
DG
=
，
在Rt
DBF
△
和Rt
DCG
△
中
DF
DG
DB
DC
=
=
②
∴
(
)
Rt
Rt
HL
DBF
DCG
≌
∴③
ABD
ACD
=
．
又∵DB
DC
=
，
∴
DBC
DCB
=
．
∴
ABC
ABD
DBC
=
+
，
ACB
ACD
DCB
=
+
∴④
A
ABC
CB
=
∠
，
∴AB
AC
=
；
进一步思考，点D 在
ABC
外，其余条件不变，AB
AC
=
还成立吗？写出你猜想的结论：⑤成立．
证明如下：如图所示，当点D 在BC 下方时，
∵AE 平分
BAC
，DF
AB
⊥
，DG
AC
⊥
，
∴①DF
DG
=
，
在Rt
DBF
△
和Rt
DCG
△
中
DF
DG
DB
DC
=
=
②
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∴
(
)
Rt
Rt
HL
DBF
DCG
≌
∴
DBF
DCG
=
∴
ABD
ACD
=
又∵DB
DC
=
，
∴
DBC
DCB
=
．
∴
ABC
ABD
DBC
=
−
，
ACB
ACD
DCB
=
−
∴④
A
ABC
CB
=
∠
，
∴AB
AC
=
；
如图所示，当点D 在EA延长线上时，
∵AE 平分
BAC
，
∴
BAE
CAE
=
∵
BAE
DAF
=
，
CAE
DAG
=
∴
DAG
DAF
=
∵DF
AB
⊥
，DG
AC
⊥
∴DG
DF
=
，
90
G
F
=
=
又∵DB
DC
=
∴
(
)
HL
DGC
DFB
≌
∴
DCG
DBF
=
∵DB
DC
=
∴
DBC
DCB
=
∴
A
ABC
CB
=
∠
∴AB
AC
=
．
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1．（24-25 八年级下·福建漳州·期末）如图，在
ABC
中，
90
C
=
，AD平分
BAC
，过点D 作DE
AB
⊥
于点E．若
4
AC =
，
5
AB =
，则BDE
的周长为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质．
由勾股定理得到
3
BC = ，根据角平分线的性质得到CD
ED
=
，证明
(
)
HL
ACD
AED
≌
△
△
，可知
1
BE = ，设
CD
ED
x
=
=
，根据勾股定理求出
4
3
x =
，即可求出BDE
的周长．
【详解】解：∵
90
C
=
，
4
AC =
，
5
AB =
，
∴
3
BC = ，
∵AD平分
BAC
，
90
C
=
，DE
AB
⊥
，
∴CD
ED
=
，
∵AD
AD
=
，
∴
(
)
HL
ACD
AED
≌
△
△
，
∴
4
AC
AE
=
=
，
∴
1
BE = ，
设CD
ED
x
=
=
，则
3
BD
x
= −，
∵DE
AB
⊥
，
∴
(
)
2
2
21
3
x
x
+
=
−
，
解得：
4
3
x =
，
∴
4
5
3
3
3
BD = −
=
，
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∴BDE
的周长
4
5
1
4
3
3
= +
+
=
，
故选：B．
2．（24-25 八年级下·广东深圳·期末）如图，点P 是
AOB
的平分线上一点，PC
OA
⊥
，PD
OB
⊥
，垂足分
别为C
D
，
，若
6
4
OP
PC
=
=
，
，则CD长为（ ）
A．5
B．2
5
C．4 5
3
D．8 5
3
【答案】D
【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，勾股定理，垂直平分线的判定和性质．
根据勾股定理求出OC ，根据角平分线的性质得到PC
PD
=
，证明Rt
Rt
OCP
ODP
≌
，根据全等三角形的
性质得到OC
OD
=
，进而得到OP
CD
⊥
，根据三角形面积公式计算即可．
【详解】解：∵PC
OA
⊥
，PD
OB
⊥
，
∴
90
OCP
ODP
=
=
，
∴
2
2
2
2
6
4
2 5
OC
OP
PC
=
−
=
−
=
，
∵点P 是
AOB
的平分线上一点，PC
OA
⊥
，PD
OB
⊥
，
∴PC
PD
=
，
在Rt OCP
和Rt ODP
中，
PC
PD
OP
OP
=
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
OCP
ODP
≌
，
∴
OCP
ODP
S
S
=
，OC
OD
=
，
∵PC
PD
=
，OC
OD
=
，
∴OP 在线段CD的垂直平分线上，
∴OP
CD
⊥
，
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∴1
1
2 5
4 2
6
2
2
CD
=
，
∴
8 5
3
CD =
，
故选：D．
3．（24-25 七年级下·四川成都·期中）为了测量无法直接测量的池塘两端A，B 的距离，小王同学设计了一
个测量A，B 距离的方案．如图，先确定直线AB ，过点B 作直线BE
AB
⊥
，在直线BE 上找可以直接到达
点A 的一点D，连接DA，作DC
DA
=
，交直线AB 于点C，可以说明DBA
DBC
≌
，最后测量BC 的长即
得AB
BC
=
．那么判断DBA
DBC
≌
的原理是（ ）
A．HL
B．ASA
C．SAS
D．SSS
【答案】A
【分析】本题考查全等三角形的实际应用，运用全等三角形的知识解决实际问题成为解题的关键．
根据全等三角形的判定方法进行判断即可解答．
【详解】解：由题意，可知：
90
ABE
CBE
=
=
，DC
DA
=
，
又∵DB
DB
=
，
∴
(
)
HL
DBA
DBC
≌
，
∴AB
BC
=
．
故选A．
4．
（2025 八年级下·湖南·专题练习）在
ABC
中，
90
C
=
，AC
BC
=
，AD平分
CAB
交BC 于D，DE
AB
⊥
于E．若
7cm
AB =
，则AC
CD
+
的长等于（ ）
A．6cm
B．7cm
C．8cm
D．19cm
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【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质，熟练掌
握角平分线的性质定理是解题关键．先根据等腰三角形的判定与性质可得BE
DE
=
，再根据角平分线的性
质定理可得CD
DE
=
，从而可得BE
CD
=
，然后证出Rt
Rt
ADE
ADC
≌
，根据全等三角形的性质可得
AE
AC
=
，由此即可得．
【详解】解：∵在
ABC
中，
90
C
=
，AC
BC
=
，
∴BC
AC
⊥
，
45
CAB
B
= =
，
∵DE
AB
⊥
，
∴
90
45
BDE
B
=
−=
，
∴
45
BDE
B
= =
，
∴BE
DE
=
，
∵AD平分
CAB
，DE
AB
⊥
，BC
AC
⊥
，
∴CD
DE
=
，
∴BE
CD
=
，
在Rt ADE
和Rt ADC
中，
AD
AD
DE
DC
=
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
ADE
ADC
△
≌
△
，
∴AE
AC
=
，
∵
7cm
AB =
，
∴
7cm
AC
CD
AE
BE
AB
+
=
+
=
=
，
故选：B．
5．（24-25 九年级下·广东中山·阶段练习）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，作
BAC
的角平分线AD和
作DE
AB
⊥
于E ，根据尺规作图痕迹，以下结论错误的是（ ）
A．
BDE
BAC
=
B．
BAD
B
=
∠
∠
C．DE
DC
=
D．AE
AC
=
【答案】B
小学
初中
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【分析】由尺规作图的痕迹可得，DE
AB
⊥
，AD是
BAC
的平分线，根据同角的余角相等可判断A，根
据角平分线的性质可判断C，证得Rt
Rt
AED
ACD
≌
△
△
可判定D，由于DE 不是AB 的垂直平分线，故不能
证明
BAD
B
=
∠
∠．
【详解】解：根据尺规作图的痕迹可得，DE 可以理解成是平角
AEB
的角平分线，AD是
BAC
的平分线，
DE
AB
⊥
∴
，
90
ACB
=
，
DE
DC
=
，
90
B
BDE
B
BAC
+
= +
=
，
BDE
BAC
=
，
在Rt
AED
△
和Rt
ACD
△
中，
AD
AD
DE
DC
=
=
，
(
)
Rt
Rt
HL
AED
ACD
≌
，
AE
AC
=
，
DE
不是AB 的垂直平分线，故不能证明
BAD
B
=
∠
∠，
综上所述：A ，C ，D不符合题意，B 符合题意，
故选：B．
6．
（24-25 八年级上·山西晋城·阶段练习）如图，已知M 为等边
ABC
外的一点，
120
AMC
=
，AM
CM
=
，
点N，P 分别在AB ，BC 上，连接MP 、NP 、MN ，若PM 平分
CPN
，
4
AN =
，
9
CP =
，则PN 的长为
（ ）
A．15
B．14
C．13
D．12
【答案】C
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活
运用相关性质定理成为解题的关键．
由等边三角形的性质可得
60
BAC
B
ACB
= =
=
，再由等腰三角形的性质可得
30
MAC
MCA
=
=
，
易得
,
MC
PC NA
AM
⊥
⊥
；如图：过M 作MQ
PN
⊥
，垂足为Q，由角平分线的性质定理可得MC
MQ
=
，
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然后分别证明
(
)
Rt
Rt
HL
MQP
MCP
≌
、
(
)
Rt
Rt
HL
MAN
MQN
≌
可得
9
PQ
PC
=
=
、
4
QN
NA
=
=
，最后
根据线段的和差即可解答．
【详解】解：∵等边
ABC
，
∴
60
BAC
B
ACB
= =
=
，
∵
120
AMC
=
，AM
CM
=
，
∴
30
MAC
MCA
=
=
，
∴
90
BAC
MAC
ACB
MCA
+
=
+
=
，即
,
MC
PC NA
AM
⊥
⊥
，
如图：过M 作MQ
PN
⊥
，垂足为Q，
∵PM 平分
CPN
，MQ
PN
⊥
，MC
PC
⊥
，
∴MC
MQ
=
，
∵PM
PM
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
MQP
MCP
≌
，
∴
9
PQ
PC
=
=
，
∵MC
MQ
=
，AM
CM
=
，
∴MQ
AM
=
，
∵
⊥
NA
AM ，MQ
PN
⊥
，MN
MN
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
MAN
MQN
≌
，
∴
4
QN
NA
=
=
，
∴
4
9
13
PN
NQ
QP
=
+
=
+
=
．
故选C．
7．（24-25 八年级下·湖南娄底·期末）如图，在
ABC
中，AD
DE
⊥
，BE
DE
⊥
，AC ，BC 分别平分
BAD
，
ABE
，点C 在线段DE 上，当
3.9
AD =
，
2.75
BE =
时，AB = ．
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【答案】6.65
【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握角平分线的性质定
理是解题关键．过点C 作CF
AB
⊥
于点F ，先根据角平分线的性质定理可得CD
CF
=
，再证出
Rt
Rt
ACF
ACD
≌
，根据全等三角形的性质可得
3.9
AF
AD
=
=
，同样的方法可得
2.75
BF
BE
=
=
，然后根
据AB
AF
BF
=
+
求解即可得．
【详解】解：如图，过点C 作CF
AB
⊥
于点F ，
∵CF
AB
⊥
，AD
DE
⊥
，AC 平分
BAD
，
∴CD
CF
=
，
在Rt
ACF
△
和Rt
ACD
△
中，
AC
AC
CF
CD
=
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
ACF
ACD
≌
，
∴
3.9
AF
AD
=
=
，
同理可证：
2.75
BF
BE
=
=
，
∴
6.65
AB
AF
BF
=
+
=
，
故答案为：6.65．
8．（24-25 七年级下·四川成都·期中）如图，在
ABC
中，BC 边上的高AD
BD
=
，点E 为边AD上的点，
且BE
AC
=
，若
18
ABD
ECD
S
S
−
=
△
△
，则图中阴影部分面积为 ．
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【答案】18
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，证明
(
)
Rt
Rt
HL
BDE
ADC
≌
△
△
得到
BDE
ADC
S
S
=
△
△
，进而得到
ABD
ECD
S
S
S
=
−
△
△
阴影部分
即可求解．
【详解】解：∵AD是BC 边上的高，
∴
90
BDE
ADC
=
=
，
在Rt
BDE
△
和Rt ADC
中，
BD
AD
BE
AC
=
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
BDE
ADC
≌
△
△
，
∴
BDE
ADC
S
S
=
△
△
，
∴
ABE
ACE
S
S
S
=
+
阴影部分
ABE
ADC
ECD
S
S
S
=
+
−
ABE
BDE
ECD
S
S
S
=
+
−
ABD
ECD
S
S
=
−
△
△
18
=
．
故答案为：18．
9．（24-25 八年级下·陕西·期末）如图，在四边形EBCD 中，
90 ,
,
BED
BC
CD ED
CD
=
⊥
=
，点A 为BE上
一点，连接AD，且DA平分
EDB
，若
60 ,
8
EBC
AD
=
= ，则BE的长为 ．
【答案】12
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，先证明
(
)
Rt
Rt
HL
BED
BCD
≌
，推出
30
DBE
DBC
=
=
，再求出
60
BDE
=
，根据角平分线的定义求出
30
ADE
ADB
=
=
，进而得到
8
AB
AD
=
= ，根据直角三角形的性质求出
1
4
2
AE
AD
=
=
，由BE
AB
AE
=
+
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即可求解．
【详解】解：∵
90 ,
BED
BC
CD
=
⊥
，
∴
90
BED
BCD
=
=
，
∵
,
BD
BD DE
CD
=
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
BED
BCD
≌
，
∴
1
30
2
DBE
DBC
EBC
=
=
=
，
∴
90
60
BDE
DBE
=
−
=
，
∵DA平分
EDB
，
∴
30
ADE
ADB
=
=
，
∴
8
AB
AD
=
= ，
1
4
2
AE
AD
=
=
，
∴
12
BE
AB
AE
=
+
=
．
故答案为：12．
10．（2025·四川成都·二模）如图，在
ABC
中，
90
C
=
，按以下步骤作图：①以点B 为圆心、适当长为
半径作弧，分别交BC ，BA于点M ，N ；②分别以点M ，N 为圆心、大于1
2 MN 的长为半径作弧，两弧
在
ABC
的内部相交于点P ；③作射线BP交AC 于点D ．若
9
AC =
，
4
CD =
，则BD的长为 ．
【答案】4 10
【分析】本题考查了角平分线作图及其性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点
是解题的关键．作DE
AB
⊥
于点E ，根据角平分线的性质可知DE
CD
=
，可证
(
)
Rt
Rt
HL
BCD
BED
≌
，
得到BE
BC
=
，然后利用勾股定理在Rt
AED
△
中求得AE ，在Rt
ABC
△
中建立方程求得BC ，最后在Rt
BCD
△
中，根据勾股定理即可求得答案．
【详解】解：作DE
AB
⊥
于点E ，如图所示，
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根据作图可知，BD是
ABC
的角平分线，
90
C
=
，
4
CD =
，
4
DE
CD
=
=
，
BD
BD
=
，
(
)
Rt
Rt
HL
BCD
BED
≌
，
BE
BC
=
，
AB
AE
BE
AE
BC
=
+
=
+
，
9
=
AC
，
9
4
5
AD
AC
CD
=
−
= −
= ，
在Rt
AED
△
中，
2
2
2
2
5
4
3
AE
AD
DE
=
−
=
−
=
，
在Rt
ABC
△
中，
2
2
2
AB
AC
BC
=
+
，即(
)
2
2
2
AE
BC
AC
BC
+
=
+
(
)
2
2
2
3
9
BC
BC
+
=
+
，
解得
12
BC =
（负值已舍去），
在Rt
BCD
△
中，
2
2
2
2
12
4
4 10
BD
BC
CD
=
+
=
+
=
．
故答案为：4 10 ．
11．（24-25 八年级下·广东清远·期中）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
30
B
=
，
2 3
BC =
，
2
AC =
，
点D 是BC 的中点，点E 是边AB 上一动点，沿DE 所在直线把BDE
翻折到B DE
的位置，B D
交AB 于
点F．若
90
AB F
=
时，量得BE 的长为6
5 时，则此时AB E
的面积为 ．
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【答案】3 3
5
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，30角直角三角形的性质等知识点，
正确作出辅助线是解题的关键．
过点E 作EH
AB
⊥
交AB延长线于点H ，连接AD，可证明
(
)
Rt
Rt
HL
ACD
AB D
≌
，则
2
AB
AC
=
= ，求
出
30
B EH
=
，则
1
1
6
3
2
2
5
5
B H
B E
=
=
=
，那么
2
2
3 3
5
EH
B E
B H
=
−
=
，再根据三角形面积公式即可
求解．
【详解】解：过点E 作EH
AB
⊥
交AB延长线于点H ，连接AD，
∵折叠，
∴DB
DB
=
，
30
B
DB E
=
=
∠
∠
，
∵D为BC 的中点，
∴DB
DC
=
，
∴DB
DC
=
，
∵
90
AB F
=
，
90
C
=
，AD
AD
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
ACD
AB D
≌
，
∴
2
AB
AC
=
= ，
∵
30
DB E
=
，
90
AB F
=
，
∴
180
30
90
60
EB H
=
−
−
=
，
∵EH
AB
⊥
，
∴
30
B EH
=
，
∴
1
1
6
3
2
2
5
5
B H
B E
=
=
=
，
∴
2
2
3 3
5
EH
B E
B H
=
−
=
，
1
1
3
3
2
3
3
2
2
5
5
AB E
S
AB
EH
=
=
=
，
故答案为：3 3
5
．
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12．
（24-25 八年级上·江西上饶·期中）如图所示，在
ABC
中，
8
AB =
，
4
AC =
，点G 为BC 的中点，DG
BC
⊥
交
BAC
的平分线AD于点D ，DE
AB
⊥
于点E ， DF
AC
⊥
交AC 的延长线于点F ．
(1)求证：BE
CF
=
；
(2)求AE 的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)6 ．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
（1）如图所示，连接BD，CD，先利用SAS证明BGD
CGD
≌
得到BD
CD
=
，再由角平分线的性质得到
DE
DF
=
，即可利用HL证明Rt
Rt
DEB
DFC
△
≌
△
则BE
CF
=
；
（2 ）证明
(
)
Rt
Rt
HL
ADE
ADF
≌
，得到AF
AE
=
，由（1）得BE
CF
=
，则AE
AF
AC
CF
=
=
+
，据此
求出BE 的长，即可求出AE 的长；
【详解】（1）证明：如图所示，连接BD，CD，
∵G 是BC 的中点，DG
BC
⊥
，
∴BG
CG
=
，
90
BGD
CGD
=
=
，
又∵DG
DG
=
，
∴
(
)
SAS
BGD
CGD
≌
，
∴BD
CD
=
，
∵AD平分
BAC
，DE
AB
⊥
，DF
AC
⊥
，
∴DE
DF
=
，
90
DEB
DFC
=
=
，
又∵DB
DC
=
，
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∴
(
)
Rt
Rt
HL
DEB
DFC
≌
，
∴BE
CF
=
；
（2）解：在Rt ADE
和Rt ADF
中，
AD
AD
DE
DF
=
=
∴
(
)
Rt
Rt
HL
ADE
ADF
≌
，
∴AF
AE
=
，
由（1）得BE
CF
=
，
∴AE
AF
AC
CF
=
=
+
，
∴
2
AB
AE
BE
AC
CF
BE
AC
BE
=
+
=
+
+
=
+
，
∵
8
AB =
，
4
AC =
，
∴
2
BE =
，
∴
6
AE
AB
BE
=
−
=
．
13．（24-25 七年级下·山东烟台·期末）如图，
90
A
B
= =
，E 是AB 上的一点，且AE
BC
=
，1
2
= ．
(1)Rt ADE
与Rt BEC
全等吗？并说明理由；
(2)求证：DE
EC
⊥
．
【答案】(1)全等，理由见解析
(2)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键：
（1）等角对等边，得到DE
CE
=
，HL证明两个三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的性质结合等角的余角，求出
90
DEC
=
即可．
【详解】（1）解：Rt ADE
与Rt BEC
全等，理由如下：
∵1
2
= ，
∴DE
CE
=
，
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∵
90
A
B
= =
，AE
BC
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
ADE
BEC
≌
△
△
；
（2）∵
(
)
Rt
Rt
HL
ADE
BEC
≌
△
△
，
∴
AED
BCE
=
，
∴
180
90
AED
BEC
BCE
BEC
B
+
=
+
=
−=
，
∴
180
90
DEC
AED
BEC
=
−
−
=
，
∴DE
EC
⊥
．
14．（24-25 七年级下·重庆·期末）已知：在
ABC
中，D 为AC 边上一点，BD平分
ABC
，DE
AB
⊥
于点
E，DF
BC
⊥
于点F．
(1)尺规作图：作线段BD的垂直平分线，交AB 于点M，交BC 于点N，连接DM
DN
，
（只保留作图痕迹，
不写作法和结论）．
(2)若BM
BN
=
，求证：EM
FN
=
．
请补全下面的证明过程．
证明：∵BD平分
ABC
，DE
AB
⊥
，DF
BC
⊥
，
∴ ( )，
∵MN 是BD的垂直平分线，
∴BM
DM
BN
DN
=
=
，
，
又∵ ，
∴DM
DN
=
( )，
∵DE
AB
DF
BC
⊥
⊥
，
，
∴
90
DEM
DFN
=
=
，
在Rt
DME
△
和Rt
DNF
△
中，
______
DE
DF
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
DME
DNF
≌
，
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∴EM
FN
=
．
【答案】(1)见解析
(2) DE
DF
=
；角平分线上的点到角两边的距离相等；BM
BN
=
；等量代换；DM
DN
=
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及其尺规作图，角平分线的性质，全等三角形的性质与判
定，熟知相关知识是解题的关键。
（1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可；
（2）由角平分线的性质可得DE
DF
=
，再由线段垂直平分线的性质和已知条件证明DM
DN
=
，进而利用HL
证明
(
)
Rt
Rt
HL
DME
DNF
≌
，则可证明EM
FN
=
．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：∵BD平分
ABC
，DE
AB
⊥
，DF
BC
⊥
，
∴ DE
DF
=
（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵MN 是BD的垂直平分线，
∴BM
DM
BN
DN
=
=
，
，
又∵BM
BN
=
，
∴DM
DN
=
（等量代换），
∵DE
AB
DF
BC
⊥
⊥
，
，
∴
90
DEM
DFN
=
=
，
在Rt
DME
△
和Rt
DNF
△
中，
DM
DN
DE
DF
=
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
DME
DNF
≌
，
∴EM
FN
=
．
15．（24-25 八年级下·湖南永州·期中）证明：斜边上高线和一直角边分别相等的两个直角三角形全等．
已知：如图所示，Rt
ABC
△
和Rt A B C
，
90
ACB
A C B
=
=
，CD
AB
⊥
，C D
A B
⊥
，垂足分别为D，
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D¢，且AC
AC
=
，CD
C D
=
．求证：Rt
ABC
△
Rt A B C
≌
．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，先证Rt
ACD
△
(
)
Rt
HL
A C D
≌
，得出
CAB
C A B
=
，再
根据ASA即可证明Rt
ABC
△
Rt A B C
≌
．
【详解】证明：∵CD
AB
⊥
，C D
A B
⊥
，
∴ACD
和
A C D
△
为直角三角形．
∵Rt
ACD
△
和Rt A C D
′中，
AC
A C
CD
C D
=
=
，
∴Rt
ACD
△
(
)
Rt
HL
A C D
≌
，
∴
CAB
C A B
=
．
∵Rt
ABC
△
和Rt A B C
中，
CAB
C A B
AC
A C
ACB
A C B
=
=
=
，
∴Rt
ABC
△
(
)
Rt
ASA
A B C
≌
．
16．
（2025·山东济宁·二模）如图，线段CD的两个端点分别在
AOB
的两边OA，OB 上，
6
OC =
，
8
OD = ．按
以下步骤作图：
①以点O 为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB 于点E，F；②分别以点E，F 为圆心，大于1
2 EF 长
为半径画弧，两弧在
AOB
的内部交于点G；③作射线OG ．
(1)尺规作图：在射线OG 上求作一点P，连接PC ，PD，使得PC
PD
=
．（保留作图痕迹，不写作法）
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106 /
(2)若
5 2
OP =
，求PC 的长．
【答案】(1)见解析
(2) 2
【分析】本题考查了作线段的垂直平分线、角平分线的性质、三角形全等的判定及性质、勾股定理，解题
的关键是理解角平分线的性质和垂直平分线的性质；
（1）直接作线段CD的垂直平分线即可；
（2）过点P 作PM
OD
⊥
，PN
OA
⊥
于点M，N，利用角平分线的性质，进一步证明三角形全等，再利用
勾股定理求解．
【详解】（1）解：
（2）解：如图，过点P 作PM
OD
⊥
，PN
OA
⊥
于点M，N，
∴PN
PM
=
，
在Rt
PCN
△
和Rt PDM
中，
PC
PD
PN
PM
=
=
，
(
)
Rt
Rt
HL
PCN
PDM
≌
，
∴CN
DM
=
，ON
OM
=
，
∴
6
ON
OC
CN
CN
=
+
= +
，
8
8
OM
OD
DM
DM
CN
=
−
= −
= −
，
∴6
8
CN
CN
+
= −
，
∴
1
=
CN
，∴
7
ON =
，
∵
5 2
OP =
，
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∴
2
2
50
49
1
PN
OP
ON
=
−
=
−
= ，
∴
2
2
2
PC
PN
CN
=
+
=
，
∴PC 的长为2 ．
17．（24-25 八年级下·山东青岛·期中）如图
ABC
，AD是
BAC
的角平分线，与BC 交于点D ，过点D 分
别作DE
AB
⊥
，DF
AC
⊥
，交AB 、AC 于点E 、F ，连接EF ，交AD于点O．
(1)试说明AD垂直平分EF ；
(2)若
120
B
C
+
=
，
3
DO = ，则AO 的长为多少？
【答案】(1)见解析
(2)
9
AO =
【分析】（1）根据角平分线的性质可得DE
DF
=
，
90
AED
AFD
=
=
，根据公共边AD
AD
=
，即可证明
Rt
Rt
AED
AFD
≌
△
△
得出AE
AF
=
，根据三线合一即可证明AD垂直平分EF ；
（2）根据三角形内角和可得
60
BAC
=
，根据含30度角的直角三角形的性质得出
2
AD
DE
=
，在Rt
DOE
△
中
30
OED
=
，则
2
DE
OD
=
，根据AD
AO OD
=
+
，得出
3
9
AO
OD
=
= ，即可求解．
【详解】（1）（1）解：
AD
平分
BAC
，DE
AB
⊥
，DF
AC
⊥
，
DE
DF
=
，
90
AED
AFD
=
=
又
AD
AD
=
Rt
Rt
AED
AFD
≌
△
△
（HL）
AE
AF
=
，
又
AD
平分
BAC
，
AD
垂直平分EF ；
（2）
120
B
C
+
=
，
在
ABC
中，
180
60
BAC
B
C
=
−−
=
，
AD
平分
BAC
，
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1
30
2
BAD
BAC
=
=
，
DE
AB
∵
⊥
，
90
AED
=
，
在Rt
AED
△
中，
60
ADE
=
，
∴
30
EAD =
∠
°，
∴
2
AD
DE
=
，
由（1）知AD垂直平分EF ，
90
DOE
=
，
在Rt
DOE
△
中，
90
30
OED
ODE
=
−
=
，
2
DE
OD
=
，
2
4
AD
DE
OD
=
=
，
又
AD
AO OD
=
+
，
3
AO
OD
=
，
3
OD =
，
3
9
AO
OD
=
=
