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2.3 等腰三角形的性质定理（第一课时）
题型一：垂直平分线与等边对等角求角度
1．（24-25 八年级下·江西景德镇·期中）如图，在
ABC
中，
54
ABC
=
，P 为
ABC
内一点，过点P 的直
线MN 分别交AB
BC
，
于点M，N，若M 在PA的垂直平分线上，N 在PC 的垂直平分线上，则
APC
的度
数为（ ）
A．104
B．106
C．117
D．136
2．（24-25 七年级下·江苏连云港·期中）如图，在
ABC
中，AC 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，垂足为点
E ，CD平分
ACB
，若
46
A
=
，则
B
的度数为（ ）
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2 /
A．25
B．30
C．42
D．44
3．（2025·福建漳州·模拟预测）在
ABC
中，
60
50
C
B
=
=
，
，线段AB 的垂直平分线DE 交BC 点D，
交AB 点E，连接AD，则
CAD
的大小是（ ）
A．15
B．20
C．25
D．30
4．（24-25 八年级上·广东广州·期中）如图，ABC
中，
30
A
=
，AB 的垂直平分线DE 交AC 于D ，交AB
于E ，则
BDC
的度数为（ ）
A．72
B．36
C．60
D．82
5．（24-25 七年级下·广东深圳·期中）如图，线段
，
AB
DE 的垂直平分线交于点C，且
72
ABC
EDC
=
=
，
112
AEB
=
，则
EBD
的度数为（ ）
A．168°
B．158°
C．148°
D．138°
6．（2025·广西梧州·二模）如图，在
ABC
中，AB
AC
=
，
40
A
=
，DE 是AB 的垂直平分线，分别交AB 、
AC 于点D，E ，则
EBC
的度数为（ ）
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3 /
A．40
B．35
C．32
D．30
题型二：角平分线与等边对等角求角度
1．（24-25 七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在
ABC
中，
,
AB
AC AD
CE
=
、
分别是
ABC
的中线和角
平分线．若
20
CAD
=
，则
ACE
的度数是（ ）
A．35
B．30
C．25
D．20
2．（24-25 八年级上·山东济南·期末）如图，在
ABC
中，AC 的垂直平分线交AB 于点D ，垂足为点E ，CD
平分
ACB
，若
48
A
=
，则
B
的度数为（ ）
A．25
B．30
C．36
D．40
3．
（2025 七年级下·全国·专题练习）如图：在
ABC
中，AB
AC
=
，BD平分
ABC
，交AC 于点D，若BD
BC
=
，
则
A
等于（ ）
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4 /
A．30
B．36
C．40
D．42
4．（24-25 八年级上·山东济宁·期末）如图，在
ABC
中，
31
C
=
，
ABC
的平分线BD交AC 于点D ，
如果DE 垂直平分BC ，那么
A
的度数为（ ）
A．87
B．62
C．90
D．93
5．（2025·安徽宿州·一模）如图，在
ABC
中，AB
BC
=
，DE 垂直平分BC ，CD平分
ACB
，则
B
的度
数为（ ）
A．25
B．30
C．35
D．36
6．（24-25 八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在
ABC
中，AB
AC
=
，AD，BE 分别是
ABC
的中线和角平
分线．若
20
CAD
=
，则
ABE
的度数为（ ）
A．70
B．45
C．40
D．35
题型三：三角形的外角与等边对等角相关求解
1．（24-25 八年级下·山东青岛·期中）钝角等腰三角形一条腰上的高是另一条腰长的一半，则等腰三角形底
角度数为（ ）
A．15
B．75
C．150
D．15或75
2．（24-25 七年级下·上海长宁·期末）如图，在
ABC
中，点D 在边BC 上，AB
AD
DC
=
=
，
58
B
=
，则
C
的度数为（ ）
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5 /
A．34
B．64
C．29
D．32
3．（2025·安徽六安·三模）把一副三角尺按如图所示摆放，两个三角尺有一个顶点重合，45角三角尺的直
角顶点恰好在另一个三角尺的直角边上，若BD
AB
=
，则
CFE
的度数是（ ）
A．65
B．70
C．75
D．80
4．（24-25 八年级下·山东青岛·阶段练习）等腰
ABC
纸片（AB
AC
=
）可按图中所示方法折成一个四边形，
点A 与点B 重合．点C 与点D 重合，请问原等腰
ABC
中的
B
= （ ）度．
A．60
B．70
C．45
D．72
5．（24-25 七年级下·山东青岛·阶段练习）如图，在PAB
中，A
B
=，M，N，K 分别是PA，PB，AB 上
的点，且AM
BK
BN
AK
=
=
，
，若
114
P
=
，则
MKN
的度数为（ ）
A．44
B．66
C．33
D．42
6．
（2025·河南安阳·三模）如图，ABC
和ECD
是一副三角板，
30
A
=
，
45
E
=
，CD与AB 交于点F ，
DE 与BC 交于点G ，FC
FA
=
，则
CGD
的度数是（ ）
A．80
B．75
C．65
D．60
7．（24-25 八年级下·四川雅安·期中）ABC
中，AD是高，E 是AC 的中点，且线段DE 平分
ABC
的周长，
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6 /
若
32
C
=
，则
B
=（ ）
A．64
B．32
C．58
D．36
8．（2025·陕西宝鸡·二模）如图，AB
CE
∥
，
20
C
=
，CE
DE
=
，则
A
=（ ）
A．40
B．30
C．20
D．10
题型四：三角形内角和与等边对等角相关求解
1．（2025·辽宁大连·一模）如图，在四边形ABCD中，AD
BC
∥
，
90
A
=
，DB
DC
=
，
35
ABD
=
，则
BDC
为（ ）
A．35
B．55
C．70
D．125
2．（2025·江苏南京·一模）如图，在ABC
中，点D 在BC 上，AB
AD
CD
=
=
，
56
BAD
=
，则
C
等于
（ ）
A．28
B．29
C．30
D．31
3．
（2025·陕西汉中·一模）如图，点A，B 在直线m 上，点C，D 在直线n 上，连接AC 、BD、BC ，BD
CD
=
，
m
n
∥，若
100
=
BDC
，
41
ACB
=
，则
BAC
的度数为（ ）
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7 /
A．101°
B．100
C．99
D．91
4．（2025·安徽宿州·三模）如图，直线1
2
l
l
∥，把一块含30角的直角三角板ABC 按如图所示的方式放置，
点A 在1l 上，点B ，D在2l 上，BD
BC
=
，若1
72
=
，则
2
的度数为（ ）
A．18
B．24
C．30
D．36
5．（24-25 八年级下·贵州毕节·期中）如图，AB
CD
∥
，M、N 为直线AB 上的两点，连接CN ，ME
CN
⊥
于
点E，点F 在CN 上，连接DF ，CF
DF
=
，若
70
EMN
=
，则
D
的度数为（ ）
A．20
B．30
C．40
D．45
6．（24-25 八年级下·辽宁丹东·期中）如图，在
ABC
中，
35
B
=
，
50
C
=
，AB 的垂直平分线EF 交AB
于点E ，交BC 于点F ，
FAC
的平分线AD交FC 于点D ，则
DAF
的度数为 ．
7．
（24-25 七年级下·上海松江·期末）如图，已知线段AB 、CD的垂直平分线交于点O，连接OA、OD 、AC 、
BD，若
76
BAO
CDO
=
=
，
118
ACD
=
，那么
ODB
的度数是 ．
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8．（24-25 七年级下·上海普陀·期末）在
ABC
中，边
AB
AC
、
的垂直平分线相交于点O，如果点O在边BC
上，那么
BAC
= °．
9．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，直线AB
CD
∥
，直线EF 分别交AB，CD 于点E，F，点G，H 分别在
射线FC，射线FD 上，且FE
FG
FH
=
=
．若
62
AEG
=
，则
EHD
的度数为 ．
10．（24-25 七年级下·上海嘉定·期末）如图，点O 是
ABC
各边垂直平分线的交点，连接BO
CO
、
．如果
72
BOC
=
，那么
A
= ．
题型五：等边对等角与尺规作图的结合
1．（24-25 九年级下·山东烟台·期中）如图，以点A 为圆心作弧，使弧与直线l 相交于点B 和点C ，再分别以
点A ，B 为圆心，以大于1
2 AB 的长度为半径作弧，两弧相交于点E 和点F ，直线EF 与直线l 相交于点D ，
若
38
BAC
=
，则
CAD
的度数 ．
2．（2025·贵州遵义·三模）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，分别以点
,
A B 为圆心，大于1
2 AB 的长为半径
画弧，两弧分别交于点
,
M N ，作直线MN 分别交
,
BC AB 于点
,
D E ，连接AD．若
30
B
=
，则
CAD
的
度数为 °．
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3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图，以
ABC
的顶点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交AC 于点D ，再
分别以C ，D 为圆心，大于1
2CD 的长为半径画弧，两弧交于点E ，作射线BE 交AC 于点F ．若
3
AB
AC
ABF
FBC
=
=
，
，则
A
的度数是 ．
4．（24-25 七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，以点A 为圆心作弧，使弧与直线l 相交于点B 和点C，再
分别以点
,
A B 为圆心，以大于1
2 AB 的长度为半径作弧，两弧相交于点E 和点F，直线EF 与直线l 相交于点
D，若
38
BAC
=
，则
CAD
的度数是 ．
5．（2025·湖南·模拟预测）如图，在已知的
ABC
中，按如下步骤作图：
①分别以点
,
B C 为圆心，大于1
2 BC 的长为半径作弧，两弧分别相交于点
,
M N ；
②作直线MN ，交AB 于点D ，连接CD．
若
,
64
CD
AC
ACD
=
=
，则
ACB
的度数为 ．
6．
（24-25 八年级下·河南驻马店·期中）如图，依据尺规作图的痕迹，若
25
ABD
=
，则
BDC
的度数为 ．
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7．（2025·湖南常德·一模）如图，直线1
2
l
l
∥，直线AB 分别交1l ，2l 于点A ，B ，
120
MAB
=
，以点B 为
圆心，BA长为半径画弧，若在弧上存在点C 使
20
ACB
=
，则1
的度数是 ．
8．（2025·湖南·一模）如图，在
ABC
中，CA
CB
=
，
80
C
=
，分别以点A，C 为圆心，大于1
2 AC 的长
为半径作弧，两弧相交于M，N 两点，作直线MN 交AC 于点D，交AB 于点E，则
AED =
∠
．
题型六：等边对等角的简单证明
1．（24-25 八年级上·山东滨州·期中）如图，AO 平分
BAC
，CO
AB
⊥
，BO
AC
⊥
，垂足分别为D ，E ．求
证：
OBC
OCB
=
．
2．
（24-25 八年级上·辽宁大连·期末）如图，点E，B，C，F 在一条直线上，CF
BE
=
，AB
DC
ABC
BCD
=
=
，
，
AF 与DE 相交于点O，求证：
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(1)
A
D
=
；
(2)OE
OF
=
．
3．（24-25 八年级上·安徽合肥·期末）已知，在
ABC
中，点D 是AC 上一点，过点D 的直线交AB 于点E，
交BC 延长线于点F，点G 是AD上一点，连接GE 并延长交CB 延长线于点H，
2
EGC
A
= ，
2
GEF
F
=
．
(1)若
36
A
F
=
=
，求
BEF
的度数；
(2)若AE
CF
=
，DG
DE
=
，求证：AC
EF
=
．
4．（24-25 八年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，A
B
=
，AE
BE
=
，点D 在AC 边上，CED
AEB
=
，
AE 交BD于点F ．
(1)求证：
AEC
BED
△
△
≌
．
(2)求证：DE 平分
BDC
．
5．
（2025·陕西·模拟预测）如图，在
ABC
中，D 是BC 上一点，连接AD，AD是
BAC
的平分线，且AD
BD
=
，
P 是AD上一点，过点P 分别作PE
AB
、PF
AC
∥
交BC 于点
,
E
F PF
CD
=
、
．求证：EF
AC
=
．
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6．（24-25 八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，
ABC
中，AB
AC
=
，点D 为BC 的中点，过点D 分别
作DE
AC
⊥
于E
DF
AB
⊥
、
于F ．
(1)求证：DE
DF
=
；
(2)求证：AE
AF
=
．
7．（24-25 八年级上·浙江宁波·期末）如图，AB
AE
AC
AD
BAE
CAD
=
=
=
，
，
，点C 在DE 上．
(1)求证：BAC
EAD
≌
；
(2)若AE 平分
,
42
BAC
EAC
=
，求
BCE
的度数．
8．（24-25 八年级上·浙江台州·阶段练习）如图，在
ABC
中，AD是高线，AE 是角平分线，
80 ,
70
BAC
C
=
=
．
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13 /
(1)求
BAE
的大小．
(2)求证：DE
DC
=
．
题型七：等边对等角中的尺规作图（解答题）
1．（24-25 八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在
ABC
中，AB
AC
=
，
108
A
=
．
(1)用尺规作AB 的垂直平分线DE ，交BC 于点D ，交AB 于点E ，连接AD（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，求
DAC
的度数．
2．（24-25 八年级上·青海西宁·期中）如图，已知
ABC
，点D 在边BC 上，且DA
DC
=
．
(1)尺规作图：作出点D；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若
BAC
B
C
= +，且
2
B
C
= ，求
ADB
的度数．
3．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，已知
ABC
，AB
AC
=
，利用尺规作图法在AC 边上求作一点D ，连
接BD，使得
1
2
ABD
C
=
．（不写作法，保留作图痕迹）
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14 /
4．（24-25 八年级下·福建三明·期中）如图，在
ABC
中，
,
36
AB
AC
A
=
=
．
(1)在AC 上求作点D ，使AD
BD
=
（保留作图痕迹，不要求写作法）；
(2)在（1）的条件下，求
BDA
的度数．
5．（24-25 七年级下·福建厦门·期中）如图，O 是直线AB 上一点，OP 平分
AOC
，点M 是射线OC 上一
点．
(1)在直线AB 上方画一条射线OQ ，使得
90
POQ
=
．在射线OQ 上找一点N，使得
MON
MNO
=
．
(2)在（1）的条件下，判断MN 与AB 的位置关系，并说明理由．
6．（24-25 八年级下·福建宁德·期中）如图，
ABC
中，AB
BC
=
，
36
B
=
．
(1)求
BAC
的度数；
(2)在BC 边上求作一点D ，使AD
BD
=
（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；圆规仅用一次得3 分，圆
规使用多次得2 分）．
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15 /
7．（23-24 八年级下·甘肃兰州·期中）如图，在
ABC
中，
40
B
=
，
50
C
=
．
(1)通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线DF 是线段AB 的 ，射线AE 是
DAC
的 ；
(2)在（1）所作的图中，求
DAE
的度数．
题型八：利用等边三角形的性质求角度
1．（24-25 八年级下·陕西安康·期中）如图，ABC
与CDE
都是等边三角形，点A，D，E 在同一直线上，
连接BE ．若
2
BE = ，
8
AE = ，则CE 的长是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
2．（24-25 八年级下·河南·期末）已知：如图，D、E 分别是等边三角形ABC 两边AB 、AC 上的点，连接BE 、
CD，BE 与CD交于点O，
=
AD
CE ，则
BOD
的度数是（ ）
A．50
B．60
C．65
D．70
3．（24-25 八年级下·陕西西安·期中）如图，在等边
ABC
中，AD为BC 边上的中线，点E 在AC 边上，连
接DE ，若AD
AE
=
，则
CDE
的度数为（ ）
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16 /
A．20
B．25
C．10
D．15
4．
（2025·浙江温州·三模）如图，点D ，E 分别在等边三角形ABC 的边AB ，AC 上，
=
AD
CE ，若
18
CBE
=
，
则
ADC
为（ ）
A．98
B．102
C．108
D．112
5．（2025·浙江嘉兴·二模）如图，直线m
n
∥，等边
ABC
的顶点B 在直线n 上，直线m 交AB 边于点D ．若
22
=
，则的度数为 ．
6．（24-25 九年级下·重庆·阶段练习）如图，
ABC
和
ADE
均为等边三角形，点,
,
B D E 在同一直线上，若
35
EBC
=
，则
ECA
的度数为 ．
7．（2025·重庆·模拟预测）如图，
ABC
和DEF
都是等边三角形，点
,
,
D E F 分别在边
,
,
AB BC AC 上，若
ABC
的周长为15,
2
AF =
，则BE 的长为 ．
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17 /
8．（2025·湖南常德·二模）如图，
ABC
为等边三角形，点D 是BC 边的中点，过点D 的直线与AC 相交于
点E，与AB 的延长线相交于点F，当AE
AD
=
时，则
F
= ．
题型九：利用等边三角形的性质求线段长度
1．（24-25 八年级下·广东佛山·期中）如果等边三角形的边长为3，则等边三角形的周长为 ．
2．（24-25 七年级下·上海黄浦·期末）如图，已知在等边
ABC
中，
4cm
AB =
，点D 在边BC 上，连接AD，
线段AD 的垂直平分线分别交边AB 、AC 于点E、F，如果BDE
的周长比CDF
的周长小1cm，那么BD =
cm．
3．（24-25 七年级下·江苏扬州·期中）如图，将边长为4 个单位的等边
ABC
沿边BC 向右平移2 个单位得
到DEF
，则四边形ABFD的周长为 ．
4．
（24-25 七年级下·全国·课后作业）如图，已知
ABC
是等边三角形，且边长为3，点D
E
，
分别在边AC
BC
，
上，将CDE
沿DE 所在的直线折叠．若点C 落在点C处，DC
EC
，
分别交边AB 于点F
H
，
，则阴影部
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18 /
分图形的周长等于 ．
5．
（24-25 八年级上·北京平谷·期末）如图，在等边ABC
中，
8
BC = ，点D 在AB 上，点F 在BC 上，且
3
BD =
，
DE
DF
=
，
60
EDF
=
，则CE 的长为
6．（24-25 八年级上·湖南衡阳·期中）如图，BD是等边三角形ABC 的中线，且
4cm
BD =
，延长BC 至E，
使CE
CD
=
，连接DE ，则DE 的长是 cm．
题型一：等边对等角中折叠问题
1．（24-25 八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在
ABC
中，
90
C
=
，将
ABC
沿DE 折叠，使点B 落在边AC
上的点F 处，若
57
CFD
=
，且
AEF
△
为等腰三角形，则
A
是度数为（ ）
A．49
B．52
C．52或41
D．49或38
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19 /
2．（24-25 八年级下·河南信阳·开学考试）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，AC
BC
，将
ABC
沿EF
折叠，使点A 落在直角边BC 上的D 点处，设EF 与AB ，AC 边分别交于点E 、点F ，如果折叠后CDF
与
BDE
均为等腰三角形，则
B
的度数为（ ）度．
A．30
B．45
C．60
D．30或45
3．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）把一个等腰三角形纸片折叠，使其底角的顶点与顶角的顶点重合，折痕所在
的直线与腰所在直线的夹角为40则这个等腰三角形纸片的底角的度数为 ．
4．（24-25 七年级下·山西太原·阶段练习）如图，在
ABC
中，
,
40
AB
AC
C
=
=
，点D 是边BC 上一动点
（点D不与点B 和点C 重合），将
ADC
△
沿AD所在直线折叠得到
ADE
，若
ADE
是等腰三角形，则
BAE
的度数为 ．
5．（24-25 八年级下·河南·阶段练习）如图，
ABC
中，AB
BC
=
，
84
ABC
=
，
ABC
的平分线与BC 的
垂直平分线相交于点O，点M 、N 分别在AB 、AC 上，点A 沿MN 折叠后与点O重合，则
ONC
的度数
为 ．
6．（24-25 八年级下·河南郑州·期末）如图，在
ABC
中，AB
AC
=
，点D 是AC 上一点，连接BD，将
BCD
△
沿BD折叠，点C 落在AB 上的点E 处，若
24
A
=
，则
ADE
的度数 ．
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20 /
7．（24-25 八年级上·湖北宜昌·期末）已知一张三角形纸片ABC（如图甲），其中AB
AC
=
，先将纸片折叠，
使点A 落到点B 点处，折痕为DE（如图乙），再将纸片沿过点B 的直线折叠，点C 恰好与点D 重合，折痕
为BF （如图丙）．原三角形纸片ABC 中，
BAC
的度数为 ．
8．
（24-25 八年级上·重庆大足·期末）如图，将一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠后，点C 落在点E 处，
连接BE 交AD于点F ，再将DEF
沿DF 折叠后，点E 落在点G 处，若DG 刚好平分
ADB
，那么
BFG
的
度数是 ．
9．
（23-24 八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，ABC
中，AB
AC
=
，
40
B
=
，点D 是BC 上一动点，将
ABD
△
沿AD折叠得到
ADE
，当
ADE
与
ABC
重叠部分是直角三角形时，
BAD
的度数为 ．
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21 /
题型二：等边对等角中最值问题
1．（24-25 八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在四边形ABCD中，
122
90
BAD
B
D
=
=
=
，
，
在BC
CD
、
上分别找一点M、N，当AMN
周长最小时，
MAN
的度数为（ ）
A．58
B．60
C．62
D．64
2．
（24-25 八年级上·湖北武汉·期中）如图，已知
35
AOB
=
，点P 是
AOB
内部一点，点M、N 分别是OA、
OB 上的动点．当PMN
的周长最小时，
MPN
的度数为（ ）
A．140
B．110
C．90
D．70
3．（23-24 八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，ABC
中，AB
AC
=
，
90
BAC
=
，点D 为AB 上一定点，
点E、F 分别为边AC
BC
、
上的动点，当DEF
的周长最小时，则
FDE
度数（ ）
A．45
B．60
C．90
D．135
4．（24-25 八年级上·湖北武汉·期中）在
ABC
中，AC
BC
=
，
90
ACB
=
，D 、E 分别为边AB 、AC 上
的动点，且满足
=
AD
CE ，当CD
BE
+
最小时，
CDB
的度数为（ ）
A．60
B．67.5
C．75
D．90
5．
（24-25 八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在五边形ABCDE 中，
146
BAE =
∠
，
90
B
E
= =
，AB
BC
=
，
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22 /
AE
DE
=
．在BC ，DE 上分别找一点M ，N ，使得AMN
的周长最小时，则
AMN
ANM
+
的度数为（ ）
A．68
B．76
C．84
D．96
6．（24-25 八年级上·陕西商洛·期末）如图，点P 在
MON
内，
150
MON
=
，OM
ON
、
的垂线PA
PB
、
相
交于点P，E、F 分别是AP
PB
、
上的动点，连接OE
OF
EF
、
、
，当EOF
的周长最小时，
EOF
的度数为
．
7．（24-25 七年级下·上海·阶段练习）如图，等腰
ABC
，AB
AC
=
，
70
BCA
=
，AD
BC
⊥
于点D，点P、
Q 分别为AD
AB
、
上的动点，联结BP
PQ
、
，当BP
PQ
+
最小时，
PBD
= ．
8．（24-25 八年级下·陕西西安·期中）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
A
=
，
40
B
=
，点M，N 为AB 边上的
两个定点，点P，Q 为
,
AC BC 边上的两个动点．在点P，Q 运动过程中，当四边形MNPQ 的周长最小时，
NPQ
MQP
+
的大小为 ．
9．（24-25 八年级上·湖北武汉·期末）如图，在等腰
ABC
中，AB
AC
=
，
116
BAC
=
，点D，E 分别为
边
,
AB BC 上的动点，且AD
BE
=
，连接
,
AE CD ，当AE
CD
+
的值最小时，
AEB
的大小是 ．
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23 /
题型三：等边三角形的性质中多结论问题
1．（24-25 八年级上·新疆伊犁·期中）如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别
作正三角形ABC 和正三角形CDE 、AD与BE 交于点O，AD与BC 交于点P ，BE 与CD交于点Q ，连接
PQ ．以下五个结论：①AD
BE
=
；②AP
BQ
=
；③
60
AOB
=
；④DE
DP
=
；⑤CPQ
是正三角形．其
中正确的结论有（ ）
A．①②③⑤
B．①③④⑤
C．①②⑤
D．②③④
2．（24-25 七年级下·广东揭阳·期末）如图，ABC
的三条边相等，三个内角也相等，且AD
BF
CE
=
=
，连
接DE ，DF ，EF ，CD与BE交于H 点，以下结论：①ADE
BFD
≌
；②BDE
与
CFD
△
的面积相等；
③BE
CD
=
；④
60
EHC
=
．其中正确的是（ ）
A．①②
B．③④
C．②③④
D．①②③④
3．（24-25 七年级下·上海·期末）如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A，E 重合），在AE 同侧分别作等边
ABC
和等边ECD
，AD与BE交于点O，AD与BC 交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ ．以下结论
不正确的是（ ）
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24 /
A．AD
BE
=
B．DE
DP
=
C．AP
BQ
=
D．
60
AOB
=
4．（24-25 八年级上·新疆巴音郭楞·期末）如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧
分别作等边三角形ABC 和等边三角形CDE ，连接AD，BE ，AD与BE 交于点O，AD与BC 交于点P ，BE
与CD交于点Q ，连接PQ ．给出下列结论：①AD
BE
=
；②
50
AOB
=
；③APC
BQC
≌
．其中正确的
有 ．（填序号）
5．（24-25 七年级下·吉林长春·期中）如图，A，C，B 三点在同一条直线上，
DAC
△
和EBC
都是等边三角
形，AE ，BD分别与CD，CE 交于点M ，N ，有如下结论：①
ACE
DCB
≌
；②
DAE
ABD
=
；③AC
DN
=
；
④
=
EM
BN其中正确结论的是（填序号） ．
6．（24-25 八年级下·河北保定·期中）如图，ABC
和CDE
都是等边三角形，连接AD、BE 交于点P，AD、
BC 与BE 、CD分别交于M、N，则下列说法中：①AD
BE
=
；②
60
APB
=
；③当A、C、E 三点共线
时，CM
CN
=
；④点C 在
APE
的角平分线上．正确的有 ．
7．（24-25 八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，
ABC
中，
A
ACB
=
，CP 平分
ACB
，BD
CD
，
分别
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是
ABC
的两外角的平分线，下列结论中：①CP
CD
⊥
；②
1
2
P
A
=
；③BC
CD
=
；④
1
90
2
D
A
=
−
；
⑤PD
AC
∥
．其中正确的结论是 （直接填写序号）．
题型四：等边对等角中综合证明题型
1．（24-25 七年级下·内蒙古包头·期中）如图，在
ABC
中，AB
AC
=
，点D 是直线BC 上一点（不与B ，C
重合），以AD为一边在AD的右边作
ADE
，使AD
AE
DAE
BAC
=
=
，
，连接CE ．
(1)如图1，当点D在线段BC 上时，如果
90
BAC
=
，
①求证：
ABD
ACE
≌
△
△
；
②
BCE
的度数为___________；
(2)设
BAC
BCE
=
=
，
．
①如图2，当点D 在线段BC 上移动时，
，
之间有怎样的数量关系？请说明理由：
②当点D在线段BC 的反向延长线上移动时，，之间有怎样的数量关系？请直接写出结论．
2．（2025·山东济宁·一模）（1）如图①，在
ABC
中，若
10
AB =
，
6
AC =
，则BC 边上的中线AD的取值
范围是_____；
（2）如图②，在
ABC
中，D 是BC 边上的中点，DE
DF
⊥
于点D
DE
，
交AB 于点E
DF
，
交AC 于点F，
连接EF ，求证：BE
CF
EF
+
；
（3）如图③，在四边形ABCD中，
180
B
D
+
=
，CB
CD
=
，
140
BCD
=
，以C 为顶点作一个70角，
角的两边分别交AB ，AD于E，F 两点，连接EF ，探索线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系，并加以证明．
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26 /
3．
（24-25 八年级上·湖北武汉·期末）（1）已知：如图1，等腰
ABC
中，AB
AC
=
，
90
BAC
=
，CD
AB
∥
，
P 为BC 边上一点，过点P 作AP
PE
⊥
，PE交直线CD于点E．求证：AP
PE
=
；
（2）如图2，等腰
ABC
中，AB
AC
=
，CD
AB
∥
，P 为BC 边上一点，过点P 作
APE
BAC
=
，PE交
直线CD于点E．求证：AP
PE
=
；
（3）如图3，
ABC
中，直线DF 过点C，BC 平分
ACF
，P 为BC 边上一点，连接AP ，若
ACP
的度数
为，
CAP
的度数为，且0
90
+
，则直线DF 上必有一点E，使得AP
PE
=
，请计算
APE
= ．（用
,
的代数式表示）
4．（24-25 八年级上·河南三门峡·期末）已知Rt
ABC
△
中，AB
AC
=
，点D 为直线BC 上的一动点（点D 不
与点B、C 重合），以AD为边作Rt ADE
，AD
AE
=
，连接CE ．
(1)发现问题
如图1，当点D 在边BC 上时．
①请写出BD和CE 之间的数量关系为______，位置关系为______；
②求证：CE
CD
BC
+
=
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(2)尝试探究
如图2，当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，请写出BC 、CE 、CD之间存在的数量关系并说明
理由．
(3)拓展延伸
如图3，当点D 在CB 的延长线上且其他条件不变时，若
6
BC =
，
2
CE =
，求线段CD的长．
5．（24-25 八年级上·广西崇左·期末）如图，
ABC
中，AB
AC
=
，
90
BAC
=
，点P 是BC 上的一动点，
AP
AQ
=
，
90
PAQ
=
，连接CQ ．
(1)求证：CQ
BC
⊥
；
(2)当点P 在什么的位置时，ACQ
是直角三角形？请说明理由．
6．（24-25 八年级上·山西朔州·期中）如图，在
ABC
中，AC
BC
．
(1)作出边AC ，BC 的垂直平分线m ，n ，并分别与边AB 交于点D ，E ．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，
不写作法，标明字母）
(2)连接CD，CE ．
①若
8
AB =
，则
DCE
△
的周长为______．
②若
135
ACB
=
，求
DCE
的度数．
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7．（24-25 八年级上·河北邢台·期中）在
ABC
中，AB
AC
=
，点D 是射线CB 上的一动点（不与点B ，C 重
合），以AD为一边在AD的右侧作
ADE
，使AD
AE
=
，
DAE
BAC
=
，连接CE ．
(1)如图①，当点D在线段CB 上，
90
BAC
=
时，那么
DCE
=_____
(2)设
BAC
=
，
DCE
=
．
①如图②，当点D 在线段CB 上，
90
BAC
时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论．
②如图③，当点D 在线段CB 的延长线上，
90
BAC
时，请将图③补充完整，并直接写出此时与之
间的数量关系（不需证明）．
1．（24-25 七年级下·重庆·期末）如图，在
ABC
中，AD
BD
BC
=
=
，若
35
A
=
，则
DBC
等于（ ）
A．30
B．35
C．40
D．45
2．（河南省焦作市2024-2025 学年七年级下学期6 月期末数学试题）如图，已知ABC
，按以下步骤作图：
①分别以B ，C 为圆心，以大于1
2 BC 的长为半径作弧，两弧相交于两点M ，N ；②作直线MN 交AB 于
点D ，连接CD．若CD
AC
=
，
50
A
=
，则
ACB
的度数为( )
A．105
B．100
C．95
D．90
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3．（24-25 八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在
ABC
中，
114
APC
=
，P 为
ABC
内一点，过点P 的直
线MN 分别交AB 、BC 于点M 、N ． 若M 在PA的垂直平分线上，N 在PC 的垂直平分线上，则
ABC
的
度数为 （ ）
A．48
B．52
C．62
D．66
4．
（24-25 八年级下·广东揭阳·期中）如图，在
ABC
中，D ，E 为BC 边上两点，且满足AB
BE
=
，AC
CD
=
，
连结AD，AE ．若
=110
BAC
，则
DAE
的度数为（ ）
A．45
B．40
C．35
D．30
5．（2025·吉林长春·模拟预测）数学综合实践课上，数学兴趣小组根据等腰三角形的性质联想到，一个三角
形中，如果一条边比另一条边长，那么长边所对的角大于短边所对的角．如图，在
ABC
中，AB
AC
，
下面操作不能说明
C
B
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．
（2025·山东滨州·二模）图1是实验室利用过滤法除杂的装置图，图2是其简化示意图，在图2中，若AB
CD
∥
，
AC
OD
∥
，
,
46
OD
OC
BAC
=
=
，则
DOC
的度数为（ ）
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A．88
B．90
C．80
D．92
7．（24-25 七年级下·重庆·期末）如图，在
ABC
中，AF 平分
BAC
，AC 的垂直平分线交BC 于点E，交
AC 于点D，
69
B
=
，
18
FAE
=
，则
C
的度数为 ．
8．（24-25 八年级下·陕西西安·期中）如图，在
ABC
中，BD平分
ABC
，BC 的中垂线交BC 于点E，交
BD于点F，连接CF ．若
75
A
=
，
25
ABD
=
，则
ACF
= ．
9．（24-25 七年级下·江西抚州·期末）如图，在
ABC
中，
40
B
=
，
30
C
=
．点D 在线段BC 上运动．连
接AD，当
ABD
△
是等腰三角形时，则
ADC
△
中最大内角的度数是 ．
10．（24-25 八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在第1 个
1A BC
中，
30
B
=
，
1AB
CB
=
；在边
1A B 上任
取一点D，延长
1
CA 到点
2
A ，使
1
2
1
A A
A D
=
，连接
2
A D，得到第2 个
1
2
A A D
；在边
2
A D上任取一点E，延长
1
2
A A 到
3
A ，使
2
3
2
A A
A E
=
，得到第3 个
2
3 ,
A A E
△
按此作法继续下去，则第2023 个三角形的底角度数
是 ．
11．（2025·新疆·模拟预测）如图，在
ABC
中，
90
ACB
=
，AC
BC
，将三角形沿某条直线折叠，使点
A 落在边BC 上的D点，折痕与边AB 、AC 分别交于点E 、F ．若折叠后的CDF
为等腰三角形，BDE
为
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直角三角形，则
B
= ．
12．（24-25 七年级下·陕西西安·期末）如图，在
ABC
中，AB 的垂直平分线EF 交BC 于点E ，交AB 于点
F
D
，
为线段CE 的中点，BE
AC
=
．
(1)判断AD与BC 的位置关系，并说明理由；
(2)若AB
BC
=
，求
C
的度数．
13．（24-25 八年级上·重庆南岸·开学考试）如图，在等腰
ABC
中，BA
BC
=
，点F 在AB 边上，延长CF 交
AD于点E，BD
BE
=
，
ABC
DBE
=
．
(1)试说明：ABD
CBE
≌
；
(2)若
30
ABC
=
，
45
AFC
=
，求
EAC
的度数．
14．（24-25 八年级下·陕西西安·期中）如图，在
ABC
中，AB
AC
=
，AC 的垂直平分线交BC 于点D，交AC
于点E，连接AD．
(1)若
25
B
=
，则
BAD
=_______．
(2)若
10
AC =
，
14
BC =
，求
ABD
△
的周长．
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15．（24-25 七年级下·江苏扬州·期末）如图，在
ABC
中，
90
C
=
，
30
A
=
，请用无刻度直尺和圆规
作图．（标注字母，保留作图痕迹，不要求写作法）
(1)图①，在边AC 上找一点D ，使得
60
BDC
=
；
(2)图②，E 是AB 上一点，在边AC 上作点F ，使
2
EFC
A
= ．
16．（24-25 七年级下·河南周口·期末）如图，在
ABC
中，边AB 的垂直平分线1l 交BC 于点D ，边AC 的垂
直平分线2l 交BC 于点E ，1l 与2l 相交于点O，
ADE
的周长为9cm．
(1)求线段BC 的长；
(2)若
118
BAC
=
，求
DAE
的度数；
(3)连接OA，OB ，OC ，若
OBC
△
的周长为21cm ，求线段OA的长．
17．（24-25 七年级下·上海嘉定·期末）小海在解答练习册P37 第4 题后进行了拓展探究：
如图1，在
ABC
中，
BAC
的平分线AD交边BC 于点D，AE
BC
⊥
，垂足为E．
小海猜想：通过
C
的度数可求出
CAE
的度数，再结合
B
C
、
的度数可求出
CAD
的度数，从而确定
B
C
、
与
DAE
之间存在固定的数量关系．他尝试代入了几组
B
C
、
的度数后(
)
B
C
，验证了这
一猜想．
(1)请补全下表：
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B
36
30
24
……
C
44
60
72
……
DAE
4
______
______
……
(2)如图2，若
B
=
，
(
)
C
=
，那么
DAE
=______．（用含、的代数式表示），并加以证明；
(3)在（2）的基础上作AD的垂直平分线，交BC 的延长线于点F，连接AF ．如图3，如果
64
ACB
=
，
请直接写出
BAF
=______．
