文档文本内容
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2.2 平方根与立方根
课标要点
1.理解平方根、算术平方根、立方根的定义与符号表示，明晰平方与开平方、立方与开
立方互为逆运算，熟练掌握平方根与立方根的各项基本性质。
2.能够准确计算常见完全平方数、完全立方数的方根，会用夹逼法估算无理数范围、比
较无理数大小，会借助计算器完成方根近似计算，提升运算能力。
3.通过类比平方根与立方根的探究过程，掌握类比推理思想，利用算术平方根双重非负
性解决简单求值问题，增强符号意识与逻辑推理能力。
4.能结合正方形面积、正方体体积等实际情境建立数学模型，运用方根运算解决基础实
际问题，培养数学应用意识与严谨规范的解题习惯。
学习重难点
重点：
1.掌握平方根、算术平方根、立方根的概念、符号表示及基本性质，能正确区分平方根
与算术平方根。
2.会利用平方、立方的互逆运算，熟练求常见完全平方数、完全立方数的平方根和立方
根。
3.掌握无理数的简单估算方法，能够比较无理数的大小，具备基本的实数运算能力。
难点：
1.理解并运用算术平方根的双重非负性解决求值、取值范围类题型。
2.准确辨析平方根与立方根的性质差异，理解 “负数无平方根、负数有立方根” 的本
质区别。
3.灵活运用方根知识结合实际情境建立数学模型，解决面积、体积相关的实际应用问题。
第二章
实数
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知识点
平方根
定义：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2 = a，那么这个数x就叫做a的平方根，也叫作二次方根。求
一个数a的平方根的运算，叫做开平方，平方与开平方互为逆运算。
公式：若𝑥2 = 𝑎，则𝑥= ±√𝑎(𝑎≥0)
随学随练
1．16 的平方根为（ ）
A．2
B．±2
C．4
D．±4
2．−2的平方根是（ ）
A．−√2
B．√2
C．±√2
D．不存在
3．4 的平方根是（ ）
A．±2
B．2
C．−2
D．±√2
4．√16 =（ ）
A．4
B．±4
C．−4
D．±8
5．√4的值等于________．
6．13 的平方根是___________．
7．已知2𝑎+ 1是9 的平方根，则𝑎的值是__________．
知识点
算术平方根
基本概念：利用平方运算检验平方根计算结果是否正确，将所求根平方，若结果等于被开方数，则计算正
确。
公式：算术平方根：√𝑎(𝑎≥0)；双重非负性：𝑎≥0，√𝑎≥0
特别提醒
只有非负数a才有平方根，被开方数a必须满足a ≥0，负数不存在平方根，开平方运算在实数范围内仅对
非负数有效。
易错提醒
易忽略正数有两个平方根，做题时只写出正平方根，漏掉负平方根；误认为任意实数都可以开平方，出
现对负数开平方的错误写法。
教材延伸
利用平方运算检验平方根计算结果是否正确，将所求根平方，若结果等于被开方数，则计算正确。
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随学随练
1．4的算术平方根是（ ）
A．±2
B．±√2
C．−2
D．2
2．
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16的算术平方根是_________．
知识点
平方根的性质
定义：①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0 只有一个平方根，就是0 本身；③负数没有平方根。
公式：若正数𝑎的两个平方根为𝑚、𝑛，则𝑚+ 𝑛= 0，𝑚⋅𝑛= −𝑎
随学随练
1．𝑎−1与3 −2𝑎是某正数的两个平方根，则实数𝑎的值是（ ）
A．4
B．−
4
3
C．2
D．－2
2．已知一个正数的两个不同的平方根分别是2𝑎+ 1和3 −4𝑎，则这个正数是（ ）
A．25
B．5
C．−5
D．2
3．若3 −2𝑎与𝑎−1是同一个数的两个不相等的平方根，则这个数是（ ）
特别提醒
符号√a自带非负属性，只要式子中出现√a，无需额外标注正负，它天然代表非负数；算术平方根是平方根的一
部分。
易错提醒
把√16的值当成16 的平方根；混淆平方根与算术平方根的表述，题目要求算术平方根却写出±√a；忽略被开方
数取值范围，在a < 0时强行化简√a。
教材延伸
算术平方根的双重非负性是八年级实数章节核心隐藏考点，常和绝对值、完全平方组合出题，是后续根式化简、
二次根式学习的基础。
特别提醒
已知一个正数的其中一个平方根，直接取它的相反数就能得到另一个平方根；0 是唯一一个平方根与算术
平方根相等的数。
易错提醒
误以为正数的平方根一正一负，相加不为 0；认为 0 有两个平方根；做题时看到平方根就默认一定有两
个，忽略 0 的特殊情况
教材延伸
利用“正数两个平方根互为相反数”可以建立方程，求解含字母参数的取值，是填空高频考题。
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A．−1
B．1
C．2
D．4
4．已知√2𝑚+ 1的平方根是±3，则𝑚的值为_____．
5．正数𝑎的两个平方根分别是2𝑏−3和3𝑏−7，则𝑎=___________；𝑏=_______________．
知识点
算术平方根恒等变形公式
概念：根据算术平方根与平方的互逆关系，推导出两条核心化简公式，用于代数式化简与计算。
公式：(√𝑎)2 = 𝑎(𝑎≥0)；√𝑎2 = |𝑎| = { 𝑎
(𝑎≥0)
−𝑎
(𝑎< 0)
随学随练
1．下列各式中，正确的是（ ）
A．−√(−3)2 = −3 B．±√32 = 3
C．(√−3)
2 = −3
D．√32 = ±3
2．下列算式中，正确的是（ ）
A．√25 = ±5
B．±√9 = 3
C．√(−7)2 = 7
D．−√8 = −4
知识点
立方根
定义：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3 = a，那么这个数x叫做a的立方根，也叫三次方根；求一
个数立方根的运算叫做开立方，立方与开立方互为逆运算。
公式：若𝑥3 = 𝑎，则𝑥= √𝑎
3
，𝑎可取全体实数
特别提醒
(√a)2成立前提是a ≥0，若无此条件，式子无意义；√a2化简结果一定是非负数，必须借助绝对值完成化简。
易错提醒
不加限制条件直接写(√a)2 = a；化简√a2时直接写成a，不讨论a正负，丢掉绝对值符号，造成符号错误。
教材延伸
此两条公式贯穿整个初中二次根式章节，是根式化简、取值范围、化简求值必考公式，也是中考计算高频
考点。
特别提醒
立方根的根指数3 绝对不能省略，省略后就变成算术平方根，含义完全改变；全体实数均存在唯一立方根，无取值
限制。
易错提醒
书写立方根时丢掉根指数3；类比平方根，认为负数没有立方根；认为一个数的立方根有两个，错误添加正负号。
教材延伸
立方运算可以验证立方根，任意实数开立方后再立方，结果等于原数，可用于验算计算题。
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1．−
1
27的立方根是（ ）
A．−
1
3
B．±
1
3
C．
1
3
D．−3
2．| −64|的立方根是（ ）
A．±8
B．4
C．−4
D．16
3．下列计算正确的是（ ）
A．√(−2)3
3
= 2
B．√−0.064
3
= −0.4
C．(√−21
3
)3 = 21
D．−√8
1
8
3
= −2
1
2
4．64 的平方根的立方根（ ）
A．2
B．−2
C．±2
D．都不对
5．写出一个立方根不大于2 的整数：________．
6．计算：√−27
3
=______．
7．计算：√−
1
8
3
=_____．
知识点6 立方根的性质
定义：①正数的立方根是正数；②负数的立方根是负数；③0 的立方根是0；一个数的立方根符号与被开
方数符号完全一致。
公式：√−𝑎
3
= −√𝑎
3
；(√𝑎
3
)3 = 𝑎；√𝑎3
3
= 𝑎
随学随练
1．下列各式中，计算正确的是（ ）
A．√(−1)2 = −1 B．√(−1)3
3
= −1
C．√−12
3
= 1
D．√−(−1)5
5
= −1
2．下列等式：①√53
3
= 5；②√−5
3
= −√5
3
；③(−√5
3
)
3 = 5；④(√5
3
)
3 = 5，不成立的是________．（请填
写序号）
知识点7 平方根与立方根对比辨析
特别提醒
立方根不存在非负限制，被开方数正负均可；√−a
3
可直接把负号移出根号外，简化计算。
易错提醒
化简√−8
3
时得出2；混淆平方根与立方根性质，给正数立方根写出两个结果；化简√a3
3
多余添加绝对值。
教材延伸
利用√−a
3
= −√a
3
可把负被开方数转化为正数立方根计算，大幅简化负数立方根运算，是简便运算常用技
巧。
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定义：平方根仅对非负数有意义，根不唯一；立方根对全体实数有意义，根唯一，二者在存在条件、根的
个数、符号规则上完全不同。
随学随练
1．下列说法正确的是（ ）
A．1的平方根和立方根都是1
B．负数的平方根仍是负数
C．一个数的算术平方根比这个数小
D．两个数互为相反数，它们的立方根也互为相反数
2．下列说法中，正确的是（ ）
A．√16的平方根是±4
B．无理数就是开方开不尽的数
C．立方根等于它本身的数是±1 和0
D．实数包括有理数、无理数和零
3．下列说法正确的是（ ）
A．只有正数才有平方根
B．27的立方根是±3
C．√17是17的一个平方根
D．√16的算术平方根是4
4．下列说法正确的是（ ）
A．有理数和数轴上的点一一对应
B．任何实数都有立方根
C．实数分为正实数和负实数
D．若一个数的平方根等于它本身，则这个数是0或1
5．下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③1 的算术平方根是
±1；④−1没有立方根；⑤16 的平方根是±4，用式子表示是√16 = ±4；⑥√𝑎2 = 𝑎．其中正确的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
知识点8 特殊数的方根
特别提醒
根指数2 可省略，根指数 3 不可省略；平方根结果非负限定，立方根结果与被开方数同号。
易错提醒
做题时混用两类方根性质，把平方根规则套用在立方根上，或将立方根规则套用在平方根上。
教材延伸
考试常以选择题形式考查二者异同辨析，属于经典易错题，也是判断学生概念是否扎实的标尺。
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定义：部分特殊数字的平方根、算术平方根、立方根恰好等于自身。
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1．一个数的立方根等于它本身，且这个数的平方根也等于它本身，则这个数是（ ）
A．0
B．1
C．0 或1
D．0 或±1
2．一个数的立方根等于它的平方根，则这个数是（ ）
A．0
B．1
C．−1
D．±1，0
3．立方根等于它本身的数是（ ）
A．0
B．1
C．±1
D．0 或±1
4．立方根与它本身相同的数是（ ）
A．0 或±1
B．0 或1
C．0 或－1
D．0
5．有下列说法：
①平方根是它本身的数有1，0；
②算术平方根是它本身的数有1，0；
③立方根是它本身的数有−1，0，1；
④如果一个数的负的平方根等于它的立方根，那么这个数是−1或0．
其中正确的是（ ）
A．①②
B．①③
C．②③
D．③④
知识点9 无理数的估算（夹逼法）
定义：利用被开方数左右相邻的完全平方数或完全立方数，锁定无理数的取值区间，确定整数部分与小数
部分。
公式：若𝑛2 < 𝑎< (𝑛+ 1)2（𝑛为正整数），则𝑛< √𝑎< 𝑛+ 1
特别提醒
只有0 的平方根等于自身，1 的平方根是±1，不等于1；−1仅有立方根等于自身，不存在算术平方根。
易错提醒
错误认为1 的平方根是1；认为−1的算术平方根是1；记错立方根等于本身的数字，漏掉−1。
教材延伸
该组结论常在方程、参数求值题中作为隐藏条件使用，熟记可快速秒杀小题。
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1．下列选项中的整数，与√15最接近的是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
2．估计√77的值在（ ）
A．5 到6 之间
B．6 到7 之间
C．7 到8 之间
D．8 到9 之间
3．若n 为整数，𝑛< √50 < 𝑛+ 1，则n 的值为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
4．估计√23的值在（ ）
A．3 和4 之间
B．4 和5 之间
C．5 和6 之间
D．22 和24 之间
5．估算√26 + 1的值在（ ）
A．5 和6 之间
B．6 和7 之间
C．7 和8 之间
D．8 和9 之间
6．与√66最接近的整数是______．
7．根据以下表格里的数据：
𝑚
2.024
20.24
202.4
2024
20240
√𝑚≈
1.422
4.499
14.22
44.99
142.2
则√0.02024 ≈_____．
8．√0.214
3
≈0.5981，√2.14
3
≈1.289，则√2140
3
≈______．
知识点10 算术平方根双重非负性综合应用
定义：√a ≥0、a ≥0，结合三大非负数：平方A2 ≥0、绝对值|B| ≥0、算术平方根√C ≥0，若干个非负
数相加和为 0，则每一项都等于0。
公式：若√m + n2 + |p| = 0，则√m = 0，n2 = 0，|p| = 0，解得m = 0，n = 0，p = 0
特别提醒
估算时优先找相邻完全平方数，区间范围越小，估算精度越高；估算大小可统一平方后比较。
易错提醒
估算时找错相邻完全平方数；比较两个根式大小时，直接比较根号外数字而不平方，得出相反大小关系。
教材延伸
夹逼估算法是实数大小比较、无理数整数部分求解的核心方法，也是后续实数运算、根式近似计算的基
础。
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1．若(𝑥+ 2)2 + √𝑦−3 = 0，则𝑥+ 𝑦的平方根是（ ）
A．1
B．−1
C．±1
D．0
2．已知√𝑎−2 + |𝑏+ 2| = 0，则𝑎𝑏=（ ）
A．−4
B．−
1
4
C．4
D．
1
4
3．若|𝑥+ 2| + √𝑦+ 1 + (𝑧−3)2 = 0，则𝑥+ 𝑦+ 𝑧的值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
4．若实数𝑥，𝑦同时满足√𝑥+ 3 = 𝑦+ 2，𝑦2 = 9，则𝑥+ 𝑦=________．
5．如果式子√𝑎−1 + |𝑏+ 5| + (𝑐−2)2 = 0，那么
𝑏
𝑎+𝑐=______．
知识点11 开方在实际问题中的应用
定义：已知正方形面积求边长，使用算术平方根；已知正方体体积求棱长，使用立方根，建立几何量与开
方运算的数学模型。
公式：正方形面积S = a2，边长a = √S(S ≥0)；正方体体积V = b3，棱长b = √V
3
随学随练
1．一张长方形画纸的面积为40m2，且长与宽的比为5: 4．从中裁出一个正方形画纸，正方形画纸的边长
可以是（ ）
特别提醒
只有相加等于 0 时，才能判定每个非负数均为 0；若为相乘、相除，不适用此规律。
易错提醒
非负数之和为0 时，只令其中一项为0，其余忽略；题目隐藏被开方数内含字母，忽略a ≥0限制条件。
教材延伸
本知识点是本章重难点压轴小题必考题型，在单元测试、期中期末试卷中高频出现，属于必须熟练掌握
的核心解题模型。
特别提醒
实际几何长度为正数，因此面积开方只取算术平方根，不取负根；体积开立方无需取舍，直接得出棱长。
易错提醒
求解边长时写出正负两个答案，忽略长度不能为负的现实意义；单位不统一直接代入计算，造成结果错
误。
教材延伸
此类应用题是本章唯一综合应用题题型，承接几何与实数运算，为后续勾股定理计算打下运算基础。
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A．5.5
B．6
C．7
D．8
2．图1 是10 个边长为1 的正方形组成的图形纸，沿图2 所示的虚线剪开，再拼成图3 所示的大正方形，
则大正方形的边长是（ ）
A．3
B．3.5
C．10
D．√10
3．如图，在做浮力实验时，某学生用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯
中，并用一个量筒量得溢出的水的体积（溢出水的体积即为正方体的体积，忽略浸入水中的细线的体积）
为34cm3，由此可估计该正方体铁块的棱长位于（ ）两个相邻的整数之间
A．3 和4
B．4 和5
C．5 和6
D．6 和7
4．把一个长、宽、高分别为5cm，4cm，3cm的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，问锻造成的立方体铁
块的棱长为__________cm．
5．如图，夕夕同学想把一个用铁丝围成面积为900cm2的正方形改为面积为756cm2的长方形，且长和宽之
比为7: 3．
(1)求正方形的边长；
(2)请通过计算说明铁丝是否够用．
6．请根据如图所示的对话内容解答下列问题．
(1)求大正方体木块的棱长；
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(2)求截得的每个小正方体木块的棱长．小红的部分解答如下：
解：设截得的每个小正方体木块的棱长为𝑦cm，则截得的这8 个小正方体木块的总体积为_____cm3，由题
意得：_______．
请补全以上填空并继续完成小红的解答．
拓展
平方根、立方根中的运算能力
运算能力是本章最核心的数学素养，指学生能够依据平方根、立方根的定义、性质与运算法则，规范、准
确、灵活地完成开平方、开立方运算、根式化简、估算运算及混合运算。学生不仅要机械计算完全平方
数、完全立方数的方根，更要理解乘方与开方互逆运算的内在逻辑，明晰运算依据，减少盲目计算，逐步
形成严谨规范的运算习惯，完成从有理数运算到实数运算的思维过渡，为后续二次根式、实数混合运算、
勾股定理计算筑牢运算根基。
素养拓展要点
1.熟练运用恒等式(√a)2 = a(a ≥0)、√a2 = |a|、√−a
3
= −√a
3
进行代数式化简，规避符号错误与条件疏
漏；
2.借助夹逼估算方法，对无理数进行近似取值、大小比较，培养估算意识与合理估算能力；
3.在解方程、实际应用题运算中，能根据实际情境取舍运算结果，区分平方根双解与实际问题唯一正解，
提升运算的合理性。
活学活用
1．有一个正数，它的两个互不相等的平方根分别是a 和3𝑎−8；代数式3𝑎−𝑏−2的立方根等于它本身，
且3𝑎−𝑏−2 > 0；无理数√2的小数部分记作 c．
(1)求a， b， c 的值；
(2)比较√2
2 ，√𝑏
3 ，√2 −𝑐的大小，用“<”连接并说明理由．
2．根据下表回答下列问题：
𝑥
10
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
10.7
10.8
10.9
𝑥2
100
102.01
104.04
106.09
108.16
110.25
112.36
114.49
116.64
118.81
(1)104.04的算术平方根是 ，118.81的平方根是 ；
(2)若√𝑎介于10.3与10.4之间，请直接写出满足条件的正整数a；
(3)物体自由下落的时间t（单位：s）与下落高度h（单位：m）之间的关系是𝑡2 =
ℎ
4.9．现有一个物体从
5.2m高空自由下落，则该物体到达地面大概需要多少时间？（结果精确到0.01s）
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拓展
符号意识与推理能力素养
符号意识侧重学生理解√a、±√a、√a
3
三类根式符号的数学含义，读懂符号自带的取值限制与正负属性，能
用符号简洁表达数量关系与运算规则；推理能力依托类比推理、归纳推理展开，通过类比平方根探究过程
自主推导立方根性质，归纳两类方根的异同，利用算术平方根双重非负性、平方根互为相反数等性质完成
逻辑推导、参数求值，完成从具象数字计算到抽象符号推理的进阶，发展演绎推理思维。
素养拓展要点
1.能根据根式符号判断被开方数的取值范围，依据√a的非负性推理字母隐含限制条件；
2.借助类比推理，对比平方根、立方根在存在条件、根的个数、符号特征上的区别，构建系统化知识逻
辑；
3.针对“多个非负数之和为0” 题型，依靠逻辑推理得出每一项均为 0 的结论，完成参数求解，锻炼严谨的
逻辑推导能力。
活学活用
1.小明在学完立方根后，不知道如何在不使用计算器的情况下求出50653的立方根．同桌小华提醒他可以
按照教材上数学家华罗庚的方法口算立方根，于是他们进行了下面的探究：
①首先进行估算：因为103 = 1000，1003 = 1000000，1000 < 50653 < 1000000，所以10 < √50653
3
<
100，所以能确定√50653
3
是两位数．
②其次观察立方数：13 = 1，23 = 8，33 = 27，43 = 64，53 = 125，63 = 216，73 = 343，83 = 512，
93 = 729．由50653的个位上的数是3，73 = 343，确定√50653
3
的个位上的数是7．
③接着划去50653后面的三位653得到数50，而33 = 27，43 = 64，27 < 50 < 64，所以27000 < 50653 <
64000，所以30 < √50653
3
< 40，所以√50653
3
的十位上的数是3，于是得到√50653
3
= 37，即50653的立
方根是37．
请你根据小明和小华探究的方法完成下列问题：
(1)填空：1331的立方根是一个______位数，其个位上的数是_______；
(2)根据上面的步骤，请计算79507的立方根，并书写详细过程．
2．如图①是一张面积为400 平方厘米的正方形纸片，小丽想沿着边的方向裁出一块面积为300 平方厘米
的长方形纸片．
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(1)请帮小丽设计一种可行的裁剪方案，并在图①的正方形中画出剪裁方案并标出相应数据．
(2)若使长方形（长方形的边和原正方形的边平行或重合）的长宽之比为3: 2，小丽能用这块纸片裁出符合
要求的纸片吗？若能，请帮小丽设计一种裁剪方案；若不能，请简要说明理由．
(3)小丽做了如下探究活动：
【活动1】在学习实数与数轴时，我们学习了将两个边长为1 的正方形分别沿对角线剪开，得到四个等腰
直角三角形，即可拼成一个大正方形（如图②所示），通过等面积的变形我们知道，这个正方形的面积为
2．
我们可以得出图②中拼成后的正方形的边长为________．
【活动2】下图中阴影所示的两个图形（每个小方格的边长为1），如果它们都可以重新剪开，重新拼成正
方形，请参照示例图形，在两个图形中（图③、图④）分别画出裁剪的痕迹，并在空白的网格中画出拼接
后的图形．
拼成的两个正方形边长相等吗？如果相等，边长是多少；如果不相等，请分别写出每个拼成后的正方形的
边长．
题型
求平方根、算术平方根
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▌例1 49 的算术平方根是（ ）
A．±7
B．−7
C．7
D．23
▌例2 √16的平方根是（ ）
A．4
B．±4
C．±2
D．−2
▌对点练1-1．√9的值是（ ）
A．±3
B．±√3
C．3
D． −3
▌对点练1-2．下列计算正确的是（ ）
A．√(−5)2 = −5 B．√52 = 5
C．√52 = ±5
D．√(−5)2 = ±5
▌对点练1-3．25 的算术平方根是__________．
题型
求立方根
▌例164的立方根是（ ）
A．8
B．√8
C．4
D．2
▌对点练1-1 计算√−
8
27
3
的结果是______．
▌对点练1-2 化简：√8
3
−2 =_______．
【详解】解：√8
3
−2 = 2 −2 = 0 ．
题型
平方根性质运用
解题贴士
牢记平方与开平方互为逆运算，先思考哪个数的平方等于被开方数；求平方根必须写出±√a两个结果，
求算术平方根只写√a非负结果；对于小数、分数，先分别对分子分母开方再化简，最终结果化为最简形
式，切记负数不存在平方根，无需作答.
解题贴士
利用立方与开立方互逆运算，直接寻找立方后等于被开方数的数；利用公式√−a
3
= −√a
3
，直接将根号内
负数转化为正数开立方，简化负数立方根计算；立方根仅有唯一结果，无论被开方数正负，均不用添加
正负号，根指数 3 书写时不可省略.
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▌例1 已知一个正数的平方根分别为2𝑥+ 1和3 −4𝑥，则x 的值为（ ）
A．25
B．16
C．8
D．2
▌对点练1-1 若一个正数𝑚的两个平方根分别是𝑎−5和𝑎+ 3，则√𝑚的算术平方根为（ ）
A．√2
B．2 或−2
C．4
D．2
▌对点练1-2 若−
√3
2𝑏+1
和√𝑎−1
2
都是3 的平方根，则𝑎+ 𝑏=______．
题型
利用算术平方根双重非负性求值
▌例1 若√𝑥+ 3 + (𝑦−2)2 = 0，则𝑥𝑦的平方根是（ ）
A．−3
B．3
C．±3
D．2
▌对点练1-1 等腰三角形的两条边长𝑥，𝑦满足√𝑥−4 + |𝑦−2| = 0，则其周长为（ ）
A．8
B．10
C．8 或10
D．无法确定
▌对点练1-2 已知√𝑥−2 + |𝑦−6| = 0，则𝑥𝑦的值是___________．
题型
恒等公式化简
▌例1√(−2)2 =_________．
▌对点练1-1 计算：√(−3)2 =_____．
解题贴士
牢牢抓住核心性质：一个正数的两个平方根互为相反数，因此两个平方根相加等于0，列出一元一次方
程求解参数；求出参数后代回平方根，将平方根平方即可算出原正数，注意0 只有一个平方根，该性质
不适用于0.
解题贴士
熟记初中三大非负数：√a ≥0、a2 ≥0、|a| ≥0，若多个非负数相加结果为 0，则每一项必须单独等于
0；分别令根号内式子、平方项、绝对值内部代数式等于0，依次解出各个未知数，最后代入代数式完成
整体求值，解题第一步优先锁定被开方数必须≥0 的隐藏限制条件.
解题贴士
严格套用固定公式：(√a)2 = a(a ≥0)；√a2 = |a|，化简二次根号下平方式必须先写绝对值，再根据字
母取值范围去掉绝对值符号；立方根公式√a3
3
= a无需判断正负，直接化简即可，不用添加绝对值，区
分平方根与立方根化简公式的巨大差异，避免混用出错.
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▌对点练1-2√−
1
64
3
的绝对值是________．
题型
无理数夹逼估算
▌例1 估计√6的值应在（ ）
A．0 和1 之间
B．1 和2 之间
C．2 和3 之间
D．3 和4 之间
▌对点练1-1 估计√11的值在（ ）
A．1 到2 之间
B．2 到3 之间
C．3 到4 之间
D．4 到5 之间
▌对点练1-2 若整数𝑥满足√19 < 𝑥< √27，则𝑥等于（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
题型7 利用开方解方程
▌例1 求下列各式中的𝑥的值：
(1)9𝑥2 = 49；
(2)(𝑥−1)3 = 0.125．
▌对点练1-1 求下列各式中x 的值：
(1)(𝑥−1)2 = 4；
(2)64(𝑥+ 1)3 = −125．
▌对点练1-2 计算：
(1)(𝑥−1)3 = −8；
(2)(𝑥+ 1)2 = 9．
题型8 双层开方陷阱易错题
解题贴士
使用夹逼法，先找出与被开方数相邻的两个完全平方数，锁定无理数的取值区间，确定整数部分；小数
部分=原无理数−整数部分；比较根式大小时，可将两个数同时平方，只需比较平方后的数字大小即可，
平方后数值越大，原数越大.
解题贴士
整体换元思想，把括号内代数式看成整体；若方程为平方形式，整体开方后必须带上正负号，得到两个
一元一次方程，分别求解得出两个解；若为立方形式，整体直接开立方，仅有唯一解，不需要正负号；
当平方等式右侧为负数时，方程无实数解，立方等式右侧任意实数均有解.
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▌例1√81的平方根是________，
▌对点练1-1√225的立方根是___________．
▌对点练1-2√162的平方根是______．
题型9 平方根与立方根概念综合辨析
▌例1 下列说法正确的是（ ）
A．√9的平方根是±3
B．8 的立方根是±2
C．4 的平方根是2
D．−√2是2 的平方根
▌对点练1-1 下列说法正确的是（ ）
A．正数有两个互为相反数的立方根
B．负数没有立方根
C．一个数的立方根的符号与这个数的符号相同
D．2的立方根是±√2
3
▌对点练1-2 下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③立方根等于
它本身的数有2 个；④16 的平方根是±4，用式子表示是√16 = ±4；其中正确的是（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
题型10 与几何问题的实际应用
解题贴士
分层分步计算，不可一步直接作答；先计算外层根号的数值，再对计算得出的结果二次求算术平方根或
平方根，极易直接把外层结果当成最终答案，忽略二次开方要求，做题时务必看清题目完整表述，拆解
两步运算，规避命题陷阱.
解题贴士
逐项辨析概念，牢记核心区别：负数无平方根但有立方根；正数平方根两个、立方根一个；算术平方根
一定是非负数；根指数 2 可省略、根指数 3 不可省略；举出反例推翻错误说法，利用特殊值 0、1、-
1 快速验证语句对错，排除干扰选项.
解题贴士
正方形面积公式S = a2，边长a = √S，现实中长度不能为负，因此只选取算术平方根作为最终答案，舍
去负根；正方体体积V = b3，棱长直接用立方根计算，结果唯一；作答前统一题目单位，代入数值计算
后规范写出单位，完成作答.
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▌例1 如图，将两个长为3，宽为2的长方形沿对角线剪开，用得到的4个完全一样的直角三角形围成如图所
示的正方形，则该正方形的边长𝑎为（ ）
A．2√3
B．3√2
C．√13
D．√15
▌例2 魔方可以看作是一个正方体，现有一个体积为125cm3的魔方，则这个魔方的棱长为（ ）
A．5cm
B．4cm
C．3cm
D．√5cm
▌对点练1-1 如图1，小明把长为2，宽为1 的两个长方形沿对角线剪开，围成如图2 所示的一个大正方
形，则空白部分小正方形的边长𝑥的值是（ ）
A．√5
B．5
C．3
D．√3
▌对点练1-2 如图，小雅制作了两个正方体礼盒，图1 的正方体礼盒的表面积为150cm2，图2 的正方体礼
盒的体积比图1 的正方体礼盒的体积大91cm3，则图2 的正方体礼盒的表面积为（ ）
A．216cm2
B．243cm2
C．157cm2
D．132cm2
题型11 规律探究型问题
解题贴士
观察多组式子，归纳通用规律：被开方数小数点每向右（左）移动两位，算术平方根小数点同向移动一
位；被开方数小数点每移动三位，立方根小数点同向移动一位；利用总结出的规律，快速口算同类根式
近似值，提升做题效率.
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▌例1 若√2.14
3
≈1.289，√21.4
3
≈2.776，则√2140
3
≈（ ）
A．12.89
B．27.76
C．128.9
D．277.6
▌例2 已知√1 −
1
2 = √
1
2；√2 −
2
5 = 2 × √
2
5；√3 −
3
10 = 3 × √
3
10；√4 −
4
17 = 4 × √
4
17；⋯⋯；按此规律，若
√𝑎−
6
𝑏= 𝑎⋅√
6
𝑏（𝑎，𝑏为正整数），则(6𝑎−𝑏)2026的值为（ ）
A．1
B．−1
C．2026
D．−2026
▌对点练1-1 根据表中的信息判断，下列语句中正确的是（ ）
x
23.1
23.2
23.3
23.4
23.5
23.6
23.7
23.8
𝑥2
533.61
538.24
542.89
547.56
552.25
556.96
561.69
566.44
A．560 的算术平方根比23.7 大
B．√55.225 = 2.35
C．只有3 个正整数n 满足23.2 < √𝑛< 23.3
D．根据表中数据的变化趋势，可以推断出23.92将比23.82大4.77
▌对点练1-2 我国著名数学家华罗庚有快速求整数立方根的方法：要得到√59319
3
的结果，可以按如下步骤
思考：第一步：确定√59319
3
的位数，因为103 = 1000，1003 = 1000000，而1000 < 59319 < 1000000，
所以10 < √59319
3
< 100，由此得√59319
3
是两位数；
第二步：确定个位数字，因为59319 的个位上的数是9，在0 到9 的整数中，只有9 的立方的个位上的数
是9；
第三步：确定十位数字，划去59319 后面的三位319 得到59，因为33 = 27，43 = 64．而27 < 59 < 64，
所以√59319
3
的十位上的数字是3．
综合以上可得，√59319
3
= 39
根据上述方法，−148877的立方根是（ ）
A．−43
B．−53
C．−63
D．−73
题型12 与整数部分或小数部分有关的求值
▌例1 已知𝑥+ 1的算术平方根是3，y 是√14的整数部分，则𝑥+ 𝑦的值为（ ）
A．11
B．9
C．7
D．5
解题贴士
先用夹逼法估算出无理数的整数部分，确定a的值；再用无理数减去整数部分得到小数部分b；最后把a、b
数值代入代数式，完成有理数加减运算，解题关键在于准确估算无理数大致范围，避免估算区间出错.
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▌对点练1-1 阅读材料：因为√4 < √7 < √9，即2 < √7 < 3，所以√7的整数部分为2，小数部分为√7 −
2．规定：数𝑚的整数部分记为[𝑚]，小数部分记为{𝑚}．则{√10}的值是____________．
▌对点练1-2 阅读下列材料：
∵ √1 < √3 < √4，即：1 < √3 < 2；
∴ √3的整数部分为1，小数部分为√3 −1．
请根据材料提示，进行解答：
(1)√14的整数部分是________，小数部分是_________；
(2)若10 + √33 = 𝑎+ 𝑏，其中：a 是整数，0 < 𝑏< 1．求2𝑎+ 𝑏的值．
题型13 平方根与立方根综合求值问题
▌例1 已知2𝑎−1的平方根是±3，25 + 𝑏的立方根是3．
(1)求𝑎，𝑏的值．
(2)求2𝑎+ 3𝑏的平方根．
▌对点练1-1 按要求完成下列各题：
(1)若一个正数的两个不同的平方根分别为4 −𝑚和2𝑚−7，求这个正数．
(2)已知5𝑎+ 4的立方根是−1，𝑏是√81的算术平方根，求3𝑎+ 2𝑏的平方根．
▌对点练1-2 已知𝑎是27的立方根，𝑏是
1
9的平方根与−
1
8的立方根的和，𝑐是𝑎+ 6𝑏的平方．
(1)直接写出𝑎，𝑏的值，并比较𝑎，𝑏，𝑎−𝑏的大小．
(2)求𝑐的所有可能值．
基础通关
1．(−√16)
2的平方根是（ ）
A．±4
B．±16
C．4
D．16
2．下列说法正确的是（ ）
A．−9的平方根是-3
B．64 的立方根是4
C．若√𝑚= √𝑚
3
，则𝑚= 1
D．25的平方根是5
解题贴士
依据平方根、立方根定义列式，利用平方根互为相反数、立方根唯一性建立方程求出未知数，再将数值
代入代数式化简求值，严格遵循两类方根定义限制条件，防止概念混用出错.
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3．关于√7，下列说法正确的是（ ）
A．它是一个有理数
B．它是√7的算术平方根
C．面积为7的正方形的边长
D．6 < √7 < 8
4．若|𝑎+ 10| + √𝑏−2 = 0，则√𝑎+ 𝑏
3
等于（ ）
A．−2
B．0
C．±2
D．2
5．若√135 ≈11.62，√1.35 ≈1.162，√𝑎≈0.1162，则𝑎的值为（ ）
A．0.0135
B．0.135
C．0.427
D．13.5
6．实数𝑎在数轴上的位置如图所示，则化简√(𝑎−1)2为（ ）
A．1 −𝑎
B．𝑎−1
C．𝑎+ 1
D．−𝑎−1
7．已知某港口有一个体积为64m3的正方体集装箱，为存放更多的货物，现准备将其改造为一个体积为
216m3的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的（ ）
A．3.375倍
B．2 倍
C．1.8倍
D．1.5倍
8．小明编写了一个程序，如图．若输入𝑥= 8，则输出的数为___________．
9．写出满足√5 < 𝑥< √17的所有整数𝑥：______．
10．将一把刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），数轴上点𝐴对应刻度尺上的“4”，面积
为2cm2的正方形其中一个顶点落在点𝐶处，以点𝐴为圆心，以正方形边长为半径作圆交数轴于点𝐶．则点𝐶
在刻度尺上对应的数为______．
11．代数式√5 + 3𝑥−2的最小值为____．
12．计算：√22 + (−1) −√16．
13．计算：√9 + (−1)2 −√27
3
+ (√−8
3
)
3
14．已知正数m 的两个不同的平方根分别是𝑎+ 4和−2𝑎−3．
(1)求a 的值； (2)求2𝑚−𝑎的算术平方根．
15．如图是由4 条横线，5 条竖线构成的方格网，它们相邻的行距、列距都是1．从这些纵横线相交得出
的20 个点（称为格点）中，我们可以选择其中4 个格点作为顶点连接成一个正方形，叫做格点正方形．
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(1)请在图中画出一个面积为5 的格点正方形．
(2)在图中一共可以画出几个面积为5 的格点正方形（只要回答几个，不需要画图）．
素养提升
1．下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．|−√2|与√2
B．−2与√−8
3
C．2与(−√2)
2
D．−2与√(−2)2
2．实数√65 −1最接近下列哪一个整数（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
3．某种编码规则为“开方密码”：一个数的算术平方根是其对应的密码．例如：数9对应的密码是√9 =
3，数900对应的密码是√900 = 30．已知数2026对应的密码约为45.01，数202.6对应的密码约为14.23，
则数20.26对应的密码约为（ ）
A．0.4501
B．4.501
C．0.1423
D．1.423
4．观察表中数据信息，下列结论正确的是（ ）
𝑎
12
12.1
12.2
12.3
12.4
…
𝑎2
144
146.41
148.84
151.29
153.76
…
A．√14.4 = 1.2
B．√1.4641 = 1.21
C．√0.14884 = 1.22
D．√15376 = 1240
5．某校开展“数学与航天”主题活动，同学们搜集到以下与航天相关的数据：
①“嫦娥五号”轨道修正次数与总飞行距离的比值约为
22
7
②某卫星绕地球飞行轨道运行的距离为√9万千米
③“天宫”空间站核心舱密封舱体内气压维持为−
𝜋
3个标准大气压
④火箭发动机某部件体积恰好为√6
3
立方米．
老师要求找出上述数据中属于无理数的个数，正确答案是（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
6．如图，将长为10，宽为5的长方形纸片分割成3个三角形后，恰好拼成一个正方形，则与正方形边长最
接近的整数是（ ）
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A．6
B．7
C．8
D．9
7．公元3 世纪，我国古代数学家就能利用近似公式√𝑎2 + 𝑟≈𝑎+
𝑟
2𝑎得到无理数的近似值，例如：√2化为
√12 + 1，再由近似公式得到√2 ≈1 +
1
2×1 =
3
2 = 1.5，若利用此公式计算√17的近似值时，𝑟取正整数，且
𝑎取尽可能大的正整数，则√17 ≈___________．
8．已知𝑎+ 5是4 的算术平方根，2𝑏−6的立方根是2，则−3𝑎+ 𝑏的平方根是________．
9．如图，将1、√2、√3三个数按图中方式排列，若规定(𝑎, 𝑏)表示第𝑎排第𝑏列的数，则
1
第1 排
√3
√2
第2 排
√3
√2
1
第3 排
1
√3
√2
1
第4 排
⋯⋯
⋯⋯
第4 列
第3 列
第2 列
第1 列
（1）(5,3) =________，
（2）(8,2)与(2014,2014)表示的两个数的积是________．
10．教材上有这样一个探究：把两个边长均为1dm的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4 个直角三角
形拼在一起，就得到一个面积为2dm2的大正方形．所得到的面积为2dm2的大正方形的边长就是原先边长
为1dm的小正方形的对角线长．因此，可得原小正方形的对角线长为________；由此，我们得到了一种在
数轴上画出无理数所对应的点的方法：如图②，以单位长度为边长画一个正方形，以点C 为圆心，正方形
的对角线长为半径画弧，与数轴交于A，B 两点，则点A 表示的数为________．
11．综合与实践：下面是小明学习了实数以后的感悟，请认真阅读，并完成相应的任务：
7 是有理数，当一个正方形的面积为7 时，它的边长是√7，而√7是无理数．
无理数是无限不循环小数，下面是小明确定√7的整数部分和小数部分的方法．
∵22 = 4，32 = 9，22 < 7 < 32，∴2 < √7 < 3，
∴√7的整数部分是2，小数部分是√7 −2．
(1)√13的整数部分是_________；
(2)𝑎为√3的小数部分，𝑏为√5的整数部分，求𝑎+ 𝑏−√3的值；
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(3)已知8 + √3 = 𝑥+ 𝑦，其中𝑥是一个正整数，0 < 𝑦< 1，求2𝑥+ (𝑦−√3)
2026的值．
迁移创新
1．【观察思考】观察下列等式特征，探索规律．
第①个等式：√4 × 9 = √36 = 6 = 2 × 3；
第②个等式：√9 × 16 = √144 = 12 = 3 × 4；
第③个等式：√16 × 25 = √400 = 20 = 4 × 5；
第④个等式：√25 × 36 = √900 = 30 = 5 × 6；
．．．
【规律发现】
(1)计算：√36 × 49 = ；√100 × 121 = ；
(2)若√𝑎2 × (𝑎+ 1)2 = 210，则正整数𝑎= ；
【规律应用】
(3)根据上述等式规律，化简：
1
√4×9 +
1
√9×16 +
1
√16×25 + ⋯+
1
√81×100．
2．设多项式𝑃(𝑥) = 𝑥2 + 𝑎𝑥+ 𝑏，𝑄(𝑥) = 𝑥2 + 𝑐𝑥+ 𝑑，其中𝑎，𝑏，𝑐，𝑑为常数，𝑃(𝑥)和𝑄(𝑥)表示𝑥取某数
时对应多项式的值，如：𝑃(1) = 1 + 𝑎+ 𝑏．已知两个多项式恒满足：𝑃(0) ⋅𝑄(1) = 𝑃(1) ⋅𝑄(0)，则称
(𝑃, 𝑄)为对称积对．
(1)根据对称积对定义，写出𝑎，𝑏，𝑐，𝑑之间的关系式________．
(2)已知(𝑃, 𝑄)为对称积对，𝑎，𝑏，𝑐，𝑑为整数．
①若𝑎= 𝑐> 0，证明：𝑏= 𝑑．
②当𝑃(1) = 5，𝑃(2) = 𝑄(2) = 9，求𝑎+ 𝑏+ 𝑐+ 𝑑的值．
③若𝑎< 𝑐< 0，当𝑃(2) = 𝑄(2)，(𝑎−𝑐)2 + (𝑏−𝑑)2 = 5时，求𝑏+ 𝑑的最小值．
3．通过学习勾股定理的证明，我们发现借助面积相等，可以把很多图形拼成正方形．如图（1）把两个边
长为1的正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到了一个边长为√2的大正方
形．如图（2）是由5个边长为1的小正方形组成的图形，这个图形按图（3）的方式剪裁，并进行一定的旋
转拼接，可拼成图（4）中的大正方形．
(1)图（4）中拼成的正方形的边长为 ；
(2)仿照上面的做法，将图（5）中这十个小正方形组成的图形，拼成一个大正方形，请在图（5）中画出裁
剪方法，并求出拼成的正方形边长；
(3)网格中的六边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹是由边长为6的正方形左上角剪去边长为2的正方形所得，该六边形按一定的方
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法也可剪拼成一个正方形，则这个正方形的边长为 ；
如图甲，把六边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹沿裁剪线𝐸𝐻，𝐵𝐺剪成①②③三部分，请在图甲中画出将②③与①拼成的正方
形，然后标出②③变动后的位置．在图乙中画出一种与图甲不同位置的两条裁剪线，并在图乙中画出将此
六边形剪拼成的正方形．
