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2.4 互逆命题与互逆定理
课标要点
1.结合本章知识体系，理解逆命题、逆定理的概念，掌握命题与逆命题、定理与逆定理的
相互转化关系，能准确写出任意命题的逆命题。
2.学会判断原命题与逆命题的真假，掌握举反例判断假命题的方法，明确并非所有定理都
有逆定理，能区分定理、逆定理、真命题、假命题的概念差异。
3.能结合轴对称相关性质、特殊三角形性质，对命题、逆命题进行真假推理与证明，规范
几何语言，完善几何逻辑推理体系。
4.探索并证明线段垂直平分线与角平分线性质定理的逆定理，分清性质与逆定理的双向逻
辑关系。
学习重难点
重点：
1.理解逆命题、逆定理的定义，熟练掌握原命题改写逆命题的方法，能准确辨析命题、逆
命题、定理、逆定理的关系。
2.能判断原命题与逆命题的真假，熟练运用举反例的方法证明假命题，掌握常见几何命题
的真假判定规律。
3.熟练用逆定理完成判定、线段相等、垂直证明。
难点：
1.对条件隐蔽、句式复杂的几何命题，准确提取条件与结论，正确改写逆命题，避免改写
遗漏、句式错误。
2.准确区分“逆命题为真”与“原定理有逆定理”的逻辑关系，理解定理不一定存在逆定
理的本质原因。
3.结合轴对称性质与命题推理，完成综合性几何说理与证明，整合图形性质与逻辑推理知
识，构建严谨的推理链条。
4.综合题型灵活搭配线段垂直平分线与角平分线性质定理逆定理，规范写出完整证明步
骤。
第二章
特殊三角形
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知识点
互逆命题与互逆定理
1. 互逆命题：对于两个命题，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个
命题的条件，那么这两个命题叫作互逆命题。把其中一个叫作原命题，另一个叫作它的逆命题。
2. 互逆定理：如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就称之为原定理的逆定理，这两个定理叫作
互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理。
随学随练
1．（25-26 八年级下·辽宁沈阳·期中）下列命题中，逆命题是真命题的是（ ）
A．全等三角形的对应角相等
B．三角形的中位线平行于第三条边
C．直角三角形的两锐角互余
D．等边三角形是等腰三角形
【答案】C
【分析】先将各选项原命题的条件和结论互换得到逆命题，再逐一判断逆命题的真假即可得到答案.
【详解】A、原命题：全等三角形的对应角相等，
逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形．
∵对应角相等的三角形不一定全等（可能只是相似），∴逆命题是假命题，不符合题意．
B、原命题：三角形的中位线平行于第三条边，
逆命题是平行于三角形第三条边的线段是三角形的中位线．
∵该线段需要同时满足端点平分三角形另两条边才是中位线，∴逆命题是假命题，不符合题意．
C、原命题：直角三角形的两锐角互余，
逆命题是两锐角互余的三角形是直角三角形．
特别提醒
1）互逆命题只交换条件和结论，命题真假性互不影响；
2）定理一定是真命题，但它的逆命题不一定是真命题，不一定是逆定理。
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∵三角形内角和为180°，两锐角互余即两锐角和为90°，则第三个角为180° −90° = 90°，
∴该三角形是直角三角形，逆命题是真命题，符合题意．
D、原命题：等边三角形是等腰三角形，
逆命题是等腰三角形是等边三角形．
∵等腰三角形只有两条边相等，不一定是等边三角形，∴逆命题是假命题，不符合题意．
选C．
2．（25-26 八年级下·甘肃白银·期中）下列命题中错误的是（ ）
A．任何一个命题都有逆命题
B．一个真命题的逆命题可能是真命题
C．一个定理不一定有逆定理
D．任何一个定理都有逆定理
【答案】D
【分析】根据命题、逆命题、定理、逆定理的基本概念，逐一判断各选项正误即可得到答案．
【详解】将原命题的题设与结论互换即可得到逆命题，因此任何命题都有逆命题，A 选项说法正确；
真命题的逆命题真假性不确定，可能为真也可能为假，
例如“同位角相等，两直线平行”的原命题和逆命题都是真命题，B 选项说法正确；
只有定理的逆命题本身也是真命题时，原定理才有逆定理，否则没有，因此一个定理不一定有逆定理，C
选项说法正确；
不是所有定理的逆命题都是真命题，例如“对顶角相等”是定理，它的逆命题“相等的角是对顶角”是假命
题，因此这个定理没有逆定理，所以“任何一个定理都有逆定理”的说法错误，D 选项说法错误．
知识点
线段垂直平分线性质定理的逆定理（重点）
1. 线段垂直平分线性质定理的逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
随学随练
1．（25-26 八年级上·江苏南京·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵的角平分线𝐵𝐷，𝐶𝐸相
交于点O．
易错提醒
1）必须满足“点到线段两个端点距离相等”，单点距离相等无法判定；
2）不能直接得出直线是垂直平分线，需两点确定一条直线；
3）区分：性质是“垂直平分→距离相等”，逆定理是“距离相等→在垂直平分线上”。
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(1)求证：△𝑂𝐵𝐶是等腰三角形；
(2)连接𝐴𝑂，求证：𝐴𝑂垂直平分𝐵𝐶．
【答案】(1)
证明：∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵，
∵∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵的角平分线𝐵𝐷，𝐶𝐸相交于点O．
∴∠𝑂𝐵𝐶=
1
2 ∠𝐴𝐵𝐶, ∠𝑂𝐶𝐵=
1
2 ∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝑂𝐵𝐶= ∠𝑂𝐶𝐵，
∴𝑂𝐵= 𝑂𝐶，
∴△𝑂𝐵𝐶是等腰三角形；见详解
(2)
证明：如图，
∵𝑂𝐵= 𝑂𝐶，
∴点𝑂在线段𝐵𝐶的垂直平分线上，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴点𝐴在线段𝐵𝐶的垂直平分线上，
∴𝐴𝑂垂直平分𝐵𝐶．
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定及线段垂直平分线的判定，熟练掌握等腰三角形的性质与
判定及线段垂直平分线的判定是解题的关键；
（1）由题意易得∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵，∠𝑂𝐵𝐶=
1
2 ∠𝐴𝐵𝐶, ∠𝑂𝐶𝐵=
1
2 ∠𝐴𝐶𝐵，则有∠𝑂𝐵𝐶= ∠𝑂𝐶𝐵，然后问题可求
证；
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（2）根据线段垂直平分线的判定定理可进行求证．
【详解】（1）略
（2）略
知识点
角平分线性质定理的逆定理（重点）
1. 角平分线性质定理的逆定理：角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。
随学随练
1．（25-26 八年级下·河北保定·期中）如图，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点𝐸，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶于点F．若𝐵𝐷= 𝐶𝐷，𝐵𝐸= 𝐶𝐹．
(1)求证：𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶．
(2)已知𝐴𝐵= 10，𝐶𝐹= 2，求𝐴𝐶的长．
【答案】(1)见解析；
(2)14．
【分析】（1）由垂直定义可得∠𝐸= ∠𝐷𝐹𝐶= 90°，然后证明Rt △𝐵𝐷𝐸≌Rt △𝐶𝐷𝐹(HL)，所以𝐷𝐸= 𝐷𝐹，
再由角平分线的判定方法即可求证；
（2）证明Rt △𝐴𝐷𝐸≌Rt △𝐴𝐷𝐹(HL)，所以𝐴𝐹= 𝐴𝐸= 12，然后通过𝐴𝐶= 𝐴𝐹+ 𝐶𝐹即可求解．
【详解】（1）证明：∵𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶，
∴∠𝐸= ∠𝐷𝐹𝐶= 90°，
在Rt △𝐵𝐷𝐸与Rt △𝐶𝐷𝐹中，
{𝐵𝐷= 𝐶𝐷
𝐵𝐸= 𝐶𝐹
，
∴Rt △𝐵𝐷𝐸≌Rt △𝐶𝐷𝐹(HL)，
∴𝐷𝐸= 𝐷𝐹，
易错提醒
1）必须满足角的内部+到两边垂线段距离相等，缺一不可；
2）距离特指垂线段长度，不是点到边的斜线段长度；
3）区分：性质是“角平分线上→距离相等”，逆定理是“距离相等→在角平分线上”。
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又∵𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶，
∴𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶；
（2）解：∵𝐵𝐸= 𝐶𝐹= 2，
∴𝐴𝐸= 𝐴𝐵+ 𝐵𝐸= 10 + 2 = 12，
在Rt △𝐴𝐷𝐸与Rt △𝐴𝐷𝐹中，
{𝐴𝐷= 𝐴𝐷
𝐷𝐸= 𝐷𝐹
，
∴Rt △𝐴𝐷𝐸≌Rt △𝐴𝐷𝐹(HL)，
∴𝐴𝐹= 𝐴𝐸= 12，
∴𝐴𝐶= 𝐴𝐹+ 𝐶𝐹= 12 + 2 = 14．
拓展
互逆命题与互逆定理核心概念对比
1.二者为易混淆基础概念，核心区别在于真假性、定理属性，具体对比如下：
对比维度
互逆命题
互逆定理
定义本质
两个命题的条件、结论互相互换，仅为命
题结构上的互逆关系
两个定理互为逆关系，是经过证明为真的
互逆命题
真假性要求
原命题为真，逆命题可真可假，无强制真
假关联
原定理和逆定理必须均为真命题
从属关系
范围更广，所有互逆定理都是互逆命题
是特殊的互逆命题，仅真命题才可成为互
逆定理
活学活用
1．下列说法正确的是（ ）
A．真命题的逆命题也是真命题
B．每个命题都有逆命题
C．每个定理都有逆定理
D．假命题没有逆命题
【答案】B
【分析】根据命题、逆命题，真假命题的关系对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、真命题的逆命题可能是真命题，也可能是假命题，故本选项错误；
B、一个命题一定有逆命题，正确，故本选项正确；
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C、一个定理不一定有逆定理，故本选项错误；
D、假命题一定有逆命题，错误，故本选项错误．
故选B．
【点睛】本题考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键
是要熟悉课本中的性质定理．
2．下列命题中，其逆命题为真命题的是（ ）
A．若𝑎= 𝑏，则𝑎2 = 𝑏2
B．对顶角相等
C．全等三角形的对应角相等
D．直角三角形的两个锐角互余
【答案】D
【分析】本题考查了命题与定理的知识．分别写出各项的逆命题，然后判断真假即可．
【详解】解：A 选项的逆命题为“如果𝑎2 = 𝑏2，那么𝑎= 𝑏”，错误，为假命题，故A 选项不符合题意；
B 选项的逆命题为“相等的角为对顶角”，错误，为假命题，故B 选项不符合题意；
C 选项的逆命题为“对应角相等的三角形全等”，错误，为假命题，故C 选项不符合题意；
D 选项的逆命题为“两个锐角互余的三角形是直角三角形”，正确，为真命题，故D 选项符合题意；
故选：D．
拓展
两大核心逆定理内容与适用范围对比
对比维度
线段垂直平分线性质逆定理
角平分线性质逆定理
定理内容
到一条线段两个端点距离相等的点，在这
条线段的垂直平分线上
角的内部，到角两边距离相等的点，在这个
角的平分线上
判定依据
点到线段两端点的距离相等
点到角的两条边的距离相等（垂线段距离）
适用范围
平面内任意点与线段的位置关系判定
仅限角的内部的点，外部点不适用该定理
核心作用
判定点在线段垂直平分线上，可用于证明
线段垂直、相等关系
判定点在角平分线上，可用于证明角相等、
距离相等关系
活学活用
1．幸福小区的三个出口A，B，C 的位置如图所示．物业公司计划在不妨碍小区规划的前提下，在小区内
修建一个电动车充电桩，要求到3 个出口的距离都相等以方便业主，则充电桩应建在△𝐴𝐵𝐶的（ ）
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A．3 条高的交点处 B．3 条中线的交点处
C．3 条边的垂直平分线的交点处 D．3 个角的平分线的交点处
【答案】C
【分析】线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，由此即可得到答案．
【详解】解：∵线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，
∴要求充电桩到三个出口的距离都相等，则充电桩应建在△𝐴𝐵𝐶三条边的垂直平分线的交点处．
2．如图，△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐷𝐴𝐶和∠𝐴𝐶𝐸的平分线交于点P，𝑃𝑀⊥𝐴𝐷于点M，𝑃𝑁⊥𝐶𝐸于点N，判断点P
是否在∠𝐴𝐵𝐶的平分线上，并说明理由．
【答案】解：点𝑃在∠𝐴𝐵𝐶的平分线上，理由如下：
如图，过点𝑃作𝑃𝐹⊥𝐴𝐶于点𝐹，连接𝑃𝐵，
∵∠𝐷𝐴𝐶和∠𝐴𝐶𝐸的平分线交于点𝑃，且𝑃𝑀⊥𝐴𝐷，𝑃𝑁⊥𝐶𝐸，𝑃𝐹⊥𝐴𝐶，
∴𝑃𝑀= 𝑃𝐹，𝑃𝑁= 𝑃𝐹，
∴𝑃𝑀= 𝑃𝑁，
又∵点𝑃在∠𝐴𝐵𝐶的内部，
∴点𝑃在∠𝐴𝐵𝐶的平分线上．
【分析】过点𝑃作𝑃𝐹⊥𝐴𝐶于点𝐹，连接𝑃𝐵，先根据角平分线的性质定理可得𝑃𝑀= 𝑃𝐹，𝑃𝑁= 𝑃𝐹，则可得
𝑃𝑀= 𝑃𝑁，再根据角平分线的判定定理即可得．
【详解】解：略．
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题型
判断是否为命题的逆命题
▌例1．下列命题的逆命题正确的是（ ）．
A．对顶角相等
B．互为相反数的两个数的平方相等
C．到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D．等边三角形是锐角三角形
【答案】C
【分析】先交换每个原命题的题设和结论得到逆命题，再逐一判断逆命题的真假，即可得到答案．
【详解】解：命题A 的逆命题为：“相等的角是对顶角”，对顶角是满足特殊位置的两个角，相等的角不一
定是对顶角，故逆命题错误；
命题B 的逆命题为：“平方相等的两个数互为相反数”，举例，如22 = 22，但2与2不是相反数，故逆命题错
误；
命题C 的逆命题为：“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”，这是线段垂直平分线的性质定
理，故逆命题正确；
命题D 的逆命题为：“锐角三角形是等边三角形”，举例，如内角为50°，60°，70°的三角形是锐角三角形，
但不是等边三角形，因此逆命题错误．
▌对点练1-1．（25-26 八年级上·山东枣庄·期末）下面正确的命题中，其逆命题不成立的是（ ）
A．同旁内角互补，两直线平行
B．全等三角形的三条对应边相等
C．在角的内部，角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
D．对顶角相等
【答案】D
【分析】本题主要考查互逆命题，命题真假判断．写出命题的逆命题，先写出各选项中原命题的逆命题，
再依据初中数学相关定理判断逆命题是否成立，进而找出逆命题不成立的选项即可．
【详解】解：选项A 的原命题为同旁内角互补，两直线平行，其逆命题为两直线平行，同旁内角互补，这
解题贴士
先明确原命题的题设（条件）和结论，将二者互换得到新命题，再依据“可以判断真假的陈述句为命题”，
判定所得语句是否为逆命题。
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是平行线的性质定理，逆命题成立，故A 不符合题意；
选项B 的原命题为全等三角形的三条对应边相等，其逆命题为三条边对应相等的三角形全等，这是SSS全
等判定定理，逆命题成立，故B 不符合题意；
选项C 的原命题为在角的内部，角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，其逆命题为在角的内部，到
这个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，这是角平分线的判定定理，逆命题成立，故C 不符合题
意；
选项D 的原命题为对顶角相等，其逆命题为相等的角是对顶角，例如两个直角相等，但它们不一定是对顶
角，逆命题不成立，故D 符合题意；
故选：D．
▌对点练1-2．（25-26 八年级上·山东聊城·期末）下列命题的逆命题不成立的是（ ）
A．若𝑎< 𝑏，则𝑎2 < 𝑏2
B．等边三角形的各角都等于60°
C．两条直线平行，同位角相等
D．全等三角形的对应边相等
【答案】A
【分析】本题主要考查了判断一个命题的逆命题的真假，实数的性质，平行线的判定，等边三角形的判
定，全等三角形的判定，把原命题的结论和题设互换，写出对应命题的逆命题，再根据实数的性质，等边
三角形的判定，平行线的判定和全等三角形的判定定理逐一判断即可．
【详解】解：A、逆命题为若𝑎2 < 𝑏2，则𝑎< 𝑏，取𝑎= 1, 𝑏= −2，则𝑎2 = 1 < 𝑏2 = 4，但𝑎= 1 > 𝑏=
−2，即𝑎< 𝑏不成立，故逆命题不成立，符合题意；
B、逆命题为各角都等于60°的三角形是等边三角形，逆命题成立，不符合题意；
C、逆命题为同位角相等，则两条直线平行，此为平行线的判定定理，逆命题成立，不符合题意；
D、逆命题为对应边相等的三角形全等，此为三角形全等的SSS判定，逆命题成立，不符合题意．
故选：A．
▌对点练1-3．（25-26 八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列命题的逆命题不成立的是（ ）
A．如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等
B．两直线平行，同位角相等
C．全等三角形的对应边相等
D．全等三角形的对应角相等
【答案】D
【分析】本题考查逆命题的判定与真假判断、全等三角形的判定、平行线的判定和绝对值的定义，解题的
关键是先写出每个命题的逆命题，再判断其是否成立．
分别写出各选项命题的逆命题，再逐一判断逆命题的真假．
【详解】解：A、逆命题：如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等，
∵𝑎= 𝑏，
∴|𝑎| = |𝑏|，
∴逆命题成立，不符合题意；
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B、逆命题：同位角相等，两直线平行，
∵平行线判定定理，
∴逆命题成立，不符合题意；
C、逆命题：对应边相等的三角形全等，
∵SSS全等判定，
∴逆命题成立，不符合题意；
D、逆命题：对应角相等的三角形全等，
∵对应角相等只能证明相似，不一定全等，
∴逆命题不成立，符合题意；
故选D．
题型
写出命题的逆命题
▌例1．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知命题：“全等三角形对应边相等”，则它的逆命题为__________．
【答案】
对应边相等的两个三角形全等
【分析】本题考查逆命题的概念，找出原命题的条件和结论，将条件和结论互换，即可得到原命题的逆命
题．
【详解】解：原命题“全等三角形对应边相等”中，条件为“两个三角形全等”，结论为“两个三角形对应边相
等”，将条件和结论互换，得到逆命题为：对应边相等的两个三角形全等. 故答案为对应边相等的两个三角
形全等．
▌对点练1-1．（25-26 八年级上·安徽马鞍山·期中）写出“如果𝑎> 𝑏，那么𝑎2 > 𝑏2”的逆命题．________．
【答案】如果𝑎2 > 𝑏2，那么𝑎> 𝑏
【分析】本题考查写出逆命题，根据逆命题的定义，将原命题的题设和结论互换即可．
【详解】解：原命题的题设是“𝑎> 𝑏”，结论是“𝑎2 > 𝑏2”，互换后得到逆命题“如果 𝑎2 > 𝑏2，那么 𝑎>
𝑏”．
故答案为：如果 𝑎2 > 𝑏2，那么 𝑎> 𝑏．
▌对点练1-2．（25-26 八年级上·浙江台州·期中）写出命题“两直线平行，对顶角相等”的逆命题
解题贴士
先把原命题改写为“如果…那么…”标准形式，精准拆分条件与结论，直接互换条件和结论，整理语句
通顺即可。
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___________．
【答案】如果对顶角相等，那么两直线平行
【分析】本题考查了写逆命题．
逆命题是通过交换原命题的条件和结论而得到的新命题．原命题“两直线平行，对顶角相等”是一个条件命
题，可以表述为“如果两直线平行，那么对顶角相等”．
【详解】解：原命题的条件是“两直线平行”，结论是“对顶角相等”，
交换条件和结论，得到逆命题“如果对顶角相等，那么两直线平行”．
故答案为：如果对顶角相等，那么两直线平行．
▌对点练1-3．命题“如果∠1 + ∠2 = 180°，那么∠1与∠2互为邻补角”的逆命题是
________________________，它是______命题（填“真”或“假”）．
【答案】 如果∠1与∠2互为邻补角，那么∠1 + ∠2 = 180° 真
【分析】本题考查逆命题，邻补角的定义，熟悉逆命题和邻补角的定义是解决此题的关键．把原命题的条
件和结论互换后，写出逆命题，再根据邻补角的定义，即可判断命题的真假．
【详解】解：逆命题为：如果∠1与∠2互为邻补角，那么∠1 + ∠2 = 180°，是真命题；
故答案为：如果∠1与∠2互为邻补角，那么∠1 + ∠2 = 180°，真．
▌对点练1-4．（25-26 八年级上·宁夏吴忠·期中）定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是：_____
（写出它的逆命题，不用判断它的真假）
【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形
【分析】本题考查逆命题的知识，属于基础题，根据逆命题的概念来回答：对于两个命题，如果一个命题
的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命
题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，从而得到原
命题的逆命题．
【详解】解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，
所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“有两个角相等三角形是等腰三角形”．
故答案为：有两个角相等的三角形是等腰三角形．
题型
互逆定理
▌例1．（25-26 八年级下·内蒙古包头·期中）下列定理中，不存在逆定理的是（ ）
解题贴士
1）一个定理的逆命题经过证明为真命题，即为原定理的逆定理，二者互为互逆定理；
2）核心判定：原定理、逆命题均为真命题。
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A．等边三角形的三个内角都等于60°
B．同位角相等，两直线平行
C．一个三角形中相等的边所对的角相等 D．全等三角形的对应角相等
【答案】D
【分析】本题考查逆定理的判断，解题思路是先写出各选项原命题的逆命题，再判断逆命题的真假，若逆
命题为真则存在逆定理，若逆命题为假则不存在逆定理．
【详解】解：A 原命题为等边三角形的三个内角都等于60°，逆命题为三个内角都等于60°的三角形是等边
三角形，逆命题为真命题，存在逆定理；
B 原命题为同位角相等，两直线平行，逆命题为两直线平行，同位角相等，逆命题为真命题，存在逆定
理；
C 原命题为一个三角形中相等的边所对的角相等，逆命题为一个三角形中相等的角所对的边相等，逆命题
为真命题，存在逆定理；
D 原命题为全等三角形的对应角相等，逆命题为对应角相等的三角形是全等三角形，对应角相等的三角形
不一定全等，例如边长不同的两个等边三角形，对应角相等但不全等，逆命题为假命题，不存在逆定理．
▌例2．（25-26 八年级下·河南开封·期中）写出一对互逆定理：__________．
【答案】两直线平行，同位角相等；同位角相等，两直线平行(答案不唯一)
【分析】本题考查了互逆定理的概念：如果一个定理的逆命题能被证明为真命题，那么它也是一个定理，
这两个定理称为互逆定理．
根据互逆定理的定义，找出原命题和逆命题都为真命题的一对定理即可．
【详解】解：举例：原定理为“两直线平行，同位角相等”，其逆命题为“同位角相等，两直线平行”，
该逆命题已被证明为真命题，因此二者是一对互逆定理．
▌对点练1-1．下列定理中，没有逆定理的是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．三个角都相等的三角形是等边三角形
C．全等三角形的对应角相等
D．等角对等边
【答案】C
【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键在于判断其逆命题的真假．
分别写出各选项中定理的逆命题，再判断真假即可．
【详解】解：选项A：逆命题为“同位角相等，两直线平行”，是真命题，故A 有逆定理，不符合题意要
求；
选项B：逆命题为“等边三角形的三个角都相等” ，是真命题，故B 有逆定理，不符合题意要求；
选项C：逆命题为“对应角相等的两个三角形全等”，是假命题，故C 没有逆定理，符合题意要求；
选项D：逆命题为“等边对等角”，是真命题，故D 有逆定理，不符合题意要求；
故选：C．
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▌对点练1-2．下列有关逆命题与逆定理的说法错误的是（）
A．“直角三角形两锐角互余”的逆命题是真命题
B．“全等三角形的对应角相等”的逆命题是真命题
C．“两直线平行，同位角相等”的逆定理是“同位角相等，两直线平行”
D．“等边三角形的三个角都相等”和“三个角都相等的三角形是等边三角形”是互逆定理
【答案】B
【分析】本题考查了逆命题与逆定理，根据已知，把各选项条件与结论互换写出逆命题，再判定结果是否
是真命题即可．
【详解】解：A．“直角三角形两锐角互余”的逆命题为“两锐角互余的三角形是直角三角形”，是真命题，故
该选项正确，不符合题意；
B．“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“对应角相等的三角形全等”，是假命题，故该选项不正确，符合
题意；
C．“两直线平行，同位角相等”的逆定理是“同位角相等，两直线平行”，故该选项正确，不符合题意；
D．“等边三角形的三个角都相等”和“三个角都相等的三角形是等边三角形”是互逆定理，故该选项正确，不
符合题意；
故选：B．
▌对点练1-3．定理“等腰三角形底边上的高是底边的中线”的逆定理是：如果一个三角形底边上的高是底边
的中线，那么这个三角形是_________三角形．
【答案】等腰
【分析】本题考查了写出原定理的逆定理．原定理的逆定理是通过交换条件和结论得到的，因此逆定理的
结论是原定理的条件，即三角形是等腰三角形．
【详解】解：定理“等腰三角形底边上的高是底边的中线”的逆定理是：如果一个三角形底边上的高是底边
的中线，那么这个三角形是等腰三角形．
如图，三角形𝐴𝐵𝐶，设𝐴𝐷为底边𝐵𝐶上的高和中线．
由于𝐴𝐷是高，则𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐷𝐶= 90°；
由于𝐴𝐷是中线，则𝐵𝐷= 𝐷𝐶．
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在△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐶𝐷中，
{
𝐴𝐷= 𝐴𝐷
∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐷𝐶
𝐵𝐷= 𝐶𝐷
△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐷(SAS)，
因此𝐴𝐵= 𝐴𝐶，即三角形𝐴𝐵𝐶是等腰三角形．
故答案为：等腰．
题型
线段垂直平分线的判定
▌例1．（25-26 八年级下·山东青岛·期中）如图，三个社区分别坐落在𝐴，𝐵，𝐶所在位置，现要规划一个
饮水点，使得该饮水点到三个社区的距离相等，该饮水点应建在（ ）
A．△𝐴𝐵𝐶三边的垂直平分线的交点处
B．△𝐴𝐵𝐶的三条高线的交点处
C．△𝐴𝐵𝐶的三条角平分线的交点处
D．△𝐴𝐵𝐶的三条中线的交点处
【答案】A
【分析】根据题意可得饮水点到△𝐴𝐵𝐶的三个顶点的距离相等，则饮水点应建在△𝐴𝐵𝐶三边的垂直平分线
的交点处．
【详解】解：∵要规划一个饮水点，使得该饮水点到三个社区的距离相等，即饮水点到△𝐴𝐵𝐶的三个顶点
的距离相等，
∴该饮水点应建在△𝐴𝐵𝐶三边的垂直平分线的交点处．
▌对点练1-1．（25-26 八年级上·广东深圳·期中）如图，三座商场的位置如图所示，现要规划一个公交车站
到三座商场的距离相等，该公交车站应建在（ ）
解题贴士
判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线，取两
个满足条件的点，即可确定线段垂直平分线。
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A．三角形三条边的垂直平分线的交点 B．三角形三条中线的交点
C．三角形三条高所在直线的交点 D．三角形三个内角的角平分线的交点
【答案】A
【分析】本题考查了垂直平分线的判定，根据规划一个公交车站到三座商场的距离相等，以及到线段的端
点距离相等的点在线段的垂直平分线上，则该公交车站应建在三角形三条边的垂直平分线的交点，即可作
答．
【详解】解：∵要规划一个公交车站到三座商场的距离相等，
∴该公交车站应建在三角形三条边的垂直平分线的交点（到线段的端点距离相等的点在线段的垂直平分线
上），
故选：A
▌对点练1-2．如图，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝑀𝐵= 𝑀𝐶．直线𝐴𝑀是线段𝐵𝐶的垂直平分线吗？
【答案】直线𝐴𝑀是线段𝐵𝐶的垂直平分线
【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，根据到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直
平分线上，判断即可．
【详解】解：∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴点A 在线段𝐵𝐶的垂直平分线上．
∵𝑀𝐵= 𝑀𝐶，
∴点M 在线段𝐵𝐶的垂直平分线上，
∴直线𝐴𝑀是线段𝐵𝐶的垂直平分线．
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点D，𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶交𝐵𝐶
于点𝐸，若∠𝐵𝐴𝐸= 40°，∠𝐶𝐴𝐷= 30°，求证：点𝐸在线段𝐴𝐵的垂直平分线上．
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【答案】证明：∵𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐸= 40°，
∴∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐸= 40°，
又∵∠𝐶𝐴𝐷= 30°，
∴∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐸−∠𝐶𝐴𝐷= 40° −30° = 10°，
又∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐸𝐷= 90° −10° = 80°，
又∵∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐴𝐵𝐸+ ∠𝐵𝐴𝐸，
∴∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐴𝐸𝐷−∠𝐵𝐴𝐸= 80° −40° = 40°，
∴∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐵𝐴𝐸，
∴𝐴𝐸= 𝐵𝐸，
∴点𝐸在线段𝐴𝐵的垂直平分线上．
【分析】先证明∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐸= 40°，求解∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐸−∠𝐶𝐴𝐷= 10°，∠𝐴𝐸𝐷= 80°，进一步证明
∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐵𝐴𝐸即可得到结论．
【详解】略
题型
线段垂直平分线的性质与判定综合
▌例1．（25-26 八年级下·山西太原·期中）如图，已知𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐵𝐸= 𝐶𝐸，D 是线段𝐴𝐸上一点（不与A，
D 重合），下列结论不一定正确的是（ ）
解题贴士
先用判定定理证明点在垂直平分线上，再用性质定理得线段相等、垂直平分关系；反复结合等量代换、
三角形周长、角度计算、证明。
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A．𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶和∠𝐵𝐸𝐶
B．𝐴𝐸垂直平分𝐵𝐶
C．∠𝐷𝐵𝐸= ∠𝐷𝐶𝐸
D．𝐵𝐷= 𝐷𝐸
【答案】D
【分析】根据线段垂直平分线的判定定理，由𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐵𝐸= 𝐶𝐸可得𝐴𝐸是𝐵𝐶的垂直平分线，利用全等三
角形的判定与性质或轴对称性质逐一判断选项即可．
【详解】解：∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐵𝐸= 𝐶𝐸，
∴ 点𝐴，𝐸都在线段𝐵𝐶的垂直平分线上 ，
∴𝐴𝐸垂直平分𝐵𝐶，故B 选项正确；
在△𝐴𝐵𝐸和△𝐴𝐶𝐸中，
{
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
𝐵𝐸= 𝐶𝐸
𝐴𝐸= 𝐴𝐸
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐸(SSS)，
∴∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐸，∠𝐵𝐸𝐴= ∠𝐶𝐸𝐴，
∴𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶和∠𝐵𝐸𝐶，故A 选项正确 ；
∵𝐴𝐸垂直平分𝐵𝐶，𝐷在𝐴𝐸上 ，
∴𝐷𝐵= 𝐷𝐶 ，
在△𝐷𝐵𝐸和△𝐷𝐶𝐸中，
{
𝐷𝐵= 𝐷𝐶
𝐵𝐸= 𝐶𝐸
𝐷𝐸= 𝐷𝐸
∴△𝐷𝐵𝐸≌△𝐷𝐶𝐸(SSS)，
∴∠𝐷𝐵𝐸= ∠𝐷𝐶𝐸，故C 选项正确 ；
𝐵𝐷与𝐷𝐸的长度取决于点𝐷在𝐴𝐸上的位置，无法确定𝐵𝐷= 𝐷𝐸，故D 选项不一定正确 ．
▌例2．（25-26 八年级下·贵州贵阳·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，垂足为𝐷，点𝐸在边𝐴𝐵上，且
𝐵𝐷= 𝐷𝐸，𝐸𝐹垂直平分𝐴𝐶，交𝐴𝐶于点𝐹，连接𝐶𝐸．
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(1)求证：𝐴𝐸= 𝐵𝐶；
(2)若△𝐴𝐵𝐶的周长为21，𝐴𝐶= 8，求△𝐵𝐶𝐸的周长．
【答案】(1)证明：∵𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，且𝐵𝐷= 𝐷𝐸，
∴𝐶𝐷垂直平分𝐵𝐸．
∴𝐵𝐶= 𝐸𝐶，
∵𝐸𝐹垂直平分𝐴𝐶，
∴𝐴𝐸= 𝐸𝐶，
∴𝐴𝐸= 𝐵𝐶；
(2)13
【分析】（1）根据垂直平分线的判定与性质证明即可；
（2）根据△𝐴𝐵𝐶的周长以及𝐴𝐶的长度可得𝐵𝐶+ 𝐴𝐵的长度，再根据垂直平分线的性质得到边长相等，由
此求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：∵𝐸𝐹垂直平分𝐴𝐶，
∴𝐴𝐸= 𝐸𝐶，
∵△𝐴𝐵𝐶的周长为21，𝐴𝐶= 8，
∴𝐵𝐶+ 𝐴𝐵= 13，
∴𝐵𝐶+ 𝐴𝐸+ 𝐵𝐸= 13
∴𝐵𝐶+ 𝐸𝐶+ 𝐵𝐸= 13
即△𝐵𝐶𝐸的周长为13．
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·山东淄博·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，分别以点𝐴，𝐶为圆心，大于
1
2 𝐴𝐶长
为半径画弧，两弧交于𝑀，𝑁两点，作直线𝑀𝑁，交𝐴𝐶于点𝐸，交𝐴𝐵于点𝐹，过点𝐶作𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于点𝐷．若
∠𝐴= 32°，点𝐷恰好是𝐵𝐹的中点，则∠𝐴𝐶𝐵的度数为（ ）
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A．32°
B．52°
C．64°
D．84°
【答案】D
【分析】连接𝐶𝐹，根据作图方式得到𝑀𝑁是线段𝐴𝐶的垂直平分线，根据垂直平分线性质可得𝐹𝐴= 𝐹𝐶，继
而根据三角形外角的性质得到∠𝐶𝐹𝐵= 64°，通过证明𝐶𝐷垂直平分𝐵𝐹，得到∠𝐵= 64°，进而根据三角形内
角和定理得到∠𝐴𝐶𝐵= 84°．
【详解】解：如图，连接𝐶𝐹，
根据作图方式可知𝑀𝑁是线段𝐴𝐶的垂直平分线，
∴𝐹𝐴= 𝐹𝐶，
∴∠𝐹𝐶𝐴= ∠𝐴= 32°，
∴∠𝐶𝐹𝐵= ∠𝐴+ ∠𝐹𝐶𝐴= 32° + 32° = 64°，
∵𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，点𝐷恰好是𝐵𝐹的中点，
∴𝐶𝐷垂直平分𝐵𝐹，
∴𝐶𝐵= 𝐶𝐹，
∴∠𝐵= ∠𝐶𝐹𝐵= 64°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 180° −∠𝐴−∠𝐵= 180° −32° −64° = 84°．
▌对点练1-2．（25-26 八年级上·湖南常德·期末）如图，将三角形纸片𝐴𝐵𝐶的一角沿𝐴𝐵的垂直平分线翻
折，折痕为𝐷𝐸，点B 与点A 重合，已知△𝐴𝐶𝐷的周长是18，△𝐴𝐵𝐶的周长是26，则𝐴𝐵=_________．
【答案】8
【分析】本题考查了垂直平分线性质，由折叠的性质易得𝐷𝐸为𝐴𝐵的垂直平分线，根据垂直平分线性质得
到𝐵𝐷= 𝐴𝐷，再结合𝐶△𝐴𝐵𝐶= 𝐴𝐵+ 𝐵𝐶+ 𝐴𝐶= 26，𝐶△𝐴𝐶𝐷= 𝐴𝐷+ 𝐶𝐷+ 𝐴𝐶= 𝐵𝐶+ 𝐴𝐶= 18，即可解题．
【详解】解：由折叠的性质得𝐴𝐸= 𝐵𝐸, 𝐴𝐵⊥𝐷𝐸，
∴𝐷𝐸为𝐴𝐵的垂直平分线，
∴𝐵𝐷= 𝐴𝐷，
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∵ 𝐶△𝐴𝐵𝐶= 𝐴𝐵+ 𝐵𝐶+ 𝐴𝐶= 26，𝐶△𝐴𝐶𝐷= 𝐴𝐷+ 𝐶𝐷+ 𝐴𝐶= 𝐵𝐶+ 𝐴𝐶= 18，
∴𝐴𝐵= 26 −18 = 8．
故答案为：8．
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·广东梅州·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，直线l 垂直平分边𝐵𝐶，分别交𝐴𝐶，
𝐵𝐶于点D，E，连接𝐵𝐷．
(1)若𝐴𝐵= 9，△𝐴𝐵𝐷的周长为19，则𝐴𝐶的长为 ；
(2)若∠𝐴𝐷𝐵= 90°，求∠𝐴𝐶𝐵的度数；
(3)已知点P 在线段𝐷𝐸上，且点P 在边𝐴𝐶的垂直平分线上，连接𝑃𝐶，试判断点P 是否在边𝐴𝐵的垂直平分
线上，并说明理由．
【答案】(1)10
(2)45°
(3)解：是，
理由如下：连接𝐴𝑃, 𝐵𝑃，如图所示：
∵直线l 垂直平分边𝐵𝐶，点P 在边𝐴𝐶的垂直平分线上，
∴𝐵𝑃= 𝐶𝑃, 𝐶𝑃= 𝐴𝑃，
∴𝐵𝑃= 𝐴𝑃，
∴点P 在边𝐴𝐵的垂直平分线上．
【分析】（1）由题意易得𝐵𝐷= 𝐶𝐷，然后根据三角形的周长可进行求解；
（2）由题意易得𝐵𝐷= 𝐶𝐷，则有∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐵𝐶，然后问题可求解；
（3）连接𝐴𝑃, 𝐵𝑃，由题意易得𝐵𝑃= 𝐴𝑃，进而问题可求解．
【详解】（1）解：∵直线l 垂直平分边𝐵𝐶，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷，
∵△𝐴𝐵𝐷的周长为19，𝐴𝐵= 9，
∴𝐴𝐵+ 𝐵𝐷+ 𝐴𝐷= 𝐴𝐵+ 𝐶𝐷+ 𝐴𝐷= 9 + 𝐴𝐶= 19，
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∴𝐴𝐶= 10；
（2）解：∵直线l 垂直平分边𝐵𝐶，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷，
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐵𝐶，
∵∠𝐴𝐷𝐵= 90°，
∴∠𝐶𝐷𝐵= 90°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐵𝐶= 45°；
（3）略
▌对点练1-4．（25-26 八年级下·广东佛山·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵边的垂直平分线𝑙1交𝐵𝐶于点𝐷，
𝐴𝐶边的垂直平分线𝑙2交𝐵𝐶于点𝐸，𝑙1与𝑙2相交．点𝑂，连接𝑂𝐴, 𝑂𝐵, 𝑂𝐶．
(1)若△𝐴𝐷𝐸的周长为8 cm，线段𝐵𝐶的长为_____；
(2)判断点𝑂是否在𝐵𝐶的垂直平分线上，并说明理由；
(3)若∠𝐵𝐴𝐶= 120°，求∠𝐷𝐴𝐸的度数．
【答案】(1)8 cm
(2)点O 在𝐵𝐶的垂直平分线上，理由见详解
(3)∠𝐷𝐴𝐸= 60°
【分析】（1）根据垂直平分线的性质得出𝐷𝐴= 𝐷𝐵，𝐸𝐴= 𝐸𝐶，求出𝐵𝐶= 𝐵𝐷+ 𝐷𝐸+ 𝐸𝐶；
（2）根据垂直平分线的性质得出𝑂𝐴= 𝑂𝐵，𝑂𝐴= 𝑂𝐶，推出𝑂𝐵= 𝑂𝐶，即可证明点O 在𝐵𝐶的垂直平分线
上；
（3）根据三角形内角和得出∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 60°，根据等腰三角形的性质得出∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐸𝐴𝐶=
∠𝐴𝐶𝐵，根据∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐵𝐴𝐷−∠𝐸𝐴𝐶求出结果即可．
【详解】（1）解：∵𝑙1是𝐴𝐵边的垂直平分线，
∴𝐷𝐴= 𝐷𝐵，
∵𝑙2是𝐴𝐶边的垂直平分线，
∴𝐸𝐴= 𝐸𝐶，
∵△𝐴𝐷𝐸的周长为8 cm，
∴𝐵𝐶= 𝐵𝐷+ 𝐷𝐸+ 𝐸𝐶= 𝐷𝐴+ 𝐷𝐸+ 𝐸𝐴= 8 cm；
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（2）解：点O 在𝐵𝐶的垂直平分线上，
理由：∵𝑙1是𝐴𝐵边的垂直平分线，
∴𝑂𝐴= 𝑂𝐵，
∵𝑙2是𝐴𝐶边的垂直平分线，
∴𝑂𝐴= 𝑂𝐶，
∴𝑂𝐵= 𝑂𝐶，
∴点O 在𝐵𝐶的垂直平分线上；
（3）解：∵∠𝐵𝐴𝐶= 120°，
∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180° −120° = 60°，
∵𝑙1是𝐴𝐵边的垂直平分线，
∴𝐷𝐴= 𝐷𝐵，
∵𝑙2是𝐴𝐶边的垂直平分线，
∴𝐸𝐴= 𝐸𝐶，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐸𝐴𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐸𝐴𝐶= 60°
∴∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐶−(∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐸𝐴𝐶) = 120° −60° = 60°．
题型
角平分线的判定
▌例1．（25-26 八年级上·河北邢台·期末）如图，从小树𝑂处延伸出两段小路𝑂𝐴，𝑂𝐵，𝐶到𝑂𝐴，𝑂𝐵的距离
均为3米，若∠𝐵𝑂𝐶= 25°，则∠𝐴𝑂𝐵=（ ）
A．25°
B．50°
C．60°
D．65°
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的判定，根据已知可得𝑂𝐶是∠𝐴𝑂𝐵的角平分线，即可求解．
【详解】解：∵𝐶到𝑂𝐴，𝑂𝐵的距离均为3米，
解题贴士
判定定理：在一个角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；距离特指点到边的垂线段
长度，据此可判定角平分线。
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∴𝑂𝐶是∠𝐴𝑂𝐵的角平分线，
∵∠𝐵𝑂𝐶= 25°，
∴∠𝐴𝑂𝐵= 2∠𝐵𝑂𝐶= 50°
故选：B．
▌例2．（25-26 八年级上·河南新乡·期末）下面是多媒体上展示的一道习题，请你将过程补充完整．
如图，过△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐶的垂直平分线𝑀𝑁上的点M，作△𝐴𝐵𝐶的另外两边𝐴𝐵, 𝐵𝐶所在直线的垂线，垂足分
别为D，E，𝐴𝐷= 𝐶𝐸，作射线𝐵𝑀，求证：𝐵𝑀平分∠𝐴𝐵𝐶．
证明：连接𝑀𝐴, 𝑀𝐶，
∵点M 在𝐴𝐶的垂直平分线上，
∴𝑀𝐴= 𝑀𝐶．（依据： ）
∵𝑀𝐷⊥𝐴𝐵, 𝑀𝐸⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝑀= ∠𝐶𝐸𝑀= ．
在Rt △𝑀𝐴𝐷和Rt △𝑀𝐶𝐸中，{𝑀𝐴= (
)
(
) = 𝐶𝐸
∴Rt △𝑀𝐴𝐷≌Rt △𝑀𝐶𝐸（填判定依据，用字母表示），
∴𝑀𝐷= ______.
又∵𝑀𝐷⊥𝐵𝐴, 𝑀𝐸⊥𝐵𝐶，
∴点M 在∠𝐴𝐵𝐶的平分线上，（依据： ）
即𝐵𝑀平分∠𝐴𝐵𝐶．
【答案】
线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；
𝑀𝐶；
𝐴𝐷；
𝑀𝐸；
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到角两边距离相等的点在角的角平分线上．
【分析】本题考查中垂线的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，熟练掌握相关知识点是解
题的关键．根据中垂线的性质，HL证明两个直角三角形全等，角平分线的判定定理，进行作答即可．
【详解】证明：连接𝑀𝐴, 𝑀𝐶，
∵点M 在𝐴𝐶的垂直平分线上，
∴𝑀𝐴= 𝑀𝐶．（依据：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
∵𝑀𝐷⊥𝐴𝐵, 𝑀𝐸⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝑀= ∠𝐶𝐸𝑀= 90°．
在Rt △𝑀𝐴𝐷和Rt △𝑀𝐶𝐸中，{𝑀𝐴= 𝑀𝐶
𝐴𝐷= 𝐶𝐸
∴Rt △𝑀𝐴𝐷≌Rt △𝑀𝐶𝐸（填判定依据，用字母表示），
∴𝑀𝐷= 𝑀𝐸.
又∵𝑀𝐷⊥𝐵𝐴, 𝑀𝐸⊥𝐵𝐶，
∴点M 在∠𝐴𝐵𝐶的平分线上，（依据：到角两边距离相等的点在角的角平分线上）
即𝐵𝑀平分∠𝐴𝐵𝐶．
▌对点练1-1．（25-26 八年级上·福建福州·期末）在锐角△𝐴𝐵𝐶内一点P，且点P 到△𝐴𝐵𝐶三边的距离相
等，则点P 是△𝐴𝐵𝐶的（ ）
A．三条角平分线的交点
B．重心
C．三条高的交点
D．三边垂直平分线的交点
【答案】A
【分析】本题考查角平分线的性质，掌握到角两边距离相等的点在角平分线上是解题的关键．
根据角平分线的性质，到角两边距离相等的点在角平分线上，可得到三边距离相等的点是三条角平分线的
交点．
【详解】解：∵点P 到△𝐴𝐵𝐶三边的距离相等，
∴点P 是△𝐴𝐵𝐶三条角平分线的交点，
故选A．
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）在∠𝐴𝑂𝐵内部，将两个完全一样的含30°角的直角
三角尺按如图所示的方式放置，连接𝑂𝑃，则可得到𝑂𝑃平分∠𝐴𝑂𝐵，判断依据是__________．
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【答案】在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
【详解】
解：∵两个完全一样的三角尺，
∴∠𝑃𝐶𝐴= ∠𝑃𝐷𝐵= 90°,且𝑃𝐶= 𝑃𝐷，
∵根据角的平分线的判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，
∴𝑂𝑃平分∠𝐴𝑂𝐵．
▌对点练1-3．（25-26 八年级上·河北石家庄·期末）如图，已知△𝑃𝑀𝑁，𝑂𝐴垂直平分𝑀𝑃，交𝑀𝑁于点𝐸，
交𝑀𝑃于点𝑄，𝑂𝐵垂直平分𝑃𝑁，交𝑀𝑁于点𝐹，交𝑃𝑁于点𝑅，连接𝑂𝑃．
(1)连接𝑃𝐸，𝑃𝐹，若𝑀𝑁= 15，求△𝑃𝐸𝐹的周长；
(2)若𝑃𝑀= 𝑃𝑁，求证：𝑂𝑃平分∠𝐴𝑂𝐵．
【答案】(1)15
(2)见解析
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的判定定理，熟练掌握线段垂直平分的性质是解题
关键．
（1）先根据线段垂直平分线的性质可得𝑀𝐸= 𝑃𝐸，𝐹𝑁= 𝑃𝐹，再根据三角形的周长公式即可得；
（2）先根据已知可得𝑃𝑄⊥𝑄𝐴，𝑃𝑅⊥𝑂𝐵，𝑄𝑃=
1
2 𝑃𝑀，𝑃𝑅=
1
2 𝑃𝑁，从而可得𝑃𝑄= 𝑃𝑅，再根据角平分线
的判定定理即可得证．
【详解】（1）解：𝑂𝐴垂直平分𝑀𝑃，
∴𝑀𝐸= 𝑃𝐸．
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同理：𝐹𝑁= 𝑃𝐹．
∴△𝑃𝐸𝐹的周长= 𝐸𝑃+ 𝐹𝑃+ 𝐸𝐹= 𝑀𝐸+ 𝐸𝐹+ 𝐹𝑁= 𝑀𝑁= 15；
（2）证明：∵𝑃𝑁= 𝑃𝑀，𝑂𝐴垂直平分𝑀𝑃，𝑂𝐵垂直平分𝑃𝑁，，
∴ 𝑄𝑃=
1
2 𝑃𝑀，𝑃𝑅=
1
2 𝑃𝑁，
∴𝑃𝑄= 𝑃𝑅．
∴𝑂𝑃平分∠𝐴𝑂𝐵．
▌对点练1-4．∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐶𝐸= 90°, 𝐵𝐶= 𝐴𝐶, 𝐸𝐶= 𝐷𝐶，直线𝐴𝐷与𝐵𝐸交于点𝐹．
(1)如图1，若∠𝐶𝐸𝐵= 90°，求证：𝐹𝐶平分∠𝐵𝐹𝐷；
(2)如图2，若∠𝐶𝐸𝐵≠90°，（1）中的结论是否成立？说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)成立，理由见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的判定定理，
（1），先说明∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐴𝐶𝐷，再根据“边角边”证明△𝐵𝐶𝐸≌△𝐴𝐶𝐷，可得∠𝐶𝐸𝐵= ∠𝐶𝐷𝐴= 90°，进而根
据角平分线的判定定理得出答案；
（2）过点C 作直线𝐴𝐷, 𝐵𝐸的垂线，垂足分别为M，N，由（1）得△𝐵𝐶𝐸≌△𝐴𝐶𝐷，可知∠𝐵= ∠𝐴，然后
根据“角角边”证明△𝐵𝐶𝑁≌△𝐴𝐶𝑀，可得𝐶𝑀= 𝐶𝑁，最后根据角平分线的判定定理得出答案．
【详解】（1）证明：∵∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐶𝐸= 90°,
∴∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐸𝐶𝐴= ∠𝐷𝐶𝐸−∠𝐸𝐶𝐴,
∴∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐴𝐶𝐷．
∵𝐵𝐶= 𝐴𝐶, 𝐸𝐶= 𝐷𝐶，
∴△𝐵𝐶𝐸≌△𝐴𝐶𝐷(SAS)，
∴∠𝐶𝐸𝐵= ∠𝐶𝐷𝐴= 90°，
即𝐶𝐸⊥𝐵𝐹, 𝐶𝐷⊥𝐴𝐷，
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∴𝐹𝐶平分∠𝐵𝐹𝐷；
（2）解：成立，理由：过点C 作直线𝐴𝐷, 𝐵𝐸的垂线，垂足分别为M，N，
由（1）得△𝐵𝐶𝐸≌△𝐴𝐶𝐷，
∴∠𝐵= ∠𝐴．
∵∠𝐶𝑁𝐵= ∠𝐴𝑀𝐶= 90°, 𝐵𝐶= 𝐴𝐶，
∴△𝐵𝐶𝑁≌△𝐴𝐶𝑀，
∴𝐶𝑀= 𝐶𝑁．
∵𝐶𝑀⊥𝐴𝐷, 𝐶𝑁⊥𝐵𝐸,
∴𝐹𝐶平分∠𝐵𝐹𝐷．
题型
角平分线的性质与判定综合
▌例1．（25-26 九年级下·上海杨浦·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶的平分线与∠𝐴𝐶𝐷的平分线交于点𝐸，
连接𝐴𝐸，如果要求出∠𝐶𝐴𝐸的度数，只需知道下列哪个角的度数（ ）
A．∠𝐴𝐵𝐶
B．∠𝐴𝐶𝐵
C．∠𝐵𝐴𝐶
D．∠𝐴𝐸𝐶
【答案】C
【分析】本题考查角平分线的性质与判定．过点𝐸作𝐴𝐵、𝐴𝐶、𝐵𝐶所在直线的垂线，利用角平分线的性质
定理可得点𝐸到𝐴𝐵、𝐴𝐶的距离相等，进而判定𝐴𝐸平分∠𝐹𝐴𝐺，建立∠𝐶𝐴𝐸与∠𝐵𝐴𝐶的数量关系即可求解．
【详解】解：过点𝐸作𝐸𝐹⊥𝐴𝐵交𝐵𝐴的延长线于点𝐹，𝐸𝐺⊥𝐴𝐶交𝐴𝐶于点𝐺，𝐸𝐻⊥𝐵𝐶交𝐵𝐶的延长线于点
解题贴士
先通过垂线段相等用判定证角平分线，再用性质得新的垂线段相等，结合面积、边长、角度、三角形内
心性质综合求解、证明。
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𝐻．
∵𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐸𝐹⊥𝐴𝐵，𝐸𝐻⊥𝐵𝐶，
∴𝐸𝐹= 𝐸𝐻．
∵𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐷，𝐸𝐺⊥𝐴𝐶，𝐸𝐻⊥𝐵𝐶（𝐷、𝐵、𝐶共线），
∴𝐸𝐺= 𝐸𝐻．
∴𝐸𝐹= 𝐸𝐺．
∵𝐸𝐹⊥𝐴𝐵，𝐸𝐺⊥𝐴𝐶，
∴𝐴𝐸平分∠𝐹𝐴𝐺．
∴∠𝐶𝐴𝐸=
1
2 ∠𝐹𝐴𝐺=
1
2 (180∘−∠𝐵𝐴𝐶)．
∴只要求出∠𝐶𝐴𝐸的度数，只需知道∠𝐵𝐴𝐶的度数．故选C．
▌例2．（25-26 七年级下·福建福州·期末）在四边形𝐴𝐵𝐷𝐶中，点F 在边𝐴𝐵上，𝐷𝐹= 𝐶𝐷，连接𝐶𝐹，𝐷𝐸⊥
𝐶𝐹于E，连接𝐴𝐷交𝐶𝐹于点M．
(1)求证：𝐹𝐸= 𝐶𝐸；
(2)若∠𝐵= 90°，∠𝐴𝐹𝐷+ ∠𝐴𝐶𝐷= 180°，求证：∠𝐷𝐴𝐵= ∠𝐷𝐴𝐶；
(3)在（2）的条件下，若𝐴𝐶= 6𝐵𝐹，𝑀𝐸= 1，求𝑀𝐹．
【答案】(1)证明：∵𝐷𝐹= 𝐶𝐷，𝐷𝐸⊥𝐶𝐹，
∴𝐹𝐸= 𝐶𝐸；
(2)证明：作𝐷𝑁⊥𝐴𝐶于点N，
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∴∠𝐷𝑁𝐶= ∠𝐷𝐵𝐹= 90°，
∵∠𝐴𝐹𝐷+ ∠𝐴𝐶𝐷= 180°,∠𝐴𝐹𝐷+ ∠𝐵𝐹𝐷= 180°，
∴∠𝐵𝐹𝐷= ∠𝐷𝐶𝑁，
∵𝐷𝐹= 𝐶𝐷，
∴△𝐷𝐵𝐹≌△𝐷𝑁𝐶(AAS)，
∴𝐷𝐵= 𝐷𝑁，
∵𝐷𝑁⊥𝐴𝐶，∠𝐵= 90°，
∴𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐷𝐴𝐵= ∠𝐷𝐴𝐶；
(3)𝑀𝐹= 4
【分析】（1）根据等腰三角形性质证明结论即可；
（2）作𝐷𝑁⊥𝐴𝐶于点N，证明△𝐷𝐵𝐹≌△𝐷𝑁𝐶(AAS)，得出𝐷𝐵= 𝐷𝑁，进而得出𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，即可得出
结论；
（3）作𝑀𝑃⊥𝐴𝐵于点P，作𝑀𝑄⊥𝐴𝐶于点Q，证明
𝐴𝐹
𝐴𝐶=
𝐹𝑀
𝐶𝑀，证明△𝐴𝐷𝐵≌△𝐴𝐷𝑁(AAS)得出𝐴𝑁= 𝐴𝐵，
得出
𝐴𝐹
𝐴𝐶=
2
3 =
𝐹𝑀
𝐶𝑀，设𝐹𝑀= 2𝑘, 𝐶𝑀= 3𝑘，求出𝐹𝐸= 𝐶𝐸= 2.5𝑘，结合𝑀𝐸= 1，求出k 值即可求出结论．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：作𝑀𝑃⊥𝐴𝐵于点P，作𝑀𝑄⊥𝐴𝐶于点Q，
∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴𝑀𝑃= 𝑀𝑄，
∴
𝑆△𝐴𝑀𝐹
𝑆△𝐴𝑀𝐶=
1
2𝐴𝐹⋅𝑀𝑃
1
2𝐴𝐶⋅𝑀𝑄=
𝐴𝐹
𝐴𝐶，
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同理：
𝑆△𝐴𝑀𝐹
𝑆△𝐴𝑀𝐶=
𝐹𝑀
𝐶𝑀，
∴
𝐴𝐹
𝐴𝐶=
𝐹𝑀
𝐶𝑀，
由（2）知，△𝐷𝐵𝐹≌△𝐷𝑁𝐶(AAS)，
∴𝐵𝐹= 𝑁𝐶，
∵𝐴𝐶= 6𝐵𝐹，
∴𝐴𝐶= 6𝑁𝐶，
∴𝐴𝑁= 5𝑁𝐶，
𝐴𝑁
𝐴𝐶=
5
6，
∵∠𝐷𝐴𝐵= ∠𝐷𝐴𝐶, ∠𝐵= ∠𝐴𝑁𝐷= 90°, 𝐴𝐷= 𝐴𝐷，
∴△𝐴𝐷𝐵≌△𝐴𝐷𝑁(AAS)，
∴𝐴𝑁= 𝐴𝐵= 5𝑁𝐶，𝐴𝐹= 𝐴𝐵−𝐵𝐹= 5𝑁𝐶−𝑁𝐶= 4𝑁𝐶，
∴
𝐴𝐹
𝐴𝐶=
4
6 =
2
3 =
𝐹𝑀
𝐶𝑀，
设𝐹𝑀= 2𝑘, 𝐶𝑀= 3𝑘，
则𝐶𝐹= 5𝑘，
∴𝐹𝐸= 𝐶𝐸= 2.5𝑘，
∴𝑀𝐸= 𝐸𝐹−𝐹𝑀= 2.5𝑘−2𝑘= 0.5𝑘= 1，
∴𝑘= 2，
∴𝑀𝐹= 2𝑘= 4．
▌对点练1-1．（25-26 八年级上·重庆大足·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶交𝐵𝐶于
D，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于E，点F 在𝐴𝐶上，点G 在𝐴𝐵上，𝐵𝐸= 𝐶𝐹，𝐹𝐷平分∠𝐶𝐹𝐺，下列结论中正确的个数
（ ）．
①𝐷𝐶= 𝐷𝐸；②𝐺𝐷平分∠𝐹𝐺𝐸，③∠𝐶𝐴𝐵+ 2∠𝐹𝐷𝐺= 180°；④∠𝐴𝐷𝐹= ∠𝐺𝐷𝐸；⑤𝑆△𝐹𝐷𝐺= 𝑆△𝐶𝐷𝐹+
𝑆△𝐷𝐸𝐺．
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】C
【分析】本题考查角平分线的性质与判定，三角形内角和定理，直角三角形全等的判定和性质，正确作出
辅助线是解题的关键．
根据角平分线的性质定理可判断①正确；过点D 作𝐷𝐻⊥𝐹𝐺于点H，则𝐷𝐶= 𝐷𝐻，结合𝐷𝐶= 𝐷𝐸可得
𝐷𝐻= 𝐷𝐸，根据角平分线的判定定理可判断②正确；由角平分线的定义及三角形内角和定理可判断③正
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确；证明Rt △𝐷𝐸𝐺≌Rt △𝐷𝐻𝐺(HL)，可得∠𝐺𝐷𝐻= ∠𝐺𝐷𝐸，根据题意，无法得到∠𝐴𝐷𝐹与∠𝐺𝐷𝐻的大小关
系，可判断④错误；证明Rt △𝐶𝐷𝐹≌Rt △𝐻𝐷𝐹(HL)，Rt △𝐷𝐸𝐺≌Rt △𝐷𝐻𝐺(HL)，可判断⑤正确．
【详解】解：①∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，∠𝐶= 90°，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，
∴𝐷𝐶= 𝐷𝐸，故结论①正确；
②过点D 作𝐷𝐻⊥𝐹𝐺于点H，如图所示：
∵𝐹𝐷平分∠𝐶𝐹𝐺，∠𝐶= 90°，𝐷𝐻⊥𝐹𝐺，
∴𝐷𝐶= 𝐷𝐻，
又∵𝐷𝐶= 𝐷𝐸，
∴𝐷𝐻= 𝐷𝐸，
∴点D 在∠𝐹𝐺𝐸的平分线上，
∴𝐺𝐷平分∠𝐹𝐺𝐸，故结论②正确；
③∵𝐹𝐷平分∠𝐶𝐹𝐺，𝐺𝐷平分∠𝐹𝐺𝐸，
∴∠𝐶𝐹𝐺= 2∠𝐷𝐹𝐺，∠𝐹𝐺𝐸= 2∠𝐷𝐺𝐹，
∴∠𝐴𝐹𝐺= 180° −∠𝐶𝐹𝐺= 180° −2∠𝐷𝐹𝐺，∠𝐴𝐺𝐹= 180° −∠𝐹𝐺𝐸= 180° −2∠𝐷𝐺𝐹，
∴∠𝐴𝐹𝐺+ ∠𝐴𝐺𝐹= 360° −2(∠𝐷𝐹𝐺+ ∠𝐷𝐺𝐹)，
在△𝐷𝐹𝐺中，∠𝐷𝐹𝐺+ ∠𝐷𝐺𝐹= 180° −∠𝐹𝐷𝐺，
∴∠𝐴𝐹𝐺+ ∠𝐴𝐺𝐹= 360° −2(180° −∠𝐹𝐷𝐺) = 2∠𝐹𝐷𝐺，
在△𝐴𝐹𝐺中，∠𝐶𝐴𝐵+ ∠𝐴𝐹𝐺+ ∠𝐴𝐺𝐹= 180°，
∴∠𝐶𝐴𝐵+ 2∠𝐹𝐷𝐺= 180°，故结论③正确；
④在Rt △𝐷𝐸𝐺和Rt △𝐷𝐻𝐺中，
{𝐷𝐺= 𝐷𝐺
𝐷𝐻= 𝐷𝐸
，
∴Rt △𝐷𝐸𝐺≌Rt △𝐷𝐻𝐺(HL)，
∴∠𝐺𝐷𝐻= ∠𝐺𝐷𝐸，
根据题意，无法得到∠𝐴𝐷𝐹与∠𝐺𝐷𝐻的大小关系，
∴无法得到∠𝐴𝐷𝐹和∠𝐺𝐷𝐸的大小关系，故结论④错误；
⑤在Rt △𝐶𝐷𝐹和Rt △𝐻𝐷𝐹中，
{𝐷𝐶= 𝐷𝐻
𝐷𝐹= 𝐷𝐹
，
∴Rt △𝐶𝐷𝐹≌Rt △𝐻𝐷𝐹(HL)，
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∴𝑆△𝐶𝐷𝐹= 𝑆△𝐻𝐷𝐹，
同理证明：Rt △𝐷𝐸𝐺≌Rt △𝐷𝐻𝐺(HL)，
∴𝑆△𝐷𝐸𝐺= 𝑆△𝐷𝐻𝐺，
∴𝑆△𝐶𝐷𝐹+ 𝑆△𝐷𝐸𝐺= 𝑆△𝐻𝐷𝐹+ 𝑆△𝐷𝐻𝐺= 𝑆△𝐹𝐷𝐺，
即𝑆△𝐹𝐷𝐺= 𝑆△𝐶𝐷𝐹+ 𝑆△𝐷𝐸𝐺，故结论⑤正确，
综上所述：正确的结论是①②③⑤，共4 个．
故选：C．
▌对点练1-2．（25-26 八年级上·江苏宿迁·期末）如图，△𝐴𝐵𝐶的内角∠𝐴𝐵𝐶与外角∠𝐴𝐶𝐹的平分线交于点
𝐷，连接𝐴𝐷，若∠𝐵𝐷𝐶= 35°，则∠𝐷𝐴𝐶的度数是_____________．
【答案】55°
【分析】本题考查角平分线的性质和判定，三角形外角的性质，正确掌握角平分线的性质和判定是解题的
关键．
根据角平分线的性质，可得𝐷𝑀= 𝐷𝑂= 𝐷𝑁，从而得𝐴𝐷是∠𝐸𝐴𝐶的平分线，再根据三角形外角的性质，可
求∠𝐵𝐴𝐶= 70°，进而∠𝐸𝐴𝐶= 110°，最后根据角平分线的定义，计算即可求解．
【详解】解：如图，过点𝐷作𝐷𝑀⊥𝐵𝐸，𝐷𝑁⊥𝐴𝐶，𝐷𝑂⊥𝐵𝐹，垂足分别为𝑀，𝑁，𝑂，
∵ 𝐵𝐷是∠𝐴𝐵𝐶的平分线，𝐷𝑀⊥𝐵𝐸，𝐷𝑂⊥𝐵𝐹，
∴ ∠1 =
1
2 ∠𝐴𝐵𝐶，𝐷𝑀= 𝐷𝑂，
同理可得∠2 =
1
2 ∠𝐴𝐶𝐹，𝐷𝑀= 𝐷𝑂，
∴ 𝐷𝑀= 𝐷𝑁，
∵ 𝐷𝑀⊥𝐵𝐸，𝐷𝑁⊥𝐴𝐶，
∴ 𝐴𝐷是∠𝐸𝐴𝐶的平分线，
∴ ∠3 =
1
2 ∠𝐸𝐴𝐶，
∵ ∠2 = ∠1 + ∠𝐵𝐷𝐶，∠𝐵𝐷𝐶= 35°
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∴
1
2 ∠𝐴𝐶𝐹=
1
2 ∠𝐴𝐵𝐶+ 35°，即∠𝐴𝐶𝐹= ∠𝐴𝐵𝐶+ 70°
∵ ∠𝐴𝐶𝐹= ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 70°，
∴∠𝐸𝐴𝐶= 180° −∠𝐵𝐴𝐶= 110°，
∴∠3 =
1
2 ∠𝐸𝐴𝐶=
1
2 × 110° = 55°，
即∠𝐷𝐴𝐶= 55°．
故答案为：55°．
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·四川成都·期中）如图，△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐶𝐵𝐷，∠𝐵𝐶𝐻的平分线𝐵𝑃，𝐶𝑃相交
于点𝐹．
(1)求证：𝑃𝐸= 𝑃𝐹；
(2)连接𝐴𝑃，若∠𝑃𝐴𝐻= 18°，求∠𝐵𝑃𝐶的度数．
【答案】(1)见解析
(2)72°
【分析】（1）过P 作𝑃𝐺⊥𝐵𝐶于G，根据角平分线的性质定理，结合等量代换证明即可；
（2）先证明𝐴𝑃平分∠𝐵𝐴𝐶，再由三角形内角和定理以及角平分线进行计算即可．
【详解】（1）证明：过P 作𝑃𝐺⊥𝐵𝐶于G，如图所示：
∵𝑃𝐵平分∠𝐶𝐵𝐷，𝑃𝐸⊥𝐵𝐷，
∴𝑃𝐸= 𝑃𝐺，
同理：𝑃𝐹= 𝑃𝐺，
∴𝑃𝐸= 𝑃𝐹；
（2）解：如图，
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∵𝑃𝐸⊥𝐴𝐷，𝑃𝐹⊥𝐴𝐶，𝑃𝐸= 𝑃𝐹，
∴𝐴𝑃平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 2∠𝑃𝐴𝐻= 36°，
∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180° −∠𝐵𝐴𝐶= 144°
∵𝐶𝑃平分∠𝐵𝐶𝐻，𝐵𝑃平分∠𝐶𝐵𝐷，
∴∠𝐵𝐶𝑃=
1
2 ∠𝐵𝐶𝐻，∠𝐶𝐵𝑃=
1
2 ∠𝐶𝐵𝐷，
∴∠𝐵𝐶𝑃+ ∠𝐶𝐵𝑃=
1
2 (∠𝐵𝐶𝐻+ ∠𝐶𝐵𝐷) =
1
2 [(180° −∠𝐴𝐵𝐶) + (180° −∠𝐴𝐶𝐵)] =
1
2 [360° −
(∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵)] = 108°
∴∠BPC = 180° −(∠BCP + ∠CBP) = 72°．
▌对点练1-4．（25-26 八年级上·河南洛阳·期末）已知：∠𝐴𝑂𝐵= 60°，小惠在学习了角平分线的知识后，
做了一个夹角为120°（即∠𝐷𝑃𝐸= 120°）的角尺来作∠𝐴𝑂𝐵的角平分线．
(1)如图1，她先在边𝑂𝐴和𝑂𝐵上分别取𝑂𝐷= 𝑂𝐸，再移动角尺使𝑃𝐷= 𝑃𝐸；然后她就说射线𝑂𝑃是∠𝐴𝑂𝐵的
角平分线．试根据小惠的做法证明射线𝑂𝑃是∠𝐴𝑂𝐵的角平分线；
(2)如图2，将角尺绕点𝑃旋转了一定的角度后，𝑂𝐷≠𝑂𝐸，但仍然出现了𝑃𝐷= 𝑃𝐸，此时𝑂𝑃是∠𝐴𝑂𝐵的角
平分线吗？如果是，请说明理由．
【答案】(1)
证明：如图1 中，
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在△𝑂𝑃𝐷和△𝑂𝑃𝐸中，
{
𝑂𝐷= 𝑂𝐸
𝑃𝐷= 𝑃𝐸
𝑂𝑃= 𝑂𝑃
，
∴ △𝑂𝑃𝐷≌△𝑂𝑃𝐸(SSS)，
∴∠𝑃𝑂𝐷= ∠𝑃𝑂𝐸；
(2)
是，理由：如图2 中，过点𝑃作𝑃𝐻⊥𝑂𝐴于𝐻，𝑃𝐾⊥𝑂𝐵于𝐾．
∵∠𝑃𝐻𝑂= ∠𝑃𝐾𝐵= 90°，∠𝐴𝑂𝐵= 60°，
∴∠𝐻𝑃𝐾= 120°，
∵∠𝐷𝑃𝐸= ∠𝐻𝑃𝐾= 120°，
∴∠𝐷𝑃𝐻= ∠𝐸𝑃𝐾，
在△𝐷𝑃𝐻和△𝐸𝑃𝐾中，
{
∠𝑃𝐻𝑂= ∠𝑃𝐾𝐵= 90°
∠𝐷𝑃𝐻= ∠𝐸𝑃𝐾
𝑃𝐷= 𝑃𝐸
，
∴△𝐷𝑃𝐻≌△𝐸𝑃𝐾(AAS)，
∴𝑃𝐻= 𝑃𝐾，
则𝑂𝑃是∠𝐴𝑂𝐵的角平分线．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定等知识．
（1）根据SSS证明△𝑂𝑃𝐷≌△𝑂𝑃𝐸，可得结论；
（2）过点𝑃作𝑃𝐻⊥𝑂𝐴于𝐻，𝑃𝐾⊥𝑂𝐵于𝐾．证明△𝐷𝑃𝐻≌△𝐸𝑃𝐾(AAS)，可得结论．
【详解】（1）略
（2）略
基础通关
1．（2026·四川绵阳·二模）关于命题“同旁内角互补，两直线平行”，下列说法正确的是（ ）
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A．逆命题为“两直线平行，同旁内角互补”
B．逆命题为“两直线不平行，同旁内角互补”
C．逆命题为“两直线不平行，同旁内角不互补”
D．逆命题为“两直线平行，同旁内角不互补”
【答案】A
【分析】先找出原命题的条件和结论，将条件和结论互换得到逆命题，再和选项对比得到答案．
【详解】解：原命题“同旁内角互补，两直线平行”中，条件为“同旁内角互补”，结论为“两直线平行”.
∵逆命题的定义是将原命题的条件与结论互换得到新命题，
∴该命题的逆命题为“两直线平行，同旁内角互补”. 对照选项可知A 正确．
2．（25-26 八年级上·河南周口·期末）下列命题中，其逆命题是假命题的是（ ）
A．等腰三角形的两个底角相等
B．直角三角形的两个锐角互余
C．全等三角形的对应角相等
D．等边三角形的每个内角都是60°
【答案】C
【分析】本题考查命题的真假判断及逆命题的概念，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形
的性质，全等三角形的性质，先写出各选项命题的逆命题，再结合三角形相关性质判断逆命题真假，找出
逆命题为假的选项．
【详解】解：A 选项：原命题的逆命题为“有两个角相等的三角形是等腰三角形”
∵根据等角对等边的性质
∴该逆命题为真命题；
B 选项：原命题的逆命题为“两个锐角互余的三角形是直角三角形”
∵三角形内角和为180°，若两锐角互余即和为90°
∴第三个角为180° −90° = 90°，该三角形是直角三角形，逆命题为真命题；
C 选项：原命题的逆命题为“对应角相等的三角形是全等三角形”
∵仅对应角相等只能说明三角形相似，不能保证三边相等（如大小不同的等边三角形）
∴该逆命题为假命题；
D 选项：原命题的逆命题为“每个内角都是60°的三角形是等边三角形”
∵三角形三个角均为60°，根据等角对等边，三边相等
∴该三角形是等边三角形，逆命题为真命题；
故选：C．
3．（25-26 八年级上·山西临汾·期末）下列定理中，没有逆定理的是（ ）
A．对顶角相等
B．两直线平行，同旁内角互补
C．等边对等角
D．全等三角形对应边相等
【答案】A
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【分析】本题考查逆定理的概念．一个定理的逆命题不一定为真命题，若其逆命题为假命题，则称该定理
没有逆定理．解题时，需写出各选项的逆命题，并判断其真假．
【详解】解：A、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，假命题，故该选项符合题意；
B、两直线平行，同旁内角互补的逆命题是同旁内角互补，两直线平行，是真命题，故该选项不符合题
意；
C、等边对等角的逆命题是等角对等边，是真命题，故该选项不符合题意；
D、全等三角形的对应边相等的逆命题是三边对应相等的三角形是全等三角形，是真命题，故该选项不符
合题意；
故选∶A．
4．（25-26 八年级上·河南南阳·期末）如图，𝐴𝐶= 𝐴𝐷, 𝐵𝐶= 𝐵𝐷，则有（ ）
A．𝐶𝐷垂直平分𝐴𝐵
B．𝐴𝐵垂直平分𝐶𝐷
C．△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形
D．𝐴𝐵与𝐶𝐷互相垂直平分
【答案】B
【分析】本题考查了垂直平分线的判定，等腰三角形的判定，根据垂直平分线的判定定理，逐一分析即可
解题．
【详解】解：∵ 𝐴𝐶= 𝐴𝐷，𝐵𝐶= 𝐵𝐷，
∴A、B 在𝐶𝐷的垂直平分线上，
即𝐴𝐵垂直平分𝐶𝐷（但𝐶𝐷不一定垂直平分𝐴𝐵）．
∴△𝐴𝐵𝐶不一定是等腰三角形，
∴A，C，D 错误，B 正确，
故选：B．
5．（25-26 八年级上·四川宜宾·期末）下列 4 个命题中，是真命题的个数有（ ）
①两直线平行，同位角相等；②如果两个实数相等，则它们的绝对值相等；③全等三角形的对应角相
等；④角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】本题考查真假命题的判断，需结合平行线的性质、绝对值的性质、全等三角形的性质、角平分线
的判定定理，逐一分析命题真假，确定真命题的个数．
【详解】解：①∵两直线平行，同位角相等是平行线的基本性质，∴该命题是真命题．
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②∵若两个实数相等，则它们的绝对值一定相等，∴该命题是真命题．
③∵全等三角形的对应角相等是全等三角形的基本性质，∴该命题是真命题．
④∵角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上是角平分线的判定定理，∴该命题是真命题．
综上，4 个命题均为真命题，
故选：D．
6．（25-26 八年级上·贵州黔西南·期末）将两个完全一样的三角板如图摆放，使三角板的一条直角边分别
与△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐵，𝐴𝐶重合，它们的顶点重合于点M，则点M 一定在（ ）
A．∠𝐴的平分线上
B．边𝐴𝐶的高线上
C．边𝐵𝐶的垂直平分线上
D．边𝐴𝐵的中线上
【答案】A
【分析】本题考查的是角平分线的判定定理，掌握到角的两边的距离相等的点在角平分线上是解题的关
键．
作射线𝐴𝑀，根据角平分线的判定定理得到𝐴𝑀平分∠𝐵𝐴𝐶，得到答案．
【详解】解：作射线𝐴𝑀，
由题意得，𝑀𝐺= 𝑀𝐻，𝑀𝐺⊥𝐴𝐵，𝑀𝐻⊥𝐴𝐶，
∴𝐴𝑀平分∠𝐵𝐴𝐶，
故选：A．
7．（25-26 七年级下·江苏连云港·期末）命题“直角三角形两锐角相等”的逆命题______．
【答案】两锐角相等的三角形是直角三角形
【分析】先确定原命题的条件与结论，再将条件和结论互换即可得到原命题的逆命题．
【详解】原命题“直角三角形两锐角相等”的逆命题为：两个锐角相等的三角形是直角三角形．
8．（25-26 七年级下·江苏无锡·期末）请写出命题“若𝑎< 𝑏，则𝑎2 < 𝑏2”的逆命题：__________．
【答案】
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若𝑎2 < 𝑏2，则𝑎< 𝑏
【分析】根据逆命题的定义，交换原命题的条件与结论，即可得到原命题的逆命题
【详解】解：原命题的条件是𝑎< 𝑏，结论是𝑎2 < 𝑏2，
交换原命题的条件和结论，可得逆命题为：若𝑎2 < 𝑏2，则𝑎< 𝑏
9．（25-26 七年级下·上海普陀·期末）命题“等边三角形的三条边相等”的逆命题是：如果
__________________，那么_____________________．
【答案】 一个三角形的三条边相等 这个三角形是等边三角形
【分析】明确逆命题的构造方法，交换原命题的题设与结论即可得到所求逆命题．
【详解】将原命题“等边三角形的三条边相等”改写为“如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形的三
条边相等”，可得原命题的题设为“一个三角形是等边三角形”，结论为“这个三角形的三条边相等”，交换原
命题的题设与结论，即可得到该命题的逆命题．因此如果后横线处填一个三角形的三条边相等，那么后横
线处填这个三角形是等边三角形．
10．（25-26 八年级上·江苏南京·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶, 𝐵𝐷⊥𝐴𝐶于点D，𝐶𝐸⊥𝐴𝐵于点E，
𝐵𝐷, 𝐶𝐸相交于F．
(1)求证：𝐴𝐸= 𝐴𝐷；
(2)试判断𝐴𝐹所在直线与𝐵𝐶的位置关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)直线𝐴𝐹是𝐵𝐶的垂直平分线，证明见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握等
腰三角形的判定与性质．
（1）由已知条件利用AAS证明△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸即可；
（2）由等腰三角形的性质和垂线定义可得∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐷𝐵𝐶，再由等腰三角形的判定即可得出𝐹𝐵= 𝐹𝐶，即
可得出结论．
【详解】（1）解：∵𝐵𝐷⊥𝐴𝐶, 𝐶𝐸⊥𝐴𝐵，
∴∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐸𝐶= 90°，
∵在△𝐴𝐷𝐵和△𝐴𝐸𝐶中，
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{
∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝐶
∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐸𝐶
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
，
∴△𝐴𝐷𝐵≌△𝐴𝐸𝐶(AAS)，
∴𝐴𝐸= 𝐴𝐷；
（2）解：直线𝐴𝐹是𝐵𝐶的垂直平分线，证明如下：
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵，
∵𝐵𝐷⊥𝐴𝐶, 𝐶𝐸⊥𝐴𝐵，
∴∠𝐶𝐸𝐵= ∠𝐵𝐷𝐶= 90°,∠𝐵𝐶𝐸= 90° −∠𝐴𝐵𝐶, ∠𝐷𝐵𝐶= 90° −∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐷𝐵𝐶，
∴𝐵𝐹= 𝐶𝐹，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴直线𝐴𝐹是𝐵𝐶的垂直平分线．
11．（25-26 八年级下·陕西宝鸡·期末）如图，△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝑀𝑁均为等边三角形，将△𝐴𝑀𝑁绕点𝐴旋转（△
𝐴𝑀𝑁在直线𝐴𝐶的右侧）．
(1)求证：△𝐵𝐴𝑀≌△𝐶𝐴𝑁；
(2)若点𝐶，𝑀，𝑁在同一条直线上，点𝑀是𝐶𝑁的中点，求证：𝐵𝑀⊥𝐴𝐶．
【答案】(1)证明：∵△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝑀𝑁是等边三角形，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐶, 𝐴𝑀= 𝐴𝑁, ∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝑀𝐴𝑁= 60°，
∴∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝑀𝐴𝐶= ∠𝑀𝐴𝑁+ ∠𝑀𝐴𝐶，即∠𝐵𝐴𝑀= ∠𝐶𝐴𝑁，
在△𝐵𝐴𝑀和△𝐶𝐴𝑁中，
{
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∠𝐵𝐴𝑀= ∠𝐶𝐴𝑁
𝐴𝑀= 𝐴𝑁
，
∴△𝐵𝐴𝑀≌△𝐶𝐴𝑁(SAS)；
(2)证明：∵点M 是𝐶𝑁的中点，
∴𝑀𝑁= 𝐶𝑀，
∵△𝐴𝑀𝑁是等边三角形，
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∴𝐴𝑀= 𝑀𝑁= 𝐶𝑀，
∵△𝐴𝐵𝐶为等边三角形，
∴𝐴𝐵= 𝐶𝐵，
∴𝑀𝐵是𝐴𝐶的垂直平分线，
∴𝐵𝑀⊥𝐴𝐶．
【分析】（1）根据等边三角形的性质及各角之间的关系得出∠𝐵𝐴𝑀= ∠𝐶𝐴𝑁，再由全等三角形的判定证明
即可；
（2）根据题意得出𝑀𝑁= 𝐶𝑀，再由等边三角形的性质得出𝐴𝑀= 𝑀𝑁= 𝐶𝑀，𝐴𝐵= 𝐶𝐵，利用线段垂直平
分线的判定证明即可．
【详解】（1）略；
（2）略．
12．（25-26 七年级下·重庆·期中）请将下面的解答过程补充完整．
在△𝐴𝐵𝐶中，已知𝐸𝐹⊥𝐵𝐶，垂足为𝐹，𝐴𝐷是∠𝐵𝐴𝐶的角平分线，∠1 = ∠2，试判断𝐴𝐷与𝐵𝐶的位置关系，
并说明理由．
解：𝐴𝐷与𝐵𝐶的位置关系为： ① ，理由如下：
∵𝐸𝐹⊥𝐵𝐶（已知）
∴∠𝐸𝐹𝐶= 90°（垂直的定义）
∵𝐴𝐷是∠𝐵𝐴𝐶的角平分线（已知）
∴ ②
∵∠1 = ∠2，
∴∠1 = ∠𝐶𝐴𝐷
∴ ③ （同位角相等，两直线平行）
∴ ④ = ∠𝐸𝐹𝐶= 90°（ ⑤ ）
∴ ⑥
【答案】𝐴𝐷⊥𝐵𝐶；∠2 = ∠𝐶𝐴𝐷；𝐴𝐷∥𝐸𝐹；∠𝐴𝐷𝐶；两直线平行，同位角相等；𝐴𝐷⊥𝐵𝐶．
【分析】根据垂直的定义得到∠𝐸𝐹𝐶= 90°，由角平分线的定义以及∠1 = ∠2推出∠1 = ∠𝐶𝐴𝐷，得到𝐴𝐷∥
𝐸𝐹，推出∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐸𝐹𝐶= 90°，即可求解．
【详解】解：𝐴𝐷与𝐵𝐶的位置关系为：𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，理由如下：
∵𝐸𝐹⊥𝐵𝐶（已知）
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∴∠𝐸𝐹𝐶= 90°（垂直的定义）
∵𝐴𝐷是∠𝐵𝐴𝐶的角平分线（已知）
∴ ∠2 = ∠𝐶𝐴𝐷，
∵∠1 = ∠2，
∴∠1 = ∠𝐶𝐴𝐷，
∴ 𝐴𝐷∥𝐸𝐹（同位角相等，两直线平行）
∴ ∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐸𝐹𝐶= 90°（两直线平行，同位角相等）
∴ 𝐴𝐷⊥𝐵𝐶．
故答案为：𝐴𝐷⊥𝐵𝐶；∠2 = ∠𝐶𝐴𝐷；𝐴𝐷∥𝐸𝐹；∠𝐴𝐷𝐶；两直线平行，同位角相等；𝐴𝐷⊥𝐵𝐶．
13．（25-26 八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在△𝐴𝐷𝐹中，∠𝐹= 90°，点𝐵、𝐶分别在边𝐴𝐹、𝐷𝐹上，连接
𝐴𝐶、𝐵𝐶，𝐶𝐵= 𝐶𝐷，∠𝐷= ∠𝐶𝐵𝐹，在边𝐴𝐷上截取𝐷𝐸= 𝐵𝐹，连接𝐶𝐸．求证：𝐴𝐶平分∠𝐷𝐴𝐵．
【答案】证明见解析
【分析】证明△𝐶𝐷𝐸≌△𝐶𝐵𝐹(SAS)得到∠𝐷𝐸𝐶= ∠𝐹= 90°，𝐶𝐸= 𝐶𝐹，再根据角平分线的判定定理可得结
论．
【详解】证明：在△𝐶𝐷𝐸与△𝐶𝐵𝐹中，
∵𝐷𝐸= 𝐵𝐹，∠𝐷= ∠𝐶𝐵𝐹，𝐶𝐷= 𝐶𝐵．
∴△𝐶𝐷𝐸≌△𝐶𝐵𝐹(SAS)．
∴∠𝐷𝐸𝐶= ∠𝐹= 90°，𝐶𝐸= 𝐶𝐹．
∴𝐶𝐸⊥𝐴𝐷，𝐶𝐹⊥𝐴𝐹
∴𝐴𝐶平分∠𝐷𝐴𝐵．
素养提升
1．（25-26 八年级下·福建漳州·期末）下列各命题的逆命题成立的是（ ）
A．等角对等边 B．若𝑎= 𝑏，则𝑎2 = 𝑏2
C．对顶角相等 D．直角都相等
【答案】A
【分析】本题考查逆命题的改写与真假判断，解题思路为：先交换每个命题的题设与结论得到对应逆命
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题，再逐一判断逆命题的真假，选出逆命题成立的选项．
【详解】A 原命题为“如果两个角相等，那么它们所对的边相等”，逆命题为“如果两条边相等，那么它们所
对的角相等”，即等边对等角，该命题为真命题，逆命题成立．
B 原命题的逆命题为“若𝑎2 = 𝑏2，则𝑎= 𝑏”，∵当𝑎= 2, 𝑏= −2时，𝑎2 = 𝑏2但𝑎≠𝑏，∴逆命题不成立．
C 原命题的逆命题为“相等的角是对顶角”，∵相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行的同位角相等，但
不是对顶角，∴逆命题不成立．
D 原命题的逆命题为“相等的角都是直角”，∵两个30°的角相等，但都不是直角，∴逆命题不成立．
2．（2026·山东聊城·二模）下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．等边三角形是锐角三角形
B．如果两个实数相等，那么它们的平方相等
C．两条直线平行，内错角相等
D．全等三角形的对应角相等
【答案】C
【分析】先写出每个命题的逆命题，再判断逆命题的真假，即可选出正确答案．
【详解】解：A 选项，原命题为“等边三角形是锐角三角形”，逆命题为“锐角三角形是等边三角形”，锐角
三角形不一定是等边三角形，逆命题是假命题．
B 选项，原命题为“如果两个实数相等，那么它们的平方相等”，逆命题为“如果两个实数的平方相等，那么
这两个实数相等”，例如22 = (−2)2但2 ≠−2，逆命题是假命题．
C 选项，原命题为“两条直线平行，内错角相等”，逆命题为“内错角相等，两条直线平行”，这是平行线的
判定定理，逆命题是真命题．
D 选项，原命题为“全等三角形的对应角相等”，逆命题为“对应角相等的三角形是全等三角形”，对应角相
等的三角形大小不一定相等，不一定全等，逆命题是假命题．
3．（25-26 七年级上·山东淄博·期末）如图，已知𝑃𝐴⊥𝑂𝑁于点𝐴，𝑃𝐵⊥𝑂𝑀于点𝐵，且𝑃𝐴＝𝑃𝐵，
∠𝑀𝑂𝑁＝50°，∠𝑂𝑃𝐶＝20°，则∠𝑃𝐶𝐴＝____°．
【答案】45
【分析】本题考查角平分线定理的判定，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识是关键．
由题意可得，𝑂𝑃是∠𝑀𝑂𝑁的平分线，则∠𝑃𝑂𝐴= 25°，根据三角形外角的性质进行计算即可．
【详解】解：∵𝑃𝐴⊥𝑂𝑁，𝑃𝐵⊥𝑂𝑀，
又∵𝑃𝐴= 𝑃𝐵，
∴𝑂𝑃是∠𝑀𝑂𝑁的平分线，
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∴∠𝑃𝑂𝐴=
1
2 ∠𝑀𝑂𝑁= 25°，
∵∠𝑃𝐶𝐴是△𝑂𝐶𝑃的外角，
∴∠𝑃𝐶𝐴= ∠𝑃𝑂𝐴+ ∠𝑂𝑃𝐶= 25° + 20° = 45°．
故答案为：45．
4．（2026·山东临沂·二模）命题“如果
𝑎
𝑐=
𝑏
𝑐，那么𝑎= 𝑏”的逆命题是__________（填“真”或“假”）命题．
【答案】假
【分析】交换原命题的题设与结论得到逆命题，再根据分式有意义的条件判断逆命题的真假即可．
【详解】解：逆命题为：如果𝑎= 𝑏，那么
𝑎
𝑐=
𝑏
𝑐，
当𝑎= 𝑏，𝑐= 0时，分式
𝑎
𝑐与
𝑏
𝑐无意义，则等式
𝑎
𝑐=
𝑏
𝑐不成立，
∴逆命题是假命题．
5．（25-26 七年级下·广东深圳·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷是𝐵𝐶上的一点，连接𝐴𝐷，作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵交𝐴𝐵于
点𝐸，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶交𝐴𝐶于点𝐹，且𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，连接𝐸𝐹．
(1)证明：𝐴𝐷垂直平分𝐸𝐹；
(2)若△𝐴𝐵𝐶面积为36,𝐵𝐶= 12,𝐷𝐸= 4，求△𝐴𝐵𝐶的周长．
【答案】(1)证明：∵𝐷𝐹⊥𝐴𝐶，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，
∴∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐴𝐹𝐷，
∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐹𝐴𝐷，
在△𝐴𝐸𝐷和△𝐴𝐹𝐷中，
{
∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐴𝐹𝐷
∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐹𝐴𝐷
𝐴𝐷= 𝐴𝐷
∴△𝐴𝐸𝐷≌△𝐴𝐹𝐷(AAS)，
∴𝐷𝐸= 𝐷𝐹, 𝐴𝐸= 𝐴𝐹，
∴点𝐴和点𝐷在𝐸𝐹的垂直平分线上，
∴𝐴𝐷垂直平分𝐸𝐹；
(2)30
【分析】（1）证明△𝐴𝐸𝐷≌△𝐴𝐹𝐷，可得𝐴𝐸= 𝐴𝐹，𝐷𝐸= 𝐷𝐹，从而得到点𝐴和点𝐷在𝐸𝐹的垂直平分线上
即可．
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（2）由三角形的面积可求出𝐴𝐵+ 𝐴𝐶= 18，根据三角形周长公式即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：由（1）得△𝐴𝐷𝐸≌△𝐴𝐷𝐹，
∴∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐴𝐹𝐷= 90°，𝐷𝐸= 𝐷𝐹，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝐴𝐵⋅𝐷𝐸+
1
2 𝐴𝐶⋅𝐷𝐹=
1
2 𝐷𝐸(𝐴𝐵+ 𝐴𝐶) = 36，
∵𝐷𝐸= 4
∴𝐴𝐵+ 𝐴𝐶= 18，
∵𝐵𝐶= 12
∴△𝐴𝐵𝐶的周长为30．
6．（25-26 八年级上·福建福州·期末）如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐵的垂直平分线交𝐴𝐵于点
𝐷，交𝐵𝐶于点𝐸，连接𝐶𝐷，𝐴𝐸．
(1)若∠𝐵= 30°，求∠𝐶𝐴𝐸的度数；
(2)在（1）的条件下，求证：点𝐸在线段𝐶𝐷的垂直平分线上．
【答案】(1)30°
(2)证明见解析
【分析】本题考查垂直平分线判定及性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握好相关知
识是关键．
（1）由垂直平分线的性质可得𝐴𝐸= 𝐵𝐸，则∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐵= 30°，结合三角形内角和定理求出∠𝐶𝐴𝐸的度
数；
（2）通过证明△𝐴𝐶𝐸≌△𝐴𝐷𝐸(AAS)可得𝐶𝐸= 𝐷𝐸，利用垂直平分线的判定定理可证明．
【详解】（1）解：∵𝐷𝐸垂直平分𝐴𝐵，
∴𝐴𝐸= 𝐵𝐸，
又∵∠𝐵= 30°，
∴∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐵= 30°，
∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180° −∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐵= 60°，
∴∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐵𝐴𝐸= 60° −30° = 30°；
（2）证明：∵𝐷𝐸垂直平分𝐴𝐵，
∴∠𝐴𝐷𝐸= 90° = ∠𝐴𝐶𝐵，
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由（1）可得∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐸= 30°，
在△𝐴𝐶𝐸和△𝐴𝐷𝐸中，
{
∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐸
∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐴𝐷𝐸
𝐴𝐸= 𝐴𝐸
，
∴△𝐴𝐶𝐸≌△𝐴𝐷𝐸(AAS)，
∴𝐶𝐸= 𝐷𝐸，
∴点𝐸在线段𝐶𝐷的垂直平分线上．
7．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点D 在𝐵𝐶边上，∠𝐵𝐴𝐷= 100°，∠𝐴𝐵𝐶的平分线交𝐴𝐶于点E，过点E 作𝐸𝐹⊥
𝐴𝐵，垂足为F，且∠𝐴𝐸𝐹= 50°，连接𝐷𝐸．
(1)求∠𝐶𝐴𝐷的度数；
(2)求证：𝐷𝐸平分∠𝐴𝐷𝐶；
(3)若𝐴𝐵= 6，𝐴𝐷= 4，𝐶𝐷= 8，且𝑆△𝐴𝐶𝐷= 12，求△𝐴𝐵𝐸的面积．
【答案】(1)∠𝐶𝐴𝐷= 40°
(2)见解析
(3)6
【分析】（1）根据平角的定义解题即可；
（2）过点E 作𝐸𝐺⊥𝐴𝐷于G，𝐸𝐻⊥𝐵𝐶于H，结合角平分线的性质和判定定理证明；
（3）根据𝑆△𝐴𝐶𝐷= 𝑆△𝐴𝐷𝐸+ 𝑆△𝐶𝐷𝐸=
1
2 𝐴𝐷· 𝐸𝐺+
1
2 𝐶𝐷· 𝐸𝐻求出𝐸𝐺，再进行求解即可．
【详解】（1）解：∵𝐸𝐹⊥𝐴𝐵，∠𝐴𝐸𝐹= 50°，
∴∠𝐹𝐴𝐸= 90° −50° = 40°，
∵∠𝐵𝐴𝐷= 100°，
∴∠𝐶𝐴𝐷= 180° −100° −40° = 40°；
（2）证明：过点E 作𝐸𝐺⊥𝐴𝐷于G，𝐸𝐻⊥𝐵𝐶于H，
∵∠𝐹𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐸= 40°，𝐸𝐹⊥𝐵𝐹，𝐸𝐺⊥𝐴𝐷，
∴𝐸𝐹= 𝐸𝐺，
∵𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐸𝐹⊥𝐵𝐹，𝐸𝐻⊥𝐵𝐶，
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∴𝐸𝐹= 𝐸𝐻，
∴𝐸𝐺= 𝐸𝐻，
∴𝐷𝐸平分∠𝐴𝐷𝐶；
（3）解：∵𝑆△𝐴𝐶𝐷= 12，
∴𝑆△𝐴𝐷𝐸+ 𝑆△𝐶𝐷𝐸=
1
2 𝐴𝐷· 𝐸𝐺+
1
2 𝐶𝐷· 𝐸𝐻= 12，
即
1
2 × 4 × 𝐸𝐺+
1
2 × 8 × 𝐸𝐺= 12，
解得𝐸𝐺= 𝐸𝐻= 2，
∴𝐸𝐹= 2，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐸=
1
2 𝐴𝐵· 𝐸𝐹=
1
2 × 6 × 2 = 6．
8．（25-26 八年级上·湖南长沙·期末）如图1，△𝑂𝐴𝐵,△𝑂𝐶𝐷都是等腰三角形，𝑂𝐴= 𝑂𝐵, 𝑂𝐶=
𝑂𝐷, ∠𝐴𝑂𝐵= ∠𝐶𝑂𝐷，连接𝐴𝐶和𝐵𝐷相交于点E，连接𝑂𝐸．
(1)求证：△𝐴𝐶𝑂≌△𝐵𝐷𝑂；
(2)若∠𝐴𝑂𝐵= 2𝛼，求∠𝑂𝐸𝐷的大小；
(3)如图2，若∠𝐴𝑂𝐵= 60°，F 为𝐵𝐷上一点，𝐷𝐹= 𝐶𝐸, 𝑂𝐹= 𝐵𝐸，𝐴𝐶交𝑂𝐵于点G，求证：𝐴𝐶垂直平分
𝐵𝑂．
【答案】(1)见解析
(2)∠𝑂𝐸𝐷= 90° −𝛼
(3)见解析
【分析】（1）证明∠𝐴𝑂𝐶= ∠𝐵𝑂𝐷即可证明△𝐴𝑂𝐶≌△𝐵𝑂𝐷(SAS)；
（2）过点O 作𝑂𝑀⊥𝐴𝐶于点M，𝑂𝑁⊥𝐵𝐷于点N，求出∠𝐴𝑂𝐵= ∠𝐴𝐸𝐵= 2𝛼, ∠𝐴𝐸𝐷= 180° −2𝛼，再证
明𝐸𝑂平分∠𝐴𝐸𝐷，即可求出结论；
（3）先证明△𝑂𝐶𝐸≌△𝑂𝐷𝐹(SAS)，得出𝑂𝐸= 𝑂𝐹，进而证明𝑂𝐸= 𝐵𝐸，点E 在𝐵𝑂的垂直平分线上，再根
据△𝐴𝑂𝐵为等边三角形得出点A 在𝐵𝑂的垂直平分线上，证明结论即可．
【详解】（1）证明：∵∠𝐴𝑂𝐵= ∠𝐶𝑂𝐷，
∴∠𝐴𝑂𝐵+ ∠𝐵𝑂𝐶= ∠𝐶𝑂𝐷+ ∠𝐵𝑂𝐶，即∠𝐴𝑂𝐶= ∠𝐵𝑂𝐷，
在△𝐴𝑂𝐶和△𝐵𝑂𝐷中，
{
𝑂𝐴= 𝑂𝐵
∠𝐴𝑂𝐶= ∠𝐵𝑂𝐷
𝑂𝐶= 𝑂𝐷
．
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∴△𝐴𝑂𝐶≌△𝐵𝑂𝐷(SAS)；
（2）解：如图，过点O 作𝑂𝑀⊥𝐴𝐶于点M，𝑂𝑁⊥𝐵𝐷于点N，则∠𝑂𝑀𝐴= ∠𝑂𝑁𝐵= 90°，
由（1）△𝐴𝑂𝐶≌△𝐵𝑂𝐷，
∴∠𝑂𝐴𝐶= ∠𝑂𝐵𝐷，
∵∠𝐴𝑃𝑂= ∠𝐵𝑃𝐸，
∴∠𝐴𝑂𝐵= ∠𝐴𝐸𝐵= 2𝛼, ∠𝐴𝐸𝐷= 180° −2𝛼，
在△𝑂𝐴𝑀和△𝑂𝐵𝑁中，
∵{
∠𝑂𝑀𝐴= ∠𝑂𝑁𝐵
∠𝑂𝐴𝑀= ∠𝑂𝐵𝑁
𝑂𝐴= 𝑂𝐵
∴△𝑂𝐴𝑀≌△𝑂𝐵𝑁(AAS)，
∴𝑂𝑀= 𝑂𝑁，
∴𝐸𝑂平分∠𝐴𝐸𝐷，
∴∠𝑂𝐸𝐷= 90° −𝛼．
（3）证明：由（1）△𝐴𝑂𝐶≌△𝐵𝑂𝐷得：∠𝑂𝐶𝐸= ∠𝑂𝐷𝐹, ∠𝑂𝐴𝐶= ∠𝑂𝐵𝐷．
在△𝑂𝐶𝐸和△𝑂𝐷𝐹中，
∵{
𝑂𝐶= 𝑂𝐷
∠𝑂𝐶𝐸= ∠𝑂𝐷𝐹
𝐶𝐸= 𝐷𝐹
．
∴△𝑂𝐶𝐸≌△𝑂𝐷𝐹(SAS)
∴𝑂𝐸= 𝑂𝐹
∵𝑂𝐹= 𝐵𝐸，
∴𝑂𝐸= 𝐵𝐸，点E 在𝐵𝑂的垂直平分线上；
在△𝐴𝑂𝐵中，∠𝐴𝑂𝐵= 60°, 𝑂𝐴= 𝑂𝐵，
∴△𝐴𝑂𝐵为等边三角形，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝑂，点A 在𝐵𝑂的垂直平分线上；
∴直线𝐴𝐶垂直平分𝐵𝑂．
9．（25-26 八年级上·四川广安·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷在边𝐵𝐶的延长线上，连接𝐴𝐷，∠𝐴𝐵𝐶的平
分线交𝐴𝐷于点𝐸，连接𝐶𝐸，过点𝐸作𝐸𝐻⊥𝐵𝐷于点𝐻，若∠𝐴𝐶𝐸= 34°，∠𝐶𝐸𝐻= 56°．
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(1)求证：𝐴𝐸平分∠𝐶𝐴𝐹；
(2)若𝐴𝐵= 8，𝐶𝐷= 10，𝐴𝐶= 6，且𝑆△𝐴𝐵𝐸= 16，求△𝐴𝐶𝐷的面积．
【答案】(1)
证明：如图，过点𝐸作𝐸𝑀⊥𝐵𝐹于点𝑀，𝐸𝑁⊥𝐴𝐶于点𝑁．
∵𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴𝐸𝑀= 𝐸𝐻．
∵∠𝐴𝐶𝐸= 34°，∠𝐶𝐸𝐻= 56°，
∴∠𝐻𝐶𝐸= 90° −∠𝐶𝐸𝐻= 90° −56° = 34° = ∠𝐴𝐶𝐸，
∴𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐷，
∴𝐸𝑁= 𝐸𝐻，
∴𝐸𝑀= 𝐸𝑁，
∴𝐴𝐸平分∠𝐶𝐴𝐹．
(2)32
【分析】本题考查角平分线的性质与判定、直角三角形两锐角互余、三角形的面积，掌握角平分线的性质
与判定定理是解题的关键．
（1）过点𝐸作𝐸𝑀⊥𝐵𝐹于点𝑀，𝐸𝑁⊥𝐴𝐶于点𝑁根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得𝐸𝑀=
𝐸𝐻、𝐸𝑁= 𝐸𝐻，即可得到𝐸𝑀= 𝐸𝑁，根据角平分线的判定定理即可解答；
（2）根据𝑆△𝐴𝐵𝐸=
1
2 𝐴𝐵⋅𝐸𝑀结合已知条件可得𝐸𝑀的长，最后运用𝑆△𝐴𝐶𝐷= 𝑆△𝐴𝐶𝐸+ 𝑆△𝐶𝐸𝐷即可解答．
【详解】（1）略
（2）解：∵𝐴𝐵= 8，𝐶𝐷= 10，𝐴𝐶= 6，且𝑆△𝐴𝐵𝐸= 16，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐸=
1
2 𝐴𝐵⋅𝐸𝑀=
1
2 × 8 ⋅𝐸𝑀= 16，
∴𝐸𝑀= 4，
∴𝐸𝑁= 𝐸𝐻= 𝐸𝑀= 4，
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∴𝑆△𝐴𝐶𝐷= 𝑆△𝐴𝐶𝐸+ 𝑆△𝐶𝐸𝐷=
1
2 𝐴𝐶⋅𝐸𝑁+
1
2 𝐶𝐷⋅𝐸𝐻=
1
2 × 6 × 4 +
1
2 × 10 × 4 = 32，
故△𝐴𝐶𝐷的面积为32．
迁移创新
1．（25-26 八年级上·江西赣州·期末）【课本再现】如图是人教版八年级上册数学教材第50 页的部分内
容．
我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上
呢？利用三角形全等，可以得到：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．
【定理证明】
（1）请根据教材中的分析，结合图1，写出角平分线的判定定理“角的内部到角两边距离相等的点在角的
平分线上”完整的证明过程．
已知：点𝑃在𝑂𝐶上，𝑃𝐷⊥𝑂𝐴，𝑃𝐸⊥𝑂𝐵，垂足分别为𝐷、𝐸，且______．
求证：𝑂𝐶是∠𝐴𝑂𝐵的平分线．
请根据上述已知和求证，写出证明过程．
【定理应用】
（2）如图2，∠𝐵= ∠𝐶= 90°，𝐸是𝐵𝐶的中点，𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐷．求证：𝐷𝐸是∠𝐴𝐷𝐶的平分线．
【拓展提升】
（3）如图3，△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷在𝐵𝐶边上，𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐷𝐸平分∠𝐴𝐷𝐶．若𝐴𝐵= 6，𝐴𝐷= 3，𝐶𝐷= 5，
𝑆△𝐴𝐶𝐷= 16，请求出△𝐴𝐵𝐸的面积．(提示：过点𝐸作𝐴𝐵的垂线)
【答案】（1）𝑃𝐷= 𝑃𝐸．
证明：在𝑅𝑡△𝑃𝐷𝑂和𝑅𝑡△𝑃𝐸𝑂中，
∵𝑃𝐷= 𝑃𝐸，𝑂𝑃= 𝑂𝑃，
∴𝑅𝑡△𝑃𝐷𝑂≌𝑅𝑡△𝑃𝐸𝑂(HL)，
∴∠𝐷𝑂𝑃= ∠𝐸𝑂𝑃，
∴𝑂𝐶是∠𝐴𝑂𝐵的平分线．
（2）证明：如图，过点𝐸作𝐸𝐹⊥𝐴𝐷于𝐹，
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∵∠𝐵= ∠𝐶= 90°，
∴𝐵𝐸⊥𝐴𝐵，𝐸𝐶⊥𝐶𝐷，
∵𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐷，
∴𝐸𝐵= 𝐸𝐹，
∵𝐸是𝐵𝐶的中点，
∴𝐸𝐶= 𝐸𝐵，
∴𝐸𝐶= 𝐸𝐹，
又∵𝐸𝐹⊥𝐴𝐷，𝐸𝐶⊥𝐶𝐷，
∴𝐷𝐸是∠𝐴𝐷𝐶平分线．
（3）𝑆△𝐴𝐵𝐸= 12
【分析】本题考查角平分线的性质与判定，全等三角形的判定与性质，三角形的面积．
（1）证明Rt △𝑃𝐷𝑂≌Rt △𝑃𝐸𝑂(HL)，即可得出结论；
（2）过点𝐸作𝐸𝐹⊥𝐴𝐷于𝐹，先由角平分线的性质得到𝐸𝐹= 𝐸𝐵，从而可证得𝐸𝐶= 𝐸𝐹，根据角平分线的判
定，即可得证．
（3）过点𝐸作𝐸𝐹⊥𝐵𝐴交𝐵𝐴延长线于𝐹，作𝐸𝐺⊥𝐴𝐷于𝐺，作𝐸𝐻⊥𝐶𝐷于𝐻，根据角平分线的性质可得𝐸𝐹=
𝐸𝐻= 𝐸𝐺，进而根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：过点𝐸作𝐸𝐹⊥𝐵𝐴交𝐵𝐴延长线于𝐹，作𝐸𝐺⊥𝐴𝐷于𝐺，作𝐸𝐻⊥𝐶𝐷于𝐻，如图，
∵𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐷𝐸平分∠𝐴𝐷𝐶，
∴𝐸𝐹= 𝐸𝐻，𝐸𝐺= 𝐸𝐻，
∴𝐸𝐹= 𝐸𝐻= 𝐸𝐺，
𝑆△𝐴𝐶𝐷= 𝑆△𝐴𝐷𝐸+ 𝑆△𝐶𝐷𝐸=
1
2 𝐴𝐷⋅𝐺𝐸+
1
2 𝐶𝐷⋅𝐸𝐻=
1
2 𝐸𝐹(𝐴𝐷+ 𝐶𝐷)，
∵𝐴𝐷= 3，𝐶𝐷= 5，𝑆△𝐴𝐶𝐷= 16，
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∴𝐸𝐹= 4，
∴ 𝑆△𝐴𝐵𝐸=
1
2 𝐴𝐵⋅𝐸𝐹= 12．
2．（2025·广东惠州·一模）春天是放风筝的季节，清朝诗人高鼎在《村居》中用两句诗描绘了春天放风筝
的场景：“草长莺飞二月天”，“忙趁东风放纸鸢”．我们研究的四边形中有一种叫筝形，如图1 所示．
【筝形的定义】：两组邻边分别相等的四边形．即：若四边形𝐴𝐵𝐶𝐷满足𝐴𝐵= 𝐴𝐷且𝐶𝐵= 𝐶𝐷，则四边形
𝐴𝐵𝐶𝐷为筝形．
【任务1】如图2 是由小正方形组成的10 × 5网格图，在网格中仅用无刻度的直尺和笔，画出一个顶点在
格点的筝形𝐸𝐹𝐺𝐻；
【任务2】探究筝形的性质：结合图1 请对筝形的角、对角线分别写出一条性质，并选其中一条性质进行
证明．
【答案】
【任务1】如图，筝形𝐸𝐹𝐺𝐻即为所求．（答案不唯一，只要符合定义都得分）
【任务2】
1、角的性质：筝形有一组对角相等．
2、对角线的性质：筝形的一条对角线垂直平分另一条对角线．
角的性质证明如下：连接𝐴𝐶，
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐶中，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐷, 𝐶𝐵= 𝐶𝐷, 𝐴𝐶= 𝐴𝐶，
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∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐶
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐷𝐶．
故筝形有一组对角相等得证．
对角线的性质证明如下：连接𝐴𝐶、𝐵𝐷，交点为O
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐶中，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐷, 𝐶𝐵= 𝐶𝐷, 𝐴𝐶= 𝐴𝐶，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐶
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐶，即𝐴𝐶是∠𝐵𝐴𝐷的角平分线．
又∵𝐴𝐵= 𝐴𝐷，
∴𝐴𝑂是△𝐴𝐵𝐷的垂直平分线，即𝐴𝐶⊥𝐵𝐷, 𝐵𝑂= 𝐷𝑂
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判
定和性质是解题的关键．
任务1：根据定义画出图形即可；
任务2：写出性质，利用全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的判定证明即可；
【详解】解：【任务1】略
【任务2】
略
