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分层作业
2.1 认识实数
目 录
A 组 巩固过关
题型01 认识无理数
题型02 无理数的估算
题型03 实数与数轴
题型04 实数的大小比较
B 组 能力进阶
C 组 思维拔高
拓展 链接中考
认识无理数
一、单选题
1．下列实数中是无理数的是（ ）
A．3
B．22
7
C．0.2
D．2
【答案】D
【分析】根据无理数的定义逐一判断各选项即可．
【详解】解：A 、3是整数，属于有理数，不符合题意；
B、22
7 是分数，属于有理数，不符合题意；
C 、0.2 是有限小数，可化为分数，属于有理数，不符合题意；
D 、是无限不循环小数，因此2
也是无限不循环小数，是无理数，符合题意．
题型01
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2．下列各数中，是无理数的是（ ）
A．
1
7
−
B．3.1415926
C．3
D．
4
【答案】C
【分析】有限小数和无限循环小数都是有理数，无理数是无限不循环小数，据此即可判定选项．
【详解】解：∵
1
7
−
是分数，属于有理数；
3.1415926 是有限小数，属于有理数；
4
2
=
是整数，属于有理数；
3 是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数．
3．在
2
−
，0 ，
3 ，16 ，π 中，无理数的个数是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】B
【分析】先化简可开方的二次根式，再根据无理数的定义判断，数出无理数个数即可．
【详解】根据无理数定义（无限不循环小数是无理数）逐个判断：
2
−
是开方开不尽的数，是无理数；
0 是整数，是有理数；
3 是开方开不尽的数，是无理数；
16
4
=
，4 是整数，属于有理数；
π 是无限不循环小数，是无理数；
无理数共有3个．
二、填空题
4．若a 是无理数，且1
2
a
，则a 的值可以是________．（写出一个即可）
【答案】
2 （答案不唯一）
【分析】先计算1和2 的平方，再找出被开方数介于两个平方数之间的开方开不尽的数，即可得到符合要求
的无理数.
【详解】解：
21
1
=
，
2
2
4
=
，
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1
1
=
，2
4
=
，
2
是无理数，且1
2
4
，即1
2
2
，
a
的值可以是2 （答案不唯一）.
5．在0 ，6 ，3
7 ，
4 ，，3 8 中，无理数有________个．
【答案】2
【分析】先将题目中可化简的数进行化简，再根据无理数的定义逐一判断各数即可．
【详解】解：∵0 是整数，属于有理数，
6 是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，
3
7 是分数，属于有理数，
4
2
=
是整数，属于有理数，
是无限不循环小数，属于无理数，
3 8
2
=
是整数，属于有理数，
∴无理数共有2 个．
三、解答题
6．在4 4
的正方形网格中，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．
(1)在图①中，画出一条以格点为端点，长度为2 5 的线段AB ；
(2)在图②中，以格点为顶点，画出一个直角三角形，其中三边长均为无理数．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，掌握知识点是解题的关键．
（1）根据勾股定理进行作图即可；
（2）根据勾股定理的逆定理进行作图即可．
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【详解】（1）解：如图，线段AB 为所作的线段．
理由如下：
2
2
2
4
2 5
AB =
+
=
．
（2）解：如图，ABC
即为所作的三角形．
理由如下：
∵
2
2
2
2
1
1
2,
3
3
3 2,
2 5
AC
BC
AB
=
+
=
=
+
=
=
，
∴
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
3 2
20,
2 5
20
AC
BC
AB
+
=
+
=
=
=
，
即
2
2
2
AC
BC
AB
+
=
，
∴ABC
为直角三角形，且三边长均为无理数．
无理数的估算
一、单选题
1．下列整数中与13 最接近的是（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】B
【分析】通过比较平方数确定13 的取值范围即可．
【详解】解：∵
23
9
=
，
2
4
16
=
，9
13 16
，
题型02
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∴3
13
4
，
因此下列整数中与13 最接近的是4 ．
2．如图，数轴上有A、B 、C 、D 四个点，则以下结论正确的是（ ）
A．点A表示的数可能是
2
−
B．点B 表示的数可能是π
3
C．点C 表示的数可能是5
D．点D 表示的数可能是7
【答案】C
【分析】先估算出选项中无理数的值，然后结合数轴分析即可解答．
【详解】解：由数轴得：1
0
12
3
4
A
B
C
D
−
，
，
A．
2
1
−
−，点A 表示的数大于1
−，故该选项说法错误，不符合题意；
B．1
2
3
，点B 表示的数在0 和1 之间，故该选项说法错误，不符合题意；
C．2
5
3
，点C 表示的数在2 和3 之间，故该选项说法正确，符合题意；
D．2
7
3
，点D 表示的数在3 和4 之间，故该选项说法错误，不符合题意．
3．已知
17
2
m =
−，则实数m 的范围是（ ）
A．0
1
m
B．1
2
m
C．2
3
m
D．3
4
m
【答案】C
【分析】先确定17 的取值范围，再求出17
2
−的取值范围，即可求解．
【详解】解：∵16
17
25
，
∴16
17
25
，
即4
17
5
；
则4
2
17
2
5
2
−
−
−，
∴2
17
2
3
−
，
即2
3
m
．
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二、填空题
4．已知
1
11
n
n
−
（n 为整数），则n 的值是__________．
【答案】4
【分析】先估算11 的大小，确定11 介于哪两个连续整数之间，再结合已知不等式即可求出整数n 的值．
【详解】解：
23
9
=
，
2
4
16
=
，且9 11 16
，
9
11
16
，即3
11
4
，
又
1
11
n
n
−
，n 为整数，
4
n
=
．
5．比较大小：
7
−
______ 3
−．
5
1
6
−______ 1
6 ．
【答案】
【分析】通过比较
7
−
和3
−的绝对值的大小，再根据两个负数比较大小绝对值大的反而小即可；先比较5
和4 的大小，然后比较5
1
−和4 1
−的大小即可．
【详解】解：①
7
7
−
=
，
3
3
9
−=
=
，7
9
，
∴
7
3
−
−．
5
4
2
=
，
∴5 1
2 1 1
−
−= ，
∴
5
1
1
6
6
−
．
三、解答题
6．比较下列各组中两个数的大小：
(1)
2
−
和
3
−
；
(2) 3 和3
2
−
；
(3) 15 和4
3 5 ；
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(4)
7
−
和2.45
−
．
【答案】(1)
2
3
−
−
(2) 3
3
2
−
(3)
4
15
3 5
(4)
7
2.45
−
−
【分析】题目主要考查无理数的大小估算，实数的大小比较，熟练掌握估算方法是解题关键．
（1）根据实数的大小比较方法即可求解；
（2）根据题意得3
1.7
，3
2
1.6
−
，即可求解；
（3）先平方，再利用作差法比较即可；
（4）先平方，然后利用作差法比较即可．
【详解】（1）解：∵
2
3
，
∴
2
3
−
−
；
（2）∵3
1.7, 2
1.4
，
∴3
2
1.6
−
，
∴3
3
2
−
；
（3）∵(
)
2
2
4
15
3
15 14.44
0.56
0
5
−
=
−
=
，
∴
4
15
3 5
；
（4）∵(
)
(
)
2
2
7
2.45
7
6.0025
0.9975
0
−
−−
=
−
=
，
∴
7
2.45
−
−
．
7．分别写出所有符合下列各条件的数．
(1)
5
−
和10 之间的整数．
(2)小于
47 的正整数．
(3)满足
2
3
x
−
的x 的整数值．
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(4)大于2 且小于3 的一个无理数．
【答案】(1) 2, 1,0,1,2,3
−
−
(2)1,2,3,4,5,6
(3) 1,0,1
−
(4) 5 （答案不唯一）
【分析】题目主要考查无理数的估算，熟练掌握估算方法是解题关键．
（1）根据无理数的估算方法得出3
5
2
−−
−，3
10
4
，即可求解；
（2）根据无理数得估算得出6
47
7
，即可求解；
（3）根据无理数得估算得出1
2
2
，1
3
2
，即可求解；
（4）根据题意得出
4
2, 9
3
=
=
，即可求解．
【详解】（1）解：∵
4
5
9
，即2
5
3
，
∴3
5
2
−−
−；
∵9
10
16
，即3
10
4
，
∴
5
−
和10 之间的整数有2, 1,0,1,2,3
−
−
；
（2）∵36
47
49
，
∴6
47
7
，
∴小于
47 的正整数有1,2,3,4,5,6 ；
（3）∵1
2
4
，即1
2
2
，
∴2
2
1
−−
−；
∵1
3
4
，即1
3
2
，
∴满足
2
3
x
−
的x 的整数值有：1,0,1
−
；
（4）∵
4
2, 9
3
=
=
，
∴大于2 且小于3 的一个无理数为：5 （答案不唯一）．
8．一个长方形的长是宽的3 倍，它的对角线长为440 米，求这个长方形的宽．（结果精确到0.1 米，并写
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出估算过程）
【答案】这个长方形的长是6.6 米，宽是19.8 米
【分析】本题考查了勾股定理，无理数的估算，由对角线长为440 ，根据勾股定理得到方程是解题的关键．
可设长方形的长是3x，宽是x，由对角线长为440 ，根据勾股定理可得方程，解方程求出x 的值，然后估
算即可．
【详解】解：设长方形的长是3x，宽是x，则
(
)
(
)
2
2
2
3
440
x
x
+
=
，
解得
44
x =
（负值舍去），
∴36
44
49
，
∴6
44
7
，
∴
43.56
44
44.22
，
∴6.6
44
6.65
，
∴
6.6
x
，3
19.8
x
，
答：这个长方形的宽是6.6 米，长是19.8 米．
实数与数轴
一、单选题
1．如图，数轴上点E 在点A右侧，点A表示的数为1
−，正方形ABCD的面积为5．若AD
AE
=
，则点E 表
示的数的相反数是（ ）
A．5
B．1
5
−
C．
5
−
D．1
5
−+
【答案】B
【分析】根据正方形的边长是面积的算术平方根可得
5
AD
AE
=
=
，结合A点所表示的数及AE 间距离可
得点E 所表示的数．
【详解】解：正方形ABCD的面积为5，且AD
AE
=
，
题型03
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5
AD
AE
=
=
，
点A表示的数为1
−，且点E 在点A右侧，
点E 表示的数为1
5
−+
，
点 E 表示的数的 相反数为 1
5
−
．
2．将一把刻度尺按如图所示的方式放在数轴上（数轴的单位长度是1 cm
），刻度尺上的“1 cm
”和“6 cm ”分
别对应数轴上的数“ x ”和“ 7 ”，则x 表示的数为（ ）
A．7
5
−
B．
7
5
+
C．5
2 7
−
D．2 7
5
−
【答案】A
【详解】解：根据数轴有：
(
)
6 1
7
x +
−
=
，则有：
7
5
x =
−．
3．如图，在数轴上找出表示3的点A，过点A 作直线l
OA
⊥
，在l 上取点B，使
2
AB =
，以点O 为圆心，OB
为半径作弧，弧与数轴交点为C，则点C 表示的数是（ ）
A．13
B．
13
−
C．13
3
−
D．
13
3
-
-
【答案】B
【详解】解：∵直线l
OA
⊥
，
2
AB =
，
3
OA =
∴
2
2
13
OC
OB
OA
AB
=
=
+
=
∴点C 表示的数是
13
−
．
二、填空题
4．如图，O为数轴原点，点A表示的数为3，过点A作数轴的垂线，在垂线上取点B ，使得
2
AB =
，以原
点O为圆心，OB 为半径作弧，弧与数轴正半轴交于点C ，则点C 表示的数为________．
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【答案】13
【分析】根据数轴上点的坐标确定直角边OA的长，利用勾股定理求出斜边OB 的长，再根据圆的半径相等
确定OC 的长，从而得出点C 表示的数．
【详解】解：点A表示的数为3，
3
OA
= ，
AB
OA
⊥
，
90
OAB
=
，
在Rt OAB
中，由勾股定理得：
2
2
2
2
3
2
13
OB
OA
AB
=
+
=
+
=
，
以原点O为圆心，OB 为半径作弧，
13
OC
OB
=
=
，
点C 在数轴的正半轴上，
点C 表示的数为13 ．
三、解答题
5．如何在数轴上找到表示无理数的点？部分无理数可通过构造直角三角形，运用勾股定理的知识来解决．请
阅读并完成下列问题：
(1)如图1，过数轴上表示2 的点A，作数轴的垂线，并截取长度为1的线段AB ，连接OB ，以点O为圆心，
以OB 为半径画弧，与数轴正半轴交于点C ，请直接
．．写出点C 表示的数．
(2)如图2 ，请参照（1）的作法，在数轴上找到表示10 的点P ．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】(1) 5
(2)如图，点P 即为所求．
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【分析】（1）利用勾股定理求出
5
OB =
，即可得出答案．
（2）过数轴上表示3的点A，作数轴的垂线，并截取长度为1的线段AB ，连接OB ，以点O为圆心，以OB
为半径画弧，与数轴正半轴交于点P ．
【详解】（1）解：∵点A表示的数是2 ，
∴
2
OA =
，
∵
1
AB = ，AB
OA
⊥
，
∴
2
2
2
2
2
1
5
OB
OA
AB
=
+
=
+
=
，
∵以点O为圆心，以OB 为半径画弧，与数轴正半轴交于点C ，
∴
5
OC
OB
=
=
，
∴点C 表示的数为5 ．
（2）解：∵
3
OA = ，
1
AB = ，AB
OA
⊥
，
∴
2
2
2
2
3
1
10
OB
OA
AB
=
+
=
+
=
，
∴点P 即为所求．
6．学习了无理数之后，我们已经把数的领域扩大到了实数的范围，下面让我们在几个具体的图中认识一下
无理数.
(1)如图1，半径为1 个单位长度的圆从原点O 沿数轴向右滚动一周，圆上的一点P（开始滚动时与点O 重
合）由原点到达点O，则OO的长度就等于圆的周长，所以数轴上点O代表的实数就是______.
(2)如图2，在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
2
AC =
，
1
BC = ，根据勾股定理可以求得AB =______.
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(3)你能在5×6 的网格图中（图3）（每个小正方形边长均为1），以格点为顶点画一个面积为5 的正方形吗？
如果能，请在图中表示出来.
(4)如图4，点A、B、C 是小正方形的顶点，求
ABC
的度数.
【答案】(1)2π
(2) 5
(3)见解析
(4)
45
ABC
=
【分析】（1）由OO的长度就等于圆的周长，即可求解；
（2）直接运用勾股定理求出AB 即可；
（3）根据
2
2
5
1
2
=
+
，结合勾股定理解决问题即可．
（4）连接AC ，根据勾股定理的逆定理证明ABC
是等腰直角三角形，即可求解．
【详解】（1）解：
2π 1
2π
OO=
=
（2）解：在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
2
AC =
，
1
BC = ，
∴
2
2
2
2
2
1
5
AB
AC
BC
=
+
=
+
=
（3）解：如图，正方形ABCD即为所求，
（4）解：如图，连接AC
根据勾股定理可得
2
2
2
2
1
3
10
AC
BC
=
=
+
=
，
2
2
2
2
4
20
AB
，
∴
2
2
2
AC
BC
AB
+
=
∴ABC
是等腰直角三角形，
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∴
45
ABC
=
实数的大小比较
一、单选题
1．计算2
3
−
= （ ）
A．2
3
+
B．3
2
−
C．2
3
−
D．2
3
−−
【答案】C
【分析】判断绝对值内代数式的正负，再根据绝对值的性质化简得到结果．
【详解】解：∵1
3
4
，
∴1
3
2
，
∴2
3
0
−
，
∴2
3
2
3
−
=
−
．
2．在实数
3
−
，
2
3
−
，
3
−
，
3 8
−
，最小的是（ ）
A．
2
3
−
B．
3
−
C．
3
−
D．
3 8
−
【答案】D
【分析】先利用绝对值、立方根化简，然后再比较即可．
【详解】解：
3
3
−
=
，
3 8
2
−
= −，3
4
2
=
，
2
2
3
3
3
−−
−
，即
3
2
8
3
3
3
−
−
−
−，
最小的数是
3 8
−
．
二、填空题
3．7 的相反数是_________，2
5
−
的绝对值等于_________，比较大小：1
− _________
3
−
．
【答案】
7
−
5
2
−
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得7 的相反数；先判断2
5
−
的正负，再根据绝对值
题型04
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的性质求解；利用两个负数比较大小，绝对值大的反而小，比较1
−和
3
−
的大小．
【详解】解：依题意，7 的相反数是
7
−
，
4
2
=
，
4
5
，
2
5
，
即2
5
0
−
，
∴2
5
−
的绝对值等于5
2
−
；
③
3 1
3
1
，
∴
3
1
−
−
根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，可得
3
1
−
−．
4．比较大小：
7
2
______ 3
2 ；
7
3
−
______ 1
−（填“”，“”或“ = ”）．
【答案】
【分析】先通过被开方数的大小关系判断无理数的大小，再根据实数的大小比较法则比较即可求解．
【详解】解：
7
9
，
7
9
3
= ，
7
3
2
2
；
7
9
，
7
9
3
= ，
7
3
1
3
3
= ，
即
7
1
3
−
−，
7
1
3
−
−．
三、解答题
试卷第16 页，共33 页
5．“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，若
0
a
b
−
，则a
b
；若
0
a
b
−
=
，则a
b
=
；若
0
a
b
−
，
则a
b
．
例：比较10 2
−
和2 的大小．
由“作差法”得10
2
2
10
4
−−
=
−
，因为9
10
16
，所以3
10
4
，所以10
4
0
−
，所以10
2
2
−
．
请你根据上面的方法解决下列问题：
(1)比较5
1
−和1 的大小；
(2)比较17
1
+ 和7 的大小．
【答案】(1) 5 1 1
−；
(2) 17
1
7
+
．
【分析】本题考查无理数的估算，实数的大小比较．
（1）根据“作差法”比较大小即可；
（2）根据“作差法”比较大小即可．
【详解】（1）解：5
1 1
5
2
−−=
−
，
∵
4
5
9
，
∴2
5
3
，
∴5
2
0
−
，
∴5 1 1
−．
（2）解：17
1 7
17
6
+ −
=
−
，
∵16
17
25
，
∴4
17
5
，
∴17
6
0
−
，
∴17
1
7
+
．
6．观察下列等式，并回答问题：
第1 个1
2
2 1
−
=
−；
试卷第17 页，共33 页
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第2 个
2
3
3
2
−
=
−
；
第3 个
3
4
4
3
−
=
−
；
第4 个
4
5
5
4
−
=
−
；
……
(1)化简：
35
6
−
= _____；这是第_____个等式．
(2)第n 个等式是_____．（用含n 的式子表示）
(3)比较
24
1
4
−与1 的大小．
【答案】(1)6
35
−
，35
(2)
1
1
n
n
n
n
−
+
=
+ −
(3)
24
1
1
4
−
【分析】本题属于探究规律类试题，主要考查绝对值的性质、实数大小比较，熟练掌握相关知识并灵活运
用是解题的关键．
（1）根据已知等式的规律可以得到
35
6
35
36
−
=
−
，可以根据规律得到结果．
（2）由前4 个等式可以猜想第n 个等式为
1
1
n
n
n
n
−
+
=
+ −
．
（3）利用作差法比较大小．
【详解】（1）解：根据前4 个式子可得：
35
6
35
36
36
35
6
35
−
=
−
=
−
=
−
，
这是第35个等式．
（2）解：由前4 个等式可得第n 个等式为
1
1
n
n
n
n
−
+
=
+ −
．
（3）解：∵
24
1
24
1
4
24
5
24
25
1
0
4
4
4
4
4
−
−
−
−
−=
−
=
=
，
∴
24
1
1
4
−．
一、单选题
1．下列说法错误的是（ ）
试卷第18 页，共33 页
A．无限小数都是无理数
B．无理数也能用数轴上的点表示
C．无理数与无理数的和可能是有理数
D．无理数都是无限小数
【答案】A
【分析】本题考查无理数、有理数的基本概念，以及实数与数轴的关系，要求辨析各选项，找出错误的说
法．
【详解】解：∵ 无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数是有理数，
∴ “无限小数都是无理数”的说法错误，A 符合题意；
∵ 所有实数都可以用数轴上的点表示，无理数属于实数，
∴ 无理数能用数轴上的点表示，B 说法正确，不符合题意；
∵ 例如2 和
2
−
都是无理数，
(
)
2
2
0
+ −
=
，0 是有理数，
∴ 无理数与无理数的和可能是有理数，C 说法正确，不符合题意；
∵ 无理数的定义是无限不循环小数，因此无理数都属于无限小数，
∴ “无理数都是无限小数”的说法正确，D 不符合题意．
2．如图，数轴上有O A B C D
, , , ,
五点，则实数13
1
−表示的点会落在（ ）
A．点O和A之间
B．点A和B 之间
C．点B 和C 之间
D．点C 和D 之间
【答案】B
【分析】先估算13 的大小，再估算13
1
−的大小，然后结合数轴即可得出答案．
【详解】解：∵9
13
16
，
∴3
13
4
，
∴2
13 1
3
−，
∴实数13
1
−表示的点会落在点A和B 之间．
3．数轴上表示数1 和3 的点分别为A 和B，若A 为BC 的中点，则点C 表示的数是（ ）
A．2 3 1
−
B．3
1
−
C．2
3
−
D．3
2
−
【答案】C
试卷第19 页，共33 页
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【分析】设出点C 表示的数，根据中点对应数为两端点对应数的平均值列方程即可求解．
【详解】解：设点C 表示的数为x
∵点A是BC 的中点，点A表示1，点B 表示3
∴根据中点性质可得
3
1
2
x +
=
解得：
2
3
x =
−
4．如图，数轴上点A表示的数是1，点B 表示的数是2
−，BC 与数轴垂直，且
1
BC = ，以点A为圆心，AC
的长为半径作弧，弧与数轴的负半轴交于点D ，则点D 表示的实数是（ ）
A．10
B．10
3
−
C．3
10
−
D．1
10
−
【答案】D
【分析】由勾股定理求得
10
AD
AC
=
=
，由点A 表示的数即可得到点D 表示的数．
【详解】解：由题意知
(
)
1
2
3
AB = −−
=
，
∵BC 与数轴垂直，且
1
BC = ，
∴
2
2
10
AD
AC
BC
AB
=
=
+
=
，
设点D 表示的数为d，则1
10
d
−
=
，
∴
1
10
d = −
，
即点D 表示的数为1
10
−
．
5．实数a，b 在数轴上对应的点如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．a
b
B．
0
a
b
+
C．
2
2
a
b
+
+
D．
1
1
−
−
a
b
【答案】D
【分析】由数轴可知，2
1
0
1
a
b
−
−
，a
b
，
1
0
a−
，
1
0
b−
，逐一判断即可．
试卷第20 页，共33 页
【详解】解：由数轴可知，2
1
0
1
a
b
−
−
，a
b
，
∴
0
a
b
+
，
2
2
a
b
+
+ ，
故A、B、C 错误，不符合题意；
由数轴可知，a
b
，
1
0
a−
，
1
0
b−
，
∴
1
1
a
b
−−，
∴(
)
(
)
1
1
a
b
−
−
−
−
，
∵
(
)
1
1
0
a
a
−
= −
−
，
(
)
1
1
0
b
b
−
= −
−
，
∴
1
1
a
b
−
−
，
故D 正确，符合题意．
6．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，AB 为半径画弧，交网格线于点D ，则ED的长
为（ ）
A．
2
3
2
−
B．5
C．2
D．3
【答案】B
【分析】根据题意得出半径
3
AD
AB
=
= ，以及直角边
2
AE =
，在Rt
AED
△
中利用勾股定理即可求解．
【详解】解：连接AD，如图，
由图可知，网格小正方形边长为1，
∴
3
AB =
，
2
AE =
，
90
E
=
，
∵以A为圆心，AB 为半径画弧，交网格线于点D ，
∴
3
AD
AB
=
= ，
在Rt
AED
△
中，由勾股定理得：
2
2
2
2
3
2
5
ED
AD
AE
=
−
=
−
=
．
7．如图，有一边重合的两直角三角形放在数轴上，点A表示数1
1
AC
BC
BD
=
=
=
,
，以点A为圆心，AD为
试卷第21 页，共33 页
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半径画弧交数轴于点E ，则点E 表示的数是（ ）
A．3
B．
2
3
−
+
C．1
3
−+
D．1
3
+
【答案】D
【分析】运用勾股定理得出
2
AB =
，
2
2
3
AD
AB
BD
=
+
=
，再结合AE
AD
=
，即得出点E 表示的数．
【详解】解：依题意，
90
ACB
ABD
=
=
，AE
AD
=
，
∵
1
AC
BC
BD
=
=
= ，
∴
2
2
1
1
2
AB =
+
=
，
则
2
2
2 1
3
AD
AB
BD
=
+
=
+
=
，
即
3
AE
AD
=
=
，
∴点E 表示的数是1
3
+
．
8．如图，在Rt
OAB
△
中，
90
OAB
=
，
2
OA =
，
1
AB = ，OA在数轴上，在OB 上截取BC
BA
=
，以原点
O 为圆心，OC 为半径画弧，交数轴于点P，则OP 的中点D 对应的实数是（ ）
A．5
1
−
B．1
5
−
C．
5
1
2
−
D．1
5
2
−
【答案】C
【分析】根据勾股定理求出OB ，进而求出OC ，最后求出OD 即可．
【详解】解：∵Rt OAB
的直角边
2
OA =
，
1
AB = ，
∴
2
2
5
OB
OA
AB
=
+
=
，
又∵BA
BC
=
，
∴
5 1
OC
OB
BC
=
−
=
−，
∵点D 是OP 的中点，
试卷第22 页，共33 页
∴
1
5
1
2
2
OD
OP
−
=
=
，
即点D 所表示的数为：
5
1
2
−．
二、填空题
9．将四个数
2
−
，
5 ，13 ，
23表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是______．
【答案】
23
【分析】由数轴得4 被墨迹覆盖的数
6
，再估算出各无理数的取值范围即可求解．
【详解】解：由数轴得，4 被墨迹覆盖的数
6
，
∵
2
0
−
，2
5
3
，3
13
4
，4
23
5
，
∴能被墨迹覆盖的数是
23 ．
10．在数轴上与表示15 的点距离最近的整数点所表示的数为__________．
【答案】4
【分析】先估算15 的取值范围，确定它相邻的两个整数，比较15 到两个整数的距离大小，即可得到答案．
【详解】解：
23
9
=
，
2
4
16
=
，且9
15
16
，
3
15
4
，
2
( 15)
15
=
，
2
3.5
12.25
=
，15 12.25
，
15
3.5
，故15 在数轴上更靠近4，
在数轴上与表示15 的点距离最近的整数点所表示的数为4 ．
11．如图，数轴上点A所表示的数为1，点B
C
D
，，
是4 4
的正方形网格上的格点，以点A为圆心，AD长
为半径画圆交数轴于点P
Q
，
．点P 表示的数记为m ，点Q 表示的数记为n ，则mn 的值为_____．
试卷第23 页，共33 页
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【答案】9
−
【分析】由题意可知：AQ
AP
AD
=
=
，由勾股定理可得
2
2
1
3
10
AD =
+
=
，则
10
AQ
AP
AD
=
=
=
，然
后由图象可得
1
10
1
10
m
n
= +
= −
，
，即可得到答案．
【详解】解：∵以点A为圆心，AD长为半径画圆交数轴于点P
Q
，
，
∴AQ
AP
AD
=
=
，
由图象可知，
90
DOA
=
，
∴由勾股定理可得：
2
2
1
3
10
AD =
+
=
，
10
AQ
AP
AD
=
=
=
，
1
10
1
10
m
n
= +
= −
，
，
(
)(
)
1
10
1
10
1 10
9
mn
−
=
+
−
= −
=
．
12．如图，
1
OP = ，过点P 作
1
PP
OP
⊥
，且
1
1
PP = ，得
1
2
OP =
；再过点
1P 作
1 2
1
PP
OP
⊥
且
1
2
1
PP = ，得
2
3
OP =
；
又过点
2P 作
2
3
2
P P
OP
⊥
且
2
3
1
P P = ，得
3
2
OP =
依此法继续作下去，得
2023
OP
= _____．
【答案】2 506
【分析】根据勾股定理找到规律即可．
【详解】解：
1
2
3
4
2,
3,
4,
5
OP
OP
OP
OP
=
=
=
=
，以此类推，可得
1
n
OP
n
=
+ ，
2023
2023 1
2024
2 506
OP
=
+
=
=
．
试卷第24 页，共33 页
三、解答题
13．如图是三个4 5
的正方形方格，每个正方形的顶点叫做格点，线段AB 的两个端点就是格点．
(1)线段AB 的长度为________；
(2)请在图中找到所有满足条件的格点C ，连接BC ，使得
13
BC =
；
(3)在（2）的基础上，连接AC ，计算
ABC
S
的面积．
【答案】(1) 17
(2)解：如图，
1
2
,
C C 即为所求
(3)
1
11
2
ABC
S
=
或
2
5
2
ABC
S
=
【分析】（1）利用勾股定理计算即可；
（2）取格点
1
2
,
C C ，结合勾股定理满足
1
2
13
BC
BC
=
=
即可；
（3）连接
1
2
,
AC AC ，再利用割补法求解三角形的面积即可．
【详解】（1）解：
2
2
4
1
17
AB =
+
=
．
（2）略
（3）解：如图，连接
1
2
,
AC AC ，
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∴
1
1
1
1
3
11
3 4
1 3
1 4
2 3
12
2 3
2
2
2
2
2
ABC
S
= −
−
−
=
−
−−=
；
2
1
1
1
1
5
2 4
1 1
2 3
1 4
8
3
2
2
2
2
2
2
ABC
S
= −
−
−
= −
−−
=
．
14．阅读下面的文字，解答问题
大家知道
2 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此
2 的小数部分我们不可能全部地写出来，于
是小明用
2 1
−来表示
2 的小数部分，你同意小明的表示方法吗?
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为
2 的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部
分．
又例如：
4
7
9
，即 2
7
3
，
7
的整数部分为2 ，小数部分为 (
)
7
2
−
请解答：
(1) 57 的整数部分是 ，小数部分是 ．
(2)如果
11 的小数部分为a ，
7 的整数部分为b ，求
11
a
b
−
+
∣
∣
的值．
(3)已知： 9
5
x
y
−
=
+ ， 其中x 是整数，且0
1
y
，求x
y
−
的相反数．
【答案】(1)7 ；57
7
−
(2)5
(3) 3
5
−−
【分析】（1）根据题意方法，则7
57
8
，求57 整数部分和小数部分的方法，即可；
（2）根据题意方法，分别求11 和7 整数部分和小数部分的方法，进行计算，即可；
（3）根据题意方法，求出9
5
−
的取值范围，得到x ，y 的值，再进行计算，即可．
【详解】（1）解：∵
49
57
64
，
试卷第26 页，共33 页
∴7
57
8
，
∴57 的整数部分是7 ；小数部分是57
7
−
．
（2）解：∵9
11
16
，
∴3
11
4
，
∴11 的小数部分为：11 3
−；
∵
4
7
9
，
∴2
7
3
，
∴7 的整数部分为：2 ；
∴
11
a
b
−
+
11 3 2
11
=
−−
+
5
11
11
= −
+
5
=
．
（3）解：∵
4
5
9
，
∴2
5
3
，
∴3
5
2
−−
−，
∴9
3
9
5
2
9
−
−
−+
整理得：6
9
5
7
−
，
∵9
5
x
y
−
=
+ ， 其中x 是整数，且0
1
y
，
∴
6
x =
，
∴
9
5
6
3
5
y =
−
−
=
−
；
∴
(
)
6
3
5
3
5
x
y
−
=
−
−
= +
，
∴x
y
−
的相反数为：3
5
−−
．
15．如图，小聪在数轴上表示一个无理数．他先在数轴上方以单位长度为边长画了四个一样的小正方形，
再依次连接其中四个顶点A，B ，C ，D （其中点D 与原点重合），又得到一个正方形（阴影部分）．最后
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以原点为圆心，以正方形ABCD的边长为半径画弧，与数轴正半轴交于点E ．
(1)正方形ABCD的面积是 ，点E 表示的数是 ；
(2)请在数轴上继续找出表示
2
−
的点F ；（保留作图痕迹）
(3)在（2）的基础上，若数轴正半轴上的点G 表示的数为m ，且EF
EG
=
，求m 的值．
【答案】(1)2 ；
2
(2)见解析
(3)3 2
【分析】（1）用割补法进行计算正方形的面积即可；再根据勾股定理求出边长即可得到答案；
（2）以原点为圆心，正方形ABCD的边长为2 为半径画弧，交数轴负半轴于点F ，即可得到答案；
（3）由题意可得：
2
(
2)
2 2
=
−−
=
EF
，再根据
2
2 2
=
−
=
EG
m
，得到答案即可．
【详解】（1）解：4 个小正方形的总面积是4 1 1
4
= ，阴影正方形的面积等于4 个小正方形面积的一半，
即
1
4
2
2
=
=
ABCD
S
；
根据勾股定理，正方形边长
2
2
1
1
2
AD =
+
=
，
以原点为圆心，以正方形ABCD的边长为半径画弧，与数轴正半轴交于点E ，因此点E 表示的数为2 ；
（2）解：以原点为圆心，正方形ABCD的边长为2 为半径画弧，交数轴负半轴于点F ，即可得到答案；
（3）解：由题意可得：
2
(
2)
2 2
=
−−
=
EF
，
EF
EG
=
，数轴正半轴上的点G 表示的数为m ，
2
2 2
=
−
=
EG
m
，
2 2
2
3 2
=
+
=
m
．
试卷第28 页，共33 页
一、单选题
1．如图，正六边形ABCDEF（每条边都相等）在数轴上的位置如图所示，点A、F 对应的数分别为-2 和-1，
现将正六边形ABCDEF 绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1 次后，点E 所对应的数为0，连续
翻转2000 次后，数轴上1998 这个数所对应的点是（ ）
A．A 点
B．D 点
C．E 点
D．F 点
【答案】C
【分析】由题意可知，E、D、C、B、A、F、分别对应的点是0、1、2、3、4、5，可知其6 次一循环，由
此可以确定出数轴上1998 这个数所对应的点．
【详解】解：正六边形ABCDEF 绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转第一圈时E、D、C、B、A、F、分
别对应的点是0、1、2、3、4、5，
∴6 次一循环，
∴(1998 1)
6
333
1
+
=
，
数轴上1998 这个数所对应的点是E 点，
故选：C．
【点睛】本题主要考查实数与数轴，确定出点的变化规律是解题的关键．
二、填空题
2．已知数轴上A，B 两点，且这两点间的距离为4 2 ，若点A在数轴上表示的数为3 2 ，则点B 表示的数
为______．
【答案】7 2 或
2
−
【分析】设点B 表示的数为x ，由A、B 两点之间的距离为4 2 ，根据两点间的距离公式列出方程
3 2
4 2
x −
=
，解方程即可．
【详解】解：设点B 表示的数为x ，由题意，得
3 2
4 2
x −
=
，
则
3 2
4 2
x−
=
，或
3 2
4 2
x−
= −
，
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所以
7 2
x =
或
2
−
．
故答案为：7 2 或
2
−
．
【点睛】本题考查了实数与数轴，掌握数轴上两点间的距离计算公式是解题的关键．
三、解答题
3．阅读材料，并解答问题：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如图①，在直角三角形ABC 中，
90
ACB
=
，
3
AC =
，
4
BC =
，
2
2
2
3
4
5
+
=
，斜边
5
AB =
，为了比较5
1
+ 与10 的大小，小伍和小陆两名同学对这个问题分
别进行了研究．
(1)小伍同学利用计算器得到了5
2.236
，10
3.162
．故5
1
+ ____ 10 ．（填“”“ ”或“= ” )
(2)小陆同学受到前面学习在数轴上用点表示无理数的启发，构造出如图②所示的图形，其中
90
C
=
，
3
BC = ，点D在BC 上，且
1
BD
AC
=
= ．请你利用此图进行计算与推理，帮小陆同学比较5
1
+ 和10 的
大小．
【答案】(1)>
(2) 5
1
10
+
【分析】（1）根据实数大小的比较法则可得答案；
（2）根据直角三角形的性质、勾股定理及两点之间，线段最短可得答案．
【详解】（1）
5
2.236
，10
3.162
，2.236 1
3.162
+
5
1
10
+
；
故答案为：．
（2）
90
C
=
，
3
BC = ，
1
BD
AC
=
= ，
2
CD
=
，
2
2
2
2
2
2
1
5
AD
AC
CD =
=
+
+
=
，
2
2
2
2
2
1
3
10
AB
AC
BC
=
+
=
+
=
，
5
AD
=
，
10
AB =
，
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5
1
AD
BD
+
=
+ ，
两点之间，线段最短，
AD
BD
AB
+
，
5
1
10
+
．
【点睛】此题考查的是实数的估数及勾股定理，掌握两点之间线段最短是解决此题的关键．
4．阅读下面的文字，解答问题．
对于实数a，我们规定：用符号[a]表示不大于a 的最大整数；用{a}表示a 减去[a]所得的差．
例如：[ 3 ]＝1，[2.2]＝2，{ 3 }＝3 ﹣1，{2.2}＝2.2﹣2＝0.2．
（1）仿照以上方法计算：[ 7 ]＝ {5﹣7 }＝ ；
（2）若[
x ]＝1，写出所有满足题意的整数x 的值： ．
（3）已知y0是一个不大于280 的非负数，且满足{
0
y }＝0．我们规定：y1＝[
0
y ]，y2＝[
1y ]，y3＝[
2
y ]，…，
以此类推，直到yn 第一次等于1 时停止计算．当y0是符合条件的所有数中的最大数时，此时y0＝ ，n
＝ ．
【答案】（1）2；3﹣7 ；（2）1、2、3；（3）256，4
【分析】（1）依照定义进行计算即可；
（2）由题可知，0
4
x
，则可得满足题意的整数的x 的值为1、2、3；
（3）由
0
{
}
0
y
=
，可知，
0y 是某个整数的平方，又
0y 是符合条件的所有数中最大的数，则
0
256
y =
，再依
次进行计算．
【详解】解：（1）由定义可得，[ 7]
2
= ，[5
7]
2
−
=
，
{5
7}
3
7
−
=
−
．
故答案为：2；3
7
−
．
（2）
[
]
1
x =
，
[
]
2
x
，即0
4
x
，
整数x 的值为1、2、3．
故答案为：1、2、3．
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（3）
0
{
}
0
y
=
，即
0
0
0
{
}
[
]
0
y
y
y
=
−
= ，
可设
2
0y
t
=
，且t 是自然数，
0y
是符合条件的所有数中的最大数，
0
256
y
=
，
1
0
[
]
[16]
16
y
y
=
=
=
，
2
1
[
]
[4]
4
y
y
=
=
=
，
3
2
[
]
[2]
2
y
y
=
=
= ，
4
3
[
]
[ 2]
1
y
y
=
=
= ，
即
4
n =
．
故答案为：256，4．
【点睛】本题属于新定义类问题，主要考查估算无理数大小，无理数的整数部分和小数部分，理解定义内
容是解题关键．
5．阅读材料，完成任务．
材料1：数形结合是重要的数学思想．按照图1 所示将两个边长为1 的小正方形进行剪拼（无缝隙不重叠的
拼接）成一个大的正方形，可以得到无理数2 ；按照图2 和图3 所示的两种剪拼方法将一个边长为1 的正
方形和一个边长为2 的正方形剪拼出一个大正方形，可以得到无理数m．
材料2：实数与数轴上的点一一对应．要在数轴上找到表示
2
的点，关键是在数轴上构造线段
2
OA
OA
=
=
．如图4，正方形的边长为1 个单位长度，以原点O 为圆心，对角线长为半径画弧与数轴上
分别交于点A，A，则点A 对应的数为2 ，点A对应的数为
2
−
．类似的，我们可以在数轴上找到表示
任意无理数的点．
材料3：如图5，改变图4 中正方形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段OB 与OB，其中O
仍在原点，点B，B分别在原点的右侧、左侧，可由线段OB 与OB的长得到点B，B所表示的无理数．按
照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点．
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任务：
(1)材料1 中，无理数m 是________，画图确定表示m 的点M；
(2)如图5，点B 表示的数为________，点B表示的数为________；
(3)数轴上分别标出表示数-0.5 以及3
m
−+
的点，并比较它们的大小．
(4)若
3
a
m
= −+
，
2
b
m
=
−
，求代数式
0.5
2
a
b
+
−
−
的值，并在数轴上表示对应的点．
【答案】(1) 5 ，见解析
(2)
2
1
+ ，1
2
−
(3) 0.5
3
5
−
−+
，见解析
(4) 1
2
2 −
，见解析
【分析】本题考查勾股定理与无理数，实数与数轴，掌握数轴上确定表示无理数所在点的位置的方法，是
解题的关键．
（1）根据图形，利用勾股定理求出大正方形的边长，即可，根据数轴构造无理数的方法，作图即可；
（2）由图可知，点
,
B B到1 的距离为2 ，根据两点间的距离即可得出结果；
（3）以3
−为圆心，5 为半径化弧，与数轴的交点到3
−的距离即为5 ，确定B 点位置，进行比较即可；
（4）将m 的值代入，化简绝对值，然后在数轴上表示出结果即可．
【详解】（1）解：由勾股定理得：
2
2
2
1
5
m =
+
=
，如图，M 点表示的数为5 ；
（2）由图可知，点
,
B B到1 的距离为2 ，
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∴点B 表示的数为1
2
+
，点B表示的数为：1
2
−
；
故答案为：2
1
+ ，1
2
−
；
（3）点A 表示0.5
−
，点B 表示3
5
−+
，表示数0.5
−
和3
5
−+
的点如图所示：
0.5
3
5
−
−+
．
（4）由（1），得
3
5
a = −+
，
5
2
b =
−
，
原式
3
5
0.5
2
5
2
= −
−
−+
−
1
2
2
=
−
．
