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2.7 探索勾股定理（第二课时）
题型一：判断三边能否组成直角三角形
1．（24-25 八年级下·湖南娄底·期末）下列条件不能够判定
ABC
是直角三角形的是（ ）
A．
35
A
=
，
55
C
=
B．
15
a =
，
8
b =
，=17
c
C．点D 是边AC 的中点，
1
2
BD
AC
=
D．
2
3
A
B
C
= =
【答案】D
【分析】本题考查直角三角形的判定，掌握三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
根据三角形内角和定理判定A和D，根据勾股定理的逆定理判定B，利用直角三角形斜边中线的性质判定C．
【详解】A．
35
A
=
，
55
C
=
，则
180
35
55
90
B
=
−
−
=
，故
ABC
为直角三角形，此选项不符合
题意；
B．
2
2
2
15
8
225
64
289
17
+
=
+
=
=
，即
2
2
2
a
b
c
+
=
，故
ABC
为直角三角形，此选项不符合题意；
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C．点D 为AC 中点，且
1
2
BD
AC
=
，根据定理“若一边的中线等于该边的一半，则三角形为直角三角形”，
可知
ABC
为直角三角形，此选项不符合题意；
D．
2
3
A
B
C
= =
，令
6
A
x
=
，则
3
B
x
=
，
2
C
x
=
，由内角和得：6
3
2
11
180
x
x
x
x
+
+
=
=
，解得
180
16.36
11
x =
，则
98.18
A
，非直角．故D 不能判定
ABC
为直角三角形，此选项符合题意；
故选：D．
2．（24-25 八年级下·湖北宜昌·期末）下列说法正确的是（ ）
A．若a ，b ，c 是
ABC
的三边，则
2
2
2
a
b
c
+
=
．
B．若a ，b ，c 是Rt
ABC
△
的三边，则
2
2
2
a
b
c
+
=
．
C．若a ，b ，c 是Rt
ABC
△
的三边，
90
A
=
，则
2
2
2
a
b
c
+
=
．
D．若三条线段长a ，b ，c 满足
2
2
2
a
c
b
−
=
，那么这三条线段组成的三角形是直角三角形．
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用，灵活运用勾股定理以及逆定理成为解题的关键．
运用勾股定理以及勾股定理逆定理逐项判断即可．
【详解】解：A、未限定
ABC
为直角三角形，任意三角形三边不一定满足勾股定理，故错误，不符合题意；
B、虽指明Rt
ABC
△
，但未明确直角对应的边．若直角边为a、b、斜边c，则满足
2
2
2
a
b
c
+
=
；若c 为直角
边，则等式不成立．因未指定直角位置，结论不必然成立，故错误，不符合题意；
C、已知
90
A
=
，则a 为斜边，应满足
2
2
2
b
c
a
+
=
，而非
2
2
2
a
b
c
+
=
，故错误，不符合题意；
D、由
2
2
2
a
c
b
−
=
变形得
2
2
2
a
b
c
=
+
，再根据勾股定理逆定理可得以a 为斜边的三角形为直角三角形，故正
确，符合题意．
故选D．
3．（24-25 八年级下·安徽安庆·期末）在
ABC
中，
,
,
A
B
C
的对边分别是, ,
a b c ，下列命题中假命题是
（ ）
A．若
:
:
2:3:5
A
B
C
=
，则
ABC
是直角三角形
B．若
: :
1:
2 : 3
a b c =
，则
ABC
是直角三角形
C．若
2
A
B
C
+=
，则
ABC
不一定是直角三角形
D．若
2
2
2
a
b
c
+
，则
ABC
一定不是直角三角形
【答案】D
【分析】本题考查了命题的真假，三角形内角和定理及勾股定理逆定理的应用，需逐一分析各选项是否符
合直角三角形的判定条件，据此进行作答即可．
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【详解】解：A、由
:
:
2:3:5
A
B
C
=
，总份数为2
3 5
10
+ + =
，
∴
5
180
1
90
0
C
=
=
，
故
ABC
是直角三角形，为真命题；
B、设三边为k 、
2k 、
3k ，
则
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
k
k
k
k
k
k
+
=
+
=
=
，满足勾股逆定理，
故
ABC
是直角三角形，为真命题；
C、由
2
A
B
C
+=
，结合内角和180，
得3
180
C
=
，
即
60
C
=
，
此时
120
A
B
+=
，
但无法确定是否有直角（如
90
A
=
，
30
B
=
时为直角三角形；
70
A
=
，
50
B
=
时则不是），为真命
题；
D、因为
2
2
2
a
b
c
+
仅说明以c 为斜边时不成立，但不能说明
ABC
一定不是直角三角形，故为假命题；
故选：D
4．（24-25 八年级下·湖南岳阳·期末）下列条件无法判定
ABC
是直角三角形的是（ ）
A．
1 2 3
A
B
C
=
:
:
: :
B．
3
BC = ，
4
AC =
，
5
AB =
C．
A
B
C
−=
D．
:
:
2: 3 : 5
AB BC AC =
【答案】D
【分析】本题主要考查直角三角形的判定，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．根据题意求出角的
度数或者利用勾股定理的逆定理进行计算即可．
【详解】解：A．∵
1 2 3
A
B
C
=
:
:
: : ，
设
,
2 ,
3
A
x
B
x
C
x
=
=
=
，
180
A
B
C
++
=
，
2
3
180
x
x
x
+
+
=
，
30
x
=
，
3
90
C
x
=
=
，
∴
ABC
是直角三角形，故选项A 不符合题意；
B．∵
3
BC = ，
4
AC =
，
5
AB =
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∴
2
2
2
2
2
2
3
4
5
BC
AC
AB
+
=
+
=
=
，
∴
ABC
是直角三角形，故选项B 不符合题意；
C．∵
A
B
C
−=
，
A
B
C
= +
，
2
180
A
B
C
A
++
= =
，
90
A
=
，
∴
ABC
是直角三角形，故选项C 不符合题意；
D．∵
:
:
2: 3 : 5
AB BC AC =
，
设
2 ,
3 ,
5
AB
x BC
x AC
x
=
=
=
，
∴
2
2
2
2
2
2
2
4
3
7
5
AB
BC
x
x
x
x
AC
+
=
+
=
=
，
∴
ABC
不是直角三角形，故选项D 符合题意；
故选：D．
5．（24-25 八年级下·湖南株洲·期末）已知
ABC
的三条边分别为a
b
c
，，，下列条件不能判断
ABC
是直
角三角形的是（ ）
A．
:
:
3:4:5
A
B
C
=
B．
A
B
C
=
+
C．
3,
4,
5
a
b
c
=
=
=
D．
2
2
2
a
c
b
−
=
【答案】A
【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，从而得到答案．
本题考查的是直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180是解答此题的关键．
【详解】解：A、∵
:
:
3:4:5
A
B
C
=
，
180
A
B
C
++
=
，
∴最大角为
5
180
75
3
4
5
C
=
=
+
+
，
∴
ABC
不是直角三角形，
故本选项符合题意；
B、∵
A
B
C
=
+
，
180
A
B
C
++
=
∴2
180
C
=
，
∴
90
C
=
，
∴
ABC
是直角三角形，
故本选项不符合题意；
C、∵
2
2
2
3
4
25
5
+
=
=
，
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∴最大角是90，
∴能构成直角三角形，
故选项不符合题意；
D、∵
2
2
2
a
c
b
−
=
，
∴
2
2
2
a
b
c
=
+
，
∴最大角为
90
A
=
，
∴
ABC
是直角三角形，
故本选项不符合题意．
故选：A．
6．（24-25 八年级下·河南许昌·期末）下列由线段a 、b 、c 组成的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．
7
a =
，
24
b =
，
25
c =
B．
3
a = ，
4
b =
，
5
c =
C．
30
a =
，
40
b =
，
50
c =
D．
40
a =
，
50
b =
，
60
c =
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理，判断较小两边的平方和是否等于第三边的
平方，则可以判断各个选项的三条线段能否构成直角三角形，本题得以解决．
【详解】解：A、
2
2
2
7
24
25
+
=
，故选项A 中的三条线段能构成直角三角形，不符合题意；
B、
2
2
2
3
4
5
+
=
，故选项B 中的三条线段能构成直角三角形，不符合题意；
C、
2
2
2
30
40
50
+
=
，故选项C 中的三条线段能构成直角三角形，不符合题意；
D、
2
2
2
40
50
60
+
，故选项D 中的三条线段不能构成直角三角形，符合题意；
故选：D．
7．（24-25 八年级上·广西百色·期末）已知
ABC
中，a ，b ，c 分别是
A
，
B
，
C
的对边，下列条件
不能判断
ABC
是直角三角形的是（ ）
A．
A
C
B
=
−
B．
:
:
2:3:4
A
B
C
=
C．(
)(
)
2
b
c
b
c
a
+
−
=
D．
5
4
a =
，
3
4
b =
，
1
c =
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
根据直角三角形的判定方法，逐一用勾股定理的逆定理和三角形内角和定理分析各选项是否存在90角即可
求解．
【详解】解：A． 由
A
C
B
=
−，结合内角和得
180
A
B
C
++
=
，
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代入得
180
C
B
B
C
−++
=
，解得
90
C
=
，
ABC
为直角三角形，故此选项不符合题意．
B． 设
2
3
4
A
x
B
x
C
x
=
=
=
，
，
，
则2
3
4
180
x
x
x
+
+
=
，
解得
20
x =
，
故
40
60
80
A
B
C
=
=
=
，
，
，无直角，不能判定为直角三角形，故此选项符合题意．
C． (
)(
)
2
b
c
b
c
a
+
−
=
展开得²
²
²
b
c
a
−
=
，即²
²
²
b
a
c
=
+
，
由勾股定理的逆定理知
90
B
?
? ，
ABC
为直角三角形，故此选项不符合题意．
D． ∵
2
5
25
²
4
16
a
=
=
，
2
2
3
25
²
²
1
4
16
b
c
+
=
=
+
∴²
²
²
a
b
c
=
+
，
由勾股定理的逆定理知
90
A
=
，
∴故
ABC
为直角三角形故此选项不符合题意．
故选：B．
8．（24-25 八年级下·江西赣州·期末）已知
ABC
中，, ,
a b c 分别是
,
,
A
B
C
的对边，则下列条件中不能
判断
ABC
是直角三角形的是（ ）
A．: :
3:4:5
a b c =
B．
:
:
6:8:10
A
B
C
=
C．
A
B
C
−=
D．
2
2
2
a
c
b
−
=
【答案】B
【分析】本题考查三角形内角和定理及勾股定理的逆定理的应用．掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．由
三角形内角和定理及勾股定理的逆定理求解，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是
90即可．
【详解】解：A、∵: :
3:4:5
a b c =
，
设三边为3k 、4k 、5k ，满足(
)
(
)
(
)
2
2
2
3
4
5
k
k
k
+
=
，即
2
2
2
9
16
25
k
k
k
+
=
，
能构成直角三角形，故此选项不符合题意．
B、∵
:
:
6:8:10
A
B
C
=
∴
6
180
45
24
A
=
=
，
8
180
60
24
B
=
=
，
10
180
75
24
C
=
=
无角为90，
ABC
不是直角三角形，故此选项符合题意；
C、
A
B
C
−=
，
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180
A
B
C
++
=
，
∴
180
A
B
A
B
++−=
90
A
=
，
ABC
为直角三角形，故此选项不符合题意；
D 、
2
2
2
a
b
c
−
=
，
2
2
2
a
b
c
=
+
，
能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
故选：B．
9．（24-25 八年级下·福建福州·期末）满足下列条件的
ABC
中，不是直角三角形的是（ ）
A．
:
:
3:4:5
A
B
C
=
B．
1
3
10
a
b
c
=
=
=
，
，
C．
A
B
C
= −
D．(
)(
)
2
b
c
b
c
a
+
−
=
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，以及勾股定理逆定理．根据三角形内角和定理，以及勾股定
理逆定理，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、
:
:
3:4:5
A
B
C
=
，
设
3
A
x
=
，
4
B
x
=
，
5
C
x
=
，
3
4
5
180
x
x
x
+
+
=
，
15
x
=
，
3
45
A
x
=
=
，
4
60
B
x
=
=
，
5
75
C
x
=
=
，
ABC
不是直角三角形，符合题意．
B、
1
a =
，
3
b =
，
10
c =
，
(
)
2
2
2
0
1
3
1
10
+
=
=
，即
2
2
2
a
b
c
+
=
，
ABC
为直角三角形．不符合题意；
C、
A
B
C
= −
，
180
A
B
C
++
=
，
180
B
B
C
C
++
=
−
，
90
B
=
，
ABC
为直角三角形．不符合题意；
D、
(
)(
)
2
b
c
b
c
a
+
−
=
，
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8 /
2
2
2
b
c
a
−
=
，
2
2
2
b
a
c
=
+
，
ABC
为直角三角形．不符合题意．
故选：A．
题型二：在网格中判断直角三角形
1．（23-24 八年级下·广西玉林·期末）如图，在4 4
方格中作以AB 为一边的Rt
ABC
△
，要求点C 也在格点
上，这样的Rt
ABC
△
能作出（ ）
A．2 个
B．4 个
C．6 个
D．7 个
【答案】C
【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键，当AB
是斜边时有四个Rt
ABC
△
，当AB 是直角边时有2 个Rt
ABC
△
．
【详解】解：当AB 是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H 四个；
当AB 是直角边，A 是直角顶点时，第三个顶点是F 点；
当AB 是直角边，B 是直角顶点时，第三个顶点是G．
因而共有6 个满足条件的顶点．
故选C．
2．（24-25 八年级下·安徽亳州·期末）如图，在6 7
网格中，点A ，B ，C 都是网格线的交点，则
CAB
的
度数是（ ）
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9 /
A．30
B．45
C．50
D．60
【答案】B
【分析】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，熟悉“利用勾股定理的逆定理判断直角三角形”
是解题的关键．先利用勾股定理分别求解
2
AC ，
2
BC ，
2
AB ，再证明AB
BC
=
，
2
2
2
AC
BC
AB
=
+
，从而
可得答案．
【详解】解：如图，连接BC ，
由勾股定理得：
2
2
2
3
5
34
AC
=
+
=
，
2
2
2
1
4
17
BC
=
+
=
，
2
2
2
1
4
17
AB =
+
=
，
AB
BC
=
，
2
2
2
AC
BC
AB
=
+
，
90
ABC
=
，
45
ACB
BAC
=
=
，
故选B．
3．（24-25 八年级下·河北邢台·期中）如图，在边长为1 的小正方形网格中，点A ，B ，C 均在网格的格点
上，下列结论不正确
．．．的是（ ）
A．
5
BC =
B．
5
AB =
C．
90
ACB
=
D．
10
ABC
S
=
△
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理与网格问题、勾股定理的逆定理、三角形的面积，利用勾股定理求线段长度
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10 /
是解题的关键．根据勾股定理求出BC 、AB 、
2
AC ，利用勾股定理的逆定理推出
90
ACB
=
，再利用割补
法求出
ABC
S
，结合选项即可得出答案．
【详解】解：
2
2
1
2
5
BC =
+
=
，
2
2
3
4
5
AB =
+
=
，
2
2
2
2
4
20
AC =
+
=
，
2
2
2
AC
BC
AB
+
=
，
90
ACB
=
，
1
1
1
4
4
4
3
4
2
1
2
5
2
2
2
ABC
S
．
结合选项可得，A、B、C 选项结论正确，D 选项结论不正确．
故选：D．
4．（24-25 八年级下·陕西安康·期中）如图，小正方形的边长均为1，A 、B 、C 在小正方形的格点上，连接
AB ，BC ，AC ，则
ACB
的度数是（ ）
A．45
B．30
C．90
D．60
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，判断
ABC
是等腰直角三角形是解决本题的关键，注意在格点
三角形中利用勾股定理．在格点三角形中，根据勾股定理即可得到AB ，BC ，AC 的长度，继而可得出
ABC
的度数．
【详解】解：根据勾股定理可得：
2
2
2
1
5
AB
BC
=
=
+
=
，
2
2
3
1
10
AC =
+
=
，
2
2
2
( 5)
( 5)
( 10)
+
=
，即
2
2
2
AB
BC
AC
+
=
，
ABC
是等腰直角三角形．
45
ACB
=
．
故选：A．
5．（24-25 八年级下·湖北孝感·期中）如图，在4 4
网格中，每个小正方形的边长都相等，网格线的交点称
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11 /
为格点.格点C 与图中的格点A ，B 可构成直角三角形，则这样的格点C 有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】D
【分析】根据网格的特点以及等腰直角三角形的性质，分类讨论，找出符合题意的点C ，即可求解．
【详解】解：如图，
格点C 与图中的格点A ，B 可构成直角三角形，则这样的格点C 有5个
故选：D．
6．（24-25 九年级上·云南临沧·期末）如图所示的网格是正方形网格，点A 、B 、C 、D 、E 都是网格线交
点，则
ACB
DCE
−
=（ ）
A．30
B．45
C．60
D．90
【答案】B
【分析】本题主要考查勾股定理与网格，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，理解图示，掌握
勾股定理与网格，全等三角形的判定和性质是关键．
如图，连接CG 、AG ，由勾股定理逆定理得到CAG
是等腰直角三角形，
CAF
BCA
=
，再证明
(
)
AFG
CDE SAS
≌
，得到
FAG
DCE
=
，由
45
ACB
DCE
CAF
FAG
CAG
−
=
−
=
=
即可求解．
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12 /
【详解】解：如图，连接CG 、AG ，
由勾股定理得：
2
2
2
2
1
2
5
AG
CG
=
=
+
=
，
2
2
2
1
3
10
AC =
+
=
，
2
2
2
AG
CG
AC
+
=
，
90
CGA
=
，
CAG
是等腰直角三角形，
45
CAG
=
，
AF
BC
，
CAF
BCA
=
，
在AFG
和CDE
中，
90
AF
CD
AFG
CDE
FG
DE
=
=
=
=
，
(
)
AFG
CDE SAS
≌
，
FAG
DCE
=
，
45
ACB
DCE
CAF
FAG
CAG
−
=
−
=
=
．
故选：B．
7．（24-25 八年级下·山东临沂·期中）如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C 分别是小正方形的顶点，
则
ABC
的度数为（ ）
A．30
B．40
C．45
D．50
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质与判定，熟悉掌握勾股定理的逆定理是
解题的关键．
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13 /
连接AC ，利用勾股定理求出三角形各边的长度，再用逆定理证明
ACB
为直角，再通过等腰三角形的性
质运算求解即可．
【详解】解：连接AC ，如图所示：
根据勾股定理可得：
2
2
1
2
5
AC =
+
=
，
2
2
1
2
5
BC =
+
=
，
2
2
1
3
10
AB =
+
=
，
∴
2
5
AC =
，
2
5
BC =
，
2
10
AB =
，
∴
2
2
2
AC
BC
AB
+
=
，
∴
90
ACB
=
，
∵AC
BC
=
，
∴
90
45
2
ABC
CAB
=
=
=
∠
∠
，
故选：C．
8．（24-25 八年级下·广东惠州·期中）点A，B，C，D，E 是如图所示的正方形网格中网格线的交点，则
BAC
CDE
+
=（ ）
A．30
B．45
C．50
D．60
【答案】B
【分析】本题主要考查勾股定理、勾股定理的逆定理、平行线的性质、等腰三角形的性质，连接AD，设小
正方形的边长为x，根据勾股定理得
10
AD
x
=
，
10
CD
x
=
，
2 5
AC
x
=
，再根据勾股定理的逆定理，得
90
ADC
=
，从而
45
DAC
ACD
=
=
，由AB
DE
∥
，得
180
BAD
ADE
+
=
，即可求解．
【详解】解：如图，连接AD，
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14 /
设图中每个小正方形的边长为x，
10
AD
x
=
，
10
CD
x
=
，
2 5
AC
x
=
，
2
2
2
AD
CD
AC
+
=
，AD
CD
=
，
90
ADC
=
，
45
DAC
ACD
=
=
，
由题意得，AB
DE
∥
，
180
BAD
ADE
+
=
，
45
90
180
BAC
DAC
ADC
CDE
BAC
CDE
+
+
+
=
+
+
+
=
，
45
BAC
CDE
+
=
，
故选：B．
9．（2025·河北邢台·模拟预测）图是由小正方形拼成的网格，,
A B 两点均在格点上，,
C D 两点均为小正方形
一边的中点，直线AB 与直线CD交于点E ，则
BED
=（ ）
A．60
B．75
C．90
D．105
【答案】C
【分析】本题考查平移的性质，勾股定理及其逆定理，通过平移，将点C、D 移到格点是银题的关键．
将CD向下平移一格，再向左平移1
2 格，得到GF ，连接GB ，利用勾股定理及其逆定理，证明
90
BFG
=
，
即可由平行线的性质求得
90
BEC
BFG
=
=
，从而求得
BED
．
【详解】解：如图，平移CD至FG 处，则
,
F G 均在正方形格点上，连接GB ，
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15 /
设小正方形的边长为1，由勾股定理得：
2
2
2
1
2
5
BF =
+
=
，
2
2
2
1
2
5
GF =
+
=
，
2
2
2
1
3
10
BG =
+
=
，
∴
2
2
2
BF
GF
BG
+
=
∴
90
BFG
=
∵平移CD至FG 处，．
∴CD
GF
∥
∴
90
BEC
BFG
=
=
∴
90
BED
=
故选：C．
题型三：勾股定理的逆定理求线段长度
1．（24-25 八年级下·安徽合肥·期中）如图，在
ABC
中，
4 2
AB =
，
4 3
AC =
，AD是BC 边上的中线，
且
2
AD =
，则BC 的长为（ ）
A．12
B．10
C．4 5
D．6 3
【答案】A
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理和勾股定理的逆定理，，延长AD到E，使得
DE
DA
=
，连接CE ，证明ADB
EDC
≌
得到
4 2
CE
AB
=
=
，再利用勾股定理的逆定理证明
90
AEC
=
，
最后根据勾股定理求出CD的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，延长AD到E，使得DE
DA
=
，连接CE ，
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16 /
∵AD是BC 边上的中线，
∴BD
CD
=
，
又∵AD
CD
ADB
CDE
=
=
，∠
∠
，
∴
(
)
SAS
ADB
EDC
≌
，
∴
4 2
CE
AB
=
=
，
∵
2
4
AE
AD
=
= ，
∴
(
)
2
2
2
2
4
4 2
16
32
48
AE
CE
+
=
+
=
+
=
，
(
)
2
2
4 3
48
AC =
=
，
∴
2
2
2
AE
CE
AC
+
=
，
∴
90
AEC
=
，
∴
(
)
2
2
2
2
2
4 2
6
CD
CE
DE
=
+
=
+
=
，
∴
2
12
BC
CD
=
=
，
故选：A．
2．（24-25 八年级下·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，已知
ABC
中，AB 的垂直平分线交BC 于点D ，AC
的垂直平分线交BC 于点E ，点M
N
，
为垂足，
3
BD =
，
4
DE =
，
5
EC =
，则AC 的长为（ ）
A．3 2
B．3 3
C．3 5
D．3 10
【答案】D
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理及其逆定理．根据线段垂直平分线的性质得出
AD
AE
，
的长，利用勾股定理逆定理得出
ADE
是直角三角形，进而利用勾股定理解答即可．
【详解】解：连接AD
AE
，
，
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17 /
∵
4
DE =
，
5
EC =
，
∴
4
5
9
DC =
+
= ，
∵AB 的垂直平分线交BC 于点D ，AC 的垂直平分线交BC 于点E ，
∴
3
AD
BD
=
=
，
5
AE
EC
=
=
，
∵
4
DE =
，
∴
2
2
2
9
16
25
AD
DE
AE
+
=
+
=
=
，
∴
ADE
是直角三角形，
∴
90
ADE
=
，
∴
2
2
2
2
3
9
3 10
AC
AD
DC
=
+
=
+
=
．
故选：D．
3．（20-21 八年级上·陕西西安·期中）如图，D 为
ABC
的边BC 上一点，已知
10
AB =
，
8
AD = ，
17
AC =
，
6
BD =
，则BC 的长为（ ）
A．18
B．21
C．20
D．23
【答案】B
【分析】根据
2
2
2
AD
BD
AB
+
=
得到
90
ADB
ADC
=
=
，根据勾股定理得到
2
2
15
CD
AC
AD
=
−
=
，结合
21
BC
BD
CD
=
+
=
，解答即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握两个定理是解题的关键．
【详解】解：∵
10
AB =
，
8
AD = ，
17
AC =
，
6
BD =
，
∴
2
2
2
2
2
6
8
10
AD
BD
AB
+
=
+
=
=
，
∴
90
ADB
ADC
=
=
，
∴
2
2
15
CD
AC
AD
=
−
=
，
∴
21
BC
BD
CD
=
+
=
，
故选：B．
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18 /
4．（24-25 八年级上·重庆·期中）如图，在
ABC
中，
6 5
AB =
，
12
AC =
，
6
BC =
，将
ABC
折叠，得到
折痕DE ，且顶点B 恰好与点A 重合，点C 落在点F 处，则CE 的长为（ ）．
A．4
B．9
2
C．5
D．3 10
【答案】B
【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，勾股定理及其逆定理的应用．连接BE ，先证明
ABC
是直
角三角形，且
90
C
=
，再证明DE 是AB 的垂直平分线，得到BE
AE
=
，设CE
x
=
，则
12
BE
AE
x
=
=
−，
利用勾股定理即可求解．
【详解】解：连接BE ，如图；
6 5
AB =
，
12
AC =
，
6
BC =
，
2
180
AB =
，
2
144
AC =
，
2
36
BC =
，
2
2
2
AB
AC
BC
=
+
，
ABC
是直角三角形，且
90
C
=
，
由折叠的性质得：DE
AB
⊥
，
顶点B 恰好与点A 重合，
BD
AD
=
，
DE
是AB 的垂直平分线，
BE
AE
=
，
设CE
x
=
，则
12
BE
AE
x
=
=
−，
在Rt BCE
中，
2
2
2
BE
CE
BC
=
+
，
(
)
2
2
2
12
6
x
x
−
=
+
，
9
2
x
=
,
9
2
CE
=
，
故选：B．
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19 /
5．（24-25 九年级上·四川泸州·期末）如图，在
ABC
中，
2
AC =
，
3
BC = ，
13
AB =
，D 是AB 边的中点，
则CD = ．
【答案】
13
2
/ 1 13
2
/0.5 13
【分析】本题考查了勾股定理逆定理，直角三角形的性质，得到
ABC
是直角三角形是解题的关键．
先根据勾股定理逆定理得到
90
ACB
=
，再由直角三角形斜边上中线的性质即可求解．
【详解】解：∵
2
AC =
，
3
BC = ，
13
AB =
，
∴
(
)
2
2
2
2
2
2
2
3
13
13
AC
BC
AB
+
=
+
=
=
=
，
∴
90
ACB
=
，
∵D 是AB 边的中点，
∴
1
13
2
2
CD
AB
=
=
，
故答案为：
13
2
．
6．（24-25 八年级上·广东深圳·期中）如图所示，已知
2 10
AD
CD
=
=
，
2
BD = ，
3
BC
BD
=
，则AB 的长
为 ．
【答案】2 13
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，延长BD至点E，
使
2
ED
BD
=
= ，则
4
BE
BD
ED
=
+
=
，由勾股定理的逆定理证明
CDB
△
是直角三角形，且
90
CBD
=
，再
由勾股定理得
2 13
CE =
，然后证明
(
)
SAS
ABD
CED
≌
，即可得出结论．
【详解】解：如图，延长BD至点E，使
2
ED
BD
=
= ，
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20 /
则
4
BE
BD
ED
=
+
=
，
∵
2
BD = ，
3
BC
BD
=
，
∴
6
BC =
，
∵
2 10
CD =
，
∴
(
)
2
2
2 10
40
CD =
=
，
2
2
2
2
2
6
40
BD
BC
+
=
+
=
，
∴
2
2
2
BD
BC
CD
+
=
，
∴
CDB
△
是直角三角形，且
90
CBD
=
，
∴
2
2
2
2
4
6
2 13
CE
BE
BC
=
+
=
+
=
，
在
ABD
△
和
CED
△
中，
AD
CD
ADB
CDE
BD
ED
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
ABD
CED
≌
，
∴
2 13
AB
CE
=
=
，
故答案为：2 13 ．
题型四：勾股定理的逆定理求角度
1．
（24-25 八年级下·四川南充·期末）如图，四边形ABCD中，
17
AB =
，
8
BC = ，
12
CD =
，
9
AD =
，
90
D
?
? ．则
ACB
（ ）
A．是锐角
B．是直角
C．是钝角
D．不确定大小
【答案】B
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21 /
【分析】此题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c 满足
2
2
2
a
b
c
+
=
，那么这个三角形就是直角三角形．
直接利用勾股定理可得AC 的长；再根据勾股定理逆定理判定
90
ACB
=
即可．
【详解】解：∵
12
CD =
，
9
AD =
，
90
D
?
? ，
∴
2
2
15
AC
AD
CD
=
+
=
，
∵
2
2
2
15
8
17
+
=
，
∴
2
2
2
AC
BC
AB
+
=
，
∴
90
ACB
=
，
故选：B
2．（24-25 八年级下·四川广安·期末）如图，在四边形ABCD中，
90
A
=
，
2
AB
AD
=
=
，
1
BC = ，
3
CD =
，
则
B
的度数为（ ）
A．120
B．125
C．130
D．135
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．连接BD，可求
2
2
2
45
8
ABD
BD
AD
AB
=
=
+
=
，
，再由
2
2
2
BD
BC
CD
+
=
，可得
BCD
△
是直角三角形，即可求解．
【详解】解：如图，连接BD，
∵
90
A
=
，
2
AB
AD
=
=
，
∴
2
2
2
45
8
ABD
BD
AD
AB
=
=
+
=
，
，
∵
1
BC = ，
3
CD =
，
∴
2
2
1
9
BC
CD
=
=
，
，
∵8 1 9
+ =
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22 /
∴
2
2
2
BD
BC
CD
+
=
，
∴
BCD
△
是直角三角形，
90
DBC
=
，
∴
135
ABC
=
．
故选：D．
3．（24-25 八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，已知
90
4
2
6
A
AC
AB
CD
BD
=
=
=
=
=
，
，
，
．则
ACD
的
度数为（ ）
A．30
B．35
C．40
D．45
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质．根据勾股定理可得
4 2
BC =
，再由勾
股定理的逆定理可得
90
BCD
=
，即可求解．
【详解】解：∵
90
4
A
AC
AB
=
=
=
，
，
∴
2
2
4 2
BC
AC
AB
=
+
=
，
45
ACB
ABC
=
=
，
∵
2
6
CD
BD
=
=
，
，
∴
(
)
2
2
2
2
2
2
4 2
36
CD
BC
BD
+
=
+
=
=
，
∴
90
BCD
=
，
∴
45
ACD
BCD
ACB
=
−
=
．
故选：D．
4．（24-25 八年级下·山西吕梁·期末）如图，ABC
中，
:
:
3:4:5
AC BC AB =
，点D 在BC 上，点E 为AB 的
中点，AD，CE 相交于点F ，且AD
DB
=
．若
35
B
=
，则
DFE
的度数是 ．
【答案】105/105 度
【分析】根据
:
:
3:4:5
AC BC AB =
，可知
ABC
为直角三角形，根据斜边上的中线等于斜边的一半，可知
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BE
CE
AE
=
=
，利用等边对等角，可求得
ECB
B
= ，B
BAD
=
，接着利用外角，推出
ADC
，最后
利用
DFE
ECB
ADC
=
+
求得答案．
【详解】解：
ABC
中，
:
:
3:4:5
AC BC AB =
，不妨设
3
AC =
，
4
BC =
，
5
AB =
，
2
23
9
AC =
=
，
2
2
4
16
BC =
=
，
2
2
5
25
AB =
=
，
2
2
2
AC
BC
AB
+
=
，
90
ACB
=
，
点E 为AB 的中点，
BE
CE
AE
=
=
，
ECB
B
，
AD
DB
=
，
B
BAD
=
，
35
B
=
，
35
ECB
BAD
B
=
= =
，
ADC
B
BAD
= +
，
35
35
70
ADC
=
+
=
，
35
70
105
DFE
ECB
ADC
=
+
=
+
=
．
故答案为：105．
6．（24-25 八年级下·福建福州·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，已知
4 2,
15,
17,
90
AB
BC
CD
AD
ABC
=
=
=
=
=
，则
BCD
的度数为 ．
【答案】135/135 度
【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理等知识，连接AC ，得出
ABC
为
等腰直角三角形，得到
45
BCA
=
，根据勾股定理求出
8
AC =
，根据勾股定理逆定理得到ACD
是直角三
角形，且
=90
ACD
，即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：如图，连接AC ，
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4 2
AB
BC
=
=
，
90
ABC
=
，
ABC
为等腰直角三角形，
∴
45
BCA
=
，
在Rt
ABC
△
中，
(
)
(
)
2
2
2
2
4 2
4 2
8
AC
AB
BC
=
+
=
+
= ，
在ACD
中，
2
2
2
2
2
2
8
15
17
AC
CD
AD
+
=
+
=
=
，
ACD
是直角三角形，且
=90
ACD
，
BCD
90
45
135
ACD
BCA
=
+
=
+
=
，
故答案为：135．
7．（2025 八年级下·全国·专题练习）如图，
ABC
中，CD
AB
⊥
，垂足为D，E 为BC 边的中点，
4
AB =
，
2
AC =
，
3
DE =
，则
ACD
= ．
【答案】30/30 度
【分析】先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出
2
2 3
BC
DE
=
=
，再利用勾股定理的逆定理
得出
90
ACB
=
，从而由三角形的面积求得
3
AC BC
CD
AB
=
=
，从而可证明CDE
是等边三角形，得
60
DCE
=
，即可由
ACD
ACB
DCE
=
−
求解．
【详解】解：∵CD
AB
⊥
，E 为BC 边的中点，
3
DE =
，
∴
3
BE
CE
DE
=
=
=
，
2
2 3
BC
DE
=
=
，
∵
4
AB =
，
2
AC =
，
∴
2
2
2
4
12
16
AC
BC
AB
+
=
+
=
=
，
∴
ABC
是直角三角形，且
90
ACB
=
，
∴
1
1
2
2
ABC
S
AB CD
AC BC
=
=
，
∴
2 2 3
3
4
AC BC
CD
AB
=
=
=
，
∴CD
DE
CE
=
=
，
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∴CDE
是等边三角形，
∴
60
DCE
=
∴
30
ACD
ACB
DCE
=
−
=
．
故答案为：30．
题型五：勾股定理的逆定理求面积问题
1．（24-25 九年级下·广东河源·期中）如图，在四边形ABCD中，
90
2,
1,
6
B
AB
BC
CD
AD
=
=
=
=
=
，
，
则四边形ABCD的面积为（ ）
A．5
1
+
B．
5
1
2
+
C．
5
D．5
1
−
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，求四边形的面积，解题关键是通过连结对角线，将四边形问题
转化为三角形问题求解．
先证明ACD
为直角三角形，再求出两个三角形的和即为四边形的面积．
【详解】解：连接AC ，
∵
90
B
?
? ，
2
AB =
，
1
BC
CD
=
= ，
∴
2
2
5
AC
AB
BC
=
+
=
，
∵
2
2
5 1
6
AC
CD
+
=
+ =
，
2
6
AD =
，
∴
2
2
2
AC
CD
AD
+
=
，
∴ACD
为直角三角形，
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∴四边形ABCD的面积1
1
5
1 2
1
5
1
2
2
2
+
= +
，
故选：B．
2．
（24-25 八年级下·云南昭通·阶段练习）如图，四边形ABCD中，
90
B =
∠
，
9m
AB =
，
12m
BC =
，
8
=
CD
m，
17m
AD =
，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．
2
154m
B．
2
122m
C．
2
114m
D．
2
108m
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，连接AC ，勾股定理求出AC 的长，勾股定理逆定理得到ACD
为
直角三角形，再利用分割法求出四边形的面积即可．
【详解】解：连接AC ，
∵
90 ,
9 m,
12 m,
B
AB
BC
=
=
=
∴
(
)
2
2
15 m
AC
AB
BC
=
+
=
，
∵
2
2
2
2
2
2
8
15
17
CD
AC
AD
+
=
+
=
=
，
∴ACD
为直角三角形，且
90
ACD
=
，
∴
(
)
2
1
1
1
1
9 12
8 15
114 m
2
2
2
2
ABC
ACD
ABCD
S
S
S
AB BC
AC CD
=
+
=
+
=
+
=
四边形
．
故选：C．
3．
（24-25 八年级下·吉林松原·期末）已知一个三角形的三边长分别为
41、4、5，则此三角形的面积为（ ）
A．20
B．10
C．2 41
D．5 41
2
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，先判断三角形是否为直角三角形，再利用直角三角形的面积公式计
算．
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【详解】解：由题意，三角形的三边长分别为
41、4、5，
所以
(
)
2
2
2
5
16
4
25
41
+
=
+
=
，
所以三角形为直角三角形，其中4 和5 为直角边，
所以直角三角形的面积
1
1
4 5
20
10
2
2
=
=
=
．
故选：B
4．（24-25 八年级下·西藏·期中）如图，四边形ABCD中，
90
B
=
，
3
AB =
，
4
BC =
，
12
CD =
，
13
AD =
，
则四边形ABCD的面积是( )
A．36
B．37.5
C．40
D．42.5
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，三角形面积，熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键．连接AC ，
利用勾股定理求出
2
2
5
AC =
AB + BC = ，利用勾股定理的逆定理得到ACD
为直角三角形，得到
ABC
ACD
ABCD
S
S
S
=
+
四边形
△
△
，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接AC ，
90
B
=
，
3
4
AB
BC
=
=
，
，
2
2
5
AC
AB
BC
=
+
=
，
12
13
CD
AD
=
=
，
，
2
2
13
169
AD
=
=
，
2
2
2
2
12
5
144
25
169
CD
AC
+
=
+
=
+
=
，
2
2
2
CD
AC
AD
+
=
，
ACD
为直角三角形，且
=90
ACD
，
ABC
ACD
ABCD
S
S
S
=
+
四边形
1
1
2
2
AB BC
AC CD
=
+
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1
1
3 4
5 12
2
2
=
+
36
=
，
故选：A．
5．（24-25 八年级下·广东惠州·阶段练习）如图，一块三角形木板，测得
10
AB =
，
6
BC =
，
8
AC =
，则三
角形木板ABC 的面积为（ ）
A．15
B．24
C．30
D．不能确定
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理逆定理的应用，根据勾股定理的逆定理，得
ABC
为直角三角形，故可求出面
积．
【详解】解：∵
2
2
10
100
AB =
=
，
2
2
2
2
6
8
100
BC
AC
+
=
+
=
，
∴
2
2
2
AB
BC
AC
=
+
，
即
ABC
是直角三角形，
∴
1
1
6 8
24
2
2
ABC
S
BC
AC
=
=
=
，
故选：B．
6．（24-25 九年级下·四川绵阳·开学考试）如图，
90
ADC
=
，
4
=
AD
，
3
CD =
，
13
AB =
，
12
BC =
，则
这个图形的面积为 ．
【答案】24
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的运用，三角形面积的求法．关键是掌握勾股定理与逆定理．连
接AC ，在Rt
ACD
△
中，
4
=
AD
，
3
CD =
，可求AC ；在
ABC
中，由勾股定理的逆定理可证
ABC
为直
角三角形，利用两个直角三角形的面积差求图形的面积．
【详解】解：连接AC ，在Rt
ACD
△
中，
4
=
AD
，
3
CD =
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2
2
5
AC
AD
CD
=
+
=
，
在
ABC
中，
2
2
2
2
2
2
5
12
13
AC
BC
AB
+
=
+
=
=
，
ABC
为直角三角形；
图形面积为：
1
1
5 12
3 4
24.
2
2
−
=
−
=
ABC
ACD
S
S
故答案为：24．
7．（24-25 八年级上·福建漳州·期中）如图，在四边形ABCD中，
90
A
=
，
20
AB =
，
24
BC =
，
7
CD =
，
15
AD =
，则四边形ABCD的面积是 ．
【答案】234
【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题关键．连
接BD，先利用勾股定理可得
2
BD 的值，再根据勾股定理的逆定理可得
90
C
=
，然后根据四边形ABCD的
面积等于
ABD
BCD
S
S
+
求解即可得．
【详解】解：如图，连接BD，
∵
90
A
=
，
20
AB =
，
15
AD =
，
∴
2
2
2
625
BD
AB
AD
=
+
=
，
∵
24
BC =
，
7
CD =
，
∴
2
2
2
2
2
24
7
625
BC
CD
BD
+
=
+
=
=
，
∴
90
C
=
，
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∴四边形ABCD的面积等于
ABD
BCD
S
S
+
1
1
2
2
AB AD
BC CD
=
+
1
1
20 15
24 7
2
2
=
+
234
=
；
故答案为：234．
题型六：勾股定理的逆定理综合解答题
1．（24-25 八年级下·天津红桥·期末）如图，在四边形ABCD中，
90
B
?
? ，
30
ACB
=
，
2
AB =
，
5
AD = ，
3
CD =
，
(1)求
BCD
的大小；
(2)求四边形ABCD的面积．
【答案】(1)120
(2)6
2 3
+
【分析】本题主要考查了勾股定理和逆定理，直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理的逆定理，说明ACD
为直角三角形，
=90
ACD
，是解题的关键．
（1）先根据直角三角形性质求出
4
AC =
，再根据勾股定理的逆定理证明ACD
为直角三角形，
=90
ACD
，
最后求出结果即可；
（2）根据勾股定理求出
2
2
2 3
BC
AC
AB
=
−
=
，根据三角形面积公式求出
1
·
2 3
2
ABC
S
AB BC
=
=
△
，
1
6
2
ACD
S
AC CD
=
=
△
，最后求出结果即可．
【详解】（1）解：
90
30
2
B
ACB
AB
=
=
=
，
，
，
2
2 2
4
AC
AB
=
= =
，
5
AD =
，
3
CD =
，
2
2
2
AC
CD
AD
+
=
，
∴ACD
为直角三角形，
=90
ACD
，
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120
BCD
ACB
ACD
=
+
=
．
（2）解：
2
AB =
，
4
AC =
，
2
2
2
2
4
2
2 3
BC
AC
AB
=
−
=
−
=
，
1
1
·
2 2 3
2 3
2
2
ABC
S
AB BC
=
=
=
，
1
1
·
4 3
6
2
2
ACD
S
AC CD
=
=
=
，
四边形ABCD的面积为6
2 3
+
．
2．（24-25 八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在四边形ABCD中，
24
AB =
，
26
BC =
，
8
AD = ，
6
CD = ，
90
ADC
=
．
(1)连接AC ，求AC 的长；
(2)求四边形ABCD的面积．
【答案】(1)10
(2)144
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，证明
ABC
是直角三角形是解题的关键．
（1）利用勾股定理求解；
（2）利用勾股定理的逆定理得出
ABC
是直角三角形，再根据三角形面积公式即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接AC ．
90
ADC
=
，
8
AD = ，
6
CD = ，
2
2
2
2
AC
AD
CD
8
6
10
=
+
=
+
=
．
（2）解：由（1）可知
10
AC =
．
24
AB =
，
26
BC =
，
2
2
2
2
10
24
100
576
676
AC
AB
+
=
+
=
+
=
，
2
2
26
676
BC =
=
．
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2
2
2
AC
AB
BC
+
=
．
ABC
是直角三角形，
90
BAC
=
．
1
1
1
1
8 6
24 10
144
2
2
2
2
ACD
ABC
ABCD
S
S
S
AD CD
AB AC
=
+
=
+
=
+
=
四边形
．
3．（24-25 八年级下·广西钦州·期中）如图，在
ABC
中，
13
AB =
，
12
AC =
，
5
BC = ，DE 是AB 的垂直平
分线，DE 分别交AC ，AB 于点E ，D ．
(1)求证：
ABC
是直角三角形；
(2)求CE 的长．
【答案】(1)见解析
(2)119
24
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，证明
ABC
是直角三角形是解题
的关键。
（1）可证明
2
2
2
AC
BC
AB
+
=
，根据勾股定理的逆定理，
ABC
是直角三角形；
（2）连接BE ，由线段垂直平分线的性质得到AE
BE
=
．设CE
x
=
，则
12
BE
AE
AC
CE
x
=
=
−
=
−，由勾
股定理得
(
)
2
2
25
12
x
x
+
=
−
，解方程即可得到答案．
【详解】（1）证明：在
ABC
中，
13
AB =
，
12
AC =
，
5
BC = ，
2
2
12
5
144
25
169
+
=
+
=
，
2
13
169
=
，
2
2
2
12
5
13
+
=
．
∴
2
2
2
AC
BC
AB
+
=
，
∴
ABC
是直角三角形；
（2）解：如图，连接BE ．
DE
是AB 的垂直平分线，
AE
BE
=
．
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由（1）可得
ABC
是直角三角形，
即
90
ACB
=
．
设CE
x
=
，则
12
BE
AE
AC
CE
x
=
=
−
=
−，
在Rt BCE
中，由勾股定理得
2
2
2
CE
BC
BE
+
=
，
即
(
)
2
2
25
12
x
x
+
=
−
．
解得
119
24
x =
．
即CE 的长为119
24 ．
4．（24-25 八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图所示，已知等腰三角形ABC 的底边
20cm
BC =
，D 是腰AB
上一点，且
16
CD
cm
=
，
12cm
BD =
，求
ABC
的面积．
【答案】
2
400 cm
3
ABC
S
=
△
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，先证明
BCD
△
是直角三角形，设
cm
AD
x
=
，则
(
12)cm
AC
AB
x
=
=
+
，在Rt ADC
中，根据勾股定理，求得
14
3
x =
，进而求得AB 的长，然后根据三角形的
面积公式，即可求解．
【详解】解∶
2
2
2
2
12
16
400
BD
DC
+
=
+
=
，
2
2
20
400
BC =
=
，
2
2
2
BD
DC
BC
+
=
，
BCD
△
是直角三角形，
=90
BDC
，
CD
AB
⊥
，
设
cm
AD
x
=
，则
(
12)cm
AC
AB
x
=
=
+
，
在Rt ADC
中，
2
2
2
AD
DC
AC
+
=
，
2
2
2
16
(
12)
x
x
+
=
+
，
解得
14
3
x =
，
14
50
12
cm
3
3
AB
=
+
=
，
CD
AB
⊥
，
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34 /
2
1
1
50
400
16
cm
2
2
3
3
ABC
S
AB CD
=
=
=
△
．
5．
（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图，在
ABC
中，
6
AB =
，
4
AC =
，点D为
ABC
内一点，且
=90
BDC
，
2
CD = ，BD
AC
=
．
(1)求BC 的长；
(2)求图中阴影部分的面积．
【答案】(1) 2 5
(2)4 5
4
−
【分析】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是求出BC 的长．
（1）根据勾股定理和
=90
BDC
，
2
CD = ，BD
AC
=
，可以求出BC 的长；
（2）根据勾股定理的逆定理可以判断
ABC
的形状，从而可以求出阴影部分的面积．
【详解】（1）解：∵
=90
BDC
，
2
CD = ，BD
AC
=
，
4
AC =
，
2
2
2
2
=
+
= 4 +2 =2 5
BC
BD
CD
；
（2）解：∵
6
AB =
，
4
AC =
，
2 5
BC =
，且
2
2
2
4
(2 5)
6
+
=
，
即
2
2
2
AC
BC
AB
+
=
，
∴
ABC
是直角三角形，
90
ACB
=
，
1
1
4 2 5
4 2
4 5
4
2
2
ACB
BDC
S
S
S
=
−
=
−
=
−
阴影
．
6．（24-25 八年级下·浙江台州·期中）如图，在
ABC
中，CD
AB
⊥
于点D．
(1)已知
4
=
AD
，
1
BD = ，
2
CD = ，求证：
90
ACB
=
；
(2)已知
90
ACB
=
．
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①若
3
AD = ，
2
BD = ，求CD的长；
②若设AD
m
=
，BD
n
=
，CD
k
=
，则m，n，k 的数量关系为__________．
【答案】(1)见解析
(2)①6 ；②
2
k
mn
=
【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，熟练运用勾股定理、勾股定理逆定理是解
题的关键．
（1）由勾股定理可得
2
2
5
,
20
AC
BC
=
= 、
2
25
AB =
，再根据勾股定理逆定理即可证明结论；
（2）设CD
k
=
，则
2
2
2
2
4
,9
AC
k
BC
k
=
+
=
+
，由勾股定理可得
2
2
9
4
25
k
k
+
+
+
=
求解即可：②由勾股定理
可得
2
2
2
2
2
2
,
AC
m
k BC
k
n
=
+
+
=
，进而得到
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
m
k
k
n
m
n
m
mn
n
+
+
+
=
+
=
+
+
求解即可．
【详解】（1）证明∶∵CD
AB
⊥
，
4
=
AD
，
1
BD = ，
2
CD = ，
∴
2
2
2
2
2
2
5
,
20
AC
AD
CD
BC
CD
BD
=
+
=
=
+
= ，
∵
(
)
2
2
4 1
25
AB =
+
=
，
∴
2
2
2
AC
BC
AB
+
=
，
∴
90
ACB
=
．
（2）解：①设CD
k
=
，则
2
2
2
2
4
,9
AC
k
BC
k
=
+
=
+
，
∴
90
ACB
=
，
∴
2
2
2
AC
BC
AB
+
=
，即
2
2
9
4
25
k
k
+
+
+
=
，解得：
6
k =
（已舍弃负值），
∴
6
CD =
．
②根据勾股定理得，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
,
AC
AD
CD
m
k BC
CD
BD
k
n
=
+
=
+
=
+
=
+
，
∵
90
ACB
=
，
∴
2
2
2
AC
BC
AB
+
=
，即
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
m
k
k
n
m
n
m
mn
n
+
+
+
=
+
=
+
+
，
解得：
2
k
mn
=
．
故答案为：
2
k
mn
=
．
7．
（24-25 八年级下·广东东莞·期中）如图，四边形ABCD中，
90
B
?
? ，
4
AB =
，
3
BC = ，
2
CD = ，
29
AD =
．
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36 /
(1)求AC 的长度；
(2)求四边形ABCD的面积．
【答案】(1)5
(2)11
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握相关定理，是解题的关键：
（1）勾股定理进行求解即可；
（2）利用勾股定理逆定理得到
=90
ACD
，分割法求出四边形的面积即可．
【详解】（1）解：∵
90
B
?
? ，
4
AB =
，
3
BC = ，
∴
2
2
5
AC
BC
AB
=
+
=
；
（2）∵
2
CD = ，
29
AD =
，由（1）知：
5
AC =
，
∴
2
2
2
29
CD
AC
AD
+
=
=
，
∴
=90
ACD
，
∴四边形ABCD的面积
1
1
1
1
3 4
5 2
11
2
2
2
2
ABC
ACD
S
S
AB BC
AC CD
+
=
+
=
+
=
．
题型七：勾股定理逆定理的实际应用
1．（24-25 八年级下·贵州遵义·期末）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一题：“问
有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”其大意是：有一块三角
形沙田，三条边分别为5 里，12 里，13 里，问这块沙田的面积为（ ）
A．30 平方里
B．32.5 平方里
C．60 平方里
D．65 平方里
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和直角三角形的面积计算，解题的关键是判断三角形的形状，再计
算其面积．
先根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状，再根据直角三角形的面积公式计算沙田的面积．
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【详解】解：已知三角形沙田的三条边分别为5 里，12 里，13 里．
2
2
2
5
12
25 144
16913
169
+
=
+
=
=
，
，
2
2
2
5
12
13
+
=
．
这个三角形沙田是直角三角形，其中5 里和12 里为两条直角边．
沙田的面积为1 5 12
30
2
=
（平方里）．
故选：A．
2．（24-25 八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在我国海军某次海上编队演习中，两艘航母护卫舰从同一
港口O同时出发，1号舰沿南偏东30方向以12节（1节1
= 海里/小时）的速度航行，2 号舰以16节的速度航
行，离开港口1.5小时后它们分别到达A B
，两点且相距30海里，则2 号舰的航行方向是（ ）
A．北偏西30
B．南偏西30
C．南偏东60
D．南偏西60
【答案】D
【分析】本题考查了方向角，勾股定理的逆定理，由题意可得
12 1.5 18
OA=
=
海里，
16 1.5
24
OB =
=
海里，
进而由勾股定理的逆定理可得
AOB
是直角三角形，且
90
AOB
=
，即得到
60
BOD
=
，即可求解，由
勾股定理的逆定理得到
90
AOB
=
是解题的关键．
【详解】解：由题意得，
12 1.5 18
OA=
=
海里，
16 1.5
24
OB =
=
海里，
∵
30
AB =
海里，
∴
2
2
2
900
OA
OB
AB
+
=
=
，
∴
AOB
是直角三角形，且
90
AOB
=
，
∵
30
AOD
=
，
∴
90
30
60
BOD
=
−
=
，
∴2 号舰的航行方向是南偏西60，
故选：D ．
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3．（24-25 八年级上·山西晋中·期中）城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群
众生活质量的公益事业．如图，某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街清理出了一块
可以绿化的空地（阴影部分）．若
=90
BDC
，
m
6
AB =
，
4m
AC
BD
=
=
，
2m
CD =
，则这块可以绿化的
空地（阴影部分）的面积为（ ）
A．(
)
2
8 5
4 m
−
B．(
)
2
8 5
8 m
−
C．(
)
2
4 5
4 m
−
D．(
)
2
4 5
8 m
−
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，求阴影部分的面积，先根据勾股定理求出BC ，再根据逆定
理说明
ACB
△
是直角三角形，然后根据
=
−
△
△
阴影
ACB
BDC
S
S
S
得出答案．
【详解】解：∵
=90
BDC
，
4m
BD =
，
2m
CD =
，
∴
(
)
2
2
2
2
4
2
2 5 m
BC
BD
CD
=
+
=
+
=
．
∵
m
6
AB =
，
4m
AC =
，
∴
(
)
2
2
2
2
4
2 5
16
20
36
AC
BC
+
=
+
=
+
=
，
2
36
AB =
，
∴
ACB
△
是直角三角形，
90
ACB
=
，
∴
(
)
2
1
1
4 2 5
4 2
4 5
4 m
2
2
ACB
BDC
S
S
S
=
−
=
−
=
−
△
△
阴影
．
∴这块可绿化的空地的面积为(
)
2
4 5
4 m
−
．
故选：C．
4．（24-25 八年级下·河北沧州·期末）如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机A，B，
且A，B 均位于地下管道AC 的同侧，售卖机A，B 之间的距离（AB ）为500 米，管道分叉口M 与B 之间
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的距离为300 米，MN
AB
⊥
于点N，M 到AB 的距离（MN ）为240 米．假设所有管道的材质相同．
(1)求B，N 之间的距离；
(2)珍珍认为：从管道AC 上的任意一处向售卖机B 引出的分叉管道中，BM 是这些分叉管道中最省材料的，
请通过计算判断珍珍的观点是否正确．
【答案】(1)180 米
(2)珍珍的观点正确，见解析
【分析】1）利用勾股定理解答即可；
（2）利用勾股定理及其逆定理，证明BM
AM
⊥
即可．
本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键．
【详解】（1）解：∵MN
AB
⊥
，
∴
90
BNM
=
．
在Rt
BMN
△
中，
300m
BM =
，
240m
MN =
由勾股定理得
2
2
180m
BN
BM
MN
=
−
=
，
即B，N 之间的距离为180 米；
（2）解：∵
180m
BN =
，
∴
320m
AN AB
BN
−
=
=
．
在Rt AMN
中，
由勾股定理得
2
2
400m
AM
AN
MN
=
+
=
．
∵
2
160000
AM
=
，
2
90000
BM
=
，
2
250000
AB =
，
∴
2
2
2
AB
AM
BM
=
+
，
∴
90
AMB
=
，即BM
AM
⊥
，
∴BM 是垂线段，
∴BM 是这些管道中最省材料的，即珍珍的观点正确．
5．（24-25 八年级下·江西宜春·期末）城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群
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众生活质量的公益事业．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力下，在临街的拐角清理出了一块可
以绿化的空地，如图，
8m
AB =
，
6m
BC =
，
24m
CD =
，
26m
AD =
，
90
ABC
=
，现计划在空地内种草，
若每平方米草地造价40 元，则这块地全部种草的费用是多少元？
【答案】这块地全部种草的费用是5760 元．
【分析】此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理．连接AC ，根据勾股定理和勾股定理的逆定理即可
得到结论．
【详解】解：如图，连接AC ，
∵
90
ABC
=
，
8
AB =
，
6
BC =
，
∴
2
2
2
2
8
6
10
AC
AB
BC
=
+
=
+
=
，
∵
2
2
10
100
AC
，
2
2
24
576
CD =
=
，
2
2
26
676
AD =
=
∴
2
2
2
AC
CD
AD
+
=
，
∴ACD
是直角三角形即
=90
ACD
，
∴
1
1
6 8
24 10
144
2
2
ABCD
S
=
+
=
四边形
，
∴144 40
5760
=
（元），
答：这块地全部种草的费用是5760 元．
6．（24-25 八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，某港口P 位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”
号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 海里，“海天”号每小时航行12海里．它
们离开港口一个半小时后分别位于点
,
Q R 处，且相距30 海里．已知“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号
沿 方向航行．
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41 /
【答案】西北方向
【分析】本题考查了勾股定理逆定理的应用和方向角，解题的关键是能够根据勾股定理的逆定理发现直角
三角形进行解答．
根据题意，得出
PRQ
△
的三边长，再利用勾股定理的逆定理推出
PRQ
△
是直角三角形，再求解即可．
【详解】解：由题知，
16 1.5
24
PQ =
=
海里，
12 1.5
18
PR =
=
海里，
30
QR =
海里，
45
SPQ
=
，
2
2
2
2
2
24
18
900
900
PQ
PR
,QR
+
=
+
=
=
，
2
2
2
PQ
PR
QR
+
=
，
PRQ
是直角三角形，且
90
RPQ
=
，
90
45
45
SPR
RPQ
SPQ
=
−
=
−
=
，
“海天”号沿西北方向航行．
故答案为：西北方向
7．（24-25 八年级下·河北唐山·期中）如图是某工厂的平面图经测量
100m
100 3m
90
AB
AD
CD
BC
ADC
=
=
=
=
=
，
，
．
（1）则
BAD
= 度；
（2）已知EF 是在AB 边上药厂的进出口，为了能观察到进出口周围环境情况，工作人员计划在点E 处安装
一个摄像头，且摄像头能监控的最远距离为100m，若
(
)
100
60 2 m
BE =
−
，则直线AD上被摄像头监控的
公路长度为 米．
【答案】 135 160
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的实际应用，等腰三角形的性质与判定，熟知勾股定理及其逆定理
是解题的关键．
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42 /
（1）连接AC ，可得
45
CAD
=
，利用勾股定理可得
2
20000
AC =
，则可证明
2
2
2
AB
AC
BC
+
=
，再根据
勾股定理的逆定理可得
90
BAC
=
，即可求解；
（2）过点E 作EG
AD
⊥
，交直线AD于点G．点M，N 在直线AD上，且
100m
EM
EN
=
=
，即MN 的长为
直线AD上被摄像头监控到的公路长度．可证明
45
AEG
EAG
=
=∠
，得到AG
EG
=
．求出
60 2m
AE
AB
BE
=
−
=
，由勾股定理得
2
60 2m
AE
EG
=
=
，则
60m
EG =
，由勾股定理得
80m
MG =
，
同理可得
80m
NG =
，则
=
+
= 160m
MN
MG
NG
，据此可得答案．
【详解】解：（1）如图，连接AC ．
∵
90
ADC
=
，AD
CD
=
，
∴
45
CAD
=
．
在Rt ADC
中，由勾股定理得
2
2
2
20000
AC
AD
CD
=
+
=
，
∵
2
2
100
10000
AB =
=
，
(
)
2
2
100 3
30000
BC =
=
，
∴
2
2
2
AB
AC
BC
+
=
，
∴
90
BAC
=
，
∴
135
BAD
BAC
CAD
=
+
=
，
故答案为；135；
（2）如图，过点E 作EG
AD
⊥
，交直线AD于点G．点M，N 在直线AD上，且
100m
EM
EN
=
=
，即MN
的长为直线AD上被摄像头监控到的公路长度．
∵
135
BAD
=
，
∴
180
45
BAG
BAD
=
−
=
，
∴
45
AEG
EAG
=
=∠
，
∴AG
EG
=
．
∵
100m
AB =
，
(
)
100
60 2 m
BE =
−
，
∴
60 2m
AE
AB
BE
=
−
=
在Rt
AEG
△
中，由勾股定理得
2
2
2
60 2m
AE
AG
EG
EG
=
+
=
=
，
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43 /
∴
60m
EG =
，
在Rt
GEM
△
中，由勾股定理得
2
2
80m
MG
EM
EG
=
−
=
，
同理可得
80m
NG =
，
∴
=
+
= 160m
MN
MG
NG
，
即直线AD上被摄像头监控到的公路长度为160m，
故答案为：160．
题型一：最短路径之圆柱体上的问题
1．（24-25 八年级下·安徽安庆·期末）如图，圆柱形玻璃杯高为7cm ，底面周长为16cm．在杯内离杯底2cm
的点C 处有滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁
．．，离杯上沿1cm与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜C
点的最短距离为（ ）
A．6cm
B．8cm
C．10cm
D．12cm
【答案】C
【分析】本题考查了圆柱的展开图，轴对称，勾股定理，熟练掌握轴对称，勾股定理是解题的关键．利用
展开图，轴对称，勾股定理计算即可．
【详解】解：如图，将圆柱的侧面展开，
根据题意，
(
)
1 16
8 cm
2cm
7cm
2
FB
CD
BD
=
=
=
=
，
，
，
1cm
AF =
∴
5cm
BC
BD CD
=
−
=
作点Ａ关于直线FB的对称点G，连接CG ，则CG 为所求最短距离，
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44 /
则
1cm
FG
AF
=
=
，
过点G 作GE
CB
⊥
，交CB 的延长线于点E，
则四边形FBEG是矩形，
故
8cm,
1cm,
90
FB
EG
EB
FG
GEB
=
=
=
=
=
，
故
(
)
5 1
6 cm
CE
BC
BE
=
+
=
+ =
，
故
(
)
2
2
2
2
8
6
10 cm
CG
GE
CE
=
+
=
+
=
，
∴蚂蚁到达蜂蜜C 点的最短距离为10cm．
故选：C
2．（24-25 八年级下·河北张家口·期末）如图是一个底面周长为10cm，高AB 为12cm的圆柱模型，BC 是底
面直径．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C 两点（接头不计），则装饰带的长度
最短为（ ）
A．2 61cm
B．4 61cm
C．13cm
D．26cm
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理是解题关键．将圆柱的侧面展开，根据题意
可知
12cm
AB =
，
5cm
=
BC
，利用勾股定理解得AC 的长度，然后计算装饰带长度的最短值即可．
【详解】解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形，AC
A C
=
，且点C 为BB的中点，AB
BB
⊥
，
根据题意，可知
12cm
AB =
，
(
)
1 10
5 cm
2
BC =
=
，
∴
(
)
2
2
2
2
12
5
13 cm
AC
AB
BC
=
+
=
+
=
，
∴装饰带长度的最短值
(
)
2
2 13
26 cm
AC
=
=
=
．
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45 /
故选：D．
3．（24-25 八年级下·内蒙古通辽·期中）如图，圆柱体的底面周长为6cm，AB 是底面圆的直径，在圆柱表
面的高BC 上有一点D，
2
BD
CD
=
，
6
BC
cm
=
，一只蚂蚁从A 点出发，沿圆柱的表面爬行到点D 的最短路
程是（ ）
A．6cm
B．5cm
C．3cm
D．2 13cm
【答案】B
【分析】此题主要考查了平面展开最短路径问题，以及勾股定理的应用．首先画出圆柱的侧面展开图，根
据底面周长为6cm ，求出AB 的值；再在Rt ABD
中，根据勾股定理求出AD的长，即可解得．
【详解】解：圆柱侧面展开图如图所示，
圆柱的底面周长为6cm，
3cm
AB
=
．
2
BD
CD
=
，
6cm
BC =
，
4cm
BD
=
，
在Rt
ABD
△
中，
2
2
2
AD
AB
BD
=
+
，
(
)
2
2
3
4
5 cm
AD
=
+
=
，
即蚂蚁从A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点D 的最短距离是5cm．
故选：B．
4．（24-25 八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在底面周长约为8 米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一
条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2 圈到达柱顶正上方（从点A 到点C，B 为AC 的中点），每根石柱刻
有雕龙的部分的柱身高约12 米，则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少为（ ）
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46 /
A．10 米
B．12 米
C．16 米
D．20 米
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据题意把圆柱体的侧
面展开，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2 即可得到结果．
【详解】解：如图，
∵底面周长约为8 米，柱身高约12 米，
∴
8
AE = 米，
1
6
2
BE
BD
ED
=
=
=
（米），\
∴
2
2
2
2
8
6
10
AB
BE
AE
=
+
=
+
=
（米），
则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少10 2
20
=
（米），
故选：D．
5．（24-25 七年级下·广西玉林·期末）2025 年中国轮滑（滑板）公开赛于5 月2 日在江西崇义站举行，标志
着我国乡村体育发展的新突破．如图是一名滑板选手训练的U 型池的示意图，该U 型池可以看成是长方体
去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为80
π 米的半圆，其边缘
40
AB
CD
=
=
米，点E在CD
上，
10
CE =
米，该选手从A 点滑到E 点，则他滑行的最短距离为 米．
【答案】50
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47 /
【分析】本题考查了平面展开−最短路径问题、勾股定理，要求滑行的最短距离，需将该U 型池的侧面展
开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，由与U 型池的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于
半径为80
π 的半圆的弧长，长方形的长等于
40
AB
CD
=
=
，进而求解即可．
【详解】解：如图是其侧面展开图，则AE 的长为滑行最短距离，
1
80
40
2
AD
=
=
（米），
40
AB
CD
=
=
（米），
40 10
30
DE
CD
CE
=
−
=
−
=
（米），
在Rt ADE
中，
2
2
2
AD
DE
AE
+
=
，
∴
2
2
2
40
30
AE
+
=
，
解得
50
AE =
（负值舍去），
故他滑行的最短距离约为50（米）．
故答案为：50．
6．（24-25 八年级下·浙江台州·期中）如图，有一个圆柱，它的高为12cm，底面圆的周长为10cm，在圆柱
下底面的点A 处有一只蚂蚁，求它从点A 出发沿圆柱表面爬行到上底面与点A 相对的点B 处的最短路径
是 ．
【答案】13cm
【分析】本题主要考查了平面展开图求最短路径问题，将圆柱体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股
定理解答是解题关键．
根据题意得出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段AB 的长，求出AC ，BC ，根据勾股定理求
出AB 即可．
【详解】解：如图：
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48 /
由题意得：
12cm
AC =
，
(
)
1 10
5 cm
2
BC =
=
由勾股定理有
(
)
2
2
12
5
13 cm
AB =
+
=
故蚂蚁爬行的最短路程是13cm ，
故答案为：13cm
7．（24-25 八年级下·湖南郴州·期中）如图，半径为1，高为3 的圆柱体，一只甲壳虫从点A 到点B ，则甲
壳虫的最短路程为 ．
【答案】
2
π
9
+
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．先求出这个圆柱的侧面展开图
是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱底面周长为2π，宽等于圆柱的高3，再画出图形，利用勾股定理
求解即可得．
【详解】解：这个圆柱的侧面展开图是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱底面周长2π 1
2π
=
、宽等于
圆柱的高3，
如图，由题意得：
1
2π
π
2
AC =
=
，
3
BC = ，AC
BC
⊥
，
则甲壳虫的最短路程为
2
2
2
π
9
AB
AC
BC
=
+
=
+
，
故答案为：
2
π
9
+
．
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49 /
题型二：最短路径之长方形上的问题
1．（24-25 八年级下·云南西双版纳·期中）如图，正方体的棱长长为3，一只蚂蚁从点A 出发，沿长方体表
面到点B 处吃食物，那么它爬行最短路程是（ ）
A．
45
B．3 5
C．
29
D．53
【答案】B
【分析】本题考查了正方体的平面展开图，勾股定理的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
展开后直接利用勾股定理计算即可．
【详解】解：由题知，
3,
6
AC
BC
=
=
，根据两点之间线段最短可知蚂蚁爬行最短路程是AB ，
2
2
3
6
3 5
AB
=
+
=
；
故选：B．
2．（24-25 八年级下·全国·假期作业）如图，有一个长方体．如果用一根细线从点A 开始经过4 个侧面缠绕
一圈到达点B，那么所用细线最短需要（ ）
A．12cm
B．11cm
C．10cm
D．9cm
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理的应用．要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之
间线段最短”得出结果．
【详解】解：如图，将长方体的侧面展开，根据两点之间线段最短，连结AB，
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50 /
则
(
)
1 3 1 3
8 cm
AA = + + +
=
，
6cm
A B
=
．
在Rt AA B
中，
(
)
2
2
8
6
10 cm
AB =
+
=
．
故选C．
3．（24-25 八年级下·广东韶关·期末）如图，在桌面上放置一个棱长为3cm 的正方体，点B 为一条棱上的点，
且
1cm
BC =
，蚂蚁在正方体表面爬行，从顶点A 爬行到点B 的最短路程是（ ）
A．10cm
B．37cm
C．7cm
D．2 10cm
【答案】B
【分析】本题考查平面展开最短路径问题，勾股定理，关键是知道两点之间线段最短，找到起点终点是解
题的关键．
正方体侧面展开为长方形，确定蚂蚁爬行的起点和终点，根据两点之间线段最短，根据勾股定理可求出最
短路径长．
【详解】解：根据题意如图，
∵正方体棱长为3cm ，
∴
(
)
3 2
6 cm
AC =
=
，
在中Rt
ACB
△
中，
(
)
1 cm
BC =
∴它运动的最短路程
(
)
2
2
2
2
6
1
37 cm
AB
AC
BC
=
+
=
+
=
．
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51 /
故选：B．
4．（2025 八年级下·河南·专题练习）如图，用7 个棱长为1 的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表
面从点M 到点N 的所有路径中，最短路径的长是（ ）
A．5
B．5
8
+
C．
20
1
+
D．2
2
5
+
+
【答案】A
【分析】本题主要考查了两点之间线段最短，以及勾股定理，正确画出侧面展开图，确定两点之间线段最
短是解题的关键．
先画出侧面展开图，根据两点之间践段最短，利用勾股定理求出线段MN 的长即可．
【详解】解：将第一层小正方体的顶面和正面，以及第二层小正方体的顶面和正面展开，如下图，连接MN ，
则最短路径
2
2
4
3
5
MN =
+
=
．
故选：A．
5．（2025 八年级下·河南·专题练习）如图，长方体的底面是边长为6 的正方形，侧面都是长为13 的长方形，
点D 是BC 的中点，在长方体下底面的A 点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点D 处的蜂蜜，则沿着表面需要
爬行的最短路程n 的值为（ ）
A．2 73
B．5 10
C．370
D．205
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52 /
【答案】B
【分析】本题考查了平面展开-最短问题，勾股定理及两点之间线段最短，将棱柱展开，根据两点之间线段
最短即可得到最短路径，利用勾股定理解答即可，将棱柱的侧面展开图正确画出来是解题的关键．
【详解】解：当沿着正面和侧面爬行时，如图所示，
∵棱柱的底面是边长为6 的正方形，侧面都是长为13的长方形，点D 是的中点，
∴
3
BD =
，
∴
(
)
2
2
3
6
13
5 10
n
AD
=
=
+
+
=
；
当沿着正面和上底面爬行时，如图所示，
∵棱柱的底面是边长为6 的正方形，侧面都是长为13的长方形，点D 是的中点，
∴
3
BD =
，
∴
(
)
2
2
3 13
6
2 73
n
AD
=
=
+
+
=
；
∵5 10
2 73
，
∴要爬行的最短路程n 的值为5 10 ．
故选：B．
6．（24-25 八年级上·四川成都·期中）在一个长6 米，宽为6 米的正方形草地上，如图堆放着一根三棱柱的
木块，它的侧棱长平行且大于场地宽AD，木块的主视图的高是
3 米的正三角形，一只昆虫从点A 处到C
处需要走的最短路程是 米．
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53 /
【答案】10
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，将木块表面展开，然后根据两点之间线段最短，用勾股定理计算
解答即可．
【详解】解：设正三角形的边长为x，
∵正三角形的高是
3 ，
∴由三线合一和勾股定理，得：(
)
2
2
2
3
2
x
x
+
=
，
∴
2
x =
，
∴正三角形的边长为2，
如图，将木块展开，得到如图的长方形，
如图长方形的AB 相当于是6
2
2
2
8
+ + −
=
米，宽
6
BC =
米．
在Rt
ABC
△
中，
2
2
6
8
10
AC =
+
=
米，
∴昆虫从点A 处到C 处需要走的最短路程是 10 米．
故答案为：10．
7．（24-25 八年级下·四川绵阳·期中）如图，长方体的底面是边长为1cm的正方形，高为3cm ．如果用一根
细线从点A 开始经过4 个侧面缠绕一圈到达点B，则所用细线最短需 cm．
【答案】5
【分析】本题考查了平面展开−最短路线问题和勾股定理的应用，能正确画出图形是解此题的关键，用了数
形结合思想．根据绕两圈到B，则展开后相当于求出直角三角形ACB 的斜边长，并且
1 4
4
AC = =
，
3
BC = ，
根据勾股定理求出即可．
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54 /
【详解】解：如图所示，
∵从点A 开始经过4 个侧面缠绕1 圈到达点B，
∴展开后
1 4
4
AC = =
，
3
BC = ，
由勾股定理得：AB＝
(
)
2
2
5 cm
AB
AC
BC
=
+
=
．
故答案为5．
8．（24-25 八年级下·河北邢台·期中）如图1，在棱长为2cm 的立方体纸盒的顶点A 处有一只蚂蚁，在另一
顶点B 处有一粒糖．
(1)现甲、乙、丙三人分别为这只蚂蚁设计了一条爬行路线，使它沿着立方体表面上的这一条路线爬行到点B
处，如图2 所示．请通过计算分析，甲、乙、丙中谁设计的爬行路线最长？谁设计的爬行路线最短？
(2)将题干中的立方体纸盒改为长、宽、高分别为5cm，4cm ，3cm 的长方体纸盒（如图3），其他条件不变，
试通过分析求蚂蚁经过的最短路程．
【答案】(1)甲设计的爬行路线最长，丙设计的爬行路线最短；
(2)蚂蚁经过的路程最短路程为74cm ．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，最短路径，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
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55 /
（1）分别计算每个人设计的路线的长度，对结果进行比较即可；
（2）把纸盒分别沿着长、宽、高所在的棱展开，根据勾股定理计算每种情况对应的线段长度，对结果进行
比较即可．
【详解】（1）解：∵纸盒是棱长为2cm 的立方体，
∴甲设计的爬行路线长为2 3
6
=
，
乙设计的爬行路线长为
2
2
2
2
2
2 2
2
+
+
=
+ ，
丙设计的爬行路线长为
(
)
2
2
2
2 2
2 5
+
=
，
∵6
2 2
2
2 5
+
，
∴甲设计的爬行路线最长，丙设计的爬行路线最短，
答：甲设计的爬行路线最长，丙设计的爬行路线最短．
（2）解：∵两点之间线段最短，
∴不考虑沿着棱爬行的情况，
如图所示，
蚂蚁沿A
C
B
→
→
爬行，经过的路程长为
(
)
2
2
1
3
5
4
4 5
AB =
+
+
=
，
蚂蚁沿A
D
B
→
→
爬行，经过的路程长为
(
)
2
2
2
3
4
5
74
AB =
+
+
=
，
蚂蚁沿A
E
B
→
→
爬行，经过的路程长为
(
)
2
2
3
5
4
3
3 10
AB =
+
+
=
，
∵74
4 5
3 10
，
∴蚂蚁沿A
D
B
→
→
爬行，经过的路程最短，最短路程为74cm ，
答：蚂蚁经过的路程最短路程为74cm ．
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56 /
题型三：勾股定理逆定理的拓展问题
1．（24-25 八年级下·河南信阳·期中）阅读下列内容：
设a ，b ，c 是一个三角形的三条边的长，且a 是最长边，我们可以利用a ，b ，c 三边长间的关系来判断这
个三角形的形状：①若
2
2
2
a
b
c
=
+
，则该三角形是直角三角形；②若
2
2
2
a
b
c
+
，则该三角形是钝角三角
形；③若
2
2
2
a
b
c
+
，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4 ，5，6 ，则最长
边是6 ，由于
2
2
2
6
36
4
5
=
+
，由结论③可知该三角形是锐角三角形．请解答以下问题：
(1)若一个三角形的三边长分别是6 ，7 ，8，则该三角形是________三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）；
(2)若一个三角形的三边长分别是5，12，x ，且这个三角形是直角三角形，则x 的值为________．
【答案】(1)锐角；
(2)13或119
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解决本题的关键是根据阅读材料中提供的思路进行判断即可．
( )
1 根据题意，三角形的三边长分别是6 ，7 ，8，其中最长边是8，计算出
2
8 和
2
2
6
7
+
的大小，从而可以判
断三角形的形状；
( )
2 当x 是最长边时，可得方程
2
2
2
5
12
x =
+
，解方程求出x 即可，当12是最长边时，可得方程
2
2
2
12
5
x
=
+
，
解方程求出x 即可．
【详解】（1）解：三角形的三边长分别是6 ，7 ，8，其中最长边是8，
2
2
2
8
6
7
+
，
该三角形是锐角三角形，
故答案为：锐角；
（2）解：三角形的三边长分别是5，12，x ，且这个三角形是直角三角形，
当x 是最长边时，
可得：
2
2
2
5
12
x =
+
，
解得：
13
x =
，
当12是最长边时，
可得：
2
2
2
12
5
x
=
+
，
解得：
119
x =
，
故答案为：13或119 ．
2．（23-24 八年级下·福建莆田·阶段练习）定义：若a，b，c 是
ABC
的三边，且
2
2
2
2
a
b
c
+
=
，则称
ABC
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57 /
为“方倍三角形”．
(1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ．
A．①一定是“方倍三角形” B．②一定是“方倍三角形”
C．①②都一定是“方倍三角形” D．①②都一定不是“方倍三角形”
(2)如图，
ABC
中，
120
ABC
=
，
45
ACB
=
，P 为AC 边上一点，将ABP
沿直线BP进行折叠，点A
落在点D 处，连接CD，AD．若
ABD
△
为“方倍三角形”，且
2
AP =
，求
PDC
△
的面积．
【答案】(1)A
(2) 3 1
−
【分析】本题考查了翻折变换、等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质．
（1）根据“方倍三角形”定义可得，等边三角形一定是“方倍三角形”，直角三角形不一定是“方倍三角形”进
而可以判断；
（2）根据题意可得
ABP
DBP
≌
△
△
，根据“方倍三角形”定义可得
ABD
△
为等边三角形，从而证明APD
为
等腰直角三角形，可得
2
AP
DP
=
=
，延长BP交AD于点E ，根据勾股定理求出BE 的长，根据
PBC
△
为
等腰直角三角形，可得
2
6
2
PC
PB
=
=
−
，进而可以求
PDC
△
的面积．
【详解】（1）解：对于①等边三角形，三边相等，
设边长为a ，
则
2
2
2
2
a
a
a
+
=
，
根据“方倍三角形”定义可知：
等边三角形一定是“方倍三角形”；
对于②直角三角形，三边满足关系式：
2
2
2
a
b
c
+
=
，
根据“方倍三角形”定义可知：
直角三角形不一定是“方倍三角形”；
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58 /
故答案为：A ；
（2）由题意可知：
ABP
DBP
≌
△
△
，
BA
BD
=
，
ABP
DBP
=
，
根据“方倍三角形”定义可知：
2
2
2
2
2
2
BA
BD
AD
BA
+
=
=
，
AD
AB
BD
=
=
，
ABD
为等边三角形，
60
BAD
=
，
30
ABP
DBP
=
=
，
90
PBC
=
，
45
CPB
=
，
180
45
135
APB
=
−
=
，
90
DPC
=
，
120
ABC
=
，
45
ACB
=
，
15
BAC
=
，
45
CAD
=
，
APD
为等腰直角三角形，
2
AP
DP
=
=
，
2
AD
=
，
延长BP交AD于点E ，如图，
ABP
PBD
=
，
BE
AD
⊥
，
1
1
2
PE
AD
AE
=
=
= ，
2
2
4 1
3
BE
AB
AE
=
−
=
−=
，
3
1
PB
BE
PE
=
−
=
−，
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45
CPB
PCB
=
=
，
PBC
△
为等腰直角三角形，
2
6
2
PC
PB
=
=
−
，
1
1
( 6
2)
2
3
1
2
2
PDC
S
PC PD
=
=
−
=
−
．
3．（23-24 八年级上·湖南长沙·期中）定义：a，b，c 为正整数，若
2
2
2
c
a
b
=
+
，则称c 为“完美勾股数”，a，
b 为c 的“伴侣勾股数”． 如
2
2
2
13
5
12
=
+
，则13 是“完美勾股数”，5，12 是13 的“伴侣勾股数”．
(1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）；
(2)已知
ABC
的三边a，b，c 满足
2
2
2
6
8
10
50
0
a
b
c
a
b
c
+
+
−
−
−
+
=
． 求证：c 是“完美勾股数”．
(3)已知m，
0
n
且m
n
，
2
2
2
2
2
c
m
mn
n
=
+
+
，
2
2
4
a
m
mn
n
=
+
+
，
(
)
3
b
m
n
=
+
，c 为“完美勾股数”，a，
b 为c 的“伴侣勾股数”． 多项式
3
2
3
x
x
p
−
+
有一个因式x
m
n
−
+
，求该多项式的另一个因式．
【答案】(1)是
(2)见解析
(3)
2
2
2
x
x
−
−
【分析】本题考查了勾股数和新定义的综合应用．
（1）根据完美勾股数的定义可得答案；
（3）利用完全平方公式证明即可；
（3）由勾股定理可得m，n 的关系式，将m，n 的关系式代入x
m
n
−
+
，根据多项式
3
2
3
x
x
p
−
+
有一个因式
x
m
n
−
+
，求解即可．
【详解】（1）解：
2
2
2
10
6
8
=
+
，
数10 是“完美勾股数”，
故答案为：是；
（2）证明：(
) (
) (
)
2
2
2
6
9
8
16
10
25
0
a
a
b
a
c
c
−
+
+
−
+
+
−
+
=
2
2
2
(
3)
(
4)
(
5)
0
a
b
c
2
2
2
(
3)
0;(
4)
0;(
5)
0.
a
b
c
−
−
−
3,
4,
5
a
b
c
=
=
=
，
2
2
2
c
a
b
=
+
，
c
是“完美勾股数”；
（3）解：由题意得：
2
2
2
c
a
b
=
+
，
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60 /
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
3(
)
m
mn
n
m
mn
n
m
n
+
+
=
+
+
+
+
，
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
3(
)
m
mn
n
m
mn
n
m
n
+
+
−
+
+
=
+
，
(
)(
)
2
2
2
2
2
3
6
3
2
3(
)
m
mn
n
m
mn
n
m
n
+
+
−
+
=
+
，
2
2
2
(
) (
)
(
)
m
n
m
n
m
n
+
−
=
+
，
2
2
(
)
(
)
1
0
m
n
m
n
−
+
−
=
，
又
,
0;
m n
m
n
，
2
0
(
)
1
m
n
−
−=
，即
1
m
n
−
= ，
1
m
n
=
+ ，
3
2
3
x
x
p
−
+
有一个因式为
1
x
m
n
x
−
+
=
−，
(
)(
)
3
2
2
3
1
2
2
x
x
P
x
x
x
−
+
=
−
−
−
，
∴另一个因式为
2
2
2
x
x
−
−．
4．（23-24 八年级上·江苏徐州·期中）在
ABC
中，
,
,
BC
a AC
b AB
c
=
=
=
，设c 为最长边，当
2
2
2
a
b
c
+
=
时，
ABC
是直角三角形；当
2
2
2
a
b
c
+
时，利用代数式
2
2
a
b
+
和
2
c 的大小关系，探究
ABC
的形状（按角分
类）．
(1)当
ABC
三边分别为6、8、9 时，
ABC
为________三角形；当
ABC
三边分别为6、8、11 时，
ABC
为________三角形；
(2)猜想：当
2
2
a
b
+
________
2
c 时，
ABC
为锐角三角形；当
2
2
a
b
+
________
2
c 时，
ABC
为钝角三角形；
（填“>”或“<”或“=”）
(3)判断：当
5,
12
a
b
=
=
时，
当
ABC
为直角三角形时，则c 的取值为________；
当
ABC
为锐角三角形时，则c 的取值范围________；
当
ABC
为钝角三角形时，则c 的取值范围________．
【答案】(1)锐角；钝角
(2)
；
(3)①
13
c =
；②12
13
c
；③13
17
c
【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）当两直角边为6、8 时，利用勾股定理可得斜边的长度，当三角形最长的边小于所求边为锐角三角形，
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61 /
反之为钝角三角形；
（2）根据勾股定理的逆定理即可得出结论；
（3）当为直角三角形时，可求出
2
2
13
c
a
b
=
+
=
，再根据勾股定理的逆定理求出下面情况的取值范围．
【详解】（1）解：当两直角边为6、8 时，斜边
2
2
6
8
10
=
+
=
当
ABC
三边分别为6、8、9 时，
ABC
为锐角三角形
当
ABC
三边分别为6、8、11 时，
ABC
为钝角三角形
（2）解：由勾股定理逆定理可得，
当
2
2
2
a
b
c
+
时，
ABC
为锐角三角形；
当
2
2
2
a
b
c
+
时，
ABC
为钝角三角形；
（3）解：当为直角三角形时，
2
2
13
c
a
b
=
+
=
；
当
ABC
为锐角三角形时，
2
2
2
a
b
c
+
，
12
13
c
；
当
ABC
为钝角三角形时，
2
2
2
a
b
c
+
，
则c 的取值范围为
13
c
，
两边之和大于第三边，
13
17
c
．
5．（21-22 八年级上·山西晋中·期中）阅读下列内容，并解决问题．
一道习题引发的思考
小明在学习《勾股定理》一章内容时，遇到了一个习题，并对有关内容进行了研究：
【习题再现】古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m 表示大于1 的整数，a=2m，b= m²-1，c= m²+1，那么a，
b，c 为勾股数．你认为对吗?如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗?
【资料搜集】定义：勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．一般地，若三角形三边长a，
b，c 都是正整数，且满足a2+b2=c²，那么a，b，c 称为一组勾股数．
关于勾股数的研究；我国西周初数学家商高在公元前1000 年发现了"勾三，股四，弦五"，这组数（3、4、5）
是世界上最早发现的一组勾股数．毕达哥拉斯学派、柏拉图学派、我国数学家刘徽、古希腊数学家丢番图
都进行过勾股数的研究，习题中的表达式是柏拉图给出的勾股数公式，这个表达式未给出全部勾股数．世
界上第一次给出勾股数通解公式的是《九章算术》．
【问题解答】
（1）根据柏拉图的研究，当m=6 时，请直接写出一组勾股数；
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62 /
（2）若m 表示大于1 的整数，试证明（m²-1，2m，m²+1）是一组勾股数；
（3）请举出一个反例（即写出一组勾股数），说明柏拉图给出的勾股数公式不能构造出所有的勾股数．
【答案】（1）(12,35,37) ；（2）见解析；（3）答案不唯一，例如(5,12,13) ，(7,24,25)等
【分析】（1）把
6
m =
直接代入
2
a
m
=
，
2
1
b
m
=
−，
2
1
c
m
=
+ 即可求解；
（2）利用勾股定理的逆定理即可证明结论；
（3）根据勾股数解答即可．
【详解】（1）把
6
m =
代入
2
a
m
=
，
2
1
b
m
=
−，
2
1
c
m
=
+ 得：
12
a =
，
35
b =
，
37
c =
，
这组勾股数为(12,35,37) ；
（2）
m
表示大于1 的整数，
2
1
m
−，2m ，
2
1
m + 都是正整数，且
2
1
m + 是最大边，
2
2
4
2
2
4
2
2
2
(
1)
(2 )
2
1 4
2
1
(
1)
m
m
m
m
m
m
m
m
−
+
=
−
+ +
=
+
+ =
+
，
2
2
(
1,2 ,
1)
m
m m
−
+
是一组勾股数；
（3）(5,12,13) ，(7,24,25)等，它们是勾股数，但柏拉图给出的勾股数公式不能够造出．
6．（24-25 九年级上·江苏苏州·阶段练习）阅读下列内容：设a，b，c 是一个三角形的三条边的长，且a 是
最长边，我们可以利用a，b，c 三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若
2
2
2
a
b
c
=
+
，则该
三角形是直角三角形；②若
2
2
2
a
b
c
+
，则该三角形是钝角三角形；③若
2
2
2
a
b
c
+
，则该三角形是锐角
三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，
2
2
2
6
36
4
5
=
+
，故由③可知该三
角形是锐角三角形，请解答以下问题：
（1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是________三角形．
（2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x．且这个三角形是直角三角形，求
2x 的值．
（3）当
2
a =
，
4
b =
时，判断
ABC
的形状，并求出对应的
2
c 的取值范围．
【答案】（1）锐角；（2）169 或119；（3）见解析
【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案；
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（2）直接利用勾股定理得出x2的值；
（3）分△ABC 为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形结合三边关系得出答案．
【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92，
∴三角形是锐角三角形，
故答案为：锐角；
（2）∵这个三角形是直角三角形，当x 为斜边，
∴52+122=x2，
∴x2=169，
当12 是斜边，
则52+x2=122，
解得：x2=119，
故x2的值为169 或119；
（3）∵a=2，b=4，
∴4
2
4
2
c
−
+ ，
∴
2
4
36
c
，
若△ABC 是钝角三角形，
则
2
2
2
a
b
c
+
或
2
2
2
a
c
b
+
，
则
2
20
c
或
2
12
c
，
∴
2
20
36
c
或
2
4
12
c
；
若△ABC 是直角三角形，
则
2
2
2
a
b
c
+
=
或
2
2
2
a
c
b
+
=
，
则
2
20
c =
或
2
12
c =
；
若△ABC 是锐角三角形，
则
2
2
2
a
b
c
+
或
2
2
2
a
c
b
+
，
则
2
20
c
或
2
12
c
，
∴
2
12
20
c
．
1．（24-25 八年级下·湖北十堰·期末）下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（ ）
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64 /
A．8，15，17
B．5，6，7
C．
3 ，4 ，
5
D．6，7，8
【答案】A
【分析】此题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握相关知识是解题的关键；
根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足“两短边的平方和等于最长边的平方”，则该三角形为直角三角
形．依次验证各选项即可．
【详解】解：A．由于
2
2
2
8
15
289
17
+
=
=
，故能构成直角三角形，符合题意；
B．由于
2
2
2
5
6
61
7
+
=
，故不能构成直角三角形，不符合题意；
C．由于(
)
(
)
(
)
2
2
2
3
4
7
5
+
=
，故不能构成直角三角形，不符合题意；
D．由于
2
2
2
6
7
85
8
+
=
，故不能构成直角三角形，不符合题意．
故选：A．
2．（24-25 八年级下·江西上饶·期末）设
ABC
的三边分别为, ,
a b c ，满足下列条件的
ABC
中，不是直角三
角形的是（ ）
A．
A
B
=
+
90
B．
:
:
3:4:5
A
B
C
=
C．
2
2
2
b
a
c
=
−
D．: :
7:24:25
a b c =
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理的逆定理及直角三角形的判定方法，灵活运用以上知识点是解题的关键．根据
题意运用直角三角形的判定方法，在三角形中，当一个角是直角或两边的平方和等于第三边的平方，可判
定该三角形是直角三角形，据此逐个选项进行判断即可．
【详解】解：A. 由
A
B
=
+
90 ，可得
180
90
90
C
=
−
=
，
ABC
是直角三角形，故本选项不符合题意；
B.
:
:
3:4:5
A
B
C
=
，
3
3
4
5
A
=
=
+ +
180
45 ，
4
3
4
5
B
=
=
+ +
180
60 ，
5
3
4
5
C
=
=
+ +
180
75 ，
ABC
不是直角三角
形，故本选项符合题意；
C. 由
2
2
2
b
a
c
=
−
，可得
2
2
2
b
c
a
+
=
，
ABC
是直角三角形，故本选项不符合题意；
D.
: :
7:24:25
a b c =
，
设
7
24
25 (
0)
a
k
b
k
c
k k
=
=
=
，
，
，
2
2
2
2
2
2
49
576
625
a
b
k
k
k
c
+
=
+
=
=
，
ABC
是直角三角形，故本选项不符合题意；
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65 /
故选：B．
3．
（24-25 八年级下·湖北省直辖县级单位·期中）如图，在4 4
的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A ，
B ，C 都在格点上，则下列结论错误的是（ ）
A．
2
20
AB =
B．
90
BAC
=
C．
ABC
的面积为10
D．点A 到直线BC 的距离是2
【答案】C
【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，利用网格图计算三角形的面积，点到直线的距离．熟练掌握
勾股定理及其逆定理是解题的关键．
利用勾股定理及其逆定理、网格求三角形面积，三角形等面积法依次计算判断即可．
【详解】解：A、
2
2
2
2
4
20
AB
，本选项结论正确，不符合题意；
B、
2
2
2
1
2
5
AC =
+
=
，
2
2
2
2
4
20
AB
，
2
2
2
3
4
25
BC =
+
=
，
2
2
2
AC
AB
BC
+
=
，
90
BAC
=
， 本选项结论正确，不符合题意；
C、
1
1
1
4 4
1 2
2 4
3 4
5
2
2
2
ABC
S
= −
−
−
=
，本选项结论错误，符合题意；
D、点A 到BC 的距离
2
2
5
5
2
ABC
S
BC
=
=
=
，本选项结论正确，不符合题意；
故选：C．
4．（24-25 八年级下·吉林松原·期中）小智用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先将活动
学具制成为如图①所示的菱形，并测得
=60
B
，接着将活动学具制成为如图②所示的正方形，并测得图
②中的对角线
40 2cm
AC =
，则图①中的对角线BD的长为（ ）
A．20 3cm
B．20 6cm
C．40 3cm
D．40cm
【答案】C
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【分析】本题考查了正方形的性质、菱形的性质、勾股定理、含30角的直角三角形的性质，在正方形中，
连接AC ，由正方形的性质得出
40cm
AB
BC
=
=
，在菱形中连接AC 、BD交于点O，利用菱形的性质、勾
股定理、含30角的直角三角形的性质，勾股定理求出
20 3cm
BO =
，即可得出答案．
【详解】解：如图，连接AC ，
，
∵四边形ABCD为正方形，
40 2cm
AC =
，
∴
40cm
AB
BC
=
=
，
如图，连接AC 、BD交于点O，
，
∵四边形ABCD是菱形，
=60
B
，
40cm
AB
BC
=
=
，
∴AC
BD
⊥
，
1
30
2
ABD
ABC
=
=
，BO
DO
=
，
∴
1
20cm
2
AO
AB
=
=
，
∴
2
2
20 3cm
BO
AB
AO
=
−
=
，
∴
2
40 3cm
BD
BO
=
=
，
故选：C．
5．（24-25 八年级上·山西晋中·期末）五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直
角三角形，下列图形正确的是（ ）
A．
B．
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67 /
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两
小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】解：A、
2
2
2
7
24
25
+
=
，
2
2
2
15
20
24
+
，故A 不正确；
B、
2
2
2
7
24
25
+
=
，
2
2
2
15
20
25
+
=
，故B 正确；
C、
2
2
2
7
15
20
+
，
2
2
2
20
24
25
+
，故C 不正确；
D、
2
2
2
7
20
25
+
，
2
2
2
24
15
25
+
，故D 不正确．
故选：B．
6．（24-25 八年级下·湖北武汉·期中）如图：在一个边长为1 的小正方形组成的方格稿纸上，有A、B、C、
D、E、F、G 七个点，则在下列任选三个点的方案中可以构成直角三角形的是（ ）
A．点A、点B、点D
B．点A、点C、点G
C．点B、点E、点F
D．点B、点G、点E
【答案】C
【分析】本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理，利用数形结合求解是解答此题的关键．
根据勾股定理分别求得每两个点之间的距离的平方，再进一步利用勾股定理的逆定理进行分析．
【详解】解：A、
2
2
2
1 36
37
16 16
32
4
9
13 32 13
37
AB
AD
BD
= +
=
=
+
=
=
+
=
+
，
，
，
，不可以构成直角三角形，
不符合题意；
B、
2
2
2
16
25
41
9
36
45
4
4
8 41 8
45
AC
AG
CG
=
+
=
=
+
=
=
+
=
+
，
，
，
，不可以构成直角三角形，不符合题意；
C、
2
2
2
36 16
52
25
25
50
1 1
2 50
2
52
BE
BF
EF
=
+
=
=
+
=
= + =
+
=
，
，
，
，可以构成直角三角形，符合题意；
D、
2
2
2
25
9
34
36 16
52
9 1
10 34 10
52
BG
BE
GE
=
+
=
=
+
=
=
+ =
+
，
，
，
，不可以构成直角三角形，不符合题
意．
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68 /
故选：C．
7．（24-25 八年级下·湖北十堰·期末）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为7cm ，底面周
长为30cm，在容器内壁离容器底部2cm 的点B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿
3cm 的点A 处，则该蚂蚁要吃到饭粒需爬行的最短路径长是（ ）
A．(
)
5 10
3 cm
+
B．2 241cm
C．17cm
D．241cm
【答案】C
【分析】本题考查立体图形平面展开的最短路径问题．了解“两点之间线段最短”并结合轴对称和勾股定理进
行求解是解题的关键．将容器侧面展开，作A 点关于EF 的对称点A，根据两点之间线段最短即可知A B
的
长度即为最短距离．利用勾股定理求出A B
即可．
【详解】解：如图：将容器侧面展开，作A 关于EF 的对称点A′，连接A′B，则A′B 即为最短距离，
∵高为7cm ，底面周长为30cm，在容器内壁离容器底部2cm 的点B 处有一饭粒，
此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm 与饭粒相对的点A 处，
∴
1
30
15cm
2
A D
¢ =
?
，
3cm
A E
AE
=
=
，
7 2
8cm
BD
A E
¢
= -
+
=
，
∴
(
)
2
2
2
2
15
8
17 cm
A B
A D
BD
ⅱ=
+
=
+
=
．
故选：C．
8．（河北省张家口市经开区2024-2025 学年七年级下学期期末数学练习卷）如图，在
ABC
中，BD平分
ABC
，交AC 于点D，
4
AB =
，
5
BD =
，
3
AD = ，则点D 到BC 的距离为 ．
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69 /
【答案】3
【分析】本题考查了勾股定理逆定理以及角平分线的性质，先得出
2
2
2
25
BD
AB
AD
=
+
=
，则
90
A
=
，因
为BD平分
ABC
，所以角平分线上的点到角的两边距离相等，即点D 到BC 的距离
3
AD
=
=
，
【详解】解：∵
4,
5,
3
AB
BD
AD
=
=
=
，
2
2
2
25
BD
AB
AD
=
+
=
，
∴
ABD
△
是直角三角形，且
90
A
=
，
过点D 作DE
BC
⊥
，垂足为E，
∵BD平分
ABC
，
∴点D 到BC 的距离
3
AD
=
=
，
故答案为：3．
9．（24-25 八年级上·四川绵阳·开学考试）若a
b
c
，，是
ABC
的三边，且
2
8
(
15)
17
0
a
b
c
−
+
−
+
−
=
，则
ABC
的面积为 ．
【答案】60
【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理，三角形的面积，先根据绝对值、平方、二次根式
的非负性求出a
b
c
，，的值，再根据勾股定理的逆定理得出
ABC
是直角三角形，进而利用三角形面积公式
计算即可，掌握非负数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵
2
8
(
15)
17
0
a
b
c
−
+
−
+
−
=
，
∴
8
0
a −=
，
15
0
b−
=
，
17
0
c−
=
，
解得
8
a = ，
15
b =
，=17
c
，
∵
2
2
2
8
15
17
+
=
，
∴
ABC
是直角三角形，
∴
ABC
的面积
1 8 15
60
2
=
=
，
故答案为：60 ．
10．（24-25 八年级下·黑龙江大庆·期末）如图，在
ABC
中，
2
AC =
，
4
AB =
，
2 3
BC =
，以A 为圆心，
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70 /
任意长为半径画弧分别交AB
AC
，
于点M，N，再分别以M，N 为圆心，大于1
2 MN 的长为半径画弧，两弧
交于点P，连接AP 并延长交BC 于点D，则点D 到AB 的距离为 ．
【答案】2 3
3
【分析】本题主要考查直角三角形的判定，作角平分线以及角平分线性质定理，先根据勾股定理逆定理证
明
ABC
是直角三角形，过点D 作DE
AB
⊥
于点E ，由角平分线性质定理得DE
DC
=
，运用面积法可求出
DE ．
【详解】解：在
ABC
中，
2
AC =
，
4
AB =
，
2 3
BC =
，
∵
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2 3
16
4
AC
BC
AB
+
=
+
=
=
=
，
∴
ABC
是直角三角形，且
90
C
=
，
由作图得AD是
BAC
的平分线，过点D 作DE
AB
⊥
于点E ，
则DC
DE
=
；
又
ABC
ACD
ABD
S
S
S
=
+
∴1
1
1
2
2
2
AC BC
AC DC
AB DE
=
+
∴1
1
1
2 2 3
2
4
2
2
2
DC
DE
=
+
，
∵DC
DE
=
，
∴1
1
1
2 2 3
2
4
2
2
2
DE
DE
=
+
,
∴
2 3
3
DE =
．
故答案为：2 3
3
．
11．（24-25 八年级下·河南漯河·期中）如图，在3×3 的网格上标出了1
和
2
，则1
2
+= ．
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71 /
【答案】45/45 度
【分析】通过作辅助线构造平行线，利用平行线的性质将
1
、
2
转化为
BAP
、
CAN
，再通过计算三
角形边长，判断三角形形状，进而求出
1
2
+
的度数 ．本题主要考查了平行线的性质、勾股定理及其逆
定理，熟练掌握平行线性质实现角的转化，运用勾股定理及其逆定理判断三角形形状是解题的关键．
【详解】解：如图，
∵AP
BQ
CM
AN
∥
，
∥
，
∴1
2
BAP
CAN
=
=
，
，
设每个小正方形的边长为a，
∵
5
AB
BC
a
=
=
，
10
AC
a
=
，
∴
2
2
2
AB
BC
AC
+
=
，
∴ABC
是等腰直角三角形，
∴
45
BAC
=
，
∴
45
BAP
CAN
+
=
，即
1
2
45
+
=
．
故答案为：45．
12．（24-25 八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在4 4
正方形网格中，每个小正方形的边长都是1．
(1)分别求出线段AB ，CD的长度（图中A ，B ，C ，D 均为网格线交点）；
(2)在图中画线段EF ，使得EF 的长为2 2 ；判断以AB ，CD，EF 三条线段是否构成直角三角形，并说明
理由．
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72 /
【答案】(1)
13
AB =
，
5
CD =
(2)见解析；以AB ，CD，EF 三条线段能构成直角三角形，理由见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键．
（1）利用勾股定理求解即可；
（2）利用勾股定理可得EF 是一个两直角边长都为2 的直角三角形的斜边，据此作图即可；可证明
2
2
2
EF
CD
AB
+
=
，据此可得结论．
【详解】（1）解：由题意得，
2
2
2
3
13
AB =
+
=
，
2
2
1
2
5
CD =
+
=
；
（2）解：如图所示，EF 即为所求；
以AB ，CD，EF 三条线段能构成直角三角形，理由如下：
∵
13
AB =
，
5
CD =
，
2 2
EF =
，
∴
(
)
(
)
2
2
2
2
5
2 2
5
8
13
EF
CD
+
=
+
=
+
=
，
(
)
2
2
13
AB =
，
∴
2
2
2
EF
CD
AB
+
=
，
∴以AB ，CD，EF 三条线段能构成直角三角形．
13．
（24-25 八年级下·陕西安康·期末）如图，在ABC
中，D 是BC 的中点，DE
BC
⊥
，交AB 于点E ，且
13
BE =
，
5
AE = ，
12
AC =
．求证：CA
AB
⊥
．
【答案】见详解
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理的逆定理，并能进行
推理论证是解决问题．
连接CE ，由线段垂直平分线的性质得出CE
BE
=
，再由已知条件得出
2
2
2
AC
EA
CE
+
=
，由勾股定理的逆
定理即可得出
ACE
△
是直角三角形，故
90
A
=
，即CA
AB
⊥
．
【详解】证明：连接CE ，
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D
是BC 的中点，DE
BC
⊥
，
DE
垂直平分BC ，
BE
CE
=
，
∵
13
BE =
，
5
AE = ，
12
AC =
．
2
2
2
144
25
169
AC
EA
BE
+
=
+
=
=
∴
，
2
2
2
AC
EA
CE
+
=
，
ACE
是直角三角形，
∴
90
A
=
．
即CA
AB
⊥
．
14．（24-25 八年级下·天津西青·期末）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C ，河边原有两个取水点
A ，B ，道路AC 因为施工需要封闭，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H （A ，H ，B 在
同一条直线上），并新修一条道路CH ，已知
1.3km
CB =
，
1.2km
CH =
，
0.5km
HB =
．
(1)CH 是否为村庄C 到河边最近的道路？请通过计算加以说明；
(2)已知新的取水点H 与原取水点A 相距0.9km ，求新路CH 比原路CA 少多少千米．
【答案】(1)CH 是村庄C 到河边最近的道路，计算见解析
(2)新路CH 比原路CA 少0.3km
【分析】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解决本题的关键．
（1）根据勾股定理的逆定理验证CHB 为直角三角形，进而得到CH
AB
⊥
，再根据点到直线的距离垂线段
最短即可解答；
（2）在ACH
中根据勾股定理解答即可．
【详解】（1）∵
2
2
2
2
1.2
0.5
1.69
CH
HB
+
=
+
=
，
2
2
1.3
1.69
CB =
=
，
∴
2
2
2
CH
HB
CB
+
=
．
∴CHB 是直角三角形，且
90
CHB
=
．
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∴CH
AB
⊥
．
根据“垂线段最短”可知CH 是村庄C 到河边最近的道路．
（2）∵CH
AB
⊥
，
∴
90
CHA
=
．
在Rt AHC
中，
2
2
2
2
0.9
1.2
1.5
AC
AH
CH
=
+
=
+
=
．
由
1.5 1.2
0.3
CA CH
−
=
−
=
，可知新路CH 比原路CA 少0.3km
15．（24-25 八年级下·山东济宁·期中）如图，在笔直的河边l 的一侧是一片空旷的草地，牧马人从草地上的
A 处出发到河边l 饮马，然后前往草地上的B 处．若测得A 处到河边的距离（即图中AD的长度，AD
l
⊥，
垂足为D）为12 米，B 处到河边的距离（即图中BE 的长度，BE
l
⊥，垂足为E）为28 米，且DE 两处相距
30 米．
(1)在图中画出从A 到l 再到B 的最短路径，并计算最短路径的长度（保留作图痕迹）；
(2)C 是河边l 上D，E 两地之间的一个地点，且与D 处相距16 米，如果从A 先到C 处饮水，再回到B 处，
行走路程比（1）中的最短路径长多少？
【答案】(1)见解析，最短路径的长度50米
(2)(
)
14 5
30
−
米
【分析】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理的应用，轴对称最短问题，解题的关键是掌握利用轴对
称解决最短问题．
（1）作点A 关于直线l 的对称点A，连接BA交直线l 于点P，连接AP ，点P 即为所求，利用勾股定理求
出A B
可得结论；
（2）利用勾股定理求出AC ，BC 可得结论．
【详解】（1）解：（1）如图，最短路径为A→P→B．
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过点A作AT
BE
⊥
交BE 的延长线于点T，
∵
12
AD
DA
ET
=
=
=
米，
30
DE
A T
=
=
米，
28
BE =
米，
∴
28 12
40
BT =
+
=
（米），
∴
2
2
30
40
50
BA=
+
=
（米），
∴最短路径的长
50
AP
PP
PA
PB
A B
=
+
=
+
=
=
（米）；
（2）∵
2
2
12
16
20
AC =
+
=
（米），
2
2
28
14
14 5
BC =
+
=
（米），
∴行走路程比（1）中的最短路径长：
(
)
20 14 5
50
14 5
30
+
−
=
−
米．
16．（24-25 八年级上·山东济南·期末）（1）如图1，О是等边
ABC
内一点，连接OA
OB
OC
、
、
，且
3,
4,
5,
OA
OB
OC
=
=
=
BAO
BCD
△
△
，连接OD ．
①
OBD
= __度；（答案直接填写在横线上）
②OD =_ __﹔（答案直接填写在横线上）
③求
BDC
的度数．
（2）如图2 所示，О是等腰直角
(
)
90
ABC
ABC
=
△
内一点，连接OA
OB
OC
、
、
，
BAO
BCD
△
△
，连
接OD ．当OA
OB
OC
、
、
满足什么条件时，
90
ODC
=
．请给出证明．
【答案】（1）①60；②4 ；③150；（2）
2
2
2
2
OA
OB
OC
+
=
，证明见解析．
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【分析】（1）①由
BAO
BCD
△
△
得到
,
BO
BD
ABO
CBD
=
=
，继而证明
ABC
OBD
=
即可解题；
②由
BAO
BCD
△
△
得到BO
BD
=
，结合①结论
60
OBD
=
，可证明OBD
是等边三角形，即可解题；
③根据
BAO
BCD
△
△
得到
=
AO
CD ，在ODC
中根据三角形三边关系即勾股定理的逆定理，可证明
ODC
为直角三角形，继而得到
90
ODC
=
，再结合OBD
是等边三角形即可解得
60
OBD
=
据此解题即
可；
（2）由
,
BAO
BCD
可得
90 ,
,
OBD
ABC
BO
BD CD
AO
=
=
=
=
，可证明OBD
为等腰直角三角形，根
据等腰直角三角形边的关系可得
2
OD
OB
=
，最后根据直角三角形三边满足勾股定理解题即可．
【详解】解:（1）①
BAO
BCD
,
BO
BD
ABO
CBD
=
=
ABO
OBC
CBD
OBC
+
=
+
即
ABC
OBD
=
60
ABC
OBD
=
=
故答案为：60；
②
BAO
BCD
BO
BD
=
，
由①得
60
OBD
=
OBD
△
是等边三角形，
4
OD
OB
BD
=
=
=
故答案为：4 ；
③
BAO
BCD
AO
CD
=
4,
3,
5
OD
DC
OC
=
=
=
2
2
2
OD
DC
OC
+
=
ODC
为直角三角形
90
ODC
=
OBD
△
为等边三角形
60
BDO
=
90 +60 =150
BDC
ODC
BDO
=
+
=
；
（2）当
2
2
2
2
OA
OB
OC
+
=
时，
90
ODC
=
．
理由如下:
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,
BAO
BCD
90 ,
,
OBD
ABC
BO
BD CD
AO
=
=
=
=
，
OBD
△
为等腰直角三角形，
2
OD
OB
=
，
当
2
2
2
CD
OD
OC
+
=
时，OCD
为直角三角形，
90
ODC
=
2
2
2
2
OA
OB
OC
+
=
，
当OA
OB
OC
、
、
满足
2
2
2
2
OA
OB
OC
+
=
时，
90
ODC
=
．
