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2.6 直角三角形（第一课时）
题型一：利用直角三角形两锐角互余求角度（有图）
1．（24-25 八年级下·湖北孝感·期末）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
BAC
=
，AD
BC
⊥
于点D，
35
BAD
=
，
E 是斜边BC 的中点，则
DAE
的度数为（ ）
A．20
B．25
C．30
D．35
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2．（24-25 七年级下·河南南阳·期末）如图所示，在Rt
ABC
△
中，
90
55
BAC
B
AD
BC
=
=
⊥
,
,
于点D ，
将ADB
沿AD折叠，使点B 落在点B处，则
CAB
的度数为（ ）
A．10
B．15
C．20
D．25
3．（24-25 七年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，在
ABC
中，AD
BC
⊥
，AE 平分
BAC
．若
1
50 ,
2
40
=
=
，则
B
的度数是（ ）
A．20
B．25
C．30
D．40
4．（24-25 七年级下·四川成都·期末）如图，AB
CD
∥
，DH
BC
⊥
于点H，若
116
B
=
，则
D
的度数为
（ ）
A．26
B．30
C．32.5
D．36
5．（24-25 七年级下·四川成都·期末）如图，在
ABC
中，BE 为AC 边上的高，CD平分
ACB
，CD，BE
相交于点F．若
70
A
=
，
60
ABC
=
，则
CFE
的度数为（ ）
A．25
B．50
C．65
D．75
6．（24-25 七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，DE
AB
⊥
，垂足为E，
48
A
=
，
64
ACB
=
，则
D
=
．
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7．
（24-25 七年级下·湖南衡阳·阶段练习）如图，在
ABC
中，AD平分
BAC
，AE
BC
⊥
，
40
B
=
，
70
C
=
，
则
ADE
= ．
8．
（24-25 七年级下·四川巴中·期末）如图，CE
AF
⊥
，垂足为E，CE 与BF 相交于D ，
40
F
=
，
30
C
=
，
则
ABF
= ．
题型二：利用直角三角形两锐角互余求角度（无图）
1．
（24-25 八年级下·辽宁葫芦岛·期末）在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，CD是斜边AB 上的中线，若
55
B
=
，
则
ACD
的度数为 ．
2．（24-25 八年级下·广西桂林·期末）在 Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
70
B
=
，则
A
的度数为 ．
3．（24-25 七年级下·江苏常州·期末）在
ABC
中，
90
C
=
，
20
A
B
−=
，则
A
= ．
4．（24-25 七年级下·山西太原·开学考试）在一个直角三角形中，已知一个锐角比另一个锐角的4 倍多15，
则较小锐角的度数为 ．
5．（2025 八年级下·全国·专题练习）已知等腰三角形的顶角是110，则腰上的高与底边的夹角的度数
是 ．
6．（24-25 七年级下·重庆·期中）已知点E 为
ABC
中AB 边上一点，连接CE ，
10
A
=
，
50
B
=
，当BCE
为直角三角形时，则
ACE
的度数是 ．
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4 /
7．（24-25 八年级上·海南三亚·阶段练习）在一个直角三角形中，两个锐角度数之比为1:2，则这两个锐角
的度数分别是 、 ．
题型三：平行线中直角三角形两锐角互余问题
1．
（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，直线a
b
，Rt
ABC
△
的直角顶点C 在直线a 上，若1
54
=
，2
20
=
，
则
B
的度数为（ ）
A．30
B．46
C．50
D．56
2．
（24-25七年级下·重庆秀山·期末）如图，直线AB
MN
∥
，线段AN 和线段BM 垂直于点Q ，若
25
ANM
=
，
则
ABM
的度数是（ ）
A．25
B．45
C．55
D．65
3．（24-25 七年级下·浙江宁波·期中）如图，1
2
l
l
∥，3
4
l
l
⊥
，1
42
=
，那么
2
的度数为（ ）
A．21
B．38
C．42
D．48
4．（2025·海南省直辖县级单位·三模）如图，在同一平面内，已知AB
CD
∥
，直线EF 平分
GEB
，过点D
作DH
EF
⊥
于点H ，若
70
GEB
=
，则
CDH
的度数为（ ）
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A．50
B．55
C．60
D．65
5．（24-25 七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，直线a
b
，AB
AC
⊥
，若
2
35
=
，则1
=
6．（2025·河南郑州·三模）如图，直线a
b
，直线l
a
⊥
，1 130
=
，则
2
的度数为 ．
7．
（24-25 七年级下·河南新乡·期末）如图，若AB
CD
∥
，G 是BC 上一点，GH
AB
⊥
于点H．若
110
ECF
=
，
则
BGH
的度数为 ．
题型四：三角板中直角三角形两锐角互余问题
1．（2025·内蒙古鄂尔多斯·一模）将一副三角板按照如图方式摆放，则
BGE
的度数为（ ）
A．65
B．75
C．85
D．105
2．（2025·山东·二模）如图，把一个含60角的直角三角板ABC 的直角顶点C 放在直尺上，
60
A
=
，则
1
2
−等于（ ）
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A．10
B．20
C．30
D．40
3．（24-25 七年级下·全国·期末）将三角尺ABC 按如图位置摆放，顶点A 落在直线1l 上，顶点B 落在直线2l
上．若1
2
l
l
，1
35
=
，则
2
的度数是（ ）
A．15
B．20
C．25
D．35
4．（2025·河南信阳·三模）一副三角板按如图方式叠合在一起，AD与BE 相交于点H，则
BHD
的度数是
（ ）
A．75
B．70
C．65
D．55
5．（24-25 七年级下·四川达州·期中）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点D 在BC 边上，且
45
30
A
F
=
=
，
．若BC
EF
∥
，则
CED
的度数是（ ）
A．5
B．10
C．15
D．20
6．
（24-25 七年级下·广东深圳·期中）把一块直尺与一块三角板如图放置，若
1
40
=
，则
2
的度数为 （ ）
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7 /
A．140
B．130
C．50
D．120
7．（2025·河北邯郸·一模）将直角三角板ABC（
90
C
=
）按下图的方式摆放在一条直线l 上，若
2
40
=
，
则1
=（ ）
A．40
B．50
C．60
D．90
题型五：直角三角形中两锐角互余实际应用
1．（2025·河南驻马店·三模）如图，在一个建筑工地有两根平行的钢梁1l 和2l ，它们分别固定在建筑物的不
同位置，用于支撑结构．工人师傅需要在钢梁上安装两根互相垂直的支架AB ，CD，以确保钢梁的稳定性
和安全性．经测量发现1
40
=
，则
2
的度数为（ ）
A．60
B．50
C．45
D．40
2．（24-25 六年级下·山东济宁·期中）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB 与底座CD都平行于地
面，靠背DM 与支架OE 平行，前支架OE 与后支架OF 分别与CD交于点G 和点D ，AB 与DM 交于点N ，
当前支架OE 与后支架OF 正好垂直，
32
ODC
=
时，人躺着最舒服，则此时扶手AB 与靠背DM 的夹角
ANM
的度数为（ ）
A．92
B．122
C．148
D．138
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3．（2025·河南南阳·模拟预测）小丽的存钱罐静止在一个斜面上，如图所示，支持力
1F 的方向与斜面垂直，
摩擦力
2
F 的方向与斜面平行，重力G 的方向竖直向下，若斜面的坡角
22
=
，则摩擦力
2
F 与重力G 方向
的夹角的度数为（ ）
A．68°
B．112°
C．122°
D．158°
4．（24-25 七年级下·江西抚州·阶段练习）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从空气射入水
中要发生折射．物理课上，小军手持一激光笔射入水中，如图，水面与水杯下沿平行，光线从空气射入水
中，发生折射，若1
60
=
，
140
ABO
=
，则
2
的度数是（ ）
A．20
B．30
C．40
D．50
5．（24-25 八年级下·浙江·阶段练习）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb 角
O
的大
小，需将
O
转化为与它相等的角，则图中与
O
相等的角是（ ）
A．
BED
B．
BCO
C．
DEC
D．
ADO
6．（2025·河南驻马店·三模）一束平行光线经过水面后折射的光线也是平行的．如图，若杯底与水面平行，
折射角1 15
=
，则
2
的度数为（ ）
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9 /
A．55
B．65
C．75
D．85
7．（24-25 七年级下·江西上饶·期中）如图为一盏可调节台灯及其示意图，固定支撑杆AO 垂直底座MN 于
点O，AB 与BC 是分别可绕点A 和B 旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C 旋转调节光线角度，在调节过程中，
最外侧光线CD、CE 组成的
DCE
始终保持不变，现调节台灯，使外侧光线
∥
CD
MN ，CE
BA
∥
，若
40
DCE
=
，则
BAO
= ．
8．（24-25 六年级下·山东烟台·期中）如图，点B 在点A 的北偏东65方向，点C 在点B 的北偏西25方向，
若AB
CE
∥
，则点C 在点E 的南偏西 方向．
题型六：直角三角形中两锐角互余折叠问题
1．（24-25 七年级下·陕西咸阳·期中）如图，把一张长方形纸条按如图的方式折叠后，量得
100
AOB
=
，
则
OCB
的度数是 ．
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2．（24-25 七年级下·重庆巫溪·阶段练习）如图所示，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D
C
，
分别落在
D
C
，
位置．若
65
EFB
=
，则
DMB
的度数是
3．
（24-25 七年级下·宁夏银川·期中）如图，ABC
中，
90
ACB
=
，
30
A
=
，沿着图中的CD折叠
BCD
△
，
点B 刚好落在边AC 上的点E 处，则
CDE
的度数是 ．
4．（24-25 七年级下·贵州·期中）如图所示，将长方形纸片ABCD折一下，折痕为MN ，再折，使MB
MC
、
与MN 叠合，折痕分别为ME
MF
、
，若
70
CFM
=
，则
AEM
的度数为 ．
5．（24-25 七年级下·重庆·阶段练习）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
62
B
=
，D、E 分别在AB 、AC
上，将三角形ADE 沿DE 折叠得到三角形FDE，且满足EF
AB
∥
，则
EDF
= °．
6．
（2025·浙江宁波·一模）如图，长方形ABCD沿AE 折叠，使点D 落在BC 边上的点F 处．如果
55
BAF
=
，
那么
DAE
= ，
=
AEF
，
=
EFC
．
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7．（24-25 八年级上·四川成都·期末）如图，在
ABC
中，
90
ACB
=
，将
ABC
沿CD折叠，使得点B 落
在边AC 上的点E 处，若
A
ADE
=
，则
BDC
的度数为 ．
8．（24-25 八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，在
ABC
中，
90
ACB
=
，沿CD折叠
CBD
△
，使点B 恰
好落在边AC 上的点E 处．若
20
A
=
，则
BDC
的度数为 ．
题型七：直角三角形中两锐角互余综合（解答题）
1．（24-25 七年级下·福建泉州·期末）如图，在
ABC
中，AD
BC
⊥
于点D，BE 平分
ABC
，AD，BE 相
交于点F，
60
BAC
=
，
70
C
=
，求
CAD
和
AFB
的度数．
2．（24-25 七年级下·河南南阳·期末）如图，在
ABC
中，AE 平分
BAC
，AD 是BC 边上的高．
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(1)在图中将图形补充完整；
(2)当
82
BAC
=
，
72
C
=
时，求
DAE
的度数．
3．
（24-25 七年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在Rt ABC
中，
90
40
ACB
A
=
=
，
，ABC
的外角
CBD
的平分线BE交AC 的延长线于点E．过点D 作DF
BE
∥
，交AC 的延长线于点F，求
F
的度数．
4．
（24-25 七年级下·陕西汉中·期末）已知
ABC
中，
50 ,
70 ,
B
C
AD
=
=
是
ABC
的角平分线，DE
AB
⊥
于E．
(1)求
EDA
∠
的度数；
(2)若
10,
8,
2
AB
AC
DE
=
=
=
，求
ABC
S
．
5．（24-25 七年级下·山东烟台·期中）如图，已知在
ABC
中．
(1)若
:
:
3:4:5
A
ABC
ACB
=
，求
ABC
的最大内角的度数；
(2)若BD
AC
⊥
于点D，CE 是
ACB
的平分线，
69
A
=
，
40
CBD
=
，求
BEC
的度数．
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6．（24-25 七年级下·上海·期中）如图，已知
,
,
,
AE
AB AF
AC AE
AB AF
AC
⊥
⊥
=
=
，BF 与CE 相交于点M ．
(1)求证：EC
BF
；
(2)求证：EC
BF
⊥
．
7．（24-25 七年级下·四川眉山·期末）如图，AD是
ABC
的高，CE 是
ABC
的角平分线，点F 是AC 的中
点，
38
ACB
=
，
30
BAD
=
．
(1)求
AEC
的度数；
(2)若
BCF
与
BAF
△
的周长差为5，
7
AB =
，求BC 的长．
8．（24-25 七年级下·陕西渭南·期末）如图所示，在Rt
ABC
中，
90
A
=
，点E 、D 、M 分别在AB 、BC 、
AC 上，连接ED、DM 、EM ，点F 、N 分别在BD、CD上，连接EF 、MN ．
(1)若EF 、MN 分别是BED
和DMC
的中线，
2
DF =
，
8
NC = ，求BC 的长度；
(2)若EF 、MN 分别垂直平分BD、DC ，判断ED与MD 是否垂直，并说明理由．
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9．（24-25 七年级下·四川成都·期中）ABC
中，点D 、F 分别为线段AC 、AB 上两点，连接BD、CF 交
于点E ．
(1)若BD
AC
⊥
，CF
AB
⊥
，如图1，试说明
180
BAC
BEC
+
=
；
(2)若BD平分
ABC
，CF 平分
ACB
，如图2 所示，若
120
BEC
=
，则
BAC
= ，并证明：EF
ED
=
．
题型八：利用斜边上的中线等于斜边的一半求线段长度
1．（24-25 八年级下·云南昭通·阶段练习）如图，在
ABC
中，AB
AC
AD
=
，
为BC 边上的高，点E 为AC 的
中点，连接DE ．若
ABC
的周长为24，则CDE
的周长为（ ）
A．16
B．14
C．12
D．10
2．（24-25 八年级下·云南玉溪·期末）如图，在
ABC
中，
90
ACB
=
，AD
DB
=
，
5
CD = ，则AB 的长度
为（ ）
A．10
B．8
C．6
D．5
3．（24-25 八年级下·河南驻马店·阶段练习）如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱
,
BC DE 分别垂直于横梁AC ，若
8 m,
30
AB
DCA
=
=
，则立柱DE 的长为 m ．
4．（2025·福建·中考真题）某房梁如图所示，立柱AD
BC
⊥
，E，F 分别是斜梁AB ，AC 的中点．若
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8m
AB
AC
=
=
，则DE 的长为 m．
5．（24-25 八年级下·云南昆明·期中）如图，在四边形ABCD中，
90
ABC
ADC
=
=
，点O 是对角线AC
的中点，若
3
OB =
，则OD 的长为 ．
6．（24-25 八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，AD平分
CAB
，点E 为
AB 的中点，连接CE
DE
、
，若
1
CD = ，
3
CE =
，则
EBD
△
的面积为 ．
7．（23-24 八年级下·湖南·期中）如图，在
ABC
中，
90
BAC
=
，AD是BC 边上的中线，且
18
BC
AD
+
=
，
则BC 的长为 ．
题型九：利用斜边上的中线等于斜边的一半求角度
1．（24-25 八年级下·北京海淀·期中）如图，在直角三角形ABC 中，
90
ACB
=
，CD
AB
⊥
于点D，点E
为边CB 中点，若
52
A
=
，则
EDB
= ．
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2．
（24-25 八年级下·湖南长沙·期中）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，CD是斜边AB 上的中线，若
23
A
=
，
则
DCB
的大小为 ．
3．
（24-25 八年级下·云南昆明·期中）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，CD
AB
⊥
于点D ，
3
ACD
BCD
=
，
E 是斜边AB 的中点，则
DEC
= ．
4．（24-25 七年级下·上海崇明·期末）如图，在
ABC
中，
BAC
为钝角，AF ，CE 都是这个三角形的高，
P 为AC 的中点，
1
2
PE
PF
AC
=
=
．若
35
B
=
，则
EPF
的度数为 ．
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5．（24-25 八年级下·北京西城·期末）如图，在Rt
ABC
与Rt
ABD
△
中，
90
ACB
ADB
=
=
，点C 和点D
位于边AB 的同侧，E 为边AB 的中点．连接EC
ED
CD
，
，
，若
26
CED
=
，则
CDE
= ．
6．（24-25 八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，一根木杆AB 斜靠在竖直的墙AC 上，
32
BAC
=
，木杆的
顶端A 沿墙面下滑至A位置，此时
32
A B C
=
，CD，CD分别是斜边AB ，A B
上的中线，则
DCD
的
度数为 ．
7．（24-25 八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，
90 ,
ABC
ADC
E
=
=
为对角线AC 的
中点，连接
,
,
BE ED BD，若
56
BAD
=
，则
EDB
的度数为 度．
题型十：直角三角形中尺规作图问题
1．（24-25 八年级下·北京·期中）如图，在
ABC
中，
90
ACB
=
，分别以点A 、点B 为圆心，大于1
2 AB 长
为半径作弧，两弧分别相交于点M ，N ，作直线MN 交AB 于点D ，交BC 于点E ，连接CD，
20
CDE
=
，
则
ACD
的度数为（ ）
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A．40
B．45
C．50
D．55
2．（2025·天津河西·一模）如图，
ABC
中，
90
ABC
=
，
62
C
=
，分别以点A，C 为圆心，大于1
2 AC
的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于E，F 两点，连接EF ，EF 与AC 交于点O，则
ABO
的大小为（ ）
A．28
B．30
C．31
D．36
3．
（24-25 八年级下·广东江门·期中）如图，在
ABC
中，
90
ACB
=
，
35
B
=
，作AB 的垂直平分线MN ，
且直线MN 交AB 于点D，交BC 于点E ，连接CD，则．
CDE
的度数为（ ）
A．3
B．10
C．15
D．20
4．（24-25 八年级下·河南焦作·阶段练习）如图，在
ABC
中，
90
ACB
=
，
30
A
=
，分别以点A ，B 为
圆心，大于1
2 AB 长为半径作弧，两弧交于点M ，N ，作直线MN 分别交AB ，AC 于点D ，E ，连接CD，
BE ，下列结论错误的是（ ）
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19 /
A．AD
CD
=
B．BE
CD
C．
BEC
BDC
D．
CBE
DBE
=
5．（24-25 八年级上·江苏南通·期末）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，根据步骤作图：（1）分别以点A ，
B 为圆心，大于1
2 AB 的长为半径作弧，两弧相交于点M ，N ；（2）作直线MN ，交AB 于点D ．若
3
CD =
，
则AB 的长为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
6．（24-25 八年级下·四川达州·期末） 如图，在Rt
ABC
△
中，
90
BAC
=
，分别以点C，B 为圆心，以大
于1
2 BC 为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN 分别交
,
AB CB 于点D，E，连接
,
CD AE 相交于点P．若
23
B
=
，则
APC
的大小为 ．
题型十一：直角三角形中综合解答题
1．（24-25 八年级下·陕西渭南·期中）如图，在四边形ABCD中，
90
ABC
ADC
=
=
，M 、N 分别是对
角线AC 、BD的中点，连接MN ，求证：MN
BD
⊥
．
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20 /
2．（24-25 八年级下·福建福州·期中）如图，AD
BC
∥
，点E 在AD上，且满足
2
ABE
EBC
=
．
(1)尺规作图：在BC 上求作点G ，使得
90
ABC
BAG
+
=
；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若AG 交BF 于点H ，F 是EH 的中点，连接AF ，求证：AB
AF
=
．
3．（2025 八年级下·全国·专题练习）如图，在
ABC
中，CF
AB
⊥
于F，BE
AC
⊥
于E，M 为BC 的中点．
(1)求证：MEF
是等腰三角形；
(2)若
7
EF =
，
12
BC =
，求
EFM
△
的周长．
4．（24-25 八年级上·江苏扬州·期末）如图，在
ABC
中，AD
BC
⊥
，垂足为D ，CE
AB
⊥
，垂足为E ，F
是AC 的中点，连接DF 、EF ．
(1)求证：DF
EF
=
；
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21 /
(2)连接DE ，若
8
AC = ，
4
DE =
．判断DEF
的形状，并说明理由．
5．（24-25 八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在
ABC
中，
90
ACB
=
，
30
A
=
，AB 的垂直平分线分别
交AB ，AC 于点D，E ，连接CD．
(1)请判断
BCD
△
的形状，并说明理由．
(2)若
3
CE =
，求AC 的长．
6．（24-25 八年级上·甘肃张掖·期末）如图，在
ABC
中，CF
AB
⊥
于F ，BE
AC
⊥
于E，M 为BC 的中点．
(1)求证：MEF
是等腰三角形；
(2)若
7
EF =
，
12
BC =
，求
EFM
△
的周长．
7．（24-25 八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在
ABC
中，CE
BA
⊥
的延长线于E ，BF
CA
⊥
的延长线
于F ，M 为BC 的中点，分别连接ME 、MF 、EF ．
(1)若
2
EF =
，
8
BC = ，求
EFM
△
的周长；
(2)若
30
ABC
=
，
48
ACB
=
，求
EMF
的度数．
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22 /
8．（23-24 八年级上·江苏盐城·期中）如图，已知锐角
ABC
中，CD、BE 分别是AB 、AC 边上的高，M、
N 分别是线段BC 、DE 的中点．
(1)证：MN
DE
⊥
；
(2)若
75
ABC
=
，
40
ACB
=
，连接DM 、ME ，求
DME
的度数．
题型一：直角三角形两锐角互余需分情况讨论问题
1．（24-25 七年级下·河南南阳·期末）如图，在
ABC
中，
90
B
?
? ，
32
C
=
，以AC 为斜边作等腰直角
三角形ADC ，则
BAD
的度数为 ．
2．（24-25 七年级下·河南安阳·阶段练习）如图，在
ABC
中，
90
A
=
，
30
ACB
=
．点P 为射线BC 上
一点，平面内有一射线CQ ，若CQ
AB
∥
，则
PCQ
的度数是 ．
3．（24-25 八年级上·山东聊城·期末）如图，在
ACB
△
中，
90
ACB
=
，
12
AC
cm
=
，
6 cm
BC =
，CD为AB
边上的高，点E 从点B 出发，在直线BC 上以3 cm / s 的速度移动，过点E 作BC 的垂线交直线CD于点F ，
当点E 运动 s 时，CF
AB
=
．
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23 /
4．（24-25 七年级下·河南南阳·期末）如图，在
ABC
中，
90
ABC
=
，
30
CAB
=
，D 是边AB 上的一个
动点，连接CD，将
CDB
△
沿着CD翻折得到CDE
，当DE 与
ABC
的一边垂直时，
CDB
= ．
5．（24-25 七年级下·河南郑州·期中）如图，将一个等腰直角三角形ABC 和一个等边三角形ADE 的顶点A 重
合放在一起（AC
AE
，0
90
BAE
且点E 在直线AB 的上方），其中
90
C =
∠
，
45
B
=
．当两个三
角形有一组边互相平行时，
BAE
的度数为 ．
6．（24-25 八年级上·湖北武汉·期中）如图，在
ABC
中，
90
ACB
=
，
50
B
=
，O是射线CB 上的一个动
点，连接OA，将
ACO
△
沿着AO 翻折得到
ADO
△
，当
ADO
△
的三边与
ABC
的三边有一组边垂直时，则
AOC
= ．
7．（24-25 八年级上·安徽合肥·期末）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
60
C
B
=
=
，
，M，N 分别是边AC
AB
，
上的动点，沿着直线MN 将AMN
对折，点A、的对称点是点A．若A N
BC
∥
，则
CMN
的度数为
．
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24 /
题型二：直角三角形两锐角互余多结论问题
1．（24-25 七年级下·河南南阳·期末）如图，
,
90
ABE
ECD
B
C
=
=
△
≌△
，点
,
,
B E C 在同一条直线上，
则有下列4 个结论：①AB
DC
；②BC
AB
CD
=
+
；③
BAE
与
EDC
互补；④
ADE
为等腰直角三角
形．其中成立的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
2．（24-25 七年级下·河南郑州·期末）如图，AB
CD
∥
，F 为AB 上一点，
∥
FD EH ，过点F 作FG
EH
⊥
于
点G ，且FE平分
AFG
，
2
=
AFG
D．有下列结论：①
30
D
=
；②FD 平分
HFB
；③
AFE
BFD
E
+
= ．其中正确的结论为（ ）
A．①③
B．①②
C．②③
D．①②③
3．（24-25 七年级下·辽宁大连·期末）如图，在四边形ABCD中，AB
BC
⊥
，AE 平分
BAD
交BC 于点E，
连接DE ，点F 为AD上方一点，连接AF
DF
、
，点M、N 分别是BA CD
、
延长线上的点，已知AE
DE
⊥
，
1
2
90
+=
．下列结论错误的是（ ）
A．
F
与
FDN
为内错角
B．
180
AEB
ADC
+
=
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25 /
C．AB
CD
∥
D．DE 平分
ADC
4．（24-25 七年级下·山东菏泽·期末）如图，在
ABC
中，
90
BAC
=
，AD是高，BE 是中线，CF 是角平
分线，CF 交AD于点G，交BE 于点H，下面说法中正确的序号是 ．
①ABE
的面积等于BCE
的面积；②
ABD
DAC
=
；③
AFG
AGF
=
．
5．
（24-25 七年级下·河南许昌·期中）如图，AB
CD
∥
，点E
F
，
在直线CD上，点G 在直线AB 上，AE
BE
⊥
，
EB平分
GED
，
AEG
BGF
=
，则下列结论：
①AE
GF
∥
；②
90
BHG
=
；
③
3
A
B
= ；④GF 平分
EGB
，
其中不一定正确的是 ．（填序号）
6．（24-25 七年级下·湖北宜昌·期中）如图，已知A ，B ，E ，G 四点共线，B ，M ，C ，D 四点共线，A ，
H ，C ，F 四点共线，GF
AB
⊥
，1
2
= ，
B
AGH
=
．则下列结论正确的有 （写序号）．
①GH
BC
∥
；
D
F
=
②
：
HE
③
平分
AHG
∠
；
HE
AB
⊥
④
．
7．（24-25 八年级下·辽宁朝阳·期中）如图，在
ABC
中，
90
C
=
，
30
B
=
，以A 为圆心，任意长为半
径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M ，N 为圆心，大于1
2 MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，
连接AP 并延长交BC 于点D ，则下列结论中正确的有 ．
①AD是
BAC
的平分线；②
60
ADC
=
；③AD
BD
=
；④点D 在AB 的垂直平分线上；
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26 /
⑤
ABD
ACD
S
S
=
；⑥若
2dm
AD =
，则到点D 到AB 的距离是1dm．
8．（24-25 八年级下·四川成都·期中）如图，在
ABC
中，
90
BAC
=
，AD是高，BE 是中线，CF 是角平
分线，CF 交AD于点G ，交BE 于点H ．下面说法中：①
BE
BCE
S
S
=
△A
△
；②
AFG
AGF
=
；③
2
BAD
ACF
=
；④AF
FB
=
．正确的是 ．（填序号）
题型三：直角三角形综合应用压轴题
1．（24-25 七年级下·四川宜宾·期末）如图，
ABC
为直角三角形，
90
ABC
=
，
60
A
=
，点D 为AC 上
一点，将
ABD
△
沿BD翻折后得到BDE
．
(1)如图1，当点E 落在BC 上时，求
CDE
的度数；
(2)如图2，当点E 落在BC 下方时，DE 与BC 相交于点F，且DE
BC
⊥
，试说明：BE
AC
∥
；
(3)如图3，当点E 落在BC 下方时，DE 与BC 相交于点F，连结CE ，CED
的平分线EG 交BD的延长线于
点G，交AC 于点H．若CE
BG
∥
，试判断
BFE
与
G
之间的数量关系，并说明理由．
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27 /
2．
（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图1，AD是
ABC
的角平分线，E为射线CB 上一点，过点E作EF
AB
⊥
，
垂足为点F．
(1)若
90
C
=
，且点E 在线段CD上．
①
CAD
CDA
+
=_______，理由是________；
②若EH 平分
CEF
交AC 于点H，求证：EH
AD
∥
；
(2)如图2，若点E 在线段CB 的延长线上，EI 平分
CEF
交AD的延长线于点I，用等式表示
I
与
C
的
数量关系，并证明．
3．（24-25 七年级下·四川巴中·期末）如图1，在
ABC
中，分别以AB ，BC 为边向外作等腰直角三角形BCD
和等腰直角三角形
,
90
ABF
CBD
ABF
=
=
，连接AD、CF ，AD与CF 交于点M ．
(1)求证：AD
CF
=
；
(2)判断AD与CF 的位置关系，并说明理由；
(3)如图2，连接FD ，若
10
AD =
，求四边形ACDF 的面积．
4．（24-25 七年级下·四川成都·期中）ABC
中，点D 、F 分别为线段AC 、AB 上两点，连接BD、CF 交
于点E ．
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28 /
(1)若BD
AC
⊥
，CF
AB
⊥
，如图1，试说明
180
BAC
BEC
+
=
；
(2)若BD平分
ABC
，CF 平分
ACB
，如图2 所示，若
120
BEC
=
，则
BAC
= ，并证明：EF
ED
=
．
5．（24-25 七年级下·江苏苏州·期末）如图，在直角三角形ABC 中，
90
ACB
=
，点D ，E 分别是AC ，AB
边上一点，将
ADE
沿DE 翻折至FDE
，使得DF
AB
⊥
于点G ，点H 为CB 延长线上一点，设
ABC
=
．
(1)若
54
=
，求
DEF
的度数；
(2)①尺规作图：用无刻度的直尺和圆规作
ABH
的角平分线BP；（不写作法，保留作图痕迹）
②在①的条件下，求证：BP
DE
∥
．
6．（24-25 七年级下·河南漯河·期中）已知AB
CD
∥
．点M 为直线AC 上的动点（点M 不与点A C
、
重合），
ME
AC
⊥
交直线CD于点E ．
(1)如图1，当点M 在CA 上时，若
48
MAB
=
，则
MEC
=__________；
(2)如图2 ，当点M 在CA 的延长线上时，
MAB
与
MEC
有怎样的数量关系？写出结论，并说明理由；
(3)当点M 在AC 的延长线上时，
MAB
与
MEC
有怎样的数量关系？写出结论，并说明理由．
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29 /
7．（24-25 七年级下·湖北荆州·期中）如图：已知AB
CD
和一块含60角的直角三角尺EFG ．
(1)如图1，三角尺的60角的顶点G 放在CD上，若
2
2 1
= ，求1
的度数；
(2)如图2 ，三角尺的两个锐角的顶点E 、G 分别放在AB 和CD上，若
8
AEF
= ，求
FGC
的度数．
8．（2025·浙江杭州·模拟预测）在
ABC
中，AB
AC
=
，点D 在AC 上，过点D 作DL
BC
⊥
于L ，过点L 作
LF
AB
⊥
于F ，连接DF ，CD
LB
=
．
(1)如图1，求证：4
180
FDL
CAB
−
=
；
(2)如图2，过点L作DF 的垂线交AF 于H ，连接DH ，若
FDL
CAB
=
，在不添加任何辅助线的情况下，
直接写出图2 中四个与DLC
全等的三角形（DLC
除外）．
题型四：直角三角形综合中动点问题
1．（24-25 八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在
ABC
中，AD为高，
24
AC =
，点E 为AC 上的一点，
3
CE
AE
=
，连接BE ，交AD于O，若BDO
ADC
≌
．
(1)求
BEC
的度数；
(2)动点P 从点O出发，沿线段OB 以每秒1个单位长度的速度向终点B 运动，动点Q 从点A 出发沿射线AC 以
每秒3个单位长度的速度运动，P 、Q 两点同时出发，当点P 到达点B 时，P 、Q 两点同时停止运动，设点
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30 /
P 的运动时间为t 秒，
①设
POQ
△
的面积为s．请用含t 的式子表示s，并直接写出相应的t 的取值范围；
②点F 是直线BC 上一点，且CF
AO
=
．当AOP
与FCQ
全等时，求t 的值．
2．（24-25 七年级下·宁夏银川·阶段练习）如图，
7cm
AB =
，CA
AB
⊥
，DB
AB
⊥
，垂足分别为A B
，，
5cm
AC =
．点P 在线段AB 上以2cm/s的速度由点A 向点B 运动，同时点Q 在射线BD上运动，它们运动的时
间为st （当点P 运动结束时，点Q 运动随之结束）．
(1)若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当
1
t = 时，
ACP
△
与
BPQ
是否全等？并判断此时线段PC 和
线段PQ 的位置关系，请分别说明理由；
(2)如图②，若“CA
AB
⊥
，DB
AB
⊥
”改为“
60
CAB
DBA
=
=
”，点Q 的运动速度为cm/ s
x
，其他条件不
变，当点P
Q
，
运动到某处时有
ACP
△
与
BPQ
全等，求出相应的x
t
，的值．
(3)在（2 ）成立的条件下且P
Q
、
两点的运动速度相同时，
CPQ
= _____（直接写出结果）
3．（24-25 九年级下·河北沧州·期中）如图，在
ABC
中，
90
ABC
=
，
8
AB =
，
12
BC =
，点B 在直线m 上，
点M 是直线m 上点B 左边的一点，且
4
BM =
，
60
ABM
=
．动点P 从点A 出发，以每秒2 个单位长度的
速度沿折线AB
BC
−
向终点C 匀速运动；同时动点Q 从C 点出发，以每秒6个单位长度的速度沿折线CB
BA
−
向终点A 匀速运动．两点到达相应的终点就分别停止运动，分别过点P 、点Q 作
⊥
PD
m于点D ，QE
m
⊥
于
点E ．设点P 的运动时间为( )(
)
s
0
t
t
．
(1)用含t 的代数式表示BP的长；
(2)当点Q 在边BC 上时，求证：
PBD
BQE
=
；
(3)当
PBD
△
与
BQE
△
全等时，直接写出t 的值．
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4．（24-25 七年级下·河南周口·阶段练习）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ABC
ABC
=
，
的平分线交AC 于点
D．点P 是AC 边上的一个动点，过点P 作PM
AB
∥
交BC 边于点E ．设
A
的度数为(
)
0
90
．
(1)如图，当点P 在线段AD上运动时（不与A D
，
重合），作PEC
的外角
CPM
的平分线PN ，交BD的延
长线于点F ．
①
C
= _____；（用含的代数式表示）
②当
40
=
时，求
BFP
的度数；
(2)类比（1）的思路，当点P 在线段CD上运动时（不与C
D
，
重合），作PEC
的外角
CPM
的平分线PN ，
交直线BD于点F （点F 不与点B 重合），求
BFP
的度数．（用含的代数式表示）
5．（24-25 八年级上·广东湛江·阶段练习）如图，ABC
是边长是16cm的等边三角形，动点P，Q 同时从A，
B 两点出发，分别沿AB ，BC 方向匀速移动，其中点P 运动的速度是3
/ s
cm
，点Q 运动的速度是2
/ s
cm
，
当点P 到达点B 时，P、Q 两点都停止运动，设运动时间为( )s
t
，解答下列问题：
(1)在点P 与点Q 的运动过程中，当t 为何值时，
BPQ
是等边三角形？
(2)在点P 与点Q 的运动过程中，当t 为何值时，
BQP
是直角？
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6．（24-25 八年级上·内蒙古乌海·期末）如图，
ABC
的两条高AD与BE 交于点O，AD
BD
=
，
6
AC =
．
(1)若
23
DBO
=
，则
DAC
=______；
(2)求BO的长；
(3)点F 是射线BC 上一点，且CF
AO
=
，动点P 从点O 出发，沿线段OB 以每秒1 个单位长度的速度向终点
B 运动，同时动点Q 从点A 出发，沿射线AC 以每秒5 个单位长度的速度运动，当点P 到达点B 时，P、Q
两点同时停止运动，设运动时间为t（秒），当AOP
与FCQ
全等时，直接写出t 的值．
7．（24-25 八年级上·广东广州·期中）如图，直线AM
AN
⊥
，AB 平分
MAN
，过点B 作BC
BA
⊥
交AN 于
点C．动点D，E 同时从点A 出发，其中动点E 以2cm/s的速度沿射线AN 运动，动点D 以1cm/s 的速度在直
线AM 上运动．已知
6cm
AC =
，设动点D，E 的运动时间为(s)
t
．
(1)
ACB
的度数为________；
(2)当点D 沿射线AM 运动时，若
2
ABD
BEC
S
S
=
△
△
，求t 的值；
(3)当动点D 在直线AM 上运动时，是否存在某个时间t，使得ADB
与
BEC
全等？若存在，请求出时间t
的值；若不存在，请说出理由．
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33 /
1．（24-25 八年级下·甘肃兰州·期末）在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，D 是AB 的中点，若
8
AB =
，则BD的
长为（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
2．（24-25 八年级下·安徽六安·阶段练习）如图，
ABC
中，点D 在边BC 上，若
25 ,
,
10,
5
B
AD
AB BD
AC
=
⊥
=
=
，则
CAD
的度数是（ ）
A．10
B．15
C．20
D．25
3．（24-25 八年级下·云南曲靖·期末）某乡村旅居示范点计划在村内池塘上搭建小桥，如图所示，两条村内
道路AC 、BC 互相垂直，道路AB 的中点M 与点C 被湖隔开．若测得AB 的长为2400 m ，则M、C 两点间
的距离为（ ）
A．3600 m
B．2400 m
C．1200 m
D．600 m
4．（24-25 七年级下·湖北十堰·期末）如图，
ABC
中，
90
ABC
=
，BD是高，则
ABD
与
C
（ ）
A．互余
B．互补
C．相等
D．没有关系
5．（24-25 八年级下·广东茂名·阶段练习）如图，已知方格纸中是4 个相同的小正方形，则1
2
+=（ ）
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34 /
A．60
B．75
C．90
D．120
6．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在
ABC
中，
90
BAC
=
，
60
C
=
，
2
AC =
．以点A 为圆心，AC
长为半径作弧，交BC 于点D ；再分别以点C 和点D 为圆心，以大于1
2 DC 长为半径作弧，两弧相交于点E ，
作射线AE 交BC 于点F ，则BF 的长为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．2 3
2
−
7．（24-25 七年级下·湖北十堰·期末）
ABC
中，
90
C
=
，
30
B
A
=
-
，则
B
的度数为 ．
8．
（24-25 七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，在
ABC
中，CD是高，CE 是角平分线，若
64
ACB
=
，
40
A
=
，
则
DCE
的度数为 ．
9．（24-25 七年级下·河北石家庄·期末）如图，在
ABC
中，CD是AB 边上的高，BE 是AC 边上的高，点F
是两条高线的交点，若
70
A
=
，
15
FBC
=
，则
FCB
= °
10．（2025 七年级下·河南郑州·专题练习）生活情境·滑滑梯 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高
度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，且左边滑梯水平方向的长度AB 与右边滑梯的高度DE 相等，
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35 /
若
32
CBA
=
，则
EFD
= ．
11．（2025 八年级上·全国·专题练习）如图，在Rt
ABC
△
中，直角顶点A 在直线l 上，过点B 、C 分别作直
线l 的垂线，垂足分别为D 、
.
E 求证：
ABD
CAE
=
．
12．（24-25 七年级下·河南南阳·期末）如图，在
ABC
中，
45
B
=
，
65
C =
∠
，AD是
ABC
的边BC 上
的高．
(1)利用尺规作图作
BAC
的角平分线AE ；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)求
DAE
的度数．
13．（24-25 七年级下·河南驻马店·阶段练习）如图1，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，D 是AB 上一点，且
A
BCD
=
．
(1)请说明CD
AB
⊥
；
(2)如图2，若AE 平分
BAC
，交CD于点F，交BC 于点E，
CEA
与
CFE
相等吗？请说明理由．
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14．（24-25 七年级下·辽宁大连·期末）如图，ABC
中，BD
AC
⊥
，垂足为D，点E 在BC 边上，连接DE ，
且
90
A
BDE
+
=
(1)求证：AB
DE
∥
；
在括号内填写相应的依据．
证明：BD
AC
⊥
，垂足为D，
90
ADB
=
（___________），
在
ABD
△
中，
90
A
ABD
+
=
（___________），
90
A
BDE
+
=
，
ABD
BDE
=
（___________），
AB
DE
∥
（___________）；
(2)若
110
CED
=
，
50
CBD
=
，求
A
，
C
的度数．
15．（24-25 七年级下·北京·期末）乐乐与爸爸、妈妈在操场上荡秋千．乐乐坐在秋千上的起始位置是A 处，
起始位置OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面 1.2 m 高的B 处接住她，妈妈用力一推，
爸爸在C 处接住她．若妈妈与爸爸到秋千起始位置OA的水平距离
,
BF CG 分别为2m 和2.4m
90
BOC
=
，
．
(1) COG
与OBF
全等吗？ 请说明理由；
(2)爸爸在距离地面多高的地方接住乐乐？
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16．（24-25 七年级下·山东济南·期中）已知
ABC
中，
90
ACB
=
，CD为AB 边上的高，BE 平分
ABC
，
分别交CD
AC
、
于点F、E．
(1)试说明
A
BCD
=
；
(2)若
30
A
=
，试着求出
CEF
的度数；
(3)猜想
CEF
与
CFE
的数量关系：
CEF
______
CFE
（填“>”、“<”或“=”）．
17．（24-25 七年级下·北京·期中）已知：如图，直线AB
CD
∥
，直线EF 与
、
AB
CD分别交于E、F 两点．过
F 作射线FG 交AB 于点G，且
EFG
EGF
=
，射线FG 上有一动点P，过P 作PQ
FG
⊥
，交直线EF 于点
Q，作
PQE
的角平分线，交射线FG 于点M．
(1)如图1，求证：FG 平分
EFD
．
(2)如图2，当
100
BEF
=
时，求
PMQ
的度数．
(3)当点P 在运动过程中，试探究
PMQ
与
BEF
的数量关系，请直接写出你的结论．
