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试卷第1 页，共66 页
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分层作业
2.2 平方根与立方根
目 录
A 组 巩固过关
题型01 平方根概念的理解
题型02 平方根的性质
题型03 算术平方根的性质
题型04 算术平方根的非负性
题型05 算术平方根的估算
题型06 算术平方根整数部分的确定
题型07 算术平方根的探究规律问题
题型08 算术平方根的实际应用
题型09 立方根概念的理解
题型10 立方根的性质
题型11 平方根立方根的综合应用
题型12 程序问题
B 组 能力进阶
C 组 思维拔高
拓展 链接中考
试卷第2 页，共66 页
平方根概念的理解
一、单选题
1．7 的平方根是（ ）
A．7
B．
7
−
C．7
D．
7
【答案】D
【详解】解：7 的平方根是
7
．
2．
1
2 4 的平方根是（ ）
A．1
2
B．
1
2
C．3
2
D．
3
2
【答案】D
【详解】解：
1
9
2 4
4
=
且
2
3
9
2
4
=
，
1
2 4
的平方根是
3
2
．
3．16 的平方根是（ ）
A．-4
B．2
C．4
D．4
【答案】B
【分析】本题需要先求出16 的结果，再对所得结果求平方根，注意区分算术平方根和平方根的概念，避
免直接对16 求平方根导致错误．
【详解】解：
16
4
=
，4 的平方根是2
∴16 的平方根是2
．
4．下列各式，正确的是（ ）
A．64
8
=
B．
64
8
=
C．
64
8
−
= −
D．(
)
2
64
64
−
= −
【答案】C
【分析】根据平方根和算术平方根的求解方法，逐个判断即可．
【详解】解：
64 是64 的算术平方根，为8，A 选项错误，不符合题意；
题型01
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64
是64 的平方根，为8
，B 选项错误，不符合题意；
64
8
−
= −，C 选项正确，符合题意；
(
)
2
2
64
64
64
−
=
=
，D 选项错误，不符合题意．
5．下列算式中，正确的是（ ）
A．25
5
=
B．
9
3
=
C．(
)
2
6
6
−
= −
D．
16
4
−
= −
【答案】D
【分析】根据平方根与算术平方根的定义对各选项逐一计算即可．
【详解】解：A：25
5
=
，故该选项不合题意；
B：
9
3
= ，故该选项不合题意；
C：(
)
2
6
6
−
=
，故该选项不合题意；
D：
16
4
−
= −，故该选项符合题意．
6．若
2
25
x =
，则x =（ ）
A．5
B．5
−
C．5
D．5
【答案】D
【详解】解：∵(
)
2
5
25
=
，则
5
x = ．
7．9 的平方根是（ ）
A．
3
±
B．9
C．3
D．3
±
【答案】A
【分析】本题需先计算出9 的值，再根据平方根的定义求解．
【详解】解：∵9
3
=
，
∴根据平方根的定义，一个正数有两个互为相反数的平方根，3 的平方根为
3
±
．
8．25
64 的平方根是（ ）．
A．5
4
B．5
8
C．
5
4
D．
5
8
【答案】D
试卷第4 页，共66 页
【分析】根据平方根的定义即可求解．
【详解】25
64 的平方根是
=
25
5
64
8
．
9．下列计算正确的是（ ）
A．
81
9
=
B．36
6
=
C．
16
4
−
= −
D．(
)
2
5
5
−
= −
【答案】C
【详解】解：A、
81
表示81的平方根，结果为9
，选项计算错误；
B、36 表示36的算术平方根，结果为6 ，选项计算错误；
C、
2
16
4
4
−
= −
= −，选项计算正确；
D、(
)
2
5
25
5
−
=
=
，算术平方根的结果为非负数，选项计算错误．
10．下列各式正确的是（ ）
A．
9
3
=
B．
2
0 1
0 1
.
.
C．(
)
2
16
16
−
=
D．
1
1
4
2
9
3
=
【答案】C
【详解】A、
9
3
= ，故A 错误；
B、
2
0 1
0 01
0 1
.
.
.
，故B 错误；
C、
2
2
16
4
16
，故C 正确；
D：
1
37
37
4 9
9
3
=
=
，故D 错误；
故选：C．
二、填空题
11．直接写出结果：
（1）
25
= ________；（2）(
)
2
3
−
= ________．
【答案】
5
3
【分析】（1）根据平方根的定义，求出25 的正负平方根；
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（2）先计算平方，再依据算术平方根结果为非负数化简求值．
【详解】解：（1）
2
25
5
5
=
= ；
（2）(
)
2
2
3
9
3
3
−
=
=
=
．
12．若
2
(
10)
8
0
b
a
−
+
+
=
，则a
b
+
的平方根是__________．
【答案】
2
【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性，先求出,a b 的值，再计算a
b
+
，最后求a
b
+
的平方根即可．
【详解】解：算术平方根和绝对值都是非负数，且
2
(
10)
8
0
b
a
−
+
+
=
∴(
)
2
10
0,
8
0
b
a
−
=
+
=
10
0
b
−
=
，
8
0
a + =
解得
10
b =
，
8
a
−
=
8 10
2
a
b
+
= −+
=
2
的平方根为
2
．
13．若3
−是m 的一个平方根，则
18
m+
的平方根是______．
【答案】3 3
【分析】根据平方根的定义求出m 的值． 再计算
18
m+
的值， 最后根据平方根的定义求出
18
m+
的平方根
即可．
【详解】解：
3
−
是m 的一个平方根，
(
)
2
3
9
m
= −
=
，
18
9 18
27
m
+
= +
=
，
又(
)
2
3 3
27
=
，
27
的平方根为3 3
，即
18
m+
的平方根是3 3
．
三、解答题
14．一个正数b 的平方根是2
1
a−与
2
a
−+
，
(1)求a 和b 的值．
(2)求5a
b
+ 平方根．
【答案】(1)
1
a = −，
9
b =
(2) 2
试卷第6 页，共66 页
【分析】本题主要考查平方根：
（1）根据正数的两个平方根互为相反数，列方程求出a 的值，再根据平方根求出b 的值；
（2）将（1）中结果代入5a
b
+ ，再计算平方根即可．
【详解】（1）解：∵正数b 的平方根是2
1
a−与
2
a
−+
，
∴
2
2
1
0
a
a
−+ +
−=
，
∴
1
a = −．
∴
(
)
2
1
2
3
a
−+
= −−
+
=
，
(
)
2
1
2
1
1
3
a −=
−
−= −，
∵9 的个平方根是3
± ，
∴
9
b =
；
（2）解：∵
1
a = −，
9
b =
，
∴
(
)
5
5
1
9
4
a
b
+
= −
+
=
，
∴
5
4
2
a
b
+
=
= ，
即5a
b
+ 平方根是2
．
15．一个正数x 的两个不同的平方根分别是2
3
a −和5
a
−
．
(1)求a 和x 的值．
(2)求
12
x
a
+
的平方根．
【答案】(1)
2
49
，
a
x
= −
=
(2) 5
【分析】本题考查平方根定义与性质、相反数性质，熟记平方根定义与性质是解决问题的关键．
（1）根据平方根性质，一个正数的两个平方根互为相反数，列方程求解即可得到答案；
（2）由（1）中
2
49
，
a
x
= −
=
，代入
12
x
a
+
，利用平方根定义求解即可得到答案．
【详解】（1）解：∵一个正数x 的两个不同的平方根分别是2
3
a −和5
a
−
，
∴(
) (
)
2
3
5
0
a
a
−
+
−
=
，解得
2
a = −，
∴
(
)
2
2
3
49
x
a
=
−
=
；
（2）解：将
49
2
，
x
a
=
= −代入
12
x
a
+
中，
得
12
49 12 2
25
x
a
+
=
−
=
，
∵25 的平方根为5
，
∴
12
x
a
+
的平方根为5
．
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平方根的性质
一、单选题
1．下列各数没有平方根的是（ ）
A．4
−
B．0
C．7
D．16
【答案】A
【分析】根据平方根的定义，负数没有平方根，非负数（0 和正数）才有平方根，据此解答即可．
【详解】解：∵负数没有平方根，
∴四个选项中只有4
−没有平方根．
2．下列说法中，正确的是（ ）
A．64 的平方根是8
B．
4 的平方根是2 和2
−
C．(
)
2
3
−
没有平方根
D．16的平方根是4 和4
−
【答案】D
【详解】解：对应选项A：∵
2
( 8)
64
=
，
∴64 的平方根是8
，故A 错误；
对于选项B：∵4
2
=
，2 的平方根是
2
，
∴4 的平方根是
2
，故B 错误；
对于选项C：
2
( 3)
9
0
−
=
，正数有平方根，故C 错误；
对于选项D：∵
2
( 4)
16
=
，
∴16的平方根是4 和4
−，故D 正确．
3．下列算式中，正确的是（ ）
A．25
5
=
B．
9
3
=
C．
2
( 7)
7
−
=
D．
8
4
−
= −
【答案】C
【分析】根据平方根与算术平方根的定义逐一计算各选项即可判断正误．
【详解】解：A、25
5
5
=
，故A 错误；
B、
9
3
3
=
，故B 错误；
C、
2
( 7)
49
−
=
7
=
，故C 正确；
题型02
试卷第8 页，共66 页
D、4
16
8
−= −
−
，故D 错误．
4．若
2
x−
有平方根，则x 的取值范围为（ ）
A．
0
x
B．
0
x
C．
2
x
D．
3
x
【答案】C
【分析】根据平方根的基本性质，只有非负数才有平方根，列不等式即可求解x 的取值范围．
【详解】解：∵ 只有非负数才有平方根，且
2
x−
有平方根 ，
∴
2
0
x−
，
解得：
2
x
．
5．下列说法中：①不带根号的数都是有理数；②8
−没有立方根：③平方根等于本身的数是1；④a 有
意义的条件是a 为正数；其中正确的有（）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【答案】A
【分析】根据有理数的定义，立方根、平方根的概念，算术平方根的双重非负性，逐个判断说法正误即可．
【详解】解：①不带根号的数不一定都是有理数，例如不带根号，但是无理数，因此①错误；
②(
)
3
2
8
−
= −
，
8
−
的立方根是2
−，因此②错误；
③平方根等于本身的数只有0 ，因此③错误；
④
a 有意义的条件是被开方数
0
a
，即a 为非负数，不只是正数，因此④错误；
四个说法全部错误，故正确的有0 个．
6．正数x 的平方根是（ ）
A．x
B．
x
C．x
D．
x
【答案】B
【分析】本题考查平方根的定义，解题时需要牢记正数有两个平方根的概念．
【详解】根据定义一个正数x 有两个平方根且互为相反数，记作
x
．
7．“25 的平方根是5
”用数学式子表示正确的是（ ）
A．25
5
=
B．
25
5
=
C．
25
5
=
D．
25
5
−
= −
【答案】B
【分析】一个正数的平方根有两个，且互为相反数，正数a 的平方根记作
a
，据此求解即可．
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【详解】解：“25 的平方根是5
”用数学式子表示正确的是
25
5
= ．
8．关于“ 25 ”的三种说法：①
25 表示25 的平方根；②25
5
=
；③25 是无理数．其中正确的个数是
（ ）
A．3 个
B．2 个
C．1 个
D．0 个
【答案】C
【分析】根据算术平方根、平方根的定义以及无理数的定义，逐一判断三种说法的正误，统计正确的个数
即可．本题主要考查算术平方根与平方根的区别，无理数的定义，明确算术平方根是非负数是解题的关键．
【详解】解：∵
25 表示25 的算术平方根，25 的平方根是5
，
∴①说法错误．
∵
25
5
=
，
∴②说法正确．
∵
25
5
=
，5 是有理数，
∴③说法错误．
综上，正确的个数是1 个；
故选：C．
9．已知一个数的一个平方根是2025，则它的另一个平方根为（ ）
A．2025
B．0
C．2025
−
D．
1
2025
【答案】C
【分析】本题考查“平方根的概念”，掌握两个平方根的关系是解题关键．
根据平方根的性质，一个正数的平方根有两个且互为相反数，由此即可判断出答案．
【详解】解：∵ 一个正数的平方根有两个，且互为相反数，
又∵ 一个平方根是2025，
则另一个平方根为2025
−
，
故选：C．
10．已知一个正数的两个不同的平方根分别是2
1
a+ 和3 4
−a ，则这个正数是（ ）
A．25
B．5
C．5
−
D．2
【答案】A
【分析】一个正数的两个不同平方根互为相反数，利用这一性质先求出a 的值，再计算得到这个正数即可．
试卷第10 页，共66 页
【详解】∵一个正数的两个不同平方根互为相反数，
∴(
) (
)
2
1
3
4
0
a
a
+
+
−
=
，
解得
2
a =
，
把
2
a =
代入得，两个平方根分别为2 2 1
5
+ = 和3 4 2
5
−= −，
∴这个正数为
2
5
25
=
．
二、填空题
11．5 的平方根是__________．
【答案】
5
【详解】根据平方根的定义，若
2
x
a
=
，则x 称为a 的平方根，正数有两个平方根，且互为相反数．
因为
2
(
5)
5
=
，
所以5的平方根是
5
．
12．若2
x
−的平方根只有一个，则x 的值是____________．
【答案】2
【分析】根据平方根的性质可知，只有0 的平方根只有一个，据此得到2
0
x
−
=
，求解即可得到x 的值．
【详解】解：2 x
- 的平方根只有一个，
2
0
x
−
=
，
解得
2
x =
．
13．已知一个正数的两个平方根分别是3
2
a −和
14
a+
，则这个正数是__________．
【答案】121
【分析】根据正数的两个平方根互为相反数的性质，列出一元一次方程求解a ，再计算得到这个正数．
【详解】解： 一个正数的两个平方根互为相反数，
(
) (
)
3
2
14
0
a
a
−
+
+
=
，
合并同类项得 4
12
0
a +
=
，
解得
3
a = −，
将
3
a = −代入得其中一个平方根为
14
3 14
11
a+
= −+
=
，
因此这个正数为
2
11
121
=
14．如果300的平方根是a 和b，那么
300
a
b
ab
−
+
+
=_______．
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【答案】600
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数得到
0,
300
a
b
ab
−
+
=
=
，整体代入求值即可．
【详解】解：∵300的平方根是a 和b，
∴
0,
300
a
b
ab
−
+
=
=
，
∴
(
)
300
300
0
300
300
600
a
b
ab
a
b
ab
+
+
−
=
+
+
−
=
+
−−
=
．
三、解答题
15．已知一个正数m 的两个平方根分别是3 a
−
和2
1
a+ ．
(1)求m 和a 的值；
(2)若2
1
b−的立方根为5
−，求
1
2 a
b
−
−的平方根．
【答案】(1)
4
a = −，
49
m =
(2) 8
【分析】（1）根据“一个正数的平方根互为相反数”可得3
2
1
0
a
a
−+
+ =
，求解确定a 的值，然后计算m 的值
即可；
（2）首先根据立方根的定义确定b 的值，进而可得
1
2 a
b
−
−的值，然后根据平方根的定义，即可获得答案．
【详解】（1）解：依题意，得3
2
1
0
a
a
−+
+ =
，
解得：
4
a = −，
(
)
(
)
2
2
3
3
4
49
m
a
=
−
=
−−
=
；
（2）
2
1
b−
的立方根是5
−，
(
)
3
2
1
5
125
b
−= −
= −
，
62
b
= −
，
(
) (
)
1
1
4
62
64
2
2
a
b
−
−
= −
−
−−
=
，且64 的平方根为8
，
∴
1
2 a
b
−
−的平方根为8
．
算术平方根的性质
一、单选题
1．49 的算术平方根是（ ）
A．7
B．7
−
C．7
D．23
题型03
试卷第12 页，共66 页
【答案】C
【详解】解：∵
2
7
49
=
，
∴ 49 的算术平方根是7 ．
2．化简
2
10−的结果正确的是( )
A．10
B．100
C．1
10
D．1
100
【答案】C
【详解】解：∵
2
2
1
1
10
10
100
−=
=
，
∴
2
1
1
10
100
10
−=
=
．
3．下列说法正确的是（ ）
A．4 的平方根是2
B．2 是4 的算术平方根
C．16
4
=
D．负数有平方根
【答案】B
【分析】根据平方根与算术平方根的定义，逐一判断各选项即可得到结果．
【详解】解：选项A：4 的平方根是2
，A 错误；
选项B：2 是4 的算术平方根，B 正确；
选项C：16
4
=
，C 错误；
选项D：负数没有平方根，D 错误．
4．16 的算术平方根等于（ ）
A．4
B．2
C．2
−
D．2
【答案】D
【分析】本题需要先计算出16 的值，再根据算术平方根的定义求解，注意明确需要求算术平方根的对象
是16 的运算结果．
【详解】解：16
4
=
，4
2
=
，
∴16 的算术平方根等于2．
5．
4
5 9
的值等于（ ）
试卷第13 页，共66 页
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A．2
5 3
B．5
−
C．
7
3
D．7
3
【答案】D
【分析】先把4
5 9 化为假分数49
9 ，再算
49
9
即可．
【详解】解：∵4
5 9 4
49
59
9
9
＋
＝
＝
，
又∵算术平方根的结果为非负数，
∴
4
49
7
5 9
9
3
＝
＝
．
6．下列说法正确的是（ ）
A．6
−没有平方根
B．4 的平方根是2
C．(
)
2
3
−
的算术平方根是3
−
D．8 的立方根是2
【答案】A
【详解】解：根据平方根的性质，负数没有平方根. ∵6
0
−
，∴6
−没有平方根，A 选项正确；
∵
2
( 2)
4
=
，∴4 的平方根是2
，B 选项错误；
∵
2
( 3)
9
3
−
=
= ，且算术平方根为非负数，∴3的算术平方根是3 ，不是3
−，C 选项错；
∵
3
2
8
=
，∴8的立方根是2 ，D 选项错误.
二、填空题
7．2 4
−的相反数是______ ；1
9 的算术平方根是______ ．
【答案】 8 1
3
【分析】先根据有理数乘法法则计算2 4
−的结果，再根据相反数的定义求解第一个空，最后根据算术平方
根的定义求解第二个空.
【详解】解：计算乘积得
2 4
8
−= −. 根据相反数的定义，8
−的相反数是8.
因为
2
1
1
3
9
=
，且算术平方根为非负数，所以1
9 的算术平方根是1
3 .
8．如图，正方形ABCD的面积为6，它的顶点A在数轴上，且表示的数为2．以点A为圆心，AD长为半径
画弧，交数轴于点E （点E 在点A的左侧），则点E 所表示的数为___________．
试卷第14 页，共66 页
【答案】2
6
−
【分析】根据正方形的面积公式求得边AD的长，即为AE 的长，结合点E 在点A的左侧，利用数轴上两点
间的距离关系即可得到点E 所表示的数．
【详解】解：由正方形面积公式得
2
6
AD =
，
6
AD
=
（负值舍），
由作图可知
6
AE
AD
=
=
，
顶点A在数轴上，且表示的数为2，点E 在点A的左侧，
点E 表示的数为2
6
−
．
9．已知x 的平方根是
3
a + 与2
12
a −
，则x 的算术平方根是______．
【答案】6
【分析】利用正数的两个平方根互为相反数求出a 的值，再求出x ，最后计算x 的算术平方根．
【详解】解：∵x 的平方根是
3
a + 与2
12
a −
，
∴(
) (
)
3
2
12
0
a
a
+
+
−
=
，
整理得3
9
0
a−=
，
解得
3
a = ，
将
3
a = 代入得，其中一个平方根为
3
6
a + =
，
∴
2
6
36
x =
=
，
∴36的算术平方根为6 ．
三、解答题
10．求下列各数的算术平方根：
(1)64；
(2)225；
(3) 9
16 ．
【答案】(1)8
试卷第15 页，共66 页
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(2)15
(3) 3
4
【详解】（1）解：∵
2
8
64
=
，
∴64 的算术平方根是8；
（2）解：∵
2
15
225
=
，
∴225 的算术平方根是15；
（3）解：∵
2
3
9
4
16
=
，
∴9
16 的算术平方根是3
4 ．
11．化简：
(1) 100 ；
(2)
25
49 ；
(3)
2
13 ．
【答案】(1)10
(2) 5
7
(3)13
【详解】（1）解：
2
100
10
10
=
=
；
（2）解：
2
25
5
5
49
7
7
=
=
；
（3）解：
2
13
13
=
.
12．计算：
(1)
(
)
2
16
2
3
−−
+ −
(2) (
)
2
2
3
8
x +
=
；
【答案】(1)11
(2)
1
1
x = −，
2
5
x = −
【分析】（1）先运算算术平方根，绝对值，乘方，再运算加减法，即可作答．
试卷第16 页，共66 页
（2）方程同时除以2，再开平方，即可作答．
【详解】（1）解：
(
)
2
16
2
3
−−
+ −
4 2 9
=
−+
11
=
；
（2）解：∵(
)
2
2
3
8
x +
=
，
则(
)
2
3
4
x +
=
，
∴
3
2
+ =
x
，
解得
1
1
x = −，
2
5
x = −
算术平方根的非负性
一、单选题
1．下列没有算术平方根的是（ ）
A．5
−
B．0
C．6
D．
2
【答案】A
【分析】本题考查算术平方根的性质，解题关键是掌握只有非负数才有算术平方根，负数没有算术平方根，
只需判断各选项数的正负性即可．
【详解】解：选项A：5
−是负数，因此没有算术平方根；
选项B：0 是非负数，算术平方根为0 ；
选项C：6 是正数，有算术平方根；
选项D：
2
2
=
，是正数，有算术平方根．
2．若
2
a
a
=
，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
0
a
B．
0
a
C．
0
a
D．a 为任意实数
【答案】A
【分析】利用算术平方根的非负性即可确定a 的取值范围．
【详解】解：
2
a
a
=
，，
∵
2
a
a
=
，
∴a
a
=
，
题型04
试卷第17 页，共66 页
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根据绝对值的性质，绝对值等于自身的数是非负数，
∴
0
a
．
3．关于代数式7
4
x
−
+
的值说法正确的是（ ）
A．
0
x =
时最小
B．
4
x = −时最大
C．
0
x =
时最大
D．
4
x = −时最小
【答案】B
【分析】根据算术平方根的非负性，分析代数式7
4
x
−
+
的取值变化，判断其最值对应的x 值即可．
【详解】解：∵算术平方根的值为非负数，
∴
4
0
x + ≥，
∵代数式7
4
x
−
+
中，被减数7 固定，
4
x +
越小，代数式的值越大，
∴当
4
x +
取最小值0 时，代数式取得最大值，令
4
0
x +
=
，
解得
4
x = −，又
4
x +
不存在最大值，因此代数式不存在最小值，
故
4
x = −时，代数式7
4
x
−
+
的值最大．
4．若一直角三角形的两边长x，y 满足
(
)
2
1
2
0
x
y
−+
−
=
，则此三角形第三边的边长为（ ）
A．3
B．3 或3
C．3 或5
D．5 或3
【答案】D
【分析】先利用非负数的性质求出x 和y 的值，再分两种情况结合勾股定理计算第三边，需要考虑已知两边
均为直角边，或较长边为斜边两种情况．
【详解】解：∵
1
0
x −
，
2
(
2)
0
y −
，且
2
1
(
2)
0
x
y
−+
−
=
∴
1
0
x −=
，
2
(
2)
0
y −
=
，
解得
1
x = ，
2
y =
分两种情况计算第三边：
(1)当x ，y 都为直角边时，第三边为斜边，由勾股定理得：
第三边长
2
2
1
2
5
=
+
=
，
(2)当y 为斜边，x 为直角边时，第三边为另一条直角边，由勾股定理得：
第三边长
2
2
2
1
3
=
−
=
，
试卷第18 页，共66 页
∴此三角形第三边的边长为5 或
3 ．
二、填空题
5．已知
3
2
a +
=
，则a 的值是__________．
【答案】1
【详解】解：∵
3
2
a +
=
，
∴
3
4
a + =
，
解得：
1
a = ．
6．若(
)
2
4
2
3
0
a
b
c
−
+
+
+
−
=
，则abc = ______．
【答案】24
−
【分析】先根据非负数的性质求出
4
a =
，
2
b = −，
3
c = ，再代入所求代数式计算即可得出结果．
【详解】解：∵(
)
2
4
2
3
0
a
b
c
−
+
+
+
−
=
，(
)
2
4
0
a −
，
2
0
b+
，
3
0
c −
，
∴
4
0
a −
=
，
2
0
b+
= ，
3
0
c −
=
，
∴
4
a =
，
2
b = −，
3
c = ，
∴
(
)
4
2
3
24
abc =
−
= −
．
三、解答题
7．若a
b
c
、、是ABC
的三边长，且a
b
c
、、满足(
)
2
2
7
3
0
a
b
c
−
+
−
+
−
=
．
(1)求a
b
c
、、的值；
(2) ABC
是直角三角形吗？请说明理由．
【答案】(1)
2
a =
，
7
b =
，
3
c = ；
(2) ABC
是直角三角形．
【分析】( )
1 根据“几个非负数的和为0 ，则每个非负数都为0 ”求出a
b
c
、、的值；
( )
2 计算两条较短边的平方和，验证是否等于最长边的平方，即可判断ABC
是否为直角三角形．
【详解】（1）解：∵(
)
2
2
7
3
0
a
b
c
−
+
−
+
−
=
且(
)
2
2
0
a −
，
7
0
b −
，
3
0
c −
，
∴
2
0
a−
=
，
7
0
b−
=
，
3
0
c −
=
，
解得
2
a =
，
7
b =
，
3
c = ；
（2）解：ABC
是直角三角形，理由如下：
试卷第19 页，共66 页
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∵
2
a =
，
7
b =
，
3
c = ，其中c 是最长边，
∴
(
)
(
)
2
2
2
2
2
7
2
7
9
a
b
+
=
+
=
+
=
，
2
2
3
9
c =
=
，
∴
2
2
2
a
b
c
+
=
，
∴ABC
是直角三角形．
算术平方根的估算
一、单选题
1．估计
29 的值（ ）
A．在4 到5 之间 B．在3 到4 之间
C．在5 到6 之间
D．在6 到7 之间
【答案】C
【分析】使用夹逼法估计无理数的大小，只需找到与29 相邻的两个完全平方数，即可确定
29 的取值范围．
【详解】解：
2
5
25
=
，
2
6
36
=
，且25
29
36
，
6
2
25
3
9
，即5
29
6
，
因此
29 的值在5 到6 之间．
2．已知n 是整数，且
68
1
n
n
+ ，则n 的值是（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
【答案】A
【分析】本题利用算术平方根的性质，即被开方数越大，对应的算术平方根越大，通过比较68与相邻整数
平方的大小，确定
68 的取值范围，即可得到整数n 的值．
【详解】解：∵
2
8
64
=
，
2
9
81
=
，
∴64
68
81
，
不等式两边同时开算术平方根，得8
68
9
，
∵
68
1
n
n
+ ，且n 为整数，
∴
8
n = ．
3．估计61
3
−的值应在（）
A．2 到3 之间
B．3 到4 之间
C．4 到5 之间
D．5 到6 之间
【答案】C
题型05
试卷第20 页，共66 页
【分析】本题用夹逼法估算无理数的范围，先找出与61 相邻的两个完全平方数，确定
61 的范围，再推导
61
3
−的取值范围．
【详解】解：∵49
61
64
，
∴
49
61
64
，即7
61
8
，
不等式两边同时减3，得7
3
61
3
8 3
−
−−，
即4
61 3
5
−
，
∴
61
3
−的值在4 到5 之间．
二、填空题
4．若
1
28
n
n
−
，其中n 为正整数，则n =_______．
【答案】6
【分析】找到与28 相邻的两个完全平方数，确定
28 的取值范围，再结合已知不等式求出正整数n 的值．
【详解】解：
25
28
36
，
25
28
36
，
即5
28
6
，
又
1
28
n
n
−
，且n 为正整数，
6
n
=
．
三、解答题
5．根据下表回答下列问题：
x
14
14.1
14.2
14.3
14.4
14.5
14.6
14.7
14.8
14.9
x²
196
198.81
201.64
204.49
207.36
210.25
213.16
216.09
219.04
222.01
(1)
213.16 =_______，20736 =__________，0.020164 = __________
(2)
22000 与哪个整数最接近？求2.1 的近似值（结果精确到0.01）；
(3)若143
144
n
，则满足条件的整数n 有__________个．
【答案】(1)14.6；144；0.142
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(2)148；1.45
(3)286
【分析】观察表格中数据，找到对应的数据即可解决问题．
【详解】（1）解：观察表格中数据，发现：当
14.6
x =
时，
2
213.16
x =
，
∴
213.16
14.6
=
；
当
14.4
x =
时，
2
207.36
x =
，
∴
20736
207.36 100
207.36
100
14.4 10
144
=
=
=
=
；
当
14.2
x =
时，
2
201.64
x =
，
∴0.020164
201.64 10000
201.64
10000
14.2 100
0.142
=
=
=
=
；
（2）解：∵21904
22000
22201
，
∴148
22000
149
，
∵22000 与21904 更接近，
∴与
22000 最接近的整数是148；
∵2.0736
2.1
2.1025
，且2.1 与2.1025 更接近，
且
2.1025
210.25 100
210.25
100
14.5 10
1.45
=
=
=
=
，
∴
2.1
1.45
；
（3）解：∵204.49
14.3
=
，207.36
14.4
=
，
∴
20449
143
=
，
20736
144
=
，
∵143
144
n
，
∴
20449
20736
n
，
∴20449
20736
n
，
∴整数n 的个数为：20736
20449 1
286
−
−=
．
算术平方根整数部分的确定
一、单选题
1．已知
1
x + 的算术平方根是3，y 是14 的整数部分，则x
y
+
的值为（ ）
题型06
试卷第22 页，共66 页
A．11
B．9
C．7
D．5
二、填空题
2．若13 的整数部分为a，小数部分为b，求
2
a
b
+
的值为______．
3．若规定用符号
x 表示一个实数的整数部分，例如：[
]
3.36
3
= ，
3
1
=
，按此规定：
13 1
−
=
____．
4．若3
5
+
的整数部分是a，3
5
−
的整数部分是b，则a
b
+
的值为________．
三、解答题
5．已知：8
17
x
y
+
=
+
，其中x 是8
17
+
的整数部分，y 是8
17
+
的小数部分．
(1)填空：17 的整数部分是______，小数部分是______；
(2)求代数式
17
x
y
−
+
的值．
6．阅读下列材料：
∵
4
7
9
．即2
7
3
，∴7 的整数部分为2，小数部分为
7
2
−，仿照上例回答下列问题；
(1) 17 介于连续的两个整数a 和b 之间，且a
b
，那么a =______，b = ______；
(2)x 是17
2
+ 的小数部分，y 是17
1
−的整数部分，求x =______，y =______；
(3)在（2）的条件下求(
)
17
y
x
−
的平方根．
算术平方根的探究规律问题
一、单选题
1．若2026
45.01
，202.6
14.23
，则20.26 （ ）
A．0.4501
B．4.501
C．0.1423
D．1.423
【答案】B
【分析】根据被开方数的小数点向左（右）移动两位，则算术平方根的小数点向左（右）移动一位求解即
可．
【详解】解：∵
2026
20.26
100
=
，
∴
2026
2026
2026
20.26
100
10
100
=
=
=
，
题型07
试卷第23 页，共66 页
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又∵
2026
45.01
，
∴
45.01
20.26
4.501
10
=
．
2．某种编码规则为“开方密码”：一个数的算术平方根是其对应的密码．例如：数9对应的密码是9
3
=
，
数900对应的密码是900
30
=
．已知数2026对应的密码约为45.01，数202.6 对应的密码约为14.23，则数
20.26 对应的密码约为（ ）
A．0.4501
B．4.501
C．0.1423
D．1.423
【答案】B
【分析】根据算术平方根的性质，被开方数缩小为原来的1
100 ，它的算术平方根缩小为原来的1
10 ，利用该
性质结合已知条件即可求解．
【详解】解：∵一个数的算术平方根是其对应的密码，
∴数20.26 对应的密码为
20.26 ，
∵数2026对应的密码约为45.01，
∴
2026
45.01
，
∴
20.26
4.501
．
3．利用计算器计算出下表中各数的算术平方根如下：
…
0.0225
0.225
2.25
22.5
…
…
0.15
0.4743
1.5
4.743
…
根据以上规律，
2250 （ ）
A．47.43
B．15
C．474.3
D．150
【答案】A
【分析】先观察表格数据，总结被开方数与对应算术平方根的小数点移动规律，再根据规律计算所求结果.
【详解】解：由表格数据可得规律：被开方数的小数点向左或向右每移动2 位，算术平方根的小数点向相
同方向移动1 位，
∵22.5的小数点向右移动2 位得到2250，且
22.5
4.743
，
∴
2250 的结果是将4.743的小数点向右移动1 位，即2250
47.43
.
试卷第24 页，共66 页
二、填空题
4．已知2.14
1.463
，21.4
4.626
，则
214 ______；已知3 0.3
0.669
，3 3
1.442
，则3 300 ______．
【答案】 14.63 6.69
【分析】算术平方根的小数点移动规律：被开方数的小数点每向右（或向左）移动两位，它的算术平方根
的小数点就相应地向右（或向左）移动一位．
立方根的小数点移动规律：被开方数的小数点每向右（或向左）移动三位，它的立方根的小数点就相应地
向右（或向左）移动一位．
【详解】解：
214
100 2.14
10 1.463
14.63
=
=
=
；
3
3
300
1000 0.3
10 0.669
6.69
=
=
=
．
5．观察下列一组算式的特征及运算结果：①1 5
4
9
3
+
=
=
，②
2 6
4
16
4
+
=
=
，③
3 7
4
25
5
+
=
=
，…，请根据规律计算1 5
4
2 6
4
3 7
4
4 8
4
2026 2030
4
+
−
+
+
+
−
+
+
−
+
的值为______．
【答案】1013
−
【详解】解：∵1 5
4
9
3
+
=
=
，
2 6
4
16
4
+
=
=
，3 7
4
25
5
+
=
=
，……
规律为
2
2
(
4)
4
4
4
(
2)
2
n n
n
n
n
n
+
+
=
+
+
=
+
=
+
∴
2026 2030
4
2028
+
=
．
原式
3 4 5 6
2028
−
= −+ −+
(
) (
)
(
)
3
4
5
6
2027
2028
=
−
+
−
+
+
−
(
) (
)
(
)
1
1
1
= −
+ −
+
+ −
1 1013
−
=
1013
= −
．
6．观察下表规律：
a
0.04
4
400
40000
a
0.2
2
20
200
利用规律求值：若3.15
1.775
，31.5
5.612
，31500 ________．
试卷第25 页，共66 页
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【答案】177.5
【分析】先观察表格得到算术平方根的变化规律：被开方数的小数点每移动两位，算术平方根的小数点向
相同方向移动一位，将31500 的被开方数与已知被开方数对比，根据规律求解．
【详解】解：
2
31500
3.15 100
=
2
31500
3.15 100
100 3.15
=
=
又
3.15
1.775
100 3.15
100 1.775
177.5
=
．
三、解答题
7．阅读素材：
3
1
1
4
2
−
=
，
5
2
1
9
3
−
=
，
7
3
1 16
4
−
=
，
9
4
1
25
5
−
=
…按照此规律：
(1)初步探究：
①填空：
17
1
81
−
________________；
②计算：
3
5
7
89
1
1
1
1
4
9
16
2025
−
−
−
−
；
(2)迁移应用：计算：
5
7
9
91
1
1
1
1
4
9
16
2025
+
+
+
+
【答案】(1)①8
9 ；②1
45
(2)23
【分析】（1）①总结题中规律，即可解答；
②根据①中规律解答即可；
（2）总结题中规律，即可解答；
【详解】（1）解：①∵
3
1
1
1
4
4
2
−
=
=
，
5
4
2
1
9
9
3
−
=
=
，
7
9
3
1 16
16
4
−
=
=
，
9
16
4
1
25
25
5
−
=
=
…，
∴
2
2
1
1
(
1)
1
n
n
n
n
+
−
=
+
+ （n 是正整数，且
1
n ）；
∴
17
64
8
1
81
81
9
−
=
=
；
②根据①中规律可得：当
44
n =
时，
89
44
1
2025
45
−
=
，
∴
3
5
7
89
1
1
1
1
4
9
16
2025
−
−
−
−
试卷第26 页，共66 页
1
2
3
44
= 2
3
4
45
1
= 45 ．
（2）解：∵
5
9
3
1
4
4
2
+
=
=
，
7
16
4
1
9
9
3
+
=
=
，
9
25
5
1 16
16
4
+
=
=
，…，
∴
2
2
1
1
1
m
m
m
m
+
+
+
=
（m 是正整数，且
2
m
）；
最后一项中
2
2025
45
=
，2 45 1
91
+ =
，符合规律，
∴
5
7
9
91
1
1
1
1
4
9
16
2025
+
+
+
+
3
4
5
46
= 2
3
4
45
=23．
8．小明想要探究被开方数末尾带“0”时，算术平方根与立方根的变化规律．
已知1
1
= ，则100
10
=
，10000
100
=
；已知9
3
=
，则900
30
=
，90000
300
=
；
已知3 1
1
= ，则3 1000
10
=
，3 1000000
100
=
；已知3 8
2
=
，则3 8000
20
=
，3 8000000
200
=
；
(1)根据小明的发现，请填空：若
2.5
a =
，那么100a = ；若3
1.2
b = −
，那么3 1000000b = ．
(2)现有一个长方形，其长和宽分别用x ，y 来表示，且满足3
8
4
x
y
+
−
=
．
①求该长方形的周长C ．
②若将长方形的周长扩大为原来的100 倍，得到新的周长C，请利用（1）中所得规律，求出C的值．
【答案】(1)25；120
−
(2)①144；②120
【分析】（1）观察可知，被开平方的数的小数点每向右移动两位，那么其算术平方根的小数点就向右移动
一位，被开立方的数的小数点每向右移动三位，那么其立方根的小数点就向右移动一位，据此可得答案；
（2）①根据立方根的定义可得
3
8
4
64
x
y
+
−
=
=
，求出x
y
+
的值即可得到答案；②根据（2）①所求可得
C的值，求出C 的算术平方根，即可求出C的算术平方根．
【详解】（1）解：由题意得，若
2.5
a =
，那么100
25
a =
；
若3
1.2
b = −
，那么3 1000000
120
b = −
；
（2）解：①∵3
8
4
x
y
+
−
=
，
试卷第27 页，共66 页
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∴
3
8
4
64
x
y
+
−
=
=
，
∴
72
x
y
+
=
，
∴(
)
2
144
x
y
+
=
，
∴该长方形的周长C 为144；
②由（2）①得
14400
C=
，
∵
144
12
C =
=
，
∴
14400
120
C =
=
．
算术平方根的实际应用
一、单选题
1．关于“ 11 ”，下列说法不正确的是（ ）．
A．它是一个无理数
B．它可以用数轴上的一个点表示
C．它可以表示面积为11的正方形的边长
D．它不是实数
【答案】D
【分析】根据无理数定义，数轴的意义，正方形面积公式和实数的分类，逐一判断各选项，选出说法错误
的选项即可．
【详解】解：∵11 不是完全平方数，11 开方开不尽，
∴11 是无理数，A 选项说法正确，不符合题意；
∵所有实数都可以用数轴上的一个点表示，11 是实数，
∴它可以用数轴上的一个点表示，B 选项说法正确，不符合题意；
∵若正方形面积为11，设边长为a ，则
2
11
a =
且
0
a
，可得
11
a =
，
∴11 可以表示面积为11 的正方形的边长，C 选项说法正确，不符合题意；
∵11 是无理数，无理数属于实数，∴“它不是实数”的说法错误，D 选项符合题意．
2．图1 为由五个边长为1 的小正方形组成的图形，我们可以把它剪开后拼成一个正方形．以数轴上1
−表示
题型08
试卷第28 页，共66 页
的点为圆心，拼接的正方形的边长为半径画弧，交数轴于点A，如图2 所示，则点A表示的数是（ ）
A．5
B．3
C．3
1
+
D．5
1
−
【答案】D
【分析】根据正方形的面积由组成正方形的小正方形个数决定，计算即可得出拼接的正方形的边长；观察
作图过程得出拼接的正方形的边长=点A到1
−的距离，再根据实数与数轴的关系即可求解．
【详解】解：∵由五个边长为1 的小正方形组成的图形，我们可以把它剪开后拼成一个正方形
∴正方形的面积1 5
5
= =
∴拼接的正方形的边长
5
=
，
观察作图过程得出点A到1
−的距离
5
=
，
∴点A表示的数是
5 1
=
−．
二、填空题
3．如图1，把两个边长为1dm的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4 个直角三角形拼在一起，就可以
得到一个面积为
2
2dm 的大正方形；通过动手操作，小张同学把长为5dm ，宽为1dm的长方形如图2 所示进
行裁剪拼成一个正方形，则图中大正方形的边长为________dm．
【答案】5
【分析】先求出大正方形的面积，再求边长即可．
【详解】解：由题意可知，正方形的面积为
2
5 1
5dm
=
，
因此边长为5dm ．
三、解答题
4．阅读材料：在引入无理数2 时，如图1，是把两个边长为1 的小正方形沿对角线剪开，将所得的4 个直
试卷第29 页，共66 页
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角三角形拼在一起，就得到一个面积为2 的大正方形，设大正方形的边长为x ，则
2
2
x =
，从而求出
2
x =
，
就得到了大正方形的边长为2 ，借助此过程就可以将2 在数轴上表示出来．阅读后解答下列问题：
(1)上述材料中蕴含的数学思想是______思想；（填序号）
①数形结合 ②分类讨论 ③转化与化归
(2)类比阅读材料完成下列问题：
①某同学受到启发，把长为2，宽为1 的两个长方形沿着对角线（设为x ）剪开，将所得的4 个直角三角形
拼成如图2 所示的一个大正方形，求内部正方形的边长（即x 的值）；
②在数轴上画出表示1
5
−+
的点．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】(1)①
(2)①内部正方形的边长为5 ；②
【分析】（1）分析材料即可；
（2）①由图形面积之间的关系列方程求解即可；
②记1
−的对应点为A，1 的对应点为C ，在数轴上方作以AC 为底，
1
BC = 为高的三角形，连接AB ，以点
A为圆心，线段AB 长为半径画弧，在点A右侧与数轴的交点D 即为所求．
【详解】（1）解：上述材料中蕴含的数学思想是数形结合思想，
（2）解：①由题意得：
(
)
2
2
1
2 1
4
2 1
9
2
x +
=
+
=
，
2
5
x
=
，
∵x 是正方形的边长，
∴
0
x
，
试卷第30 页，共66 页
5
x
=
，
答：内部正方形的边长为5 ．
②略
立方根概念的理解
一、单选题
1．8的立方根是（ ）
A．2
−
B．2
C．2 2
D．2 2
【答案】B
【分析】根据立方根的定义：若
3x
a
=
，则x 是a 的立方根，计算出结果即可选出正确选项．
【详解】解：∵
3
2
2 2 2
8
=
= ，
∴ 8的立方根是2 ．
2．下列说法正确的是（ ）
A．负数没有立方根
B．如果一个数有立方根，那么它一定有平方根
C．一个数的立方根有两个，它们互为相反数
D．一个不为0 的数的立方根与被开方数同号
【答案】D
【详解】解：∵负数有立方根，例如3
8
2
−= −，∴A 选项错误；
∵负数有立方根，但负数没有平方根，∴ B 选项错误；
∵任意数都只有一个立方根，∴ C 选项错误；
∵正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，因此不为0 的数的立方根与被开方数同号，∴ D 选项正确．
3．要使3
3
a
a
=
成立，那么a 的取值范围是（ ）
A．
0
a
B．
0
a
C．
0
a
D．任意数
【答案】D
【详解】解：开立方与立方运算互为逆运算，任意实数都有立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根
题型09
试卷第31 页，共66 页
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是负数，0 的立方根是0 ，
对任意实数a ，都满足3
3
a
a
=
．
4．下列选项正确的是（ ）
A．8 的立方根是2
B．(
)
3
3
3
3
−
=
C．3
1
1
27
3
−
= −
D．立方根等于本身的数只有1 和0
【答案】C
【分析】根据立方根的定义分别判断即可．立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a 的立方根．
【详解】解：A. 8 的立方根是2 ，故该选项不正确，不符合题意；
B.
(
)
3
3
3
3
−
= −，故该选项不正确，不符合题意；
C.
3
1
1
27
3
−
= −
，故该选项正确，符合题意；
D. 立方根等于本身的数只有1
和0，故该选项不正确，不符合题意．
5．一个数的立方根等于它本身，且这个数的平方根也等于它本身，则这个数是（ ）
A．0
B．1
C．0 或1
D．0 或1
【答案】A
【详解】解：∵立方根等于本身的数为0, 1
，平方根为本身的数只有0，
故这个数为0.
6．下列说法：①2
−是4 的平方根；②16 的平方根是4；③125
−
的平方根是15；④0.25 的算术平方根是
0.5；⑤27
125 的立方根是
3
5
；⑥81 的平方根是9．其中正确的说法有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义逐项判断即可．
【详解】解：①、∵(
)
2
2
4
−
=
，∴2
−是4 的平方根，故①正确；
②、∵(
)
2
4
16
=
，∴ 16 的平方根是
4
，故②错误；
③、∵负数没有平方根，∴125
−
没有平方根，故③错误；
④、∵
2
0.5
0.25
=
，∴ 0.25 的算术平方根是0.5，故④正确；
⑤、∵
3
3
27
5
125
=
，∴27
125 的立方根是 3
5 ，故⑤错误；
试卷第32 页，共66 页
⑥、∵81
9
=
，(
)
2
3
9
=
，∴81 的平方根是3
± ，故⑥错误；
综上所述，正确的说法共2 个．
7．给出下列各式：3
10
4
2 27
3
=
，3 0.008
0.2
=
，3 0.01
0.1
=
，
3
3 ( 27)
27
−
−
= −
．其中正确的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】本题考查了立方根的定义与计算，掌握通过计算立方值来验证立方根的正确性是解题的关键．
逐一验证每个立方根表达式是否正确．
【详解】解：对于第一个：∵
10
64
2 27
27
=
，且 3 64
4
27
3
=
，∴ 正确；
对于第二个：∵
8
1
0.008
1000
125
=
=
，且 3 1
1
0.2
125
5
=
=
，∴ 正确；
对于第三个：∵
3
0.1
0.001
0.01
=
，∴ 3 0.01
0.1
，错误；
对于第四个：∵
(
)
3
3
27
27
−
= −
，∴
(
)
(
)
3
3
27
27
27
27
−
−
= −−
=
−
，∴ 错误；
综上，正确的个数为2 ．
故选：B．
8．已知3 10
2.154
，3 100
4.642
，那么3 10000 约为（ ）
A．21.54
B．215.4
C．46.42
D．464.2
【答案】A
【分析】对于立方根，若被开方数扩大为原来的1000倍，则开方后的数比原来扩大10 倍，据此解答即可．
【详解】解：
3
10000
10 1000
10 10
=
=
，
又
3 10
2.154
，
3 10000
10 2.154
21.54
=
．
9．如果一个数的立方根等于这个数本身，那么这个数是（ ）
A．0，1
B．1，1
−
C．0，1
−
D．0，1
【答案】D
【详解】解：0，1
的立方根等于本身．
二、填空题
10．已知
4
a =
，则3
8
a −
的值是_______．
试卷第33 页，共66 页
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【答案】2
【详解】解：
4
a =
，
2
4
16
a
=
=
，
把
16
a =
代入3
8
a −
得3
3
16 8
8
2
−
=
=
．
11．若3
2
x −
有意义，则x 的取值范围是_________．
【答案】任意实数
【分析】本题考查了立方根有意义的条件，熟练掌握立方根有意义的条件是解题的关键．
根据立方根的性质，立方根有意义的条件是被开方数可以是任意实数，因此x 的取值范围没有限制．
【详解】解：∵立方根运算3 y 对任意实数y 都有意义，
∴对于3
2
x −
，
2
x −可以是任意实数，
即x 的取值范围是任意实数．
故答案为：任意实数．
12．已知3 2
1.2599
=
，3 20
2.7144
=
，则3 0.02 =____________．
【答案】0.27144
【分析】本题考查立方根的运算性质，将0.02 变形为20 0.001
，再利用立方根的乘法性质拆分计算，结合
已知条件即可求出结果．
【详解】3
3
3
3
4
0.02
20 0.001
20
0.0
7
01
2
2
.714
0
4 0
.
4
.1
1
=
=
=
=
．
13．填空题．
（1）如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是 _________ ．
（2）3
1
27
−
= ___________________ ；(
)
3
3 8
= _____ ．
（3）3 64 的平方根是 _______ ；
64 的立方根是 _____ ．
【答案】 0 或1
1
3
−
8
2
2
【分析】（1）结合立方根的性质，得出0 或1
都满足自身的立方根等于它本身，即可作答．
（2）结合立方根的性质，进行计算，即可作答．
（3）先开立方根再算平方根得出3 64 的平方根是2
；先求出64 的算术平方根，再求出其立方根，即可作
答．
试卷第34 页，共66 页
【详解】解：（1）0 的立方根等于0，1的立方根等于1，1
−的立方根等于1
−
即如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是0 或1
；
（2）3
1
1
27
3
−
= −
，(
)
3
3
3 8
2
8
=
=
（3）先化简得3 64
4
=
，4 的平方根为
4
2
= ；
化简64
8
=
，8的立方根为2 ．
14．已知3
1
y −和3 3
2y
−
的值互为相反数，且3
21
x−
的平方根是它本身，则x
y
+
的平方根为_______．
【答案】3
±
【分析】根据相反数的性质得到两个立方根的等量关系，利用立方根的性质求出y 的值，再根据平方根的定
义求出x 的值，计算得到x
y
+
后，求其平方根即可．
【详解】解：∵3
1
y −和3 3
2y
−
互为相反数
3
3
1
3
2
0
y
y
−+
−
=
3
3
1
3
2
y
y
−= −
−
(
)
(
)
3
3
3
3
1
3
2
y
y
−
= −
−
(
)
1
3
2
y
y
−= −
−
解得
2
y =
3
21
x −
的平方根是它本身，平方根等于本身的数只有0 ，
3
21
0
x
−
=
解得
7.
x =
7
2
9
x
y
+
=
+
=
∵9的平方根是3
±
x
y
+
的平方根为3
± ．
15．观察下列各式：3
3
2
2
2
2
7
7
=
，3
3
3
3
3
3
26
26
=
，3
3
4
4
4
4
63
63
=
，3
3
5
5
5
5
124
124
=
，按照此规律，第8 个
等式是_____．
【答案】3
3
9
9
9
9
728
728
=
【分析】观察已知等式中各部分的数字特征，归纳出一般性规律，即可得到第8 个等式．
试卷第35 页，共66 页
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【详解】解：第1 个等式：(
)
(
)
(
)
(
)
3
3
3
3
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
1 1
1
+
+
+
=
+
+
−
+
−，
第2 个等式：(
)
(
)
(
)
(
)
3
3
3
3
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
1
2 1
1
+
+
+
=
+
+
−
+
−，
第3 个等式：(
)
(
)
(
)
(
)
3
3
3
3
3 1
3 1
3 1
3 1
3 1
1
3 1
1
+
+
+
=
+
+
−
+
−
，
第4 个等式：(
)
(
)
(
)
(
)
3
3
3
3
4 1
4 1
4 1
4 1
4 1
1
4 1
1
+
+
+
=
+
+
−
+
−，
，
第n 个等式：(
)
(
)
3
3
3
3
1
1
1
1
(
1)
1
(
1)
1
n
n
n
n
n
n
+
+
+
=
+
+
−
+
−，
∴第8 个等式为：3
3
9
9
9
9
728
728
=
．
三、解答题
16．求下列各数的立方根：
(1) 8
−
(2) 125
216
(3)0.125
【答案】(1) 2
−
(2) 5
6
(3)0.5
【分析】本题考查立方根的定义，理解立方根的定义是解答的关键．
（1）根据立方根的定义求解即可；
（2）根据立方根的定义求解即可；
（3）根据立方根的定义求解即可．
【详解】（1）解：因为(
)
3
2
8
−
= −，所以8
−的立方根是2
−，即3
8
2
−= −；
（2）解：因为
3
125
216
5
6
=
，所以125
216 的立方根是5
6 ，即3 125
5
216
6
=
；
（3）解：因为(
)
3
0.5
0.125
=
，所以0.125的立方根是0.5，即3 0.125
0.5
=
．
试卷第36 页，共66 页
17．化简：
(1) 3 27000 ；
(2) 3
125000
−
；
(3) 3
1000000
−
．
【答案】(1)30
(2) 50
−
(3) 100
−
【详解】（1）解：∵
3
30
27000
=
∴3 27000
30
=
；
（2）解：∵(
)
3
50
125000
−
= −
∴3
125000
50
−
= −
；
（3）解：∵(
)
3
100
1000000
−
= −
∴3
1000000
100
−
= −
．
18．已知3
2
a −
与3 2
7
a −
互为相反数，求a 的值．
【答案】
3
a =
【分析】本题考查了相反数、立方根、解一元一次方程的应用，解题的关键是能根据题意得出方程．
根据相反数及立方根的性质列出方程即可求解．
【详解】解：
3
2
a −
与3 2
7
a −
互为相反数，
3
3
2
2
7
0
a
a
−
+
−
=
，
(
) (
)
2
2
7
0
a
a
−
+
−
=
，即3
9
0
a−=
，
解得
3
a = ．
19．计算及解方程
(1)计算：
2
3
25
8
( 4)
−
−−
−
(2)解方程：(
)
3
1
27
x −
=
．
【答案】(1)3
试卷第37 页，共66 页
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(2)
4
x =
【分析】（1）先计算算术平方根，立方根，再计算加减即可求解；
（2）利用立方根即可求解．
【详解】（1）解：原式
(
)
5
2
4
5
2
4
3
=
−−
−
=
+
−
=
．
（2）解：开立方得，
1
3
x−= ，
∴
4
x = ．
20．阅读与思考
小明研究大数的立方根后写下如下报告．
以50653
−
的立方根为例求大数的立方根
①首先进行了估算：因为
3
3
10
1000100
10000001000
50653
1000000
=
=
，
，
，所以
3 50653 是两位数；
②其次观察了立方数：
3
3
3
3
3
3
3
1
1 2
8 3
27 4
64 5
125 6
216 7
343
=
=
=
=
=
=
=
，
，
，
，
，
，
，
3
3
8
512 9
729
=
=
，
，猜想个位数字是7 ；
③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为
3
3
3
27 4
64
=
=
，
，所以3 50653 的十
位数字应为3，于是猜想、验证，得50653的立方根是37 ；
④最后再依据“负数的立方根是负数”得到3
50653
37
−
= −
，同时发现结论：若两个数互
为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之，也成立．
请你根据小明的方法和结论，完成下列问题：
(1)计算：3 175616 =________．
(2)若3
3
3
3
6
0
x −
+
=
，则x =________．
(3)已知3
3
3
x
x
−
+
=
，求x 的值．
【答案】(1)56
(2) 1
−
(3)
3
x = 或
2
x =
或
4
x =
【分析】（1）参照题干材料进行猜想、验证，可得答案；
（2 ）根据被开方数互为相反数列出方程解答即可求解；
（3）将所给等式变形为3
3
3
x
x
−
=
− ，根据立方根等于它本身的数是0 ，1
−，1解答即可求解；
试卷第38 页，共66 页
本题考查了求一个数的立方根，熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键．
【详解】（1）解：因为
3
3
10
1000100
10000001000
175616
1000000
=
=
，
，
，
所以3 175616 是两位数；
其次观察立方数
3
3
3
3
3
3
3
1
1 2
8 3
27 4
64 5
125 6
216 7
343
=
=
=
=
=
=
=
，
，
，
，
，
，
，
3
3
8
512 9
729
=
=
，
，猜想个位数字是6 ；
接着将175616 往前移动3位小数点后约为175，因为
3
3
5
125 6
216
=
=
，
，
所以3 175616 的十位数字应为5，于是猜想、验证，得175616 的立方根是56；
得到3 175616
56
=
，
故答案为：56；
（2）解：
3
3
3
3
6
0
x−
+
=
，
3 3
3
x−
与3 6 互为相反数，
3
3
x
−与6 互为相反数，
3
3 6
0
x−
+
=
，
1
x
= −，
故答案为：1
−；
（3）解：
3
3
3
x
x
−
+
=
，
3
3
3
x
x
−
−
=
，
3
0
x
−= 或
3
1
x−= −或
3
1
x −= ，
解得
3
x = 或
2
x =
或
4
x =
．
立方根的性质
一、单选题
1．已知3 2m 是整数，则满足条件的正整数m 最小是（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16
【答案】B
【分析】先得出2m 是一个整数的立方，再根据要求满足条件的正整数m 最小解答即可．
题型10
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【详解】解：∵3 2m 是整数，
∴2m 是一个整数的立方，
又∵要求满足条件的正整数m 最小，
∴正整数m 最小是
2
2
4
=
，此时
3
2
2
m =
，符合题意．
二、填空题
2．若3
3
−
= −
a
，则a =___________．
【答案】27
【详解】解：∵3
27
3
−
= −，3
3
−
= −
a
，
∴27
a
−
= −，
∴
27
a =
．
3．已知(
)
3
1
8
x −
= ，则x 的值是_____．
【答案】3
【分析】根据立方根的定义，对等式两边同时开立方，转化为一元一次方程，求解即可得到x 的值.
【详解】解：∵(
)
3
1
8
x −
= ，
∴
1
2
x−=
，
解得：
3
x = .
三、解答题
4．求下列各式中x 的值：(1) (
)
2
3
2
27
x −
=
；(2) (
)
3
1
1
2
7
3 x +
−
=
【答案】(1)
5
x = 或
1
x = −
(2)
2
x =
【分析】（1）利用平方根定义解答；
（2）利用立方根定义解方程．
【详解】（1）解：(
)
2
2
9
x −
=
2
3
x −
=
2
3
x−
=
时，解得
5
x = ；
2
3
x −
= −时，解得
1
x = −．
（2）解：(
)
3
1
1
9
3 x +
=
试卷第40 页，共66 页
(
)
3
1
27
x +
=
1
3
x+ =
2
x =
．
5．计算(1)
3
3
3 8
1
7
2
125
27
4
9
+
−−
−
−
−
．(2)已知(
)
2
a −
的平方根是2
，(
)
2
7
a
b
+
+
的立方根是3，求
(
)
2
2
a
b
+
的算术平方根．
【答案】(1)
33
8
(2)
10
【分析】（1）根据平方根及立方根的定义分别化简，再计算加减法；
（2）根据平方根和立方根的定义，并结合题意可得，
2
4
a−
=
，12
7
27
b
+ +
=
，从而求得
6
a =
，
8
b =
，再
代入求得
2
2
100
a
b
+
=
，最后求算术平方根即可．
【详解】（1）解：原式
2
1
5
5
3
8
3
=
+
−
+
33
8
=
；
（2）解：∵
2
a−
的平方根为2
，
∴
2
4
a−
=
，
6
a =
，
∵2
7
a
b
+ + 的立方根为3，
∴2
7
27
a
b
+ +
=
，即12
7
27
b
+ +
=
，
∴
8
b =
，
∴
2
2
36
64
100
a
b
+
=
+
=
，
∵100
10
=
，
∴(
)
2
2
a
b
+
的算术平方根为10．
6．小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出1728
−
的立方根？他进行了如下步骤：①首先进行了估
算：因为
3
10
1000
=
，
3
100
1000000
=
，所以3 1728 是两位数；②其次观察了立方数：31
1
= ，3
2
8
=
，33
27
=
，
3
4
64
=
，
35
125
=
，
3
6
216
=
，
3
7
343
=
，
38
512
=
，
3
9
729
=
；猜想3 1728 的个位数字是2 ；
试卷第41 页，共66 页
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③接着将1728往前移动3位小数点后约为1，因为31
1
= ，
3
2
8
=
，所以3 1728 的十位数字应为1，于是猜想
3 1728
12
=
，验证得：1728的立方根是12；
④最后再依据“负数的立方根是负数”得到3
1728
12
−
= −
，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个
数的立方根也互为相反数；反之也成立．请你根据小明的方法和结论，完成下列问题：(1) 3
3375
−
= ；(2)
若3
3
5
4
10
x
x
−
= −
+
，则x = ；(3)已知3
2
2
x
x
−
+
=
，且3 3
1
y −与3 1 2x
−
互为相反数，求x ，y 的值．
【答案】(1)
15
-
(2)
5
(3)
1
2
3
x
y
=
=
或
2
4
3
x
y
=
=
或
3
2
x
y
=
=
【分析】（1）依照题干中的解题思路求出3 3375 ；
（2）由3
3
5
4
10
x
x
−
= −
+
可得关于x 的一元一次方程，解方程即可求出x 的值；
（3）根据3
2
2
x
x
−
+
=
可得3
2
2
x
x
−
=
−，由立方根等于它本身的数有0 和1
，可得：
2
x =
或3或1，分
别求出当
2
x =
或3或1时，3 1 2x
−
的值，再根据3 3
1
y −与3 1 2x
−
互为相反数，求出y 的值．
【详解】（1）解：
3
10
1000
=
，
3
100
1000000
=
，1000
3375 1000000
，
3 3375
是两位数，
35
125
=
，
3 3375
的个位数字应是5，
将3375的小数点向前移动3后约为3，
31
1
=
，
3
2
8
=
，
3 3375
的十位数字应为1，
3 3375
15
=
，
依据“负数的立方根是负数”得到：3
3375
15
−
= −
；
试卷第42 页，共66 页
（2）解：
3
3
5
4
10
x
x
−
= −
+
，
(
)
5
4
10
x
x
−
= −
+
，
解得：
5
x = ；
（3）解：
3
2
2
x
x
−
+
=
，
3
2
2
x
x
−
=
−
，
(
)
3
2
2
x
x
−
=
−，
2
0
x
−
=
或1或1
−，
2
x
=
或3或1，
当
1
x = 时，可得：
3
3 1 2
1
1
x
−
=
−= −，
3 3
1
y −
与3 1 2x
−
互为相反数，
3 3
1
1
y
−
= ，
解得：
2
3
y =
，
即
1
2
3
x
y
=
=
；
当
2
x =
时，可得：3
3
3
1 2
3
3
x
−
=
−= −
，
3 3
1
y −
与3 1 2x
−
互为相反数，
3
3 3
1
3
y
−=
，
即3
1
3
y −=
，
解得：
4
3
y =
，
即
2
4
3
x
y
=
=
；
当
3
x = 时，可得：3
3
3
1 2
5
5
x
−
=
−= −
，
3 3
1
y −
与3 1 2x
−
互为相反数，
3
3 3
1
5
y
−=
，
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即3
1
5
y −=
，
解得：
2
y =
．
平方根立方根的综合应用
一、单选题
1．若
3
3
11
25
a
b
c
=
=
=
，
，
，则a
b
c
，，的大小关系是（ ）
A． a
b
c
B． a
c
b
C． c
b
a
D． c
a
b
【答案】D
【分析】利用乘方法比较正数大小，带根号的正数同时乘相同次数的方去掉根号后，结果越大则原数越大，
据此依次比较得到三者的大小关系．
【详解】解：∵
3
a = ，
11
b =
，
3 25
c =
均为正数，正数乘方后大小关系与原数一致，
先比较a 与b ，将两数同时平方得：
2
23
9
a =
=
，
(
)
2
2
11
11
b =
=
，
∵ 9 11
，
∴ a
b
，
再比较a 与c ，将两数同时立方得：
3
33
27
a =
=
，
(
)
3
3
3 25
25
c =
=
，
∵ 25
27
，
∴ c
a
，
综上可得 c
a
b
．
二、填空题
2．一个正数的平方根分别是2
5
a −和2
1
a+ ，
30
b −
的立方根是3
−，则
a
b
+
的算术平方根为______．
【答案】2
【分析】先由题意，结合平方根与立方根定义分别求出a
b
、值，代入
a
b
+
求值后由算术平方根定义求解
题型11
试卷第44 页，共66 页
即可得到答案．
【详解】解：∵一个正数的平方根分别是2
5
a −和2
1
a+ ，
∴分两种情况：①2
5
2
1
a
a
−=
+ ；②(2
5)
(2
1)
0
a
a
−
+
+
=
；
当2
5
2
1
a
a
−=
+ 时，方程无解；
当(2
5)
(2
1)
0
a
a
−
+
+
=
时，解得
1
a = ；
∵
30
b−
的立方根是3
−，
(
)
3
30
3
27
b−
−
= −
=
，解得
3
b =
；
1 3
4
2
a
b
+
=
+
=
=
，
则
a
b
+
的算术平方根为2 ．
三、解答题
3．计算与解方程：
(1)
2
2
3
3
9
1
0.064
1
17
8
25
125
+
−
−
−
−
．
(2) (
)
2
2
1
8
x +
= ．
【答案】(1)76.2
(2)
1
1
x = ，
2
3
x = −
【分析】（1）先利用平方差公式、立方根的性质化简各项，再进行加减乘除混合运算即可；
（2）利用平方根的性质解方程即可．
【详解】（1）解：
2
2
3
3
9
1
0.064
1
17
8
25
125
+
−
−
−
−
(
)(
)
1
0.4
17
8 17
8
25
5
16
=
+
−
+
−
−
4
1
0.4
25 9
5
5
=
+
−
−
4
1
0.4
15
5
5
=
+
−
−
0.4 0.8 15 5
=
+
+
1.2
75
=
+
76.2
=
；
试卷第45 页，共66 页
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（2）解：(
)
2
2
1
8
x +
=
(
)
2
1
4
x +
=
，
1
2
x
+ =
或
1
2
x+ = −，
1
1
x
= ，
2
3
x = −．
4．已知a 是27 的立方根，b 是1
9 的算术平方根与
1
8
−
的立方根的和，c 是
6
a
b
+
的平方根．
(1)直接写出a ，b 的值，并比较a ，b ，a
b
−
的大小；
(2)求c 的所有可能值．
【答案】(1)
1
3,
6
−
，b
a
a
b
−
(2)
2
【分析】本题考查了立方根、算术平方根及实数的大小比较，解题的关键是掌握立方根和算术平方根的定
义，注意一个正数有两个平方根，
(1)中由27 的立方根得
3
a = ，由1
9 的算术平方根与
1
8
−
的立方根求和得
1
1
1
3
2
6
b =
−
= −
，再计算
1
19
3
6
6
a
b
−
=
−−
=
，比较三个数的大小；
(2)中先计算
1
6
3
6
2
6
a
b
+
=
+ −
=
，再由平方根的定义得
2
c =
．
【详解】（1）解：
a
是27 的立方根，
3 27
3
a
=
= ，
1
9
的算术平方根为
1
1
1
,
9
3
8
=
−
的立方根为3
1
1
8
2
−
= −
，
1
1
1
1
1
3
2
3
2
6
b
=
+ −
=
−
= −
，
1
1
19
3
3
6
6
6
a
b
−
=
−−
=
+
=
，
1
19
3
6
6
−
，
b
a
a
b
−；
（2）解：
1
6
3
6
3 1
2
6
a
b
+
=
+ −
=
−=
，
c
是
6
a
b
+
的平方根，
2
c
=
．
5．（1）已知5
2
a + 的立方根是3，3
1
a
b
+
−的算术平方根是4，c 是13 的整数部分，求3a
b
c
−
+ 的平方根．
试卷第46 页，共66 页
（2）一个正数x 的平方根分别是2
5
a −和2
1
a+ ，求正数x．
【答案】（1）4
；（2）9
【分析】本题考查了平方根和立方根的综合，熟练掌握相关定义列出方程是解题的关键．
（1）根据立方根和算术平方根的性质求出a，b 的值，再估算出13 的大小，可得c 的值，即可求解．
（2）根据平方根的性质可得2
5
2
1
0
a
a
−+
+ =
，求出a 的值，即可．
【详解】解：（1）∵5
2
a + 的立方根是3，
∴5
2
27
a +
=
，
解得
5
a =
，
又∵3
1
a
b
+
−的算术平方根是4，
∴3
1 16
a
b
+ −=
，
∵
5
a =
，
解得：
2
b = ，
∵c 是13 的整数部分，而3
13
4
，
∴
3
c = ，
∴3
16
a
b
c
−
+
=
，
∴3a
b
c
−
+ 的平方根是4
；
（2）∵正数x 的平方根分别是2
5
a −和2
1
a+ ，
∴2
5
2
1
0
a
a
−+
+ =
，
解得：
1
a = ，
∴正数
(
)
(
)
2
2
2
5
3
9
=
−
= −
=
x
a
．
程序问题
一、填空题
1．如图是小宇用电脑设计的一个程序计算，当输入x 的值是64 时，输出y 的值是______．
题型12
试卷第47 页，共66 页
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【答案】2
【详解】解：由程序计算图可得：当输入x 的值是64 时，则第一次输出结果为64
8
=
，3 8
2
=
，是有理数，
∴第二次输出结果为
2
y =
．
2．按如图所示的数值转换器原理进行运算，当输入的数x 为81 时，最终输出的数是_______．
【答案】3
【分析】根据数值转换器原理，输入 x 后先计算其算术平方根，若结果为有理数则继续取算术平方根，直
到结果为无理数时输出．
【详解】解：由算术平方根的定义判断可得：
当输入的数x 为81 时，81
9
=
，不是无理数，需要继续计算；
取算术平方根9
3
=
，不是无理数，需要继续计算；
取算术平方根3 ，是无理数，输出3 ．
故答案为：3 ．
3．根据图中的程序，当输入的x 为64 时，输出的y 值是______．
试卷第48 页，共66 页
【答案】2
【分析】本题考查求一个数的立方根，算术平方根，读懂题意是解题的关键．根据流程图逐步求解即可．
【详解】解：∵当
64
x =
，64
10
，
∴
3
3
3
3 64
4
4
y
x
=
=
=
=
，
∵4 不是无理数，进入循环，
当
4
x = ，4
10
，
∴
2
4
2
2
y
x
=
=
=
=
，
∵2 不是无理数，进入循环，
当
2
x =
，2
10
，
∴
2
y
x
=
=
，
∵
2 是无理数，退出循环，
∴输出
2
y =
．
故答案为：2 ．
4．有一个数值转换器，运算流程如图所示，当输入的x 值为64 时，输出的y 值是___________．
【答案】2
【分析】根据程序计算解答即可．
本题考查了程序式计算，熟练掌握算术平方根，立方根，无理数是解题的关键．
【详解】解：∵
64
x =
，
∴64
8
=
，是有理数，
∴3 8
2
=
，是有理数，
∴2 的算术平方根为2 ，是无理数，可以输出，
∴
2
y =
，
故答案为：2 ．
试卷第49 页，共66 页
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5．小明设计了一个如图所示的电脑运算程序：
（1）当输入x 的值是64 时，输出的y 值是________．
（2）分析发现，当非负数x 取________时，该程序无法输出y 值．
【答案】
2 0 或1
【分析】本题考查了实数，立方根，算术平方根，关键是掌握立方根及算术平方根的求解．
（1）按照计算流程计算，如果不满足输出条件，继续循环计算即可．
（2）按照计算流程，探索即可得出答案解：
【详解】解：（1）当x 值为64 时，则64 的算术平方根得8，
∴8 的立方根是2，
∴2 的算术平方根得是2 ，是无理数，
∴输出的数为2 ；
故答案为：2 ．
（2）依题意，按照计算流程发现最后都是无理数输出，
∴当非负数x 取0 或1 时该程序无法输出y 值，
故答案为：0 或1．
一、单选题
1．已知一个正方体的体积是
3
729cm ，现要在它的8 个角上分别截去1 个大小相同的小正方体，截去小正方
体后余下部分的体积恰好是
3
665cm ，则截去的每个小正方体的棱长是（ ）
A．6cm
B．4cm
C．2cm
D．1cm
【答案】C
【分析】设截去的每个小正方体的棱长是cm
x
，由题意得出
3
729
8
665
x
−
=
，整理得
3
8
x =
，再利用立方根
的定义解方程即可得出答案．
试卷第50 页，共66 页
【详解】解：设截去的每个小正方体的棱长是cm
x
，
由题意得：
3
729
8
665
x
−
=
，
整理得：
3
8
x =
，
解得：
2
x =
，
截去的每个小正方体的棱长是2cm ，
2．在如图所示的运算程序中，输入x 的值是64 时，输出的y 值是（ ）
A．3 2
B．2
C．2
D．8
【答案】B
【分析】根据算术平方根，立方根，无理数等内容，按照程序框图求解即可．
【详解】解：输入x 的值是64 时，取算术平方根可得，64
8
=
，
8是有理数，则取立方根，可得3 8
2
=
，
2 是有理数，则取算术平方根，可得2 ，
2 为无理数，则输出y ，
即
2
y =
．
3．若一直角三角形的两边长x，y 满足
(
)
2
1
2
0
x
y
−+
−
=
，则此三角形第三边的边长为（ ）
A．3
B．3 或3
C．3 或5
D．5 或3
【答案】D
【分析】先利用非负数的性质求出x 和y 的值，再分两种情况结合勾股定理计算第三边，需要考虑已知两边
均为直角边，或较长边为斜边两种情况．
【详解】解：∵
1
0
x −
，
2
(
2)
0
y −
，且
2
1
(
2)
0
x
y
−+
−
=
∴
1
0
x −=
，
2
(
2)
0
y −
=
，
解得
1
x = ，
2
y =
分两种情况计算第三边：
试卷第51 页，共66 页
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(1)当x ，y 都为直角边时，第三边为斜边，由勾股定理得：
第三边长
2
2
1
2
5
=
+
=
，
(2)当y 为斜边，x 为直角边时，第三边为另一条直角边，由勾股定理得：
第三边长
2
2
2
1
3
=
−
=
，
∴此三角形第三边的边长为5 或
3 ．
二、填空题
4．课本中有这样一句话：“利用勾股定理可以作出3 ，5 ……线段（如图所示）．”即：
1
OA = ，过A作
1 ⊥
AA
OA
且
1
1
AA = ，根据勾股定理，得
1
2
OA =
；再过
1A 作
1
2
1
A A
OA
⊥
且
1
2
1
=
A A
，得
2
3
=
OA
；…以此类推，则
2026
OA
=
_______．
【答案】
2027
【分析】利用勾股定理求得
1
2
OA =
、
2
3
=
OA
、
3
2
OA =
，观察归纳得
1
n
OA
n
=
+ ，即可求解．
【详解】解：∵
1
OAA 是直角三角形，
1
1
AA = ，
1
OA = ，
∴
2
2
1
1
1
2
OA =
+
=
；
∵
1
2
OA A
是直角三角形，
1
2
OA =
，
1
2
1
=
A A
，
∴
(
)
2
2
2
2
1
3
OA =
+
=
；
∵
2
3
OA A
△
是直角三角形，
2
3
1
A A = ，
2
3
=
OA
，
∴
(
)
2
2
3
1
3
4
2
OA =
+
=
=
；
⋯，
∴
1
n
OA
n
=
+ ，
试卷第52 页，共66 页
∴
2026
2026 1
2027
OA
=
+
=
．
5．若规定用符号
x 表示一个实数的整数部分，例如：[
]
3.36
3
= ，
3
1
=
，按此规定：
13 1
−
=
____．
【答案】2
【分析】先估算出13 的取值范围，再推导13
1
−的取值范围，最后根据题目规定的
x 的定义求出结果．
【详解】解：
23
9
=
，
2
4
16
=
，
3
13
4
，
不等式两边同时减1，得
2
13 1
3
−，
根据
x 表示实数的整数部分的定义，可得
13 1
2
−
=
．
三、解答题
6．实数, ,
a b c 在数轴上对应的点的位置如图所示．化简3
3
2
|
|
(
)
c
a
b
c
a
+
+
+
−
【答案】b
−
【分析】本题主要考查了二次根式的性质以及绝对值与数轴，正确化简各式是解题关键，直接利用数轴得
出各式的符号，进而化简得出答案．
【详解】解：由数轴可知：
0
b
c
a
，且b
a
，
0
c
a
−
，
0
a
b
+
，
3
3
2
|
|
(
)
c
a
b
c
a
+
+
+
−
(
)
(
)
c
a
b
a
c
=
−
+
+
−
c
a
b
a
c
= −−+ −
b
= −．
7．计算与解方程
(1)计算(
)
2
3
2
1
27
3
−
−
+
−
−
；
(2)解方程①
2
5
125
x =
；
试卷第53 页，共66 页
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②(
)
3
2
1
128
0
x−
+
=
．
【答案】(1)6
3
−
(2)①
5
x = 或
5
x = −；②
3
x
−
=
【分析】（1）先计算算术平方根、立方根、绝对值，再计算加减即可得出结果；
（2）①利用平方根的定义计算即可得出结果；
②利用立方根的定义计算即可得出结果．
【详解】（1）解：(
)
2
3
1
27
3
2
−
−
−
+
−
(
)
1
3
2
3
= −−
+ −
1 3
2
3
= + +
−
6
3
= −
；
（2）解：①∵
2
5
125
x =
，
∴
2
25
x =
，
∴
5
x = 或
5
x = −；
②∵(
)
3
2
1
128
0
x−
+
=
，
∴(
)
3
2
1
128
x−
−
=
，
∴(
)
3
1
64
x−
−
=
，
∴
1
4
x −= −，
∴
3
x
−
=
．
8．已知2
1
a−的平方根是3
，25
b
+ 的立方根是3，m 是a
b
+
的算术平方根．
(1)求a、b、m 的值；
(2)若m 的整数部分是x，小数部分是y，求y
x
−的值．
【答案】(1)
5
a =
，
2
b =
，
7
m =
(2)
7
4
−
【详解】（1）解：∵2
1
a−的平方根是3
，25
b
+ 的立方根是3，
试卷第54 页，共66 页
∴2
1
9,25
27
a
b
−=
+
=
，
∴
5,
2
a
b
=
=
，
∴
7
a
b
+
=
，
∵m 是a
b
+
的算术平方根，
∴
7
m =
；
（2）解：由（1）可知，
7
m =
且
4
7
9
，
∴2
7
3
，
∴
2
x =
，
7
2
y =
−，
∴
7
2
2
7
4
y
x
−
=
−
−
=
−
.
9．已知
2
a+
的立方根是2
−，
2
b−的算术平方根为3，
2
25
c =
，且
0
c
．
(1)求a ，b ，c 的值；
(2)求
3
b
a
c
−
+ 的平方根；
(3)求a
b
c
+ + 的立方根．
【答案】(1)
10
a = −
，
11
b =
，
5
c = −
(2) 6
(3)
3 4
−
【详解】（1）解：
2
a +
∵
的立方根是2
−，
2
8
a
+
= −，
10
a
= −
；
2
b−
的算术平方根为3，
2
9
b−
=
∴
，
11
=
b
2
25
c =
∵
，且
0
c
，
5
c
= −；
（2）解：由（1）可知：
10
a = −
，
11
b =
，
5
c = −，
∴
(
) (
)
3
11
30
5
36
b
a
c
−
+
=
−−
+ −
=
，
3
b
a
c
−
+
∴
的平方根为6
；
试卷第55 页，共66 页
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（3）解：
(
)
10 11
5
4
a
b
c
−
−
+
+
=
+
+ −
=
，
a
b
c
+ + 的立方根为
3 4
−
.
10．我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求24389
的立方根，华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结
果的吗？
下面是小超的探究过程，请补充完整：
(1)已知24389 是一个整数的立方，求3 24389 ；
①由
3
10
1000
=
，
3
100
1000000
=
，可以确定3 24389 是________位数；
②由24389 的个位上的数字是9，可以确定3 24389 的个位上的数字是________；
③如果划去24389 后面的三位389 得到数24，而
3
2
8
=
，
33
27
=
，可以确定3 24389 的十位上的数字是
________；由此求得3 24389 = ________
(2)已知592704 也是一个整数的立方，用类似的方法可以求3 592704 的值．
【答案】(1)①两；②9；
2
③，29
(2)84
【分析】先根据
3
10 和
3
100 的大小确定立方根的位数，再根据原数个位数字的立方的个位特征确定立方根的
个位数字，最后划去原数后三位，比较剩余数与相邻整数的立方，确定立方根的十位数字，即可得到结果．
【详解】（1）①
3
10
1000
24389
1000000
=
，
3
10
24389
100
，
3 24389
是两位数；
②
24389
的个位数字是9，0
9
中只有数字9的立方的个位数字是9，
3 24389
的个位数字是9；
3
3
2
8
24
27
3
=
=
③
，
3 24389
的十位数字是2 ，
3 24389
29
=
；
（2）
3
3
10
1000
592704
1000000
100
=
=
，
试卷第56 页，共66 页
3
10
592704
100
，
3 592704
是两位数，
592704
的个位数字是4 ，0
9
中只有数字4 的立方的个位数字是4 ，
3 592704
的个位数字是4 ，划去592704后三位，得到数592，
3
3
8
512
592
729
9
=
=
，
3 592704
十位数的数是8，
3 592704
84
=
．
一、单选题
1．如图，在数轴上方作一个4 4
的方格（每一方格的边长为1 个单位），依次连接四边的中点A，B，C，
D 得到一个正方形，点A落在数轴上，用圆规在点A的左侧的数轴上取点E ，使AE
AB
=
，若点A在原点
右侧且到原点的距离为1 个单位，则点E 表示的数是（ ）
A．
8
−
B．1
8
−
C．
6
−
D．1
6
−
【答案】B
【分析】本题主要考查数轴，算术平方根的应用，利用面积法求出AB 的长并熟练掌握数轴上两点间的距离
公式是解题关键．
根据A、B、C、D 为4 4
的方格各边中点可得正方形ABCD的面积等于4 4
的方格面积的一半，即可求出AB
的长，点A在原点右侧且到原点的距离为1 个单位可得点A 表示的数，根据数轴上两点间距离公式即可求
出点E 表示的数．
【详解】解：∵A、B、C、D 为4 4
的方格各边中点，
∴正方形ABCD的面积等于4 4
的方格面积的一半，
试卷第57 页，共66 页
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∴
2
1
4 4
8
2
AB =
=
，
∴
8
AB =
，
∵点A在原点右侧且到原点的距离为1 个单位，
∴点A 表示的数为1，
∵AE
AB
=
，
∴
8
AE =
，
∵点E 在点A 左侧，
∴点E 表示的数为1
8
−
，
故选：B．
二、填空题
2．如果
2
6
x −
与
2
y
+
互为相反数，那么x
y
+
的算术平方根是_________．
【答案】1
【分析】根据相反数的定义和非负数的性质求出x、y 的值，然后求出x
y
+
的值，最后根据x
y
+
的算术平
方根的定义求解即可．
【详解】解：∵
2
6
x −
与
2
y
+
互为相反数，
∴
2
0
2
6
y
x −
+
+
=
，
∴2
6
0
x −
=
，2
0
y
+
=
，
∴
3
x = ，
2
y = −，
∴
(
)
3
2
1
x
y
+
=
+ −
= ，
x
y
+
的算术平方根是1．
三、解答题
3．如图为一个数值转换器．
试卷第58 页，共66 页
(1)若输入的x 值为5，则输出的y 值为______；若输入的x 值为36，则输出的y 值为______；
(2)若输入x 值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y 值为7 ，求输入的x 的值；
(3)某同学输入的非负数x 值后，却始终不输出y 值，请你分析，他输入的x 值是？
【答案】(1) 5 ；
6
(2)49
(3)
0
x =
或1
【分析】（1）由数值转换器得到的式子，将x 值代入计算即可；
（2）逆向运用数值转换器计算即可；
（3）由题意得出取算术平方根始终为有理数，再由01，的算术平方根是其本身即可得到答案．
【详解】（1）解：由图中的数值转换器得到式子y
x
=
，
当
5
x = 时，
5
y =
；当
36
x =
时，
36
6
y =
=
，再将
6
x =
代入y
x
=
得
6
y =
；
（2）解：当
7
y =
时，(
)
2
7
7
=
，则
2
7
49
x =
=
；
（3）解：由于始终不输出y ，说明取算术平方根始终为有理数，根据01，的算术平方根是其本身，
∴当
0
x =
或1 时，始终输不出y 值．
4．对于三个正整数，计算其中任意两个数乘积的算术平方根，若这些算术平方根都是整数，那么称原来这
三个数为“漂亮数”，这些算术平方根中，最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平
方根”．例如：对于1，4，9 这三个数，1 4
2
=
，1 9
3
=
，4 9
6
=
，这些算术平方根都是整数，因
此，1，4，9 这三个数称为“漂亮数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6．
(1)1，9，24 这三个数________“漂亮数”（填“是”或“不是”）；
(2)请判断4，16，25 这三个数是不是“漂亮数”，若是，请求出其“最小算术平方根”；若不是，请说明理由；
(3)已知正整数9，25，m 是“漂亮数”，且
25
m
，若“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的3 倍，求m 的
值．
【答案】(1)不是
(2)是“漂亮数”，最小算术平方根为8
试卷第59 页，共66 页
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(3)
81
m =
【分析】（1）根据已知条件中的定义，先求出任意两个数乘积的算术平方根，然后判断即可；
（2）根据已知条件中的定义，先求出任意两个数乘积的算术平方根，然后进行解答即可；
（3）分别根据已知条件中的定义和最大算术平方根是最小算术平方根的3 倍，列出关于m 的方程，求出m
即可．
【详解】（1）解：对1，9，24计算任意两个乘积的算术平方根：1 9
3
=
，是整数；1 24
24
=
，不是
整数；根据定义，这三个数不是“漂亮数”．
（2）解：对4 ，16，25 计算任意两个乘积的算术平方根：4 16
64
8
=
=
，是整数；4 25
100
10
=
=
，
是整数；
16 25
400
20
=
=
，是整数；
所有算术平方根都是整数，因此这三个数是“漂亮数”．
三个算术平方根为8，10，20 ，
因此最小算术平方根是8．
（3）解：已知正整数9，25 ，m ，
25
m
，是“漂亮数”，
9 25
15
=
，是整数；
使9
3
m
m
=
是整数，可得
m 是整数，
设
m
k
=
，k 是正整数，则
2
m
k
=
．
由
25
m
得
5
k ，
此时
25
5
m
k
=
是整数，满足“漂亮数”要求．
三个算术平方根分别为15，3k ，5k ，
由
5
k 得3
15
k
，且5
3
k
k
，因此最小算术平方根为15，最大算术平方根为5k ．
根据题意得5
3 15
k =
，
解得
9
k =
，
因此
2
2
9
81
m
k
=
=
=
．
5．小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出1728
−
的立方根？他进行了如下步骤：
①首先进行了估算：因为
3
10
1000
=
，
3
100
1000000
=
，所以3 1728 是两位数；
②其次观察了立方数：31
1
= ，3
2
8
=
，33
27
=
，3
4
64
=
，35
125
=
，3
6
216
=
，3
7
343
=
，38
512
=
，3
9
729
=
；
小学
初中
试卷第60 页，共66 页
猜想3 1728 的个位数字是2 ；
③接着将1728往前移动3位小数点后约为1，因为31
1
= ，
3
2
8
=
，所以3 1728 的十位数字应为1，于是猜想
3 1728
12
=
，验证得：1728的立方根是12；
④最后再依据“负数的立方根是负数”得到3
1728
12
−
= −
，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个
数的立方根也互为相反数；反之也成立．
请你根据小明的方法和结论，完成下列问题：
(1) 3
3375
−
= ；
(2)若3
3
5
4
10
x
x
−
= −
+
，则x = ；
(3)已知3
2
2
x
x
−
+
=
，且3 3
1
y −与3 1 2x
−
互为相反数，求x ，y 的值．
【答案】(1)
15
-
(2)
5
(3)
1
2
3
x
y
=
=
或
2
4
3
x
y
=
=
或
3
2
x
y
=
=
【分析】（1）依照题干中的解题思路求出3 3375 ；
（2）由3
3
5
4
10
x
x
−
= −
+
可得关于x 的一元一次方程，解方程即可求出x 的值；
（3）根据3
2
2
x
x
−
+
=
可得3
2
2
x
x
−
=
−，由立方根等于它本身的数有0 和1
，可得：
2
x =
或3或1，分
别求出当
2
x =
或3或1时，3 1 2x
−
的值，再根据3 3
1
y −与3 1 2x
−
互为相反数，求出y 的值．
【详解】（1）解：
3
10
1000
=
，
3
100
1000000
=
，1000
3375 1000000
，
3 3375
是两位数，
35
125
=
，
3 3375
的个位数字应是5，
将3375的小数点向前移动3后约为3，
试卷第61 页，共66 页
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31
1
=
，
3
2
8
=
，
3 3375
的十位数字应为1，
3 3375
15
=
，
依据“负数的立方根是负数”得到：3
3375
15
−
= −
；
（2）解：
3
3
5
4
10
x
x
−
= −
+
，
(
)
5
4
10
x
x
−
= −
+
，
解得：
5
x = ；
（3）解：
3
2
2
x
x
−
+
=
，
3
2
2
x
x
−
=
−
，
(
)
3
2
2
x
x
−
=
−，
2
0
x
−
=
或1或1
−，
2
x
=
或3或1，
当
1
x = 时，可得：
3
3 1 2
1
1
x
−
=
−= −，
3 3
1
y −
与3 1 2x
−
互为相反数，
3 3
1
1
y
−
= ，
解得：
2
3
y =
，
即
1
2
3
x
y
=
=
；
当
2
x =
时，可得：3
3
3
1 2
3
3
x
−
=
−= −
，
3 3
1
y −
与3 1 2x
−
互为相反数，
3
3 3
1
3
y
−=
，
即3
1
3
y −=
，
解得：
4
3
y =
，
试卷第62 页，共66 页
即
2
4
3
x
y
=
=
；
当
3
x = 时，可得：3
3
3
1 2
5
5
x
−
=
−= −
，
3 3
1
y −
与3 1 2x
−
互为相反数，
3
3 3
1
5
y
−=
，
即3
1
5
y −=
，
解得：
2
y =
．
6．阅读与探究：
在第八章《实数》中，我们学习了平方根和立方根．下面类比平方根和立方根的学习方法理解四次方根．
(1)填表与定义
①填表
4x
1
16
81
x
1
___________
___________
②结合上述①中表格情况，类比平方根和立方根的定义，给四次方根下定义：
平方根的定义：一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根．
立方根的定义：一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根．
四次方根的定义：一般地，___________．
(2)思考与归纳
求一个数a 的四次方根的运算叫做开四次方．开四次方和四次方互为逆运算．
①探究：
81的四次方根是___________，16
81的四次方根是___________，0 的四次方根是___________．
4
−___________（填“有”或“没有”）四次方根．
②归纳：
根据上述①中正数、0 、负数情况，类比平方根和立方根的特征，归纳四次方根的特征：___________．
③总结：
我们归纳四次方根的特征时，分了正数、0 、负数三类进行研究，这种思想叫___________．
A．类比思想 B．分类讨论思想
C．由一般到特殊的思想 D．由特殊到一般的思想
试卷第63 页，共66 页
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(3)巩固与应用
类似于平方根和立方根，一个数a 的四次方根用符号“
4 a
”表示，读作“正、负四次根号a ”，其中a 是被开
方数，4 是根指数．例如
4 16
表示16 的四次方根，
4 16
2
= ．
①
4 625
=___________（将结果直接填到横线上）
②比较大小：1.5___________ 4 4 （填“<”或“=”或“>”）
【答案】(1)
①2
，3
；②如果一个数的四次方等于a ，那么这个数叫做a 的四次方根.这就是说，如果
4x
a
=
，那么x
叫做a 的四次方根
(2)
①3
，2
3
，0 ，没有；②正数有两个四次方根，它们互为相反数；0 的四次方根是0 ；负数没有四次方根；
③B
(3)
①5
；②&
;
gt
【分析】（1）①仿照平方根、立方根的求法，分别求出16、81的四次方根；②根据计算结果总结四次方根
的定义；
（2）①根据四次方根的定义分别求81、16
81、0 、4
−的四次方根；②归纳四次方根的特征；③我们归纳四
次方根的特征时，分了正数、0 、负数三类进行研究，这种思想叫分类讨论思想；
（3）①根据四次方根的定义求出结果；②分别求出1.5和4 4 的四次方，通过比较它们的四次方，比较两数
的大小．
【详解】（1）①解：(
)
4
2
16
=
，
若
4
16
x =
，则
2
x = ；
(
)
4
3
81
=
，
若
4
81
x =
，则
3
x = ；
②解：四次方根的定义：一般地，如果一个数的四次方等于a ，那么这个数叫做a 的四次方根；
（2）①解：(
)
4
3
81
=
，
81
的四次方根是3
；
试卷第64 页，共66 页
4
2
16
3
81
=
，
16
81
的四次方根是
2
3
；
4
0
0
=
，
0
的四次方根是0 ；
任何数的4 次方都不等于4
−，
4
−没有四次方根；
②解：正数有两个四次方根，它们互为相反数；0 的四次方根是0 ；负数没有四次方根；
③解：我们归纳四次方根的特征时，分了正数、0 、负数三类进行研究，这种思想叫分类讨论思想；
（3）①解：(
)
4
5
625
=
，
4 625
5
= ；
②解：
4
4
3
81
1.5
2
16
=
=
，(
)
4
4
64
4
4
16
=
=
，
又
81
64
16
16
，
4
1.5
4
．
一、单选题
1．下列实数中最大的是（ ）
A．π
B．
2
−
C．1
−
D．0
【答案】A
【分析】利用“正数大于0，0 大于负数”的基本性质即可求解．
【详解】解：∵所有负数都小于0 ，所有正数都大于0 ，又
2
−
，1
−是负数，0 不是正数，π
3.14
是正数，
∴
0
1
2
−−
，
因此最大的实数是．
2．实数a、b 在数轴上的位置如图所示，那么化简
2
a
b
a
−
−
的结果是（ ）
试卷第65 页，共66 页
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A．2a
b
−
B．b
C．b
−
D．2a
b
−
+
【答案】C
【分析】本题主要考查了化简绝对值，求一个数的算术平方根，实数与数轴，先根据数轴得到
0
b
a
，则
0
a
b
−
，据此化简绝对值，求算术平方根即可得到答案．
【详解】解；由题意得，
0
b
a
，
∴
0
a
b
−
，
∴
2
a
b
a
a
b
a
b
−
−
=
−
−
= −，
故选：C．
二、填空题
3．计算：
3
5
27
−+
−
=________．
【答案】2
【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，掌握立方根的定义是解题的关键．
分别计算绝对值和立方根，再进行加法计算即可．
【详解】解：
3
5
27
5 3
2
−+
−
= −=
，
故答案为：2．
4．计算(
)
3
0
1
π
1
16
2
−
−
+ −
+
的结果为__________．
【答案】
3
−
【详解】解：原式=1−8+4=−3．
5．若m ，n 为实数，且(
)
2
4
5
0
m
n
+
+
−
=
，则(
)
2
m
n
+
的值为______．
【答案】1
【分析】本题考查非负数的性质，根据平方式和算术平方数的非负数求得m、n 值，进而代值求解即可．
【详解】解：∵(
)
2
4
5
0
m
n
+
+
−
=
，
∴
4
0
m+
=
，
5
0
n−=
，
试卷第66 页，共66 页
解得
4
m = −，
5
n = ，
∴(
)
(
)
2
2
4
5
1
m
n
+
= −+
= ，
故答案为：1．
6．已知a、b 为两个连续整数，且a＜17 ＜b，则a+b=___．
【答案】9
【详解】解∵16<17<25，
∴4
17
5
∴a=4，b=5．
∴a+b=9，
故答案为：9．
三、解答题
7．计算：
(
)
2
0
1
9
(2026
π)
4
2
2
−
−
−
+
+ −
．
【答案】
2
−
【详解】解：√9 −(2026 −𝜋)0 + (
1
2)−2 + (−4) × 2
3 1
4
( 8)
=
−+
+ −
6 8
=
−
2
−
=
．
