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学科网（北京）股份有限公司 1 / 2.7 探索勾股定理（第二课时） 题型一：判断三边能否组成直角三角形 1．（24-25 八年级下·湖南娄底·期末）下列条件不能够判定 ABC 是直角三角形的是（ ） A． 35 A = ， 55 C = B． 15 a = ， 8 b = ，=17 c C．点D 是边AC 的中点， 1 2 BD AC = D． 2 3 A B C = = 2．（24-25 八年级下·湖北宜昌·期末）下列说法正确的是（ ） A．若a ，b ，c 是 ABC 的三边，则 2 2 2 a b c + = ． B．若a ，b ，c 是Rt ABC △ 的三边，则 2 2 2 a b c + = ． C．若a ，b ，c 是Rt ABC △ 的三边， 90 A = ，则 2 2 2 a b c + = ． D．若三条线段长a ，b ，c 满足 2 2 2 a c b − = ，那么这三条线段组成的三角形是直角三角形． 3．（24-25 八年级下·安徽安庆·期末）在 ABC 中， , , A B C 的对边分别是, , a b c ，下列命题中假命题是 （ ） 学科网（北京）股份有限公司 2 / A．若 : : 2:3:5 A B C = ，则 ABC 是直角三角形 B．若 : : 1: 2 : 3 a b c = ，则 ABC 是直角三角形 C．若 2 A B C += ，则 ABC 不一定是直角三角形 D．若 2 2 2 a b c + ，则 ABC 一定不是直角三角形 4．（24-25 八年级下·湖南岳阳·期末）下列条件无法判定 ABC 是直角三角形的是（ ） A． 1 2 3 A B C = : : : : B． 3 BC = ， 4 AC = ， 5 AB = C． A B C −= D． : : 2: 3 : 5 AB BC AC = 5．（24-25 八年级下·湖南株洲·期末）已知 ABC 的三条边分别为a b c ，，，下列条件不能判断 ABC 是直 角三角形的是（ ） A． : : 3:4:5 A B C = B． A B C = + C． 3, 4, 5 a b c = = = D． 2 2 2 a c b − = 6．（24-25 八年级下·河南许昌·期末）下列由线段a 、b 、c 组成的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A． 7 a = ， 24 b = ， 25 c = B． 3 a = ， 4 b = ， 5 c = C． 30 a = ， 40 b = ， 50 c = D． 40 a = ， 50 b = ， 60 c = 7．（24-25 八年级上·广西百色·期末）已知 ABC 中，a ，b ，c 分别是 A ， B ， C 的对边，下列条件 不能判断 ABC 是直角三角形的是（ ） A． A C B = − B． : : 2:3:4 A B C = C．( )( ) 2 b c b c a + − = D． 5 4 a = ， 3 4 b = ， 1 c = 8．（24-25 八年级下·江西赣州·期末）已知 ABC 中，, , a b c 分别是 , , A B C 的对边，则下列条件中不能 判断 ABC 是直角三角形的是（ ） A．: : 3:4:5 a b c = B． : : 6:8:10 A B C = C． A B C −= D． 2 2 2 a c b − = 9．（24-25 八年级下·福建福州·期末）满足下列条件的 ABC 中，不是直角三角形的是（ ） A． : : 3:4:5 A B C = B． 1 3 10 a b c = = = ， ， C． A B C = − D．( )( ) 2 b c b c a + − = 题型二：在网格中判断直角三角形 1．（23-24 八年级下·广西玉林·期末）如图，在4 4 方格中作以AB 为一边的Rt ABC △ ，要求点C 也在格点 学科网（北京）股份有限公司 3 / 上，这样的Rt ABC △ 能作出（ ） A．2 个 B．4 个 C．6 个 D．7 个 2．（24-25 八年级下·安徽亳州·期末）如图，在6 7 网格中，点A ，B ，C 都是网格线的交点，则 CAB 的 度数是（ ） A．30 B．45 C．50 D．60 3．（24-25 八年级下·河北邢台·期中）如图，在边长为1 的小正方形网格中，点A ，B ，C 均在网格的格点 上，下列结论不正确 ．．．的是（ ） A． 5 BC = B． 5 AB = C． 90 ACB = D． 10 ABC S = △ 4．（24-25 八年级下·陕西安康·期中）如图，小正方形的边长均为1，A 、B 、C 在小正方形的格点上，连接 AB ，BC ，AC ，则 ACB 的度数是（ ） A．45 B．30 C．90 D．60 5．（24-25 八年级下·湖北孝感·期中）如图，在4 4 网格中，每个小正方形的边长都相等，网格线的交点称 学科网（北京）股份有限公司 4 / 为格点.格点C 与图中的格点A ，B 可构成直角三角形，则这样的格点C 有（ ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 6．（24-25 九年级上·云南临沧·期末）如图所示的网格是正方形网格，点A 、B 、C 、D 、E 都是网格线交 点，则 ACB DCE − =（ ） A．30 B．45 C．60 D．90 7．（24-25 八年级下·山东临沂·期中）如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C 分别是小正方形的顶点， 则 ABC 的度数为（ ） A．30 B．40 C．45 D．50 8．（24-25 八年级下·广东惠州·期中）点A，B，C，D，E 是如图所示的正方形网格中网格线的交点，则 BAC CDE + =（ ） A．30 B．45 C．50 D．60 9．（2025·河北邢台·模拟预测）图是由小正方形拼成的网格，, A B 两点均在格点上，, C D 两点均为小正方形 一边的中点，直线AB 与直线CD交于点E ，则 BED =（ ） 学科网（北京）股份有限公司 5 / A．60 B．75 C．90 D．105 题型三：勾股定理的逆定理求线段长度 1．（24-25 八年级下·安徽合肥·期中）如图，在 ABC 中， 4 2 AB = ， 4 3 AC = ，AD是BC 边上的中线， 且 2 AD = ，则BC 的长为（ ） A．12 B．10 C．4 5 D．6 3 2．（24-25 八年级下·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，已知 ABC 中，AB 的垂直平分线交BC 于点D ，AC 的垂直平分线交BC 于点E ，点M N ， 为垂足， 3 BD = ， 4 DE = ， 5 EC = ，则AC 的长为（ ） A．3 2 B．3 3 C．3 5 D．3 10 3．（20-21 八年级上·陕西西安·期中）如图，D 为 ABC 的边BC 上一点，已知 10 AB = ， 8 AD = ， 17 AC = ， 6 BD = ，则BC 的长为（ ） A．18 B．21 C．20 D．23 4．（24-25 八年级上·重庆·期中）如图，在 ABC 中， 6 5 AB = ， 12 AC = ， 6 BC = ，将 ABC 折叠，得到 折痕DE ，且顶点B 恰好与点A 重合，点C 落在点F 处，则CE 的长为（ ）． 学科网（北京）股份有限公司 6 / A．4 B．9 2 C．5 D．3 10 5．（24-25 九年级上·四川泸州·期末）如图，在 ABC 中， 2 AC = ， 3 BC = ， 13 AB = ，D 是AB 边的中点， 则CD = ． 6．（24-25 八年级上·广东深圳·期中）如图所示，已知 2 10 AD CD = = ， 2 BD = ， 3 BC BD = ，则AB 的长 为 ． 题型四：勾股定理的逆定理求角度 1． （24-25 八年级下·四川南充·期末）如图，四边形ABCD中， 17 AB = ， 8 BC = ， 12 CD = ， 9 AD = ， 90 D ? ? ．则 ACB （ ） A．是锐角 B．是直角 C．是钝角 D．不确定大小 2．（24-25 八年级下·四川广安·期末）如图，在四边形ABCD中， 90 A = ， 2 AB AD = = ， 1 BC = ， 3 CD = ， 则 B 的度数为（ ） 学科网（北京）股份有限公司 7 / A．120 B．125 C．130 D．135 3．（24-25 八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，已知 90 4 2 6 A AC AB CD BD = = = = = ， ， ， ．则 ACD 的 度数为（ ） A．30 B．35 C．40 D．45 4．（24-25 八年级下·山西吕梁·期末）如图，ABC 中， : : 3:4:5 AC BC AB = ，点D 在BC 上，点E 为AB 的 中点，AD，CE 相交于点F ，且AD DB = ．若 35 B = ，则 DFE 的度数是 ． 6．（24-25 八年级下·福建福州·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，已知 4 2, 15, 17, 90 AB BC CD AD ABC = = = = = ，则 BCD 的度数为 ． 7．（2025 八年级下·全国·专题练习）如图， ABC 中，CD AB ⊥ ，垂足为D，E 为BC 边的中点， 4 AB = ， 2 AC = ， 3 DE = ，则 ACD = ． 学科网（北京）股份有限公司 8 / 题型五：勾股定理的逆定理求面积问题 1．（24-25 九年级下·广东河源·期中）如图，在四边形ABCD中， 90 2, 1, 6 B AB BC CD AD = = = = = ， ， 则四边形ABCD的面积为（ ） A．5 1 + B． 5 1 2 + C． 5 D．5 1 − 2． （24-25 八年级下·云南昭通·阶段练习）如图，四边形ABCD中， 90 B = ∠ ， 9m AB = ， 12m BC = ， 8 = CD m， 17m AD = ，则四边形ABCD的面积为（ ） A． 2 154m B． 2 122m C． 2 114m D． 2 108m 3． （24-25 八年级下·吉林松原·期末）已知一个三角形的三边长分别为 41、4、5，则此三角形的面积为（ ） A．20 B．10 C．2 41 D．5 41 2 4．（24-25 八年级下·西藏·期中）如图，四边形ABCD中， 90 B = ， 3 AB = ， 4 BC = ， 12 CD = ， 13 AD = ， 则四边形ABCD的面积是( ) A．36 B．37.5 C．40 D．42.5 5．（24-25 八年级下·广东惠州·阶段练习）如图，一块三角形木板，测得 10 AB = ， 6 BC = ， 8 AC = ，则三 角形木板ABC 的面积为（ ） 学科网（北京）股份有限公司 9 / A．15 B．24 C．30 D．不能确定 6．（24-25 九年级下·四川绵阳·开学考试）如图， 90 ADC = ， 4 = AD ， 3 CD = ， 13 AB = ， 12 BC = ，则 这个图形的面积为 ． 7．（24-25 八年级上·福建漳州·期中）如图，在四边形ABCD中， 90 A = ， 20 AB = ， 24 BC = ， 7 CD = ， 15 AD = ，则四边形ABCD的面积是 ． 题型六：勾股定理的逆定理综合解答题 1．（24-25 八年级下·天津红桥·期末）如图，在四边形ABCD中， 90 B ? ? ， 30 ACB = ， 2 AB = ， 5 AD = ， 3 CD = ， (1)求 BCD 的大小； (2)求四边形ABCD的面积． 学科网（北京）股份有限公司 10 / 2．（24-25 八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在四边形ABCD中， 24 AB = ， 26 BC = ， 8 AD = ， 6 CD = ， 90 ADC = ． (1)连接AC ，求AC 的长； (2)求四边形ABCD的面积． 3．（24-25 八年级下·广西钦州·期中）如图，在 ABC 中， 13 AB = ， 12 AC = ， 5 BC = ，DE 是AB 的垂直平 分线，DE 分别交AC ，AB 于点E ，D ． (1)求证： ABC 是直角三角形； (2)求CE 的长． 4．（24-25 八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图所示，已知等腰三角形ABC 的底边 20cm BC = ，D 是腰AB 上一点，且 16 CD cm = ， 12cm BD = ，求 ABC 的面积． 学科网（北京）股份有限公司 11 / 5． （24-25八年级下·江苏南通·期中）如图，在 ABC 中， 6 AB = ， 4 AC = ，点D为 ABC 内一点，且 =90 BDC ， 2 CD = ，BD AC = ． (1)求BC 的长； (2)求图中阴影部分的面积． 6．（24-25 八年级下·浙江台州·期中）如图，在 ABC 中，CD AB ⊥ 于点D． (1)已知 4 = AD ， 1 BD = ， 2 CD = ，求证： 90 ACB = ； (2)已知 90 ACB = ． ①若 3 AD = ， 2 BD = ，求CD的长； ②若设AD m = ，BD n = ，CD k = ，则m，n，k 的数量关系为__________． 7． （24-25 八年级下·广东东莞·期中）如图，四边形ABCD中， 90 B ? ? ， 4 AB = ， 3 BC = ， 2 CD = ， 29 AD = ． (1)求AC 的长度； (2)求四边形ABCD的面积． 学科网（北京）股份有限公司 12 / 题型七：勾股定理逆定理的实际应用 1．（24-25 八年级下·贵州遵义·期末）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一题：“问 有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”其大意是：有一块三角 形沙田，三条边分别为5 里，12 里，13 里，问这块沙田的面积为（ ） A．30 平方里 B．32.5 平方里 C．60 平方里 D．65 平方里 2．（24-25 八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在我国海军某次海上编队演习中，两艘航母护卫舰从同一 港口O同时出发，1号舰沿南偏东30方向以12节（1节1 = 海里/小时）的速度航行，2 号舰以16节的速度航 行，离开港口1.5小时后它们分别到达A B ，两点且相距30海里，则2 号舰的航行方向是（ ） A．北偏西30 B．南偏西30 C．南偏东60 D．南偏西60 3．（24-25 八年级上·山西晋中·期中）城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群 众生活质量的公益事业．如图，某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街清理出了一块 可以绿化的空地（阴影部分）．若 =90 BDC ， m 6 AB = ， 4m AC BD = = ， 2m CD = ，则这块可以绿化的 空地（阴影部分）的面积为（ ） A．( ) 2 8 5 4 m − B．( ) 2 8 5 8 m − C．( ) 2 4 5 4 m − D．( ) 2 4 5 8 m − 4．（24-25 八年级下·河北沧州·期末）如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机A，B， 且A，B 均位于地下管道AC 的同侧，售卖机A，B 之间的距离（AB ）为500 米，管道分叉口M 与B 之间 的距离为300 米，MN AB ⊥ 于点N，M 到AB 的距离（MN ）为240 米．假设所有管道的材质相同． 学科网（北京）股份有限公司 13 / (1)求B，N 之间的距离； (2)珍珍认为：从管道AC 上的任意一处向售卖机B 引出的分叉管道中，BM 是这些分叉管道中最省材料的， 请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 5．（24-25 八年级下·江西宜春·期末）城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群 众生活质量的公益事业．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力下，在临街的拐角清理出了一块可 以绿化的空地，如图， 8m AB = ， 6m BC = ， 24m CD = ， 26m AD = ， 90 ABC = ，现计划在空地内种草， 若每平方米草地造价40 元，则这块地全部种草的费用是多少元？ 6．（24-25 八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，某港口P 位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天” 号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 海里，“海天”号每小时航行12海里．它 们离开港口一个半小时后分别位于点 , Q R 处，且相距30 海里．已知“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号 沿 方向航行． 学科网（北京）股份有限公司 14 / 7．（24-25 八年级下·河北唐山·期中）如图是某工厂的平面图经测量 100m 100 3m 90 AB AD CD BC ADC = = = = = ， ， ． （1）则 BAD = 度； （2）已知EF 是在AB 边上药厂的进出口，为了能观察到进出口周围环境情况，工作人员计划在点E 处安装 一个摄像头，且摄像头能监控的最远距离为100m，若 ( ) 100 60 2 m BE = − ，则直线AD上被摄像头监控的 公路长度为 米． 题型一：最短路径之圆柱体上的问题 1．（24-25 八年级下·安徽安庆·期末）如图，圆柱形玻璃杯高为7cm ，底面周长为16cm．在杯内离杯底2cm 的点C 处有滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁 ．．，离杯上沿1cm与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜C 点的最短距离为（ ） A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm 2．（24-25 八年级下·河北张家口·期末）如图是一个底面周长为10cm，高AB 为12cm的圆柱模型，BC 是底 面直径．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C 两点（接头不计），则装饰带的长度 最短为（ ） 学科网（北京）股份有限公司 15 / A．2 61cm B．4 61cm C．13cm D．26cm 3．（24-25 八年级下·内蒙古通辽·期中）如图，圆柱体的底面周长为6cm，AB 是底面圆的直径，在圆柱表 面的高BC 上有一点D， 2 BD CD = ， 6 BC cm = ，一只蚂蚁从A 点出发，沿圆柱的表面爬行到点D 的最短路 程是（ ） A．6cm B．5cm C．3cm D．2 13cm 4．（24-25 八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在底面周长约为8 米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一 条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2 圈到达柱顶正上方（从点A 到点C，B 为AC 的中点），每根石柱刻 有雕龙的部分的柱身高约12 米，则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少为（ ） A．10 米 B．12 米 C．16 米 D．20 米 5．（24-25 七年级下·广西玉林·期末）2025 年中国轮滑（滑板）公开赛于5 月2 日在江西崇义站举行，标志 着我国乡村体育发展的新突破．如图是一名滑板选手训练的U 型池的示意图，该U 型池可以看成是长方体 去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为80 π 米的半圆，其边缘 40 AB CD = = 米，点E在CD 上， 10 CE = 米，该选手从A 点滑到E 点，则他滑行的最短距离为 米． 学科网（北京）股份有限公司 16 / 6．（24-25 八年级下·浙江台州·期中）如图，有一个圆柱，它的高为12cm，底面圆的周长为10cm，在圆柱 下底面的点A 处有一只蚂蚁，求它从点A 出发沿圆柱表面爬行到上底面与点A 相对的点B 处的最短路径 是 ． 7．（24-25 八年级下·湖南郴州·期中）如图，半径为1，高为3 的圆柱体，一只甲壳虫从点A 到点B ，则甲 壳虫的最短路程为 ． 题型二：最短路径之长方形上的问题 1．（24-25 八年级下·云南西双版纳·期中）如图，正方体的棱长长为3，一只蚂蚁从点A 出发，沿长方体表 面到点B 处吃食物，那么它爬行最短路程是（ ） A． 45 B．3 5 C． 29 D．53 2．（24-25 八年级下·全国·假期作业）如图，有一个长方体．如果用一根细线从点A 开始经过4 个侧面缠绕 一圈到达点B，那么所用细线最短需要（ ） 学科网（北京）股份有限公司 17 / A．12cm B．11cm C．10cm D．9cm 3．（24-25 八年级下·广东韶关·期末）如图，在桌面上放置一个棱长为3cm 的正方体，点B 为一条棱上的点， 且 1cm BC = ，蚂蚁在正方体表面爬行，从顶点A 爬行到点B 的最短路程是（ ） A．10cm B．37cm C．7cm D．2 10cm 4．（2025 八年级下·河南·专题练习）如图，用7 个棱长为1 的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表 面从点M 到点N 的所有路径中，最短路径的长是（ ） A．5 B．5 8 + C． 20 1 + D．2 2 5 + + 5．（2025 八年级下·河南·专题练习）如图，长方体的底面是边长为6 的正方形，侧面都是长为13 的长方形， 点D 是BC 的中点，在长方体下底面的A 点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点D 处的蜂蜜，则沿着表面需要 爬行的最短路程n 的值为（ ） A．2 73 B．5 10 C．370 D．205 6．（24-25 八年级上·四川成都·期中）在一个长6 米，宽为6 米的正方形草地上，如图堆放着一根三棱柱的 木块，它的侧棱长平行且大于场地宽AD，木块的主视图的高是 3 米的正三角形，一只昆虫从点A 处到C 学科网（北京）股份有限公司 18 / 处需要走的最短路程是 米． 7．（24-25 八年级下·四川绵阳·期中）如图，长方体的底面是边长为1cm的正方形，高为3cm ．如果用一根 细线从点A 开始经过4 个侧面缠绕一圈到达点B，则所用细线最短需 cm． 8．（24-25 八年级下·河北邢台·期中）如图1，在棱长为2cm 的立方体纸盒的顶点A 处有一只蚂蚁，在另一 顶点B 处有一粒糖． (1)现甲、乙、丙三人分别为这只蚂蚁设计了一条爬行路线，使它沿着立方体表面上的这一条路线爬行到点B 处，如图2 所示．请通过计算分析，甲、乙、丙中谁设计的爬行路线最长？谁设计的爬行路线最短？ (2)将题干中的立方体纸盒改为长、宽、高分别为5cm，4cm ，3cm 的长方体纸盒（如图3），其他条件不变， 试通过分析求蚂蚁经过的最短路程． 学科网（北京）股份有限公司 19 / 题型三：勾股定理逆定理的拓展问题 1．（24-25 八年级下·河南信阳·期中）阅读下列内容： 设a ，b ，c 是一个三角形的三条边的长，且a 是最长边，我们可以利用a ，b ，c 三边长间的关系来判断这 个三角形的形状：①若 2 2 2 a b c = + ，则该三角形是直角三角形；②若 2 2 2 a b c + ，则该三角形是钝角三角 形；③若 2 2 2 a b c + ，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4 ，5，6 ，则最长 边是6 ，由于 2 2 2 6 36 4 5 = + ，由结论③可知该三角形是锐角三角形．请解答以下问题： (1)若一个三角形的三边长分别是6 ，7 ，8，则该三角形是________三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）； (2)若一个三角形的三边长分别是5，12，x ，且这个三角形是直角三角形，则x 的值为________． 2．（23-24 八年级下·福建莆田·阶段练习）定义：若a，b，c 是 ABC 的三边，且 2 2 2 2 a b c + = ，则称 ABC 为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形” B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形” D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图， ABC 中， 120 ABC = ， 45 ACB = ，P 为AC 边上一点，将ABP 沿直线BP进行折叠，点A 落在点D 处，连接CD，AD．若 ABD △ 为“方倍三角形”，且 2 AP = ，求 PDC △ 的面积． 3．（23-24 八年级上·湖南长沙·期中）定义：a，b，c 为正整数，若 2 2 2 c a b = + ，则称c 为“完美勾股数”，a， b 为c 的“伴侣勾股数”． 如 2 2 2 13 5 12 = + ，则13 是“完美勾股数”，5，12 是13 的“伴侣勾股数”． (1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知 ABC 的三边a，b，c 满足 2 2 2 6 8 10 50 0 a b c a b c + + − − − + = ． 求证：c 是“完美勾股数”． (3)已知m， 0 n 且m n ， 2 2 2 2 2 c m mn n = + + ， 2 2 4 a m mn n = + + ， ( ) 3 b m n = + ，c 为“完美勾股数”，a， b 为c 的“伴侣勾股数”． 多项式 3 2 3 x x p − + 有一个因式x m n − + ，求该多项式的另一个因式． 学科网（北京）股份有限公司 20 / 4．（23-24 八年级上·江苏徐州·期中）在 ABC 中， , , BC a AC b AB c = = = ，设c 为最长边，当 2 2 2 a b c + = 时， ABC 是直角三角形；当 2 2 2 a b c + 时，利用代数式 2 2 a b + 和 2 c 的大小关系，探究 ABC 的形状（按角分 类）． (1)当 ABC 三边分别为6、8、9 时， ABC 为________三角形；当 ABC 三边分别为6、8、11 时， ABC 为________三角形； (2)猜想：当 2 2 a b + ________ 2 c 时， ABC 为锐角三角形；当 2 2 a b + ________ 2 c 时， ABC 为钝角三角形； （填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当 5, 12 a b = = 时， 当 ABC 为直角三角形时，则c 的取值为________； 当 ABC 为锐角三角形时，则c 的取值范围________； 当 ABC 为钝角三角形时，则c 的取值范围________． 5．（21-22 八年级上·山西晋中·期中）阅读下列内容，并解决问题． 一道习题引发的思考 小明在学习《勾股定理》一章内容时，遇到了一个习题，并对有关内容进行了研究： 【习题再现】古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m 表示大于1 的整数，a=2m，b= m²-1，c= m²+1，那么a， b，c 为勾股数．你认为对吗?如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗? 【资料搜集】定义：勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．一般地，若三角形三边长a， b，c 都是正整数，且满足a2+b2=c²，那么a，b，c 称为一组勾股数． 关于勾股数的研究；我国西周初数学家商高在公元前1000 年发现了"勾三，股四，弦五"，这组数（3、4、5） 是世界上最早发现的一组勾股数．毕达哥拉斯学派、柏拉图学派、我国数学家刘徽、古希腊数学家丢番图 都进行过勾股数的研究，习题中的表达式是柏拉图给出的勾股数公式，这个表达式未给出全部勾股数．世 界上第一次给出勾股数通解公式的是《九章算术》． 【问题解答】 （1）根据柏拉图的研究，当m=6 时，请直接写出一组勾股数； （2）若m 表示大于1 的整数，试证明（m²-1，2m，m²+1）是一组勾股数； （3）请举出一个反例（即写出一组勾股数），说明柏拉图给出的勾股数公式不能构造出所有的勾股数． 学科网（北京）股份有限公司 21 / 6．（24-25 九年级上·江苏苏州·阶段练习）阅读下列内容：设a，b，c 是一个三角形的三条边的长，且a 是 最长边，我们可以利用a，b，c 三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若 2 2 2 a b c = + ，则该 三角形是直角三角形；②若 2 2 2 a b c + ，则该三角形是钝角三角形；③若 2 2 2 a b c + ，则该三角形是锐角 三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6， 2 2 2 6 36 4 5 = + ，故由③可知该三 角形是锐角三角形，请解答以下问题： （1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是________三角形． （2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x．且这个三角形是直角三角形，求 2x 的值． （3）当 2 a = ， 4 b = 时，判断 ABC 的形状，并求出对应的 2 c 的取值范围． 1．（24-25 八年级下·湖北十堰·期末）下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（ ） A．8，15，17 B．5，6，7 C． 3 ，4 ， 5 D．6，7，8 2．（24-25 八年级下·江西上饶·期末）设 ABC 的三边分别为, , a b c ，满足下列条件的 ABC 中，不是直角三 角形的是（ ） A． A B = + 90 B． : : 3:4:5 A B C = C． 2 2 2 b a c = − D．: : 7:24:25 a b c = 3． （24-25 八年级下·湖北省直辖县级单位·期中）如图，在4 4 的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A ， B ，C 都在格点上，则下列结论错误的是（ ） 学科网（北京）股份有限公司 22 / A． 2 20 AB = B． 90 BAC = C． ABC 的面积为10 D．点A 到直线BC 的距离是2 4．（24-25 八年级下·吉林松原·期中）小智用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先将活动 学具制成为如图①所示的菱形，并测得 =60 B ，接着将活动学具制成为如图②所示的正方形，并测得图 ②中的对角线 40 2cm AC = ，则图①中的对角线BD的长为（ ） A．20 3cm B．20 6cm C．40 3cm D．40cm 5．（24-25 八年级上·山西晋中·期末）五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直 角三角形，下列图形正确的是（ ） A． B． C． D． 6．（24-25 八年级下·湖北武汉·期中）如图：在一个边长为1 的小正方形组成的方格稿纸上，有A、B、C、 D、E、F、G 七个点，则在下列任选三个点的方案中可以构成直角三角形的是（ ） A．点A、点B、点D B．点A、点C、点G C．点B、点E、点F D．点B、点G、点E 7．（24-25 八年级下·湖北十堰·期末）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为7cm ，底面周 学科网（北京）股份有限公司 23 / 长为30cm，在容器内壁离容器底部2cm 的点B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿 3cm 的点A 处，则该蚂蚁要吃到饭粒需爬行的最短路径长是（ ） A．( ) 5 10 3 cm + B．2 241cm C．17cm D．241cm 8．（河北省张家口市经开区2024-2025 学年七年级下学期期末数学练习卷）如图，在 ABC 中，BD平分 ABC ，交AC 于点D， 4 AB = ， 5 BD = ， 3 AD = ，则点D 到BC 的距离为 ． 9．（24-25 八年级上·四川绵阳·开学考试）若a b c ，，是 ABC 的三边，且 2 8 ( 15) 17 0 a b c − + − + − = ，则 ABC 的面积为 ． 10．（24-25 八年级下·黑龙江大庆·期末）如图，在 ABC 中， 2 AC = ， 4 AB = ， 2 3 BC = ，以A 为圆心， 任意长为半径画弧分别交AB AC ， 于点M，N，再分别以M，N 为圆心，大于1 2 MN 的长为半径画弧，两弧 交于点P，连接AP 并延长交BC 于点D，则点D 到AB 的距离为 ． 11．（24-25 八年级下·河南漯河·期中）如图，在3×3 的网格上标出了1 和 2 ，则1 2 += ． 12．（24-25 八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在4 4 正方形网格中，每个小正方形的边长都是1． 学科网（北京）股份有限公司 24 / (1)分别求出线段AB ，CD的长度（图中A ，B ，C ，D 均为网格线交点）； (2)在图中画线段EF ，使得EF 的长为2 2 ；判断以AB ，CD，EF 三条线段是否构成直角三角形，并说明 理由． 13． （24-25 八年级下·陕西安康·期末）如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，DE BC ⊥ ，交AB 于点E ，且 13 BE = ， 5 AE = ， 12 AC = ．求证：CA AB ⊥ ． 14．（24-25 八年级下·天津西青·期末）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C ，河边原有两个取水点 A ，B ，道路AC 因为施工需要封闭，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H （A ，H ，B 在 同一条直线上），并新修一条道路CH ，已知 1.3km CB = ， 1.2km CH = ， 0.5km HB = ． (1)CH 是否为村庄C 到河边最近的道路？请通过计算加以说明； (2)已知新的取水点H 与原取水点A 相距0.9km ，求新路CH 比原路CA 少多少千米． 15．（24-25 八年级下·山东济宁·期中）如图，在笔直的河边l 的一侧是一片空旷的草地，牧马人从草地上的 A 处出发到河边l 饮马，然后前往草地上的B 处．若测得A 处到河边的距离（即图中AD的长度，AD l ⊥， 垂足为D）为12 米，B 处到河边的距离（即图中BE 的长度，BE l ⊥，垂足为E）为28 米，且DE 两处相距 30 米． 学科网（北京）股份有限公司 25 / (1)在图中画出从A 到l 再到B 的最短路径，并计算最短路径的长度（保留作图痕迹）； (2)C 是河边l 上D，E 两地之间的一个地点，且与D 处相距16 米，如果从A 先到C 处饮水，再回到B 处， 行走路程比（1）中的最短路径长多少？ 16．（24-25 八年级上·山东济南·期末）（1）如图1，О是等边 ABC 内一点，连接OA OB OC 、 、 ，且 3, 4, 5, OA OB OC = = = BAO BCD △ △ ，连接OD ． ① OBD = __度；（答案直接填写在横线上） ②OD =_ __﹔（答案直接填写在横线上） ③求 BDC 的度数． （2）如图2 所示，О是等腰直角 ( ) 90 ABC ABC = △ 内一点，连接OA OB OC 、 、 ， BAO BCD △ △ ，连 接OD ．当OA OB OC 、 、 满足什么条件时， 90 ODC = ．请给出证明．
