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26.2.3 二次函数y=ax ²+bx+c 的图象和性质（第二课时 总结提升与
综合应用复习）（教学设计）
1.教学内容
本节课是人教版2024 版九年级上册第26 章《二次函数》，26.2 二次函数图像与性质，二次函数
y=ax ²+bx+c 的图象和性质,第二课时二次函数图象与性质的总结提升与综合应用复习课.核心内容：系统梳
理y=ax ²+bx+c(a≠0)的图象、公式与全套性质；重点探究a、b、c、△的符号与抛物线图象的对应关系；
掌握利用二次函数性质比较函数值大小、限定区间动态最值、图象特征判断、参数分析等中高难度考点；
整合配方法、公式法两种解题思路，解决含参数、含区间限制的综合性题型，夯实新知、突破难点、纠正
易错问题，为二次函数与方程、不等式综合应用奠基.
2. 内容解析
本节课是第一课时新授课的巩固、整合、拔高课.第一课时学生掌握了一般式配方变形、对称轴与顶点公
式、基础图象性质，本节课重在知识系统化、方法通用化、题型综合化.既是对前序特殊二次函数、一般
式基础性质的复盘总结，也是衔接后续二次函数综合题、实际应用题的关键过渡课，是本章夯实函数数形
结合思维、规范解题模型、突破中档压轴题的核心课时.本课遵循“梳理体系—突破重难点—纠错巩固—
综合拔高”的复习逻辑，打破零散知识点记忆，构建“解析式→系数符号→图象特征→区间性质→动态最
值”的完整解题链条，落实初中函数学习的通用方法，突出数形结合、分类讨论核心思想，重点解决学生
区间最值不会分类、参数图象不会分析、函数值比较不会利用对称轴的核心难点.
基于以上分析，本节课的教学重点为:二次函数y=ax ²+bx+c(a≠0)图象与性质的综合拔高应用；由a、b、
c、△的符号判断抛物线图象特征，由图象特征反推系数符号；闭区间内动态最值问题、多点函数值大小
比较高阶方法.
教学目标
(1)系统熟记二次函数一般式全套图象与性质，精准掌握a、b、c 对抛物线的影响；能熟练用配方法、公式
法解决图象符号判断、含区间限定最值、多点函数值比较、参数分析等高阶综合问题，规避常见易错点.
(2)通过体系梳理、拔高典例探究、错题复盘，提升知识归纳能力、数形结合分析能力、分类讨论推理能
力，掌握二次函数中档综合题的解题思路与答题规范.
(3)通过知识整合构建完整知识体系，突破中档难点题型，消除畏难心理，提升解题自信心；培养严谨的
数学思维、规范的答题习惯，养成复盘纠错的学习意识.
2.目标解析
目标1 面向全体学生，落实拔高目标。要求学生告别机械记忆，深度活用一般式二次函数性质，能双向推
导解析式与图象特征，熟练解决区间动态最值、多点比较大小等中档压轴题型.
目标2 聚焦核心素养.引导学生自主梳理知识体系，学会分类讨论、数形结合、距离比较等高阶解题方法，
形成稳定的二次函数综合题解题模型.
目标3 立足长效发展.通过拔高典例精讲，让学生体验难题拆解过程，培养拆解复杂问题、分步推理的数学
能力.
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学生经过第一课时新授，已掌握一般式配方变形、对称轴和顶点坐标公式，了解开口、增减性、最值等基
础性质，能够独立完成基础计算题. 主要存在的问题:（1）知识零散，未形成体系，综合题不会调用对应
性质；（2）只会求全体实数最值，不会处理限定区间、动态最值；（3）多点函数值比较只会代入硬算，
不会用对称轴距离法快速判断；（4）面对多问综合题，不会拆解题干、分步分析.通过体系梳理固化知识
框架，通过拔高综合典例突破难点，教会学生拆解题型、分类讨论、数形速判，实现从“基础会做”到
“难题会思、方法最优”的提升.
基于以上分析，本节课的教学难点确定为：对称轴在区间内外、区间内部的分类最值讨论；利用“点到对
称轴的距离”比较任意多点函数值大小；数形结合双向推理的综合应用.
创设情景，引入新课
复习回顾：（1）二次函数一般式配方的关键步骤是什么？
（2）对称轴、顶点坐标公式是什么？
（3）比较抛物线上两个点的函数值，除了代入计算，有没有更快捷的方法？
快速复盘：开口规律、对称轴公式、顶点、增减性、基础最值，引出本节课拔高内容：区间分类最值、对
称轴距离比较函数值.
(设计意图：以进阶问题唤醒旧知，直指学生薄弱难点，为拔高例题学习做好思维铺垫.)
探究点1 二次函数解析式的确定
根据二次函数解析式的一般式、顶点式等特点，用待定系数法求抛物线解析式．
问题1：已知抛物线
经过
，
，两点，求抛物线的解析式．
【分析】本题考查了待定系数法求抛物线解析式．正确运算是解题的关键．
待定系数法求抛物线解析式即可．
【详解】解：∵抛物线
经过，
，
两点，
∴
，
解得
，
∴抛物线的解析式为
．
探究点2 系数与图象的对应关系
结合图象系统归纳核心规律：
1. a：开口方向、开口大小；
2. a、b（左同右异）：对称轴位置；
3. c：y 轴截距.
问题2.如图，在直角坐标系中，已知函数
．
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(1)完成以下列表：
…
0
1
2
3
4
…
…
…
(2)画出这个函数的图象；
(3)观察图象，写出图象与坐标轴的交点坐标，顶点坐标及对称轴．
【分析】（1）把x 代入二次函数即可求解；
（2）根据列表即可作图；
（3）根据二次函数图象即可求出坐标轴的交点坐标，顶点坐标及对称轴．
此题主要考查二次函数图象，解题的关键是根据表格画出函数图象．
【详解】（1）如图，列表如下
…
0
1
2
3
4
…
…
5
0
0
5
…
故答案为：5，0，
，
，
，0，5；
（2）如图，函数的图象如下：
（3）由图可知：与x 轴交于
，
，与y 轴交于
，顶点坐标
，对称轴
．
探究点3 二次函数的综合应用
二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象性质的综合应用.
问题3.已知抛物线
经过点
，
．
(1)求
，
的值；
(2)若
是抛物线上的点，求
的值．
【分析】本题考查二次函数图像与性质，涉及待定系数法确定函数关系式、根据自变量值求函数值等知识，
熟记二次函数图像与性质，掌握待定系数法及点在图像上的含义是解决问题的关键．
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（1）利用待定系数法，将
，
代入函数表达式，解二元一次方程组即可得到答案；
（2）由（1）中所得，确定函数表达式，将
代入即可得到
值．
【详解】（1）解：
抛物线
经过点
，
，
，解得
；
（2）解：由（1）知抛物线表达式为
，
若
是抛物线上的点，则
．
探究点4 二次函数的实际应用
建立合适的平面直角坐标系，转化为二次函数型问题.
问题4.一座拱桥的示意图如图2 所示，当水面宽为16 米时，桥洞顶部离水面4 米．已知桥洞的拱桥是抛物
线，请尝试解决以下问题：
(1)建立合适的平面直角坐标系，求该拋物线的表达式；
(2)由于暴雨导致水位上涨了2 米，求此时水面的宽度；
(3)已知一艘货船的高为
米，宽为
米，其截面如图3 所示．为保证这艘货船可以安全通过拱桥，水
面在正常水位的基础上最多能上升多少米？（结果精确到
）
【分析】本题考查二次函数的实际应用，建立合适的平面直角坐标系是解题的关键．
（1）建立的坐标系要便于计算，因此以正常水面所在直线为x 轴，拱桥的最高点在y 轴上，设抛物线的函
数表达式为
，利用待定系数法求解；
（2）水位上涨了2 米时，则
，求出对应的x 的值即可；
（3）货船安全通过拱桥，当水面宽与货船宽相等时，水位上升的高度取最大值，结合函数解析式求解．
【详解】（1）解：如图，
为宽16 米的水面，C 为拱桥最高点，以
的中点为平面直角坐标系的原点
O，
所在直线为x 轴，
所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系如下：
则
，
，
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抛物线的顶点坐标为
，
，
设抛物线的函数表达式为
，
将
代入，得：
，
解得：
，
∴该抛物线的表达式为
；
（2）解：在
中，当
时，则
，
解得：
，
，
∴水面上升2 米后的水面宽度为
米，
（3）解：如图，这艘货船安全通过拱桥时，水面最多可以上升到
处，
∵货船的高为
米，宽为
米，
∴
米，
，
设
米，则
米，
∴点
的坐标为
，
将
代入
，得：
解得
，
∴要使这艘货船安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升
米．
(设计意图：通过系统复习，突破本节课重点知识.)
典型例题
例1：已知抛物线的顶点是
，且经过点
，求该抛物线的函数解析式．
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解
析式的一般步骤，准确计算．
【详解】解：∵抛物线的顶点是
，
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∴可设抛物线的函数解析式为
，
∵点
在该抛物线上，
∴
，
解得：
，
∴抛物线的函数解析式为：
．
例2.已知二次函数y=-x ²+2x+3，完成下列问题：
（1）将函数化为顶点式，写出对称轴、顶点坐标；
（2）判断抛物线的开口方向、与坐标轴交点个数；
（3）当0≤x≤3 时，求函数的最大值和最小值；
（4）若点A(1,
)、B(2,
)在抛物线上，比较
、
的大小.
【分析】本题为综合性复习典例，全覆盖本节课核心考点：配方变形、公式应用、系数图象对应关系、区
间最值、函数值大小比较。解题核心逻辑：先通过配方或公式确定抛物线基础特征，再结合对称轴、开口
方向分析增减性，最后结合自变量取值区间求解最值、比较函数值，完整复刻二次函数综合题解题流程，
规范答题步骤.
【详解】解:（1）配方化为顶点式，求对称轴、顶点
y=-x ²+2x+3=-(x ²-2x)+3=-(x ²-2x+1-1)+3=-(x-1)²+4
可得：对称轴为直线x=1，顶点坐标(1,4).
（2）判断开口与坐标轴交点a=-1<0，抛物线开口向下；
判别式△=b ²-4ac==4+12=16>0，
因此抛物线与x 轴有两个交点；
当x=0 时，y=3，抛物线与y 轴交于正半轴。
（3）抛物线开口向下，对称轴x=1,当0≤x≤3 内；
∴ 当x=1 时，函数取得最大值，
；
分别计算区间端点函数值：
x=0 时，y=3；x=3 时，y=-9+6+3=0；
对比可得：当x=3 时，函数取得最小值，
（4）比较函数值大小
对称轴x=1，开口向下，
∴ 当x>1 时，y 随x 增大而减小；
∵ 1<2，∴
>
.
例3.阅读材料：设二次函数
，
的图象的顶点坐标分别为
，
，若
，
，且开口
方向相反，则称
是
的“问真二次函数”．
(1)请写出二次函数
的一个“问真二次函数”．；
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(2)已知关于x 的二次函数
和二次函数
，若函数
恰是
的“问真二次
函数”，求a 的值．
【分析】本题考查二次函数的性质．
（1）先将
配方求出顶点坐标，然后根据题干中“问真二次函数”定义求解．
（2）由二次函数
可得顶点坐标为
，二次函数
的顶点坐标
为
，根据题干中“问真二次函数”定义求解即可．
解题关键是读懂“问真二次函数”的定义，将函数化为顶点式求解．
【详解】（1）解：设二次函数
的一个“问真二次函数”为
，
，
，
，
，
，
两个函数图像开口方向相反，
的值可以是
，
二次函数
的一个“问真二次函数”可以是
，
即
（答案不唯一）；
（2）∵图象
的顶点为
．
的顶点坐标为
．
∵
，且
∴
．
例4.如图，在
中，
，
，
．点
从点
出发，以
的速度沿
运动；同时，点
从点
出发，以
的速度沿
运动．当点
到达点
时，
、
两点同时停止运动．
设动点运动的时间为
．
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(1)试写出
的面积
与
之间的函数表达式；
(2)当为何值时，
的面积最大？最大面积是多少？
【分析】此题是三角形和二次函数的综合题，主要考查了动点运动问题，三角形的面积，二次函数的应用，
难度适中，正确表示出
，
的长是解题关键．
（1）利用两点运动的速度表示出
，
的长，进而表示出
的面积即可；
（2）利用配方法求出函数顶点坐标即可得出答案．
【详解】（1）由题意得：
，
，
；
；
（2）
，
当
时，
的面积最大，最大值是
．
（设计意图：通过综合性例题，整合本节课所有核心知识点，帮助学生巩固性质和平移规律；规范解题步
骤，培养学生严谨的答题习惯，同时让学生掌握利用对称性、增减性比较函数值的解题技巧，实现知识的
学以致用.)
1．已知抛物线
．
(1)用配方法将
化成
的形式；
(2)写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
【详解】（1）
．
（2）∵抛物线
，
∴对称轴为直线
，
顶点坐标为
．
（设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的
理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略）
1.如图，已知女排球场的长度
为
米，位于球场中线处的球网
的高度
米，一队员站在点
处
发球，排球从点
的正上方
米的
点向正前方飞去，排球的飞行路线是抛物线的一部分，当排球运行至
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离点
的水平距离
为米时，到达最高点
，以
为原点建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)写出
点坐标___________；
点坐标___________．
(2)若排球运行的最大高度为米，求排球飞行的高度
（单位：米）与水平距离
（单位：米）之间的函
数关系式（不要求写自变量
的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，这次所发的球能够过网吗？如果能够过网，是否会出界？请说明理由．
【详解】（1）∵
，
是
的中点，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
故答案为：
，
；
（2）解：由排球运行的最大高度为米，则顶点的坐标点
，
则设抛物线的解析式为
，
∵点
坐标为
，点
在抛物线上，
∴
，
解得
，
∴
，
（3）这次发球可以过网且不出边界，
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理由：当
时，
，
当
时，
．
故这次发球可以过网且不出边界．
1.（2025•河南）在二次函数y＝ax2+bx﹣2 中，x 与y 的几组对应值如表所示．
x
…
﹣2
0
1
…
y
…
﹣2
﹣2
1
…
（1）求二次函数的表达式．
（2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象．
（3）将二次函数的图象向右平移n 个单位长度后，当0≤x≤3 时，若图象对应的函数最大值与最小值
的差为5，请直接写出n 的值．
【解答】解：（1）由题意，结合表格数据可得，二次函数的对称轴是直线x= −2+0
2
=−1．
∴可设二次函数为y＝a（x+1）2+k．
又∵图象过（0，﹣2），（1，1），
∴﹣2＝a（0+1）2+k，且1＝a（1+1）2+k．
∴a＝1，k＝﹣3．
∴二次函数为y＝（x+1）2﹣3，即y＝x2+2x﹣2．
（2）由题意，结合（1）y＝（x+1）2﹣3，
∴顶点坐标为（﹣1，﹣3）．
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作图如下．
（3）由题意，∵二次函数的图象向右平移n 个单位长度后，
∴新函数为y＝（x+1﹣n）2﹣3．
∴此时对称轴是直线x＝n﹣1，函数图象开口向上．
∴①当3≤n﹣1 时，即n≥4，
∴当x＝0 时，y 取最大值为（1﹣n）2﹣3；当x＝3 时，y 取最小值为（4﹣n）2﹣3．
又∵最大值与最小值的差为5，
∴（1﹣n）2﹣3﹣（4﹣n）2+3＝5．
∴n= 10
3 ＜4，不合题意．
②当0＜n﹣1＜3 时，即1＜n＜4，
∴当x＝0 或x＝3 时，y 取最大值为（1﹣n）2﹣3 或（4﹣n）2﹣3；当x＝n﹣1 时，y 取最小值为﹣3．
又∵最大值与最小值的差为5，
∴（1﹣n）2﹣3+3＝5 或（4﹣n）2﹣3+3＝5．
∴n＝1+ ❑√5或n＝1−❑√5（不合题意，舍去）或n＝4+ ❑√5（不合题意，舍去）或n＝4−❑√5．
③当n﹣1≤0 时，即n≤1，
∴当x＝0 时，y 取最小值为（1﹣n）2﹣3；当x＝3 时，y 取最大值为（4﹣n）2﹣3．
又∵最大值与最小值的差为5，
∴（4﹣n）2﹣3﹣（1﹣n）2﹣3＝5．
∴n= 5
3 ＞1，不合题意．
综上，n＝1+ ❑√5或n＝4−❑√5．
2．（2025•浙江）已知抛物线y＝x2﹣ax+5（a 为常数）经过点（1，0）．
（1）求a 的值．
（2）过点A（0，t）与x 轴平行的直线交抛物线于B，C 两点，且点B 为线段AC 的中点，求t 的值．
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（3）设m＜3＜n，抛物线的一段y＝x2﹣ax+5（m≤x≤n）夹在两条均与x 轴平行的直线l1，l2之间．若
直线l1，l2之间的距离为16，求n﹣m 的最大值．
【解答】解：（1）把（1，0）代入y＝x2﹣ax+5，
得：1﹣a+5＝0，
解得：a＝6；
（2）由（1）知：y＝x2﹣6x+5，
∴对称轴为直线x =−−6
2×1 =3，
∵点A（0，t）在y 轴上，过点A（0，t）与x 轴平行的直线交抛物线于B，C 两点，
∴B，C 关于对称轴对称，B，C 的纵坐标均为t，
又∵点B 为线段AC 的中点，
∴xc＝2xB，
∴xB+ xC
2
= 3
2 xB=3，
∴xB＝2，
∴x＝2 代入y＝x2﹣6x+5，
得：y＝22﹣6×2+5＝﹣3，
∴t＝﹣3；
（3）∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标（3，﹣4），
当抛物线的一段y＝x2﹣ax+5（m≤x≤n）夹在两条均与x 轴平行的直线l1，l2之间时，m，n 为直线与抛
物线的交点，
∴要使n﹣m 最大，则，m，n 为一条直线与抛物线的交点，x＝m 和x＝n 关于对称轴对称，
又∵直线l1，l2之间的距离为16，为定值，
∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点（3，﹣4），即：y＝﹣4 时，n﹣m 最大，此时另一条直线的解析
式为y＝16﹣4＝12，如图：
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∴当x2﹣6x+5＝12 时，
解得：x1＝7，x2＝﹣1，
即n＝7，m＝﹣1，
∴n﹣m 的最大值为：7﹣（﹣1）＝8．
3．（2026·江门校考期中）如图，在
中，
，
，
，点
从
出发
沿
向
点以1 厘米/秒的速度匀速移动；点
从
出发沿
向
点以2 厘米/秒的速度匀速移动．点
、
分别从起点同时出发，移动到某一位置时所需时间为秒．
(1)填空：
_______，
_______．
(2)当为何值时，
的面积等于
？
(3)当为何值时，
的面积最大．
【详解】（1）由题意得，
，
，
∴
；
故答案为：
，
；
（2）根据题意得：
，
解得：
；
∵点
从
出发沿
向
点以1 厘米/秒的速度匀速移动；点
从
出发沿
向
点以2 厘米/秒的速度
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匀速移动，
∴
，
，
∴
，
∴当
时，
的面积等于
；
（3）
，
∴当
时，
的面积最大．
（设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检
验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力）
知识技能:（1）熟练完成一般式与顶点式互化，熟记核心公式；（2）掌握a、b、c、△数形双向判断；
（3）掌握区间分类讨论求最值方法；（4）掌握对称轴距离法快速比较多点函数值.
思想方法:（1）数形结合：以形助数、以数释形；（2）分类讨论：区间位置分类求最值；（3）模型思想：
固化二次函数综合题解题模板.
易错提醒:（1）区间最值必须对比顶点和端点，不能只看顶点；（2）开口方向不同，距离对称轴远近对
应的函数值大小规律相反；（3）配方提取系数后，常数项极易算错.
(设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ）
必做题：课本习题26.2 第6、7、8 题
探究性作业：课本习题26.2 第9 题
（设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ）
主板书
26.2.3 二次函数y=ax ²+bx+c 的图象和性质（第二课）
一、核心公式
二、典例核心
三、致命易错
副板书
典型例题
（预留区域，课堂书写化简、检验例题）
例题
学生练习板演
