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第二十二章 二次函数
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第1课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
学习目标：1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x－h)2+k.
2.会熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴.
重点：能够熟练地求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴.
难点：会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x－h)2+k.
自 主 学
习
一、知识链接
1.说说函数y=a(x－h)2+k图象的开口方向，顶点坐标，对称轴，最值和增减变化情况.
2.将下列式子因式分解：
（1）a2+2ab+b2=____________; (2)a2-2ab+b2=____________.
课 堂 探
究
二、要点探究
探究点1：将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x－h)2+k
问题 怎样将 化成y=a(x－h)2+k的形式？
填一填
（1）x2-12x+36=_____________; （2）x2-12x=_____________ .
想一想
（1）请将 化成y=a(x－h)2+k的形式，并说一说配方的方法及步骤；
（2）如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c(a≠0)化成顶点式y=a(x－h)2+k？
练一练
将下列二次函数的一般式用配方法化成顶点式y=a(x-h)2+k的形式，并指出其顶点坐标．
（1）y=x2-2x+1； （2）y=2x2-4x+6．
探究点2：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
问题1 你能说出 的对称轴和顶点坐标吗？
问题2 二次函数 可以看作是由 怎样平移得到的？
第 1 页 共 6 页问题3 如何画二次函数 的图象？
问题4 结合二次函数 的图象，说出其性质.
要点归纳：二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
一般地，二次函数y=ax2+bx+c可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式，即y=ax2+bx+c=______________;
因此，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标是：______________;
对称轴是：直线______________;
如果a>0，当x< _________时，y随x的增大而减小；当x> _________时，y随x的增大而增大.
如果a<0，当x<________时，y随x的增大而增大；当x>_________时，y随x的增大而减小.
典例精析
例1 画出函数 的图象，并说明这个函数具有哪些性质.
练一练 已知二次函数y＝x2﹣6x+5．
（1）将y＝x2﹣6x+5化成y=a(x-h)2+k的形式；
（2）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；
（3）当x取何值时，y随x的增大而减小．
探究点3：二次函数字母系数与图象的关系
问题1 一次函数y=kx+b的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空.
k 0，b 0；k 0，b 0；k 0，b 0.
1 1 2 2 3 3
问题2 二次函数 的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空.
第 2 页 共 6 页a 0，b 0，c 0；a 0，b 0，c 0；
1 1 1 2 2 2
a 0，b 0，c 0；a 0，b 0，c 0；
3 3 3 4 4 4
例2 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；
②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
三、课堂小结
配方法或公式法→
顶点式 顶点坐标：
对称轴：
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
的图象和性质 a＞0，开口向上，a＜0，开口向下；
b=0，对称轴为y轴；
a、b同号，对称轴在y轴的左侧，
图象与a、b、c
a、b异号，对称轴在y轴的右侧；
的关系
c=0，图象经过原点；
c＞0，与y轴交于正半轴，
c＜0，与y轴交于负半轴.
当堂检
测
1. 已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：
x －1 0 1 2 3
y 5 1 －1 －1 1
则该二次函数图象的对称轴为( )
A.y轴 B.直线x= C.直线x=2 D.直线x=
2.已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ ）
A．b≥－1 B．b≤－1 C．b≥1 D．b≤1
3.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：
(1) a、b同号；
(2) 当x=－1和x=3时，函数值相等；
第 3 页 共 6 页(3) 4a+b=0；
(4) 当y=－2时，x的值只能取0；
其中正确的是 .
4.已知抛物线y=2x2-12x+13.
（1）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？
（2）当x为何值时，y随x的增大而减小;
（3）将该抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位，请直接写出新抛物线的表达式.
5.已知二次函数y=x2-4x-1．
（1）将函数y=x2-4x-1的解析式化为y=a(x+m)2+k的形式，并指出该函数图象顶点B的坐标；
（2）在平面直角坐标系xOy中，设抛物线y=x2-4x-1与y轴交点为C，抛物线的对称轴与x轴交点为A，求四
边形OABC的面积．
参考答案
自主学习
知识链接
1.函数y=a(x－h)2+k图象的顶点坐标为（h,k），对称轴为直线x=h.当a＞0时，图象的开口向上，有最低点（即
最小值为k），当xh时，y随x增大而增大.当a＜0时，图象的开口向下，有最
高点（即最大值为k），当xh时，y随x增大而减小.
2.(a+b)2 (a-b)2
课堂探究
二、要点探究
探究点1：将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x－h)2+k
填一填
(1) (x-6)2 (2)(x-6)2 -36
想一想
（1）
配方的步骤如下：(1)“提”：提出二次项系数；(2)“配”：括号内配成完全平方；(3)“化”：化成顶点式.
第 4 页 共 6 页（2）y=ax²+bx+c=
练一练
解：(1)y=x2-2x+1=(x-1)2，顶点坐标为(1，0)；
(2)y=2x2-4x+6=2(x-1)2+4，顶点坐标为(1，4).
探究点2：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
问题1 答：对称轴是直线x=6，顶点坐标是（6，3）.
问题2 答：平移方法1：先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的；
平移方法2：先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的.
问题3 列表如下：
x … 3 4 5 6 7 8 9 …
… 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 …
然后描点画图，得到图象如图①所示.
图① 图②
问题4 当x<6时，y随x的增大而减小；当x>6时，y随x的增大而增大.
要点归纳：
典例精析
例1 解：函数y=-2x2-4x+1通过配可得y=-2(x+1)2+3.列表如下：
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
y … -15 -5 1 3 1 -5 -15 …
然后描点、连线，得到图象如图②所示.
由图象可知，这个函数具有如下性质：当x＜-1时，函数值y随x的增大而增大；
第 5 页 共 6 页当x＞-1时，函数值y随x的增大而减小；当x=-1时，函数取得最大值，最大值y=3.
练一练 解：（1）y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4；
（2）二次函数的图象的对称轴是x＝3，顶点坐标是（3，﹣4）；
（3）∵抛物线的开口向上，对称轴是x＝3，∴当x≤3时，y随x的增大而减小．
探究点3：二次函数字母系数与图象的关系
问题1 ＜ ＞ ＞ ＜ ＞ ＞
问题2 ＞ ＞ ＞ ＞ ＜ =
＜ = ＞ ＜ ＞ ＜
例2 D 【 解析】由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得c
＞0，则abc＞0，故①正确；由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确；由图象上横坐标为 x＝－2的点在第
三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确；由图象上x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上x＝－1的点
在第二象限得出 a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确．
当堂检测
1.D 2.D 3.（2）
4.解：∵y=2x2-12x+13=2(x2-2x+9)-5=2(x-3)2-5，
∴抛物线开口向上，顶点为(3，-5)，对称轴为直线x=3.
（1）当x=3时，y有最小值，最小值为-5；
（2）当x＜3时，y随x的增大而减小；
（3）新抛物线的表达式为y=2(x-5)2-3．
5.解：（1）y=x2-4x-1=（x-2）2-5，该函数图象顶点B的坐标为（2，-5）.
（2）如图，令x=0，则y=-1，∴C（0，-1），∵B（2，-5），∴A（2，0），S =
四边形OABC
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