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25.2.2 公式法（教学设计）
1.教学内容
本节课时是人教版2024 版九年级上册第二十五章《一元二次方程》，第二节《降次----解一元二次方程》，
25.2.2 公式法.核心内容包括：基于配方法推导一元二次方程的求根公式；认识根的判别式
，
掌握判别式与一元二次方程实数根个数的对应关系；熟练掌握公式法解一元二次方程的完整步骤；能运用
公式法求解各类简单的一元二次方程，区分方程有两个不等实数根、两个相等实数根、无实数根三种情况.
2.内容解析
公式法是继直接开平方法、配方法之后，解一元二次方程的通用、万能解法，是配方法的程序化、公式化
升级。此前学生已掌握配方法解数字系数一元二次方程，本节课将配方法推广到一般字母系数方程，推导
求根公式，是从特殊到一般的数学思维升华.本节课承接配方法，为后续因式分解法、一元二次方程的实
际应用、二次函数与方程的关系等内容奠定核心基础，是本章解方程板块的重点核心内容，贯穿整个一元
二次方程知识体系.通过公式推导，培养学生逻辑推理、代数运算、归纳概括能力；通过判别式的应用，
建立分类讨论的数学思想，提升学生严谨的数学思维.
基于以上分析，本节课的教学重点为：一元二次方程求根公式的理解与记忆；根的判别式的应用，公式法
解一元二次方程的规范步骤.
1. 教学目标
（1）理解一元二次方程求根公式的推导过程，熟记求根公式及根的判别式公式.掌握根的判别式与一元二
次方程实数根的三种对应关系，能准确判断方程根的情况.熟练运用公式法规范解一元二次方程，掌握解
题标准步骤，规避常见运算错误.
（2）经历“配方法解一般式方程→推导求根公式→归纳解题步骤→应用解题”的完整过程，体会从特殊
到一般、转化与化归的数学思想.通过分类讨论判别式的取值情况，培养分类探究、归纳总结的学习能力，
提升代数推理和运算能力.
（3）在公式推导的探究过程中，感受数学公式的严谨性、简洁性，体会数学的逻辑美感.养成规范解题、
细致运算、严谨思考的良好学习习惯，增强学习数学的自信心.
2.目标解析
目标1 学生在掌握配方法的基础上，突破字母系数方程配方难点，理解公式推导的每一步依据，不机械死
记公式；能独立用判别式判断根的情况，精准套用公式解方程，实现解方程方法的系统化掌握.
目标2 通过自主推导、小组探究，让学生掌握代数推导的基本方法，学会用分类讨论思想解决数学问题，
摆脱配方法繁琐的配方过程，提升解题效率与准确性.
目标3 依托公式推导的逻辑链条，渗透数学抽象、逻辑推理、数学运算核心素养；通过错题辨析、规范步
骤训练，培养学生严谨的治学态度和自主探究的学习意识.
九年级学生已经掌握一元二次方程的一般形式，熟练运用配方法解数字系数的一元二次方程，具备基本的
代数配方、根式运算能力，为本节课公式推导提供了知识支撑.学生具备初步的自主探究、小组合作能力，
但对字母系数代数式的配方较为陌生，抽象推理能力较弱，容易混淆字母运算与数字运算的区别.学生解
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题时易忽略a≠0 的前提、系数符号看错、判别式计算失误、忘记根据判别式判断根的情况，且解题步骤不
规范，需要课堂针对性强化纠正.
基于以上分析，本节课的教学难点确定为：一般形式
的求根公式推导过程（字母配方、
分母不为0、根式有意义的条件分析）；准确判断系数a、b、c 的正负，规避代入公式、计算判别式时的
符号错误.
创设情景，引入新课
师生互动：用配方法解方程
.
两名学生板演，其余学生独立完成.
提出问题：配方法解题步骤繁琐，对于任意一个一元二次方程
，能否推导一个通用公
式，直接代入求解？
引出课题：本节课我们通过配方法推导通用求根公式，学习更简便的公式法解一元二次方程.
(设计意图：通过复习配方法解题，唤醒学生已有知识，让学生体会配方法的局限性，激发学生探究通用
解法的求知欲，实现新旧知识的自然衔接.)
探究点1 自主探究，推导公式
活动1:对一元二次方程一般式
进行配方推导.
学生讨论:
1. 移项：
.
2.二次项系数化为1：
.
3. 配方：两边加一次项系数一半的平方
.
4. 整理完全平方式
5. 分析取值条件：因为a≠0，所以等式右边的符号由
决定
当
时，
,方程有两个不相等的实数根
,
；
当
时，
,方程有两个相等的实数根
；
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当
时，等式右边为负，无实数根.
师生归纳求根公式：当
时，求根公式：
.
利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.
（设计意图：遵循“特殊到一般”的认知规律，师生分步推导公式，拆解字母配方难点，让学生理解公式
的由来，而非机械记忆.）
探究点2 归纳公式法解题步骤
活动2：归纳公式法解方程五步步骤：
一化：将方程化为
的一般形式；
二定：准确确定a、b、c 的数值（包含正负符号）；
三求：计算判别式
的值；
四判：根据
的正负判断方程根的情况；
五解：
时代入求根公式计算根，
直接写无实数根.
及时巩固：用公式法解方程
.
解：a=1，b=-3，c=2.
，方程有两个不等实数根
∴
（设计意图：让学生理解公式的由来，会灵活应用求根公式法解一元二次方程.）
探究点3 根的判别式
活动3:不解一元二次方程判断方程的根
在一元二次方程
中，把
叫做一元二次方程的根的判别式.
当
时，
,方程有两个不相等的实数根；当
时，
,方程有两个
相等的实数根；当
时，方程无实数根.
及时练习：（2025•安徽）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）
A．x2+1＝0
B．x2﹣2x+1＝0
C．x2+x+1＝0
D．x2+x﹣1＝0
【分析】分别计算四个方程的根的判别式，然后根据根的判别式的意义判断根的情况．
【解答】解：A、由根的判别式可知：Δ＝02﹣4×1×0＝0，
∴方程有两个相等的实数根，不符合题意；
B、由根的判别式可知：Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，
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∴方程有两个相等的实数根，不符合题意；
C、由根的判别式可知：Δ＝12﹣4×1×1＜0，
∴方程有无实数根，不符合题意；
D、由根的判别式可知：Δ＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，符合题意；
故选：D．
（设计意图：通过对判别式的分类分析，渗透分类讨论思想，突破本节课难点.）
典型例题
例１.解方程：
；
【分析】利用公式法即可求解.熟练掌握公式法及因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：
，
，
，
，
，
解得：
，
．
例2.（2025•遂宁）已知关于x 的一元二次方程x2﹣3x+m+1＝0 有实数根，则实数m 的取值范围是（ ）
A．m＜5
4
B．m≥5
4
C．m＞5
4
D．m≤5
4
【分析】根据方程的系数，结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，可得出5﹣4m≥0，解之即可得出实数m 的取
值范围．
【解答】解：∵关于x 的一元二次方程x2﹣3x+m+1＝0 有实数根，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（m+1）＝5﹣4m≥0，
解得：m≤5
4
，
∴实数m 的取值范围是m≤5
4
．
故选：D．
例3.已知关于
的一元二次方程
．
(1)当这个方程二次项系数和常数项的符号不同时，证明：该方程一定有两个不相等的实数根；
(2)若这个方程有两个不相等的实数根，那么该方程二次项系数和常数项的符号是否一定不同？若是，请
证明；若不是，请举出一个反例．
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程
的根与
有
如下关系：①
，方程有两个不相等的实数根，②
，方程有两个相等的实数根，③
，方程没
有实数根．
（1）由二次项系数和常数项的符号不同，可得
，再由
即可得出结论；
（2）由一元二次方程
的根的判别式
，举出一个反例即可得到答案．
【详解】（1）证明：
二次项系数和常数项的符号不同，
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，
，
，
该方程一定有两个不相等的实数根；
（2）解：不是，反例
（答案不唯一），
理由如下：
方程有两个不相等的实数根，
，满足
即可，
反例：
，
，
即
，这个方程有两个不相等的实数根，该方程二次项系数和常数项的符号相同．
（设计意图：落实本节课重点知识，规范解题书写过程，提升学生分析问题、解决问题能力.）
课本课堂练习（P12）1、2、3、4、5、6.
（设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的
理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略）
1.定义：如果一元二次方程
满足
．那么我们称这个方程为“凤凰”方程．
(1)已知
是“凤凰”方程．且有两个相等的实数根．试求a 与c 的关系；
(2)已知关于x 的方程
是“凤凰”方程，且两个实数根都是整数．求整数m 的值．
【详解】（1）解：∵
有两个相等的实数根，
∴
，
∵
是“凤凰”方程．
∴
，
∴
，
∴
，
即
，
∴
，
∴
，
即
；
（2）解：方程整理得：
，
∵此方程是“凤凰”方程，
∴
，
∴
，
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∵
，
∴
，
∴
，
，
∵两个实数根都是整数，
∴
或
，
∴
或
或
或
，
∴整数m 的值为0 或2 或4 或6．
(设计意图:强化本节课核心知识的拓展．)
1.（2025•北京）若关于x 的一元二次方程ax2+2x+1＝0 有两个相等的实数根，则实数a 的值为（ ）
A．﹣4
B．﹣1
C．1
D．4
【解答】解：∵关于x 的一元二次方程ax2+2x+1＝0 有两个相等的实数根，
∴Δ＝0 且a≠0．
∴22﹣4a＝0 且a≠0．
∴a＝1．
故选：C．
2．（2025•内江）若关于x 的一元二次方程（a﹣1）x2+2x+1＝0 有实数根，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．a≤2
B．a＜2
C．a≤2 且a≠1
D．a＜2 且a≠1
【解答】解：∵关于x 的一元二次方程（a﹣1）x2+2x+1＝0 有实数根，
∴{
a−1≠0
Δ=2
2−4×(a−1)×1≥0)
，
解得：a≤2 且a≠1，
∴实数a 的取值范围是a≤2 且a≠1．
故选：C．
3．（2025•扬州）关于一元二次方程x2﹣3x+1＝0 的根的情况，下列结论正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断根的情况
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【解答】解：∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0，
∴方程x2﹣3x+1＝0 有两个不相等的实数根．
故选：A．
4．（2025•广东）不解方程，判断一元二次方程2x2+x﹣1＝0 的根的情况是
．
【解答】解：一元二次方程2x2+x﹣1＝0，
∴Δ＝12﹣4×2×（﹣1）＝9＞0．
∴该方程有两个不相等的实数根．
故答案为：方程有两个不相等的实数根．
5．（2025•山东）若关于x 的一元二次方程x2+4x﹣m＝0 有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是
．
【解答】解：∵关于x 的一元二次方程x2+4x﹣m＝0 有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，即Δ＝42+4m＞0，
解得m＞﹣4．
故答案为：m＞﹣4．
6.（2025·漯河校考）解下列方程：
．
【详解】解：
，
，
，
，
，
，
，
．
（设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检
验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力）
1. 知识与技能：（1）两个核心公式：根的判别式
、求根公式当
时,方程有两个不
相等的实数根
,
；（2）判别式三种结论：
两不等实根，
两相等实根，
无实数根.（3）公式法解题五步核心步骤：化一般式→定系
数→求判别式→判根的情况→代入求解.
2. 思想方法：（1）特殊到一般：从数字系数方程配方，推广到字母系数一般方程，推导通用公式；
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（2）分类讨论思想：根据判别式的不同取值，分类讨论方程根的三种情况；（3）转化思想：将繁琐的配
方法转化为程序化的公式法，简化运算过程.
3. 易错提醒：（1）确定a、b、c 时，必须带符号，切勿遗漏负号；（2）必须先判断
的取值
<0)时无需代入公式，直接判定无实数根；（3）牢记前提条件：一元二次方程a≠0，含参数题型需优先验
证；（4）计算判别式和公式代入时，注意平方、正负运算，避免基础计算失误；（5）最终结果需化为最
简根式、最简分数，不可保留复杂分式.
(设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ）
必做题：课本习题25.2 第6（1、2、3、4）题.
探究性作业：课本习题25.2 第8 题.P18 阅读与思考
（设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ）
主板书
25.2.2 公式法解
一、核心公式
1. 根的判别式：
2. 求根公式：
二、判别式与根的关系
三、解题步骤
四、易错提醒
副板书
典型例题
（预留区域，课堂书写化简、检验例题）
例题
学生练习板演
