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2025-2026 学年九年级上册数学单元检测卷
第二十一章 一元二次方程·基础通关
建议用时：100分钟，满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列方程中是关于 的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程是只有一个未知数且未知数次数为2的
整式方程成为解题的关键．
根据一元二次方程的定义（整式方程、一个未知数、最高次数为2）逐项判断即可．
【详解】解：A： 含有分式 ，不是整式方程，不符合题意；
B： 中，若 ，则方程变为一次方程，因此不一定是二次方程，不符合题意；
C： 展开后为 ，是整式方程且最高次数为2，符合定义．
D： ，展开右边得 合并后方程为 ，化简
得 ，为一次方程，不符合题意．
故选C．
2．方程 的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的一般形式．根据一元二次方程的一般形式： ，其
中 ， ， 分别为二次项系数，一次项系数和常数项，进行判断即可．
【详解】解：∵ ，∴二次项系数、一次项系数和常数项分别是 ；
故选：A．
3．一元二次方程 配方后正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程就是把方程左边整理成完全平方
式的形式，再用完全平方公式进行分解因式．
【详解】解： ，
移项得： ，
等式两边同时加 ，
可得：
整理得： ．
故选： C．
4．一元二次方程 的实数根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．无实数根
C．有两个相等的实数根 D．有实数根
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟知判别式小于0时，方程无实数根是解题的关键；
根据一元二次方程的判别式进行解答即可.
【详解】解：因为方程的判别式 ，
所以一元二次方程 无实数根；
故选：B.
5．若 是关于x的一元二次方程 的一个根，则k的值是（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】B【分析】本题考查一元二次方程的解，把 代入方程进行求解即可．
【详解】解：把 代入 ，得： ，
解得： ；
故选B．
6．若 ， 是方程 的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程 ，若
是该方程的两个实数根，则 ，据此求解即可．
【详解】解：∵ ， 是方程 的两个根，
∴ ， ，
故选：A．
7．毕业将至，九（1）班全体学生互赠祝福卡，共赠祝福卡1560张，问：九（1）班共有多少名学生？设
九（1）班共有 名学生，根据题意可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据每个同学都要送其他 名同学一张祝福卡，
因此总赠送祝福卡数是 张，再根据共赠祝福卡1560张列方程即可．
【详解】解：设九（1）班共有x名学生，
由题意得： ，
故选：B．
8．若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值是（ ）A．2 B．1 C． D．0
【答案】A
【分析】本题主要考查了根的判别式，解题的关键是牢记“当 时，方程有两个相等的实数根”．
根据方程的二次项系数不等于0结合根的判别式 ，可得出关于 的一元一次方程，解之即可得出 的
取值范围，对照四个选项即可得出结论．
【详解】解： 关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，
， ，
解得： ，
故选：A．
9．如图，小军的爸爸用一段 长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长 ）的矩形鸭舍，其面积为 ，
在鸭舍侧面中间位置留一个 宽的门（由其它材料制成），则 长为（ ）
A． 或 B． C． 或 D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设 长为 ，则 的长为 ，根据题意列出
一元二次方程，解方程即可得解，理解题意，找准等量关系是解此题的关键．
【详解】解：设 长为 ，则 的长为 ，
由题意可得： ，
解得： ， （不符合题意，舍去），
∴ 长为 ，
故选：B．
10．若关于 的一元二次方程 有一根为 ，则关于 的一元二次方程必有一根为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义；
根据 满足方程 ，得到 ，两边同时除以 可确定所求方程的一
个根．
【详解】解： 把代入一元二次方程 ，得，
，
两边除以 （ ，若 ，代入 得 ，与 矛盾 ），得，
，
．
∴当 时，方程 成立．
∴方程 必有一根为 ，
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．一元二次方程 的一般形式是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，直接利用多项式乘以多项式运算法则去括号，进而合
并同类项求出即可．
【详解】解：
，
整理得：故答案为：
12．已知方程 的两根分别为 ， ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查根与系数之间的关系，熟练掌握根与系数之间的关系，是解题的关键．根据根与系数之
间的关系，得到 ，将代数式用多项式乘以多项式的法则展开后，利用整体代入法进行求
解即可．
【详解】解：由题意，得： ，
∴
；
故答案为： ．
13．已知a是方程 的一个根，则代数式 的值是 ．
【答案】2023
【分析】本题考查了一元二次方程的根、代数式求值，掌握理解一元二次方程的根的定义是解题关键．
先根据一元二次方程的根的定义可得 ，再作为整体代入即可得．
【详解】解：由题意得： ，即 ，
则
，
故答案为：2023．
14．若关于 的方程 是一元二次方程，则 的值是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 的整
式方程叫一元二次方程进行解答即可．
【详解】解：依题意可得 ，解得 ，
故答案为： ．
15．关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是 ．
【答案】 且
【分析】本题考查一元二次方程的定义及根的判别式，首先将方程化为一般形式，进一步利用根判别式求
解即可．解题的关键是掌握：式子 是一元二次方程 根的判别式，
方程有两个不等的实数根； 方程有两个相等的实数根； 方程无实数根．
【详解】解：由 得： ，
∵关于 的一元二次方程 有实数根，
∴ 且 ，
解得： 且 ，
即 的取值范围是 且 ．
故答案为： 且 ．
16．如图所示的是某月的月历表，在此月历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数（如：8，14，15，
16，17，24）．若圈出的6个数中，最大数与最小数的积为225，则这6个数的和为 ．
【答案】100
【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的6个数，最大数与最小数的差为16，以及利用最大数与最小数
的积为225，求出两数，再利用上下对应数字关系得出其他数即可．
【详解】解：根据图象可以得出，圈出的6个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为：x，则最大数为 ，根据题意得出： ，
解得： ， （不合题意舍去），
故最小的数为：9，
中间一行的数字分别为：15，16，17，18，
最大的数为：25，
故这6个数的和为： ．
故答案为：100．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用、数字变化规律以及一元二次方程的解法，根据已知得出最
大数与最小数的差为16是解题关键．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；
共9小题，共72分）
17．解方程：
(1) ； (2) ．
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、
因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
（1）利用配方法求解即可．
（2）先将方程变形，再利用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
，
∴ ， ；（2） ，
，
，
或 ，
∴ ， ．
18．小南和小湖两位同学解方程 的过程如下框：
小南：
移项，得
小湖：
提取公因式得
两边同除以 ，得
则 ．
则 ，或 ，
解得 ， ．
你认为他们的解法是否正确？若正确请在相应框内打“√；若错误请在相应框内打“×”，并写出你的解答
过程．
【答案】均不对， ， ．
【分析】本题主要考查解一元二次方程利用因式分解法求解即可．
【详解】解：均不对，
∵ ，
∴ ，
则 ，
∴ 或 ，
解得： ， ．
19．设 是方程 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值．(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知根与系数的关系是解题的关键．
（1）根据根与系数的关系可得 ，再由 即可得到答案；
（2）根据根与系数的关系可得 ，再由 即可得到答案．
【详解】（1）解：∵ 是方程 的两个根，
∴ ，
∴
；
（2）解：∵ 是方程 的两个根，
∴ ，
∴．
20．已知关于 的一元二次方程 ．
(1)证明：当 取不为0的任何值时，方程总有实数根；
(2) 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，一元二次方程的判别式，正确掌握相关性质
内容是解题的关键．
（1）根据关于 的一元二次方程 ，则 ，且 ，即可
作答．
（2）运用因式分解法得 或 ，结合方程有两个不相等的正整数根， 为整数，即可作答．
【详解】（1）解：∵关于 的一元二次方程 ，
∴ ，且
当 取不为0的任何值时，总有 ，
所以方程总有实数根；
（2）解： ，
，
或 ，
由题意方程有两个不相等的正整数根，
即 是正整数，且 为整数， ，
∴ ，
∴ ．21．定义：如果一元二次方程 （ ）满足 ，那么称这个方程为“联合方程”．
(1)判断一元二次方程 是否为“联合方程”，说明理由；
(2)已知 是关于 的“联合方程”，若 是此“联合方程”的一个根，求 和 的值．
【答案】(1)该方程是“联合方程”，见解析
(2) 的值为 ， 的值为6
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解二元一次方程组，正确理解一元二次方程的解得概念是解
题的关键．
（1）根据“联合方程”的定义进行计算即可；
（2）根据题意得到二元一次方程组，解方程即可．
【详解】（1）解：该方程是“联合方程”，理由如下：
在一元二次方程 中， ， ， ，
，
一元二次方程 是“联合方程”；
（2）解： 是关于 的“联合方程”，
，
是此“联合方程”的一个根，
，
即 ，
解得 ，
的值为 ， 的值为6．
22．某超市今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售128件．二、
三月该商品销售量持续走高，在售价不变的前提下，三月份的销售量达到200件．设二、三这两个月的月
平均增长率不变．
(1)求二、三这两个月的月平均增长率．(2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5
件，当商品降价多少元时，商场获利1250元？
【答案】(1)
(2)10元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设二、三这两个月的月平均增长率为 ，利用该商品三月份的销售量 该商品一月份的销售量 二、
三这两个月的月平均增长率 ，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可；
（2）设商品降价 元，则每件的销售利润为 元，月销售量为 件，根据商场获利
1250元，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可．
【详解】（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为 ，
根据题意得： ，
解得： （不符合题意，舍去），
答：二、三这两个月的月平均增长率为 ；
（2）解：设商品降价 元，则每件的销售利润为 元，月销售量为 件，
根据题意得： ，
整理得： ，
解得： （不符合题意，舍去），
答：当商品降价10元时，商场获利1250元．
23．已知关于x的一元二次方程 ．
(1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)若 ， 是该方程的两根，且满足 ，求m的值．
【答案】(1)见解析
(2) 或
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数之间的关系，正确理解题意是解题的
关键：（1）根据根的判别式得出 ，再根据完全平方式转化，进而可得出结论；
（2）根据一元二次方程根与系数之间的关系得出 ， ，再将其代入得出
，求解即可
【详解】（1）证明：
，
故无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）解： ， ，
，
，
，
， ．
故m的值为 或 ．
24．如图，某农户准备利用墙面（墙面足够长），用 长的栅栏围一个矩形羊圈 和一个边长为
的正方形狗屋 （图中阴影部分为羊的活动范围）．设 ．
(1) 的长为___________m；（用含 的代数式表示）
(2)若羊的活动范围的面积为 ，求 的长；
(3)羊的活动范围的面积能否为 ？若能，求出此时 的长；若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2) 的长为 或 ；(3)羊的活动范围的面积不能为 ．理由见解析
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，列代数式等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
（ ）根据 得到 ，整理即可得到答案；
（ ）根据羊的活动范围的面积为 列出代数式即可；
（ ）依题意得： ，根据根的判别式，即可得到答案；
【详解】（1）解：依题意得 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ；
（2）解：依题意得：羊的活动范围的面积为 ，
∴ ，即 ，
解得 ，
∴ 的长为 或 ；
（3）解：羊的活动范围的面积不能为 ．理由如下，
依题意得： ，即 ，
∵ ，
∴羊的活动范围的面积不能为 ．
25．小慧在学习配方法的知识时，发现一个有趣的现象：关于x的多项式 ，由于
，所以当 时，多项式 有最小值；多项式 ，由于
，所以当 时，多项式 有最大值．于是小慧给出一个定义：关于x的二次多项式，当 时，该多项式有最值，就称该多项式关于 对称，例如 关于
对称．请结合小慧的思考过程，运用此定义解决下列问题：
(1)多项式 关于 _______对称；
(2)关于x的多项式 关于 对称，且最小值为3，求方程 的解．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了配方法的应用，解一元二次方程：
（1）利用配方法把原多项式变形为 ，根据 得到当 ，即 时，多项式
有最小值，据此可根据题意求出答案；
（2）利用配方法把原多项式变形为 ，进而得到当 ，即 时，多项式
有最小值，最小值为 ，则 ，解方程求出a、c，进而解方程
可得答案．
【详解】（1）解：
，
∵ ，
∴ ，
∴当 ，即 时，多项式 有最小值，∴多项式 关于 对称，
故答案为： ；
（2）解：
，
同理可得当 ，即 时，多项式 有最小值，最小值为 ，
∵关于 的多项式 关于 对称，且最小值为3，
∴ ，
∴ ，
∴方程 即为方程 ，
∴ ，
解得 ．
