文档内容
2023 学年第二学期初三年级学业质量调研数学试卷
（考试时间100分钟，满分150分）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题．
2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律
无效．
3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计
算的主要步骤．
4．本次考试不能用计算器．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 下列说法正确的是（ ）
A. 无限小数都是无理数
B. 没有立方根
C. 正数的两个平方根互为相反数
D. 没有平方根
【答案】C
【解析】
【分析】根据无理数、立方根、平方根的定义解答即可．
【详解】A、无限循环小数是有理数，故不符合题意；
B、 有立方根是 ，故不符合题意；
C、正数的两个平方根互为相反数，正确，故符合题意；
D、﹣（﹣13）＝13有平方根，故不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了无理数、立方根、平方根，掌握无理数、立方根、平方根的定义是解题的关键．
2. 已知 ， ，而且 和 方向相反，那么下列结论中正确的是（ ）
的
A. B. C. D.【答案】D
【解析】
【分析】根据 ，而且 和 的方向相反，可得两者的关系，即可求解.
【详解】∵ ，而且 和 的方向相反
∴
故选D.
【点睛】本题考查的是向量，熟练掌握向量的定义是解题的关键.
的
3. 下列成语所反映 事件中，是确定事件的是（ ）
A. 十拿九稳 B. 守株待兔 C. 水中捞月 D. 一箭双雕
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下一定发生的事件.
不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件.不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也
可能不发生的事件．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可．
【详解】解：A. 十拿九稳是随机事件，不符合题意；
B.守株待兔是随机事件，不符合题意；
C.水中捞月是不可能事件，是确定事件，符合题意；
D. 一箭双雕是随机事件，不符合题意；
故选：C．
4. 方差是刻画数据波动程度的量．对于一组数据 ， ， ，…， ，可用如下算式计算方差：
，其中“5”是这组数据的（ ）
A. 最小值 B. 平均数 C. 中位数 D. 众数
【答案】B
【解析】
【分析】根据方差公式的定义即可求解.【详解】方差 中“5”是这组数据的平均数.
故选B．
【点睛】此题主要考查平均数与方差的关系，解题的关键是熟知方差公式的性质.
的
5. “利用描点法画函数图象，进而探究函数 一些简单性质”是初中阶段研究函数的主要方式，请试
着研究函数 ，其图象位于（ ）
A. 第一、二象限 B. 第三、四象限 C. 第一、三象限 D. 第二、四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根据 的取值，判断 的范围即可求解．
【详解】解：当 时， ，此时点在第一象限，
当 时， ，此时点在第二象限，
故选：A．
【点睛】本题主要考查函数的图像、描点法等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．
6. 如图，在矩形 中， 为对角线 的中点， ．动点 在线段 上，动点 在线
段 上，点 同时从点 出发，分别向终点 运动，且始终保持 ．点 关于 的
对称点为 ；点 关于 的对称点为 ．在整个过程中，四边形 形状的变化依次
是（ ）A. 菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形
B. 菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形
C. 平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
D. 平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，分别证明四边形 是菱形，平行四边形，矩形，即可求解．
【详解】∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ 、 ，
∴
∵对称，
∴ ，
∴
∵对称，
∴ ，
∴ ，
同理 ，
∴
∴
∴四边形 是平行四边形，
如图所示，当 三点重合时， ，
∴
即
∴四边形 是菱形，
如图所示，当 分别为 的中点时，
设 ，则 ， ，
在 中， ，
连接 ， ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∵ 为 中点，
∴ ， ，
∴ ，
根据对称性可得 ，
∴ ，∴ ，
∴ 是直角三角形，且 ，
∴四边形 是矩形，
当 分别与 重合时， 都是等边三角形，则四边形 是菱形
∴在整个过程中，四边形 形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形，
故选：A．
【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理与勾股
定理的逆定理，轴对称的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 若函数 是反比例函数，则 的值是__．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查反比例函数定义．根据反比例函数的定义： ，列式计算即可．
【详解】解：∵函数 是反比例函数，∴ ，
故答案为：
8. 为了考察闵行区15000名九年级学生数学知识与能力测试的成绩，从中抽取50本试卷，每本试卷25份，
那么样本容量是__．
【答案】1250
【解析】
【分析】本题主要考查样本容量，掌握样本容量的概念是解题的关键．
根据抽取的试卷的本数 每本试卷的份数即可得出答案．
【详解】
样本容量是1250．
故答案为：1250．
9. 如果关于 的多项式 在实数范围内因式分解，那么实数 的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】原多项式在实数范围内能因式分解，说明方程 =0有实数根，即转换为
不小于0，再代入求值即可．
【详解】由题意知：∵关于 的多项式 在实数范围内因式分解，
∴ =0有实数根，
∴a=1，b=-2，c=m，
则 ，
解得： ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查因式分解，其实是考查一元二次方程根与判别式的关系，能够转换思维解题是关键．
10. 某班共有6名学生干部，其中4名是男生，2名是女生，任意抽一名学生干部去参加一项活动，其中是
女生的概率为_____．
【答案】
【解析】【详解】分析：根据概率公式用女生人数除以总人数即可得结论．
详解：所有等可能结果共有6种，其中女生有2种，∴恰好是女生的概率为 ．
故答案为 ．
点睛：本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结
果数．
11. 如果二次函数 的图象的一部分是下降的，那么 的取值范围是__．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据函数解析式可得抛物线
开口向上，则当 在对称轴左侧时，函数图象下降，所以求出函数的对称轴即可求解．
【详解】解： ，又抛物线开口向上，
当 时， 随 的增大而减小，图像下降；当 时， 随 的增大而增大，图像上升；
二次函数 的图像的一部分是下降的，
，
故答案为： ．
12. 一个多边形的内角和是 ，这个多边形的边数是______．
【答案】8
【解析】
【分析】本题主要考查多边形内角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键；因此此题可根据多边形
内角和公式 进行求解即可．
【详解】解：由题意得： ，
∴ ；
故答案为8．
13. 若点P到 上的所有点的距离中，最大距离为8，最小距离为2，那么 的半径为__．【答案】 或者
【解析】
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，分点P在 外和 内两种情况讨论，当点P在 外时，最
大距离与最小距离之差等于直径；当点P在 内时，最大距离与最小距离之和等于直径，即可得．
【详解】解：点P在 外时，
外一点 到 上所有的点的距离中，最大距离是 ，最小距离是 ，
的半径长等于 ；
点P在 内时，
内一点 到 上所有的点的距离中，最大距离是 ，最小距离是 ，
的半径长等于 ，
故答案为： 或者 ．
14. 如图，在平行四边形ABCD中，点M是边CD中点，点N是边BC的中点，设 ， ，那
么 可用 ， 表示为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质和线段的中点，可用 表示出 ，用 表示出 ，再根据，即可用 和 表示出 ．
【详解】∵ ，
∴ ．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ，
∵点M是边CD中点，点N是边BC的中点，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，线段的中点和向量的线性运算．利用数形结合的思想是解答本题的
关键．
15. 中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线
（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为 ，曲线终点为 ，过点 ， 的两条切线相交于点 ，列
车在从 到 行驶的过程中转角 为 ．若圆曲线的半径 ，则这段圆曲线 的长为
________ ．【答案】 ##
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，求弧长，根据题意得出 ，将已知数据代入弧长公式，即可
求解．
【详解】解：∵过点 ， 的两条切线相交于点 ，列车在从 到 行驶的过程中转角 为 ．
∴ ，
∴ ，
∴圆曲线 的长为
故答案为： ．
16. 蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正
六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点．若点P，Q的坐
标分别为 ， ，则点M的坐标为__．
【答案】
【解析】
【分析】设中间正六边形的中心为 ，连接 ．判断出 ， 的长，可得结论．本题考查正多边形
与圆，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【详解】解：设中间正六边形的中心为 ，连接 ．点 ， 的坐标分别为 ， ，图中是7个全等的正六边形，
， ，
，
，
，
， ，
，
故答案为：
17. 如图， 为等腰直角三角形， 为 的重心，E为线段 上任意一
动点，以 为斜边作等腰 （点D在直线 的上方）， 为 的重心，设
两点的距离为d，那么在点E运动过程中d的取值范围是_________．
【答案】
【解析】【分析】当点E与点B重合时， ，当点E与点A重合时， 的值最大，利用重心的性质以及勾股定
理求得 ， ，证明 ，推出 是等腰直角三角形，据此求
解即可．
【详解】解：当点E与点B重合时， ，
当点E与点A重合时， 的值最大，如图，点 分别为 的中点，
∵ 为等腰直角三角形， 为 的重心，
∴ ，
∴ ， ，
同理 ，
∴ ， ，
， ， ，即 ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，重心的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，
解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
的
18. 在平面直角坐标系 中，一个图形上 点都在一边平行于 轴的矩形内部（包括边界），这些矩
形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数 的图象（抛物线
中的实线部分），它的关联矩形为矩形 ．若二次函数 图象的关联矩形
恰好也是矩形 ，则 ________．
【答案】 或
【解析】
【分析】根据题意求得点 ， ， ，根据题意分两种情况，待定系数法求解析式即可
求解．
【详解】由 ，当 时， ，
∴ ，
∵ ，四边形 是矩形，
∴ ，①当抛物线经过 时，将点 ， 代入 ，
∴
解得：
②当抛物线经过点 时，将点 , 代入 ，
∴
解得：
综上所述， 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，理解新定义，最小矩形的限制条件是解题的关键．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键；
原式第一项利用立方根的定义化简，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项分母有理化，最后一项利
用零指数幂法则计算即可得到结果．
【详解】．
20. 解方程组：
【答案】 或
【解析】
【分析】利用因式分解法求 ，得到 或 ，然后得到两个二元一次方
程组，分别求出方程组的解即可.
【详解】解：由（1）得 或 ，
或 ，
解方程组得： ， ，
则原方程组的解为 和 .
【点睛】本题主要考查解二元二次方程组，解此题的关键在于利用因式分解法将第一个方程求解，然后得
到新的方程组.也可以利用代入消元法进行求解.
21. 如图，一次函数y=﹣x﹣1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数 图象的一
1
个交点为M（﹣2，m）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点B到直线OM的距离．【答案】（1） （2） ．
【解析】
【分析】（1）根据一次函数解析式求出M点的坐标，再把M点的坐标代入反比例函数解析式即可；
（2）设点B到直线OM的距离为h，过M点作MC⊥y轴，垂足为C，根据一次函数解析式表示出B点坐
标，利用△OMB的面积= ×BO×MC算出面积，利用勾股定理算出MO的长，再次利用三角形的面积公式
可得 OM•h，根据前面算的三角形面积可算出h的值．
【详解】解：（1）∵一次函数y=﹣x﹣1过M（﹣2，m），∴m=1．∴M（﹣2，1）．
1
把M（﹣2，1）代入 得：k=﹣2．
∴反比列函数为 ．
（2）设点B到直线OM的距离为h，过M点作MC⊥y轴，垂足为C．
∵一次函数y=﹣x﹣1与y轴交于点B，
1
∴点B的坐标是（0，﹣1）．∴ ．
在Rt△OMC中， ，
∵ ，∴ ．
∴点B到直线OM的距离为 ．
22. 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为 ，流速
为 ；开水的温度为 ，流速为 ．某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得
到一杯 温度为 的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间．
【答案】该学生接温水的时间为 ，接开水的时间为
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用， 设该学生接温水的时间为 ，则接温水 ，开水
，由物理常识的公式可得方程，解方程即可．
【详解】解：设该学生接温水的时间为 ，
根据题意可得： ，
解得 ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴该学生接温水的时间为 ，接开水的时间为 ．
23. 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AC与BD相交于点O，点E在线段OB上，AE的延长线与BC相交
于点F，OD2 = OB·OE．
（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；
（2）如果BC=BD，AE·AF=AD·BF，求证：△ABE∽△ACD．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由题意，得到 ，然后由AD∥BC，得到 ，则 ，即可得到
AF//CD，即可得到结论；
（2）先证明∠AED=∠BCD，得到∠AEB=∠ADC，然后证明得到 ，即可得到△ABE∽△ADC.
【详解】证明：（1）∵OD2 =OE · OB，
∴ ．
∵AD//BC，
∴ ．
∴ ．
∴ AF//CD．
∴四边形AFCD是平行四边形．
（2）∵AF//CD，∴∠AED=∠BDC， ．
∵BC=BD，
∴BE=BF，∠BDC=∠BCD
∴∠AED=∠BCD．
∵∠AEB=180° ∠AED，∠ADC=180° ∠BCD，
∴∠AEB=∠ADC．
∵AE·AF=AD·BF，
∴ ．
∵四边形AFCD是平行四边形，
∴AF=CD．
∴ ．
∴△ABE∽△ADC．
【点睛】本题考查了相似三角形 的判定和性质，平行线分线段成比例，平行四边形的判定和性质，以
及平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，正确找到证明三角形相似的条件.
24. 蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬
菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间，如
图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形 和抛物线 构成，其中E点为抛物线的拱顶且高 ，
， ，取 中点O，过点O作线段 的垂直平分线 交抛物线 于点E，若以
O点为原点， 所在直线为x轴， 为y轴建立如图所示平面直角坐标系．
解决下列问题：
（1）如图，求抛物线的解析式；（2）如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置 ， ，若
，求两个正方形装置的间距 的长；
（3）如图，在某一时刻，太阳光线（太阳光线为平行线）透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴
影为，求 的长．
【答案】（1） ；
（2） ；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意得到 的坐标，设函数解析式为 ，求出点 坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据正方形性质得到 ，求出 时，对应的自变量的值，得到 的
长，再减去两个正方形的边长即可得解；
（3）设直线 的解析式为 ，根据题意求出直线 的解析式，进而设出过点的光线解析式为
，利用光线与抛物线相切，求出 的值，进而求出点 坐标，即可得出 的长．
【小问1详解】
解：由题知，E点为抛物线顶点坐标为 ，
设抛物线的解析式为 ，
四边形 为矩形， 为 的中垂线， ，
， ，
，
，
将其代入 中，
有 ，
，
抛物线的解析式为 ；
【小问2详解】
解： 四边形 和 为正方形， ，
，
延长 交 于点 ，延长 交 于点 ，易知四边形 和 为矩形，， ，
，
，
当 时， ，解得 ，
， ，
，
；
【小问3详解】
解： 为 的中垂线， ，
，
， ，
设直线 的解析式为 ，
则 ，解得 ，
直线 的解析式为 ，
太阳光为平行线，设过点 且平行于直线 的解析式为 ，
由题意得 与抛物线相切，即只有一个交点，
联立 ，
整理得 ，
则 ，解得 ，
，
当 时， ，
，
，
．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，坐标与图形，中垂线性质，待定系数法求出函数解析式，正方形
的性质，矩形的性质和判定．读懂题意，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是
解题的关键．
25. 如图，已知在 中，射线 ，P是边 上一动点， ， 交射线
于点D，连接 ． ， ， ．（1）求证： ；
（2）如果以 为半径的圆A与以 为半径的圆B相切，求线段 的长度；
（3）将 绕点A旋转，如果点D 恰好与点B重合，点C落在点E的位置上，求此时 的余切
值．
【答案】（1）证明见解析
（2）2 （3）
【解析】
【分析】（1）先由平行线证明 ，再由已知条件 ，证明 ，得
出对应边成比例 ，即可得出结论；
（2）设 ，作 于H，，先根据勾股定理求出 ，再由勾股定理得出
，由两圆外切时， ，得出方程，解方程即可；
（3）作 于G；先根据题意得出 ，解方程求出 ，再证明
为 等 边 三 角 形 求 出 ， 然 后 证 明 四 边 形 为 矩 形 得 出 ，
，求出 ，即可求 的余切值，
【小问1详解】
，
，
，，
，
；
【小问2详解】
设 ，作 于H，如图所示∶
， ，
，
，
根据勾股定理得∶ ，
，
，
两圆相切时， ，
即 ，
解得： ，
的长度为2；
【小问3详解】
根据题意得： ，解得： ，
，
，
为等边三角形，
， ， ， ，
∴四边形 为矩形，
， ，
作 于G，如图所示：
则 ，
，
，
．
【点睛】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、两圆外切的条件、等边三角
形的判定与性质、三角函数等知识；通过作辅助线运用勾股定理和证明等边三角形、矩形是解题的关键．
