文档内容
分课时教学设计
第二课时《公式法解一元二次方程》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 公式法是在前面学的配方法的基础上学习的，对于任意的一元二次方程，只要将方
程化为一般形式，代入一元二次方程的求根公式即可求解，它是所有一元二次方程
的通用解法，它为进一步学习一元二次方程的简单应用起到铺垫作用。
学习者分析 学生已学习了一元一次方程､二元一次方程组等内容；已经经历将一些实际问题抽
象成数与代数问题的过程及一元二次方程的建模过程；学习了用配方法解一元二次
方程，掌握了数与代数的基本知识和基本技能和一定的运算技能。这些为本节进一
步用配方法解一元二次方程提供了基础｡学生在七年级和八年级中有过推理探索的
经历，经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的
合作与交流的能力，这些也构成了本课任务完成的活动经验基础。
教学目标 1.理解一元二次方程求根公式的推导过程.
2.会用公式法解一元二次方程.
3.理解并会计算一元二次方程根的判别式.
4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况.
教学重点 掌握一元二次方程的求根公式，并能用它熟练地解一元二次方程。
教学难点 一元二次方程求根公式的推导过程。
学习活动设计
教师活动 学生活动
环节一：引入新课
教师活动1： 学生活动1：
【提问】简述通过配方法解一元二次方程的 学生思考，独立完成，
步骤。
（2）你能用配方法解一般形式的一元二次
方程ax2+bx+c=0(a≠0)吗？
活动意图说明：
先回顾配方法解一元二次方程的步骤，为本节课的学习利用配方法推导一元二次方程求根公式做好
铺垫。
环节二：新知探究
教师活动2： 学生活动2：
【问题】用配方法解一元二次方程： 学生思考，独立完成
ax2+bx+c=0(a≠0)？
解：移项，得ax2+bx=−c
根据化简后的结果，教师需提醒学生：因
b c
为a≠0，所以4a2>0，式子b2－4ac的值需分
二次项系数化为1，得x2+ x=−
情况讨论： a a
b b2-4ac b b2 c b2
(x+ )2= ① 配方，得x2+ x+ =− +
2a 4a2 a 4a2 a 4a2
b2-4ac b b2-4ac
1）若b2－4ac＞0，则 >0 将① 整理后，得(x+ )2=
4a2 2a 4a2b √b2-4ac
直接开平方，得x+ =±
2a 2a
方 程 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根
-b+√b2-4ac -b-√b2-4ac
x = ,x = ;
1 2a 2 2a
b2-4ac
2）若b2－4ac=0，则 =0 将①
4a2
b
直接开平方，得x+ =0
2a
b
方程有两个相等的实数根 x=x=﹣
1 2 2a
b2-4ac
3）若b2－4ac＜0， 则 ＜ 0
4a2
( b ) 2
而x取任何实数都不能使 x+ <0
2a
，因此方程无实数根。
由此可知，一般地，式子b2－4ac叫做一
元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式。
通常用希腊字母“Δ”表示，即Δ=b2－4ac.
[总结]由前面的推导过程，可知：
1）若△＞0，一元二次方程 ax2+bx+c=0
（a≠0）有两个不相等的实根。
2）若△= 0，一元二次方程 ax2+bx+c=0
（a≠0）有两个相等的实根。
3）若△＜0，一元二次方程 ax2+bx+c=0
（a≠0）无实根。
活动意图说明：通过教师板演配方法解一元二次方程: ax2+bx+c=0的过程，学生再次巩固配方法
求解一元二次方程的方法，引导学生回顾已有的知识，主动参与到本节课的学习中来。再通过分情况
讨论，让学生理解如何通过根的判别式判别根的情况的方法。通过总结环节，引起学生的探究欲望
和学习兴趣，激发学生的学习热情。
环节三：新知探究
教师活动3： 学生活动3：
经过前面的推导过程，归纳与小结一元二 先由学生回答，老师帮助引导与完善
次方程求根公式与公式法的概念：
当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实
-b±√b2-4ac
数根为x= 的形式，这个式
2a
子叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0 的求根公
式。
解一元二次方程时，把各系数直接代入求
根公式，可以省略配方过程而直接求一元二次
方程根，这种解一元二次方程的方法叫做公式
法。活动意图说明：学生通过观察配方法解一元二次方程: ax2+bx+c=0的过程，让学生理解一元二次
方程求根公式是如何推导而得出的，从而理解利用公式法求解一元二次方程的方法。
环节四：典例精析
教师活动4： 学生活动4：
例1 1）x2 -4x-7=0 学生板演，然后师生共同纠错
2）2x2-2√2x+1=0
3)5x2-3x=x+1
4)x2+17=8x
活动意图说明：让学生加深对公式法求解一元二次方程方法的掌握。
环节五：归纳总结
教师活动5： 学生活动5：
【提问】简述通过公式法解一元二次方程 先由学生回答，最后给出归纳的知识
的步骤。
1）将原方程化为一般形式，确定a、b、
c的值
【小技巧】若系数是分数通常将其化为整
数，方便计算。
2）求出b2-4ac的值，根据b2-4ac值的情
况确定一元二次方程是否有解。
3）如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入
求根公式。
【易错点】a、b、c的值代入求根公式时
易遗漏前面的符号。
4）最后求出原方程的解。
活动意图说明：教师引导学生归纳公式法解一元二次方程的步骤及注意事项。使学生巩固对课堂
知识的理解和掌握，同时需重点强调：a、b、c的值代入求根公式时易遗漏前面的符号。
环节六：典例精析
教师活动6： 学生活动6：
学生思考，积极回答，以小组为单位，通过探讨解方程
例3 求本章引言中的问题，雕像下部高
度x(m)满足方程x2 +2x-4=0 解 ： 用 公 式 法 解 方 程 得
-2±√22-4×1×(-4) -2±√20
x= = =-1±√5,
2×1 2
即x =-1+√5，x =-1-√5
1 2
如果结果保留小数点后两位，那么 x≈ 1.24，x≈ －
1 2
3.24（舍）
所以雕像下部高度应设计为约1.24m
活动意图说明：将学生放置在实际问题的背景下，激发学生的主动性和求知欲。让学生感受到
问题的存在。引导学生初步思考、回顾已有的知识，主动参与到本节课的学习中来。板书设计 1.根的判别式Δ
-b±√b2-4ac
2.一元二次方程的求根公式：x=
2a
3.公式法解一元二次方程的步骤
课堂练习 【知识技能类作业】
必做题：
1．用公式法解一元二次方程2x2＝3x＋1时，化方程为一般式当中的a，b，c依次
为( )
A．2，－3，1 B．2，－3，－1
C．－2，－3，－1 D．－2，3，1
2．用公式法解方程3x2＋5x＋1＝0，正确的是( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝
3．若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2-6x+4=0的两个实
数根，则这个直角三角形斜边的长是_________．
4．对于实数a，b定义新运算：a※b=ab2-b，若关于x的方程1※x=k有两个
不相等的实数根，则k的取值范围是 。
选做题：
5. 已知T=(a+3b) 2+(2a+3b)(2a-3b)+a2
(1)化简T；
(2)若关于x的方程x2+2ax-ab+1=0有两个相等的实数根，求T的值．
6.已知关于x的一元二次方程kx2+(k+3)x+3(k≠0)．求证：方程一定有两个实数
根．
【综合拓展类作业】
7．已知关于x的一元二次方程x2－3x＋a－1＝0有实数根．
(1)求a的取值范围；
(2)当a为符合条件的最大整数时，求此时方程的解．
课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】
必做题：1.方程x－5＝4x2化为一般形式ax2＋bx＋c＝0后，a，b，
c的值分别为( )
A．4，1，5 B．1，4，5
C．4，1，－5 D．4，－1，5
b±√b2+4ac
2.以x＝ 为根的一元二次方程可能是( )
2a
A．x2＋bx＋c＝0 B．x2＋bx－c＝0
C．x2－bx＋c＝0 D．x2－bx－c＝0
选做题：
3．关于x 的方程(a＋1)x2－4x－1＝0有实数根，则a满足的条件是_________．
4．定义：如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足a＋b＋c＝0，那么
我们称这个方程为“凤凰”方程．已知关于x的方程x2＋mx＋n＝0是“凤凰”方
程，且有两个相等的实数根，则mn＝____.
【综合拓展类作业】
5.已知关于x的方程x2－(k＋2)x＋2k＝0.
(1)求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；
(2)若等腰△ABC的一边长a＝1，另两边长b，c恰好是这个方
程的两个根，求△ABC的周长．
教学反思 1．充分利用了教材，在练习题与例题的编排上有所调整，通过质疑—猜想—
类比—探索—归纳—总结出公式法，再让学生用公式法解方程，适时地参透了转化
的数学思想。配合教学过程中的“温故” 环节，让学生再次明确a、b、c如何正
确取值，减少了代入公式的错误环节。
2．在授课过程中，教师给学生留下了很大的思维空间，通过自己的亲自操
作，运用探索发现法，让学生积极参与自主探究，合作交流，把主体地位返还给学
生。无论是公式的推导，还是公式的应用，都是在教师的引导下，学生自己完成
的，教师这样做，重视了知识的形成过程，在应用中又开拓了学生的视野，使学生
的发散思维与应用技巧得到了锻炼。
3．除了重视巩固新知识，习题的编排上还是贴近中考，即注重了双基训练，
又注重了能力的培养。
4.在后续检测中，出现了一个问题，有个别学生认为当Δ=0时，方程无实根。
这还是在处理根的判别式的时候，落实不到位，练习有点少的缘故。
