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21.2.2 公式法解一元二次方程 教学设计
课题 21.2.2公式法解一元二次 单元 第21章 学科 数学 年级 九年级
方程
1.知道一元二次方程的根的判别式和求根公式的推导过程；
2.会用根的判别式判断方程根的情况；
学习
3.能规范、熟练运用公式法解一元二次方程.
目标
重点 会用根的判别式判断方程根的情况；熟练运用公式法解一元二次方程.
难点 知道一元二次方程的根的判别式和求根公式的推导过程.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 复习回顾：1.一元二次方程的一般形式： 学生回忆、思 回顾一元二次
ax2+bx+c=0(a≠0) 考并回答问 方程的一般形式
2.用配方法解一元二次方程的步骤： 题. 和配方法解一元
移项—二次项系数化1—配方—直接开平方—求解 二 次 方 程 的 步
3.用配方法解方程：2x2-4x+1=0 骤，为下面的推
导根的判别式和
解：移项，得：2x2-4x= -1
求根公式奠定基
二次项系数化1，得
础.
配方得
若用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
呢？讲授新课 环节一：推导公式 师生合作，用 推导根的判别式
用配方法解一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0) 配方法解一元 和求根公式.
解：移项，得：ax2+bx= -c 二 次 方 程
ax2+bx+c=0(a
二次项系数化1，得
≠0).
配方得
∵a≠0 ∴4a2≠0
(1) 当 b2-4ac>0 时 ， 一 元 二 次 方 程
ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根．
即
(2) 当 b2-4ac=0 时 ， 一 元 二 次 方 程
ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根．
(3) 当 b2-4ac<0 时 ， 一 元 二 次 方 程
ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根．
归 纳 ： △ =b2-4ac 叫 做 一 元 二 次 方 程
ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式．
(1) 当 △>0 时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
有两个不相等的实数根．
(2) 当 △=0 时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
有两个相等的实数根．
(3) 当 △<0 时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
无实数根．
当△≥0 时，一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有
实数根 .
当△≥0 时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的
实数根是： （求根公式）
借助典型例 培养学生计算能
解一元二次方程时，把各系数直接代入求根公
题,展示公式 力以及熟练公式
式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一
法解一元二次 法解一元二次方元二次方程的方法叫做公式法. 方程的步骤， 程的步骤.
环节二：典例解析 并进行总结.
例2 用公式法解下列方程:
(1) x2-4x-7=0
(2)
(3)5x2-3x=x+1
(4)x2+17=8x
解：(1)a=1,b=-4,c= -7
△=b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44>0
方程有两个不相等的实数根
∴
(2)
方程有两个相等的实数根
(3)方程化为5x2-4x-1=0
a=5,b=-4,c= -1
△=b2-4ac=(-4)2-4×5×(-1)=36>0
方程有两个不相等的实数根
(4) x2-8x+17=0
a=1,b=-8,c= 17
△=b2-4ac=(-8)2-4×1×17=-4<0
方程无实数根
小结：公式法解一元二次方程的步骤：
学生练习，师 通过解方程，让
1.化：把方程化成一般形式；
生互评订正. 学生熟练掌握公
2.定：确定a,b,c的值；
式法解一元二次
3.求：求出b2-4ac的值，判断方程根的情况；
方程的步骤.
4.套：套求根公式
5.写: 写出方程的解环节三：课堂练习
1. 利用判别式判断方程根的情况:
(1)16x2-4x-1=0
(2)
(3)3x2+11=12x-1
(4)2x2+7=4x
解：(1) a=16,b=-4,c=-1
△=b2-4ac=(-4)2-4×16×(-1)=80>0
方程有两个不相等的实数根
(2)
方程无实数根
(3) 方程化为3x2-12x+12=0
a=3,b=-12,c=12
△=b2-4ac=(-12)2-4×3×12=0
方程有两个相等的实数根
(4) 方程化为2x2-4x+7=0
a=2,b=-4,c=7
△=b2-4ac=(-4)2-4×2×7= -40<0
方程无实数根
2. 用公式法解下列方程:
(1)5x2-3x-1=0
(2)
(3)x2-8x=3x2+8
解：(1) a=5,b=-3,c=-1
△=b2-4ac=(-3)2-4×5×(-1)=29>0
方程有两个不相等的实数根
(2) 方程化为
方程无实数根
(3) 方程化为-2x2-8x-8=0
a=-2,b=-8,c=-8△=b2-4ac=(-8)2-4×(-2)×(-8)=0
方程有两个相等的实数根
3.关于x的方程x²-2x+m=0有两个相等的实数根，
则m= 1 .
若此方程有实数根，则m的取值范围是 m ≤ 1 .
4.如果关于x的一元二次方程kx²-2x-1=0有两个不
相等的实数根，那么k的取值范围是（ B ）
A.k>-1 B.k>-1且k≠0
C.k<1 D.k<1且k≠0
变式：若关于x的方程kx²-2x-1=0有实数根，则k
的取值范围是 k ≥ -1 .
课堂小结 （1）根的判别式：△=b2-4ac 师生共同梳理 强化本节课的知
△=b2-4ac>0，方程有两个不等的实数根; 本节课的知识 识点.
△=b2-4ac=0，方程有两个相等的实数根 点.
△=b2-4ac<0，方程无实数根
（2）用求根公式解方程的一般步骤
1.化；2.定；3.求；4.套；5.写
注意：公式法解一元二次方程的前提：b2-4ac≥0
板书 21.2.2 公式法解一元二次方程 教师展示本节 展示本节课的内
根的判别式：△=b2-4ac 课的内容. 容.
求根公式：
公式法解方程： 例题 练习
