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第二十一章 一元二次方程（单元重点综合测试）
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2022秋·河南商丘·九年级商丘市第六中学校考阶段练习）用配方法解方程 ，配方后的方
程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据完全平方公式进行配方法运算，得出结果．
【详解】解：
．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的配方法，其中准确利用完全平方公式进行配方是解决问题的关键．
2．（2023春·甘肃定西·九年级校考阶段练习）若 是关于x的一元二次方程 的解，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将 代入原方程即可求出 ，然后整体代入所求的代数式进行求值即可．
【详解】解：将 代入 中，得： ，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的概念，本题属于基础题
型．
3．（2023春·山东烟台·八年级统考期中）若一元二次方程 的两个根分别为 ， ，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，可得两根互为相反数，进而得到 ，进行求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程 的两个根分别是 与 ，
∴ ，
解得 ，
∴方程的两根为 、 ，
∴ ，
∴ ，
则 ，
故选：A．
【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握直接开方法解一元二次方程，互为相反数的两数之和为0，
是解题的关键．
4．（2022秋·甘肃白银·九年级校考期中）若实数x，y满足 ，则 的值为
（ ）
A．1 B． C．1或 D． 或2
【答案】C
【分析】设： ，则 变为 ，进而解含a的一元二次方程，即可求出
的值．
【详解】解：设： ，则 变为 ，
∴ ，则 ，
解得： ， ，
即 的值为 或1，
故选：C．
【点睛】本题考查解一元二次方程，整体思想，能够将方程转化为一元二次方程是解决本题的关键．
5．（2022秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）已知 为等腰三角形，已知它的两条边的长度分别是方程 的两个根，那么该三角形的周长是（ ）
A． 或6 B． C．5 D．6
【答案】D
【分析】先求得 的两个根 ，根据等腰三角形分类计算即可．
【详解】∵ ，
解得 ，
∴ 为等腰三角形三边长为 或 （不存在，舍去），
∴ 为等腰三角形周长为 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，等腰三角形的性质，三角形的存在性，熟练掌握解方程，等腰
三角形的分类是解题的关键．
6．（2023·重庆·九年级专题练习）某班级前年“五一”将勤工俭学挣得的班费中2000元按一年定期存入
银行，去年“五一”到期后取出1000元捐给“希望工程”，将剩下的1000元与利息继续按一年定期存入
该银行（年利率不变），今年“五一”全部捐给了母校，且今年“五一”到期后取得本息和1107.45元．
若该银行一年定期存款的年利率是x（本金×利率×期数＝利息，本息和＝本金+利息），则下列方程正确的
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据今年“五一”到期后取得本息和1107.45元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：根据题意得 ，
即 ．
故选D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．（2023春·山东威海·八年级统考期末）定义一种新运算“∞”： ．则方程
的实数根是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据新定义把 转化为一元二次方程求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ 可转化为 ，
整理得 ，
解得 ．
故选D．
【点睛】本题考查了新定义，解一元二次方程，根据新定义把所给方程转化为一元二次方程是解答本题的
关键．
8．（2023·全国·九年级假期作业）某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．经调查
发现，商品销售单价每降1元，平均每天可多售出2件．在每件盈利不少于25元的前提下，要获利1200
元利润，每件商品应降价（ ）
A．10元B．20元C．10元或20元 D．13元
【答案】A
【分析】根据题意设每件商品降价 元，则平均每天可售出 件，根据每日的总利润 每件商品的
利润 每日的销售量，即可得出关于 的一元二次方程，解之即可得出 的值，再结合 即可确定
的值．
【详解】解：设每件商品降价 元，则平均每天可售出 件，
依题意得： ，整理得： ，
解得： ， ，
又 ，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．（2023春·江苏镇江·八年级统考期末）小明在桌上摆放小棒，他发现：两根小棒最多有1个交点，三根
小棒最多有3个交点……，若n根小棒最多有300个交点，则n的值为（ ）
A．24个B．25个C．26个D．27个
【答案】B
【分析】从简单情形考虑：分别求出2条、3条、4条、5条直线相交时最多的交点个数，找出规律即可解
答．
【详解】解：2条直线相交最多有1个交点；
3条直线相交最多有 个交点；
4条直线相交最多有 个交点；
5条直线相交最多有 个交点；
……
∴n条直线相交最多有 个交点；
∴ ，
解得 （负值已舍去），
则n值为25．
故选：B．
【点睛】此题考查图形的变化规律及解一元二次方程，解答此题的关键是找出其中的规律，利用规律解决
问题．
10．（2023·安徽·九年级专题练习）关于x的一元二次方程新定义：若关于x的一元二次方程：与 ，称为“同族二次方程”．如 与 就是“同族二次
方程”．现有关于x的一元二次方程： 与 是“同族二次方程”．那么代数
式 取的最大值是（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【答案】A
【分析】利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求
出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可．
【详解】解：∵ 与 就是“同族二次方程”，
∴ ，
即 ，
∴
解得
∴
＝
＝ ，
则代数式 能取的最大值是2020．
故选：A．
【点睛】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本
题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．（2023·江苏·九年级假期作业）关于x的方程 的一次项系数是 ，则a的值为
_________．
【答案】1
【分析】方程整理为一般形式，根据一次项系数为 ，即可确定出 的值．【详解】解：方程整理为： ，
∵结果一次项系数为 ，
∴ ，即 ．
故答案为：1．
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是： （ 是常
数且 ）特别要注意 的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中 叫二次项，
叫一次项， 是常数项．其中 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
12．（2020秋·广东广州·九年级广州六中校考阶段练习）若 ，则代数式 的值为
_________．
【答案】
【分析】移项整理后，直接开平方即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了解一元二次方程，正确掌握解一元二次方程的解法是解题的关键．
13．（2022秋·江西景德镇·九年级统考期中）将 配方成 形式，则 _________．
【答案】
【分析】先将常数项移到方程的右边，然后两边同时加上一次项系数的一半，即可求解．
【详解】解： ，
∴ ，
∴ ，
即 ，∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了用配方法解方程，掌握配方法是解题的关键．
14．（2023春·安徽安庆·八年级安庆市石化第一中学校考期末）关于 的一元二次方程 有两
个相等的实数根，则 的值为_________．
【答案】
【分析】根据判别式的意义得到 ，然后解一次方程即可．
【详解】解：根据题意得 ，
解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的判别式，熟练掌握一元二次方程的判别式的意义是解题的关键．
15．（2023秋·湖南湘西·九年级统考期末）自从“双减”政策实施以来，各中小学开展了丰富多彩的活动．
某校拟举办一次书法作品展览，要在每张长和宽分别为 和 的矩形相片周围镶上一圈等宽的彩纸．
根据美学观点，彩纸面积为相片面积的 时较美观．若所镶彩纸的宽为 ，根据题意，列方程为 ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】设所镶彩纸的宽为 ，则大长方形的长和宽分别为 、 ，再根据彩纸面
积为相片面积的 列出方程即可．
【详解】解：设所镶彩纸的宽为 ，则大长方形的长和宽分别为 、 ，
由题意得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意是解题的关键．16．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，甲、乙两点分别从直径的两端点 ， 出发以顺时针、逆时
针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程 与时间 满足关系： ，乙以 的
速度匀速运动，半圆的长度为 .则甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动的时间是_________．
【答案】
【分析】由题意可知乙的运动路程为 ，甲、乙第一次相遇时一共行驶的路程为半圆长度，第二次相遇
时又行驶了一个圆的长度，利用总路程等于甲的路程加乙的路程列方程即可.
【详解】如下图所示：红色线为甲走的路程，蓝色线为乙走的路程，虚线位置是第一次相遇时，箭头位置
是第二次相遇时，
由图可知：甲、乙第一次相遇时，一共行驶的路程为半圆长度，第二次相遇时又行驶了一个圆的长度，故
甲、乙行驶的总路程为：
∵乙以 的速度匀速运动
∴乙的运动路程为 ，
根据总路程等于甲的路程加乙的路程列方程
∴解得： （不符合实际，舍去）
故答案为
【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用：行程问题，解决此题的关键是找到图中的等量关系是列出方
程.
三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2023春·内蒙古通辽·八年级校考期末）(1) (配方法)
(2) (公式法)
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）根据配方法解一元二次方程即可求解；
（2）根据公式法解一元二次方程即可求解．
【详解】（1） ，
，
即 ，
∴ ，
解得： ；
（2） ，
∵ ， ，
∴ ，
解得： ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
18．（2023·江苏·九年级假期作业）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火
粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该
影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入）
影片《万里归途》的部分统计数据发布日
10月8日 10月11日 10月12日
期
发布次
第1次 第2次 第3次
数
票房 10亿元 12.1亿元
(1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？
(2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票
【答案】(1)10%(2)2500000张
【分析】（1）设平均每次累计票房增长的百分率是 ，利用第3次累计票房=第1次累计票房 （1+平均
每次累计票房增长的百分率） ，即可得出关于 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用数量=总结 单价，即可求出结论；
【详解】（1）解：设平均每次累计票房增长的百分率是 ，
依题意得： ，
解得： ， （不符合题意，舍去）．
答：平均每次累计票房增长的百分率是10%．
（2）解：
（张）．
答：10月11日卖出2500000张电影票．
（或 （张）．）
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及统计表，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关
键．
19．（2023春·全国·八年级专题练习）如图是2022年5月份的日历，在日历表上可以用一个方框圈出的四
个数．(1)若圈出的四个数中，最小的数为 ，则最大的数为______（用含 的代数式表示）；
(2)若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数．
【答案】(1) ；(2)9．
【分析】（1）设圈出的四个数中，最小的数为 ，根据日历上两个数之间的关系可得答案；
（2）根据最小数与最大数的乘积为105，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】（1）解：设圈出的四个数中，最小的数为 ，则最大的数为
故答案为：
（2）设四个数中，最小数为 ，根据题意，得 .
解得 （不符合题意负值舍去）
答：这个最小值为9.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20．（2023春·江苏淮安·八年级校考阶段练习）已知关于x的方程 ．
(1)求证：无论k取何值，此方程总有实数根；
(2)若此方程有两个根，请用含有k的式子表示出方程的解；
(3)在（2）的情况下，若这两个方程的根为整数根，试求出正整数k的值；
【答案】(1)证明见解析
(2) ，
(3) 或
【分析】（1）分 和 两种情况考虑：当 时，方程为一元一次方程，有实数根；当
时，根的判别式 ，由此可得出方程有实数根．综上即可证出结论；（2）由方程有两个根，可得出 ，利用求根公式求出 、 的值，
（3）由 和 为整数以及k为正整数，即可求出k的值．
【详解】（1）证明：当 ，即 时，原方程为 ，
解得： ；
当 ，即 时，
，
∴方程有实数根．
综上可知：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）∵方程有两个整数根，
∴ ， ，且
（3）由（2）可得 ，
∵ 整数，k为正整数．
∴ 或 ．
【点睛】本题考查了根的判别式以及利用公式法解方程，解题的关键是：（1）分 和 两种
情况考虑；（2）找出 ， ．
21．（2023春·安徽六安·八年级统考期末）利用完全平方公式，可以将多项式 变形为
的形式，我们把这样的变形方法叫做配方法．我们已学习了用配方法解一元二次方程，除此
之外，利用配方法还能解决二次三项式的最值问题．阅读如下材料，完成下列问题：
材料：对于二次三项式求最值问题，有如下示例：
．因为 ，所以 ，所以，当 时，原
式的最小值为2．
完成问题：(1)求 的最小值；
(2)若实数 满足 ．求 的最大值．
【答案】(1) 的最小值是
(2) 最大值是
【分析】（1）根据题意计算得 ，根据 得 ，即可得；
（2）将 代入 得 ，根据 即可得．
【详解】（1）解： ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的最小值是 ；
（2）解：将 代入 得：
∵
∴ 最大值是 ．
【点睛】本题考查了配方法，解题的关键是理解题意，掌握多配方法．
22．（2023春·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考期末）为庆祝我校建校60周年，学校计划用
25000元为从世界各地归来参加校庆的校友在某商场订购A、B两种纪念品．已知A纪念品的订购单价是
B纪念品订购单价的 ，用于购买A纪念品的资金与购买B纪念品的资金之比为 ，且订购的A纪念品比B纪念品多50件．
(1)求A、B两种纪念品的订购单价各是多少？
(2)商场按订购单价计算，A纪念品的利润率为 ，B纪念品的利润率 ．但在实际购买时，由于学校
需求量增加，且无法追加资金，商场考虑到A、B两种纪念品的库存足够多，为尽快减少库存，于是同意
将A、B两种纪念品在原订购单价的基础上，分别每件都降价a元出售，学校也在原计划订购量的基础上
各追加购买 件．这样，商场按降价后的价格和数量售出这两种纪念品获得的总利润比按原订购单价和订
购数量售出所获得的总利润少 元，求a的值．
【答案】(1) 纪念品的订购价为每件150元，则A纪念品的订购价为每件200元
(2)5
【分析】（1）设 纪念品的订购价为每件 元，则A纪念品的订购价为 元．根据订购的A纪念
品比B纪念品多50件列出分式方程进行求解即可；
（2）先求出A、B两种纪念品每件的原成本价、原利润、原订购数量，根据商场按降价后的价格和数量售
出这两种纪念品获得的总利润比按原订购单价和订购数量售出所获得的总利润少 元列出方程，解方程
即可得到答案．
【详解】（1）解：设 纪念品的订购价为每件 元，则A纪念品的订购价为 元．
订购 纪念品的资金为 元，
订购 纪念品的资金为 元，
由题意列方程得 ，
解得 ，
经检验， 是原方程的解且符合题意．
则 ，
答：A纪念品的订购价为每件 元，则B纪念品的订购价为每件200元．
（2）A纪念品的成本价为每件 元，
每件利润为 （元），订购数量为 （件），
纪念品成本价为每件 元，每件利润为 （元），订购数量为 (件)．
整理得 ，
解得 （舍）
∴ ．
【点睛】此题考查了分式方程和一元二次方程的应用，读懂题意，正确列出方程并准确解方程是解题的关
键．
23．（2022春·八年级单元测试）如图，正方形 的边长为 ，动点 从点 出发，以 的速度
沿 方向向点 运动，动点 从点 出发，以 的速度沿 方向向点 运动，若 ，
两点同时出发，运动时间为 ．
(1)连接 ， ， ，当 为何值时， 面积为 ？
(2)当点 在 上运动时，是否存在这样的 的值，使得 是以 为腰的等腰三角形？若存在，请求
出符合条件的 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) 秒或 秒
(2)存在， 秒或 秒
【分析】（1）根据正方形的性质和面积公式，利用割补法即可求解；
（2）根据勾股定理、等腰三角形的性质得出一元二次方程，分情况讨论以 为腰的等腰三角形即可说明．
【详解】（1）解：如图，当点 在 上时，此时 ，根据题意，得：
， ， ， ， ，
∵ 面积为 ，
∴ ，∴ ，
整理，得： ，
解得： ．
如图，当点 在 上时，此时 ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴当 为 秒或 秒时， 面积为 ．
（2）存在．
如图，当点 在 上时，
①当 时，可得：
，
解得： ， （不合题意，舍去），
②当 时，可得：
，
整理，得： ，解得： ， （不合题意，舍去），
如图，当点 在 上时，此时 ，
可知： ， ， ，
∴不存在以 为腰的等腰 ．
∴当 为 秒或 秒时， 是以 为腰的等腰三角形．
【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，一元二次方程的应用，割补法求面积．
解题的关键是分类讨论思想的运用．
