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§4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
考试要求 1.会推导两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正
切公式.3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用．
知识梳理
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C ：cos(α－β)＝ cos α cos β ＋ sin α sin β ；
(α－β)
(2)公式C ：cos(α＋β)＝ cos α cos β － sin α sin β ；
(α＋β)
(3)公式S ：sin(α－β)＝ sin α cos β － cos α sin β ；
(α－β)
(4)公式S ：sin(α＋β)＝ sin α cos β ＋ cos α sin β ；
(α＋β)
(5)公式T ：tan(α－β)＝；
(α－β)
(6)公式T ：tan(α＋β)＝.
(α＋β)
2．辅助角公式
asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.
知识拓展
两角和与差的公式的常用变形：
(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β.
(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β.
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．
tan αtan β＝1－＝－1.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)存在α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β.( √ )
(2)两角和与差的正切公式中的角α，β是任意角．( × )
(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都
成立．( × )
(4)公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．( × )
教材改编题
1．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于( )
A．－ B. C．－ D.
答案 D
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解析 原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝.
2．若将sin x－cos x写成2sin(x－φ)的形式，其中0≤φ<π，则φ＝ .
答案
解析 因为sin x－cos x＝2，
所以cos φ＝，sin φ＝，
因为0≤φ<π，
所以φ＝.
3．已知α∈，且sin α＝，则tan的值为 ．
答案 －
解析 因为α∈，且sin α＝，
所以cos α＝－＝－，tan α＝＝＝－.
所以tan＝＝＝－.
题型一 两角和与差的三角函数公式
例1 (1)计算：等于( )
A．－ B. C．－ D.
答案 B
解析
＝
＝＝.
(2)(2023·青岛模拟)已知tan α＝1＋m，tan β＝m，且α＋β＝，则实数m的值为( )
A．－1 B．1 C．0或－3 D．0或1
答案 C
解析 因为α＋β＝，
所以tan(α＋β)＝tan ⇒＝1⇒＝1⇒m2＋3m＝0，
解得m＝0或m＝－3.
思维升华 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表
示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，
完成统一角和角与角转换的目的．
跟踪训练1 (1)(2023·茂名模拟)已知0<α<，sin＝，则的值为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 因为sin＝，
所以(cos α－sin α)＝.
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所以cos α－sin α＝，
所以1－2sin αcos α＝，
得sin αcos α＝，
因为cos α＋sin α＝＝，
所以＝＝
＝＝.
(2)(2022·新高考全国Ⅱ)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2cossin β，则( )
A．tan(α－β)＝1
B．tan(α＋β)＝1
C．tan(α－β)＝－1
D．tan(α＋β)＝－1
答案 C
解析 由题意得sin αcos β＋cos αsin β＋cos αcos β－sin αsin β＝2×(cos α－sin α)sin β，
整理得sin αcos β－cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝0，即sin(α－β)＋cos(α－β)＝0，
所以tan(α－β)＝－1，故选C.
题型二 两角和与差的公式逆用与辅助角公式
例2 (1)在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝，则tan Atan B的值为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 在△ABC中，∵C＝120°，∴tan C＝－.
∵A＋B＝π－C，
∴tan(A＋B)＝－tan C＝.
∴tan A＋tan B＝(1－tan Atan B)，
又∵tan A＋tan B＝，
∴tan Atan B＝.
(2)(2022·浙江)若3sin α－sin β＝，α＋β＝，则sin α＝ ，cos 2β＝ .
答案
解析 因为α＋β＝，所以β＝－α，
所以3sin α－sin β＝3sin α－sin＝3sin α－cos α＝sin(α－φ)＝，其中sin φ＝，cos φ＝.
所以α－φ＝＋2kπ，k∈Z，
所以α＝＋φ＋2kπ，k∈Z，
所以sin α＝sin＝cos φ＝，k∈Z.
因为sin β＝3sin α－＝－，
所以cos 2β＝1－2sin2β＝1－＝.
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思维升华 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用
及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力．
跟踪训练2 (1)(2022·咸阳模拟)已知sin＝，则sin x＋sin等于( )
A．1 B．－1 C. D.
答案 A
解析 因为sin＝，
所以sin x＋sin＝sin x＋sin x－cos x＝sin＝1.
(2)满足等式(1＋tan α)(1＋tan β)＝2的数组(α，β)有无穷多个，试写出一个这样的数组
________．
答案 (答案不唯一)
解析 由(1＋tan α)(1＋tan β)＝2，
得1＋tan β＋tan α＋tan αtan β＝2，
所以tan β＋tan α＝1－tan αtan β，
所以＝1，
所以tan(α＋β)＝1，
所以α＋β＝kπ＋，k∈Z，所以α可以为0，β可以为(答案不唯一)．
题型三 角的变换问题
例3 (1)(2020·全国Ⅲ)已知sin θ＋sin＝1，则sin等于( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 因为sin θ＋sin
＝sin＋sin
＝sincos －cossin ＋sincos ＋cossin
＝2sincos ＝sin＝1.
所以sin＝.
(2)已知α，β为锐角，sin α＝，cos(α＋β)＝－.则sin(2α＋β)的值为 ．
答案 －
解析 因为0<α<，sin α＝，所以cos α＝＝＝，
因为0<α<，0<β<，所以0<α＋β<π，
因为cos(α＋β)＝－，所以sin(α＋β)＝＝＝，
所以sin(2α＋β)＝sin(α＋α＋β) ＝sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)＝×＋×＝－.
思维升华 常用的拆角、配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝－
＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；＋α＝－等．
跟踪训练3 (1)(2023·青岛质检)已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则cos＝________.
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答案 －
解析 由题意知，α＋β∈，
sin(α＋β)＝－<0，所以cos(α＋β)＝，
因为sin＝，β－∈，
所以cos＝－，
所以cos＝cos
＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin＝－.
(2)若tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，则tan(α＋β)＝ ，tan α＝ .
答案 －1
解析 ∵tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，
∴tan(α＋β)＝tan(α＋2β－β)＝＝＝－1，
tan α＝tan(α＋β－β)＝＝＝.
课时精练
1．(2023·苏州模拟)cos 24°cos 36°－sin 24°cos 54°等于( )
A．cos 12° B．－cos 12° C．－ D.
答案 D
解析 cos 24°cos 36°－sin 24°cos 54°＝cos 24°cos 36°－sin 24°sin 36°＝cos(24°＋36°)
＝cos 60°＝.
2．(2023·合肥模拟)已知sin α＋cos α＝，则sin等于( )
A．± B. C．－ D．－
答案 C
解析 ∵sin α＋cos α＝sin＝，
∴sin＝，
∴sin＝sin＝－sin＝－.
3．(2023·重庆模拟)若2cos 80°＝cos 20°＋λsin 20°，则λ等于( )
A．－ B．－1 C．1 D.
答案 A
解析 由已知可得λ＝＝＝－＝－.
4．(2023·西安模拟)已知2cos＝sin α，则sin αcos α等于( )
A．－ B. C．－ D.
答案 D
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解析 2cos＝sin α，即2cos αcos －2sin αsin ＝sin α，即cos α－sin α＝sin α，
则tan α＝，所以sin αcos α＝＝＝.
5．(2023·扬州质检)已知sin α＝，且α为锐角，tan β＝－3，且β为钝角，则α＋β的值为(
)
A. B. C. D.
答案 B
解析 sin α＝，且α为锐角，则cos α＝＝＝，tan α＝＝.
所以tan(α＋β)＝＝＝－1.
又β为钝角，则α＋β∈，故α＋β＝.
6．(2023·威海模拟)已知α∈，若tan＝－2，则cos等于( )
A. B. C．－ D．－
答案 C
解析 因为α∈，则α＋∈，
又tan＝－2<0，故α＋∈，
则cos＝，sin＝－，
故cos＝cos＝coscos ＋sinsin ＝×＋×＝－.
7．(2022·重庆模拟)cos 15°sin 10°cos 20°＋cos 10°cos 70°－2cos 45°sin 15°sin 10°sin 70°的值
为______．
答案
解析 原式＝cos 20°sin 10°(cos 15°－sin 15°)＋cos 10°cos 70°
＝cos 20°sin 10°×cos(45°＋15°)＋cos 10°cos 70°
＝cos 20°sin 10°＋cos 10°sin 20°＝sin 30°＝.
8．(2022·上海模拟)已知α，β∈，且tan α＋tan β＋tan αtan β＝，则α＋β＝ .
答案 －
解析 由tan α＋tan β＋tan αtan β＝得
tan(α＋β)＝＝，
又α，β∈，则α＋β∈(－π，0)，
所以α＋β＝－.
9．(2023·合肥模拟)已知α，β∈，且
(1)求α＋β的值；
(2)证明：0<α－β<，并求sin(α－β)的值．
解 (1)因为α，β∈，
所以cos α>0，cos β>0，
由
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解得cos α＝，cos β＝，
所以sin α＝＝，
sin β＝＝，
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝，
因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.
(2)因为α＋β＝，sin ＝>sin α＝>sin β＝，且函数y＝sin x在上单调递增，
所以0<β<α<，所以0<α－β<，
所以sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝.
10．在①tan(π＋α)＝3；②sin(π－α)－2sin＝cos(－α)；③3sin＝cos中任选一个条件，补充
在下面问题中，并解决问题．
已知0<β<α<， ，cos(α＋β)＝－.
(1)求sin；
(2)求β.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解 (1)若选①，tan(π＋α)＝tan α＝＝3，
又因为sin2α＋cos2α＝1,0<α<，
所以sin α＝，cos α＝，
所以sin＝sin αcos－cos αsin ＝×－×＝.
若选②，因为sin(π－α)－2sin＝cos(－α)，化简得sin α＝3cos α，
又因为sin2α＋cos2α＝1,0<α<，所以sin α＝，cos α＝，
所以sin＝sin αcos －cos αsin ＝×－×＝.
若选③，因为3sin＝cos，化简得3cos α＝sin α，
又因为sin2α＋cos2α＝1,0<α<，所以sin α＝，cos α＝，
所以sin＝sin αcos －cos αsin ＝×－×＝.
(2)因为0<β<α<，且cos(α＋β)＝－，所以<α＋β<π，
所以sin(α＋β)＝＝，
所以sin β＝sin[(α＋β)－α]＝×－×＝，
又因为0<β<，所以β＝.
11．已知3sin x－4cos x＝5sin(x＋φ)，则φ所在的象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 D
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解析 3sin x－4cos x＝5＝5sin(x＋φ)，其中sin φ＝－，cos φ＝，
所以φ所在的象限为第四象限．
12．(多选)已知α，β，γ∈，sin β＋sin γ＝sin α，cos α＋cos γ＝cos β，则下列说法正确的
是( )
A．cos(β－α)＝ B．cos(β－α)＝
C．β－α＝ D．β－α＝－
答案 BD
解析 由已知可得
所以1＝sin2γ＋cos2γ＝(sin α－sin β)2＋(cos β－cos α)2＝2－2(cos βcos α＋sin βsin α)＝2－
2cos(β－α)，
所以cos(β－α)＝，
因为α，β，γ∈，则－<β－α<，
因为sin γ＝sin α－sin β>0，函数y＝sin x在上单调递增，则α>β，则－<β－α<0，故β－α
＝－.
13．(2023·武汉质检)设sin＝2cos αsin ，则的值为( )
A. B. C．2 D．4
答案 B
解析 ∵sin＝2cos αsin ，
∴sin αcos －cos αsin ＝2cos αsin ，即sin αcos ＝3cos αsin ，
∴tan α＝3tan ，
∵cos＝cos＝sin
＝sin αcos ＋cos αsin ，
∴＝＝＝＝.
14．(多选)下列结论正确的是( )
A．sin(α－β)sin(β－γ)－cos(α－β)cos(γ－β)＝cos(α－γ)
B．3sin x＋3cos x＝3sin
C．f(x)＝sin ＋cos 的最大值为
D．sin 50°(1＋tan 10°)＝1
答案 CD
解析 对于A，左边＝－[cos(α－β)cos(β－γ)－sin(α－β)sin(β－γ)]＝－cos[(α－β)＋(β－γ)]＝
－cos(α－γ)，故A错误；
对于B，3sin x＋3cos x＝6＝6sin，故B错误；
对于C，f(x)＝sin ＋cos ＝sin，
所以f(x)的最大值为，故C正确；
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对于D，由sin 50°(1＋tan 10°)＝sin 50°·＝sin 50°·＝＝＝＝1，故D正确．
15．(2023·厦门模拟)若＝－3，则＝________.
答案 2
解析 依题意，＝
＝
＝＝－3，
整理得tan α＝2tan ，所以＝2.
16．在平面直角坐标系Oxy中，先将线段OP绕原点O按逆时针方向旋转角θ，再将旋转后
的线段OP的长度变为原来的ρ(ρ>0)倍得到OP，我们把这个过程称为对点P进行一次T(θ，
1
ρ)变换得到点P ，例如对点(1,0)进行一次T 变换得到点(0,3)．若对点A(1,0)进行一次T 变换
1
得到点A ，则A 的坐标为 ；若对点B进行一次T(θ，ρ)变换得到点B(－3，－4)，
1 1 1
对点B 再进行一次T(θ，ρ)变换得到点B，则B 的坐标为 ．
1 2 2
答案 (－1，)
解析 点A(1,0)，OA与x轴的正方向的夹角θ＝0且|OA|＝1.进行一次T 变换，即将线段OA
绕原点O按逆时针方向旋转，再将OA的长度伸长为原来的2倍得到点A ，即坐标为A(－
1 1
1，).
因为对点B进行一次T(θ，ρ)变换后得到点B(－3，－4)，
1
|OB|＝＝1，|OB|＝＝5，所以ρ＝5，
1
所以|OB|＝|OB|·ρ＝5×5＝25，
2 1
设OB与x轴的正方向的夹角为α，则sin α＝，cos α＝，tan α＝， 并且sin(α＋θ)＝－，
cos(α＋θ)＝－，tan(α＋θ)＝，
根据tan θ＝tan[(α＋θ)－α]＝＝＝，
因为π<θ<，所以sin θ＝－，cos θ＝－，
所以cos[(α＋θ)＋θ]＝cos(α＋θ)cos θ－sin(α＋θ)sin θ＝×－×＝，sin[(α＋θ)＋θ]＝sin(α＋
θ)cos θ＋cos(α＋θ)sin θ＝×＋×＝，
所以B，
2
即B.
2
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