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2022-2023学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（北师大版）
第二十章 一元二次方程单元培优训练
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：第20章 一元二次方程，共23题； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（2021·北京师范大学第二附属中学西城实验学校九年级期中）用配方法解方程 ，下列配
方正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
按照配方法的步骤和完全平方公式 即可得出答案．
【详解】
即
故选：A．
【点睛】
本题主要考查配方法，掌握配方法和完全平方公式是解题的关键．
2．（2017·上海·中考真题）下列方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2﹣2x=0 B．x2﹣2x﹣1=0 C．x2﹣2x+1 =0 D．x2﹣2x+2=0
【答案】D
【解析】
【分析】
分别计算各方程的根的判别式的值，然后根据判别式的意义判定方程根的情况即可．
【详解】A、△=（﹣2）2﹣4×1×0=4＞0，方程有两个不相等的实数根，此选项不符合题意；
B、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有两个不相等的实数根，此选项不符合题意；
C、△=（﹣2）2﹣4×1×1=0，方程有两个相等的实数根，此选项不符合题意；
D、△=（﹣2）2﹣4×1×2=﹣4＜0，方程没有实数根，此选项符合题意．
故选D．
3．（2021·全国·九年级专题练习）若关于x的一元二次方程x2＋kx＋4k2－3＝0的两个实数根分别是x，
1
x，且满足x＋x＝x·x，则k的值是()．
2 1 2 1 2
A．－1或 B．－1 C． D．不存在
【答案】C
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系及x+x=xx，得出关于k的方程，解方程并用根的判别式检验得出k的
1 2 1 2
值即可．
【详解】
解：由根与系数的关系，得x+x=-k，
1 2
因为xx=4k2-3，又x+x=xx，
1 2 1 2 1 2
所以-k=4k2-3，即4k2+k-3=0，
解得k= 或-1，
因为△≥0时，所以k2-4（4k2-3）≥0，
解得：− ≤k≤ ，故k=-1舍去，
∴k= ．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根与系数关系的应用，属于基础题，关键不要忘记利用根的判别式进行检验．
4．（2022·浙江杭州·八年级阶段练习）若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数
根，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D．【答案】C
【解析】
【分析】
根据根的判别式∆>0，且m-1≠0求解即可．
【详解】
解：由题意得
∆=b2-4ac=4+8(m-1)>0，且m-1≠0，
解得
且 ，
故选C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与
根的关系式解答本题的关键．当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程
有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
5．（2015·宁夏·中考真题）如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块
相同的矩形绿地，它们的面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行
道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是( )
A．x2＋9x－8＝0 B．x2－9x－8＝0
C．x2－9x＋8＝0 D．2x2－9x＋8＝0
【答案】C
【解析】
【详解】
解：设人行道的宽度为x米，根据题意得，
（18﹣3x）（6﹣2x）=60，
化简整理得，x2﹣9x+8=0．
故选C．
6．（2022·山东·招远市教学研究室一模）如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连接AM，过D作
DE⊥AM于点E，过B作BF⊥AM于点F，连接BE．若AF＝1，四边形ABED的面积为10，则BF的长为（）
A．10 B． C．4 D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
证明 ABF≌△DAE得BF=AF，AF=DE，进而由已知四边形的面积列出BF的方程进行解答便可．
【详△解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵BF⊥AM，
∴∠ABF+∠BAF=∠BAF+∠DAE=90°，
∴∠ABF=∠DAE，
∵DE⊥AM，
∴∠AFB=∠DEA=90°，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴BF=AE，AF=DE=1，
设BF=AE=x，则EF=x-1，
∵四边形ABED的面积为10，
∴ EF•BF+ AF•BF×2＝10，即 x(x−1)+ x×2＝10，
解得：x=-5（舍）或x=4，
∴BF=4，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，三角形的面积，全等三角形的性质与判定，关键是证明三角形全等．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（2015·广西柳州·中考真题）若 是一元二次方程 的一个根，则m的值为________．
【答案】-3
【解析】
【详解】
将x=1代入该方程，得：1+2+m=0，
解得：m=-3．
故答案为-3
【点睛】
本题考查一元二次方程的解的定义．掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值是解题关键．
8．（2022·吉林省实验中学一模）若关于x的一元二次方程 有两个不相等实数根，则实数a
的取值范围是______．
【答案】a＜1
【解析】
【分析】
根据根的判别式得到 ，然后解不等式求出a的取值范围即可．
【详解】
解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴ ，
∵
∴ ，
解得：a＜1，
故答案为：a＜1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根的判别式：一元二次方程 的根与 有如下关系：
当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实
数根．
9．（2021·上海市奉贤区金汇学校九年级期末）如图，用一段篱笆靠墙围成一个大长方形花圃(靠墙处不用
篱笆)，中间用篱笆隔开分成两个小长方形区域，分别种植两种花草，篱笆总长为 米(恰好用完)，围成的大长方形花圃的面积为 平方米，设垂直于墙的一段篱筐长为 米，可列出方程为
________________________．
【答案】
【解析】
【分析】
垂直于墙的一段篱筐长为 米，共有三段垂直于墙的篱笆，所以垂直于墙的篱笆总长度为 ，又因为篱笆
总长为 米(恰好用完)，所以大长方形花圃的长为 米，最后根据长方形的面积公式即可求解．
【详解】
解：由题意可得： ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是注意大长方形花圃的宽有三段都是篱笆．
10．（2022·山东·平阴县教育教学研究中心一模）若关于 的一元二次方程 的一个解
是 ，则 的值是__________．
【答案】2022
【解析】
根据一元二次方程解的意义可得a+b的值，然后代入所求的算式即可得到解答．
【详解】
解：由题意可得：
a+b+1=0，
∴a+b=-1，
∴2021-a-b=2021-(a+b)=2021+1=2022，故答案为2022．
【点睛】
本题考查代数式的求值，根据一元二次方程解的意义求得a+b的值是解题关键．
11．（2021·江苏南通·中考真题）若m，n是一元二次方程 的两个实数根，则 的值为
___________．
【答案】3
【解析】
【分析】
先根据一元二次方程的解的定义得到m2+3m-1=0，则3m-1=-m2，根据根与系数的关系得出m+n=-3，再将其
代入整理后的代数式计算即可．
【详解】
解：∵m是一元二次方程x2+3x-1=0的根，
∴m2+3m-1=0，
∴3m-1=-m2，
∵m、n是一元二次方程x2+3x-1=0的两个根，
∴m+n=-3，
∴ ，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x，x 是一元二次方程 ( )的两根时， ，
1 2
．也考查了一元二次方程的解．
12．（2019·四川眉山·中考真题）设 、 是方程 的两个实数根，则 的值为
_____．
【答案】-2017
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系可得出 ， ，将其代入 中即可得出结论．【详解】
∵ 、 是方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为-2017．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于 ，两根之积等于 ”是解题的关键．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（2020·全国·九年级专题练习）当m取何值时，方程 是一元二次方程．
【答案】m=-1
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2的整式方程，列出方程求解即可.
【详解】
解：由题意可得： 且m-1≠0，
解得：m=-1，
∴当m=-1时，方程 是一元二次方程.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，
一般形式是ax2＋bx＋c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
14．（2022·浙江金华·八年级阶段练习）解方程：
（1）（2x﹣1）2＝9．
（2）x2﹣4x﹣12＝0．
【答案】（1） ， ；（2） ， ．
【解析】
【分析】（1）用直接开平方法求解即可；
（2）根据分解因式法求解．
【详解】
解：（1）∵（2x﹣1）2＝9，
∴2x﹣1＝3或2x﹣1＝﹣3，
解得： ， ；
（2）x2﹣4x﹣12＝0
原方程可变形为 ，
∴x－6=0或x+2=0，
∴ ， ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法由直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活
选择合适的方法是解答本题的关键.
15．（2022·辽宁葫芦岛·九年级期末）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次
降价，每瓶零售价由100元降为81元．求平均每次降价的百分率．
【答案】
【解析】
【分析】
设平均每次降价的百分率为 ，根据题意列出一元二次方程求解即可．
【详解】
解：设平均每次降价的百分率为 ，
由题意： ，
即： ，
解得： 或 （不合题意，舍去），
∴平均每次降价的百分率为 ．
【点睛】
本题考查一元二次方程的实际应用，理解增长率和减少率的基本模型，准确建立方程求解并取得合适的结果是解题关键．
16．（2022·上海·八年级专题练习）如图，某建筑工程队在一堵墙边上用20米长的铁栏围成一个面积为60
平方米的长方形仓库，已知可利用的墙长是11米，铁栅栏只围三边，且在正下方要造一个2米宽的门．问：
以上要求所围成长方形的两条邻边的长分别是多少米？
【答案】仓库的长与宽分别为10米和6米
【解析】
【分析】
仓库的宽为x米，则可以知道该仓库的长为： 米，然后根据长方形面积公式列出方程
求解即可．
【详解】
解：设仓库的宽为x米，根据题意，可以知道该仓库的长为： 米
由题意可列出方程：
整理，得 ，
解方程，得 ， ，
当 时，长= ，不合题意舍去，
当 时，长= ，符合题意，
答：仓库的长与宽分别为10米和6米．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键在于能够准确根据题意列出方程求解．
17．（2021·上海·八年级期中）如果方程 与方程 有且只有一个公共根，求a的值．
【答案】-2
【解析】
【分析】
有且只有一个公共根，建立方程便可求解了．
【详解】解： 有且只有一个公共根
∵
∴
∴∵当a=-1时两个方程完全相同，故a≠-1，
∴
∴当 时，代入第一个方程可得
1-a+1=0
解得：
【点睛】
本题考查根与系数的关系，关键在于有一个公共根的理解，从而建立方程，求得根．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（2020·全国·八年级课时练习）小明在解方程 时出现了错误，其解答过程如下：
， （第一步）
， （第二步）
， （第三步）
． （第四步）
（1）小明的解答过程是从第______步开始出错的，其错误原因是__________；
（2）请写出此题正确的解答过程．
【答案】（1）二；不符合等式的性质；（2）过程见解析； ．
【解析】
【分析】
（1）根据等式的基本性质即可判断；
（2）利用配方法解一元二次方程即可．
【详解】
解：（1）小明的解答过程是从第二步开始出错的，因为等式左边加上1时，右边没有加1，不符合等式的性质．
故答案为：二；不符合等式的性质；
（2）正确的解答过程如下：
，
，
所以 ．
【点睛】
此题考查的是解一元二次方程，掌握利用配方法解一元二次方程是解决此题的关键．
19．（2022·湖北·黄石市实验中学二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）=0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为x，x，且2xx+x+x≥20，求m的取值范围．
1 2 1 2 1 2
【答案】（1）m≤4；（2）3≤m≤4．
【解析】
【详解】
试题分析：（1）根据判别式的意义得到△=（-6）2-4（2m+1）≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x+x=6，xx=2m+1，再利用2xx+x+x≥20得到2（2m+1）+6≥20，然后
1 2 1 2 1 2 1 2
解不等式和利用（1）中的结论可确定满足条件的m的取值范围．
试题解析：
（1）根据题意得△＝（－6）2－4（2m＋1）≥0，
解得m≤4；
（2）根据题意得x＋x＝6，xx＝2m＋1，
1 2 1 2
而2xx＋x＋x≥20，所以2（2m＋1）＋6≥20， 解得m≥3，
1 2 1 2
而m≤4，所以m的范围为3≤m≤4．
20．（2022·北京·二模）已知关于x的一元二次方程 ．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有一个根是1，求方程另一个根．
【答案】(1)见解析(2)-5
【解析】
【分析】
(1)只需证明根的判别式 ＞0即可．
△
(2)设另一个根为 ，利用根与系数关系定理， ×1= -5，计算即可．
(1)
∵ 中，a=1，b=a，c=-5，
∴ = ＞0，
△
∴方程总有两个不相等的实数根．
(2)
设另一个根为 ，
∵ ，
∴ ×1= -5，
解得 = -5，
故方程另一个根为-5．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数关系定理，熟练掌握并灵活应用两个定理是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（2022·安徽·合肥市第四十二中学八年级期中）某种流感病毒，若有一人患了这种流感，则在每轮传
染中一人将平均传染x人．
(1)现有一人患上这种流感，求第一轮传染后患病的人数（用含x的代数式表示）；
(2)在进入第二轮传染前，有两位患者被及时隔高并治愈，问第二轮传染后患病的人数会有21人吗？
【答案】(1) ；
(2)不会，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）设每轮传染中平均每人传染了 人，开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了
人，则第一轮后共有 人患了流感；
（2）第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了 人，因进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔离并
治愈，则第二轮后共有 人患了流感，而此时患流感人数为21，根据这个等量关系列出方程若
能求得正整数解即可会有21人患病．
(1)
解：由题意可知：
第一轮传染后患病的人数 人，
(2)
解：设在每轮传染中一人将平均传给 人，
根据题意得： ，
整理得： ，
解得： ， ，
∵ ， 都不是正整数，
∴第二轮传染后共会有21人患病的情况不会发生．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是能根据进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔离并治
愈列出方程并求解．
22．（2022·辽宁沈阳·二模）在平面直角坐标系中，y关于x的一次函数 （c为常数），其图象
与y轴交于点A，与x轴交于点B．
(1)当 时，求线段OA的长；
(2)若 的面积为18．
①求出满足条件的一次函数表达式；
②若点A在y轴正半轴，点B在x轴负半轴上，且点C在直线AB上，当 时，请直接写出点
C的坐标．【答案】(1)OA =1
(2)①满足条件的一次函数表达式 或 ；②点C坐标为（-5,1）或（-7.5，-1.5）
【解析】
【分析】
（1）当 时，y关于x的一次函数 ，在求函数与x轴的交点坐标即可；
（2）①先求出当x=0，y=5-c，当y=0时，x=c-5，利用三角形面积列方程，然后解方程即可；②设点C
（x，y）根据点A在y轴正半轴，点B在x轴负半轴上，确定函数解析式为 ，求出点A（0，6），
点B（-6，0），根据 ，列方程 ，分类讨论即可，当点C在第二象限，当点C在
第三象限，化去绝对值即可
(1)
解：当 时，y关于x的一次函数 ，
当x=0时，y=1，
点A（0，1），
∴OA =1；
(2)
解：①当x=0，y=5-c，当y=0时，x=c-5，
∴S OAB= ，
△
∴|c-5|=6，
∴c-5=6或c-5=-6，
∴c=11或c=-1，
∴满足条件的一次函数表达式 或 ；
②设点C（x，y），
∵点A在y轴正半轴，点B在x轴负半轴上，
∴函数解析式为 ，
点A（0，6），点B（-6，0），
∴点C（x，x+6），
S AOC= ，S BOC= ，
△ △
∴ ，∴ ，
当点C在第二象限，
，
∴x=-5，
∴点C（-5,1），
当点C在第三象限，
，
∴x=-7.5，
∴点C（-7.5，-1.5），
综合点C坐标为（-5,1）或（-7.5，-1.5）．
【点睛】
本题考查待定系数法求一次函数解析式，直线与坐标轴的交点，三角形面积，直接开方法解一元二次方程，
一元一次方程，本题难度不大，是中考常考试题．
六、（本大题共12分）
23．（2022·山东淄博·九年级期中）如图，在直角梯形 中， ， ， ，
， ．动点 从点 出发，沿射线 的方向以每秒2个单位的速度运动，动点 从点 出
发，沿射线 的方向以每秒1个单位的速度向点 运动，点 ， 分别从点 ， 同时出发，当点 运动
到点 时，点 随之停止运动．设运动的时间为 （秒），当 为何值时，以 ， ， 三点为顶点的三角
形是等腰三角形？【答案】t= 或t=
【解析】
【分析】
以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：①若PQ=BQ，②若BP=BQ，③若
PB=PQ．在Rt△PMQ中根据勾股定理，就得到一个关于t的方程，就可以求出t.
【详解】
解：过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形．
由图可知，CM=PD=2t，CQ=t，若以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：
①若PQ=BQ，在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122，
由PQ2=BQ2得t2+122=（16﹣t）2，解得t= ；
②若BP=BQ，在Rt△PMB中，PB2=（16﹣2t）2+122，由PB2=BQ2得（16﹣2t）2+122=（16﹣t）2，即3t2﹣
32t+144=0，
此时，△=（﹣32）2﹣4×3×144=﹣704＜0，所以此方程无解，
∴BP≠BQ．
③若PB=PQ，由PB2=PQ2得t2+122=（16﹣2t）2+122得t= ，t=16（不合题意，舍去）．
1 2
综上所述，当t= 或t= 时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查梯形、等腰三角形的特殊性质，在解题过程中要注意数形结合，注意分情况讨论.
