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第二十一章 一元二次方程（知识归纳+题型突破）
1、理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程．
2、会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等．
3、了解- -元二次方程的根与系数的关系．
4、能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性．
1. 一元二次方程的相关概念
(1)定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 的整式方程．
(2)一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项、常数项，a、b、c分别称为
二次项系数、一次项系数、常数项．
2.一元二次方程的解法
（1）直接开平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接开平方求解.
( 2 )因式分解法：可化为（ax+m）(bx+n)=0的方程，用因式分解法求解.
( 3 )公式法:一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0的求根公式为x= （b2-4ac≥0）.
(4) 配方法：当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时，也可以考虑用配方法．
3.根的判别式
(1)当Δ＝ >0时，原方程有两个不相等的实数根．
(2)当Δ＝ 0时，原方程有两个相等的实数根．
=
(3)当Δ＝ <0时，原方程没有实数根．
4.列一元二次方程解应用题
（1）解题步骤：①审题；② 设未知数；③ 列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤检验根是否有意义；
⑥作答．（2）应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用.
①平均增长率（降低率）问题：公式：b＝a(1±x)n，a表示基数，x表示平均增长率（降低率），n表示变
化的次数，b表示变化n次后的量；
②利润问题：利润=售价-成本；利润率=利润/成本×100%；
③传播、比赛问题：
④面积问题：a.直接利用相应图形的面积公式列方程；b.将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运用
面积之间的关系列方程.
注意：运用一元二次方程解决实际问题时，方程一般有两个实数根，则必须要根据题意检验根是否有意义.
题型一一元二次方程的解
【例1】
（2023春·浙江温州·八年级校考期中）已知关于 的一元二次方程 有一个根是 ，则方程
有一个根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用一元二次方程的解，可得出 ，在等式的两边同时除以 ，可得出
，进而可得出方程 有一个根是 ．
【详解】 关于 的一元二次方程 有一个根是 ，
，
在等式的两边同时除以 得： ，
方程 有一个根是 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，牢记“能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次
方程的解”是解题的关键．
巩固训练：
1．（2023·全国·九年级专题练习）若关于 的一元二次方程 的一个根为 ，则的值为（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】C
【分析】将 代入方程，得到 ，再利用一元二次方程根的定义得到 ，确定出m的值即可．
【详解】解：将 代入 ，
得： ，
解得： ，
∵ ，
∴ ，
∴
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的
解．也考查了一元二次方程的定义．
2．（2023春·山东东营·八年级东营市实验中学校考期中）若m是一元二次方程 的一个根，则
代数式 的值为（ ）
A．0 B．2 C． D．4
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的解的定义得出 ，即得出 ．再将代数式 变为
，最后整体代入求值即可．
【详解】解：∵m是一元二次方程 的一个根，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义，代数式求值．掌握一元二次方程的解就是使方程成立的未知
数的值是解题关键．
3．（2023春·山东济宁·八年级济宁学院附属中学校考期中）已知 是一元二次方程 的一个
根，则代数式 的值是（ ）A．2020B．2021 C．2022 D．2023
【答案】B
【分析】先利用一元二次方程根的定义得到 ，再把 变形为 ，然
后利用整体代入的方法计算．
【详解】解： 是一元二次方程 0的一个根，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解、代数式求值，解题的关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等
的未知数的值是一元二次方程的解．
4．（2023·全国·九年级专题练习）已知关于x的一元二次方程 ，若 ，则此方程
必有一个根为（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．±1
【答案】B
【分析】将 代入方程 中的左边，得到 ，由 得到方程左右两边相等，
即 是方程的解．
【详解】将 代入方程 中的左边得： ，
∵ ，
∴ 是方程 的根．
即方程的一个根为 ．
故选：B
【点睛】题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方
程的解．掌握方程的解的定义是解题的关键．
5．（2023春·浙江宁波·八年级校考阶段练习）若关于 的一元二次方程 有一根为
，则一元二次方程 必有一根为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程根的定义可得元二次方程 中， ，进而即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 （ ）有一根为 ，
∴一元二次方程 ，
即 中， ，
即 ，
故选D
【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，理解一元二次方程根的定义是解题的关键．
6．（2023春·山东泰安·八年级统考期中）若 的一个解为 ，则 的值为（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】把 代入 ，得 ，对 进行化简，即可．
【详解】∵ 是 的一个解，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程的解．
7．（2022秋·上海静安·八年级上海市民办扬波中学校考期中）若 是方程 的一个根，则
m的值为 ．
【答案】2
【分析】根据一元二次方程的解的定义将 代入方程 ，列出关于m的方程，通过解方程求得m的值即可．
【详解】解：∵ 是方程 的一个根，
∴ ，
解得： ，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是根据题意得出 ．
8．（2023·全国·九年级专题练习）（2023·山东枣庄·统考中考真题）若 是关于x的方程 的
解，则 的值为 ．
【答案】
【分析】把 代入 得 ，则 ，将 整理为 即可
求解．
【详解】解：把 代入 得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：2017．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，整体代入求代数式的值，解题的关键是掌握使方程等号两边
相等的未知数的值是方程的解．
9．（2023春·江苏南通·八年级南通田家炳中学校考阶段练习）关于x的一元二次方程
的一个根为0，则 ．
【答案】
【分析】将 代入一元二次方程 ，转化为关于 的方程，要注意， ．
【详解】解：将 代入一元二次方程 得，
，
整理得， ，解得 ， ．
是一元二次方程，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解和一元二次方程的定义，要熟悉一元二次方程的解法和二次项系数
的取值范围．
10．（2023·四川·九年级专题练习）先化简，再求值 ，其中x的值是方程
的根．
【答案】 ，4
【分析】根据整式的混合运算化简后代入x的值计算即可.
【详解】解：原式
；
∵x的值是方程 的根，
解得 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
原式 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，实数的运算，分式的化简和求值，解一元一次不等式，正确地进
行运算是解题的关键.
题型二 一元二次方程的解法【例2】（2023秋·河南许昌·九年级许昌市第一中学校联考期末）下面是小明同学解一元二次方程
的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
．
解：二次项系数化为1，得 ，第一步
移项，得 ，第二步
配方，得 ，第三步
变形，得 ，第四步
开方，得 ，第五步
解得 ， ，第六步
(1)上面小明同学的解法中运用“配方法”将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想
是______，其中“配方法”依据的一个数学公式是______；
(2)上述解题过程，从第______步开始出现错误，请写出正确的解答过程．
【答案】(1)转化思想，完全平方公式
(2)三，解答过程见详解
【分析】（1）根据解答过程判断依据即可；
（2）根据配方法判断即可．
【详解】（1）解法中运用“配方法”将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是
转化思想，其中“配方法”依据的一个数学公式是完全平方公式；
（2）解题过程，从第三步开始出现错误，正确的解答过程如下：
解：
，
，
，，
，
解得 ， ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的几种常见解法：直接开平方法、配方法、
因式分解法、公式法，结合方程的特点选择合适的解法是解题的关键．
【例3】（2023春·北京门头沟·八年级统考期末）阅读材料，并回答问题：
小明在学习一元二次方程时，解方程 的过程如下：
解：∵ ， ， ①
∴ ②
③
∴此方程无解
问题：
(1)上述过程中，从 步开始出现了错误（填序号）；
(2)发生错误的原因是： ；
(3)在下面的空白处，写出正确的解答过程．
【答案】(1)③
(2)计算错误
(3)见解析
【分析】根据公式法的步骤判断和求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得：从③步开始出现了错误
故答案为：③；
（2）计算错误（负数乘以负数得负数）；
（3）∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，解得： ， ．
【点睛】本题考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法的计算步骤．
【例4】（2023·全国·九年级专题练习）按要求解方程
(1) （直接开平方法）；
(2) （配方法）；
(3) （公式法）
(4) （因式分解法）
(5) （换元法）
【答案】(1) ，
(2) ，
(3) ，
(4) 或
(5) ，
【分析】（1）先移项，变成 ，然后直接开平方；
（2）把方程的二次项系数化为1，移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就
是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解；
（3）找出方程中二次项系数 ，一次项系数 及常数项 ，计算出根的判别式，由根的判别式大于0，得
到方程有解，将 ， 及 的值代入求根公式即可求出原方程的解；
（4）将方程整理为 ，然后通过提取公因式 进行因式分解，再求解即可；
（5）先令 ，则原方程变形为 ，运用因式分解法解得 ， ，再把 和3
分别代入 得到关于 的一元二次方程，然后解两个一元二次方程，最后确定原方程的解．【详解】（1）解： ，
，
，
，
∴ ， ；
（2） ，
，
，
，
，
∴ ， ；
（3） ，
， ， ，
，
∴ ，
∴ ， ；
（4） ，
，，
，
，
∴ 或 ，
∴ 或 ；
（5） ，
令 ，则原方程变形为 ，
即： ，
解得： ， ，
当 时， ，解得： ，
当 时， ，解得： ，
∴原方程的解为： ， ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法、公式法、因式分解法、配方法、换元法是
解题的关键．
【例5】（2023春·陕西咸阳·八年级统考期末）先阅读下面的内容，再解答问题．
【阅读】例题：求多项式 的最小值．
解： ，
∵ ，∴
∴多项式 的最小值是4
(1)请写出例题解答过程中把一个三项二次式转化为一个二项式的平方运用的公式是______；
(2)求多项式 的最大值．【答案】(1)完全平方公式(2)30
【分析】（1）根据完全平方公式的含义可得答案；
（2）把原式化为 ，再利用非负数的性质可得答案．
【详解】（1）解：公式为： ，即：完全平方公式，
故答案为：完全平方公式；
（2）
；
∵ ，
∴ ，
∴ 的最大值是 ．
【点睛】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，非负数的性质，掌握利用完全平方公式求解代数式的
最值是解本题的关键．
巩固训练
1．（北京市石景山区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）解方程 ，下列用配方法进行
变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用完全平方公式进行配方即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，即 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程．解题的关键在于对知识的熟练掌握．2．（2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）用配方法解一元二次方程 时，在方程两边应同时加
上（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据配方法的步骤，利用完全平方公式 进行求解即可．
【详解】解： 进行配方，方程两边应同时加上一次项系数的一半的平方，
即
∴ ，
∴在方程两边应同时加上 ．
故选：C．
【点睛】本题考查配方法，用配方法解一元二次方程得一般步骤：（1）化二次项系数为 ，当二次项系数
不是 时，方程两边同时除以二次项系数；（2）加上一次项系数一半的平方，使其中的三项成为完全平方
式，但又要使此方程的等式关系不变，故在右侧同时加上一次项系数一半的平方；（3）配方后将原方程
化为 的形式，再用直接开平方的方法解方程．熟知配方法的步骤是解题的关键．
3．（2023·全国·九年级专题练习）用配方法解方程 ，配方后得到的方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先移项，再配方，即可得出选项；
【详解】解： ， ，
配方得： ，
，
故选A．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能正确的配方是解答该题的关键．
4．（2023春·浙江杭州·八年级统考期末）用配方法解一元二次方程 配方后可变形为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据配方法的步骤进行求解即可．
【详解】解： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选A．
【点睛】本题考查配方法．熟练掌握配方法的步骤，是解题的关键．
5．（2023春·山东威海·八年级统考期末）用配方法解方程 ，若配方后结果为 ，则
n的值为（ ）
A． B．10 C． D．9
【答案】B
【分析】利用配方法将方程 配成 ，然后求出n的值即可．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．
6．（2022秋·山西太原·九年级校考阶段练习）在解方程 时，对方程进行配方，图1是小思
做的，图2是小博做的，对于两人的做法，说法正确的是（ ）A．两人都正确 B．小思正确，小博不正确
C．小思不正确，小博正确 D．两人都不正确
【答案】A
【分析】根据配方法把含未知数的项写成完全平方式，形如 的形式即可．
【详解】解：根据配方法可知两人的做法都正确，
故选：A．
【点睛】本题考查解一元二次方程—配方法，掌握配方法的步骤，能正确的将一元二次方程配成
的形式是解答的关键．
7．（2023秋·山西长治·九年级统考期末）用配方法解一元二次方程 时，变形正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】在方程两边加上16，然后把方程左边配成完全平方形式即可．
【详解】解： ，
配方得 ，即 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程－配方法，关键是掌握配方的方法：当二次项系数为1时，两边加上
一次项系数一半的平方．8．（2022秋·天津滨海新·九年级校考期中）若 ，则 的值是（ ）
A．2 B．3 C． 或3 D．2或
【答案】C
【分析】先设 ，则方程即可变形为 ，解方程即可求得 即 的值．
【详解】解：设 ，则原方程可化为： ，
即 ，
解得： 或 ，
∴ 或 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，
因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
9．（2023秋·湖南湘西·九年级统考期末）一元二次方程 配方后可化为 ．
【答案】
【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上16，然后把方程左边写成完全平方形式即可．
【详解】解：
移项得： ，
配方得： ，即 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）
把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
10．（2022秋·甘肃平凉·九年级校考阶段练习）已知实数x满足 ，则代数式
的值为 ．
【答案】2023
【分析】设 ，则原方程转化为关于t的一元二次方程 ，利用因式分解法解该方程即可求得t的值；然后整体代入所求的代数式进行解答，注意判断方程的根的判别式 ，方程有解．
【详解】解：设 ，
由原方程，得 ，
整理，得 ，
所以 或 ．
当 时， ，则 ；
当 时， 即 时， ，方程无解，此种情形不存在．
故答案是：2023．
【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量
代换．
11．（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）用配方法解一元二次方程：
【答案】 ，
【分析】先把二次项系数化1，把常数项移到等是右边，加上一次项系数一半的平方，然后直接开平方即
可．
【详解】解：二次项系数化为1，得 ，
移项，得 ，
配方，得 ，
即 ，
直接开平方，得 ，
即 ，
， ．
【点睛】本题考查利用配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的方法，会用配方法解方程是关键．
12．（2023春·安徽合肥·八年级统考期末）用配方法解方程： ．
【答案】 ，
【分析】将一元二次方程整理成一般形式，再将常数项移到一元二次方程的右边，然后两边加上一次项系
数一半的平方，最后按直接开平方法即可求解．
【详解】解：整理，得
移项，得
配方，得
开平方，得
∴ ，
【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是把方程左边转化为完全平方式，右边变为常
数项．
13．（2022秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）解方程：
【答案】 ，
【分析】明确方程中未知数的二次项、一次项系数及常数项，运用求根公式求解．
【详解】解： ，
∴ ，
∴方程的解为 ， ．
【点睛】本题考查一元二次方程的求解，注意根据方程具体情况选用适当的方法求解是解题的关键．
14．（2022秋·天津津南·九年级校考期中）选取最恰当的方法解方程：
(1)(2)
【答案】(1) ， ；
(2) ，
【分析】（1）直接开平方把原方程化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可得解；
（2）原方程先配方然后再开平方，最后化为一元一次方程求解即可．
【详解】（1）解：开方得： 或 ，
解得： ， ；
（2）解：原方程两边除以3得：
，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ， ．
【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握配方法及直接开平方的解方程方法是解题关键．
15．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市萧红中学校考阶段练习）用指定的方法解下列方程
(1) （配方法）
(2) （公式法）
【答案】(1) ， ；
(2) ， .
【分析】（1）先配方，再两边都加上25，再利用直接开平方法解方程即可；
（2）先计算 ，再代入求根公式即可.
【详解】（1）解：∵ ，
配方得： ，
∴ ，解得： ， ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ， .
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法与公式法解一元二次方程是解本题的关键.
16．（2023春·辽宁大连·八年级统考期末）解方程：
(1) （用公式法）
(2) （用配方法）
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】（1）先利用根的判别式判定根的情况，然后再运用求根公式求解即可；
（2）先移项后配方，然后再利用直接开平方法求解即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴
∴
∴ ， ．
（2）解： ．
．
．∴ ， ．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用公式法和配方法解一元二次方程成为解答本题的关键．
17．（2022秋·湖北荆州·九年级校考期中）请用指定方法解下列方程：
(1)公式法： ；
(2)因式分解法： ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据公式法求解即可；
（2）先提取公因式4，再利用平方差公式求解．
【详解】（1）方程 中， ，
∴ ，
∴ ；
（2）方程 可变形为： ，
即 ，
∴ 或 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基础题目，熟练掌握公式法和因式分解法解方程的方法是
解题的关键．
18．（2023春·山东威海·八年级统考期末）按指定方法解方程：
(1) ；（因式分解法）
(2) ．（配方法）【答案】(1)
(2) ，
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用配方法求解即可．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
整理得： ，
；
（2）解： ，
，
，
，
，
或 ，， ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、配方法、公式法、
因式分解法，解题时要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
题型三 一元二次方程根的判别式
【例6】（2023春·山东济宁·八年级济宁学院附属中学校考期中）已知关于 的方程
．
(1)求证：无论 取何值，这个方程总有实数根；
(2)若等腰 的底边长 ，另两边 、 恰好是这个方程的两个根，求 的周长．
【答案】(1)见解析(2)5
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出 ，由此即可证出：无论 取何
值，这个方程总有实数根；
（2）根据等腰三角形的性质可得 ，则该方程有两个相等实数根，求出m的值，再根据三角形的三边
关系及三角形的周长公式即可求出 的周长．
【详解】（1）证明： ，
无论 取何值，这个方程总有实数根；
（2）解：∵等腰 的底边长 ，
∴ ，
∵ 、 恰好是这个方程的两个根，
∴该方程的根有两个相等实数根，
∴
解得： ，
原方程为 ，
解得： ．
、2、1能组成三角形，
该三角形的周长为 ．【点睛】本题考查了根的判别式、三角形三边关系、等腰三角形的性质以及解一元二次方程，解题的关键
是熟练掌握当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；
当 时，方程没有实数根．
巩固训练
1．（2023·吉林·统考中考真题）一元二次方程 根的判别式的值是（ ）
A．33 B．23 C．17 D．
【答案】C
【分析】直接利用一元二次方程根的判别式 求出答案．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的根的判别式，正确记忆公式是解题关键．
2．（2023春·北京昌平·八年级统考期末）下列方程中有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别求出每一个方程的判别式Δ的值，找出 的方程即可．
【详解】解：A、 ，∴方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意；
B、 ，∴方程有两个不相等的实数根，故本选项符合题意；
C、 ，∴方程没有实数根，故本选项不符合题意；
D、 ，∴方程没有实数根，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程 的根与 有如下关系：①
当 时，方程有两个不相等的实数根；②当 时，方程有两个相等的实数根；③当 时，方程无
实数根．
3．（2022秋·天津滨海新·九年级校考期中）关于x的方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定
【答案】A【分析】表示出根的判别式，判断判别式的正负即可确定出方程根的情况．
【详解】解： ，
，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点睛】此题考查了根的判别式，弄清根的判别式与方程根的关系是解本题的关键．
4．（2022秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）下列二次三项式在实数范围内一定能因式分解的
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】转化一元二次方程根的判别式计算判断即可．
【详解】A. ∵ 中， ，
∴ 无实数根，
故 在实数范围内不能因式分解，不符合题意；
B. ∵ 中， ，
∴ 有两个不相等的实数根，
故 在实数范围内能因式分解，符合题意；
C.∵ 中， ，无法确定属性，
∴ 不一定有实数根，
故 在实数范围内不一定能因式分解，不符合题意；
D. ∵ 中， ，
∴ 无实数根，
故 在实数范围内不能因式分解，不符合题意；
故选Ｂ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
5．（2022秋·山西临汾·九年级统考期末）关于x的方程 有实数根，则a的取值范围是
（ ）
A． B． 且 C． D． 且
【答案】A
【分析】讨论：当 时，方程化为一元一次方程，有一个实数解；当 时，根据判别式的意义得到
，解得 且 ，然后综合两种情况得到a的取值范围．
【详解】解：当 时，方程化为 ，
解得 ，
当 时， ，
解得 ，
综上所述，a的取值范围为 ．
故选：A．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程 的根与 有如下关系：当
时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程无实数根．
6．（2022秋·河南南阳·九年级南阳市第三中学校考阶段练习）方程 有两个实
数根，则m的取值范围（ ）
A． 且 B． 且 C． D． 且
【答案】A
【分析】由方程 有两个实数根，可得 ，
再解不等式组即可得到答案．【详解】解：∵方程 有两个实数根，
∴ ，
解得： 且 ，
故选A
【点睛】本题考查的是一元二次方程的含义，一元二次方程根的判别式的含义，二次根式有意义的条件，
理解题意，建立不等式组是解本题的关键．
7．（2023春·浙江绍兴·八年级统考期末）已知 是关于x的方程 的实数根．下列说
法：①此方程有两个不相等的实数根；②当 时，一定有 ；③b是此方程的根；④此方程有
两个相等的实数根．上述说法中，正确的有（ ）
A．①②B．②③ C．①③ D．③④
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根的定义求出 ，以及根的判别式判断根的情况，进一步可得结论．
【详解】解：∵ 是关于x的方程 的实数根，
∴ ，
整理得，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ；
① ，
∴此方程有两个不相等的实数根，故①说法正确；
②∵ ，
∴当 时，一定有 ，故②说法错误；
③∵ 是关于x的方程 的实数根．且 ，∴ 也是关于x的方程 的实数根．故③说法正确；
④此方程有两个不相等的实数根，故④说法错误；
所以，正确的结论是①③，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的意义，一元二次方程根的判别式，熟练掌握运用根的判别式
判断根的情况是解答本题的关键．
8．（2023秋·河南许昌·九年级许昌市第一中学校联考期末）对于实数a，b，定义新运算： ，
若关于x的方程 有两个相等的实数根，则k的值是（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据新定义得到 ，再把方程化为一般式，然后根据根的判别式的意义得到
，再解方程即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
整理得 ，
而关于x的方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
解得 ．
故选D．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程 的根与 有如下关系：当
时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程无实数根．
9．（湖北省荆州市2022-2023学年九年级上学期期中数学试题）对于实数u、v定义一种运算“*”为：
．若关于x的方程 有两个相等的实数根，求满足条件的实数a的值为 ．
【答案】0【分析】由于定义一种运算定“*”为： ，所以关于x的方程 变为
，而此方程有两个相等的实数根，所以根据判别式和一元二次方程的一般形式的
定义可以得到关于a的不等式组，解不等式组即可解决问题．
【详解】解：由 ，得 ，
即 ，
∵关于x的方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
∴ ，
解得 ．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的判别式，解题时首先正确理解定义的运算法则得到关于x的方程，
然后根据判别式和一元二次方程的定义得到不等式组解决问题．
10．（2023·贵州·统考中考真题）若一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值是 ．
【答案】
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程 ，若，则方程有两个不相等的实数根，若 ，则方程有两个相等的实数根，若
，则方程没有实数根．
11．（北京市石景山区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）已知关于 的一元二次方程
．
(1)请判断这个方程根的情况；
(2)若该方程有一个根小于1，求 的取值范围．
【答案】(1)有两个实数根
(2)
【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案；
（2）求出方程的两根，根据该方程有一个根小于1列出不等式，解不等式即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意得：
，
∵无论 取何值时， ，
∴原方程有两个实数根；
（2）解：∵ ，
； ，
∵该方程有一个根小于1，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况，公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练运用根的判别式．
12．（2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）已知关于 的方程
(1)当 取什么值时，方程只有一个根？
(2)若方程有两个不相等的实数根，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2) 且
【分析】（1）先根据方程只有一个根可知此方程是一元一次方程，故可得出 的值；（2）根据方程有两个相等的实数根可知 ，由此即可得出 的取值范围．
【详解】（1）解：当 时，得： ，
此时 ，
则方程 为一元一次方程，它的根是 ，此时方程只有一个根，
∴当 时，方程只有一个根；
（2）∵关于 的方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得： 且 ，
∴ 的取值范围是 且 ．
【点睛】本题考查一元一次方程，一元二次方程的定义及根的判别式．一元二次方程
根的情况与判别式 的关系： 方程有两个不相等的实数根； 方程有两个相等的
实数根； 方程没有实数根．掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．
题型四 一元二次方程的实际应用
【例7】（北京市石景山区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）某工厂由于采用新技术，生产量逐
月增加，原来月产量为2000件，两个月后增至月产量为3000件． 若设月平均增长率为x，则下列所列的
方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用两个月后的月产量 原来的月产量 ，即可列出关于 的一元二次方程，
此题得解
【详解】解：根据题意得： ．
故选：B．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关
键．
【例8】（2022秋·山西吕梁·九年级校考阶段练习）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种
植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支．已知1个主干长出的枝干和小分支
的总数是72，则这种植物每个枝干长出小分支的个数是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】B
【分析】设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，根据支干和小分支的总数是72，即可得出关于x的
一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， （不合题意，舍去），
∴这种植物每个支干长出的小分支个数是8．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【例9】
（2023春·八年级单元测试）如图，在 中， ， ， ，动点 由点 出
发沿 方向向点 匀速移动，速度为 ，动点 由点 出发沿 方向向点 匀速移动，速度为
．动点 ， 同时从 ， 两点出发，当 的面积为 时，动点 ， 的运动时间为
．
【答案】
【分析】设 ， 的运动时间为 ，可得 ，用 表示出 的面积，并令其等于 ，即可解出
的值，即动点 ， 的运动时间．【详解】解：设动点 ， 的运动时间为 ，且 ，则 ， ．
， ，
又 的面积为 ，
，解得 ， （舍去）．
故动点 ， 的运动时间为 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，准确地设出未知量，并通过解方程求解是解决本题的常见方法．
【例10】（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）为助力攻坚脱贫，某村村委会在网上直播销售该村优质农
产品礼包，已知其3月份的销售量达到400包，若农产品礼包每包的进价25元，原售价为每包40元，该
村在今年4月进行降价促销，经调查发现，若农产品礼包每包降价1元，销售量可增加5袋，当农产品礼
包每包降价多少元时，这种农产品在4月份可获利4620元？
【答案】每包降价4元
【分析】先设当农产品每袋降价m元时，该农产品在4月份可获利4620元，然后根据：利润 （售价 进
价） 数量，列出方程并解答即可．
【详解】解：设当农产品礼包每包降价m元时，这种农产品在4月份可获利4620元，
由题意得： ，
解得： ， (舍去)，
答：当农产品礼包每包降价4元时，这种农产品在4月份可获利4620元．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，找到等量关系列出相应的方程是解答本题的关键．
巩固训练
1．（2023·全国·九年级专题练习）广东春季是流感的高发时期，某校4月初有一人患了流感，经过两轮传
染后，共25人患流感，假设每轮传染中平均每人传染x人，则可列方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了
个人，则第一轮传染了 个人，第二轮作为传染源的是 人，则传染 人，依题意列方程：
即可．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了 个人，依题意得 ，即 ，
故选：C．
【点睛】考查了一元二次方程的应用，本题要注意的是，患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，
人数应该累加，这个问题和细胞分裂是不同的．
2．（2022秋·陕西咸阳·九年级统考期中）有一人感染了某种病毒，若不及时控制就会传染其他人，假设每
轮传染中平均一个人传染了 个人，经过两轮传染后共有64人感染，则 的值是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】B
【分析】根据经过两轮传染后共有64人感染，可列方程求解即可．
【详解】由题意得：
，
解得： 或 （舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染了7个人；
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系是解题关键．
3．（重庆市开州区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）李师傅去年开了一家商店，今年 月份开
始盈利， 月份盈利 元， 月份盈利达到 元，若设 月到 月每月盈利的平均增长率为 ，则可
列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设 月到 月每月盈利的平均增长率为 ，根据增长率问题，列出一元二次方程即可求解．
【详解】解：设 月到 月每月盈利的平均增长率为 ，则可列方程为 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
4．（2023春·河北沧州·九年级校考阶段练习）国家卫健委临床检验中心数据，因疫情防控需求，全国新冠
病毒核酸检测实验室数量从2020年的2081家，增长至2022年的 万家，如果这两年核酸检测实验室的
年平均增长率为 ，则下列方程正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设这两年核酸检测实验室的年平均增长率为 ，根据“从2020年的2081家，增长至2022年的
万家”列出方程即可求解．
【详解】解：设这两年核酸检测实验室的年平均增长率为 ，
依题意，可得 ，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了增长率的问题，解决问题的关键是掌握一般公式：原来的量 现在的量，
增长用 ，减少用 ．
5．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在长为 ，宽为 的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，
若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是 ，则小路的宽是（ ）
A． B． C． 或 D．
【答案】A
【分析】设小路宽为 ，则种植花草部分的面积等于长为 ，宽为 的矩形的面积，
根据花草的种植面积为 ，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】解：设小路宽为 ，则种植花草部分的面积等于长为 ，宽为 的矩形的面
积，
依题意得：
解得： ， （不合题意，舍去），∴小路宽为 ．
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在一张长宽分别为 和 的长方形纸板上剪去四个边长为
的小正方形，并用它做成一个无盖的小长方体盒子，若要使长方体盒子的底面积为 ，求x的值，
根据题意，可列得的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先分别表示出底面长方形的长和宽，然后根据长方形面积公式列出方程即可．
【详解】解：由题意得，底面长方形的长为 ，宽为 ，
∵要使长方体盒子的底面积为 ，
∴ ，
故选B．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意表示出底面长方形的长和宽是
解题的关键．
7．（2023·江苏无锡·统考中考真题）《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，
横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽：
有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺：竖放，竿比门高长出2尺：斜放，竿与门对角线恰好相等．
问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是 尺．
【答案】8
【分析】设门高 尺，则竿长为 尺，门的对角线长为 尺，门宽为 尺，根据勾股定理即
可求解．【详解】解：设门高 尺，依题意，竿长为 尺，门的对角线长为 尺，门宽为
尺，
∴ ，
解得： 或 （舍去），
故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理，根据题意建立方程是解题的关键．
8．（2023秋·江西萍乡·九年级统考期末）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调
查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客尽可能多得实惠的前
提下，商家还想获得6080元的利润，则该商品的销售定价为 元．
【答案】56
【分析】将销售单价定为x元/件，则每星期可卖出 件，根据总利润=每件的利润×销售数
量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】解：将销售单价定为x元/件，则每星期可卖出 件，
根据题意得： ，
整理得： ，
解得： ．
∵要使顾客获得实惠，
∴ ．
即该商品的销售定价为56元．
故答案为：56．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．（2023春·八年级单元测试）在 中， ， ， ，动点 ， 分别从点
， 同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为 ，点Q的速度为 ，点 Q移动到点
C后停止，点P也随之停止移动，若使 的面积为 ，则点P运动的时间是 ．【答案】
【分析】设出动点P，Q运动t秒，能使 的面积为 ，用t分别表示出 和 的长，利用三角
形的面积计算公式即可解答．
【详解】解：设动点 ， 运动 秒时，能使 的面积为 ，
则 的长为 ， 的长为 ．
可列方程为 ，
解得 ， （舍去），
动点 ， 运动3秒时，能使 的面积为 ．
故答案为：3．
【点睛】此题考查一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．
10．（2023春·山东德州·八年级校考阶段练习）如图， ， ， ，一个小球
从点 出发沿着 方向滚向点 ，另一小球立即从点 出发，沿 匀速前进拦截小球，恰好在点 处截
住了小球．若两个小球滚动的速度相等，则另一个小球滚动的路程 是 ．
【答案】
【分析】根据题意设 ，则 ，在 中，用含 的式子表示出 ，根据两个小球的
速度相等，时间相等，即可求解．【详解】解： ， ， ，设 ，则 ，
在 中， ，
∵两个小球滚动的速度相等，设速度为 ，根据题意可知，一个小球从点 出发，另一小球立即从点 出
发，恰好在点 处截住，则运动时间相等，
∴ ，则 ，
∴ ，解得， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查动点、方程与直角三角形的综合，掌握直角三角形的勾股定理，根据数量关系列方
程，解方程是解题的关键．
11．（2023春·重庆渝北·八年级礼嘉中学校考期末）今年春季是甲流病毒的高发期．为了遏制甲流病毒的
传播，建议市民朋友们在公共场合要佩戴口罩，现在，有一个人患了甲流，经过两轮传染后共有 个人患
了甲流．
(1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？
(2)某药房最近售出了 盒口罩．已知售出的 医用口罩的数量不超过普通医用口罩的4倍，每盒
医用口罩的单价为 元，每盒普通医用口罩的价格为 元，则售出 医用口罩和普通医用各多少盒时，
总销售额最多？请说明理由．
【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了8个人
(2)售出 医用口罩 盒，普通医用 盒时，总销售额最多，理由见解析
【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意得 ，进行计算即可得；
（2）设售出 医用口罩a盒，则普通医用口罩 盒，总销售额为W元，
则 ，进行计算得 ， ，
根据一次函数的性质得W随a的增大而增大，即当 时，W有最大值，算出普通口罩盒数即可得．
【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
，，
，
，
， （舍），
答：每轮传染中平均一个人传染了8个人；
（2）售出 医用口罩 盒，普通医用 盒时，总销售额最多，理由如下：
解：设售出 医用口罩a盒，则普通医用口罩 盒，总销售额为W元，
则 ，
，
，
，
，
∵ ，
∴W随a的增大而增大，
当 时，W有最大值，
则普通医用口罩盒数为： （盒），
即售出 医用口罩 盒，普通医用 盒时，总销售额最多．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，一次函数的应用，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
12．（2023·广东阳江·统考一模）自 年 月以来，甲流便肆虐横行，成为当前主流流行疾病．某一小
区有 位住户不小心感染了甲流，由于甲流传播感染非常快，小区经过两轮传染后共有 人患了甲流．
(1)每轮感染中平均一个人传染几人？
(2)如果按照这样的传播速度，经过三轮传染后累计是否超过 人患了甲流？
【答案】(1) 人
(2)不超过
【分析】（1）设每轮感染中平均一个人传染 人，根据题意列方程解方程即可；
（2）根据（1）可知每轮感染中平均一个人传染 人，进而得到三轮后患病总人数为 即可解答．
【详解】（1）解：设每轮感染中平均一个人传染 人．根据题意得 ，
解得 ，或 ，
∵ ，
∴ ，
答：每轮感染中平均一个人传染 人；
（2）解：根据题意可得：
第三轮的患病人数为 ，
∵ ，
∴经过三轮传染后累计患甲流的人数不会超过 人，
答：经过三轮传染后累计患甲流的人数不超过 人；
【点睛】本题考查了一元二次方程与实际问题，读懂题意明确数量关系是解题的关键．
13．（2023春·安徽安庆·八年级安庆市石化第一中学校考期末）我市某超市于今年年初以每件30元的进价
购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售250件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．
在售价不变的基础上，三月底的销售量达到360件．设二、三这两个月的月平均增长率不变．
(1)求二、三这两个月的月平均增长率；
(2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加6
件，当商品降价多少元时，商场获利1950元？
【答案】(1)二、三这两个月的月平均增长率为
(2)当商品降价5元时，商品获利1950元．
【分析】（1）由题意可得，1月份的销售量为：250件；设2月份到3月份销售额的月平均增长率为x，则
二月份的销售量为： 件；三月份的销售量为： 件，又知三月份的销售量为：360
件，由此等量关系列出方程求出x的值，即求出了平均增长率；
（2）利用销量 每件商品的利润 1950列出方程求解即可．
【详解】（1）解：（1）设二、三这两个月的月平均增长率为x，
根据题意可得： ，
解得： 或 （不合题意舍去）．
答：二、三这两个月的月平均增长率为 ；（2）解：设当商品降价m元时，商品获利1950元，
根据题意可得： ，
解得： （不合题意舍去）．
答：当商品降价5元时，商品获利1950元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
14．（北京市石景山区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）如图，矩形草地 中，
m， m，点 为边 中点，草地内铺了一条长和宽分别相等直角折线甬路（ ，
），若草地总面积（两部分阴影之和）为 ，求甬路的宽．
【答案】2m
【分析】设甬路的宽为 m，先得出 ，即 ，再据题意列一元二次方程，
解方程即可求解．
【详解】解：设甬路的宽为 m，
∵矩形 中， ， ，
∴四边形 是正方形，
∵点 为边 中点， m，
∴ ，
∴ ，即 ，
即据题意列方程，得： ．
整理，得 ．
解得 ， （不合题意，舍去）．
答：甬路的宽为2m．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是得出 以及找到等量关系．15．（2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）如图，正方形 分割成两个小正方形和两个长方形．
(1)若正方形 边长为 ，正方形 的面积是正方形 的一半，求正方形 的边 的长．
(2)若正方形 面积为 ，设 ，四边形 的面积为 ，求y关于 的函数解析式，并写出定
义域．
(3)四边形 的面积是否能够等于正方形 面积的一半，如果能，请求出 长，如果不能请说明
理由．
【答案】(1)
(2)
(3)能，
【分析】（1）设 ，可得 ，根据：正方形 的面积是正方形 的一半，可
列出关于 的一元二次方程，求解并根据题意可得答案；
（2）设 ，可得 ， ，然后根据 代入化简
即可；
（3）根据题意可知 ，得到方程 ，求解并根据题意可得答案．
【详解】（1）解：设 ，
∵正方形 边长为 ，正方形 分割成两个小正方形 、 和两个长方形 、
，
∴ ，根据题意列方程得： ，
解得： ， （不合题意，舍去），
∴ 的长是 ．
（2）∵正方形 面积为 ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
整理得： ，
∴y关于 的函数解析式为 ．
（3）根据题意可知： ，
∴ ，
整理得： ，
解得： ， （不合题意，舍去），
∴当 的长为 时，四边形 的面积能够等于正方形 面积的一半．
【点睛】本题考查列一元二次方程解决简单的实际问题，列函数的解析式并根据函数解析式和实际意义求定义域．根据题意列出一元二次方程和函数解析式是解题的关键．
16．（2023春·江苏南通·八年级统考期末）某学校在“美化校园，幸福学习”活动中，计划利用如图所示
的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用 长的篱笆围成一个矩形花园 （篱笆只围AB，AD两
边）．
(1)若花园的面积为 ，求AB的长；
(2)若在直角墙角内点P处有一棵桂花树，且到墙CD的距离为 ，若要将这棵树围在矩形花园内（含边
界，不考虑树的粗细），问该花园的面积能否为 ？若能，求出AB的长；若不能，请说明理由．
【答案】(1) 米或 米
(2)不能，理由见解析
【分析】 由矩形面积公式得出方程，解方程即可；
根据题意可得方程 ，求出 的值，然后再根据 处这棵树是否被围在花园内进行分析即
可．
【详解】（1）解： 米， 米，
由题意得： ，
解得： ， ，
答： 的长为 米或 米；
（2）解：花园的面积不能为 米 ，理由如下：
米， 米，
由题意得： ，解得： ，
当 时， ，
即当 米， 米 米，这棵树没有被围在花园内，
将这棵树围在矩形花园内 含边界，不考虑树的粗细 ，则花园的面积不能为 米 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
17．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，老李想用长为 的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够
长）围成一个矩形羊圈 ，并在边 上留一个 宽的门（建在 处，另用其他材料）．
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 的羊圈？
(2)羊圈的面积能达到 吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)当羊圈的长为 ，宽为 或长为 ，宽为 时，能围成一个面积为 的羊圈；
(2)不能，理由见解析．
【分析】（1）设矩形 的边 ，则边 ，根据题意列出一元二次方
程，解方程即可求解；
（2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解．
【详解】（1）解：设矩形 的边 ，则边 ．
根据题意，得 ．
化简，得 ．
解得 ， ．
当 时， ；
当 时， ．
答：当羊圈的长为 ，宽为 或长为 ，宽为 时，能围成一个面积为 的羊圈．
（2）解：不能，理由如下：
由题意，得 ．化简，得 ．
∵ ，
∴一元二次方程没有实数根．
∴羊圈的面积不能达到 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键．
18．（2022秋·山西晋城·九年级统考期末）某公园中有一块长为32米，宽为20米的矩形花坛，现在要在
花坛中间修建一条如图所示的文化长廊，已知长廊的宽度均相等，且横纵相交成直角，若要使花坛的种植
面积为540平方米，问长廊的宽度应为多少米？
【答案】2米
【分析】设长廊的宽度应为x米．根据花坛的种植面积为540平方米，列出方程，解之即可．
【详解】解：设长廊的宽度应为x米．
解得 ， （舍去）
答：长廊的宽应为2米．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关
键．
19．（辽宁省辽阳市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）今年元旦期间，某网络经销商进购了一
批节日彩灯，彩灯的进价为每条 元，当销售单价定为 元时，每天可售出 条，为了扩大销售，决定
采取适当的降价措施，经调查：销售单价每降低 元，则每天可多售出 条．若设这批节日彩灯的销售单
价为 (元)，每天的销售量为 (条)．
(1)求每天的销售量 (条)与销售单价 (元)之间的函数关系式；
(2)当销售单价为多少元时，销售这批节日彩灯每天所获得的利润为 元？
【答案】(1) ；
(2) 元．【分析】（1）根据题意的数量关系，求出函数关系式即可；
（2）转化为解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）根据题意，得销售量 与销售单价 之间为一次函数关系，
当 时， ；当 时， ；
设销售量 与销售单价 之间的函数关系为 ，
则： ，解得： ，
∴销售量 与销售单价 之间的函数关系为 ，
（2）根据题意，得 ，
整理，得： ，
解得： ， ，
∵采取适当的降价措施，
∴ ，
∴当销售单价为 元时，销售这批节日彩灯每天所获得的利润为 元．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找准数量关系，列出函数关系式．
20．（2023春·浙江金华·八年级义乌市绣湖中学教育集团校联考期中）某水果店以相同的进价购进两批樱
桃，第一批80千克，每千克16元出售；第二批60千克，每千克18元出售，两批车厘子全部售完，店主
共获利960元．
(1)求樱桃的进价是每千克多少元？
(2)该水果店一相同的进价购进第三批樱桃若干，第一天将樱桃涨价到每千克20元出售，结果仅售出40千
克；为了尽快售完第三批樱桃，第二天店主决定在第一天售价的基础上降价促销，若在第一天售价基础上
每降价1元，第二天的销售量就在第一天的基础上增加10千克．到第二天晚上关店时樱桃售完，店主销售
第三批樱桃获得的利润为850元，求第二天樱桃的售价是每千克多少元？
【答案】(1)樱桃的进价是每千克10元
(2)第二天樱桃的售价是每千克15元或19元
【分析】（1）设樱桃的进价是每千克x元，根据“第一批80千克，每千克16元出售；第二批60千克，
每千克18元出售，两批车厘子全部售完，店主共获利960元”，再列方程求解即可；
（2）设第二天的售价为每千克y元，则第二天的销量为 千克，再根据总利润为850元列方程解答即可．
【详解】（1）解：设樱桃的进价是每千克x元，
依题意得： ，
解得： ，
答：樱桃的进价是每千克10元；
（2）设第二天的售价为每千克y元，则第二天的销量为 千克，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， ，
答：第二天樱桃的售价是每千克15元或19元．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，熟练的确定相等关系是解本题的关键．
21．（2023春·安徽阜阳·八年级统考期末）2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩
墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价-进货价）
类别价格 A款钥匙扣 B款钥匙扣
进货价（元／件） 30 25
销售价（元／件） 45 37
(1)网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数？
(2)冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查
发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售
利润为90元？
【答案】(1)购进A款钥匙扣20件，购进B款钥匙扣 件
(2)30元或34元
【分析】（1）设购进A款钥匙扣x件，购进B款钥匙扣 件，根据等量关系：两款钥匙扣共花费850
元，建立一元一次方程即可求解；
（2）设将B款钥匙扣销售价定为每件y元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元；由题意列出
关于y的一元二次方程，解方程即可．【详解】（1）解：设购进A款钥匙扣x件，购进B款钥匙扣 件，
由题意得： ，
解得： ，
则 （件）；
答：购进A款钥匙扣20件，购进B款钥匙扣 件．
（2）解：设将B款钥匙扣销售价定为每件y元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元，
由题意得： ，
整理得： ，
解得： ， ，
答：将B款钥匙扣销售价定为每件30元或34元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元．
【点睛】本题是方程的综合，考查了一元一次方程与一元二次方程在实际中的应用，正确理解题意，找到
等量关系并列出方程是钥匙的关键．
22．（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）第19届亚运会即将在杭州举行，某商店购进一批亚运会纪念品
进行销售，已知每件纪念品的成本是30元，如果销售单价定为每件40元，那么日销售量将达到100件．
据市场调查，销售单价每提高1元，日销售量将减少2件．
(1)若销售单价定为每件45元，求每天的销售利润；
(2)要使每天销售这种纪念品盈利1600元，同时又要让利给顾客，那么该纪念品的售价单价应定为每件多
少元？
【答案】(1)1350元
(2)50元
【分析】（1）根据 ，计算求解即可；
（2）设该纪念品的售价单价应定为每件 元，则销售量为 件，由题意得，
，计算求解，然后判断即可．
【详解】（1）解：由题意知， （元），∴当销售单价定为每件45元，每天的销售利润为1350元；
（2）解：设该纪念品的售价单价应定为每件 元，则销售量为 件，
由题意得， ，
解得 ， ，
∵ ，
∴该纪念品的售价单价应定为每件50元．
【点睛】本题考查了实数运算的应用，一元二次方程的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运
用．
23．（2023春·江苏无锡·八年级统考期末）服装店购进一批甲、乙两种款型的时尚T恤衫，甲种款型共用
了10400元，乙种款型共用了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的2倍，甲种款型每件的进价比乙
种款型每件的进价少30元.
(1)甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？
(2)该服装店第一个月甲种款型的T恤衫以200元/件的价格售出20件、乙种款型的T恤衫以250元/件的价
格售出10件；为了促销，第二个月决定对甲、乙两种款式的T恤衫都进行降价a元销售，其中甲种款型的
T恤衫的销售量增加4a件、乙种款型的T恤衫的销售增加a件，结果第二个月的销售总额比第一个月的销
售总额增加了1000a元，求第二个月的销售利润．
【答案】(1)甲种款型的T恤衫购进80件，乙种款型的T恤衫购进40件
(2)3580
【分析】(1)设乙种款型的T恤衫购进x件，则甲种款型的T恤衫购进 件，根据甲种款型每件的进价比乙
种款型每件的进价少30元列出分式方程，解方程即可；
(2)根据第二个月的销售总额比第一个月的销售总额增加了1000a元，列出一元二次方程，解方程，即可解
决问题．
【详解】（1）设乙种款型的T恤衫购进x件，则甲种款型的T恤衫购进 件，
依题意得
解得 ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
∴ ，答：甲种款型的T恤衫购进80件，乙种款型的T恤衫购进40件；
（2）乙种款型每件的进价为 (元)
则甲种款型每件的进价为 (元)，
由题意得：
整理得 ，
解得 (不符合题意，舍去)，
∴
答：第二个月的销售利润为3580元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列
出分式方程；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．
24．（2022秋·陕西咸阳·九年级统考期中）今年某村农产品喜获丰收，该村村委会在网上直播销售A、B
两种优质农产品礼包．
(1)已知今年7月份销售A种农产品礼包256包，8、9月该礼包十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的
基础上，9月份的销售量达到400包．若设8、9两个月销售量的月平均增长率为x，求x的值；
(2)若B种农产品礼包每包成本价为16元，当售价为每包30元时，每月销量为200包．为了尽快减少库存，
该村准备在10月进行降价促销，经调查发现，若B种农产品礼包每包每降价1元，月销售量可增加20包，
当B种农产品礼包每包降价多少元时，该村销售B种农产品礼包在10月份可获利2860元?
【答案】(1) 的值为25%
(2)当B种农产品礼包每包降价3元时，该村销售B种农产品礼包在10月份可获利2860元
【分析】（1）利用9月份的销售量=7月份的销售量 月平均增长率 ，即可得出关于x的一元二次方
程，解之取其正值即可得出x的值；
（2）设B种农产品礼包每包降价m元，则每包的销售利润为 元，月销售量为 包，
利用总利润=每包的销售利润×月销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】（1）依题意得： ，
解得： ， （不合题意，舍去）．答： 的值为25%．
（2）设B种农产品礼包每包降价m元，则每包的销售利润为 元，月销售量为 包，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， .
∵为了尽快减少库存，
∴ ．
答：当B种农产品礼包每包降价3元时，该村销售B种农产品礼包在10月份可获利2860元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25．（2023春·山东济南·八年级统考期末）如图，在 中， ， ， 点 从
开始沿边 向点 以 的速度移动，与此同时，点 从点 开始沿边 向点 以 的速度移动．
点 ， 同时出发，当点 运动到点 时，两点停止运动，设运动时间为 秒．
(1)填空： ______ ， ______ ； 用含 的代数式表示 ；
(2)当 为几秒时， 的长度等于 ；
(3)是否存在某一时刻 ，使四边形 的面积等于 面积的 ？如果存在，求出 的值，如果不存在，
请说明理由．
【答案】(1) ，(2)t为 秒或 秒
(3)存在时刻 ，使四边形 的面积等于 面积的 ， 的值为
【分析】（1）由路程=速度×时间，可直接求解；
（2）由勾股定理建立方程，解一元二次方程可求解；
（3）由题意可得 的面积等于 面积的 ，由三角形的面积公式可求解．
【详解】（1） 点 从 开始沿边 向点 以 的速度移动，点 从点 开始沿边 向点 以
的速度移动，
， ，
，
故答案为： ， ；
（2）由题意得 ，
即
，
解得： ， ，
当t为 秒或 秒时， 的长度等于 ；
（3）存在，理由如下：
若四边形 的面积等于 面积的 ，
的面积等于 面积的 ，
，
，
解得： 或 ，当 时，
当 时， ，四边形 变为三角形，不合题意，舍去，
存在时刻 ，使四边形 的面积等于 面积的 ， 的值为 ．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了三角形的面积公式，勾股定理，一元二次方程的应用，灵活运用这
些性质解决问题是解题的关键．
26．（2022秋·广东广州·九年级校考阶段练习）如图，在 中， ， ， ．
点 、 同时由 、 两点出发，分别以 和 的速度沿线段 、 匀速移动，当一点到达终
点时，另一点也停止移动．
(1)设经过 秒，用含t的代数式表示 、 ． ______、 ______．
(2)几秒后， 的面积是 面积的 ？
【答案】(1) ，
(2) 或 秒
【分析】（1）根据路程 速度 时间，结合线段的和差关系即可求解；
（2）根据 的面积是 面积的 ，列出方程计算即可求解．
【详解】（1）由题意可知
，
，
故答案为： ， ．
（2）依题意有，
解得： ， ．
故 或 秒后， 的面积是 面积的 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，三角形面积的计算方法，找到等量关系式，列出方程求解即可，
注意结合图形找到等量关系．
27．（2020秋·广东惠州·九年级惠州一中校考阶段练习）如图，在长方形 中， ，
，点P从点A开始沿边 向终点B以 的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边
向终点C以 的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．
设运动时间为 秒．
(1)填空： ______ ， ______ （用含 的代数式表示）
(2)当 为何值时， 的长度等于 ？
(3)是否存在 ，使得五边形 的面积等于 ？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2)当 或 时， 的长度等于
(3)不存在；理由见解析
【分析】（1）根据P、Q两点的运动速度可得 、 的长度；
（2）根据勾股定理可得 ，代入相应数据解方程即可；
（3）根据题意可得 的面积为长方形 的面积减去五边形 的面积，再根据三角形的面积
公式代入相应线段的长即可得到方程，再解方程即可．【详解】（1）解：∵P从点A开始沿边 向终点B以 的速度移动，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵点Q从点B开始沿边 向终点C以 的速度移动，
∴ ；
故答案为： ； ．
（2）解：由题意得： ，
解得： ， ；
∴当 或 时， 的长度等于 ；
（3）解：不存在；理由如下：
长方形 的面积是： ，
使得五边形 的面积等于 ，则 的面积为 ，
∴ ，
整理得： ，
∵ ，
∴此方程无解，
∴不存在 ，使得五边形 的面积等于 ．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，关键是表示出 、 的长度．
28．（2022春·广西梧州·八年级校考期中）如图，在 中， ， ， 点 从
开始沿边 向点 以 的速度移动，与此同时，点 从点 开始沿边 向点 以 的速度移动．
点 ， 同时出发，当点 运动到点 时，两点停止运动，设运动时间为 秒．(1)填空： ___________ ， ___________ ；（用含t的代数式表示）
(2)当t为几秒时， 的长度等于 ？
(3)是否存在某一时刻t，使四边形 的面积等于 面积的 ？如果存在，求出t的值，如果不存在，
请说明理由，
【答案】(1)
(2)
(3)存在，2
【分析】（1）由路程 速度 时间，可直接求解；
（2）由勾股定理构建方程求解；
（3）由题意可得 的面积等于 面积的 ，由三角形的面积公式可求解．
【详解】（1） 点 从 开始沿边 向点 以 的速度移动，点 从点 开始沿边 向点 以
的速度移动，
， ，
，
故答案为： ， ；
（2）由题意得 ，
，解得： ， （不合题意，舍去），
当 时， 的长等于 ；
（3）存在，理由如下：
若四边形 的面积等于 面积的 ，
的面积等于 面积的 ，
，
，
解得： 或 ，
当 时，
当 时， ，四边形 变为三角形，不合题意，舍去，
存在时刻 ，使四边形 的面积等于 面积的 ， 的值为2．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了三角形的面积公式，一元二次方程的应用，灵活运用这些性质解决
问题是解题的关键．
29．（2023春·江苏泰州·八年级统考期末）问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采
用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？”
条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多 ；
（2）原计划每天修建的长度比实际少75米．
在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答．
【答案】选（1）或（2）；选（1）原计划每天修建下水管道的长度为 米；选（2）原计划每天修建下
水管道的长度为 米
【分析】选择（1）时，设原计划每天修建 米，则实际每天修建 米，根据提前2天完成这一任
务，即可得出关于 的分式方程，解之经检验即可得出结论；
选择（2）时，设原计划每天修建盲道 米，则实际每天修建 米，根据提前2天完成这一任务，即
可得出关于y的分式方程，解之经检验即可得出结论；
【详解】选（1）或（2）（1）解：设原计划每天修建下水管道的长度为 米
经检验： 是所列方程的解
答：原计划每天修建下水管道的长度为 米．
（2）解：设原计划每天修建下水管道的长度为 米
（舍）
经检验： 是所列方程的解．
答：原计划每天修建下水管道的长度为 米．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题
的关键．
30．（2023春·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期中）甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总
长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任
务．
(1)求甲工程队每小时修的路面长度；
(2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，
乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了( )小时；甲工程队的修路速度比原计划
每小时下降了 米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值．
【答案】(1)甲工程队每小时铺设的路面长度为110米
(2)m的值为18
【分析】（1）设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面 米，根据题意列出
方程求解即可；
（2）根据“甲工程队铺设的路面长度+乙两工程队铺设的路面长度=5800”列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面 米，
根据题意得， ，解得： ，
则 ，
∴甲工程队每小时铺设的路面长度为110米；
（2）解：根据题意得，
，
整理得， ，
解得： （舍去），
∴m的值为18．
【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出
方程．
31．（重庆市开州区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）随着人们对健康生活的追求，全民健身
意识日益增强，徒步走成为人们锻炼的日常，中老年人尤为喜爱．
(1)张大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的 倍，张大伯走 分钟，李大伯走 分钟，共走 米，求张大
伯和李大伯每分钟各走多少米？
(2)天气好，天色早，张大伯和李大伯锻炼兴致很浓，又继续走，与（1）中相比，张大伯的速度不变，李
大伯的速度每分钟提高了 米，时间都各自多走了 分钟，结果两人又共走了 米，求 的值．
【答案】(1)张大伯每分钟走 米，李大伯每分钟走 米
(2) 的值为
【分析】（1）设李大伯徒步走的速度为每分钟 米，则张大伯每分钟走 米，根据两人共走了 米列
方程，解得 的值代入 中计算即可；
（2）结合（1）中所求可得到李大伯提高速度后每分钟走 米，由已知条件可得张大伯走了
分钟，李大伯走了 分钟，根据两人又共走了 米列方程，解方程并根据实际意义确
定 值即可．
【详解】（1）解：设李大伯徒步走的速度为每分钟 米，得
解得
∴ （米）所以，张大伯每分钟走 米，李大伯每分钟走 米；
（2）解：依题意，得
整理得
解得 （舍），
答： 的值为 ．
【点睛】本题考查了列一元一次方程解决问题，列一元二次方程解决问题，正确找到数量关系是解决问题
的关键．
