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2025-2026 学年九年级上册数学单元检测卷
第二十一章 一元二次方程·能力提升
建议用时：120分钟，满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，未知项的最高次数是 的整式方程是一元
二次方程，解决本题的关键是根据一元二次方程的定义进行判断．
【详解】解：A选项：方程 中只含有一个未知数，未知项的最高次数是 ，是整式方程，所以方程
是一元二次方程，故A选项符合题意；
B选项：方程 中含有二个未知数，未知项的最高次数是 ，所以方程 不是一元二次方程，
故选项B不符合题意；
C选项：方程 中的未知数在分母的位置，是分式方程，不是一元二次方程，故C选项不符合题
意；
D选项：方程 整理后得到： ，整理后是一元一次方程，不是一元二次方程，故D
选项不符合题意．
故选：A．
2．将方程 化成一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式： ，其中a，b，c是常数，且 ，分别方
程的是二次项系数，一次项系数和常数项；把方程化为一元二次方程的一般形式，据此即可求解．【详解】解：方程 化为一元二次方程的一般形式为： ，则二次项系数，一次项
系数和常数项分别是 ；
故选：B．
3．用配方法解一元二次方程 ，将它转化为 的形式，下列变形正确的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本考查配方法解一元二次方程，先将常数项移到等号右边，再利用完全平方公式进行配方，即可
求解．
【详解】解： ，
移项，得 ，
配方，得 ，
即 ，
故选B．
4．若 是方程 的一个根，则k的值是（ ）
A．0 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程的根，把 代入方程，进行求解即可.
【详解】解：把 代入方程 ，得： ，
解得： ；
故选B
5．分别以一元二次方程 的两根为腰和底画一个等腰三角形，则这个等腰三角形的周长是
（ ）
A．10 B．8 C．10或8 D．10或6
【答案】A
【分析】本题考查解一元二次方程，先解方程得到两根，再根据等腰三角形的性质和三角形三边关系确定
各边长度，最后计算周长即可．【详解】解：∵ ，
∴ ，
解得 ， ，
∵以一元二次方程 的两根为腰和底画一个等腰三角形，
则：①若腰为2，底为4，则三边为2、2、4．
此时 ，不满足三角形三边关系（两边之和需大于第三边），舍去．
②若腰为4，底为2，则三边为4、4、2．
此时 ， ，均满足三角形三边关系．
∴符合条件的三角形边长为4、4、2，周长为 ．
故选A
6．《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作．其中有一个数学问题：“直田积八百八十一步，
只云长阔共六十步，问长多阔几何？”译文：“一块矩形田地的面积为891平方步，只知道它的长与宽共
60步，问它的长比宽多多少步？”则长比宽多（ ）
A．3步 B．5步 C．6步 D．9步
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．
设矩形田地的长为 步，则宽为 步，根据面积公式列出一元二次方程，解方程后确定长和宽的具体
数值，再求两者的差即可．
【详解】解：设长为 步，则宽为 步，
∴ ，
解得 ， ，
当 时，宽为 步，满足长>宽，此时长比宽多 （步）；
当 时，宽为 步，不符合长>宽的条件，舍去；
故选：C．
7．已知关于x的一元二次方程 的两实数根为 ，且满足 ，则 的值为
（ ）A． B．6 C．4或 D． 或6
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式及解一元二次方程．根据一元二次方程根
与系数的关系，根的判别式及解一元二次方程可求出m的值，即可求解．
【详解】解： 关于x的一元二次方程 的两实数根为 ，
， ， ，
，
，即 ，
解得 或 ，
，
，
故选：A．
8．根据下列表格的对应值，判断方程 （ ， ， ， 为常数）一个解的范围是（ ）
3.1 3.2 3.3 3.4
0.5
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查求一元二次方程的近似根，根据表格，找到相邻两个 的值，使 的符号为一
正一负，即可得出结果．
【详解】解：由表格可知：当 时， ，当 时， ，
∴当 时，必然存在一个 ，使 ，
∴ （ ， ， ， 为常数）一个解的范围是 ；
故选D．
9．已知关于x的方程 ，下列说法中正确的是（ ）
A．当 时，方程有两个不相等的实根
B．当 时，方程无解
C．当 时，方程只有一个实根D．当 时，方程一定有两个不相等的实根
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及一元一次方程的解．需分别代入各选项中的k值，计算判别
式 或直接解方程，判断根的情况．
【详解】A：当 时，方程为 ，解得 ，有两个不相等的实根，正确．
B：当 时，方程为 ，解为 ，有解，原说法错误．
C：当 时，方程为： ，判别式 ，方程有两个不相等的实
根，原说法错误．
D：当 时，判别式 ．当 时， ，方程有两个相等实根，故“一
定有两个不相等的实根”错误．
故选A．
10．如图，在正方形 中， ，动点 以 的速度从点 出发，沿 向点 移动，同
时动点 以 的速度从点 出发，沿 向点 移动．设 ， 两点移动的时间为 ．在 ，
两点移动的过程中，当 的长度为 时， 的值为（ ）
A．2 B．4 C．2或4 D．3或4
【答案】C
【分析】此题考查了正方形的性质、勾股定理、一元二次方程等知识，根据勾股定理列方程是关键．
在 中求出对角线 的长度，过点 作 于点 ，用含 的代数式表示出 、 的
长度，然后在 中利用勾股定理得出 ，根据 的长度等于 列方程求解．【详解】解：在正方形 中， ，
．
由题意，得 ， ，
， ．
如图，过点 作 于点 ，
则由勾股定理可得， ，
，
．
在 中，
，
，
即 ，
解得 ， ．
故在 ， 两点移动的过程中，当 的长度为 时，
的值为2或4．
故选：C ．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．结论开放题写出一个以2和3为根的一元二次方程： ．
【答案】 （答案不唯一）【分析】本题根据一元二次方程解的定义即可得到方程。
【详解】解：根据一元二次方程的解的定义，
则二次项系数为1的方程为 ，
即 ;
故答案为： （答案不唯一）.
【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义，解题的关键是熟记定义解题。
12．若关于x的一元二次方程 无实数根，则c的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程 根的判别式
． ，一元二次方程有两个不相等的实数根； ，一元二次方程有两个相等的实数根；
，一元二次方程没有实数根．熟练掌握是解决问题的关键．
根据方程 无实数根，得 ，即可得到答案．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 无实数根，
∴ ，
解得 ．
故答案为： ．
13．若关于 的方程 是一元二次方程，则 的值是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 的整
式方程叫一元二次方程进行解答即可．
【详解】解：依题意可得 ，
解得 ，
故答案为： ．
14．已知 是一元二次方程 的一个根，则代数式 的值是 ．【答案】2025
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的
解，根据一元二次方程解的定义得到 ，然后再利用整体代入的方法计算．
【详解】解：把 代入方程 ，得 ，
所以 ，
所以 ．
故答案为： ．
15．设 ， 是方程 的两个实数根，则 的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
由一元二次方程根与系数的关系可分别求出 与 的值，再化简要求的式子，代入即可得解．
【详解】解：由方程 可知
，
故答案为： ．
16．如图所示，有一块三角形余料 ，它的边长 ，高 ．要用它加工一个矩形零件
（其中点Q，M在 边上，点P，N分别在 ， 边上）．若矩形 的面积为 ，则
其长和宽分别为 ．
【答案】 和
【分析】本题考查了等面积法，解一元二次方程．设 ，则 ，根据等面积法计算即可．
【详解】解：设 ，
∵矩形 的面积为 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵
∴
整理得： ，
解得： ， ，
故答案为： 和 ．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；
共9小题，共72分）
17．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ，二次项系数是1，一次项系数是1，常数项是
(2) ，二次项系数是 ，一次项系数是4，常数项是0，或 ，二次项系数是1 ，一
次项系数是 ，常数项是0
【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定
义，形如 （a、b、c为常数， ）的整式方程叫做一元二次方程，其中a为二次型系数，
b为一次项系数，c为常数项．
【详解】（1）解：，
二次项系数是1，一次项系数是1，常数项是 ；
（2）解： ，
，或
二次项系数是 ，一次项系数是4，常数项是0或二次项系数是1 ，一次项系数是 ，常数项是0．
18．解方程：
(1) ，
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再解方程即可；
（2）先移项，再把方程左边分解因式得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
解得 ；
（2）解：∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ 或 ，
解得 ．
19．已知关于x的一元二次方程 ．
(1)求证：不论 取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)当 时，方程的两个根是 ， ，求 的值．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，熟练掌握根的判别式和根与系数之间的关系，是解
题的关键：
（1）求出判别式的符号进行判断即可；
（2）根据根与系数的关系进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴
；
∴无论 取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）由题意，当 时， ，
∴ ．
20．关于x的一元二次方程 ．
(1)判定此方程根的情况；
(2)等腰 的两边 的长是方程 的两个实数根，第三边 的长为5，求k
的值．
【答案】(1)方程有两个实数根(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程，也考查了根的判别式．
（1）计算判别式的值得到 即可得解；
（2）利用公式法求出方程的两个解为 ， ，再根据三角形的三边关系，结合等腰三角形的定义
进行分类讨论即可．
【详解】（1）证明： ．
方程有两个实数根；
（2）解：由 ，且 ，
得
∴ ， ，
即 、 的长为 ， ，
当 时，三边为5，5，1，满足三角形构成条件，此时 ，解得 ；
当 时，三边为5，1，1，不满足三角形构成条件．
综上所述， ．
21．体育是学生综合素质发展的重要组成部分，跳绳和排球垫球是体育中考中学生选择较多的两个考试项
目，跳绳和排球也成为学生必备的中考体育用品，某体育用品商店为满足学生需求，销售一种跳绳和排球
套装，每套进货价为35元，销售价为58元．经统计，4月份的销售量为256套，6月份的销售量为400套．
(1)求这种跳绳和排球套装4月份到6月份销售量的月平均增长率；
(2)经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，商店为了减少库存，采用降价促销方式调查发现，每套
的销售价每降低1元时，月销售量就会增加20套，该商店要想使月销售利润达到8400元，这种跳绳和排
球套装每套的销售价应为多少元？
【答案】(1)
(2)跳绳和排球套装售价为50元时，月销售利润达8400元
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键．（1）设该款跳绳和排球套装4月份到6月份销售量的月平均增长率为 ，拿4月份的销售量乘以 等
于6月份的销售量建立方程求解；
（2）设该款跳绳和排球套装售价为 元，则每件的销售利润为 元，根据每件利润乘以数量得到总
利润建立方程求解．
【详解】（1）解：设该款跳绳和排球套装4月份到6月份销售量的月平均增长率为 ．
根据题意，得
解得 ， （不合题意，舍去）
答：该款跳绳和排球套装4月份到6月份销售量的月平均增长率为 ．
（2）解：设该款跳绳和排球套装售价为 元，则每件的销售利润为 元．
根据题意，得 ，
解得 ， （不合题意，舍去）
答：该款跳绳和排球套装售价为50元时，月销售利润达8400元．
22．材料阅读：材料1：符号“ ”称为二阶行列式，规定它的运算法则为 ，如
．
材料2：我们已经学习过求解一元一次方程、二元一次方程组、分式方程等方程的解法，虽然各类方程的
解法不尽相同，但是蕴含了相同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，
还可以解一些新的方程．例如，求解部分一元二次方程 时，我们可以利用因式分解把
它转化为一元一次方程来求解．如解方程： ． ，
．故 或 ．因此原方程的解是 ， ．
根据材料回答以下问题．(1)二阶行列式 __________；
(2)求解 中 的值；
(3)结合材料，若 ， ，且 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了新定义，解一元二次方程，正确理解二阶行列式的计算法则是解题的关键．
（1）根据二阶行列式的计算法则求解即可；
（2）根据题意可得 ，解方程即可得到答案；
（3）分别求出m、n，再根据 建立方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意得， ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得 ；
（3）解：∵ ，∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得 ．
23．已知关于 的一元二次方程 有两个实数根 ， ．
(1)求实数 的取值范围；
(2)若方程的两个实数根 ， 满足 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系：
（1）根据判别式可知 ，据此求解即可；
（2）根据根与系数的关系得到 ，再由完全平方公式得到
，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵关于 的一元二次方程 有两个实数根 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；（2）解：∵关于 的一元二次方程 有两个实数根 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 （舍去）．
∴
24．如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根比另一个根大 1，那么
称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程 的两个根是 ， ，则方程
是“邻根方程”．
(1)通过计算，判断方程 是否是“邻根方程”；
(2)已知关于 x 的方程 （m 是常数）是“邻根方程”，求 m 的值；
(3)若关于 x 的方程 （a、b 是常数， ）是“邻根方程”，令 ，试求t的最大
值．
【答案】(1)根为2， ，不是邻根方程
(2) 或
(3)
【分析】（1）分别解出方程的根，根据两根差值是否为1进行判断；
（2）解出方程的根，令两根差的绝对值为1，从而得到关于m的方程；（3）利用根与系数的关系表示出 ，进一步化简得 ，整体代入 ，
通过配方可求出t最大值；
本题考查一元二次方程、根与系数的关系、解含绝对值方程、整体代入法、配方确定最值等知识点，熟练
掌握各种方法是解题的关键．
【详解】（1）解： ，
，
，
∵ ，
不符合邻根方程的定义，
∴ 不是邻根方程；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵关于x的方程 是邻根方程，
∴ ，
∴ ，
故 或 ；
（3）解：∵关于 x 的方程 （a、b 是常数， ）是“邻根方程”，设两个根分别为 、
，
∴ ，
由根与系数的关系： ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， ；
答：t的最大值为4．
25．阅读材料，并解决问题．
【学习研究】
我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以
为例，构造方法如下：
首先将方程 变形为 ，然后画四个长为 ，宽为x的矩形，按如图1所示的方
式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为 ，还可表示为四个矩形与一
个边长为2的小正方形面积之和，即 ．因此，可得新方程 ．因为x
表示边长，所以 ，即 ．遗憾的是这样的做法只能得到方程的其中一个正根．
【理解应用】
参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程
的正确构图是 ．（从序号①②③中选择）
【类比迁移】
小颖根据以上解法解方程 ，请将其解答过程补充完整：第一步：将原方程变形为 ，即x（ ） ；
第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形;
第三步：因此，根据大正方形的面积可得新的方程： ，解得原方程的一个根为 ；
【拓展应用】
一般地，对于形如 的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构
成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数 ， ，求得方程的正根为 ．
【答案】[理解应用] ③[类比迁移] ， ， ； [拓展应用] ，3，1或3．
【分析】[理解应用]依据题干方法得到 ，再根据图形很容易判断；
[类比迁移]与题干思路一致，需要注意的是画出图形更容易得解；
[拓展应用]先因式分解变形得 ，再根据题干条件分析 ， ，进而分类讨论求解即可．
本题考查了一元二次方程的应用、矩形的性质等内容，能知道系数 、 与各图形面积的关系是解题的关
键．
【详解】解：[理解应用] ∵ ，
∴ ，
结合题意，将 看作一个长为 ，宽为 ，面积为 的矩形，
∴很容易观察出构图是③，
故答案为：③；
[类比迁移] ，
第一步：将原方程变为 ，即 ；
第二步：如图②，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；第三步：根据大正方形的面积可得新的方程： ；解得原方程的一个根为 ；
故答案为： ， ， ；
[拓展应用] ，
，
，
∴四个小矩形的面积各为 ，大正方形的面积是 ，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方
形的面积，即 ，
图②是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，
， ，
解得： ， ，
当 时， ，
∴ ， ，方程的一个正根为1；
当 时， ，
∴ ， ，方程的一个正根为3；
综上所述，方程的一个正根为1或3，
故答案为： ，3，1或3．
