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必考点 12 整式乘法公式
------平方差公式、完全平方公式
●题型一 利用乘法公式进行计算
★★★1、平方差公式
【例题1】计算：
（1）（5ab﹣3x）（﹣3x﹣5ab） （2）（﹣y2+x）（x+y2）
（3）x（x+5）﹣（x﹣3）（x+3） （4）（﹣1+a）（﹣1﹣a）（1+b2）
【例题2】（2022春•化州市月考）若（x+y2）（x﹣y2）（x2+y4）＝xm﹣yn，则m＝ ，n＝
．
【例题3】（2a﹣3b）（2a+3b）﹣（﹣a+2b）（﹣a﹣2b）
【解题技巧提炼】
1.平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
2.应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
★★★2、完全平方公式
【例题4】（2021春•罗湖区校级期中）运用完全平方公式计算：1
（1）（3a+b）2 （2）（ x﹣2y）2
2
（3）（﹣x﹣y）2 （4）1992．
【例题5】（2022•王益区一模）化简：（2x﹣1）2+（﹣2x+1）（3x﹣1）．
【例题6】（2022秋•江阴市期中）已知6x2﹣4x﹣3＝0，求（x﹣1）2+2x2﹣9的值．
【解题技巧提炼】
完全平方公式
1.完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
2.应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或
差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方
公式．
★★★3、综合运用乘法公式计算
【例题7】利用乘法公式计算：
（1）（2x﹣3y）2﹣（y+3x）（3x﹣y）；
（2）（x+y）（x2+y2）（x﹣y）（x4+y4）；（3）（a﹣2b+3）（a+2b﹣3）；
（4）[（x﹣y）2+（x+y）2]（x2﹣y2）；
（5）（m﹣n﹣3）2．
【解题技巧提炼】
综合运用乘法公式计算就是对完全平方公式和平方差公式的灵活运用，计算时要认真仔细，另外要注意运
算的顺序．
●题型二 利用乘法公式进行化简求值
★★★1、化简后直接代入求值
【例题8】（2021春•盐湖区校级期末）已知，x2+4x﹣4＝0，求3（x﹣2）2﹣6（x+1）（x﹣1）的值．
★★★2、化简后整体代入求值
【例题9】（2021秋•老河口市期末）先化简，再求值：（x+3y）（x﹣3y）﹣（2x﹣y）2﹣y（3x﹣7y），
其中x，y满足x+y＝3，xy＝1．
【解题技巧提炼】
利用乘法公式进行化简求值时先按运算顺序把利用乘法公式把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的
值．有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序
相似．
●题型三 利用乘法公式解方程或不等式
★★★1、利用乘法公式解方程【例题10】（2022秋•仁寿县校级月考）解方程：（x﹣1）2﹣（x﹣1）（x+5）＝17；
【例题11】（2022秋•宝山区校级月考）解方程：2（x﹣3）2＝（x+3）（2x﹣5）．
★★★2、利用乘法公式解不等式
【例题12】解不等式：（1﹣3y）2+（2y﹣1）2＞13（y+1）（y﹣1）
【例题13】解不等式：（2x﹣5）2+（3x+1）2＞13（x2﹣10）．
【解题技巧提炼】
利用乘法公式解方程或不等式（组）就是按照解方程或不等式的方法来解题，熟练运用乘法公式是解题的
关键.
●题型四 利用完全平方公式的变形求值
【例题14】（2022•东莞市模拟）已知a2+b2＝8，a﹣b＝3，则ab的值为（ ）
3 1
A． B．3 C．− D．5
2 2
【例题15】（2022春•福田区校级期末）若|x+y﹣5|+（xy﹣3）2＝0，则x2+y2的值为（ ）
A．19 B．31 C．27 D．23
【例题16】（2022秋•渝中区校级期中）若n满足（n﹣2014）2+（2019﹣n）2＝5，（n﹣2014）（2019﹣n）＝ ．
【例题17】（2021秋•红河县期末）已知（x+y）2＝12，（x﹣y）2＝4，求x2+y2和xy的值．
【解题技巧提炼】
利用完全平方公式的变形求值，主要是根据已知条件与待求式的特点，灵活选用恰当的变形公式进行化简
计算，同时能逆用公式进行配方运算，从而挖掘隐含条件求解.
●题型五 乘法公式的实际应用
【例题18】如图，从边长为a+2的正方形纸片中剪去一个边长为a的小正方形，剩余部分可剪拼成一个不
重叠、无缝隙的长方形，若拼成的长方形一边长为2，则它另一边的长是（ ）
A．2a﹣2 B．2a C．2a+1 D．2a+2
【例题19】如图1，将一个长为4a，宽为2b的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形
状拼成一个正方形．
（1）图2的空白部分的边长是多少？（用含a、b的式子表示）
（2）若2a+b＝7，且ab＝3，求图2中的空白正方形的面积．
（3）观察图2，用等式表示出（2a﹣b）2，ab和（2a+b）2的数量关系．【解题技巧提炼】
利用整式的乘法公式解决实际问题主要是先根据实际问题中的数量关系列出整式，然后再进行整式的混合运算
即可，另外要注意结合图形来分析.
●题型六 巧用平方差公式求值
【例题20】（2022春•垦利区期末）阅读例题的解答过程，并解答下列各题．
例：用简便方法计算103×97．
解：103×97＝（100+3）（100﹣3）①＝1002﹣32②＝9991．
（1）例题求解过程中，第②步变形的依据是 ；
（2）用简便方法计算9×11×101；
（3）用简便方法计算20212﹣2020×2022．
【例题21】（2022春•巨野县期末）计算（2+1）×（22+1）×（24+1）…（2128+1）+1＝ ．
1
【例题22】（2021春•龙岗区期中）计算：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+ = ．
4
【解题技巧提炼】
巧用平方差公式求值主要是利用平方差公式来简便计算，或者连续用平方差公式来进行计算.
●题型七 运用乘法公式找规律
【例题22】（2022秋•朝阳区校级期中）探究与应用
我们学习过（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，那么（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）计算结果呢？
完成下面的探究：
（1）（x﹣1）（x2+x+1）＝ ；
（2）（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝ ；……（3）（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝ ；
应用：计算2+22+23+24+……+22022．
【解题技巧提炼】
运用整式的乘法公式的规律探索问题主要是根据题中的等式探究出规律，然后再由规律解决问题.
◆◆◆题型一 利用乘法公式进行计算
1．（2022秋•黄浦区期中）计算：（x+1）（x﹣1）（1﹣x2）．
2．（2022春•富平县期末）化简：（2x+3y）（2x﹣3y）﹣（2x﹣y）2．
3．（2022春•陈仓区期末）计算：（9x﹣2y）（x+y）﹣（﹣3x+y）（﹣3x﹣y）．4．（2022秋•闵行区期中）计算：（2x﹣3y+z）（2x+3y﹣z）．
5．（3x﹣2y）2（3x+2y）2（9x2+4y2）2．
◆◆◆题型二 利用乘法公式进行化简求值
6．（2021秋•桦甸市校级期中）先化简，再求值：[（2xy）2+（x﹣y）2+（x+y）（x﹣y）]÷2x，其中x＝
3，y＝1．
7．（2022秋•西城区校级期中）先化简，再求值：（2x+3）2﹣（x+1）（x﹣1），其中x2+4x﹣5＝0．
◆◆◆题型三 利用乘法公式解方程或不等式
8．（2021秋•普陀区期中）解方程：（4x+1）2＝（4x﹣1）（4x+3）﹣3（x+2）．9．解不等式：3x（1+3x）+（2x﹣1）（2x+3）＞13（x+1）（x﹣1）．
◆◆◆题型四 利用完全平方公式的变形求值
10．已知：（x+y）2＝12，（x﹣y）2＝4，则x2+3xy+y2的值为 ．
11．（2021春•高邮市校级期末）已知（2021﹣a）2+（a﹣2019）2＝7，则代数式（2021﹣a）（a﹣2019）
的值为 ．
12．（2021秋•杜尔伯特县期末）已知（a+b）2＝5，（a﹣b）2＝3，求下列式子的值：
（1）a2+b2； （2）6ab．
◆◆◆题型五 乘法公式的实际应用
13．（2022•景县校级模拟）如图，有两个正方形纸板A，B，纸板A与B的面积之和为34．现将纸板B按
甲方式放在纸板A的内部，阴影部分的面积为4．若将纸板A，B按乙方式并列放置后，构造新的正方
形，则阴影部分的面积为（ ）
A．30 B．32 C．34 D．36
14．（2022春•桓台县期末）某种植基地有一块长方形和一块正方形实验田，两块实验田均种植了豌豆幼苗．长方形实验田每排种植（3a﹣b）株，种植了（3a+b）排；正方形实验田每排种植（2a﹣b）株，种
植了（2a﹣b）排，其中a＞b＞0．
（1）正方形实验田比长方形实验田少种植豌豆幼苗多少株？
（2）当a＝5，b＝2时，该种植基地这两块实验田一共种植了多少株豌豆幼苗？
◆◆◆题型六 巧用平方差公式求值
15．（2022秋•长宁区校级期中）已知x+y＝7，y＝3，求（x+1）（y+1）（x﹣1）（y﹣1）的值．
16．（2022秋•如皋市期中）在学习“平方差公式”时，张老师出了一道题：计算9×11×101．嘉嘉发现把
9写成（10﹣1），把11写成（10+1）后可以连续运用平方差公式进行计算．
请根据上述思路，计算：
（1）9×11×101；
1 1 1 1 1 1
（2） ×(1+ )×(1+ )×(1+ )×(1+ )+ ．
2 2 22 24 28 216
◆◆◆题型七 运用乘法公式找规律
17．（2022秋•农安县期中）你能求（x﹣1）（x2022+x2021+x2020+⋯+x2+x+1）的值吗？遇到这样的问题，我
们可以先思考一下，从简单的情形入手，先分别计算下列各式的值．
①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1
②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1
……（1）由此我们可以得到：（x﹣1）（x2022+x2021+x2020+⋯+x2+x+1）＝ ．
（2）请你利用上面的结论，再完成下面的计算：（﹣2）99+（﹣2）98+（﹣2）97+⋯+（﹣2）+1．
1．（2022春•铁岭期中）若（3x+2y）2＝（3x﹣2y）2+A，则代数式A是（ ）
A．﹣12xy B．12xy C．24xy D．﹣24xy
2．（2021秋•甘南县期末）若x2+2（m﹣1）x+16是完全平方式，则m的值为（ ）
A．±8 B．﹣3或5 C．﹣3 D．5
3．（2022春•长安区校级期末）如图在边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，把余下的
部分沿虚线剪开，拼成一个矩形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2+ab＝a（a+b）
4．（2022春•龙口市期末）计算（a﹣b）（a+b）（a2+b2）（a4﹣b4）的结果是（ ）
A．a8+2a4b4+b8 B．a8﹣2a4b4+b8
C．a8+b8 D．a8﹣b8
5．（2021秋•川汇区校级期中）利用乘法公式计算：
（1）992； （2）59×61﹣3598； （3）672+6×67+9．6．利用乘法公式计算：
（1）（x+y）（x2+y2）（x﹣y）（x4+y4） （2）（a﹣2b+3c）（a+2b﹣3c）
1 1 1
7．(m+ n−1)(m− n+1)−(m−1) 2+( n+1) 2 ．
2 2 2
8．计算：（x+2y﹣z）（x﹣2y+z）﹣（x+2y+z）2
1
9．（2022•吉林二模）先化简，再求值：2b2+（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）2，其中a= ，b＝﹣5．
2
10．解不等式（2x+3）2﹣（x+2）（x﹣3）＞3x2+6，并求出符合条件的最小整数解．11．（2021春•南山区校级期中）已知a+b＝3，ab＝﹣4，求下列各式的值．
（1）（a﹣b）2； （2）a2﹣5ab+b2．
12．（2021•天河区校级二模）已知多项式A＝（x+2）2+（x+2）（1﹣x）﹣3．
（1）化简多项式A；
（2）若（x+1）2＝5，求A的值．
13．（2022春•漳州期末）利用完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2，可以解决很多数学问题．
例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：因为a+b＝3，
所以（a+b）2＝9，
所以a2+b2+2ab＝9．
因为ab＝1，
所以a2+b2+2×1＝9．
得a2+b2＝7．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若m﹣n＝4，mn＝12，求m2+n2的值；
（2）若（2022﹣m）2+（2021﹣m）2＝3，求（2022﹣m）（2021﹣m）的值．
14．（2021•贵阳模拟）某公司门前一块长为（6a+2b）米，宽为（4a+2b）米的长方形空地要铺地砖，如
图所示，空白的A、B两正方形区域是建筑物，不需要铺地砖．两正方形区域的边长均为（a+b）米．
（1）求铺设地砖的面积是多少平方米；（2）当a＝2，b＝3时，需要铺地砖的面积是多少？
15．（2021秋•蒙阴县期末）图1，是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小
长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2中的阴影部分的面积为 ；
（2）观察图2，三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系是 ；
（3）若x+y＝﹣6，xy＝2.75，求x﹣y；
（4）观察图3，你能得到怎样的代数恒等式呢？
16．（2022春•宁远县期中）（1）填空：
（a﹣b）（a+b）＝ ．
（a﹣b）（a2+ab+b2）＝ ．
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝ ．
（2）猜想：（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝ .（其中n为正整数，且n≥2）
（3）利用（2）中猜想的结论计算：37+36+35+34+33+32+3+1．17．（2021秋•鱼台县期末）阅读材料后解决问题．
小明遇到下面一个问题：计算（2+1）（22+1）（24+1）经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变
形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：
（2+1）（22+1）（24+1）
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）
＝（24﹣1）（24+1）＝28﹣1
请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题：
计算：（1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）．
（2）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）．
（3）化简：（m+n）（m2+n2）（m4+n4）（m8+n8）（m16+n16）．
18．（2022秋•泌阳县校级期中）探究
如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形
（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式
．（用含a，b的等式表示）
应用:
请应用这个公式完成下列各题：
（1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，则2m﹣n的值为 ．
（2）计算：20222﹣2023×2021．
拓展:
（3）计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．19．（2022秋•西乡塘区校级期中）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2，适当的变形，可以解决很多的
数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：因为a+b＝3，
所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又因为ab＝1，所以a2+b2＝7．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；
（2）若（4﹣x）（x﹣5）＝﹣8，求（4﹣x）2+（x﹣5）2的值；
（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和
S +S ＝18，求图中阴影部分面积．
1 2
20．（2021秋•安阳期末）亮亮这学期学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、圆等图
形都是轴对称图形．类比这一特性，亮亮发现像a+b，3ab，abc等代数式，如果任意交换两个字母的位
置，式子的值不变，于是他把这样的式子命名为等交换对称式．
他还发现像a2+b2，（a﹣1）（b﹣1）等等交换对称式都可以用ab，a+b表示．例如：a2+b2＝（a+b）2
﹣2ab，（a﹣1）（b﹣1）＝ab﹣（a+b）+1．于是，亮亮把ab和a+b称为基本等交换对称式．
请根据以上材料解决下列问题：
n
（1）代数式①x3+y3，②a﹣b，③ ，④xy+yz+zx中．属于等交换对称式的是 （填序号）；
m
（2）已知（x+a）（x+b）＝x2+mx+n．①若m＝2，n＝﹣1，求（a﹣b）2的值；
1 1
②若n＝﹣4，求 + 的最小值．
a2 b2
