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必考点 11 整式的乘法
●题型一 幂的运算性质运用
【例题1】下列计算正确的是（ ）
A．（3a）2＝3a2 B．（﹣2a）3＝﹣8a3
2 4
C．（ab2）3＝a3b5 D．（ a）2= a2
3 3
【分析】利用积的乘方的运算法则，幂的乘方的运算法则分别判断得出答案．
【解答】解：A、（3a）2＝9a2，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、（﹣2a）3＝﹣8a3，原计算正确，故此选项符合题意；
C、（ab2）3＝a3b6，原计算错误，故此选项不符合题意；
2 4
D、（ a）2= a2，原计算错误，故此选项不符合题意．
3 9
故选：B．
【点评】此题主要考查了幂的乘方和积的乘方，正确掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则是解题的关键．
【例题2】（2022秋•渝北区校级期中）已知3m+2n﹣3＝0，则23m×4n的值是（ ）
1 1
A．− B． C．﹣8 D．8
8 8
【分析】由题意可得：3m+2n＝3，利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则对所求的式子进行整
理，再整体代入运算即可．
【解答】解：∵3m+2n﹣3＝0，
∴3m+2n＝3，
∴23m×4n
＝23m×22n
＝23m+2n
＝23
＝8．
故选：D．
【点评】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则是的掌握．【例题3】（2021秋•松北区期中）如果（ambn）3＝a9b12，那么m，n的值等于（ ）
A．m＝9，n＝4 B．m＝3，n＝4 C．m＝4，n＝3 D．m＝9，n＝6
【分析】根据积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变
指数相乘计算后，再根据相同字母的次数相等解答．
【解答】解：∵（ambn）3＝a3mb3n＝a9b12，
∴m＝3，n＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了积的乘方和幂的乘方的运算性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【例题4】（2021秋•南开区校级期中）已知x2n＝3，求（x3n）2﹣3（x2）2n的结果（ ）
A．1 B．﹣1 C．0 D．2
【分析】根据幂的乘方，将（x3n）2﹣3（x2）2n进行变形后，再整体代入求值即可．
【解答】解：（x3n）2﹣3（x2）2n
＝（x2n）3﹣3（x2n）2
＝33﹣3×32
＝27﹣27
＝0，
故选：C．
【点评】本题考查幂的乘方，掌握幂的乘方的运算性质是正确解答的前提．
【例题5】计算；
（1）x•x2•x3+（x2）3﹣2（x3）2； （2）[（x2）3]2﹣3（x2•x3•x）2；
（3）（﹣2anb3n）2+（a2b6）n； （4）（﹣3x3）2﹣（﹣x2）3+（﹣2x）2﹣（﹣x）3．
【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则化简后，再合并同类项即可；
（2）根据同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则化简计算即可；
（3）根据积的乘方运算法则化简后，再合并同类项即可；
（4）根据积的乘方运算法则化简后，再合并同类项即可．
【解答】解：（1）原式＝x6+x6﹣2x6
＝0；
（2）原式＝（x6）2﹣3（x6）2
＝x12﹣3x12
＝﹣2x12；
（3）原式＝4a2nb6n+a2nb6n＝5a2nb6n；
（4）原式＝9x6﹣（﹣x6）+4x2﹣（﹣x3）
＝9x6+x6+4x2+x3
＝10x6+x3+4x2．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关
键．
【解题技巧提炼】
1．同底数幂的乘法
同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．am•an＝am+n（m，n是正整数）
2．幂的乘方
幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． （am）n＝amn（m，n是正整数）
3．积的乘方
积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab）n＝anbn（n是正整数）
4．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
●题型二 幂的运算性质的逆用
【例题6】（2022•云安区模拟）已知4n＝3，8m＝5，则22n+3m＝（ ）
A．1 B．2 C．8 D．15
【分析】利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即
可．
【解答】解：当4n＝3，8m＝5时，
22n+3m
＝22n×23m
＝（22）n×（23）m
＝4n×8m
＝3×5
＝15．
故选：D．
【点评】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
【例题7】（2021春•上城区校级期中）若5m＝3，5n＝4，则53m﹣2n的值是（ ）9 27 5
A． B．11 C． D．
16 16 16
【分析】根据同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方进行计算即可．
【解答】解：∵5m＝3，5n＝4，
27
∴53m﹣2n＝53m÷52n＝（5m）3÷（5n）2＝33÷42= ．
16
故选：C．
【点评】本题考查了同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方，解决本题的关键是掌握同底数幂的除法、
幂的乘方与积的乘方．
【例题8】（2022春•江阴市校级月考）（1）已知2x+5y﹣3＝0，求4x•32y的值；
（2）已知9a×5×15b＝35×52，求a、b的值．
【分析】（1）利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值
运算即可；
（2）利用幂的乘方与积的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则对所求的式子进行整理，从而可得到关
于a，b的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵2x+5y﹣3＝0，
∴2x+5y＝3，
∴4x•32y＝22x•25y＝22x+5y＝23＝8；
（2）∵9a×5×15b＝35×52，
∴32a×5×（3×5）b＝35×52，
32a×5×3b×5b＝35×52，
32a+b×5b+1＝35×52，
∴2a+b＝5，b+1＝2，
解得：a＝2，b＝1．
【点评】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握
与运用．
【例题9】（2021秋•巴林左旗期末）（1）若3×27m+9m＝316，求m的值；
（2）已知ax＝﹣2，ay＝3，求a3x﹣2y的值；
（3）若n为正整数，且x2n＝4，求（3x2n）2﹣4（x2）2n的值．
【分析】（1）把代数式化为同底数幂的除法，再进行计算即可；
（2）先求出a3x与a2y的值，再进行计算即可；
（3）先把题中（x2）2n化为（x2n）2，再把x2n＝4代入进行计算即可．【分析】（1）把代数式化为同底数幂的除法，再进行计算即可；
（2）先求出a3x与a2y的值，再进行计算即可；
（3）先把题中（x2）2n化为（x2n）2，再把x2n＝4代入进行计算即可．
【解答】解：（1）∵3×27m÷9m＝316，
∴3×33m÷32m＝316，
∴33m+1﹣2m＝316，
∴3m﹣2m+1＝16，解得m＝15；
（2）∵ax＝﹣2，ay＝3，
∴a3x＝﹣8，a2y＝9，
8
∴a3x﹣2y＝a3x÷a2y＝（﹣8）÷9 =− ；
9
（3）∵x2n＝4，
∴（3x2n）2﹣4（x2）2n
＝（3x2n）2﹣4（x2n）2
＝（3×4）2﹣4×42
＝122﹣4×16
＝144﹣64
＝58．
【点评】本题考查的是同底数幂的除法及幂的乘方与积的乘方法则，熟知以上知识是解题的关键．
【解题技巧提炼】
1.同底数幂的乘法的逆用：am+n＝am•an（m，n是正整数）
2.幂的乘方的逆用： amn＝（am）n＝（an）m（m，n是正整数）
3.积的乘方的逆用：anbn＝（ab）n（n是正整数）
4.同底数幂的除法的逆用：am﹣n＝am÷an（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
●题型三 整式的混合运算
【例题10】计算下列各题：
3 6 9 5
（1）(− x3y3+ x3y2− xy3 )⋅ x y3 ． （2）（2x2﹣3）（1﹣2x）；
4 5 10 3
（3）（a+2b）（a2﹣2ab+4b2）； （4）（﹣3x）2﹣（3x+1）（3x﹣2）；
（5）2x2﹣x（2x﹣5y）+y（2x﹣y）． （6）3y（y﹣4）（2y+1）﹣（2y﹣3）（4y2+6y﹣
9）．
（7）（3x2y2﹣xy2）÷xy•（3x+1）． （8）[2a5b4﹣a2（4a2b2+2b）]÷2a2b．【分析】（1）根据单项式乘多项式的运算法则进行解答即可．
（2）根据多项式的乘法法则计算即可；
（3）根据多项式的乘法法则计算即可；
（4）根据多项式的乘法法则和合并同类项计算即可；
（5）直接利用单项式乘以多项式运算法则计算得出答案．
（6）根据多项式的乘法法则和合并同类项计算即可．
（7）直接利用整式的除法运算法则以及多项式乘多项式计算，再合并同类项得出答案．
（8）利用整式的混合运算顺序计算即可．
3 5 6 5 9 5
【解答】解：（1）原式=− x3y3• xy3+ x3y2• xy3− xy3• xy3
4 3 5 3 10 3
5 3
− x4y6+2x4y5− x2y6．
4 2
（2）（2x2﹣3）（1﹣2x）
＝2x2﹣4x3﹣3+6x
＝﹣4x3+2x2+6x﹣3；
（3）（a+2b）（a2﹣2ab+4b2）
＝a3﹣2a2b+4ab2+2a2b﹣4ab2+8b3
＝a3+8b3；
（4）（﹣3x）2﹣（3x+1）（3x﹣2）
＝9x2﹣9x2+3x+2
＝3x+2；
（5）原式＝2x2﹣2x2+5xy+2xy﹣y2
＝7xy﹣y2．
（6）3y（y﹣4）（2y+1）﹣（2y﹣3）（4y2+6y﹣9）
＝3y（2y2+y﹣8y﹣4）﹣（8y3+12y2﹣18y﹣12y3﹣18y+27）
＝﹣2y3﹣21y2+24y﹣27．
（7）原式＝（3x2y2÷xy﹣xy2÷xy）•（3x+1）
＝（3xy﹣y）（3x+1）
＝9x2y+3xy﹣3xy﹣y
＝9x2y﹣y．
（8）[2a5b4﹣a2（4a2b2+2b）]÷2a2b
＝（2a5b4﹣4a4b2﹣2a2b））÷2a2b
＝a3b3﹣2a2b﹣1．【点评】此题主要考查了整式的乘法和除法的混合运算，正确掌握运算法则和运算顺序是解题的关键．
【解题技巧提炼】
1．单项式乘单项式
运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，
则连同它的指数作为积的一个因式．
注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢
掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立．
2．单项式乘多项式
（1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把
所得的积相加．
（2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：
①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能
漏乘；③注意确定积的符号．
3．多项式乘多项式
（1）多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）运用法则时应注意以下两点：
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类
项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
4．整式的除法
（1）单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，
则连同他的指数一起作为商的一个因式．
（2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．
说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式．多项式除以单项式的结果仍是一个多项式．
●题型四 整式的化简求值
★★★1、先化简，再将字母的值代入求值
【例题11】先化简，再求值：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a＝﹣2．
【分析】（1）直接利用完全平方公式化简进而得出答案；
（2）直接去括号合并同类项，再把已知代入求出答案．
【解答】解：（1）∵（a+b）2＝3，（a﹣b）2＝27，
∴a2+2ab+b2＝3①，a2﹣2ab+b2＝27②，∴①+②得：
2a2+2b2＝30，
∴a2+b2＝15；
（2）3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4）
＝6a3﹣12a2+9a﹣6a3﹣8a2
＝﹣20a2+9a，
当a＝﹣2时，原式＝﹣98．
【点评】此题主要考查了整式的加减运算，正确合并同类项是解题关键．
【例题12】（2021秋•克东县期末）先化简，再求值：
1 1 1 1
[（− x3y4）3+（− xy2）2•3xy2]÷（− xy2）3，其中x＝﹣2，y= ．
2 6 2 2
【分析】原式利用积的乘方运算法则，单项式乘以多项式，以及多项式除以单项式法则计算得到最简结
果，把x与y的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝4x2y2﹣4x2y2+4xy+2xy+1＝6xy+1，
1
当x＝﹣2，y=− 时，原式＝6+1＝7．
2
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
★★★2、整体代入求值
【例题13】（2022春•淮阴区期中）已知x2+x＝5，则代数式（x+5）（x﹣4）的值为 ．
【分析】将x2+x＝5代入原式＝x2﹣4x+5x﹣20＝x2+x﹣20，计算可得．
【解答】解：当x2+x＝5时，
原式＝x2﹣4x+5x﹣20
＝x2+x﹣20
＝5﹣20
＝﹣15，
故答案为：﹣15．
【点评】本题主要考查多项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式的运算法则．
【例题14】（2021秋•仁寿县校级月考）先化简，再求值．2x2y﹣[xy2﹣2（2xy2﹣4x2y）﹣5x2y]﹣4xy2，其
中（x﹣1）2+|y+2|＝0．
【分析】先用整式的加减运算法则化简代数式，再求出x＝1，y＝﹣2代入化简后的代数式求值即可．
【解答】解：2x2y﹣xy2﹣2（2xy2﹣4x2y）﹣5x2y]﹣4xy2＝2x2y﹣xy2+4xy2﹣8x2y+5x2y﹣4xy2
＝（2x2y﹣8x2y+5x2y）+（4xy2﹣4xy2﹣xy2）
＝﹣x2y﹣xy2
＝﹣xy（x+y），
∵（x﹣1）2+|y+2|＝0，
∴x＝1，y＝﹣2，
原式＝﹣1×（﹣2）×（1﹣2）＝﹣2．
【点评】本题考查代数式求值，熟练掌握整式的加减运算法则，代数式求值的方法是解题的关键．
【解题技巧提炼】
整式的混合运算—化简求值
先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
●题型五 整式乘法的几何表示
【例题15】通过计算，比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的算式是（ ）
A．a（b﹣x）＝ab﹣ax
B．（a﹣x）（b﹣x）＝ab﹣ax﹣bx+x2
C．（a﹣x）（b﹣x）＝ab﹣ax﹣bx
D．b（a﹣x）＝ab﹣bx
【分析】图1阴影部分面积等于阴影长方形面积；图2中阴影部分面积等于大长方形减去两个空白长方
形面积再加上中间交叉的小正方形面积．
【解答】解：图1中阴影部分面积＝（a﹣x）（b﹣x），
图2中阴影部分面积＝ab﹣ax﹣bx+x2，
∴（a﹣x）（b﹣x）＝ab﹣ax﹣bx+x2，
故选：B．
【点评】本题考查多项式乘以单项式（或多项式）；熟练掌握多项式多项式乘以单项式（或多项式）的
法则是解题的关键．
【例题16】如图，现有A，C两类正方形卡片和B类长方形卡片各若干张，用它们可以拼成一些新的长方形．如果要拼成一个长为（3a+b），宽为（a+2b）的长方形，那么需要B类长方形卡片 张．
【分析】根据长方形的面积＝长×宽，求出长为3a+b，宽为a+2b的长方形的面积是多少，判断出需要B
类卡片多少张即可．
【解答】解：长为3a+b，宽为a+b的长方形的面积为：
（3a+b）（a+2b）＝3a2+7ab+2b2，
∵A类卡片的面积为a2，B类卡片的面积为ab，C类卡片的面积为b2，
∴需要A类卡片3张，B类卡片7张，C类卡片2张，
故答案为：7．
【点评】此题主要考查了多项式乘多项式的运算方法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【解题技巧提炼】
验证等式是否成立时，若是一个图形，则可以考虑用不同的方法表示图形的面积；若是两个图形，则分别表
示图形的面积，再整理验证.
●题型六 整式的乘除的应用
★★★1、多项式不含某项时求字母系数的值
【例题17】如果代数式（x﹣2）（x2+mx+1）的展开式不含x2项，那么m的值为（ ）
1 1
A．2 B． C．﹣2 D．−
2 2
【分析】根据题意先将原式展开，然后将含x2的项进行合并，最后令其系数为0即可求出m的值．
【解答】解：（x﹣2）（x2+mx+1）
＝x3+mx2+x﹣2x2﹣2mx﹣2
＝x3+（m﹣2）x2+（1﹣2m）x﹣2，
因为不含x2项，
所以m﹣2＝0，
解得：m＝2，
故选：A．
【点评】本题考查多项式乘以多项式，关键是根据题意先将原式展开．
【例题18】（2021秋•璧山区校级期中）已知将（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）展开的结果不含x3和x2项．
（m，n为常数）（1）求m、n的值；
（2）在（1）的条件下，求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．
【分析】（1）先利用多项式乘法法则把多项式展开，由于展开后不含x3和x2项，则含x3和x2项的系数
为0，列方程组可得结论；
（2）把m、n的值代入计算即可求解．
【解答】解：（1）（x3+mx+n）（x2﹣3x+4），
＝x5﹣3x4+4x3+mx3﹣3mx2+4mx+nx2﹣3nx+4n，
＝x5﹣3x4+（4+m）x3+（n﹣3m）x2+（4m﹣3n）x+4n，
{ 4+m=0
由题意得： ，
n−3m=0
{m=−4
解得： ，
n=−12
（2）（m+n）（m2﹣mn+n2），
＝m3+n3，
当m＝﹣4，n＝﹣12时，原式＝（﹣4）3+（﹣12）3＝﹣64﹣1728＝﹣1792．
【点评】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【解题技巧提炼】
若所求多项式中不含某一项（或某几项），则这一项（或这几项）的系数为0，据此可构造方程（组）确定
未知字母的值，从而解决其它问题；当一个整式的取值与某个字母无关时，说明该整式化简后不含该字母.
★★★2、确定多项式中的未知项
【例题19】（2021春•普宁市期中）某天数学课上，学习了整式的除法运算，放学后，小明回到家拿出课堂
笔记，认真地复习课上学习的内容，他突然发现一道三项式除法运算题：（21x4y3﹣ +7x2y2）÷
（﹣7x2y）＝﹣3x2y2+5xy﹣y、被除式的第二项中被钢笔水弄污了，你能算出被污染的内容是 ．
【分析】由于被污染的内容是被除式的第二项，根据乘除互为逆运算可知被除式＝除式×商，运用单项
式乘以多项式的法则求出被除式，从而得出结果．
【解答】解：∵﹣7x2y•5xy＝﹣35x3y2，
∴被污染的内容是35x3y2．
故答案为：35x3y2
【点评】本题实际上考查了单项式乘以多项式的法则，根据题意列出被污染部分的求解算式是解题的关
键．
【例题20】某天数学课上，老师讲了整式的加减．放学后，小明回到家拿出课堂笔记，认真地复习老师课堂上讲的内容，他突然发现一道题：
1 1 5 1
（﹣x2+3yx− y2）﹣（− x2+■xy− y2）=− x2﹣xy+■y2，其中两处横线地方的数字被钢笔水弄污了，
2 2 2 2
那么这两处地方的数字之积应是 ．
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：设两处被钢笔水弄污的数字分别为a、b，
1 1 5 1
∴（﹣x2+3yx− y2）﹣（− x2+axy− y2）=− x2﹣xy+by2，
2 2 2 2
1 1 5 1
∴﹣x2+3yx− y2+ x2﹣axy+ y2=− x2﹣xy+by2，
2 2 2 2
1 1
∴− x2+（3﹣a）xy+2y2=− x2﹣xy+by2，
2 2
∴3﹣a＝﹣1，2＝b，
∴a＝4，b＝2，
∴这两处地方的数字之积应是8，
故答案为：8．
【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于中等题型．
★★★3、看错某项求字母系数的值
【例题21】（2021春•神木市期末）小奇计算一道整式的混合运算的题：（x﹣a）（4x+3）﹣2x，由于小奇
将第一个多项式中的“﹣a”抄成“+a”，得到的结果为4x2+13x+9．
（1）求a的值．
（2）请计算出这道题的正确结果．
【分析】（1）根据题意列出关系式，根据多项式相等的条件即可求出a的值；
（2）列出正确的算式，计算即可得到结果．
【解答】解：（1）根据题意得：（x+a）（4x+3）﹣2x＝4x2+（3+4a﹣2）x+3a＝4x2+13x+9；
∴1+4a＝13，
解得：a＝3；
（2）正确的算式为（x﹣3）（4x+3）﹣2x＝4x2﹣9x﹣9﹣2x＝4x2﹣11x﹣9．
【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【例题22】（2021春•任丘市期末）欢欢与乐乐两人共同计算（2x+a）（3x+b），欢欢抄错为（2x﹣a）
（3x+b），得到的结果为6x2﹣13x+6；乐乐抄错为（2x+a）（x+b），得到的结果为2x2﹣x﹣6．
（1）式子中的a、b的值各是多少？（2）请计算出原题的正确答案．
【分析】（1）根据由于欢欢抄错了第一个多项式中的a符号，得出的结果为6x2﹣13x+6，可知（2x﹣
a）（3x+b）＝6x2+（2b﹣3a）x﹣ab＝6x2﹣13x+6，于是2b﹣3a＝﹣13①；再根据乐乐由于漏抄了第二
个多项式中的x的系数，得到的结果为2x2﹣x﹣6，可知常数项是﹣6，可知（2x+a）（x+b）＝2x2﹣x﹣
6，可得到2b+a＝﹣1②，解关于①②的方程组即可求出a、b的值；
（2）把a、b的值代入原式求出整式乘法的正确结果．
【解答】解：（1）根据题意可知，由于欢欢抄错了第一个多项式中的a的符号，得到的结果为6x2﹣
13x+6，
那么（2x﹣a）（3x+b）＝6x2+（2b﹣3a）x﹣ab＝6x2﹣13x+6，
可得2b﹣3a＝﹣13 ①
乐乐由于漏抄了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为2x2﹣x﹣6，
可知（2x+a）（x+b）＝2x2﹣x﹣6
即2x2+（2b+a）x+ab＝2x2﹣x﹣6，
可得2b+a＝﹣1 ②，
解关于①②的方程组，可得a＝3，b＝﹣2；
（2）正确的式子：
（2x+3）（3x﹣2）＝6x2+5x﹣6
【点评】本题主要是考查多项式的乘法，正确利用法则是正确解决问题的关键．
●题型七 整式的乘除在实际问题中的应用
3
【例题23】一块长方形硬纸片，长为（5a2+4b2）m，宽为6a4m，在它的四个角上分别剪去一个边长为 a3
2
m的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，请你求这个无盖盒子的表面积．
【分析】利用纸片的面积减去剪去的4个小正方形的面积就是盒子的表面积．
【解答】解：纸片的面积是：（5a2+4b2）•6a4＝30a6+24a4b2；
3 9
小正方形的面积是：（ a3）2= a6，
2 4
9
则无盖盒子的表面积是：30a6+24a4b2﹣4× a6＝21a6+24a4b2．
4
【点评】本题考查了整式的运算，理解纸片的面积减去剪去的4个小正方形的面积就是盒子的表面积是
关键．
【例题24】（2021秋•抚远市期末）如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，
规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？并求出当 a＝3，b＝2时的绿化面积．
【分析】根据多项式乘多项式的法则求出阴影部分的面积，代入计算即可．
【解答】解：阴影部分的面积＝（3a+b）（2a+b）﹣（a+b）2
＝6a2+5ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2
＝5a2+3ab，
当a＝3，b＝2时，原式＝5×32+3×3×2＝63（平方米）．
【点评】本题考查的是多项式乘多项式，多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个
多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
【解题技巧提炼】
整式的乘除在实际问题中的应用主要是先根据实际问题中的数量关系列出整式，然后再进行整式的混合运算即
可.
●题型八 整式乘除法中的规律探索问题
【例题25】观察下列格式：
（a﹣1）（a+1）＝a2﹣1；
（a﹣1）（a2+a+1）＝a3﹣1；
（a﹣1）（a3+a2+a+1）＝a4﹣1；
（a﹣1）（a4+a3+a2+a+1）＝a5﹣1；
…
根据前面的规律解答下列问题：
（1）（a﹣1） ＝a10﹣1；
（2）（a﹣1）（an+an﹣1+an﹣2+…+a+1）＝ ．
【分析】（1）根据多项式乘多项式的法则：用第一个多项式的每一项乘第二个多项式的每一项，把所
得的积相加，可得答案；
（2）根据多项式乘多项式的法则：用第一个多项式的每一项乘第二个多项式的每一项，把所得的积相
加，可得答案．
【解答】解：（1）（a﹣1）（a9+a8+a7+a6+a5+a4+a3+a2+a+1）＝a10﹣1；（2）（a﹣1）（an+an﹣1+an﹣2+…+a+1）＝an+1﹣1．
故答案为：（a9+a8+a7+a6+a5+a4+a3+a2+a+1），an+1﹣1．
【点评】本题考查了多项式乘多项式，利用了多项式乘多项式的运算．
【例题26】观察以下等式：
（x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1
（x+3）（x2﹣3x+9）＝x3+27
（x+6）（x2﹣6x+36）＝x3+216
…
按以上等式的规律，填空：（a+b）（ ）＝a3+b3．
【分析】根据已知得出运算法则的规律，进而得出运算公式．
【解答】解：∵（x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1；
（x+3）（x2﹣3x+9）＝x3+27＝x3+33；
（x+6）（x2﹣6x+36）＝x3+216＝x3+63；
…
∴（a+b）（ a2﹣ab+b2）＝a3+b3．
故答案为：a2﹣ab+b2．
【点评】此题主要考查了多项式乘以多项式，根据已知得出运算规律是解题关键．
【解题技巧提炼】
整式乘除法中的规律探索问题主要是根据题中的等式探究出规律，然后再由规律解决问题.
◆◆◆题型一 幂的运算性质运用
1．（2022春•岳麓区校级期末）计算（2x3y）2的结果是（ ）
A．8x6y2 B．4x6y2 C．4x5y2 D．8x5y2
【分析】运用幂的乘方与积的乘方的运算法则计算即可．
【解答】解：（2x3y）2＝22（x3）2y2＝4x6y2．
故选：B．
【点评】本题考查了积的乘方与幂的乘方的运算法则，解题的关键是熟记法则并灵活运用．幂的乘方法
则：底数不变，指数相乘．积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
2．（2022•江岸区校级模拟）计算x2•x4﹣（3x3）2的结果是（ ）A．﹣5x5 B．﹣8x6 C．7x6 D．﹣8x5
【分析】先进行积和幂的乘方运算，再进行幂的乘法运算即可．
【解答】解：x2•x4﹣（3x3）2
＝x6﹣9x6
＝﹣8x6．
故选：B．
【点评】本题考查了幂的乘方运算、幂的乘法运算、合并同类项，关键要掌握幂的乘方运算、幂的乘法
运算、合并同类项运算法则．
3．（2022春•长安区期中）若3n+3n+3n＝36，则n＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此计算即可．
【解答】解：∵3n+3n+3n＝3×3n＝31+n＝36，
∴1+n＝6，
解得n＝5．
故选：D．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
4．（2022春•无锡期中）计算（b﹣a）2（a﹣b）3（b﹣a）5，结果为（ ）
A．﹣（b﹣a）10 B．（b﹣a）30 C．（b﹣a）10 D．﹣（b﹣a）30
【分析】根据同底数幂的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝2m×2n＝8×4＝32，
故选：C．
【点评】本题考查同底数幂的运算，解题的关键是熟练运用同底数幂的运算法则，本题属于基础题型．
5．（2022春•海曙区校级期中）若m，n均是正整数，且2m+1×4n＝128，则m+n的所有可能值为（ ）
A．2或3 B．3或4 C．5或4 D．6或5
【分析】利用幂的乘方的法则与同底数幂的乘法的法则进行求解即可．
【解答】解：2m+1×4n＝128，
2m+1×22n＝27，
2m+1+2n＝27，
∴m+1+2n＝7，
即m+2n＝6，∵m，n均是正整数，
∴当m＝2时，n＝2，则m+n＝4；
当m＝4时，n＝1，则m+n＝5．
即m+n的值为5或4．
故选：C．
【点评】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
6．（2022春•宝应县校级月考）计算：
（1）（﹣3x3）2﹣x2•x4﹣（x2）3； （2）a3•a•a4+（﹣2a4）2+（a2）4．
【分析】（1）先算幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，再合并同类项即可；
（2）先算同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，再合并同类项即可．
【解答】解：（1）（﹣3x3）2﹣x2•x4﹣（x2）3
＝9x6﹣x6﹣x6
＝7x6；
（2）a3•a•a4+（﹣2a4）2+（a2）4
＝a8+4a8+a8
＝6a8．
【点评】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握
与运用．
◆◆◆题型二 幂的运算性质的逆用
7．（2021秋•盐池县期末）10x＝a，10y＝b，则10x+y+2＝（ ）
A．2ab B．a+b C．a+b+2 D．100ab
【分析】根据同底数幂的乘法法则求解即可．
【解答】解：10x+y+2＝10x×10y×102＝100ab．
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，解答本题的关键是掌握同底数幂的乘法法则：am•an＝am+n（m，
n是正整数）．
8．若4m＝a，8n＝b，则22m+6n的值是（ ）
A．ab2 B．a+b2 C．a2b3 D．a2+b3
【分析】先根据幂的乘方和已知条件求出22m＝a，23n＝b，求出26n＝b2，再根据同底数幂的乘法得出
22m+6n＝22m×26n，即可求出答案．
【解答】解：∵4m＝a，8n＝b，∴22m＝a，23n＝b，
∴26n＝（23n）2＝b2，
∴22m+6n
＝22m×26n
＝a×b2
＝ab2，
故选：A．
【点评】本题考查了幂的乘方和同底数幂的乘法，能正确根据知识点进行计算是解此题的关键，注意：
（am）n＝amn，am•an＝am+n．
9．（2021秋•惠民县期末）已知a＝8111，b＝2721，c＝931，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．a＜b＜c D．b＞c＞a
【分析】根据幂的乘方运算法则，把它们变为底数相同的幂，再比较大小即可．
【解答】解：∵a＝8111＝344，b＝2721＝363，c＝931＝362，
363＞362＞344，
∴a、b、c的大小关系是b＞c＞a．
故选：D．
【点评】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
10．（2022春•滨海县月考）（1）已知4m＝a，8n＝b，用含a，b的式子表示22m+3n的值；
（2）已知3×27x×81＝323，求x的值．
【分析】（1）利用同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即
可；
（2）利用幂的乘方的法则进行整理，即可得到关于x的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵4m＝a，8n＝b，
∴22m＝a，23n＝b，
∴22m+3n＝22m•23n＝ab；
（2）∵3×27x×81＝323，
∴3×33x×34＝323，
∴3x+5＝23，
∴x＝6．
【点评】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
◆◆◆题型三 整式的混合运算11．（1）（2022春•碑林区校级月考）计算：a9÷a2•a+（a2）4﹣（﹣2a4）2．
【分析】应用同底数幂乘除法，幂的乘方与积的乘方运算法则进行计算即可得出答案．
【解答】解：原式＝a9﹣2+1+a8﹣4a8
＝a8+a8﹣4a8
＝﹣2a8．
【点评】本题主要考查了同底数幂乘除法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握同底数幂乘除法，幂的乘方
与积的乘方运算法则进行求解是解决本题的关键．
（2）（2021春•陈仓区期末）计算：（x2）3•x3﹣（﹣x）2•x9÷x2．
【分析】先进行幂的乘方运算，再进行同底数幂的乘法和除法运算，然后合并即可．
【解答】解：原式＝x6•x3﹣x2•x9÷x2
＝x9﹣x9
＝0．
【点评】本题考查了同底数幂的除法：底数不变，指数相减，即am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，
m＞n）．也考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
12．计算：
（1）（﹣2ab）（3a2﹣2ab﹣4b2）； （2）（﹣3x2y）2•（﹣4xy2﹣5y3﹣6x+1）；
（3）﹣3a（2a﹣5）﹣2a（1﹣3a）． （4）5a（a﹣b+c）﹣2b（a+b﹣c）﹣4c（﹣a﹣b﹣c）．
（5）（﹣a2）3÷a3+（a+2）（a2﹣2a+4）． （6）[2x（x2y2﹣xy）﹣y（x2﹣x3y）]÷3x2y
【分析】（1）先用单项式﹣2ab与括号内的每一项分别相乘，再把所得结果相加即可；
（2）根据单项式乘多项式的运算法则进行计算即可；
（3）先算乘方，再根据单项式乘多项式的运算法则进行计算即可得出答案；
（4）先利用单项式乘多项式的运算法则分别计算减号两边的算式，再合并同类项即可．
（5）根据整式的加减运算以及乘除运算即可求出答案．
（6）根据整式的运算法则即可求出答案；
【解答】
（1）（﹣2ab）（3a2﹣2ab﹣4b2）
＝（﹣2ab）•（3a2）﹣（﹣2ab）•（2ab）﹣（﹣2ab）•（4b2）
＝﹣6a3b+4a2b2+8ab3，
（2）（﹣3x2y）2•（﹣4xy2﹣5y3﹣6x+1）＝﹣36x5y4﹣45x4y5﹣54x5y2+9x4y2；
（3）﹣3a（2a﹣5）﹣2a（1﹣3a）＝﹣6a2+15a﹣2a+6a2＝13a．（4）原式＝5a2﹣5ab+5ac﹣2ab﹣2b2+2bc+4ac+4bc+4c2
＝5a2﹣2b2+4c2﹣7ab+9ac+6bc．
（5）原式＝﹣a6÷a3+a3﹣2a2+4a+2a2﹣4a+8
＝﹣a3+a3﹣2a2+4a+2a2﹣4a+8
＝8．
（6）原式＝（2x3y2﹣2x2y﹣x2y+x3y2）÷3x2y
＝（3x3y2﹣3x2y）÷3x2y
＝xy﹣1；
【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则及注意运算的顺序.
◆◆◆题型四 整式的化简求值
13．先化简，再求值：（x﹣2）（x﹣6）﹣（6x4﹣4x3﹣2x2）÷（﹣2x2），其中x＝﹣1．
【分析】根据多项式乘多项式、多项式除单项式的运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
【解答】解：（x﹣2）（x﹣6）﹣（6x4﹣4x3﹣2x2）÷（﹣2x2）
＝x2﹣8x+12﹣（﹣3x2+2x+1）
＝x2﹣8x+12+3x2﹣2x﹣1
＝4x2﹣10x+11，
当x＝﹣1时，原式＝4×（﹣1）2﹣10×（﹣1）+11＝25．
【点评】本题考查的是分式方程的解法、整式的化简求值，掌握解分式方程的一般步骤、整式的混合运
算法则是解题的关键．
14．已知2a﹣b＝5，求[a2+b2+2b（a﹣b）﹣（a﹣b）2]÷4b的值．
【分析】原式中括号中利用单项式乘以多项式，以及完全平方公式化简，再利用多项式除以单项式法则
计算得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．
【解答】解：∵2a﹣b＝5，
1 1 5
∴原式＝（a2+b2+2ab﹣2b2﹣a2+2ab﹣b2）÷4b＝（﹣2b2+4ab）÷4b=− b+a= （2a﹣b）= ．
2 2 2
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
◆◆◆题型五 整式乘法的几何表示
15．通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，如图可表示的代数恒等式是（ ）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．2a（a+b）＝2a2+2ab D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
【分析】由题意知，长方形的面积等于长2a乘以宽（a+b），面积也等于四个小图形的面积之和，从而
建立两种算法的等量关系．
【解答】解：长方形的面积等于：2a（a+b），
也等于四个小图形的面积之和：a2+a2+ab+ab＝2a2+2ab，
即2a（a+b）＝2a2+2ab．
故选：C．
【点评】本题考查了单项式乘多项式的几何解释，列出面积的两种不同表示方法是解题的关键．
16．（2022春•保定期末）如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式：
①（2a+b）（m+n）；②2a（m+n）+b（m+n）；③m（2a+b）+n（2a+b）；④2am+2an+bm+bn，
你认为其中正确的有（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
【分析】①大长方形的长为2a+b，宽为m+n，利用长方形的面积公式，表示即可；
②长方形的面积等于左边，中间及右边的长方形面积之和，表示即可；
③长方形的面积等于上下两个长方形面积之和，表示即可；
④长方形的面积由6个长方形的面积之和，表示即可．
【解答】解：①（2a+b）（m+n），本选项正确；
②2a（m+n）+b（m+n），本选项正确；
③m（2a+b）+n（2a+b），本选项正确；
④2am+2an+bm+bn，本选项正确，
则正确的有①②③④．
故选：D．
【点评】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
◆◆◆题型六 整式的乘除的应用
17．点点同学在复习《整式的除法》时发现自己的课堂笔记中有一部分被钢笔水弄污了．具体情况如下：
（15x3y5﹣★﹣20x3y2）÷（﹣5x3y2）＝▲+2xy2+4，被除式的第二项被钢笔水弄污成★，商的第一项也被钢笔水弄污成▲，请你求出这两处被弄污了的内容★，▲．
【分析】利用多项式除以单项式的法则进行计算．
【解答】解：∵（15x3y5﹣★﹣20x3y2）÷（﹣5x3y2）＝▲+2xy2+4，
∴▲＝15x3y5÷（﹣5x3y2）＝﹣3y3；
﹣★＝2xy2•（﹣5x3y2）＝﹣10x4y4，
∴★＝10x4y4．
【点评】本题考查了考查了整式的除法运算，正确运用公式和理解乘除互逆是解题的关键．
18．甲乙两人共同计算一道整式乘法：（2x+a）（3x+b），由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的
结果为6x2+11x﹣10；由于乙漏抄了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为2x2﹣9x+10．请你计算出
a、b的值各是多少，并写出这道整式乘法的正确结果．
【分析】先按甲乙错误的说法得出的系数的数值求出a，b的值，再把a，b的值代入原式求出整式乘法
的正确结果．
【解答】解：∵甲正确得到的算式：（2x﹣a）（3x+b）＝6x2+（2b﹣3a）x﹣ab＝6x2+11x﹣10
对应的系数相等，2b﹣3a＝11，ab＝10，
乙错误的算式：（2x+a）（x+b）＝2x2+（2b+a）x+ab＝2x2﹣9x+10
对应的系数相等，2b+a＝﹣9，ab＝10，
{2b−3a=11
∴ ，
2b+a=−9
{a=−5
解得： ．
b=−2
∴正确的式子：（2x﹣5）（3x﹣2）＝6x2﹣19x+10．
【点评】此题考查了多项式乘多项式；解题的关键是根据多项式乘多项式的运算法则分别进行计算，是
常考题型，解题时要细心．
◆◆◆题型七 整式的乘除在实际问题中的应用
1
19．一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽a米，下底宽（a+2b）米，坝高 a米．
2
（1）求防洪堤坝的横断面积；
（2）如果防洪堤坝长100米，那么这段防洪堤坝的体积是多少立方米？
【分析】（1）根据梯形的面积公式，然后利用单项式乘多项式的法则计算；
（2）防洪堤坝的体积＝梯形面积×坝长．
1 1
【解答】解：（1）防洪堤坝的横断面积S= [a+（a+2b）]× a
2 21
= a（2a+2b）
4
1 1
= a2+ ab．
2 2
1 1
故防洪堤坝的横断面积为（ a2+ ab）平方米；
2 2
1 1
（2）堤坝的体积V＝Sh＝（ a2+ ab）×100＝50a2+50ab．
2 2
故这段防洪堤坝的体积是（50a2+50ab）立方米．
【点评】本题主要考查了梯形的面积公式及堤坝的体积＝梯形面积×长度，熟练掌握单项式乘多项式的
运算法则是解题的关键．
20．如图，要设计一幅长为（6x+4y）厘米，宽为（4x+2y）厘米的长方形图案，其中两横两竖涂上阴影，阴
影部分的宽均为x厘米．
（1）阴影部分的面积是多少平方厘米？
（2）空白区域的面积是多少平方厘米？
【分析】（1）利用平移可得阴影部分面积为（4x+2y）•2x+2x•（6x+4y﹣2x），再利用多项式乘多项式
法则计算可得；
（2）空白部分面积为（6x+4y﹣2x）（4x+2y﹣2x），再利用多项式乘多项式法则计算可得．
【解答】解：（1）阴影部分面积为（4x+2y）•2x+2x•（6x+4y﹣2x）
＝8x2+4xy+8x2+8xy
＝16x2+12xy；
（2）空白部分的面积为（6x+4y﹣2x）（4x+2y﹣2x）
＝（4x+4y）（2x+2y）
＝8x2+8xy+8xy+8y2
＝8x2+16xy+8y2．
【点评】本题主要考查多项式乘多项式，解题的关键是能够将彩条平移至边上，列出算式，并熟练掌握
多项式乘多项式的法则．
◆◆◆题型八 整式乘除法中的规律探索问题21．计算下列各式，然后回答问题．
（a+4）（a+3）＝ ；（a+4）（a﹣3）＝ ；
（a﹣4）（a+3）＝ ；（a﹣4）（a﹣3）＝ ．
（1）从上面的计算中总结规律，写出下式结果．
（x+a）（x+b）＝ ．
（2）运用上述结果，写出下列各题结果．
①（x+2008）（x﹣1000）＝ ；
②（x﹣2005）（x﹣2000）＝ ．
【分析】利用单项式与多项式相乘计算各个式子后，发现展开式的一次项系数是原来每个因式的第二项
的和，常数项是它们的积．即（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab．然后再计算所给的式子的结果．
【解答】解：（a+4）（a+3）＝a2+7a+12；
（a+4）（a﹣3）＝a2+a﹣12；
（a﹣4）（a+3）＝a2﹣a﹣12；
（a﹣4）（a﹣3）＝a2﹣7a+12．
（1）（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab．
（2）①（x+2008）（x﹣1000）＝x2+1008x﹣2 008 000；
②（x﹣2005）（x﹣2000）＝x2﹣4 005x+4 010 000．
【点评】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键，对计算结果分析找出规律，再
利用规律简便计算．
22．观察下列式：
（x2﹣1）÷（x﹣1）＝x+1；
（x3﹣1）÷（x﹣1）＝x2+x+1；
（x4﹣1）÷（x﹣1）＝x3+x2+x+1；
（x5﹣1）÷（x﹣1）＝x4+x3+x2+x+1．
（1）（x7﹣1）÷（x﹣1）＝ ；
（2）根据（1）的结果，求1+2+22+23+24+25+26+27的值．
【分析】（1）直接利益已知中式子变化规律得出答案；
（2）结合（1）中规律得出原式＝（x8﹣1）÷（2﹣1），进而得出答案．
【解答】解：（1）（x7﹣1）÷（x﹣1）＝x6+x5+x4+x3+x2+x+1；
（2）1+2+22+23+24+25+26+27＝（28﹣1）÷（2﹣1）＝28﹣1＝255
【点评】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．1．（2022春•漳州期中）已知2a＝3，2b＝6，2c＝12，则a，b，c的关系为①b＝a+1；②c＝a+2；
③a+c＝2b；④b+c＝2a+3，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】分别利用同底数幂的乘除法运算法则得出a，b，c直接的关系即可．
【解答】解：∵2a＝3，2b＝6，2c＝12，
∴2b÷2a＝2，
∴b﹣a＝1，
∴b＝a+1，故①正确；
2c÷2a＝22，
则c﹣a＝2，故②正确；
2a×2c＝（2b）2，
则a+c＝2b，故③正确；
∵2b×2c＝（2a）2×23，
∴b+c＝2a+3，故④正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了幂的乘方与同底数幂的乘除运算法则，正确应用运算法则是解题关键．
2
2．（2022秋•原阳县月考）计算（ ）2017×（﹣2.5）2016×（﹣1）2017的结果是（ ）
5
2 5 2 5
A． B． C．− D．−
5 2 5 2
【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则进行求解即可．
2
【解答】解：（ ）2017×（﹣2.5）2016×（﹣1）2017
5
2 2
= ×（ ）2016×（﹣2.5）2016×（﹣1）2017
5 5
2 2 5
= ×（− × ）2016×（﹣1）2017
5 5 2
2
= ×（﹣1）2016×（﹣1）
5
2
= ×1×（﹣1）
5
2
=− ．
5故选：C．
【点评】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3．（2022春•莱州市期末）若52x+1＝125，则（x﹣2）2022的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2022 D．﹣2022
【分析】由已知条件可得2x+1＝3，从而求得x＝1，把其代入所求的式子进行运算即可．
【解答】解：∵52x+1＝125，
∴52x+1＝53，
则2x+1＝3，
解得：x＝1，
∴（x﹣2）2022
＝（1﹣2）2022
＝（﹣1）2022
＝1．
故选：A．
【点评】本题主要考查幂的乘方，解答的关键是熟记幂的乘方的法则：底数不变，指数相乘．
4．如果单项式﹣3ma﹣2bn2a+b与m3n8b是同类项，那么这两个单项式的积是（ ）
A．﹣3m6n16 B．﹣3m6n32 C．﹣3m3n8 D．﹣9m6n16
【分析】直接利用同类项的定义得出a，b的值，再利用单项式乘单项式计算得出答案．
【解答】解：∵单项式﹣3ma﹣2bn2a+b与m3n8b是同类项，
{a−2b=3
∴ ，
2a+b=8b
{a=7
解得： ，
b=2
故单项式﹣3ma﹣2bn2a+b与m3n8b是单项式﹣3m3n16与m3n16，
则这两个单项式的积是：﹣3m3n16•m3n16＝﹣3m6n32．
故选：B．
【点评】此题主要考查了同类项的定义、单项式乘单项式，正确得出a，b的值是解题关键．
|a b| |1 0 |
5．（2021秋•丰南区期末）对于实数a，b，c，d，规定一种运算 = ad﹣bc，如 = 1×（﹣
c d 2 (−2)|(x+1) (x+2)|
2）﹣0×2＝﹣2，那么当 = 27时，则x＝ ．
(x−3) (x−1)
【分析】由题中的新定义可知，此种运算为对角线乘积相减的运算，化简所求的式子得到关于 x的方程，
利用多项式乘多项式的运算法则及平方差公式化简合并即可求出x的值．
|(x+1) (x+2)|
=
【解答】解：∵ 27，
(x−3) (x−1)
∴（x+1）（x﹣1）﹣（x+2）（x﹣3）＝27，
∴x2﹣1﹣（x2﹣x﹣6）＝27，
∴x2﹣1﹣x2+x+6＝27，
∴x＝22；
故答案为：22．
【点评】此题考查学生理解新定义及灵活运用新定义的能力，同时也考查了学生会进行整式的混合运算
及会利用平方差公式来化简运算，是一道中档题．
6．（2022春•高淳区校级期中）若P＝（x﹣3）（x﹣4），Q＝（x﹣2）（x﹣5），则P与Q的大小关系
是（ ）
A．P＞Q B．P＜Q
C．P＝Q D．由x的取值而定
【分析】利用多项式乘多项式的法则分别计算P，Q的值，再将两式的值相减即可得出结论．
【解答】解：∵P＝（x﹣3）（x﹣4）＝x2﹣7x+12，
Q＝（x﹣2）（x﹣5）＝x2﹣7x+10，
∴P﹣Q＝（x2﹣7x+12）﹣（x2﹣7x+10）＝2＞0，
∴P＞Q，
故选：A．
【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，利用比较差的大小解答是解题的关键．
7．（2022秋•仁寿县校级月考）若a﹣b＝1，ab＝﹣2，则（a+2）（b﹣2）的值为（ ）
A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4
【分析】利用多项式乘多项式的法则进行运算，再把相应的值代入运算即可．
【解答】解：当a﹣b＝1，ab＝﹣2时，
（a+2）（b﹣2）
＝ab﹣2a+2b﹣4＝ab﹣2（a﹣b）﹣4
＝﹣2﹣2×1﹣4
＝﹣2﹣2﹣4
＝﹣8．
故选：B．
【点评】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
8．（2022春•温州期中）用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个长为 3a+2b，宽为a+b的长
方形，需要B类卡片（ ）张．
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】利用长乘宽，求出长方形面积，找出各个面积对应卡片，即可找出相应的数量．
【解答】解：长方形面积S＝长×宽，
∴S＝（3a+2b）（a+b）＝3a2+3ab+2ab+2b2＝3a2+5ab+2b2，
由题可知：A类面积＝a2，B类面积＝ab，C类面积＝b2，
∴需要A类，B类，C类卡片分别是3，5，2．
故选：C．
【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，找出对应卡片面积的系数，分别对应，即可找出所需
卡片数量．
9．（2022秋•江北区校级期中）（1）若10x＝3，10y＝2，求代数式103x+4y的值．
（2）已知：3m+2n﹣6＝0，求8m•4n的值．
【分析】（1）利用幂的乘方与积的乘方的法则得出关于n的等式，进而求出n的值；
（2）由3996＝22×33×37结合幂的乘方与积的乘方的法则求出a＝2，b＝3，c＝1，代入（a﹣b﹣c）10进
行计算，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵9n+1﹣32n＝72，
∴（32）n+1﹣32n＝72，
∴32n+2﹣32n＝72，
∴32n（32﹣1）＝72，
∴32n（9﹣1）＝72，
∴32n＝9，∴32n＝32，
∴2n＝2，
∴n＝1；
（2）∵2a×3b×37c＝3996，3996＝22×33×37，
∴a＝2，b＝3，c＝1，
∴（a﹣b﹣c）10
＝（2﹣3﹣1）10
＝（﹣2）10
＝1024．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，掌握幂的乘方与积的乘方的法则，同底数
幂的乘法法则是解决问题的关键．
10．（2022春•江都区校级月考）（1）已知9n+1﹣32n＝72，求n的值．
（2）已知2a×3b×37c＝3996，其中a、b、c为正整数，求（a﹣b﹣c）10的值．
【分析】（1）利用幂的乘方与积的乘方的法则得出关于n的等式，进而求出n的值；
（2）由3996＝22×33×37结合幂的乘方与积的乘方的法则求出a＝2，b＝3，c＝1，代入（a﹣b﹣c）10进
行计算，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵9n+1﹣32n＝72，
∴（32）n+1﹣32n＝72，
∴32n+2﹣32n＝72，
∴32n（32﹣1）＝72，
∴32n（9﹣1）＝72，
∴32n＝9，
∴32n＝32，
∴2n＝2，
∴n＝1；
（2）∵2a×3b×37c＝3996，3996＝22×33×37，
∴a＝2，b＝3，c＝1，
∴（a﹣b﹣c）10
＝（2﹣3﹣1）10
＝（﹣2）10
＝1024．【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，掌握幂的乘方与积的乘方的法则，同底数
幂的乘法法则是解决问题的关键．
11．计算：
（1）[（﹣3a2b3）3]2； （2）（﹣2xy2）6+（﹣3x2y4）3；
2 3
（3）（﹣0.5×3 ）199×（2× ）200； （4）5y2﹣（y﹣2）（3y+1）﹣2（y+1）（y﹣5）．
3 11
【分析】（1）先根据幂的乘方进行计算，再根据积的乘方进行计算即可；
（2）先算乘方，再合并同类项即可；
（3）先根据积的乘方进行计算，再求出即可；
（4）先算乘法，再合并同类项即可．
【解答】解：（1）1）[（﹣3a2b3）3]2
＝（﹣3a2b3）6
＝729a12b18；
（2）（﹣2xy2）6+（﹣3x2y4）3
＝64x6y12﹣27x6y12
＝37x6y12；
2 3
（3）（﹣0.5×3 ）199×（2× ）200
3 11
1 11 3
＝（− × ）199×（2× ）200
2 3 11
1 11 3 3
＝（− × ×2× ）199×（2× ）
2 3 11 11
6
＝﹣1×
11
6
=− ；
11
（4）5y2﹣（y﹣2）（3y+1）﹣2（y+1）（y﹣5）
＝5y2﹣3y2﹣y+6y+2﹣2y2+10y﹣2y+10
＝13y+12．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式，有理数的混合运算，整式的混合运算，幂的乘方和积的乘方等
知识点，能正确根据知识点进行计算是解此题的关键．
12 ． （ 2021 秋 • 邻 水 县 期 末 ） 先 化 简 ， 再 求 值 ： 若 （ a﹣2 ） 2+|b+1| ＝ 0 ， 求2
3(3a2+ ab−b2 )−2(4a2+ab−2b2 )的值．
3
【分析】原式去括号合并得到最简结果，利用非负数的性质求出a与b的值，代入计算即可求出值．
【解答】解：∵（a﹣2）2+|b+1|＝0，
∴a﹣2＝0，b+1＝0，
解得：a＝2，b＝﹣1，
原式＝9a2+2ab﹣3b2﹣8a2﹣2ab+4b2
＝a2+b2，
当a＝2，b＝﹣1时，原式＝4+1＝5．
【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
13．若（x﹣1）（x2+mx+n）＝x3﹣6x2+11x﹣6，求m，n的值．
【分析】把（x﹣1）（x2+mx+n）展开后，每项的系数与x3﹣6x2+11x﹣6中的项的系数对应，可求得
m、n的值．
【解答】解：∵（x﹣1）（x2+mx+n）
＝x3+（m﹣1）x2+（n﹣m）x﹣n
＝x3﹣6x2+11x﹣6
∴m﹣1＝﹣6，﹣n＝﹣6，
解得m＝﹣5，n＝6．
【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的法则，注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项．根
据对应项系数相等列式求解m、n是解题的关键．
14．某同学在计算一个多项式乘以﹣3x2时，因抄错运算符号，算成了加上﹣3x2，得到的结果是x2﹣4x+1，
那么正确的计算结果是多少？
【分析】用错误结果减去已知多项式，得出原式，再乘以﹣3x2得出正确结果．
【解答】解：这个多项式是（x2﹣0.5x+1）﹣（﹣3x2）＝4x2﹣0.5x+1，
正确的计算结果是：（4x2﹣0.5x+1）•（﹣3x2）＝﹣12x4+1.5x3﹣3x2．
【点评】本题利用新颖的题目考查了单项式与多项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键，计算时要
注意符号的处理．
15．如图，有一块长（3a+b）米，宽（2a+b）米的长方形广场，园林部门要对阴影区域进行绿化，空白区
域进行广场硬化，阴影部分是边长为（a+b）米的正方形．
（1）计算广场上需要硬化部分的面积；（2）若a＝30，b＝10，求硬化部分的面积．
【分析】（1）由题意可知空白部分的面积＝长方形的面积﹣阴影部分的面积．长方形的面积是长×宽，
即（3a+b）（2a+b）；阴影部分是正方形，其面积是（a+b）2，所以空白部分的面积是（2a+b）
（3a+b）﹣（a+b）2；
（2）将a，b的数值代入（1）题中的代数式求值即可．
【解答】解：
（1）根据题意，广场上需要硬化部分的面积是
（2a+b）（3a+b）﹣（a+b）2
＝6a2+2ab+3ab+b2﹣（a+b）2
＝6a2+5ab+b2﹣（a2+2ab+b2）
＝6a2+5ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2
＝5a2+3ab
答：广场上需要硬化部分的面积是（5a2+3ab）m2．
（2）把a＝30，b＝10代入
5a2+3ab＝5×302+3×30×10＝5400 m2
答：广场上需要硬化部分的面积是5400m2．
【点评】本题考查多项式乘多项式在几何图形中的应用．图中空白部分的面积不方便直接求出，可通过
间接求面积法获得，这种方法在很多几何图形求面积的题目中应用广泛，需重点把握．
16．若（3x2﹣2x+1）（x+b）中不含x2项，求b的值，并求（3x2﹣2x+1）（x+b）的值．
【分析】先运用多项式与多项式的乘法计算（3x2﹣2x+1）（x+b），根据题意，让x2项的系数为0，从
而求得b的值，再代入原式计算．
【解答】解：原式＝3x3+（3b﹣2）x2+（﹣2b+1）x+b，
∵不含x2项，
2
∴3b﹣2＝0，得b= ，
3
2
∴（3x2﹣2x+1）（x+ ）
34 2
＝3x3﹣2x2+x+2x2− x+ ，
3 3
1 2
＝3x3− x+ ．
3 3
1 2
故答案为：3x3− x+ ．
3 3
【点评】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键，需要注意，计算结果不含哪
一项，就让哪一项的系数等于0．
17．如图，某小区有一块长为（2a+4b）米，宽为（2a﹣b）米的长方形地块，角上有四个边长为（a﹣b）
米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化．
（1）用含有a、b的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）；
（2）物业找来阳光绿化团队完成此项绿化任务，已知该队每小时可绿化4b平方米，每小时收费300元，则
该物业应该支付绿化队多少费用？（用含a、b的代数式表示）
【分析】（1）根据题意得出绿化的总面积是（2a+4b）（2a﹣b）﹣4（a﹣b）2，再进行化简即可；
（2）根据题意得出该物业应该支付绿化队费用是300×[（14ab﹣8b2）÷4b]，再进行化简即可．
【解答】解：（1）绿化的总面积是（2a+4b）（2a﹣b）﹣4（a﹣b）2
＝4a2﹣2ab+8ab﹣4b2﹣4a2+8ab﹣4b2
＝（14ab﹣8b2）平方米；
（2）该物业应该支付绿化队费用是300×[（14ab﹣8b2）÷4b]
7
＝300×（ a﹣2b）
2
＝（1050a﹣600b）元．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式法则和列代数式，能根据题意列出代数式是解此题的关键．
18．阅读：已知x2y＝3，求2xy（x5y2﹣3x3y﹣4x）的值．
分析：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将x2y＝3整体代入．
解：2xy（x5y2﹣3x3y﹣4x）＝2x6y3﹣6x4y2﹣8x2y
＝2（x2y）3﹣6（x2y）2﹣8x2y＝2×33﹣6×32﹣8×3＝﹣24．
你能用上述方法解决以下问题吗？试一试!
（1）已知ab＝3，求（2a3b2﹣3a2b+4a）•（﹣2b）的值；
（2）已知a2+a﹣1＝0，求代数式a3+2a2+2018的值．
【分析】（1）首先利用单项式乘以多项式进行计算，再代入ab的值即可；
（2）首先把已知变形可得a2+a＝1，然后再变形代入a2+a的值计算即可．
【解答】解：（1）（2a3b2﹣3a2b+4a）•（﹣2b）
＝﹣4a3b3+6a2b2﹣8ab
＝﹣4（ab）3+6（ab）2﹣8ab
＝﹣4×33+6×32﹣8×3
＝﹣108+54﹣24
＝﹣78；
（2）∵a2+a﹣1＝0，
∴a2+a＝1，
a3+2a2+2018
＝a3+a2+a2+2018
＝a（a2+a）+a2+2018
＝a+a2+2018
＝1+2018
＝2019．
【点评】此题主要考查了单项式乘以多项式，关键是掌握计算法则．
19．（2021春•秦都区月考）如图，甲长方形的长为 m+7，宽为m+1，面积为S ；乙长方形的长为m+4，
1
宽为m+2，面积为S ．（m为正整数）
2
（1）试比较S ，S 的大小；
1 2
（2）现有一正方形，其周长与图中的甲长方形周长相等，试探究：该正方形面积 S与图中的甲长方形
面积S 的差（即S﹣S ）是一个常数，求出这个常数．
1 1
【分析】（1）表示出甲、乙面积，作差比较即可；
（2）求出正方形边长，表示出面积，作差即可得答案．【解答】解：（1）S ＝（m+1）（m+7）＝m2+8m+7，
1
S ＝（m+2）（m+4）＝m2+6m+8，
2
∴S ﹣S ＝（m2+8m+7）﹣（m2+6m+8）＝2m﹣1
1 2
∵m为正整数，
∴2m﹣1＞0，
∴S ＞S ；
1 2
（2）∵甲的周长为2（m+7+m+1）＝4m+16，
∴正方形边长为（4m+16）÷4＝m+4，
∴正方形面积S＝（m+4）2＝m2+8m+16，
∴S﹣S ＝m2+8m+16﹣（m2+8m+7）＝9，
1
∴这个常数是9．
【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是根据题意列出式子，再进行计算．
20．观察下列各式：
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1
…
①根据以上规律，则（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝ ．
②你能否由此归纳出一般性规律：（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）＝ ．
③根据②求出：1+2+22+…+234+235的结果．
【分析】①观察已知各式，得到一般性规律，化简原式即可；
②原式利用得出的规律化简即可得到结果；
③原式变形后，利用得出的规律化简即可得到结果．
【解答】解：①根据题意得：（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝x7﹣1；
②根据题意得：（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）＝xn+1﹣1；
③原式＝（2﹣1）（1+2+22+…+234+235）＝236﹣1．
故答案为：①x7﹣1；②xn+1﹣1；③236﹣1
【点评】此题考查了多项式乘以多项式，弄清题中的规律是解本题的关键．
