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第二十一章 一元二次方程（单元重点综合测试）
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．当方程 的一般式为 时， 的值为（ ）
A．5 B． C．1 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确将原方程整理为一般形式是解题关键．只含有一
个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程，其一般形式为
．将原方程整理为一般形式，即可获得答案．
【详解】解：将方程 整理为一般形式，
可得 ，
所以， 的值为 ．
故选：B．
2．用配方法解一元二次方程 ，配方正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了解一元二次方程，先移项，再配方，即可得出结论．
【详解】解： ，
，，
，
故选：A．
3．若关于 的一元二次方程的根为 ，则这个方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了解一元二次方程．根据公式法解答，即可求解．
【详解】解：∵关于 的一元二次方程的根为 ，
∴二次项系数为1，一次项系数为 ，常数项为 ，
∴这个方程为 ．
故选：D
4．鄞州是诗书之城，据鄞州图书馆年度数据报告，2021年到馆读者134万人次，2023年人数增长至289
万，设这两年到馆人数的年平均增长率为 ，可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设这两年到馆人数的年平均增长率为 ，根据2021年到馆
读者134万人次，2023年人数增长至289万，列出方程即可．
【详解】解：设这两年到馆人数的年平均增长率为 ，根据题意得：
，
故选：B．
5．已知关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且【答案】D
【分析】本题主要考查了一元二次方程有实数根的情况，一元二次方程的定义，解不等式，熟练地掌握根
的判别式在不同情况下根的情况是解题的关键．当 时，一元二次方程有实数根；否则，无实数
根．
根据题意可得 ，然后解不等式即可．
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 有实数根，
∴ ，
解得： 且 ．
故选：D．
6．某电商销售一款进价为80元/台的电吹风，若按每台120元出售，当月可销售50台，经调查发现这款
电吹风的售价每下降3元，其销售数量增加10台．设售价为x元/台．若使该电商销售这款电吹风的利润为
2500元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设售价为x元/台，根据利润 销售量 每台风扇的利润，列方
程即可．
【详解】解：设售价为x元/台，
根据题意可得： ，
故选：D．
7．如图，小程的爸爸用一段 长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长 ）的矩形鸭舍，其面积为 ，
在鸭舍侧面中间位置留一个 宽的门（由其它材料制成），则 长为（ ）A． 或 B． 或 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用，正确寻找题目的等量关
系是解题的关键．设矩形场地垂直于墙一边长为 ，可以得出平行于墙的一边的长为 ．根据
矩形的面积公式建立方程即可．
【详解】解：设矩形场地垂直于墙一边长为 ，
则平行于墙的一边的长为 ，
由题意得 ，
解得： ， ，
当 时，平行于墙的一边的长为 ；
当 时，平行于墙的一边的长为 ，不符合题意；
∴该矩形场地 长为 米，
故选C．
8．如图所示的是一张月历表，在此月历表上用一个矩形任意圈出 个数(如17，18，24，25)，如果圈出
的四个数中最小数与最大数的积为153，那么这四个数的和为（ ）
A．40 B．48 C．52 D．56
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．找出题中等量关系，并用方程表示出来是解题的关键．
根据题意，设最小数为x，则另外三个数为 ，根据题意可列方程 ，结合月历
表的数据情况选出合适的数．【详解】解：设最小数为x，则另外三个数为 ，
根据题意可列方程，得 ，
解得 (不符合题意，舍去)，
∴ ， ， ， ，
∴四个数分别为9，10，16，17，
∵ ，
故选：C．
9．如图①，在矩形 中， ，对角线 、 相交于点 ，动点 由点 出发，沿
运动，设点 的运动路程为 ， 的面积为 ， 与 的函数关系图像如图②所示，则
边的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】由图②可知，当点 到达点 时， 的面积为6，此时 的高为 ，则
，解得 ，而 ，由此即可求解．【详解】解：由图②可知：当点 到达点 时， 的面积为6，此时 的高为 ，
∴ 的面积 ，
解得 ①，
而从图②还可知： ②，
由②得： ③，
将③代入①，得： ，
解得： 或 ，
当 时， ，
当 时， ，
∵在矩形 中， ，
∴ ，
∴ ， ，
故选：D．
【点睛】本题考查的是动点问题的函数图象，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关
系，进而求解，也考查了矩形的性质以及解一元二次方程．
10．如图，在矩形 中， ， ，点E，F分别在边 上．连接 ，若
平分 ，四边形 是平行四边形，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点F作 于H， 的延长线于 的延长线交于T，连接 ，设 ，则
，证明四边形 为菱形，则 ，在 中由勾股定
理得 ，即 ，整理得 ，由此解出x即可得出答案．
【详解】解：过点F作 于H， 的延长线于 的延长线交于T，连接 ，如下图所示：设
∵四边形 为矩形， ，
∴ ，
∵四边形 为平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 为线段 的垂直平分线，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 为菱形，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，
即 ，整理得： ，
解得： ，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握矩形
的性质，平行四边形的性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造菱形，灵活运用勾股定理构造一元
二次方程是解决问题的难点．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．若a是一元二次方程 的一个根，则 的值是 ．
【答案】4
【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，整体思想的应用是本题的关键．
根据一元二次方程解的定义可得 ，再整体代入求代数式即可．
【详解】解：∵ 是一元二次方程 的一个根，
把 代入得， ．即 ．
∴ ．
故答案为：4．
12．关于 的一元二次方程 的根的判别式的值为24，则 ．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．掌握一元二次方程 的根的判别式为
是解题关键．根据一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 的根的判别式的值为24，
∴ ，
解得： ．
故答案为： ．
13．《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙
会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙
一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问
甲走的步数是 ．【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，设甲、乙两人相遇的时间为 ，则乙走了 步，
甲斜向北偏东方向走了 步，利用勾股定理即可得出关于 的一元二次方程，解之即可得出 值，将
其正值代入 中即可求出结论．
【详解】解：设甲、乙两人相遇的时间为 ，则乙走了 步，甲斜向北偏东方向走了 步，则
依题意得： ，
整理得： ，
解得： （不合题意，舍去），
∴ ．
故甲走的步数是 ．
故答案为： ．
14．定义新运算：规定 例如 若 则x的值为
．
【答案】 或
【详解】本题考查一元二次方程的解法，借助于定义的新运算把所给的条件转化成一元二次方程，解方程
即可求解．
【分析】解：由题意可得：
整理，得：
解得：
故答案为： 或 ．
15．如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第
个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍．【答案】12
【分析】本题主要考查了图形变化的规律、一元二次方程的应用等知识点，能根据所给图形发现“〇”和
“●”的个数变化规律是解题的关键．
根据所给图形，依次求出“〇”和“●”的个数，发现规律，再利用规律列出一元二次方程求解即可．
【详解】解：由所给图形可知，
第1个“小屋子”中图形“〇”的个数为： ，“●”的个数为： ；
第2个“小屋子”中图形“〇”的个数为： ，“●”的个数为： ；
第3个“小屋子”中图形“〇”的个数为： ，“●”的个数为： ；
第4个“小屋子”中图形“〇”的个数为： ，“●”的个数为： ；
…，
所以第n个“小屋子”中图形“〇”的个数为： ，“●”的个数为： ；
由题知 ，解得 ，
又n为正整数，则 ，即第12个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍．
故答案为：12．
16．如图，在平面直角坐标系中，点 点B在x轴正半轴上，且 ，则 的长是
．
【答案】 /
【分析】本题考查坐标与图形，勾股定理，设 ，勾股定理求出 ，过点 作 ，易得为等腰直角三角形，求出 的长，等积法列出方程进行求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
过点 作 ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
设 ，则： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： 或 （舍去），
∴ ；
故答案为： ．
三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
17．解方程：
(1) ；(2) ．
【答案】(1)
(2) ， ．
【分析】本题主要考查了用直接开平方法和公式法解一元二次方程．
（1）用直接开平方法，即可求解；
（2）利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解： ，
整理得： ，
即 ，
∴ ．
（2）
整理得： ，
，
∴ ，
∴ ， ．
18．已知关于x的方程 ．
(1)求证：不论a取任何实数，该方程总有两个不相等的实数根；
(2)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根．
【答案】(1)见解析
(2) ，该方程的另一个根
【分析】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况，以及一元二次方程的求解，熟记相关结论是解题关键．
（1）对于一元二次方程 ，若 ，则方程有两个不相等的实数根；若
，则方程有两个相等的实数根；若 ，则方程没有实数根．据此即可求解．
（2）将 代入方程即可求得 ，据此即可求解；
【详解】（1）解： ， ，
，
，
，
不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：将 代入方程得： ，
解得 ，
将 代入方程，整理可得： ，
即 ，
解得 或 ，
该方程的另一个根 ．
19．有一人患了红眼病，经过两轮传染后共有64人患病．
(1)每轮传染中平均一个人传染了几个人?
(2)若不及时控制，按这样的传染速度，三轮传染后患病的共有多少人？
【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了7个人
(2)三轮传染后患病的共有512人
【分析】本题考查根据实际问题列出一元二次方程，先用含有x的代数式计算出第一轮感染后的人数，再
在第一轮感染人数的基础上列出第二轮感染后的人数，列出等式，能够找到等量关系是解决本题的关键．（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得 ，解方程即可．
（2）根据题意，得 ．
【详解】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得 ，
解方程，得 （舍去），
答：每轮传染中平均一个人传染了7个人．
（2）根据题意，得 (人)
答：三轮传染后患病的共有512人．
20．禽流感病毒是一种传染速度比较快的传染性病毒，一般多发生在每年春、冬两季．如图，在出现禽流
感前，某农场主拟建了两间矩形饲养室，饲养室的一面靠墙，墙长 为 米，中间用一道墙隔开，并在
如图所示的二处各留 米宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长为 米．设 边
长为 米．
(1)用含 的代数式表示 的长；
(2)饲养室总占地面积可能为 平方米吗？若能，求出 的长；若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)饲养室总占地面积能为 平方米，此时 的长为 米
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，熟练运用矩形的面积公式建立方程是解题的关键．
（1）利用BC边长 可建围墙的总长 边长 ，可用含 的代数式表示 的长；
（2）根据饲养室总占地面积为 平方米，可列出关于 的一元二次方程，解之可得出 的值，结合墙长
为 米，即可确定结论．
【详解】（1）解：∵可建围墙（不包括门）的总长为 米，且 边长为 米，
∴ 边长为： ；
（2）根据题意得： ，
整理得： ，解得： ， ，
当 时， ，不符合题意，舍去；
当 时， ，符合题意．
答：饲养室总占地面积能为 平方米，此时 的长为 米．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．阅读以下材料：配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分
解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式 ；
再例如：求代数式 的最小值， ．可知当 时，
有最小值，最小值是 ．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)代数式 的最大值为________；
(2)已知： ， ，求代数式 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查因式分解的应用、非负数的性质、完全平方公式的应用，
（1）先配方，然后根据完全平方式的非负性求最大值即可；
（2）由完全平方公式可得 ，代入 可得 ，然后由完全
平方式的非负性可得 ， ，即可得解．
掌握非负数性质及完全平方公式是解题的关键，解题时要注意配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改
变式子的值．
【详解】（1）解：∵，
∴当 时， 有最大值，最大值为 ，
∴代数式 的最大值为 ，
故答案为： ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴代数式 的值为 ．
22．在平面直角坐标系 中，点 在直线 上．
(1)直线 与 轴的交点坐标为________；
(2)矩形 的顶点 分别 轴， 轴上．①当 ， 时，求矩形 的面积；
②若使矩形 的面积为4的点 恰好有4个，试求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)① ；② 且
【分析】（1）在 中，当 时， ，即可得出答案；
（2）①由题意得 ， ，先求出 ，结合矩形的性质即可得出答案；②分两种情况：
当 时；当 时，分别计算即可得出答案．
【详解】（1）解：在 中，当 时， ，
∴直线 与 轴的交点坐标为 ；
（2）解：由题意得： ， ，
将 代入 得： ，
解得： ，
∴ ，
如图所示：
，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴矩形 的面积为 ；
②当 时， ，此时矩形 的面积为4的点 只有两个；当 时，∵点 在直线 上，
∴ ，
∴ ，
∴矩形 的面积为 ，即 或 ，
∵矩形 的面积为4的点 恰好有4个，
∴ 或 ，
解得： ，
综上所述，若使矩形 的面积为4的点 恰好有4个， 的取值范围为 且 ．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题、矩形的性质、一元二次方程的应用，熟练掌握以上知
识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
23．2024年端午节小长假恰巧遇上高考，元祖食品店特别推出“冰淇淋粽”礼盒和“事事高中”礼盒．甲
公司从元祖店购买了这两种部分礼盒发给员工作为福利，甲公司采购人员发现，购买“事事高中”礼盒的
单价是“冰淇淋粽”礼盒单价的1.5倍，且花费6000元购买的“冰淇淋粽”礼盒的数量比花费7200元购
买的“事事高中”礼盒的数量多5盒．
(1)求“冰淇淋粽”和“事事高中”粽子礼盒的单价分别为多少元；
(2)两种粽子礼盒在市场上颇受欢迎，元祖食品店决定对这两种礼盒进行进一步促销．其中每盒“冰淇淋
粽”礼盒降价 元，每盒“事事高中”粽子礼盒降价 元．乙公司也决定购买以上两种礼盒发放给员工
作为福利，乙公司购买的“冰淇淋粽”礼盒的数量和甲公司购买的“冰淇淋粽”礼盒的数量一样，乙公司
购买“事事高中”礼盒的数量比甲公司购买“事事高中”礼盒的数量多 盒，最后乙公司的总花费与甲
公司的总花费相同，求m的值．
【答案】(1)“冰淇淋粽”粽子礼盒的单价为240元，“事事高中”粽子礼盒的单价为360元
(2)12
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是：
（1）设“冰淇淋粽”粽子礼盒的单价为x元，则“事事高中”粽子礼盒的单价为 元，根据“花费
6000元购买的“冰淇淋粽”礼盒的数量比花费7200元购买的“事事高中”礼盒的数量多5盒”列方程求
解即可；
（2）根据“乙公司的总花费与甲公司的总花费相同”列方程求解即可．【详解】（1）解∶ 设“冰淇淋粽”粽子礼盒的单价为x元，则“事事高中”粽子礼盒的单价为 元，
根据题意，得 ，
解得 ，
经检验， 是原方程的解，
∴ ，
答：“冰淇淋粽”粽子礼盒的单价为240元，“事事高中”粽子礼盒的单价为360元；
（2）解：由（1）知：甲公司购买“冰淇淋粽”粽子礼盒 盒，“事事高中”粽子礼盒
元，
根据题意，得 ，
整理得
解得 或 （舍去），
∴m的值为12．
五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
24．博物馆是一座城市重要的公共文化窗口，“博物馆热”背后是人们对精神文化多样化的需求、对中华
优秀传统文化的认同．潼南博物馆位于潼南区大佛街道石碾社区，毗邻潼南大佛景区．馆内设有恐龙、历
史文化、石刻文化、建筑文化、人文文化 大展厅．是了解潼南历史的新窗口．一学习小组计划利用周末
到潼南博物馆参观学习．
(1)为达到更佳的参观学习效果，他们原计划花 元请私家讲解人员，后又临时增加 名同学，实际的团
费虽然增加了 元，但实际的人均费用比原来的人均费用少了 元，求该学习小组实际参观博物馆的同学
人数；
(2)该博物馆的步行参观路线全长 米，分为“亚洲最大恐龙展区”“潼南历史、石刻、建筑、人文展
区”两个部分，参观“亚洲最大恐龙展区”部分的平均速度是 米每分钟，若“亚洲最大恐龙展区”的步
行路线长 米，加上周末参观人数多，在“亚洲最大恐龙展区”部分需排队 分钟，若小组整个参观学
习过程计划最多花费 小时，求“潼南历史、石刻、建筑、人文展区”部分参观路线的速度最少为多少
米每分钟？
【答案】(1)该学习小组实际参观博物馆的同学人数为 人；
(2)“潼南历史、石刻、建筑、人文展区”部分参观路线的速度最少为 米 分钟．【分析】（ ）设该学习小组实际参观博物馆的同学人数为 人，则原计划参观博物馆的同学人数为
人，根据题意得出关于 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（ ）设“潼南历史、石刻、建筑、人文展区”部分参观路线的速度为 米 分钟，
根据题意得出关于 的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论；
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式应用，解题的关键读懂题意列出方程和不等式．
【详解】（1）设该学习小组实际参观博物馆的同学人数为 人，则原计划参观博物馆的同学人数为
人，
根据题意得： ，整理得： ，
解得： ， ，
经检验， ， ，均是所列方程的解，
∴ 符合题意， 不符合题意，舍去，
答：该学习小组实际参观博物馆的同学人数为 人；
（2）设“潼南历史、石刻、建筑、人文展区”部分参观路线的速度为 米 分钟，
根据题意得： ，
解得： ，
答：“潼南历史、石刻、建筑、人文展区”部分参观路线的速度最少为 米 分钟．
25．已知 是等腰直角三角形， ．
(1)当 时，
①如图①，将直角的顶点D放至 的中点处，与两条直角边分别交 于点E、F，请说明 为
等腰直角三角形；
②如图②，将直角顶点D放至 边的某处，与 另两边的交点分别为点E、F，若 为等腰直角三角形且面积为4，求 的长．
(2)若等腰直角 三个顶点分别在等腰直角 的三边上，等腰直角 的直角边长为1时，求等
腰直角 的直角边长的最大值．
【答案】(1)①见解析；②2或
(2)
【分析】（1）①过点D作 于G， 于 H， 连接 ． 是等腰直角三角形，点
是 的中点，可得 ， ， ， ，
由“ ”可证 ，可得 ，即可求解；
②过点 F作 于 N．由“ ”可证 ，可得 ，设 ， 则
．根据勾股定理得 再列出方程即可求解；
（2）当点 在 上时，当C、Q、D共线时， 最长，当D在直角边上，过点E分别作 于点
E， 于H．设 ．则 即可求解．
【详解】（1）① 如图， 过点D作 于G， 于 H， 连接 ．
是等腰直角三角形， ，点 是 的中点，
， ， ，
， ，
，
，
，
，
，又 ，
，
，
是等腰直角三角形；
② 如图， 过点 F作 于 N．
∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵
∴ ，
∴ ．
设 ， 则 ．
，，
或
∴ 或 ，
（2）设等腰 的直角顶点为 D，
若 D 在 上， 如图3．
取 的中点Q， 连接 ， 则
∵ 是直角边长为1的等腰直角三角形( )．
∴当C、Q、D共线时， 最长， 则
∴在等腰 中， 当 时， 的长最大．
最大为2．
若D在直角边上， 如图4， 过点E分别作 于点E， 于H．由 知
设 ．
则
解得
当s取最大值时，
∴ 的最大值为 ．
综上， 的最大值为 ．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的
性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
