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21.2.1 配方法解一元二次方程 教学设计
课题 21.2.1配方法解一元二次 单元 第21章 学科 数学 年级 九年级
方程
1.初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如“x2=p 或
(mx+n)2=p(p≥0)”的方程.
学习
2.会对一元二次方程进行配方，掌握用配方法解一元二次方程.
目标
重点 掌握用直接开平方法和配方法解一元二次方程.
难点 掌握用直接开平方法和配方法解一元二次方程.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 复习回顾：1.若 x2=a(a ≥0),则x= 学生回忆、思 回顾平方根的
考并回答问题 定义和完全平方
2. 任何数都有平方根吗？
公式，为下面的
正数有两个平方根，它们互为相反数；
直接开平方法奠
0的平方根是0；
定基础.
负数没有平方根
3. 完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2
讲授新课 环节一：问题导入 学生思考，同 初步培养学生利
思考：问题：一桶油漆可刷的面积为 桌交流，根据 用平方根解决简
1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正 平方根的定义 单计算问题.
方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的 解答问题.
棱长吗？
解：设其中一个盒子的棱长为x dm，则这个
盒子的表面积为6x2dm2
由题意得10×6x2=1500
整理得x2=25
解得x=±5
即x=5，x=－5
1 2
因棱长不能是负值，所以盒子的棱长为5dm．
注意：用方程解决实际问题时，要考虑所得
结果是否符合实际意义.
小结：一般地，对于方程 x2 = p， （Ⅰ）
（1）当p>0时，根据平方根的意义，方程（Ⅰ）
有两个不等的实数根；
（2）当p=0时，方程（Ⅰ）有两个相等的实数根.（3）当 p<0 时，因为对任何实数 x，都有
x2≥0 ，所以方程（Ⅰ）无实数根.
像这样，利用平方根的定义,直接开平方求一元二
次方程的根的方法叫做直接开平方法.
借助典型例 培养学生计算能
环节二：典例解析
题,展示直接 力以及不同的方
例 利用直接开平方法解下列方程:
开平方法解一 程选择不同的方
(1)x2-900=0 (2)(x-1)2-4 = 0
元二次方程的 法进行求解.
(3)3(x-1)2-6=0 (4) x2-4x+4=5
步骤，并进行
解：(1)x2-900=0
总结，为下面
移项，得x2=900
讲解配方法奠
直接开平方，得x=±30
定基础.
∴ x=30, x = -30.
1 2
(2)(x-1)2-4 = 0
移项，得(x-1)2=4
直接开平方，得x-1=±2
∴ x=3， x= -1.
1 2
(3)3(x-1)2-6=0
移项，得3(x-1)2=6
二次项系数化1，得(x-1)2=2
直接开平方，得x-1=±
∴ x= , x=
1 2
(4) x2-4x+4=5
整理得，(x-2)2=5
直接开平方，得x-2=±
∴x= +2, x= - +2
1 2
小结：直接开平方法解一元二次方程的步骤：
1.变形（x2 = p或(mx+n)2 = p）
2.直接开平方（基本思想：降次）
3.求解
思考：怎样将下面式子配成完全平方式？
(1) x2+2x+1=(x+1)2
(2) x2- 4x+22 =(x-2)2
(3) x2+5x+ =(x+ )2
(4) x2-11 x+ =(x- )2(5) x2+ x+ =(x+ )2
(6) x2- x+ =(x- )2
思考：一次项系数与常数项之间存在怎样的关系
呢？
常数项等于一次项系数一半的平方，这样的三项
可以配成完全平方式.
思考：怎样解方程x2+6x+4=0？
x2+6x+4=0
移项 x2+6x=-4
配方 x2+6x+9=-4+9
(x+3)2=5
x+3=
像上面那样，通过配成完全平方形式来解一
元二次方程的方法，叫做配方法。可以看出，配
方是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个
一元二次方程来解.
例1 用配方法解下列方程
(1)x2-8x+1=0
(2)2x2+1=3x
(3)3x2-6x+4=0
解：(1)移项，得x2-8x=-1
配方，得x2-8x+42=-1+42
(x-4)2=15
(2)移项，得2x2-3x=-1
二次项系数化1，得
配方，得(3)移项，得3x2-6x=-4
二次项系数化1，得
配方，得
∴ 原方程无实数根.
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成
(x+n)2 = p， （Ⅱ）
的形式，那么就有：
（1）当p>0时，方程（Ⅱ）有两个不等的实数根
（2）当p=0时，方程（Ⅱ）有两个相等的实数根
x=x = -n.
1 2
（3）当p<0时，因为对任何实数x，都有(x+n)2≥0
学生练习，师 通过解方程，让
，所以方程（Ⅱ）无实数根. 生互评订正. 学生熟练掌握直
小结：配方法解一元二次方程的步骤： 接开平方法和配
1.移项 方法，并会恰当
2.二次项系数化1 地选择方法.
3.配方
4.直接开平方
5.求解
环节三：课堂练习
1.利用直接开平方法解下列方程:
(1)2x2-8=0 (2)(x+6)2-9 = 0
(3)5(x-7)2=10 (4) x2+6x+9=12
(5)9x2+5=1 (6) 5(x-7)2=125(x+2)2
解：(1)2x2-8=0
移项，得2x2=8
二次项系数化1，得x2=4
直接开平方，得x=±2
∴ x =2, x = -2.
1 2
(2) (x+6)2-9 = 0移项，得(x+6)2=9
直接开平方，得x+6=±3
∴ x= -3，x=-9.
1 2
(3)5(x-7)2=10
二次项系数化1，得(x-7)2=2
直接开平方，得x-7=±
∴ x= , x = .
1 2
(4)x2+6x+9=12
整理得，(x+3)2=12
直接开平方，得x+3=±
∴x= , x =
1 2
(5)9x2+5=1
移项，得9x2= -4
二次项系数化1，得x2=
∴ 方程无解.
(6) 5(x-7)2=125(x+2)2
整理得，(x-7)2=25(x+2)2
直接开平方，得 x-7=±5(x+2)
∴x= ，x=
1 2
2.填空:
(1) x2+10x+25=(x+5)2
(2) x2- 12 x+36=(x-6)2
(3) x2+ x+ =(x+ )2
(4) x2- x+ =(x- )2
3.利用配方法解下列方程:
(1) x2+10x+9=0
(2) 4x2 -6x+3=0
(3) x2+4x-9=2x-11
解：(1)移项，得x2+10x= -9
配方，得x2+10x+52= -9+52
(x+5)2=16
x+5=±4
x= -1 , x= -9
1 2(2)移项，得4x2 -6x= -3
二次项系数化1，得
配方，得
∴ 原方程无实数根.
(3)移项，得x2+4x-2x=-11+9
合并同类项，得x2+2x=-2
配方，得x2+2x+1=-2+1
(x+1)2= -1
∴ 原方程无实数根.
4.把方程2x2＋6x－1＝0配方后得(x＋m)2＝k，则m
＝ ，k＝ ．
5.式子－x2－8x－15，可配方为－(x＋ 4 )2 + 1 ,
该式有最 大 值，是 1 ．
6．试证明：不论x、y为何实数，代数式
x2+2y2+2xy-4y+6的值不小于2.
证 明 ： x2+2y2+2xy-4y+6=x2+y2+2xy+y2-4y+6 ＝
x2+y2+2xy+y2-4y+4+2=(x+y)2+(y-2)2+2
∵(x+y)2≥0，(y-2)2≥0
∴代数式x2+2y2+2xy-4y+6的值不小于2.
课堂小结 师生共同梳理 强化本节课的知
直接开平方法
本节课的知识 识点.
点.
移项
板书 21.2.1 配方法解一元二次方程 教师展示本节 展示本节课的内
直接开平方法： 例题 练习 课的内容. 容.
配方法： 例题 练习
配
方
法
解 二次项系数化1
一
元
配方法 配方
二
次
直接开平方
方
程
求解
