文档内容
分课时教学设计
第二课时《配方法解一元二次方程》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型，应用比较广泛，而从实际问
题中抽象出方程，并求出方程的解是解决问题的关键。配方法既是解一元二次方程
的一种重要方法，同时也是推导公式法的基础。配方法又是初中数学的重要内容，
在二次根式、代数式的变形及二次函数中都有广泛应用。
学习者分析 学生会解一元一次方程，了解平方根的概念、平方根的性质以及完全平方公式，并
刚刚学习了一元二次方程的概念和直接开平方法解一元二次方程。学生在之前的学
习中已经学习过“转化”"整体”等数学思想方法，具备了学习本课时内容的较好
基础学生活动经验基础。
教学目标 1.掌握直接开平方法和配方法解一元二次方程的依据。
2.熟练掌握配方法解一元二次方程的一般步骤，并能正确配方及求解。
3. 通过小组合作交流，让学生经历分析问题、评价问题、解决问题的过程，培养
学生的数学素养。
教学重点 理解配方法的基本思想，会用配方法解一元二次方程。
教学难点 配方的步骤。
学习活动设计
教师活动 学生活动
环节一：引入新课
教师活动1： 学生活动1：
出示问题：
一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用
这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的 学生思考，独立完成，
盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗
设正方体盒子的棱长为 x dm，则一个正方体的表面积
教师板演。针对求得的结果，教师需提示学
为 6x2 dm2，
生：用方程解决实际问题时，要考虑所求得结
果在实际问题是否有意义。 10×6x2=1500 ①
整理，得x2=25
根据平方根的意义，得x=±5,即x=5, x=﹣5
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因为棱长不能是负值，所以盒子的棱长为5 dm
活动意图说明：
利用现实生活中实例，让学生通过观察思考，感受列方程并求解的过程，体会生活中处处有数学，
引起学生的探究欲望和学习兴趣，从而引出本节课所学内容。
环节二：新知探究
教师活动2： 学生活动2：
解下列方程，并说明你所用的方法，与同 学生思考，独立完成
伴交流.
(1)解:根据平方根的意义，得
(1) x2=81
x=9, x=-9.
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(2) x2=0(3) x2+16=0 (2) 解:根据平方根的意义，得
x=x=0.
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(3) 解:根据平方根的意义，得x2=-16,
因为负数没有平方根，所以原方程无解.
活动意图说明：通过解方程，让学生发现方程的根不同的情况，从而引发进一步思考
环节三：新知探究
教师活动3： 学生活动3：
一般地，对于方程x2＝p ①， 先由学生回答，老师帮助引导与完善，最后给出
1)当p＞0时，根据平方根的意义，方程 具体答案
① 有 两 个 ____________ 的 实 数 根
答案：1）不相等、x ＝-√p , x ＝ √p；2）相等、
______________________； 1 2
＝x ＝0；3）≥、无
2
2)当p＝0时，方程①有两个______的实
数根_____________；
3)当p＜0时，因为对于任意实数x，都
有x2____0，所以方程① _______实数根。
活动意图说明：让学生经历观察、发现、归纳等过程，结合平方根的意义，理解如何通过直接开平方法
解一元二次方程，培养学生通过观察，归纳总结的能力。
环节四：新知讲解
教师活动4： 学生活动4：
【问题】尝试解(x＋3)2＝5 让学生积极回答问题，课堂上允许学生有不同的
师：我们刚才尝试求解形如x2=p（p≥0） 见解，调动学生学习数学的兴趣。由教师给出数学转
的式子，如何求解形如(x＋a)2＝p（p≥0）的
化思想的内容
式子。
转化思想内容：针对未知的、陌生的、复
杂的问题，通过已知的、熟悉的知识将它转化
为简单的问题，并尝试解决它。
师：要想解决问题，可以先将形如(x＋
a)2＝p（p≥0）的式子转化为形如 x2=p
（p≥0）的式子。 先让学生以小组为单位积极讨论，再由学生代表给出
答案。
求解过程：令x+3=a，则原式变形为： a2=5，整理，
得a=±√5
即x =√5-3，x =-√5-3 方程(x+3) 2=5的两个根
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【提问】你觉得解方程(x＋3)2＝5的实质 为x =√5-3，x =-√5-3
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是什么？
将一个一元二次方程“降次”为两个一元
一次方程，这样我们就可以通过解一元一次方 让学生积极回答问题，课堂上允许学生有不同的见解，
程来求一元二次方程的解。教师引导与纠正，最后得到答案
活动意图说明：通过将解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程转化为解形如x2＝p(p≥0)的方程，提高学生
转化的能力，从而完成新知识的学习。
环节五：典例精析
教师活动5： 学生活动5：
出示例题 先由学生回答，最后给出具体答案
例、 解下列方程： （1） ∵x+1是2的平方根，
⑴ （x＋1）2= 2 ； ∴x+1=±√2
（2）（x－1）2－4 = 0；
即x=-1+√2，x=-1-√2
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（2）移项，得（x-1）2=4.
∵x-1是4的平方根，
∴x-1=±2.
即x=3，x=-1.
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活动意图说明：通过例题，加深学生理解通过直接开平方解一元二次方程的方法，使学生牢固的
掌握本节课所学内容，为后续学习通过其它方法解一元二次方程打基础。
环节六：探究新知
教师活动6： 学生活动6：
学生思考，积极回答，以小组为单位，通过探讨解方程
怎样解方程: x2+6x+4=0
教师引导与总结，最后得出方法为：
将x2+6x=-4转化为(x＋n)2＝p的形式。
师：尝试用自己的语言描述配方法的概
念。 先由学生尝试归纳总结，再由教师给出配方法的概念
将方程通过配成完全平方形式来解一元二
次方程的方法，叫做配方法。配方是为了降
次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次
方程来解。
用配方法解一元二次方程的关键：将一元
二次方程配成完全平方形式。
【提问】简述通过配方法解一元二次方程
的步骤。 学生尝试归纳总结
①移项
②左边配成完全平方式；
③左边写成完全平方形式；
④降次；
⑤解一次方程.
活动意图说明：将学生放置在实际问题的背景下，激发学生的主动性和求知欲。本题数量关系较
简单，学生很容易列出相应的方程。但通过观察方程结构，暂时无法求解，让学生感受到问题的存在。再通过提问环节，引导学生初步思考、回顾已有的知识，主动参与到本节课的学习中来。
环节七：典例精析
教师活动7： 学生活动7：
请学生板演，然后师生共同纠错，同时引导学生每一
例、解下列一元二次方程:
步的计算依据。
1）x2﹣8x+1=0
2） 2x2+1=3x
3） 3x2﹣6x+4=0
活动意图说明：通过配套练习，使学生加强对二次项系数不为1，配方后方程无意义等问题的理解
和解决方法。把研究的对象从具体数字抽象到字母表示的数字，体现从特殊到一般，从具体到
抽象的思维过程，巩固对配方法的认识，同时为后续学习用配方法推导求根公式做铺垫。
环节八：归纳总结
教师活动8： 学生活动8：
出示问题 学生回答，老师帮助引导与完善
一般地，如果一个一元二次方程通过配方
转化成(x＋n)2＝p ①
1）不相等、x ＝﹣n﹣√p，x ＝﹣n+ √p
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的形式，那么就有：
2）相等、x ＝x ＝-n；3）≥、无
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1)当p＞0时，根据平方根的意义，方程
① 有 两 个 ________________ 的 实 数 根
______________________ ；
2) 当 p ＝ 0 时 ， 方 程 ① 有 两 个
________________ 的 实 数 根
______________________；
3)当p＜0时，因为对于任意实数x，都
有(x＋n)2____0，所以方程①_______实数
根。
活动意图说明：让学生经历观察、发现、归纳等过程，结合平方根的意义，理解如何通过配方法
解一元二次方程，培养学生通过观察，归纳总结的能力。
板书设计 1.直接开平方法
2.配方的依据：
3.配方法解一元二次方程的步骤
课堂练习 【知识技能类作业】
必做题：
1. 一元二次方程(x+6) 2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程
是x+6=4，则另一个一元一次方程是（ ）
A．x-6=-4 B． x-6=4 C． x+6=4 D． x+6=-4
2.用配方法解方程2x2-x-1=0，变形结果正确的是（ ）
1 3 1 3 1 17 1 9
A．(x- ) 2= B．(x- ) 2= C．(x- ) 2= D．(x- ) 2=
2 4 4 4 4 16 4 16
3．已知关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+a2-1=0有一个根为x=0，则a=______．
4.用配方法解一元二次方程3x2+6x-1=0时，将它化为(x+a) 2=b的形式，则
a+b的值为 .
选做题：
5．解方程：(2x+3) 2=(3x+2) 2
6.已知：a是不等式5(a-2)+8<6(a-1)+7的最小整数解，请用配方法解关于x的方程
x2+2ax+a+1=0．
【综合拓展类作业】
7.根据要求，解答下列问题．
（1）根据要求，解答下列问题．
①方程x2－2x＋1＝0的解为________________________；
②方程x2－3x＋2＝0的解为________________________；
③方程x2－4x＋3＝0的解为________________________；…… ……
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2－9x＋8＝0的解为________________________；
②关于x的方程________________________的解为x＝1，x＝n．
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（3）请用配方法解方程x2－9x＋8＝0，以验证猜想结论的正确性．
课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】
必做题：
1．将方程x2＋4x＝5左边配方成完全平方式，右边的常数应该是( )
A．9 B．6 C．4 D．1
2．若x2－6x＋m2是一个完全平方式，则m的值是( )
A．3 B．－3
C．±3 D．以上都不对
选做题：
3.解方程：
（1）x2+4x-9=2x-11； （2）x(x+4)=8x+12；
（3） 3x2+6x-9=0.
【综合拓展类作业】
4．能否存在一个实数x，使得x满足下列条件：①x＋1＜3x－3；②3x－12＜2x－8；③代数式x2－2x的值为4.
若存在，请你求出这个x的值；若不存在，请说明理由．
教学反思 在上课的过程中，结构虽然紧凑，但是安排的内容相对较多。所以，在教完之后我
就思考，这节课应该把它分为三个课时来讲。第一课时引导学生通过转化得到解一
元二次方程的配方法，第二课时利用配方法解数字系数的一般一元二次方程，第三
课时通过实际问题的解决，培养学生数学应用的意识和能力，同时又进一步训练用
配方法解题的技能。
当然让学生掌握配方是教学过程的重中之重。配方的对象是含有未知数的二次
三项式，其理论依据是完全平方式，配方的方法是通过添项：加上一次项系数一半
的平方构成完全平方式，对学生来说，要理解和掌握它，确实感到困难，因此在教
学过程中及课后批改中发现学生出现以下几个问题：
1.在利用添项来使等式左边配成一个完全平方公式时，等式的右边忘了加。
2.在开平方这一步骤中，学生要么只有正、没有负的，要么右边忘了开方。
3.当一元二次方程有二次项的系数不为1时，在添项这一步骤时，没有将系数
化为1，就直接加上一次项系数一半的平方。
因此，要纠正以上错误，必须让学生多进行练习、演板、当场讲评等学习活动。这
样一来，不仅发挥了学生的主动能动性，调动了积极性，而且还起到了巩固作用。
