FY24暑假初三A12B09二次函数的顶点式与一般式学生版_初中资料合集_2025年秋初中《789年级暑假数学讲义》含6升7衔接（学生+教师版）上海专版_初三_志高_学生版PDF

A12/B09 二次函数的顶点式与一般式 考情链接 1. 本次任务由两个部分构成 （1）二次函数的顶点式 （2）二次函数的一般式 2. 考情分析 （1）二次函数的顶点式和一般式，属于图形与几何部分，占中考考分值约15%. （2）二次函数的顶点式和一般式，以选择和填空题为主，会与相似结合在解答题中进行考 察. （3）对应教材：初三上册，第二十六章：二次函数，26.1二次函数的概念 26.3二次函数 1 y = a x 2 + b x + c 的图像. （4）本讲首先讲解二次函数的顶点式和一般式，二次函数 y = a x 2 + b x + c 的图像的研究， 需要利用配方法的方式对 a x 2 + b x + c 进行变形，从而利用 y = a ( x + m ) 2 + k 的图像特征研 究 y = a x 2 + b x + c 的图像特征，继而掌握a、b、c与二次函数图像的对称轴和顶点的联系．知识加油站 1——二次函数的顶点式 考点一：二次函数 2 y = a ( x + m ) 2 + k 的平移 知识笔记 1 二次函数 y = a ( x + m ) 2 + k 的平移 二次函数 y = a ( x + m ) 2 + k （其中a、m、k是常数，且 a  0 ）的图像可以通过将抛物线y=ax2 进行两次平移得到: ______________________________________________________________________________. 例题1: （1）（2023•长宁区一模）将抛物线 y = − x 2 + 4 向右平移 1 个单位，那么所得新抛物线的表 达式为 ( ) A． y = − ( x − 1 ) 2 + 4 B．y=−(x+1)2 +4 C． y = − x 2 + 5 D． y = − x 2 + 3 （2）（2023•徐汇区一模）将抛物线 y = − 1 2 x 2 经过下列平移能得到抛物线 y = − 1 2 ( x + 1 ) 2 − 3 的是( ) A．向右平移1个单位，向下平移3个单位 B．向左平移1个单位，向下平移3个单位 C．向右平移1个单位，向上平移3个单位 D．向左平移1个单位，向上平移3个单位 练习1: （1）（2023•青浦区一模）将抛物线y= x2向左平移1个单位后的抛物线表达式为_________． （2）（2023•虹口区一模）在平面直角坐标系 x O y 中，将抛物线 y = x 2 + 2 x 沿着y轴向下平移 2个单位，所得到的新抛物线的表达式为___________．考点二：二次函数 3 y = a ( x + m ) 2 + k 的性质 知识笔记2 二次函数 y = a ( x + m ) 2 + k 的性质 抛物线 y = a ( x + m ) 2 + k 对称轴是___________； 抛物线的顶点坐标是___________； 当___________时，开口向上，顶点是抛物线的最低点； 当___________时，开口向下，顶点是抛物线的最高点． 例题2: （1）二次函数 y = a ( x + m ) 2 + k 的图象如图所示，下列四个选项中，正确的是 ( ) A． m  0 ， k  0 B． m  0 ， k  0 C． m  0 ， k  0 D． m  0 ， k  0 （2）（2023•虹口区期末）如果点 A ( 2 ,1 ) 在抛物线 y = ( x − 1 ) 2 + m 上，那么 m 的值是 ． （3）（2024•浦东新区二模）沿着x轴的正方向看，如果抛物线y=(k−1)x2 +1在y轴左侧的 部分是上升的，那么 k 的取值范围是 ． （4）（2022•浦东新区三林中学期末）若点 A ( − 3 , y 1 ) 、 B ( 0 , y 2 ) 是二次函数 y = − 2 ( x − 1 ) 2 + 3 图 象上的两点，那么 y 1 与 y 2 的大小关系是_________（填 y 1  y 2 、 y 1 = y 2 或 y 1  y 2 ) ． 练习2: 3 3 （1）（2020•徐汇区期末）已知二次函数y=a(x+ )2 −1的图象在直线x=− 的左侧部分是 2 2 下降的，那么a的取值范围是 ．（2）（2020•宝山区二模）若抛物线y=(x−m)2 +(m+1)的顶点在第二象限，则 4 m 的取值范 围为 ． （3）（2022•杨浦区一模）若点 A ( − 3 , y 1 ) 、 B ( 0 , y 2 ) 是二次函数 y = 2 ( x − 1 ) 2 − 1 图象上的两点， 那么 y 1 与 y 2 的大小关系是_______（填 y 1  y 2 、 y 1 = y 2 或 y 1  y 2 ) ． （4）（2023•虹口区期末）已知抛物线 y = (1 − a ) x 2 + 3 开口向下，那么a的取值范围是 ． 例题3: （1）（2020•普陀区中远实验期中）将抛物线 y = 2 x 2 先向下平移 3 个单位，再向右平移 m(m0)个单位，所得新抛物线经过点(1,5)，求新抛物线的表达式及新抛物线与y轴交点的 坐标． （2）（2023•金山区一模）如图，已知抛物线y=a(x−2)2 −4(a0)与x轴交于原点 O 与点A， 顶点为点B． ① 求抛物线的表达式以及点A的坐标； ② 已知点 P ( 2 ， m ) ( m  0 ) ，若PAB的面积为6，求点 P 的坐标．练习3: （1）将抛物线 5 y = 1 2 x 2 先向上平移2个单位，再向左平移 m ( m  0 ) 个单位，所得新抛物线经 过点 ( − 1 , 4 ) ，求新抛物线的表达式及新抛物线与y轴交点的坐标． （2）如图，已知二次函数 y = ( x + m ) 2 + k 的图像经过x轴上的点A（1，0）和点B（3，0）， 且与y轴相交于点C．求此二次函数的解析式及顶点P的坐标. y C O A B x P知识加油站 2 二次函数的一般式 考点三：二次函数一般式的平移 知识笔记3 二次函数 6 y = a x 2 + b x + c 1. 二次函数 y = a x 2 + b x + c 的图像称为抛物线 y = a x 2 + b x + c ，这个函数的解析式就是这 条抛物线的表达式． 2. 任意一个二次函数 y = a x 2 + b x + c （其中a、b、c是常数，且a0）都可以运用配方 法，把它的解析式化为 y = a ( x + m ) 2 + k 的形式． 对 y = a x 2 + b x + c 配方得：_____________________． 由此可知： 抛物线 y = a x 2 + b x + c （其中a、b、c是常数，且a0）的对称轴是直线 x = − b 2 a ， 顶点坐标是__________________， 例题4: （1）如果将抛物线 y = x 2 − 2 平移，使平移后的抛物线与抛物线 y = x 2 − 8 x + 9 重合，那么它 平移的过程可以是( ) A．向右平移4个单位，向上平移11个单位 B．向左平移4个单位，向上平移11个单位 C．向左平移4个单位，向上平移5个单位 D．向右平移4个单位，向下平移5个单位（2）已知抛物线c:y=x2 +2x−3，将抛物线 7 c 平移得到抛物线c，如果两条抛物线，关于 直线 x = 1 对称，那么下列说法正确的是 ( ) A．将抛物线 c 沿 x 轴向右平移 5 2 个单位得到抛物线 c  B．将抛物线 c 沿 x 轴向右平移4个单位得到抛物线 c  C．将抛物线 c 沿 x 轴向右平移 7 2 个单位得到抛物线 c  D．将抛物线c沿x轴向右平移6个单位得到抛物线 c  练习4: （1）（2020•金山区期末）如果将抛物线 y = x 2 + 4 x + 1 平移，使它与抛物线 y = x 2 + 1 重合， 那么平移的方式可以是 ( ) A．向左平移 2个单位，向上平移 4个单位 B．向左平移 2个单位，向下平移 4个单位 C．向右平移 2个单位，向上平移 4个单位 D．向右平移 2个单位，向下平移 4个单位 （2）用配方法把下列函数解析式化为 y = a ( x + m ) 2 + k 的形式，并指出每个函数图像的开口 方向、对称轴和顶点坐标． ① y = 2 x 2 + 4 x + 5 ； ② y = 1 − 3 x − 2 x 2 ．考点四：二次函数一般式的性质 知识笔记4 二次函数 8 y = a x 2 + b x + c 的性质 当a0时，抛物线 y = a x 2 + b x + c 开口向上，顶点是抛物线的最低点，抛物线在对称轴（即 直线 x = − b 2 a ）左侧的部分是___________的，在对称轴右侧的部分是___________的； 当a0时，抛物线 y = a x 2 + b x + c 开口向下，顶点是抛物线的最高点，抛物线在对称轴（即 直线 x = − b 2 a ）左侧的部分是___________的，在对称轴右侧的部分是___________的． 例题5: （1）（2023•徐汇区一模）已知点 A ( − 3 , m ) 、B(−2,n)在抛物线y=−x2 −2x+4上，则 m ____ n （填“  ”、“ =”或“  ” ) ． （2）（2023•长宁区一模）已知抛物线y=ax2 −2ax+2(a0)经过点(−1,y )，(2,y )，试比较 1 2 y 1 和 y 2 的大小： y 1 _____ y 2 （填“  ”，“  ”或“ = ” ) ． （3）（2023•长宁区期末）二次函数 f(x)=ax2 +bx+c图象上部分点的坐标满足下表：那么 f ( − 5 ) = ． x  −3 − 2 − 1 0 1  f(x)  − 3 − 2 − 3 −6 −11 （4）已知二次函数y=ax2 +bx+c的图象如图所示，其对称轴为直线x=1，现有下列结论： ① 9 b − 2 a = 0 ；② a + b  n ( a n + b ) ( n  1 ) ；③2c3b；④ b 2 − 4 a 2  4 a c ．其中正确的结论是 _________（填序号）． （5）二次函数 y = a x 2 + b x + c ( a  0 ) 的图象如图所示，其对称轴为直线 x = − 1 ，下列结论： ① a b c  0 ；②b2 4ac ；③ 4 a − 2 b + c  0 ；④ 2 a = b ；⑤ 3 a + c  0 ．其中，正确的是 ___________ 练习5: （1）（2022•青浦区青浦一中期末）已知点 A ( 0 , y 1 ) 、 B ( − 1 , y 2 ) 在抛物线y=x2 −2x+c(c为常 数）上，则 y 1 ____ y 2 （填“  ”、“ = ”或“  ” ) ． （2）（2022•普陀区曹杨二中期中）已知抛物线 y = x 2 − 4 x + c 经过点 A ( − 1 , y 1 ) 和 B (1 , y 2 ) ，比 较 y 1 与y 的大小： 2 y 1 ____y （选择“ 2  ”或“”或“=”填入空格）． （3）（2023•普陀区期末）已知二次函数 y = x 2 + 3 x + m − 2 的图象与 y 轴的交点在正半轴上， 那么m的取值范围是 ．（4）已知二次函数y=ax2 +bx+c(a0)的图象如图所示．则有以下5个结论：① 10 a b c  0 ； ② b 2  4 a c ；③ b = − 2 a ；④ a − b + c  0 ；⑤对于任意实数m，总有 a m 2 + b m a + b ．其中正 确的结论是________．（填序号） （5）如图，二次函数 y = a x 2 + b x + c 的对称轴为 x = 1 ，给出下列结论：①abc0； ② 4 a + 2 b + c  0 ；③3a+c0；④ a + b  a m 2 + b m ( m 为任意实数）．其中错误的序号是 ________．例题6: （2023•黄浦区期末）已知抛物线 11 y = x 2 + 2 x + 3 的顶点为 A ，它与 y 轴的交点为 B ． （1）求线段 A B 的长； （2）平移该抛物线，使其顶点在 y 轴上，且与 x 轴两交点间的距离为4，求平移后所得抛物 线的表达式． 练习6: （2022•青浦区校级月考）已知抛物线y=x2 +mx+3的对称轴为 x = − 2 ． （1）求m的值； （2）如果将此抛物线向右平移5个单位后，求所得抛物线与 x 轴的交点坐标．全真战场 关卡一 练习1: （1）（2020 •崇明区一模）函数 12 y = 2 x 2 + 4 x − 5 的图象与 y 轴的交点的坐标为_______． （2）（2020•奉贤区一模）如果二次函数y=mx2 +2x+m−1的图象经过点 P (1 , 2 ) ，那么 m 的值为_______． 练习2: （1）（2020•静安区一模）将抛物线y=2(x+1)2 −3平移后与抛物线 y = 2 x 2 重合，那么平移 的方法可以是 ( ) A．向右平移1个单位，再向上平移3个单位 B．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 C．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 D．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 （2）（2020•崇明区一模）如果将抛物线 y = ( x − 1 ) 2 先向左平移2个单位，再向上平移1个 单位，那么所得的新抛物线的解析式为 ．练习3: （2020•宝山区一模）如图所示是二次函数 13 y = a x 2 + b x + c ( a  0 ) 图象的一部分，那么下列说 法中不正确的是 ( ) A． a c  0 B．抛物线的对称轴为直线 x = 1 C． a − b + c = 0 D．点 ( − 2 , y 1 ) 和 ( 2 , y 2 ) 在抛物线上，则 y 1  y 2 练习4: 二次函数 y = a x 2 + b x + c 的部分对应值如下表： x … − 2 − 1 0 1 2 3 … y … − 6 1 2 −4 − 2 1 2 −2 − 2 1 2 −4 … 根据表格上的信息回答问题：该二次函数的图像的开口方向________；顶点坐标为_________； 对称轴为直线x = _________；当x = 4对应的函数值y = ________．关卡二 练习5: 如图，点A在直线 14 y = 3 4 x 上，如果把抛物线 y = x 2 沿 O A 方向平移5个单位，那么平移后的 抛物线的表达式为_________． 练习6: （2021•徐汇区一模）如图，已知点 A 是抛物线 y = x 2 图象上一点，将点 A 向下平移2 个单 位到点 B ，再把点 A 绕点 B 顺时针旋转 1 2 0  得到点 C ，如果点C也在该抛物线上，那么点 A的坐标是________．练习7: 已知二次函数 15 y = a x 2 + b x + c 的图象如图所示，以下结论：① a + b + c  0 ；② a − b + c  1 ； ③ a b c  0 ；④4a−2b+c0；⑤8a+c0．在以上 5 个结论中，其中一定成立的是 __________．（把所有正确结论的序号都填在横线上） 练习8: 二次函数 y = a x 2 + b x + c ( a  0 ) 的图象如图所示．下列结论： ①abc0； ②2a+b=0； ③m为任意实数，则 a + b  a m 2 + b m ； ④a−b+c0； ⑤若 a x 21 + b x 1 = a x 2 2 + b x 2 且x x ，则 1 2 x 1 + x 2 = 2 ． 其中正确的有__________．