文档内容
01B-201 整式的加减与幂的运算复习
考情链接
1. 本次任务由三个部分构成
（1）整式的概念
（2）整式的加减运算
（3）幂的运算
2. 考情分析
（1）整式的基本概念，以填空选择的形式考察，幂的运算和整式的乘法在选填和解答题中
均有涉及．
（2）本讲知识属于数与式，整式的概念包括单项式、多项式、整式的加减；幂的运算涉及
同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方；整式的乘法主要考察单项式与单项式、单项式与
多项式以及多项式与多项式运算；是后期各类运算的基础．
（3）对应教材：初一上册，第九章：整式.
3知识加油站1——整式的概念
考点一：代数式的概念
知识笔记1
1、字母表示数书写口诀：
_______________________________________________________________________________
2、代数式的概念：
用运算符号和括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式．
注：（1）__________________________________________________________
（2）“=”不是运算符号，不能将等式与代数式混淆；
（3）若结果中有多个字母，习惯上按26个字母的先后顺序．
例题1:
（1）（2023•静安区校级月考）下列各式中，符合代数式书写要求的是
A． B． C． D．
（2）（2023•闵行区校级月考）设某数为 ，20减去某数的3倍的差是 ．
（3）“ 与 的平方的差”用代数式表示为 ．
（4）（2023•静安区校级月考）如果 ， ，那么 ．
练习1:
（1）（2023•徐汇区校级月考）用代数式表示“ 与 的和的倒数”正确的是
A． B． C． D．
（2）已知正方形的周长为 ，用 表示正方形的边长是 ．（3）（2023•闵行区校级月
考）当 时，代数式 的值是 ．
4考点二：代数式的应用
例题2:
（2021•徐汇区校级月考）在长方形 中， 厘米， 厘米，点 沿 边
从点 开始向终点 以2厘米 秒的速度移动；点 沿 边从点 开始向终点 以1厘
米 秒的速度移动．如果 、 同时出发，用 （秒 表示移动的时间．试解决下列问题：
（1）用含有 、 的代数式表示三角形 的面积；
（2）求三角形 的面积（用含有 、 的代数式表示）．
练习2:
如图，在长方形 中， 厘米， 厘米，点 沿 边从点 开始向点
以2厘米 秒的速度移动；点 沿 边从点 开始向点 以1厘米 秒的速度移动．如果
、 同时出发，用 （秒 表示移动的时间，那么：
（1）如图1，用含 的代数式表示 ， ．若线段 ，求 的值．
（2）如图2，在不考虑点 的情况下，连接 ，用含 的代数式表示 的面积．
（3）图2中，若 的面积等于长方形面积的 ，求 的值．
5考点三：整式的概念
知识笔记2
1．单项式
_______________________________________________________________________________
也就是说单项式中不存在数字与字母或字母与字母的加、减、除关系，特别的单项式的分
母中不含未知数．单独的一个字母或数也叫做单项式．
（1）单项式的次数：_________________________________________________________．
（2）单项式的系数：_________________________________________________________．
2．多项式
_____________________________________________________________________________．
（1）多项式的项：其中每个单项式都是该多项式的一个项．多项式中的各项包括它前面的
符号．多项式中不含字母的项叫做常数项．
（2）多项数的次数：多项式里，次数最高项的次数就是这个多项式的次数．
（3）多项式的降（升）幂排列：按照同一个字母的指数从大到小（或从小到大）的顺序排
列．
3．整式
_________________________________________________________．
6例题3:
（1）（2023•闵行区校级月考）下列说法正确的是
A． 的项是 ， ，5
B． 与 都是多项式
C．多项式 的次数是3
D．一个多项式的次数是5，则这个多项式中只有一项的次数是5
（2）（2023•静安区校级月考）下列代数式中哪些是单项式，哪些是多项式： ，
， ， ， ，0．单项式： ；
多项式： ．
（3）多项式 是 次多项式，常数项是 ．
（4）（2023•闵行区校级月考）如果 是五次多项式，那么
的值是 ．
（5）（2023•闵行区校级月考）多项式 是按 的降幂排列，则
整数 ．
练习3:
（1）（2022•宝山区校级月考）下列说法中正确的是
A． 不是整式 B． 的次数是4
C． 与 是同类项 D． 是单项式
（2）单项式 系数是 ．
（3） 是 式（填几次几项）．
（4）关于 的多项式 是二次三项式，则 ， ．
（5）多项式 按 的降幂排列为 ．
7知识加油站2——整式的加减运算
考点四：整式的加减
知识笔记3
1、同类项的概念
______________________________________________________________________________
．
2、合并同类项
合并同类项的法则：在合并同类项时，把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字
母和字母的指数不变．
3、去括号法则：
去括号法则可简记为：__________________________________________．
4、添括号法则：
添括号法则可简记为：“负”变“正”不变．
5、整式的加减
一般步骤是：_____________________________________________________．
例题4:
（1）（2023•闵行区校级月考）下列各对单项式中不是同类项的是
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
（2）（2023•静安区校级月考）下列去括号中，正确的是
A． B．
C． D．
8练习4:
（1）在下列各组单项式中，不是同类项的是
A． 和 B． 和 C． 和99 D． 和
（2）下列去括号正确的是
A． B．
C． D．
例题5:
（1）（2023•闵行区校级月考）已知关于 的多项式 减去 的差是一
个单项式，求 的值．
（2）（2022•宝山区校级月考）已知 ， ．
①求 ；
②求 ；
③若 ，求 ．
练习5:
（1）（2022•宝山区校级月考）若 减去某个多项式的差是 ，那么
这个多项式是 ．
（2）若 与 是同类项，试求 的值．
9知识加油站3——幂的运算
考点五：幂的运算
知识笔记4
1、同底数幂相乘
____________________________________________________________．
用式子表示为：_____________________．
2、幂的乘方法则：
____________________________________________________________．
用式子表示为：_____________________．
3、积的乘方法则：
____________________________________________________________．
用式子表示为：_____________________．
例题6:
（1）计算： ．
（2）计算： （结果用幂的形式表示）．
（3）（2023•闵行区校级月考）计算： ； ．
（4）已知： ，则 ．
练习6:
（1）计算： ．
（2）计算：
（3）（2023•闵行区校级月考）计算： ．
（4）（2021•虹口区校级期末）若 ， ，则 ．
10例题7:
（1）（2023•闵行区校级月考）计算： ．
2）计算：
（
（3）计算： ．
（4）计算： ．
练习7:
（1）计算：
（2）（2023•静安区校级月考）计算：
（3）计算：
（4）计算：
11考点六：幂的运算的应用
例题8:
一般地，若 且 ， ，则 叫做以 为底 的对数，记为 ，即
．譬如： ，则4叫做以3为底81的对数，记为 （即 ．根据对
数的定义完成下列问题：
（1）计算以下各对数的值：
； ； ．
（2）由（1）中计算的结果及结合三个数4；16；64之间满足的等量关系式，直接写出
； ； 满足的等量关系式．
（3）由（2）猜想一般性结论： 且 ， ， ，并根据
幂的运算法则： 以及对数的含义证明你的猜想．
12练习8:
为了求 的值，可令 ，则
，因此 ，所以
仿照以上推理，计算 的值．
13全真战场
关卡一
练习1:
（1）如图 形纸片的面积用代数式表示为
A． B．
C． D．
（2）若单项式 和 的积为 ，则 的值为
A．2 B．30 C． D．15
练习2:
（1）当 时， ．
（2）已知 ， ，则 ．
（3）计算： ．
（4）计算： ．
练习3:
（1）（2023•闵行区校级月考）
14（2）计算：
（3）计算： ；
（4）计算： ．
练习4:
如果 ， ，记 ， ．
（1）分别求 、 的值；
（2）求 的值．
15关卡二
练习5:
已知： ，且 、 、 分别是点 、 、 在数轴上对应的
数．
（1）写出 ； ； ．
（2）若甲、乙、丙三个动点分别从 、 、 三点同时出发沿数轴负方向运动，它们的
速度分别是1、2、4，（单位 秒），运行 秒后，甲、乙、丙三个动点对应的位置分别为：
， ， ，当 时，求式子 的值．
（3）若甲、乙、丙三个动点分别从 、 、 三点同时出发沿数轴正方向运动，它们的
速度分别是1、2、4，（单位 秒），运动多长时间后，乙与甲、丙等距离？
16练习6:
如图，在矩形 中，有正方形 ，正方形 ，正方形 ，问：知道哪个
正方形的面积可以得到两个阴影部分的周长之差．
171802 整式的乘法
考情链接
1. 本次任务由三个部分构成
（1）单项式乘单项式
（2）单项式乘多项式
（3）多项式乘多项式
2. 考情分析
（1）主要考察单项式与单项式、单项式与多项式以及多项式与多项式运算。这个部分知识
主要以计算解答题的形式对学生进行考察；
（2）整式的乘法是初中代数的一个重要组成部分，是学生今后掌握平方差公式及完全平方
公式的基础.
19知识加油站1——单项式乘单项式
知识笔记1:
单项式与单项式相乘的法则
单项式与单项式相乘，把它们的__________、____________________分别相乘的积作为积
的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式．
注：单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“______________________________”
的顺序进行．例如： ．
考点一：单项式乘单项式简单计算
例题1:
计算：
（1）（2023•普陀区校级期末） ．
（2）（2023•宝山区期末） ．
（3）（2023•宝山区校级月考） ．
（4）（2023•长宁区二模） ．
（5）（2023•闵行区期中） ．
（6）（2022•杨浦区期中） ．
（7）（2022•杨浦区期中） ．
（8）（2021•浦东新区三模） ．
（9）（2021•普陀区梅陇中学月考） ．
（10）（2023•闵行区校级月考） ．
20练习1:
计算：
（1） ___________．
（2） ___________．
（3） ___________．
（4） =___________．
（5） ___________．
（6） __________．
（7） __________．
（8） __________．
（9） __________．
（10） __________．
21考点二：单项式乘单项式复杂计算
例题2:
计算：
（1）（2022•宝山区实验学校期中） ．
（2）（2022•嘉定区丰庄中学期中） ．
练习2:
（1）计算： ．
（2）计算： ．
22知识加油站2——单项式乘多项式
知识笔记2:
单项式与多项式相乘法则
单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加．
例如： =______________________．
考点三：单项式乘多项式计算
例题3:
计算：
第一组：
(1) （2022•嘉定区期中）计算： ．
(2) （2022•闵行区梅陇中学期中）计算： ．
(3) （2022•奉贤区期中）计算： ．
第二组：
(1) （2022•杨浦区期中）计算： ．
23(2) （2022•长宁区第三女子中学期中） ．
练习3:
计算：
第一组：
（1） ；
（2） ．
第二组：
（1）计算： ．
（2）计算： ．
24考点四：单项式乘多项式的化简求值
例题4:
（1）先化简，再求值： ，其中 ．（2）先化简，
后求值： ，其中 ．
练习4:
先化简再求值：
（1） ，其中 ， ．
（2） ，其中 ， ．
号：53889832用户：初中数学1；邮箱：shxdff1@jyeoo.com；学号：5388983
25知识加油站3——多项式乘多项式
知识笔记3:
多项式与多项式相乘的法则
多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相
加．
用公式表示为： =_______________________________．
考点五： 多项式乘多项式的计算
例题5:
计算：
（1）（2022•长宁区天山二中期中） ．
（2）（2022•静安区市西中学期中） ．
（3）（2022•宝山区罗南中学月考） ．
练习5:
（2023•闵行区校级月考）计算：
（1） ；
26（2） ．
例题6：
（2023•嘉定区校级月考）已知： ， ，
求：（1） ；
（3）求当 时，求 的值．
练习6：
（2023•闵行区校级期中）已知： ， ．
（1）计算： ；
（2）当 ， 时，求 的值．
27例题7:
（1）计算：
（2）计算： .
练习7:
计算：
（1） .
（2） .
28例题8:
如图，有多个长方形和正方形的卡片，图甲是选取了2块不同的卡片，拼成的一个图形，
借助图中阴影部分面积的不同表示可以用来验证等式 成立．
（1）根据图乙，利用面积的不同表示方法，写出一个代数恒等式 ；
（2）试写出一个与（1）中代数恒等式类似的等式，并用上述拼图的方法说明它的正确性．
练习8:
如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式，你认为其中正确
的有
① ；
② ；
③ ；
④ ．
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
29考点六： 多项式乘多项式的应用
例题9:
（2021•浦东新区洋泾外国语学校月考）已知 的乘积中不含 和
项，求 的值．
练习9：
（2023•青浦区校级期中）已知 的展开式中不含 和 项．
（1）求 与 的值；
（2）在（1）的条件下，求 的值．
例题10：
已知 ，求 的值．
练习10:
已知 ，求 的值．x
30考点七： 错看，少看，多看问题
例题11:
（2023•静安区校级月考）甲、乙两人共同计算一道整式乘法题： ．甲由于
把第一个多项式中的“ ”看成了“ ”，得到的结果为 ；乙由于漏抄了第
二个多项式中 的系数，得到的结果为 ．
（1）求正确的 、 的值．
（2）计算这道乘法题的正确结果．
练习11：
欢欢与乐乐两人共同计算 ，欢欢抄错为 ，得到的结果为
；乐乐抄错为 ，得到的结果为 ．
（1）式子中的 、 的值各是多少？
（2）请计算出原题的正确答案．
31考点八： 面积卡片拼凑问题
例题12：
（2023•青浦区期末）如图，现有边长为 的正方形 、边长为 的正方形 和长为 宽
为 的长方形 的三类纸片（其中 ．用这三类纸片拼一个长为 、宽为
的长方形（不重叠且不留缝隙），那么需要 类纸片 张．
练习12:
（2023•静安区校级月考）如图，正方形卡片 类、 类和长方形卡片 类各若干张，如
果要拼一个长为 ，宽为 的大长方形，则需要 类卡片
A．2张 B．3张 C．4张 D．5张
32全真战场
关卡一
练习1:
计算：
（1） （2）
练习2:
计算：
（1） （2）
练习3:
计算：
（1） ；
（2）
33练习4:
先化简，再求值： ，其中
练习5：
（2022•浦东新区期中）甲、乙两人共同计算一道整式： ，由于甲抄错了 的
符号，得到的结果是 ，乙漏抄了第二个多项式中 的系数，得到的结果是
．求 的值．
练习6：
（2023•静安区校级月考）探究应用：
（1）计算： ； ．
（2）上面的乘法计算结果很简洁，你发现了什么规律（公式）？用含字母 、 的等式表
示该公式为： ．
（3）下列各式能用第（2）题的公式计算的是 ．
．
．
．
．
（4）设 ，利用上述规律，说明 能被37整除．
34关卡二
练习5:
（2022•青浦区期中）试用整式的运算说明：当 时，我们计算 可以将十位
数字与十位数字加一相乘的结果顺次写在千位和百位，将两个数个位数字的乘积顺次写在
十位和个位，如果乘积不足两位数可以用 0补齐十位．（例：计算 时，可以口算
， ，则最终结果为
练习6:
（2023•宝山区校级月考）【知识回顾】
七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式 的值与 的取值
无关，求 的值”，通常的解题方法是：把 、 看作字母， 看作系数合并同类项，因为
代数式的值与 的取值无关，所以含 项的系数为 0，即原式 ，所以
，则 ．
【理解应用】
（1）若关于 的多项式 的值与 的取值无关，求 值；
（2）已知 ， ，且 的值与 无关，求
的值；
【能力提升】
（3）7张如图1的小长方形，长为 ，宽为 ，按照图2方式不重叠地放在大长方形
内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为 ，左
下角的面积为 ，当 的长变化时， 的值始终保持不变，求 与 的等量关系．
353603 乘法公式（一）
考情链接
1. 本次任务由三个部分构成
（1）平方差公式
（2）完全平方公式
（3）平方差、完全平方公式计算综合
2. 考情分析
（1）主要考察一下几个方面平方差和完全平方公式的计算及其应用，常常在期中期末以计
算的形式进行考察。同时也会延伸出知二求二、 、凑完全平方等题型；
（2）平方差公式、完全平方公式是特殊的乘法公式，它既是前面知识“多项式乘多项式”
的应用，也是后继知识因式分解、分式等的基础，对整个知识体系也起到了承上启下的作
用，在初中阶段占有很重要的地位.
37知识加油站1——平方差公式
知识笔记
1、平方差公式定义：
两数和与这两数差相乘，等于这两个数的平方差．________________________．
（1） 可以表示数，也可以表示式子（单项式和多项式）
（2）有些多项式相乘，表面上不能用公式，但通过适当变形后可以用公式：
2、平方差公式的特征：
（1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项_______________，另一项互为
________________．
（2）右边是乘式中两项的_______________．
考点一：平方差公式的概念与几何意义
例题1:
（1）（2022•闵行区期中）下列整式乘法能用平方差公式计算的是
A． B．
C． D．
（2）（2022•长宁区第三女子中学期中）下列两个多项式相乘，不能用平方差公式的是
A． B．
C． D．
练习1:
（1）在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是
A． B．
C． D．
38（2）下列多项式的乘法中，能用平方差公式计算的是
A． B．
C． D．
例题2:
（2022•黄浦区期中）从边长为 的正方形内去掉一个边长为 的小正方形（如图 ，然后
将剩余部分剪拼成一个长方形（如图 ，上述操作能验证的等式是
A． B．
C． D．
练习2:
（2020•普陀区期中）如图，边长为 的正方形中剪去一个边长为 的小正方形，剩下部分
正好拼成一个等腰梯形，利用这两幅图形面积，能验证怎样的数学公式？
A． B．
C． D．
39考点二：平方差公式的应用
例题3:
完成以下计算：
第一组：
（1）（2022•宝山区罗南中学月考） ．
（2）（2022•黄浦区期中）计算： ．
（3）（2022•宝山区实验学校期中）计算： ．
第二组：
（1）（2022•长宁区天山二中期中）计算： ．
（2）计算： ．
练习3:
完成以下计算：
第一组：
（1） ； （2） ； （3） ．
第二组：
40例题4:
（1）（2023•闵行区校级月考） ．
（2）（2021•徐汇区校级月考）已知 ，那么 ．
练习4:
（1）若 ，那么代数式 应该是
A． B． C． D．
（2） ．
例题5:
简便运算：
（1）（2022•闵行区期中） ．
（2）（2022•静安区市西中学期中） ．
（3）（2021•嘉定区期中） ．
练习5:
简便运算：
（1） ； （2） ；
41知识加油站2——完全平方公式
知识笔记
1、完全平方公式定义
两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍．
_______________________.
_______________________.
2、完全平方公式的特征
（1）左边是两个____________________相乘；
（2）右边是__________，是左边两项的__________，加上（这两项相加时）或减去（这两
项相减时）这两项_______________倍；
（3）公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等代数
式．
考点三：完全平方公式的概念与几何意义
例题6:
（1）下列各式中，能用完全平方公式计算的是
A． B． C． D．
（2）下列各式中，能用完全平方公式计算的是
A． B．
C． D．
练习6:
（1）下列多项式中，能用完全平方公式计算的是
A． B． C． D．
42（2）下列公式不能用完全平方公式计算的是
A． B．
C． D．
例题7:
（2021•奉贤区期中）图（1）是一个长为 ，宽为 的长方形，用剪刀沿图中虚线
（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一
个正方形，则中间空余的部分的面积是
A． B． C． D．
练习7:
我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数
恒等式．例如图甲可以用来解释 ．那么通过图乙面积的计算，验证
了一个恒等式，此等式是（ ）
A． B．
C． D．
43考点四：完全平方公式的应用
例题8:
完成以下三组计算：
第一组：
（1） = ．
（2）（2020•普陀区期末）计算： ．
（3）（2021•普陀区长征中学月考） ．
第二组：
（1） ；
（2） ．
第三组：
（1）（2022•黄浦区期中）计算： ．
（2）（2022•静安区教育学院附属学校期中）计算： ．
（3） ．
44练习8:
完成以下三组计算：
第一组：
（1） ； （2） ； （3） ．
第二组：
（1） ；
（2） ．
第三组：
（1）计算： ．
（2）计算： ．
45例题9:
简便计算：
（1） ； （2） ．
练习9:
简便计算：
（1） ；
（2） ．
46知识加油站3——平方差、完全平方公式计算综合
考点五：平方差公式和完全平方公式的综合计算
例题10:
（1）（2021•宝山区期末）计算： ．
（2）（2021•宝山区期末）计算： ．
（3）化简： ．
（4）（2022•嘉定区育才中学期末）计算： ．
（5）（2022•黄浦区期中）计算： ．
47练习10:
计算：
（1）
（2） ．
（3）（2020•浦东新区期末） ．
（4）（2020•松江区期末） ．
（5）（2020•浦东新区期中） ．
48例题11:
（2023•闵行区校级月考）如图，大正方形的边长为 ，小正方形的边长为 ．如图1，小
正方形摆放在边长为的内部右上角，其未叠合部分（阴影）的面积为 ；如图2，若再在
图1中大正方形的右下角摆放小正方形，两个小正方形叠合部分（阴影）面积为 ；如图
3，在大正方形的外部左下角摆放小正方形，形成阴影部分的面积为 ．
（1）用含 ， 的代数式分别表示 、 ；
（2）若 ， ，求 的值；
（3）当 时，求 的值．
49练习11:
我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观的形象，能有效地表现一些代数中的数
量关系，而运用代数思想也能巧妙的解决一些图形问题．
在一节数学课上，张老师准备了1张甲种纸片，1张乙种纸片，2张丙种纸片，如图1所示，
甲种纸片是边长为 的正方形，乙种纸片是边长为 的正方形，丙种纸片是长为 ，宽为
的长方形．她将这些纸片拼成了如图2所示的一个大正方形．
【理解应用】
（1）图2中的大正方形的边长为 ；
（2）观察图2，用两种不同方式表示大正方形的面积，可得到一个等式，请你直接写出这
个等式 ；
【拓展应用】
（3）利用（2）中的等式计算：
①已知 ， ，求 的值；
②已知 ，求 的值．
50全真战场
关卡一
练习1:
（1）下列代数式中能用平方差公式计算的是
A． B．
C． D．
（2）下列各式中，能用完全平方公式计算的是
A． B．
C． D．
练习2:
如图，能根据图形中的面积说明的乘法公式是
A． B．
C． D．
练习3:
计算：
（1）计算： ．
（2）（2020•浦东新区期中）计算： ．
51（3）（2020•浦东新区期中）计算： ．
（4）计算： ．
练习4:
用简便方法计算：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
52关卡二
练习5:
计算： （ 是正整数）．
练习6:
我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如下图），此图
揭示了 为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．
例如：
，它只有一项，系数为1；
，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；
，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；
，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；
根据以上规律，解答下列问题：
（1） 展开式共有_______项，系数分别为_______；
（2） 展开式共有_______项，系数和为_______．
5304 乘法公式（二）
考情链接
1. 本次任务由三个部分构成
（1）完全平方公式知二求二
（2） 题型
（3）平方的非负性
2. 考情分析
（1）主要考察一下几个方面平方差和完全平方公式的计算及其应用，常常在期中期末以计
算的形式进行考察。同时也会延伸出知二求二、 、凑完全平方等题型；
（2）平方差公式、完全平方公式是特殊的乘法公式，它既是前面知识“多项式乘多项式”
的应用，也是后继知识因式分解、分式等的基础，对整个知识体系也起到了承上启下的作
用，在初中阶段占有很重要的地位．
54知识加油站1—— 完全平方公式知二求二
知识笔记
1、”知二求二”四种元素：
我们把完全平方公式进行拆解，可以得到_____________、_____________、_____________、
_____________这四个代数式，只要知道其中两个代数式的值，就可以求出另外两个代数式
的值
2、知二求二的四个常用公式：
（1） =_______________________________.
（2） =_______________________________.
（3） =_______________________________.
（4） =_______________________________.
考点一：知二求二的应用
例题1:
（1）（2022•静安区市西中学期中）已知 ， ，则 的值为 ．
（2）（2022•浦东新区期中）如果 ， ，则 ．
（3）若 ， ，则 的值为__________．
练习1:
（1）（2022•虹口区校级月考）已知 ， ，则 的值为 ．
（2）若 ， ，则 ________．
（3）已知 ， ，则 __________．
55例题2:
已知： ， ，求代数式：
（1） ；
（2） ．
练习2:
已知 ， ；
求（1） 的值；
（2） 的值．
56例题3:
若 满足 ，求 的值．
练习3:
若 满足 ，求 的值．
57知识加油站2—— 题型
知识笔记
、 与 之间的关系：
（1） _______________________.
（2） _______________________.
考点二： 题型
例题4:
（2022•长宁区第三女子中学期中）已知 ，求 和 的值．
练习4:
已知 ，求下列各式的值：
（1） ； （2） ．
58例题5:
（1）已知 ，求 的值．
（2）已知 ，求 的值．
练习5:
已知实数 满足 ．则 的值是__________．
例题6:
（1）已知 ，求：① ；② ．
（2）已知 ，则 =___________．
练习6:
已知： ，求 的值．
59知识加油站3—— 平方的非负性
知识笔记
1. 常见的非负数：
① ___________________.
② ___________________.
2. 非负数的性质：
多个非负数和为0时，则各部分均为_____.
即，当 时，则___________________.
考点三：0-0题型
例题7:
（1）已知 那么 ．
（2）已知： ，求 的值
练习7:
（1）若 ，则 = ．
（2）（2）若 ，求 的值．
60考点四：凑完全平方公式
例题8:
（1）若 ，那么m=
（2）（2022•宝山区实验学校期中）已知 是一个完全平方式，则
．
（3）（2023•徐汇阶段练习）如果二次三项式 是一个完全平方式，那么系数
．
（4）（2020•徐汇阶段练习）若 是关于 的完全平方式，则 .
（5）已知 ， 、 都是有理数，求 的值．
练习8:
（1）如果二次三项式 是一个完全平方式，那么 的值是
．
（2）（2020•徐汇阶段练习）关于x的二次三项式 是一个完全平方式，则a的
取值为
（3）已知 ，求 的值．
61例题9:
（1）请在横线处填一个常数，使其成为一个完全平方式，并将完全平方写在括号中
① = ____________
② = ____________
③ = ____________
④ = ____________
⑤ = ____________
（2）你能将多项式 加上一个单项式，使它成为一个完全平方式吗？共有几种方法
A．2 B．3 C．5 D．6
练习9:
（1）请在横线处填一个常数，使其成为一个完全平方式，并将完全平方写在括号中
① = ____________
② = ____________
③ = ____________
④ = ____________
（2）多项式 加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项
式是什么？
62例题10:
阅读下列材料：教科书中这样写道：“我们把多项式 及 叫做完全
平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，
使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．
即将多项式 （b、c为常数）写成 （h、k为常数）的形式，配方法是
一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能
解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题．
【知识理解】
(1)若多项式 是一个完全平方式，那么常数k的值为_________．
(2)配方： ________；
【知识运用】
(3)已知 ，则 ______， ______；
(4)求多项式： 的最小值．
63练习10:
阅读思考：
定义：把一个式子或一个式子的部分改写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，
这种解题方法叫配方法．
用途：配方法是初中数学一种很重要的变形技巧，是初中数学很重要的一种思想方法，应
用很广泛，应用它可以简捷地处理一些解方程、因式分解、化简二次根式、证明恒等式、
求代数式的最值问题．
方法：下面用拼图的方法来体会配方的过程．
例如：将代数式 （即 ）写成 的形式（其中h、k为常数），配方
的过程中，可以看成将一个长是 、宽是x的矩形割补成一个正方形．
所以，
（1）模仿：用拼图的方法将式子 写成 的形式（其中h、k为常数）．
（2）总结：在配方过程中，代数式需要先加上_____，再减去这个数或者代数式；
（3）应用：① ____ ______ ；
②已知 ，求 的值．
64全真战场
关卡一
练习1:
求值：
（1）已知 ， ，求代数式 的值．
（2）已知 ， ，求代数式 的值．
（3）已知 ， ，求 的值．
练习2:
若 ，则 __________； ___________．
练习3:
（1）如果多项式 是一个完全平方式，那么 的值为___________．
（2）已知 是完全平方式，求 的值．
65练习4:
原题呈现：若 a + b +4a - 2b + 5 =0 ，求 a、b 的值．方法介绍：
①看到 a + 4a 可想到如果添上常数 4 恰好就是 a + 4a + 4 = (a + 2) ，这个过程叫做
“配方”，同理 b - 2b + 1 = (b - 1) ，恰好把常数5分配完；
②从而原式可以化为(a + 2) + (b - 1) = 0 由平方的非负性可得 a + 2 = 0 且 b - 1= 0．
经验运用：
（1）若 4a + b - 20a + 6b + 34 = 0 求 a + b 的值；
（2）若 a + 5b + c - 2ab - 4b + 6c + 10 = 0 求 a + b + c 的值．
66关卡二
练习5:
试说明不论 取何值，代数式 的值总是正数．
练习6:
已知 ， ， 是 的三条边，且满足 ，请判断 三角
形的形状
6705 因式分解的概念及提公因式
考情链接
1. 本次任务由四个部分构成
（1）因式分解的概念
（2）因式与公因式
（3）提公因式法因式分解
（4）提公因式法的应用
2. 考情分析
（1）因式分解概念主要以填空的形式对概念进行考察，而提公因式法因式分解则是因式分
解的基础，常常会在解答题中，和其余因式分解方法混合进行考察；
（2）学习分解因式一是为解高次方程作准备，二是学习对于代数式变形的能力，从中体会
分解的思想、逆向思考的作用．本章教材是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，事
实上，它是整式乘法的逆向运用，与整式乘法运算有密切的联系．分解因式的变形不仅体
现了一种“化归”的思想，而且也是解决后续——分式化简、解方程、恒等变形等学习的
基础，为数学交流提供了有效的途径．
68知识加油站1——因式分解的概念
知识笔记
1、因式分解：
_____________________________________________________________，叫做把这个多项式
因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
2、因式分解与整式乘法互为逆变形：
_____________________________________________________________
式中 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因
式．
考点一：因式分解的概念
例题1:
（1）（2022•闵行七宝三中期末）下列各式从左到右的变形是因式分解的是
A． B．
C． D．
（2）（2022•浦东新区交中初级中学期末）下列等式从左到右是因式分解，且结果正确的
是
A． B．
C． D．
练习1:
（1）下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为
A． B．
C． D．
69（2）下列从左到右的变形是因式分解的是
A． B．
C． D．
考点二：已知因式分解的的结果求参数
例题2:
（1）多项式 分解成 ，求 的值．
（2）已知多项式 可因式分解成 ，
其中a，b，c均为整数，则a+b+c=（ ）
A．﹣12 B．﹣32 C．38 D．72
练习2:
（1）（2022•松江区期中）已知多项式 分解因式得 ，则 ， ，
的值分别为（ ）
A．1， ，6 B．1，1， C．1， ， D．1，1，6
（2）已知二次三项式 分解因式 ，则 的值为
A．1 B． C． D．5
70知识加油站2——因式与公因式
知识笔记
1、因式：
几个整式相乘，每个整式叫做它们的积的因式.
2、多项式的公因式：
一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式。
3、确定公因式的方法：
（1）若各项系数是整系数，取系数的_______________；
（2）取相同的字母，字母的指数取__________；
（3）取相同的多项式，多项式的指数取__________.
（4）所有这些因式的__________即为公因式.
考点三：公因式的概念
例题3:
（1）（2022•青浦实验中学期中）单项式 与单项式 的公因式是
A． B． C． D．
（2）（2022•嘉定区期中）多项式 的公因式是 ．
练习3:
（1）多项式 的各项公因式是
A． B． C． D．
（2） 与 的公因式是
A． B． C． D．
71例题4:
写出下列各式的公因式：
（1） ： ；
（2） ： ；
（3） ： ；
（4） ： ；
（5） ： .
练习4:
把以下各式的公因式写在横线上：
（1） ： ；
（2） ： ．
例题5:
将下列各组中的整式写成它们的公因式与另一因式相乘的形式：
（1） 、 ； （2） 、 .
练习5:
将下列各组中的整式写成它们的公因式与另一因式相乘的形式：
（1） 、 ； （2） 、 .
72知识加油站3——提公因式法因式分解
知识笔记
1、提取公因式法：
如果一个多项式的各项含有_________，则可以把该公因式提取出来作为多项式的一个因式，
提出公因式后的式子放在括号里，作为一个因式.这种分解因式的方法叫做提取公因式法.
2、提取公因式的步骤：
“__________”：就是第一步要正确找出多项式中各项的公因式；
“__________”：就是第二步将所找出的公因式提出来；
“__________”：就是当提出公因式后，此时可直接观察提出公因式后剩下的另一个因式，
也可以用原多项式去除以公因式，所得的商即为提出公因式后剩下的另一个因式.
3、提取公因式法注意事项：
（1）如果多项式的首项是负数时，一般应先提出“-”号，使括号内的第一项系数是正数，
然后再对括号内的多项式进行提取公因式。
（2）利用提公因式法分解因式时，一定要“___________”。
（3）注意避免出现分解因式的漏项问题，一般提取公因式后，括号里的多项式项数与原多
项式的项数一致。
73考点四：提公因式法分解因式
例题6:
多项式 提取公因式后，剩下的因式应是（ ）.
A． B．
C． D．
练习6:
将 提取公式 ，剩下的因式是 ．
例题7:
分解因式：
（1）（2022•宝山区罗南中学期末）分解因式： ．
（2）（2021•奉贤区期末）分解因式： ．
（3）（2022•嘉定区丰庄中学期中）因式分解： ．
（4）（2022•嘉定区期中）分解因式： ．
（5）（2022•虹口区民办新复兴中学期中）分解因式： ．
（6）（2022•青浦区实验中学期中）因式分解： ．
练习7:
分解因式：
（1）
（2）
（3）
74（4）
（5）
（6） .
例题8:
分解因式：
（1）（2022•浦东新区建平中学西校期中）因式分解： ．
（2）（2022•杨浦区期中）分解因式： ．
3）（2022•嘉定区期中）因式分解：
（
（4）（2022•浦东新区建平中学西校期中） ．
（5）
75练习8:
分解因式：
（1） （2）
（3） （4）
（5）
76知识加油站4——提公因式法的应用
考点四：提公因式法分解因式求值
例题9:
（1）（2022•浦东新区建平中学西校期中）已知 ， ，求 的值.
（2）已知 ，求 的值．
（3）计算： ．
练习9:
（1）已知 ， ，求 的值 .
77（2）已知 ，求 的值．
（3）计算：
例题10:
阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
.
（1）上述分解因式的方法是______，共应用了______次；
（2）若分解 ，则需应用上述方法______次，结果
是______；
（3）分解因式： .（ 为正整数）
78练习10:
化简： ，且当 时，求原式的值．
考点五：因式分解与错题纠正
例题11:
下面是小颖因式分解的过程，仔细阅读后解答所提出的问题．
解：原式 …………………第一步
…………………第二步
………………第三步
(1)小颖的因式分解过程从第_____步开始出现错误；
(2)请写出正确的因式分解的过程．
练习11:
（2020•徐汇区期中）甲乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）
（x+4），乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则2a+b＝ ．
79全真战场
关卡一
练习1:
（1）（2020•嘉定区期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是
A． B．
C． D．
（2）（2020•浦东新区月考）下列从左边到右边的变形，是正确的因式分解的是
A． B．
C． D．
练习2:
已知关于 的二次三项式 分解因式的结果为 ，则 、 的值分别
为
A． ， B． ， C． ， D． ，
练习3:
（1）（2019•浦东新区期末） 和 的公因式是___________．
（2）多项式 的公因式是__________．
练习4:
分解因式：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
80（5） ； （6） ；
（7） ； （8） ；
（9） ； （10） ；
关卡二
练习5:
已知： ，求 的值．
81练习6:
（2023•奉贤区期中）阅读下列材料，然后解答问题：
问题：分解因式：
解答：对于任意一元多项式 ，其奇次项系数之和为 ，偶次项系数之和为 ，若
，则 ，若 ，则 （1） ．在 中，因为 ，
，所以把 代入多项式 ，得其值为0，由此确定多项式 中有
因式 ，于是可设 ，分别求出 的值，再代入
，就容易分解多项式 ，这种分解因式的方法叫
做“试根法”．
(1)上述式子中 ， ；
(2)对于一元多项式 ，必定有f（ ）＝0；
(3)请你用“试根法”分解因式： ．
8206 公式法因式分解
考情链接
1. 本次任务由两个部分构成
（1）平方差公式因式分解
（2）完全平方公式因式分解
（3）代数式化简求值
2. 考情分析
（1）因式分解概念主要以填空的形式对概念进行考察，而提公因式法因式分解则是因式分
解的基础，常常会在解答题中，和其余因式分解方法混合进行考察；
（2）学习分解因式一是为解高次方程作准备，二是学习对于代数式变形的能力，从中体会
分解的思想、逆向思考的作用．它不仅是现阶段学生学习的重点内容，而且也是学生后续
学习的重要基础．本章教材是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，事实上，它是整
式乘法的逆向运用，与整式乘法运算有密切的联系．分解因式的变形不仅体现了一种“化
归”的思想，而且也是解决后续——分式化简、解方程、恒等变形等学习的基础，为数学
交流提供了有效的途径．分解因式这一章在整个教材中起到了承上启下的作用，提取公因
式法是因式分解的基本而又重要的一种方法.
83知识加油站1——平方差公式因式分解
考点一：平方差公式因式分解的概念
知识笔记1
1、平方差公式复习：
____________________________
2、公式法的定义：
逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法.
3、平方差公式因式分解：____________________________
例题1:
下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是
A． B． C． D．
练习1:
下列各多项式中，不能用平方差公式进行因式分解的是
A． B． C． D．
84考点二：平方差公式因式分解
知识笔记2
1、因式分解的平方差公式：
_____________________________________________________________________
2、运用平方差公式进行因式分解的多项式的特征：
(1) 公式左边必须是一个__________，且符号相反；
(2) 两项中的每一项必须是某个数或某个式子的________形式；
(3) 右边分解的结果应该是这两项的和与它们的差的积；
(4) 公式中字母“ ”和“ ”既可以表示单独的数字或字母，也可以表示单项式或多项式.
例题2:
将下列各式因式分解：
（1）（2021•宝山区期末）分解因式： ．
（2）（2022•徐汇区模拟）因式分解： ．
（3）（2022•嘉定区南翔中学模拟）分解因式： ．
（4）（2022•普陀区模拟）分解因式： ．
（5）（2022•崇明区二模）分解因式： ．
（6）（2022•长宁区二模）分解因式： ．
（7） .
练习2:
因式分解：
（1） （2）
85（3） （4）
（5） （6）
例题3:
将下列各式因式分解：
（1）（2022•黄浦区期中）分解因式： ．
（2）（2022•黄浦区期中）分解因式： ．
（3）
(4) ．
(5) ．
(6) .
86练习3:
将下列各式因式分解：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
87考点三：平方差公式因式分解的应用
例题4:
在正整数中，
观察上面的算式，可以归纳得出： ．
利用上述规律，计算下列各式： ．
（请将解题步骤写在下方空白
处）
练习4:
观察下列式子的因式分解做法：
① ；
② ；
③ ．
（1）模仿以上做法，尝试对 进行因式分解： ．
（2）观察以上结果，猜想 ． 为正整数，直接写结果，不用验
证）
（3）试求 的值．
88知识加油站2——完全平方公式因式分解
考点四：完全平方公式因式分解的概念
知识笔记3
1、完全平方公式复习：
____________________________；____________________________
2、完全平方公式因式分解：____________________________
例题5:
（2022•青浦实验中学期中）下列多项式中可以用完全平方公式进行因式分解的
A． B． C． D．
练习5:
下列多项式能用完全平方公式分解因式的是
A． B．
C． D．
89考点五：完全平方公式因式分解
知识笔记4
1、因式分解的完全平方公式：
____________________________________________
____________________________________________
2、运用完全平方公式进行因式分解的多项式的特征：
(1)公式的左边必须是一个__________，且可以看成是一个_______________式；
(2)其中两项的符号必须是_____的，且能写成某两个数或两个十字的_________形式；而另
一项的绝对值必须是前两项中两个数或式子的乘积的____倍；
(3)右边分解的结果是这两个数或式子的和或差的完全平方，其和或差的符号与左边第三项
的符号相同；
(4)公式中字母“ ”和“ ”既可以表示单独的数字或字母，也可以表示_______________
或_______________.
例题6:
将下列各式因式分解：
（1）（2022•虹口区二模）分解因式： ．
（2）（2022•长宁第三女子中学期中）分解因式： ．
（3）（2022•浦东新区建平中学西校期中）分解因式： ．
（4）
（5）
90（6）
（7） ．
练习6:
将下列各式因式分解：
（1）
（2）
（3）
（4）
91（5）
（6）
例题7:
因式分解：
（1）（2022•黄浦区期中）因式分解： ．
（2） ；
（3）（2022•长宁第三女子中学期中） ．
（4）因式分解：
92（5）
练习7:
因式分解：
（1）
（2）
93考点六：完全平方公式因式分解的应用
例题8:
计算：（1）
（2） ．
（3）
练习8:
计算：
（1） （2）
（3）
94例题9:
阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不
仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察处如何进行
因式分解，这种方法就是换元法．
例如：分解因式 时，可以先将原式中的 、
分别计算，得： ， ，观察后设 ，则原式
又如：分解因式 时，考虑到系数的对称性，如果提取中间项的字
母及指数后，就可以使用换元法，具体过程如下：
令
，则原式 ，请参照
阅读材料中的换元对下列各式进行因式分解：
（1） （2） （3）
．
95练习9:
阅读下列材料：因式分解： ．
解：将“ ”看成整体，令 ，则原式 再将“ ”还原，
得原式 ．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法．
请你用“整体思想”常规讲解下列问题：
（1）因式分解： ；
（2）因式分解： ；
（3）计算： ．
96知识加油站3——代数式化简求值
考点七：代数式化简求值
知识笔记5
代数式化简求值步骤：
（1）利用公式法进行因式分解
（2）利用整体代入思想求代数式的值
例题10:
（1）已知 ，求 的值．
（2）已知 ，求 的值。
练习10:
（1）已知 = ，试用含 、 的代数式表示 ．
（2）已知： 的值。
97全真战场
关卡一
练习1:
下列多项式：① ；② ；③ ；④ ，其中能用平方差公式
分解因式的多项式有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
练习2:
分解因式：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
练习3:
分解因式：
（1） ；
（2） ．
98（3） ；
（4） ．
练习4:
已知： ，求 的值。
99关卡二
练习4:
求证：当x为大于等于2的自然数时， 是一个合数．
练习5:
已知乘法公式：
（1） ；
（2） ．
利用或者不利用上述公式分解因式： ．
练习6:
分解因式：
10007 因式分解——十字相乘法
考情链接
1. 本次任务由两个部分构成
（1）系数为1的十字相乘法
（2）系数不为1的十字相乘法
2. 考情分析
（1）因式分解概念主要以填空的形式对概念进行考察，而提公因式法因式分解则是因式分
解的基础，常常会在解答题中，和其余因式分解方法混合进行考察；
（2）十字相乘法是在学生学习了多项式乘法、整式乘法、分解质因数、整式加减法、提取
公因式和运用乘法公式对多项式进行分解因式等知识的基础上，在学生已经掌握了运用完
全平方公式进行分解因式之后，自然过渡到具有一般形式的二次三项式的分解因式，是从
特殊到一般的认知规律的典型范例．首先，这种分解因式的方法在数学学习中具有较强的
实用性，一是对它的学习和研究，不仅给出了一般的二次三项式的分解因式方法，能直接
运用于某些形如 这类二次三项式的分解因式，其次，还间接运用于解一元二次方程和确定
二次函数解析式上，为以后的求解一元二次方程、确定二次函数解析式等内容奠定了基础
十字相乘法在初中阶段的教学中具有十分重要的地位.
101知识加油站1——系数为1的十字相乘法
考点一：十字相乘法因式分解的概念
知识笔记1
1、十字相乘法：
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.
对于二次三项式 ，若存在 ，则
2、系数为1的十字相乘法
（1）在对 分解因式时，要先从常数项 的正、负入手，若 ，则
________(若 ，则 ________)，然后依据一次项系数 b 的正负再确定 的符号
（2）若 中的 为整数时，要先将 分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种
可能)，然后看这两个整数之和能否等于 b ，直到凑对为止.
例题1:
（1）下列算式计算结果为 的是
A． B． C． D．
（2）若 能分解为 ，则 的值是
A． B．2 C． D．8
练习1:
（1）若多项式 因式分解的结果是 ，则 的值是
A． B． C．16 D．20
（2）若多项式 分解因式的结果为 ，则 的值为
A． B．3 C． D．1
102考点二：系数为1的十字相乘法因式分解
例题2:
对以下式子进行分解因式：
（1） （2）
3） （4）（2023•普陀区校级期末）
（
5） （6）（2023•浦东新区期末）
（
（8）（2023•杨浦区期末）
（7）
练习2:
对以下式子进行分解因式：
（1） （2）
（3） （4）
103（5） （6） ．
（7）
例题3:
分解因式：
（1）（2021•金山区期末）分解因式： ．
（2）（2021•普陀区期末）因式分解： ．
（3）（2021•奉贤区期末）分解因式： ．
（4）（2022•虹口民办新复兴中学期中）分解因式： ．
104练习3:
分解因式：
（1） ．
（2）
（3） ；
（4） ；
105考点三：根据因式分解的结果求参数
例题4:
（1）若 ，且 ，则 的值为 ．
（2）若 ， 为常数，多项式 可因式分解为 ，则 的值为
．
（3）甲，乙两同学分解因式 ，甲看错了 ，分解结果为 ；乙看错
了 ，分解结果为 ，请分析一下 ， 的值及正确的分解过程．
（4）已知：关于 的多项式 可以在有理数范围内分解因式，求 的值．
练习4:
（1）当 时，二次三项式 分解因式的结果是 ．
（1）若 分解因式的结果是 ，则 的值为 ．
（3）将一个二次三项式分解因式，甲因看错了一次项系数而分解成 ，乙因看
错了常数项分解成 ．根据上述信息将原多项式因式分解．
（4）已知：关于 的多项式 可以在有理数范围内分解因式，求 的值．
106知识加油站2——系数不为1的十字相乘法
考点四：系数不为1的十字相乘法的概念
知识笔记2
系数不为1的式子相乘法
在二次三项式 中，如果二次项系数 可以分解成两个因数之积，即
，常数项 可以分解成两个因数之积，即 ，把 排列如下：
a c
1 1
a c
2 2
a c + a c
1 2 2 1
按斜线交叉相乘，再相加，得到 ，若它正好等于二次 的一次项系数 ，
即 ，那么二次三项式就可以分解为两个因式 与 之积，即
_____________________________.
例题5:
（1）（2023•杨浦区期末）如果 ，那么
（2）多项式 ，则 ________， _________.
练习5:
（1）已知多项式 ，则 ________， _________.
（2）多项式 ，则 ________， _________.
107考点五：系数不为1的十字相乘法因式分解
例题6:
分解因式：
（1）（2022•青浦区清河湾中学期末）因式分解： ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5）
（6）
108练习6:
分解因式：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ；
例题7:
分解因式：
（1） ；
（2） ．
（3）
109练习7:
分解因式：
（1）
（2）
7(x+y) 3 −5(x+y) 2 −2(x+y)
（3）
110考点六：十字相乘法与新定义
例题8:
阅读下列材料：
对于多项式 ，如果我们把 代入此多项式，发现 的值为0，这时可以
确定多项式中有因式 ；同理，可以确定多项式中有另一个因式 ，于是我们可
以得到： ．又如：对于多项式 ，发现当 时，
的 值 为 0 ， 则 多 项 式 有 一 个 因 式 ， 我 们 可 以 设
， 解 得 ， ， 于 是 我 们 可 以 得 到 ：
．
请你根据以上材料，解答以下问题：
（1）当 时，多项式 的值为 0，所以多项式 有因式
，从而因式分解 ；
（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，常用来分解一些比较复杂的多项式，请你尝试用
试根法分解多项式：
① ；
② ．
111练习8:
对于多项式 ，我们把 代入此多项式，发现 能使多项式
的值为0，由此可以断定多项式 中有因式 ，（注：把
代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式 ，于是我们可以把
多 项 式 写 成 ： ， 分 别 求 出 、 后 再 代 入
，就可以把多项式 因式分解．
（1）求式子中 、 的值；
（2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式 ．
112全真战场
关卡一
练习1:
（1）不能用十字相乘法分解的是（ ）
A． B． C． D．
（2）若多项式 可因式分解为 ，则 的值为
A．6 B． C． D．1
（3）已知多项式 ，则 ________， _________.
练习2:
分解因式：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5）
113练习3:
因式分解：
（1） ； （2） ；
（3）
（4）（2023•宝山区期末） ．
（5） ； （6） ；
练习4:
分解因式 ，甲看错了 的值，分解的结果为 ，乙看错了 的值，分
解结果为 ．
（1）求 ， 的值；
（2）把 分解因式．
114练习5:
已知 ，求 的值．
关卡二
练习6:
分解因式： ．
练习7:
分解因式： ．
练习8:
分解因式：
（1）
（2）
11508 因式分解——分组分解法
考情链接
1. 本次任务由三个部分构成
（1）四项式分组分解法
（2）五项式分组分解法
（3）六项式分组分解法
2. 考情分析
（1）因式分解概念主要以填空的形式对概念进行考察，而提公因式法因式分解则是因式分
解的基础，常常会在解答题中，和其余因式分解方法混合进行考察；
（2）分组分解法是在提取公因式法、公式法、十字相乘法的基础上学习的最后一种基本的
因式分解方法．分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法，通过对多项式进行适当的
分组，把多项式转化为可以应用基本方法分解的结构形式，使之具有公因式，或者符合公
式的特点等，从而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的．我们有目的地将多项式的
某些项组成一组，从局部考虑，使每组能够分解，从而达到整个多项式因式分解的目的.
116知识加油站1——四项式分组分解法
考点一：二二分组因式分解
知识笔记1
1、分组分解法：
将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是
分组分解法．
2、二二分组的特点：
①按__________分组
②按__________分组
③符合__________的两项分组
例题1:
（1）（2022•徐汇西南模范中学期中）分解因式： ．
（2）（2022•徐汇中学期中）分解因式： ．
（3）（2022•青浦实验中学期中）因式分解： ．
（4）（2021•奉贤区期末）分解因式： ．
（5）（2021•浦东新区期末）分解因式： ．
117（6）（2021•宝山区期末）分解因式： ．
（7）分解因式： ．
练习1:
因式分解：
（1） ；
（2） 、
（3） ；
（4）
（5）
（6）
（7）
118考点二：三一分组因式分解
知识笔记2
三一分组的特点：
先____________公式后__________公式
例题2:
（1）（2022•闵行梅陇中学期中）因式分解： ．
（2）分解因式：
（3）（2021•金山区期末）分解因式： ．
（4）（2022•虹口区校级月考）因式分解： ．
（5）（2022·宝山区期末）分解因式：
练习2:
分解因式：
（1） ；
119（2）（2021•宝山区期末） ．
（3） ；
（4）
（5）（2022·宝山期末）分解因式：
120知识加油站2——五项式因式分解
考点三：五项式因式分解
知识笔记3
五项式因式分解步骤：
一般采用“三二分组”，再试用提公因式法、__________________、__________________、
或__________________继续因式分解. 有时候也需要运用添项、拆项等较强的解题技巧.
例题3:
（1）（2022•闵行梅陇中学期中）因式分解： ．
（2）因式分解：
（3）因式分解： ．
（4）因式分解： ．
（5）因式分解：
121（6）因式分解：
练习3:
因式分解：
（1）
（2）（2022·青浦区期中）
（3）
（4）
122知识加油站3——六项式因式分解
考点四：六项式因式分解
知识笔记4
六项式因式分解步骤：
一般采用“三二一分组”，再试用提公因式法、完全平方法、平方差法或十字相乘法继续
因式分解. 此外，还可以直接使用双十字相乘作答.
例题3:
（1）因式分解：
（2）因式分解：
（3）因式分解：
（4）因式分解：
123（5）分解因式： ．
（6）分解因式： ．
（7）因式分解： ．
练习3:
（1）因式分解：
（2）因式分解： ；
（3）因式分解： ．
124（4）因式分解：
（5）分解因式： ．
（6）分解因式： ．
125全真战场
关卡一
练习1:
因式分解：
（1）（2020•宝山区期末）分解因式： ．
（2）（2020•奉贤区期末）因式分解： ．
（3）（2020•上海期末）分解因式： ．
（4）（2020•松江区期末）因式分解： ．
（5）因式分解：
126练习2:
因式分解：
（1）a2－2ab－ac＋bc＋b2．
（2）
（3）
（4）
练习3:
因式分解：
（1）
（2）
127（3）
（4）（2022•虹口区校级月考） ．
（5） ．
128关卡二
练习5:
分解因式： ．
练习6:
已知： ， ，且 ，求 的值．
12909 因式分解综合
考情链接
1. 本次任务由四个部分构成
（1）提公因式因式分解
（2）公式法因式分解
（3）十字相乘法因式分解
（4）分组分解法
2. 考情分析
（1）因式分解概念主要以填空的形式对概念进行考察，而提公因式法因式分解则是因式分
解的基础，常常会在解答题中，和其余因式分解方法混合进行考察；
（2）分组分解法是在提取公因式法、公式法、十字相乘法的基础上学习的最后一种基本的
因式分解方法．分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法，通过对多项式进行适当的
分组，把多项式转化为可以应用基本方法分解的结构形式，使之具有公因式，或者符合公
式的特点等，从而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的．我们有目的地将多项式的
某些项组成一组，从局部考虑，使每组能够分解，从而达到整个多项式因式分解的目的.
130知识加油站——因式分解综合
知识笔记
因式分解步骤：
（1）先提公因式
（2）两项考虑__________________因式分解
（3）三项考虑__________________因式分解或__________________因式分解
（4）四项考虑__________________因式分解.
五项式因式分解步骤：
提公因式法、__________________、__________________、
一般采用“三二分组”，再试用
或__________________继续因式分解. 有时候也需要运用添项、拆项等较强的解题技巧.
六项式因式分解步骤：
提公因式法、完全平方法、平方差法或十字相乘法继续
一般采用“三二一分组”，再试用
因式分解. 此外，还可以直接使用双十字相乘作答.
131考点一：因式分解综合
例题1:
选用合适的方法分解因式：
（1） ；
（2）
（3） ；
（4） ；
（5）
1326）
（
练习1:
分解因式：
（1）
（2） ．
（3） ；
（4） ．
133（5） ；
（6） ；
例题2:
选用合适的方法进行因式分解
第一组：
（2022•静安区校级期中）因式分解：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
134第二组：
（2022•宝山区校级期中）因式分解：
（1） ；
2）
（
（3） ．
（4） ．
练习2:
第一组：
（2022•长宁区校级期中）已知 ， ，求下列各式的值：
（1） ；
135（2） ．
（2022•静安区期中）因式分解:
（1） ；
（2） ．
第二组：
（1）（2022•虹口区校级月考）因式分解： ．
（2）（2022•虹口区校级月考）因式分解： ．
（3）（2022•静安区期中）分解因式： ．
136例题3:
（1）因式分解：
（2）因式分解：
（3）（2022•虹口区校级月考）因式分解： ．
（4）因式分解：
（5）因式分解： ．
（6）因式分解： ．
（7）因式分解：
137练习3:
（1）（2022•闵行梅陇中学期中）因式分解： ．
（2）因式分解： ；
（3）因式分解： ．
（4）因式分解：
（5）因式分解： ．
（6）因式分解： ．
138考点二：因式分解的简单应用
例题4:
（1）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息： ， ，
2， ， ， ，分别对应下列六个字：华、我、爱、美、游、中，现将
因式分解，结果呈现的密码信息可能是
A．爱我中华 B．我游中华 C．中华美 D．我爱美
（2）在对多项式进行因式分解中，有一些多项式用提公因式法和公式分解法无法直接分解
的．将一个多项式进行重新分组后，可用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分
组因式分解法．例如： ．下列说法：
①因式分解： ；
②若 ， ， 是 的三边长，且满足 ，则 为等腰三角形；
③若 ， ， 为实数且满足 ，则以 ， ， 作为三边能构
成三角形．
其中正确的个数有
A．0 B．1 C．2 D．3
练习4:
（1）小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息： ， ，5，
， ， ，分别对应下列六个字：区，爱，我，数，学，西，现将
因式分解，结果呈现的密码信息可能是 ．
（2）已知 ， ， 是 的三条边，且满足 ，则 是
A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
139考点三：新定义题型
例题5:
（2023•闵行区校级期中）阅读下列材料，然后解答问题：
问题：分解因式：
解答：对于任意一元多项式 ，其奇次项系数之和为 ，偶次项系数之和为 ，若
，则 ，若 ，则 （1） ．在 中，因为 ，
所以把 代入多项式 ，得其值为0，由此确定多项式 中有因式
，于是可设 ，分别求出 ， 的值，再代入
，就容易分解多项式 ，这种分解因式的方法叫
做“试根法”．
（1）上述式子中 ， ；
（2）对于一元多项式 ，必定有 ；
（3）请你用“试根法”分解因式： ．
练习5:
（2023•奉贤区期中）阅读下列材料，然后解答问题：
问题：分解因式：
解答：对于任意一元多项式 ，其奇次项系数之和为 ，偶次项系数之和为 ，若
，则 ，若 ，则 （1） ．在 中，因为 ，
所以把 代入多项式 ，得其值为0，由此确定多项式 中有因式
，于是可设 ，分别求出 、 的值，再代入
，就容易分解多项式 ，这种分解因式的方法叫
做“试根法”．
（1）上述式子中 ， ；
（2）对于一元多项式 ，必定有 ；
（3）请你用“试根法”分解因式： ．
140全真战场
关卡一
练习1:
已知 ， ， 是正整数， ，且 ，则 等于
A． B． 或 C．1 D．1或11
练习2:
分解因式：
（1） ；
（2） ．
（3） ；
（4）
（5）
141练习3:
因式分解：
（1）（2020•宝山区期末）分解因式： ．
（2）（2020•奉贤区期末）因式分解： ．
（3）（2020•奉贤区期末）因式分解： ．
（4）（2020•上海期末）分解因式： ．
（5）（2020•浦东新区期末）分解因式： ．
（6）（2020•松江区期末）因式分解： ．
142关卡二
练习4:
分解因式： ．
练习5:
已知： ， ，且 ，求 的值．
练习6:
已知 ，求 的值．
练习7:
先阅读下列解题过程，然后完成后面的题目．
分解因式：
解：
以上解法中，在 的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使这个式子
的值保持与 的值保持不变，必须减去同样的一项．按照这个思路，试把多项式
分解因式．
143练习8:
若 ，且 ．
（Ⅰ）求 的取值范围；
（Ⅱ）若 ，求 的值．
14410 整式的除法
考情链接
1. 本次任务由三个部分构成
（1）同底数幂的除法
（2）单项式除以单项式
（3）多项式除以单项式
2. 考情分析
（1）主要考察同底数幂、单项式与单项式以及多项式与单项式运算。这个部分知识主要以
计算解答题的形式对学生进行考察；
（2）整式除法同整式加减法一样，是整式运算的重要内容，是进一步学习因式分解、分式、
方程、函数以及其他数学内容的基础，同时也是学习物理、化学等学科不可缺少的数学工
具．因此，本章内容在学习数学及其他学科方面占有重要的地位和作用．学习整式乘除是
学习整式加减的继续和发展.
145知识加油站1——同底数幂的除法
考点一：同底数幂的除法
知识笔记1
1、同底数幂相除：
同底数的幂相除，底数不变，指数相减．用式子表示为：_______________________
2、零次幂
规定___________________；___________________（ ， 是正整数）．
例题1:
计算：
（1）（2022•浦东新区二模）计算： ．
（2） .
（3）（2022•普陀区梅陇中学期中）计算： ．
（4）（2022•闵行区梅陇中学期中）计算：结果用幂的形式表示 ．
（5）（2021•徐汇区月考） ．
练习1:
计算：
（1） ；
146（2） ；
（3） ；
（4）（2022•浦东新区期中）计算： ；
（5） ；
（6） ．
147例题2:
计算：
（1） ．
（2） ．
练习2:
计算：
（1） ．
（2）
例题3:
（1）若 ， ，则 ．
（2）（2020•浦东新区月考）若 ， ，则 的值为 ．
148练习3:
（1）若 ， ，则 ．
（2）已知 ， ，则 ．
例题4:
（1）已知： ，求 的值．
（2）已知 ，求 的值．
练习4:
（1）若 ， ，求 的值．
（2）已知 ，求 的值；
149考点二：同底数幂的除法与新定义
例题5:
探究应用：用“ ”“ ”定义两种新运算：对于两个数 ， ，规定 ，
．例如： ； ．
（1）求 的值；
（2）求 的值；
（3）当 为何值时， 的值与 的值相等．
练习5:
我们约定： ，如 ．
（1）试求 的值；
（2）试求 的值．
150知识加油站2——单项式除以单项式
考点三：单项式除以单项式
知识笔记2
单项式除以单项式：
两个单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字
母，则连同它的指数作为商的一个因式．
例题6:
计算：
（1）（2022•闵行区梅陇中学期中）计算： ．
（2） ；
（3） ．
（4） ．
练习6:
计算：
（1）
151（2） ．
（3）
考点四：单项式除以单项式的简单应用
例题7:
（1）已知一个单项式乘以 ，所得的积是 ，求这个单项式．
（2）已知长方体的体积为 ，它的长为 ，宽 ，求这个长方体的高．
（3）先化简： ，再计算：当 ， ， 的值．
152练习7:
（1）三角形的面积为 ，一底边长为 ，则这条边上的高可以表示为： ．
（2）先化简，再求值： ，其中 ， ， ．
153知识加油站3——多项式除以单项式
考点五：多项式除以单项式
知识笔记3
多项式除以单项式：
先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商___________．
例题8:
计算：
（1）（2020•松江区期末）计算：
（2）（2021•普陀区期末）计算： ．
（3）（2021•宝山区期末）计算：
（4）（2020•徐汇区校级月考）计算： ．
154练习8:
计算：
（1）
（2） ．
（3） ．
（4） ．
例题9:
计算：
（1） ．
（2） ．
（3）（2022•宝山实验学校期中）计算： ．
155（4）
练习9:
计算：
（1） ．
（2） ．
（3） ．
（4） ．
156考点六：多项式除以单项式的应用
例题10:
（1）已知一个多项式与单项式 的积是 ，求这个多项式．
（2）（2020•浦东新区月考）一个矩形的面积为 ，若一边长为 ，则其邻边长为
．
（3）化简求值： ，其中 ， ．
练习10:
（1）已知 与一个整式的积是 ，求这个整式．
（2）先化简再求值： ，其中 ， ．
157全真战场
关卡一
练习1:
计算：
（1） __________．
（2） __________．
（3） __________．
（4） __________．
（5） ．
（6） ．
练习2:
计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
158练习3:
计算：
（1） ．
（2） ．
（3） .
（4）
练习4:
（2022•宝山区校级月考）先化简，再求值： ，其中 ，
．
159关卡二
练习5:
是否存在常数 、 使得 能被 整除？如果存在，求出 、 的值，
否则请说明理由．
160练习6:
我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，步骤如下：
①把被除式、除式按某个字母作降幂排列，井把所缺的项用零补齐；
②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项；
③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项；
④把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数
低于除式的次数时为止，被除式 除式 商式 余式，若余式为零，说明这个多项式能被
另一个多项式整除．
例如：计算 ，可用竖式除法如图：
所以 除以 ，商式为 ，余式为0．
根据阅读材料，请回答下列问题：
（1） 的商是_________________，余式是_________________；
（2） 能被 整除，求 ， 的值．
161练习7:
已知 为实数，且多项式 能被多项式 整除
（1）求 的值；
（2）求 的值；
（3）若 ， ， 为整数，且 ，试确定 ， ， 的值．
16211 分式的概念和性质
考情链接
1. 本次任务由三个部分构成
（1）分式的基本概念
（2）“有/无意义”与“值为零”
（3）分式的基本性质
2. 考情分析
（1）主要考察分式的基本概念和基本性质，在期末考中常常会以填空的形式进行考察;
（2）本讲内容学习分式的基本意义和性质．经历分式的形成过程，理解分式的概念，会求
使分式有意义、无意义、分式值为零时的字母取值．通过与分数的基本性质的类比，掌握
分式的基本性质，类比分数的约分，理解分式约分的意义，掌握分式约分的基本方法．重
点是分式的基本性质，难点是分式约分的灵活应用．
163知识加油站1——分式的基本概念
知识笔记1:
分式的概念
当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式．
一般地，如果 ， 表示两个整式，并且 中含有字母，那么式子 叫做分式．
整式与分式统称为有理式．
在理解分式的概念时，注意以下三点：
① 分式的______中必然含有______；
② 分式的______的值不为___；
③ 分式必然是写成两式相除的形式，中间以_________隔开．
考点一：分式的判断
例题1:
（2022•宝山区期末）下列各式中，属于分式的是
A． B． C． D．
练习1:
在代数式 ， ， ， 中，分式有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
164考点二：分式值正负性问题
例题2:
如果分式 的值为负数，则 的取值范围是______．
练习2:
若分式 的值总是正数， 的取值范围是
A． 是正数 B． 是负数 C． D． 或
考点三：分式的实际问题的应用
例题3:
现有单价为 元的果冻 千克，单价为 元的果冻 千克，单价为 元的果冻 千克，若将这
三种果冻混合在一次，则混合后的果冻售价为_________元/千克．
练习3:
在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时 千米，下坡时的速度为每小时 千米，
则他在这段路上、下坡的平均速度是__________．
165知识加油站2——“有/无意义”与“值为零”
考点四：分式有意义，无意义，值为0的条件
知识笔记2:
1. 分式有意义的条件
两个整式相除，除数不能为零，故分式有意义的条件是_______________;
当____________，分式无意义．
2. 分式的值为零
分式的值为零时，必须满足分式的____________，且分式的______________，注意是“同
时”．
例题4:
第一组：
（1）（2022•上海期末）要使分式 有意义，则 的取值范围是 ．
（2）（2022•徐汇区期末） 时，分式 无意义，则 ．
（3）（2022•青浦区东方中学期末）如果分式 的值为零，那么 ．
第二组：
（1）当x=__________时，分式 的值为0.
（2）（2022•宝山区罗南中学期末）当 时，分式 的值为0．
（3）若分式 有意义，则（ ）．
A． B． C． 且 D． 且
166练习4:
第一组：
（1）如果分式 有意义，那么 的取值范围是____．
（2）当 _________时，分式 无意义．
（3）如果分式 的值为零，那么 _________．
第二组：
（1） 为何值时，分式 有意义？
（2）当m=__________时，分式 的值为0.
（3） 为何值时，分式 无意义？
167知识加油站3——分式的基本性质
知识笔记
1. 分式的基本性质
分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值______．
上述性质用公式可表示为： ， ．
注意：
（1）在运用分式的基本性质时，基于的前提是 ；
（2）强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式；
（3）分式的基本性质是约分和通分的理论依据．
2. 约分
根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母中_______________约去的过程，叫做约分．
3. 最简分式
一个分式的分子、分母没有_______________ (1除外）时，这个分式叫做最简分式．约分可
以把一个分式化为最简分式．
4. 约分的方法
（1）当分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，则约去分子、分母中相同因式的
_____________，分子、分母的系数约去它们的________________．
（2）当分式的分子、分母中有多项式，则要先因式分解，再约分．
（3）约分一定要彻底，即约分后分子和分母中不含公因式．
168考点五：分式的基本性质
例题5:
不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数．
（1） ； （2） ．
练习5:
不改变分式的值，使下列分式中的分子与分母的各项的系数都是整数，且分子的首项系数
是正数，并把结果填在横线上．
（1） ； （2） ．
例题6:
（1）（2022•虹口区民办新复兴中学期中）若分式 中 和 的值都扩大5倍，那么
分式的值
A．扩大5倍 B．不变 C．缩小5倍 D．以上都不对
（2）（2021•金山区期末）如果将分式 中的 和 都扩大到原来的4倍，那么分式
的值
A．不变 B．扩大到原来的4倍
C．扩大到原来的8倍 D．扩大到原来的16倍
169练习6:
若 的值扩大为原来的 倍，下列分式的值如何变化？
（1） （2） （3）
考点六：分式的约分
例题7:
将下列分式化为最简分式：
第一组：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
第二组：
将下列分式化为最简分式：
（1） ；
170（2） ；
（3） ；
(4) ．
练习7:
第一组：
将下列分式化为最简分式：
（1） ； （2） ； （3） ； （4） ．
第二组：
将下列分式化为最简分式：
（1） ；
171（2） ；
（3） ；
（2） ．
考点八：设k法求解分式值题型
例题8：
（1）已知 ， ，则 的值为
（2）已知 ，求 的值．
练习8:
已知： ，求代数式 的值．
172考点九：分式中新定义题型
例题9:
阅读下列材料：
通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分
数，如： ．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分
子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次
数时，我们称之为“真分式”．
如： ， 这样的分式就是假分式；再如： ， 这样的分式就是真分式．
类似的，假分式也可以化为带分式（即 整式与真分式的和的形式）．
如： ；
再如： ．
解决下列问题：
（1）分式 是 分式（填“真分式”或“假分式” ；
（2）假分式 可化为带分式 的形式；
（3）如果分式 的值为整数，那么 的整数值为 ．
173练习9:
“约去”指数：
如 ， ，
你见过这样的约分吗？面对这荒谬的约分， 一笑之后， 再认真检验， 发现其结果竟然正
确！这是什么原因？仔细观察式子， 我们可作如下猜想： ，试
说明此猜想的正确性 ． （供 参考：
174全真战场
关卡一
练习1:
在代数式 ， ， ， ， 中，分式有
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
练习2:
若把 ， 的值同时扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是
A． B． C． D．
练习3:
将下列分式化为最简分式．
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
175关卡二
练习4:
若 ，求 的值．
练习5:
阅读材料：已知 ，求 的值
解：由 得， ，则有 ，
由此可得， ；
所以， ．
请理解上述材料后求：已知 ，用 的代数式表示 的值．
练习6:
已知 满足 ，求 的值．
练习7:
已知 ，求 的值．
17612 分式的运算
考情链接
1. 本次任务由两个部分构成
（1）分式的乘除
（2）分式的加减
2. 考情分析
（1）主要考察分式的运算，在期末考中常常会以解答题的形式对计算进行考察；
（2）通过与分数乘除法类比的过程，总结概括出分式乘除的运算法则．通过具体的练习，
掌握分式乘法、除法的运算法则，体会化归与转化的数学思想．重点是分式的四则运算，
难点在于异分母分式的加减法．把分式的除法转化为乘法，能正确进行通分，把异分母分
式的加减转化为同分母分式的加减，是本讲内容的关键.
177知识加油站1——分式的乘除
考点一：分式有意义
知识笔记1:
1. 分式的乘法法则
两个分式相乘，将分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，用式子表示___________．
2. 分式的除法法则
分式除以分式，将除式的分子和分母颠倒位置后，再与被除式相乘．
用公式表示为_____________________．
3. 分式的乘方法则
分式乘方就是把分子、分母各自乘方．即___________．
4. 分式的乘除混合运算
分式的乘除混合运算，有括号先算括号里的，没有括号按从左到右的顺序计算．
例题1:
若 有意义，则 的取值范围是____________．
练习1:
计算：若代数式 有意义，则 的取值范围是_______．
178考点二：分式乘除计算和化简求值
例题2:
（1）（2021•徐汇区月考）计算： ．
（2）（2022•虹口区民办新复兴中学期中）计算：
．
（3）（2022•黄浦区校级期中）计算： ．
（4）（2022•松江区校级月考）计算： ．
（5）（2022•青浦区模拟）计算： ．
179练习2:
（1）计算： .
（2）化简： ．
（3）计算： ．
（4）先化简，再求值： ，其中 ， ．
180知识加油站2——分式的加减
知识笔记2:
1. 同分母的分式加减法法则
同分母分式相加减，分母______，分子相______．
2. 异分母的分式加减法法则
（1）通分：将几个异分母的分式分别化为与原来分式的值相等的同分母分式的过程叫做通
分，这几个相同的分母叫做_____________．
（2）异分母分式加减法法则：分母不同的几个分式相加减，应先进行通分，化成同分母分
式后再进行加减运算，运算结果能化简的必须化简．
3. 分式的综合运算
与分数的混合运算类似，先算乘除，再算加减，如果有括号，要先算括号内的．
181考点三：分式的加减和化简求值
例题3:
（1）（2022•杨浦区三模）计算： ．
（2）（2022•普陀区二模）先化简，再求值： ，其中 ．
（3）（2023•黄浦区二模）计算： ．
（4）（2022•闵行区七宝三中期末）先化简，后求值： ，然后在
0，1，2三个数中选一个适合的数，代入求值．
练习3:
（1）计算： ．
182（2）先化简，再求值： ，其中 ．
（3）计算：
（4）先化简 ，然后从 的范围内适当选取一个整数作为 的
值，再代入求值．
考点四：整体代入问题
例题4:
实数 满足 ，记 ， ，判断 ， 的大小关系，
并说明理由.
练习4:
已知两个分式 ， ，判断A，B两分式的数量关系，并
说明理由.
183考点五：待定系数法求字母的值
例题5:
阅读下列材料：分式 可以化为分母分别为 与 且分子都是常数的两个分式的
和 ． 为 解 决 这 个 问 题 ， 可 设 、 为 常 数 ） ， 由
， 可 得 ， 由 此 可 得 解 得
所以 ，像这样的方法叫待定系数法．请用待定系数法将
化为分母分别为 与 且分子都是常数的两个分式的和．
练习5:
已知不论 取什么值（1，-2除外），等式 都成立，求 、
的值．
184考点六：已知某项求值问题
例题6：
（1）（2020•嘉定区期中）已知 ，则 ．
（2）（2022•静安区期中）已知若 ，则 ．
（3）（2021•浦东新区校级期中）已知 ，则 的值是 ．
（4）（2022•静安区期中）已知 ，则 ．
练习6:
（1）（2022•虹口区校级期中）已知 ，则 ， ．
（2）（2020•上海期末）若 ，则 ．
（3）（2022•杨浦区期末）如果 ， ，那么 ．
（4）（2020•浦东新区期中）如果 ，那么 ．
185考点七：分式的加减的应用
例题7:
（2022•宝山区罗南中学期末）阅读下列材料：分式 可以化为分母分别为 与 且
分子都是常数的两个分式的和．为解决这个问题，可设 、 为常
数），由 ，可得 ，由此可得 解
得 所以 ，像这样的方法叫待定系数法．请用待定系数法将
化为分母分别为 与 且分子都是常数的两个分式的和．
练习7：
（2023•松江区期末）我们知道假分数可以化成整数或者整数与真分数的和的形式．如果一
个分式的分子的次数大于或等于分母的次数，那么这个分式可以化成一个整式或整式与
“真分式”的和的形式．（我们规定：分子的次数低于分母的次数的分式称为“真分式”
．
如： ；又如： ．
若 ，可以写成一个整式与“真分式” 的和的形式，则
．
186全真战场
关卡一
练习1:
下列分式化简正确的是
A． B．
C． D．
练习2:
（1）计算：
（2）先化简，再求值： ，其中 ．
（3）先化简，再求值： ，其中 ．
187练习3:
已知 ，求 的值．
练习4：
（2022•嘉定区育才中学期末）如表，小琪的作业本上有这样一道填空题，其中有一部分被
墨水污染了，若把污染的部分记为代数式 ，若该题化简的结果为 ．
①求代数式 ；
②该题化简的结果 能等于 吗？为什么？
化简： 的结果为____．
188关卡二
练习5:
分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分
式为真分式．例如，分式是 ， 是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，
称这样的分式为假分式．例如，分式 ， 是假分式．一个假分式可以化为一个整式
与一个真分式的和．例如， ．
（1）将假分式 化为一个整式与一个真分式的和；
（2）如果分式 的值为整数，求 的整数值．
练习6:
我们定义：如果两个分式 与 的差为常数，且这个常数为正数，则称 是 的“雅中
式”，这个常数称为 关于 的“雅中值”．
如分式 ， ， ，则 是 的
“雅中式”， 关于 的“雅中值”为2．
（1）已知分式 ， ，判断 是否为 的“雅中式”，若不是，请
说明理由，若是，请证明并求出 关于 的“雅中值”；
189(2) 已知分式 ， ， 是 的“雅中式”，且 关于 的“雅中值”
是2， 为整数，且“雅中式” 的值也为整数，求 所代表的代数式及所有符合条件
的 的值之和；
(3) 已知分式 ， ， ， 为整数）， 是 的“雅中
式”，且 关于 的“雅中值”是1，求 的值．
练习7:
已知 三个数满足 ，求式子 的值．
19013 阶段复习
考情链接
1. 本次任务由三个部分构成
（1）阶段真题选填练习
（2）阶段真题计算练习
（3）阶段真题综合题练习
2. 考情分析
（1）《整式》、《分式》章节在真题试卷中的考察形式；
（2）系统性复习整式的概念、整式的加减、幂的运算、整式的乘法、乘法公式、因式分解、
整式的除法、分式的概念和运算等知识点，结合真题试卷巩固.
191知识加油站1——阶段真题选填练习
考点一：阶段真题选填练习
例题1*:
一、选择题
1．在下列各式中，正确的是
A． B．
C． D．
2．对于式子 说法正确的是
A．是一次二项式 B．是二次二项式 C．是整式 D．不是整式
3．下列描述正确的是
A． 与 是同类项 B． 与 是同类项
C． D．
4．把多项式 分解因式得 时， 、 的值分别可能是
A． B． C． D．
5．如果把分式 中的 和 都扩大3倍，那么分式的值
A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．扩大9倍 D．缩小9倍
6．如图（1），把一个长为 ，宽为 的长方形 沿虚线剪开，拼接成图（2），成
为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为
A． B． C． D．
192二、填空题
7．计算： ．
8．计算： ．
9．分解因式： ．
10．如果多项式 在整数范围内可以因式分解，那么 可以取的值是 （写出
一个即可）．
11．如果 是完全平方式，则 的值是 ．
12．计算： ．
13．如果分式 有意义，那么 的取值范围是 ．
14． ．
15．计算： ．
16．当 时，方程 会产生增根．
17．若 ，则代数式 的值是 ．
18．已知 ，则 的值为 ．
193练习1:
一、选择题
1．下列计算正确的是
A． B． C． D．
2．在代数式0， ， ， ， ， 中，单项式的个数有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．已知 是一个完全平方式，则常数 的值为
A．6 B． C．12 D．
4．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是
A． B．
C． D．
5．计算 的结果是
A． B．2 C． D．
6．从边长为 的大正方形纸板中挖去一个边长为 的小正方形纸板后，将其裁成四个相同
的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）．那么通过计算两个图形阴
影部分的面积，可以验证成立的公式为
A． B．
C． D．
194二、填空题
7．计算： ．
8．计算： ．
9．计算： ．
10．计算： ．
11．计算： ．
12．用代数式表示： 的平方的3倍与5的差的一半 ．
13．当 时，代数式 的值是 ．
14．若 与 是同类项，则 ．
15．把多项式 按字母 的降幂排列是： ．
16．因式分解： ．
17．若 的展开式中不出现 项且 项系数为1，则 ．
18．已知 ， ，求 的值是 ．
195知识加油站2——阶段真题计算练习
考点二：阶段真题计算练习
例题2*:
简答题
1．计算： ．
2．因式分解： ．
3．分解因式： ．
4．计算：
5．解方程： ．
196练习2:
简答题
1．计算： ．
2．计算： ．
3．利用乘法公式计算：
（1） ； （2） ．
4．计算： ．
5．分解因式： ．
197知识加油站3——阶段真题综合题练习
考点三：阶段真题综合题练习
例题3*:
解答题
1．先化简，后求值： ，其中 ．
2．先化简，再求值： ，在0，1，2三个数中选一个合适的，代入求
值．
3． 、 两地相距 ，甲骑自行车从 地出发1小时后，乙也从 地出发，用相当于
甲的1.5的速度追赶，当追到 地时，甲比乙先到20分钟，求甲、乙两人的速度．
4．已知 ，求 的值．
1985．已知 是恒等式，请分别求 、 的值．
6．当 为何取值范围时，分式方程 的解不大于5．
7．已知 ，且 ，求 的值．
199练习3:
一、解答题
1．先化简，再求值： ，其中 ．
2．已知 ， ，求下列各式的值：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
2003．已知（如图）用四块大小一样，两直角边的长分别为 、 ，斜边的长为 的直角三角
形拼成一个正方形 ，求图形中央的小正方形 的面积，有
（1） （用 、 表示）；
（2） （用 表示）；
（3）由（1）、（2），可以得到 、 、 的关系为： ．
二、能力题
4．阅读下列解题的过程．
分解因式：
解：
请按照上述解题思路完成下列因式分解：
（1） ；
（2） ．
201全真战场
关卡一
练习1:
一、单选题
1．下列因式分解结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若 成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．下列结果等于6a4的是（ ）
A．3a2+2a2 B．3a2•2a2 C．（3a2）2 D．9a6÷3a2
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列算式能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
6．化简 正确的结果是 （ ）
A． B．
C． D．
7．下列去括号中，正确的是（ ）
A．a2-（2a-1）=a2-2a-1 B．a2+（-2a-3）=a2-2a+3
C．3a-[5b-（2c-1）]=3a-5b+2c-1 D．-（a+b）+（c-d）=-a-b-c+d
2028．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D ．
9．将下列多项式分解因式，得到的结果中不含因式x-1的是（ ）
A． B． C． D ．
二、填空题
10．计算：（9a6﹣12a3）÷3a3＝ ．
11．长为a，宽为b的矩形，它的周长为16，面积为12，则 的值为 .
12．计算 ＝ ．
13．a6b6=（a2b2）（） =（ab）（ab）（） ．
三、计算题
14．计算：
（1）（x3）2•（﹣2x2y3）2； （2）（a﹣3）（a+3）+（2a+1）
2．
15．因式分解：
（1）﹣a3+2a2﹣a； （2）x4﹣1．
203四、解答题
16．数学课上老师出了一道题：计算2962的值，喜欢数学的小亮举手做出这道题，他的解
题过程如下：
2962=(300－4)2=3002－2×300×(－4)+42
=90000+2400+16=92416
老师表扬小亮积极发言的同时，也指出了解题中的不符合题意，你认为小亮的解题过程错
在哪儿，并给出正确的答案.
17．若x+y=3，xy=1，试分别求出（x﹣y）2和x3y+xy3的值．（请写出具体的解题过程）
204五、综合题
18．规定两数a，b之间的一种运算，记作 ，如果 ，那么(a,b)=c，例如：
因为23=8，所以(2,8)=3.
（1）根据上述规定，填空：
， ；
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象， ，小明给出了如下的证明：
设 ，则 ，即 ，
∴ ，即 ，
∴
3n,4n
(3,4)
请你尝试用这种方法证明下面这个等式：
205关卡二
练习2:
计算： ．
练习3:
△ABC的三边a，b，c满足 ，则△ABC是（ ）
A．等边三角形 B．腰底不等的等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
练习4:
我国宋代数学家杨辉发现了 （ ，1，2，3，…）展开式系数的规律：
以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律， 展开式的系数和是（ ）
A．64 B．128 C．256 D．612
20614 可化为一元一次方程的分式方程
考情链接
1. 本次任务由三个部分构成
（1）可化为一元一次方程的分式方程解法
（2）分式方程的增根问题
（3）整数指数幂
2. 考情分析
（1）可化为一元一次方程的方程的分式方程与整数指数幂主要以填空、计算题的形式对学
生进行考查，而增根会以填空的形式对学生进行考查；
（2）理解分式方程及可化为一元一次方程的分式方程的意义．通过学习分式方程的解法，
理解分式方程的基本思想，重点知道解分式方程时可能产生增根的原因，掌握验根的方法
理解负整数指数幂的意义，掌握整数指数幂的运算法则，在用科学计算法表示绝对值较大
的数的基础上，学会用它表示绝对值小于1的数．
207知识加油站1——可化为一元一次方程的分式方程解法
考点一：分式方程的概念
知识笔记1
分式方程的概念
__________里含有未知数的方程叫做分式方程.
例题1:
（1）（2022•静安区市西中学期中）已知方程：
① ，
②
③
④ ．
这四个方程中，分式方程的个数是
A．4 B．3 C．2 D．1．
（2）（2022•普陀区校级期中）下列方程属于分式方程的是
A． B． C． D．
练习1:
（1）下列关于 的方程中，不是分式方程的是
A． B． C． D．
（2）（2021•宝山区校级月考）下列方程中不是分式方程的是
A． B． C． D．
208考点二：分式方程的解法
知识笔记2
可化为一元一次方程的分式方程一般解法：
（1）_________：在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程；
（2）解这个整式方程；
（3）_________：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零
的根是原方程的增根，必须舍去．
例题2:
（1）（2022•嘉定区育才中学期末）解方程： ．
（2）（2022•宝山区罗南中学期末）解方程： ．
（3）（2023•崇明区期末）解方程： ．
（4）（2023•普陀区校级期末）解方程： ．
209练习2:
（1）解方程： ．
（2）解方程： ．
（3）（2023•杨浦区期末）解方程： ．
（4）（2022•杨浦区期末）解方程： ．
210例题3:
阅读下列材料：
在学习“可化为一元一次方程的分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关
于 的分式方程 的解为正数，求 的取值范围．
经过独立思考与分析后，小杰和小哲开始交流解题思路如下：
小杰说：解这个关于 的分式方程，得 ．由题意可得 ，所以 ，问题
解决．
小哲说：你考虑的不全面，还必须保证 ，即 才行．
（ 1 ） 请 回 答 ： __________ 的 说 法 是 正 确 的 ， 并 简 述 正 确 的 理 由 是
________________________；
（2）参考对上述问题的讨论，解决下面的问题：
若关于 的方程 的解为非负数，求 的取值范围．
练习3:
已知分式方程 的解为正数，则 的取值范围为__________．
211知识加油站2——分式方程的增根问题
知识笔记3
增根问题的解题思路
（1）去分母
（2）将最简公分母等于0时，求出x的值（即求出增根的值）
（3）将x的值（增根）代入方程
（4）求出字母的值
【口诀：___________________________________________】
考点三：分式方程的增根问题
例题4:
（1）（2023•长宁区延安初级中学月考）已知关于 的方程 有增根，那么
．
（2）（2023•黄浦区期中）如果 是方程 的增根，那么 的值为 ．
（3）（2022•青浦区东方中学期末）解关于 的方程 有增根，则 的值为
．
（4）（2024•徐汇区校级月考）当 _____时，关于 的方程 会产生增根．
212练习4:
（1）若分式方程 有增根，则 的值是
A．3 B． C．2 D．0
（2）若关于 分式方程 有增根，则 _______．
（3）若 是方程 的增根，则 _______．
（4）（2023•崇明区期末）若关于 的方程： 有增根，则
____________．
213考点四：分式方程的无解问题
知识笔记4
无解问题的解题思路
（1）去分母
（2）将方程化为
ax=b
的形式
【分类讨论】
①增根情况：
同知识笔记3增根问题
②整式方程本身无解情况：【字母出现在未知数的系数中时，进行讨论】
{a=0¿¿¿¿
a. 列式： （即未知数系数=0，常数≠0）
b. 求出字母的值
例题5:
（1）（2022•闵行区七宝三中期末）如果关于 的分式方程 无解，则 的值
为______．
（2）（2023•杨浦区期中）若关于 的方程 无解，则 的值是______．
（3）（2023•普陀区校级期末）关于 的方程 无解，则 的值为
____________．
练习5:
（1）若关于 的方程 无解，则 的值为________．
（2）如果关于 的分式方程 无解，求字母 的值；
（3）（2023•徐汇区期中）若分式方程 无实数解，则 _____________．
214例题6:
已知关于 的分式方程 ．
①若方程的增根为 ，求 的值；
②若方程有增根，求 的值；
③若方程无解，求 的值．
练习6:
已知关于 的分式方程 ．
（1）若方程的增根为 ，求 的值；
（2）若方程无解，求 的值．
215知识加油站3——整数指数幂
考点五：整数指数幂
知识笔记5
1. 零指数
；
2. 负整数指数幂
；
3. 用科学记数法表示绝对值大于0而小于1的数的方法
绝对值大于0而小于1的数等于 ．
例题7:
（1）（2022•徐汇区期末）下列运算正确的是
A． B．
C． D．
（2）（2022•嘉定区育才中学期末）将 写成只含有正整数指数幂的形式：
_______．
（3）（2020•浦东新区期末）若 ， ， ，则 ， ， 的大小关
系是
A． B． C． D．
216练习7:
（1）（2020•静安区期末）如果 ，那么下列计算正确的是
A． B． C． D．
（2）（2020•松江区期末）将 写成只含有正整数指数幂的形式是：__________．
（3）将下列各式： 、 和 ，按从小到大的顺序排列结果是______________．
例题8:
（1）红细胞的直径约为 ， 用科学记数法表示为________________．
（2）用科学记数法表示： ____________．
练习8:
（1）（22•宝山区期末）已知空气每立方厘米的质量大约是 克，将这个数用科学
记数法表示为______________．
（2）（22•徐汇区期末）用科学记数法表示： =____________．
例题9:
（1）（2022•闵行区七宝三中期末）计算： （结果不含负整数指数幂）．
（2）（2023•普陀区期末）计算： ．
217练习9:
（1）计算：
（2）（2023•青浦区期末）计算： ．
218全真战场
关卡一
练习1:
下列关于 的方程是分式方程的为
A． B． C． D．
练习2:
（1）解方程： ．
（2）解方程：
（3）解方程：
练习3:
（1）已知关于 的分式方程 的的解为正数，则 的取值范围为_________．
（2）若关于 的方程 的解为正数，则 的取值范围为___________．
219（3）如果方程 会产生增根，那么 _______．
（4）如果在解关于 的方程 时产生了增根，那么 的值为
________．
练习4:
（1）将 写成不含分母的形式：_______________．
（2）将代数式 化为只含有正整数指数幂的形式_______________．
（3）计算： （结果不含负整数指数幂）．
220关卡二
练习5:
（1）解方程：
（2）解方程： ；
练习6:
，若方程无解，求 的值．
练习7:
已知 ，求 的值．
221【初一 01B】
入门测
1．下列计算正确的是
A． B． C． D．
2 ． （ 2023• 闵 行 区 校 级 月 考 ） 已 知 算 式 ： ① ； ②
；③ ；④ ；其中正确
的算式是
A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④
3．计算 的结果为
A． B． C． D．
4．计算：
（1） _______；
（2） _______；
（3） _______．
222入门测Plus
1．已知 ， 满足方程组 ．给出下列结论：
①当 时， 是方程组的解；
②若方程组的解也是 的解，则 ；
③若 ，则 ；
④若 ，则 ．
正确的是__________．（填序号）
223出门测
1. 下列运算中，正确的是
A． B．
C． D．
2. 一张长方形的桌子可坐6人，按下图将桌子拼起来．按这样的规律做下去第 张桌子可
以坐 人．
3. 与 的和是 ，则 ．
4. 已知 ， ，则 ．
出门测Plus
1 计算：
（1） ．
（2）
224【初一 02B】
入门测
1. 下列计算过程正确的是
A． B．
C． D．
2. 如图，用若干个边长为1的小正方形，依次拼成大的正方形，其中第1个正方形中有4
条长为1的线段，第2个大正方形中有6条长为2的线段，第3个大正方形中有8条长为3
的线段， ，那么第 个大正方形中有长为 的线段的条数为
A． B． C． D．
3. 如果单项式 与 是同类项，那么 的值 ．
4. 若 ， ．
入门测Plus
1. 计算：
（1） ．
（2） .
225出门测
1．（2022•浦东新区校级期中）如图，正方形卡片 类、 类和长方形卡片 类各若干张，
如果要拼一个长为 ，宽为 的大长方形，则需要 类、 类和 类卡片的张
数分别为
A．2，5，3 B．3，7，2 C．2，3，7 D．2，5，7
2.（2023•浦东新区期末）计算： ．
3．（2023•静安区校级月考）计算，结果用科学记数法表示： ．
4．（2023•松江区月考）计算： ．
5．（2023•松江区月考）若 的展开式中不含 和 项，求 、
的值．
出门测Plus
1.（2023•闵行区校级期中）计算： ．
226【初一 03B】
入门测
1．计算 的结果是 ．
2．如图，根据图形的面积可得到一个整式乘法的一等式为 ．
3．若计算 与 相乘的结果中不含有 的项，则 的值为 ．
4．在 的运算结果中不含 项，且 项的系数是 ，那么 ．
5．已知 ，计算 的值为 ．
入门测Plus
1．甲、乙两人共同计算一道整式： ，由于甲抄错了 的符号，得到的结果是
，乙漏抄了第二个多项式中 的系数，得到的结果是 ．
（1）求 的值；
（2）若整式中的 的符号不抄错，且 ，请计算这道题的正确结果．
227出门测
1．（2022•静安区市西中学期中）在下列多项式乘法中，能用完全平方公式计算的是
A． B． C． D．
2．（2022•建平中学西校期中）下列多项式乘以多项式能用平方差公式计算的是
A． B．
C． D．
3．（2021•徐汇区月考）计算： ．
4．（2020•普陀区期末）计算： ．
5．（2020•上海期末）计算： ．
出门测Plus
1.（2022•长宁区天山二中期中）计算： ．
228【初一 04B】
入门测
1．下列各式能用平方差公式计算的是
A． B．
C． D．
2．下列多项式的乘法中，能用平方差公式计算的是
A． B． C． D．
3．若 ， ，则 ．
4．计算 ．
5．当 时， 的值为3，则 的值为 ．
入门测Plus
1．用简便方法计算
1）
（
（2）
229出门测
1．（2022•闵行区梅陇中学期中）若多项式 是完全平方式，则 的值为
A．6或 B．12或 C．12 D．
2．（2021•浦东新区期末）多项式 是个完全平方式，那么代数式 不可能为
A ． B ． C ． D ．
3．（2021•徐汇区月考） ．
4．（2021•长宁区西延安中学期中）已知 ，则代数式 的值为 ．
5．若 ，则 ．
出门测Plus
1．（2021•普陀区期中）已知 ， ．
（1）求 的值；
（2）求 的值．
230【初一 05B】
入门测
1．若 是完全平方式，则 的值等于
A．2 B．2或 C．4或 D．8或
2．若 为常数，要使 成为完全平方式，那么 的值是
A．4 B．8 C． D．
3．若 ，则 的值是 ．
4．已知： ，则代数式 的值为 ．
5．若 ， ，则 ．
入门测Plus
1．已知 ， ，请求出 与 的值．
231出门测
1．（2021•松江区期中）下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是
A． B．
C． D．
2．（2020•浦东新区期末）多项式 ， 与 的公因式为
A． B． C． D．
3．（2021•浦东新区傅雷中学期中）因式分解： ．
4．（2021•长宁区西延安中学期中）分解因式： ．
5. （2021•黄浦区期中）分解因式： ．
出门测Plus
1．（2021•奉贤区期中）小红准备完成题目：计算 ．
她发现第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了．
（1）她把被遮住的一次项系数猜成3，请你完成计算： ；
（2）老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含三次项的．”请通过计算说明原题
中被遮住的一次项系数是多少？
232【初一 06B】
入门测
1．下列各式中从左到右的变形是因式分解的是
A． B．
C． D．
2．多项式 是正整数）中各项的公因式是
A． B． C． D．
3．分解因式： ．
4．因式分解．
（1） ；
（2） ．
5．分解因式：
（1） ；
（2） ．
233入门测Plus
1．已知 的一个因式为 ，求 值．
出门测
1．（2022•嘉定区丰庄中学期中）下列因式分解的结果正确的是
A． B．
C． D．
2．（2021•嘉定区期中）下列各式中，不能用公式法分解因式的是
A． B． C． D．
3．（2022•长宁区第三女子中学期中）因式分解： ．
4．（2022•黄浦区期中）分解因式： ．
5．（2022•浦东新区南汇一中期中）分解因式： ．
出门测Plus
1．（2022•奉贤区期中）因式分解： ．
2．（2022•嘉定区丰庄中学期中）因式分解： ．
234【初一 07B】
入门测
1．下列因式分解正确的是
A． B．
C． D．
2． 可以被60和70之间某两个数整除，这两个数是
A．64，63 B．61，65 C．61，67 D．63，65
3．因式分解： ．
4．分解因式： ．
5．分解因式： ．
入门测Plus
1．因式分解：
（1） ；
（2） ．
2．因式分解．
（1） ；
（2） ．
235出门测
1．（2022•静安区二模）如果把二次三项式 分解因式得 ，
那么常数 的值是
A．3 B． C．2 D．
2．（2022•静安教育学院附属学校期中）多项式 可因式分解成
，其中 、 、 均为整数，求 之值为何？
A．0 B．10 C．12 D．22
3．（2022•闵行区梅陇中学期中）因式分解： ．
4．（2022•虹口区民办新复兴中学期中）分解因式： ．
5．（2020•松江区期末）因式分解： ．
236出门测Plus
1．阅读下列材料：
材料1：将一个形如 的二次三项式因式分解时，如果能满足 且 ，
则可以把 因式分解成 ，如：（1） ；
（2） ．
材料2：因式分解： ．
解：将“ 看成一个整体，令 ，则原式 ，再将“ ”还
原得：原式 ．
上述解题用到“整体思想”整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问
题：
（1）根据材料1，把 分解因式；
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：
①分解因式： ；
②分解因式： ．
237【初一 08B】
入门测
1．若多项式 可因式分解为 ．其中 ， 均为整数，则 的值是
A．13 B．11 C．9 D．7
2．计算结果为 的是
A． B． C． D ．
3．若某多项式分解因式的结果为 ，则原多项式为 ．
4．因式分解： ．
5．将下列多项式分解因式：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
238入门测Plus
1. 阅读以下材料
材料：因式分解：
解：将“ ”看成整体，令 ，则原式
再将“ ”还原，得原式
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你
解答下列问题：
（1）因式分解： ；
（2）因式分解： ；
（3）求证：无论 为何值，式子 的值一定是一个不小于1的数．
239出门测
1．（2022•长宁娄山中学期中）分解因式： ．
2．（2022•普陀区梅陇中学期中）分解因式： ．
3．（2021•长宁西延安中学期中）分解因式： ．
4. 分解因式：
5. 分解因式：
出门测Plus
1.（2023·杨浦区期末）因式分解： ；
240【初一 09B】
入门测
1．分解因式 ．
2．分解因式： ．
3．分解因式： ．
4. 分解因式：
5. 分解因式：
入门测Plus
1. 分解因式：bc（b+c）+ca（c-a）-ab（a+b）
241出门测
1．（2022•长宁娄山中学期中）分解因式： ．
2．（2022•普陀区梅陇中学期中）分解因式： ．
3．（2022•崇明区二模）分解因式： ．
4．（2021•松江区期中）因式分解： ．
5．（2021•长宁西延安中学期中）分解因式： ．
出门测Plus
1．（2022•长宁第三女子中学期中）阅读：分解因式 ．
解 ： 原 式
，
此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种
方法为“配方法”，此题为用配方法分解因式．请体会配方法的特点，然后用配方法解决
下列问题：在有理数范围内分解因式： ．
242【初一 10B】
入门测
1．分解因式 ．
2．分解因式： ．
3．分解因式： ．
4．分解因式： ．
5．已知 ， ，求 的值．
入门测Plus
1．阅读下列材料：
利用完全平方公式，可以将多项式 变形为 的形式，我们把这
样的变形方法叫做多项式 的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一
些多项式进行分解因式．例如：
，
根据以上材料，解答下列问题：
（1）用多项式的配方法将 化成 的形式；
（2）把多项式 进行分解因式．
243出门测
1. 已知 ， ，则 ．
2．（2022•长宁区二模）计算： ．
3. （2023•静安区校级月考）计算： ．
4．计算： ．
5. 计算： ．
6．（2021•浦东新区期末）计算： ．
出门测Plus
1. 计算： ．
2．（2022•闵行区梅陇中学期中）先化简，再求值： ，
其中， ， ．
244【初一 11B】
入门测
1．已知 是不为零的实数 ，则 的值是 ．
2． 的计算结果是 ．
3. ．
4. 计算： ．
5．化简： ．
6. 化简： ．
入门测Plus
1. 计算： ．
2．先化简再求值： ，其中 ．
245出门测
1．下列代数式中，归类于分式的是
A． B． C． D．
2．下列各式中，当 时一定有意义的是
A． B． C． D．
3．当 时，下列各式值为0的是
A． B． C． D．
4．已知分式 的值为 ，如果把分式 中的 、 同时扩大为原来的3倍，那么
新得到的分式的值为
A． B． C． D．
5．在分式 ， ， ， ， 中，最简分式有 个．
出门测Plus
1．化简： ．
2．化简： ．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/5/11 11:49:52；用户：初中数学；邮箱：shsxdf1@xyh.com；学号：47206530
246【初一 12B】
入门测
1．下列各式： 中，是分式的共有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．使分式 有意义的 的取值范围是
A． B． C． D．
3．若分式 的值为0，则 的值为
A．1 B． C． D．2
4．如果把分式 中的 和 都扩大到原来的20倍，那么分式的值
A．扩大到原来的20倍 B．缩小到原来的
C．扩大到原来的2倍 D．不变
5．分式 化为最简分式的结果是 ．
入门测Plus
1．化简： ．
2．分式化简： ．
247出门测
1．（2021•金山区期末）计算： ．
2．（2021•普陀区期末）计算： ．
3．（2022•嘉定区育才中学期末）计算： ．
4．（2023•徐汇区二模）先化简，再求值： ，然后从 ， ，0，
2，3中选一个合适的数代入求值．
248出门测Plus
1．（2022•嘉定区育才中学期末）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来
简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子
变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：已知： ，求代数式 的值．
解：因为 ，所以 ，即 ，所以 ，
所以 ．
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“ ”，将连等式变成几个值为 的
等式，这样就可以通过适当变形解决问题．
例：若 ，且 ，求 的值．
解：令 则 ， ， ，所以 ．
根据材料解答问题：
（1）已知 ，求 的值．
（2）已知 ， ，求 的值．
249【初一 13B】
出门测
一、单选题
1．下列计算中 ， 正确的是 （ ）
A． B． C． D．
2．下列关系式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．若 是完全平方式，则m的值等于（ ）
A．2 B．2或 C．4或 D．8或
5．下列等式中，从左到右的变形是多项式的因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
6．单项式 与 的公因式是（ ）
A． B． C． D．
7．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a>b）（如图甲），把余下的部
分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）
A． B．
C． D．
2508．已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．计算： ________．
10． ______．
11．已知 ，则 ____________．
12．若 ＝3， ＝6，则 ＝_____．
13. 的结果是______．
251【初一 14B】
入门测
1．下列计算中 ， 正确的是 （ ）
A． B． C． D．
2．下列关系式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．若 是完全平方式，则m的值等于（ ）
A．2 B．2或 C．4或 D．8或
5．下列等式中，从左到右的变形是多项式的因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
252入门测Plus
1．单项式 与 的公因式是（ ）
A． B． C． D．
2．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a>b）（如图甲），把余下的部
分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）
A． B．
C． D．
3．已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
出门测
1．（2021•金山区期末）下列关于 的方程中，不是分式方程的是
A． B． C． D．
2．（2022•杨浦区市光中学期中）方程 有增根，则 的值为
A． B． C． D．3
3．（2022•青浦区清河湾中学期末）如果关于 的分式方程 的解为正数，那么
的取值范围是 ．
2534．（2021•金山区期末）把 ， ， 用“ ”连接，结果为： ．
5．（2021•金山区期末）计算： ．
出门测Plus
1．（2021•青浦区期中）观察方程①： ，方程②： ，方程③： ．
（1）方程①的根为： ；方程②的根为： ；方程③的根为： ；
（2）按规律写出第四个方程： ；此分式方程的根为： ；
（3）写出第 个方程（系数用 表示） ；此方程解是： ．
254
