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第二十四章过关自测卷
（100分,45分钟）
一、选择题（每题4分，共32分）
1〈. 重庆〉如图1，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若
∠BAO=40°，则∠OCB的度数为（ ）
A．40° B．50° C．65° D．75°
图1 图2
2〈. 甘肃兰州〉如图2是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部
分，如果水面AB宽为8 cm，水面最深地方的高度为2 cm，则该输水
管的半径为（ ）
A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm
3〈. 甘肃兰州〉圆锥底面圆的半径为3 cm，其侧面展开图是半圆，则圆
锥母线长为（ ）
A．3 cm B．6 cm C．9 cm D．12 cm图3 图4
4.如图3，边长为a的六角螺帽在桌面上滚动（没有滑动）一周，则它
的中心O点所经过的路径长为（ ）
A．6a B．5a C．2aπ D． aπ
5〈. 山东泰安〉如图4，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C
是Com的中点，则下列结论不成立的是（ ）
bin
A．OC//AE B．EC=BC
C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE
6〈. 2013,晋江市质检〉如图5，动点M，N分别在直线AB与CD上，且
AB//CD，∠BMN与∠MND的平分线相交于点 P，若以MN为直径作
⊙O，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
图5
A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O内
C．点P在⊙O上 D．以上都有可能
7.△ABC中，AB=AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，I为△ACD的
内切圆圆心，则∠AIB的度数是（ ）
A．120° B．125° C．135° D．150°
8〈. 贵州遵义〉如图6，将边长为1 cm的等边三角形ABC沿直线l向右
翻动（不滑动），点B从开始到结束，所经过路径的长度为（ ）图6
A． π cm B． cm C． π cm D．3 cm
二、填空题（每题4分，共24分）
9〈. 四川巴中〉如图7，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，
CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD等于________.
图7 图8
10〈. 重庆〉如图8，一个圆心角为90°的扇形，半径OA=2，那么图中阴
影部分的面积为________（结果保留π）．
11.〈贵州遵义〉如图9，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E为
BC边上的一点，以A为圆心，AE为半径的圆弧交AB于点D，交AC
的延长于点 F，若图中两个阴影部分的面积相等，则 AF 的长为
________（结果保留根号）．图9 图10
12.如图10，△ABC为等边三角形，AB=6，动点O在△ABC的边上从
点A出发沿着A→C→B→A的路线匀速运动一周，速度为每秒1个单
位长度，以O为圆心、 为半径的圆在运动过程中与△ABC的边第二
次相切时是出发后第________秒．
13.如图11,正六边形ABCDEF 中,AB=2,P是ED的中点,连接AP,则AP
的长为________.
图11 图12
14.如图12，AB为半圆O的直径，C为半圆的三等分点，过B，C两点
的半圆O的切线交于点P，若AB的长是2a，则PA的长是________．
三、解答题（15题9分，16题10分，17题11分，18题14分，共44分）
15. 如图13所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC=2 cm，BC=4 cm，CM是
AB边上的中线，以C为圆心，以 cm长为半径画圆，则点A，B，M与
⊙C的位置关系如何？
图1316. 如图 14，已知 CD 是⊙O 的直径，点 A 为 CD 延长线上一点，
BC=AB，∠CAB=30°.
（1）求证：AB是⊙O的切线；
图14
（2）若⊙O的半径为2，求Com的长．
bin17.如图15，从一个直径为4的圆形铁片中剪下一个圆心角为90°的扇
形ABC．
（1）求这个扇形的面积；
图15
（2）在剩下的材料中，能否从③中剪出一个圆作为底面，与扇形ABC
围成一个圆锥？若不能，请说明理由；若能，请求出剪的圆的半径是
多少．18. 如图16，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画
⊙O，P是⊙O上一动点，且P在第一象限内，过点P作⊙O的切线与
x轴相交于点A，与y轴相交于点B．
（1）点P在运动时，线段AB的长度也在发生变化，请写出线段AB长
度的最小值，并说明理由；
图16
（2）在⊙O上是否存在一点Q，使得以Q，O，A，P为顶点的四边形是
平行四边形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案及点拨
一、1. C 点拨：∵AB是⊙O的切线，B为切点，
∴OB⊥AB，即∠OBA=90°，
∵∠BAO=40°，∴∠O=50°，∵OB=OC，
∴∠OCB= （180°－∠O）=65°．故选C．
2. C 点拨：如答图1所示，过圆心O作OD⊥AB于点D，连接OA.
答图1
∵OD⊥AB，
∴AD= AB= ×8=4 (cm).
设OA=r cm，则OD=(r－2 )cm，
在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，即r2=（r－2）2+42，
解得r=5．
故选C．
3. B 点拨：解答本题运用了方程思想.由题意得圆锥的底面周长是
6πcm，设母线长是l cm，则lπ=6π，解得：l=6．故选B．
4. C 点拨：分析可知，六角螺帽在桌面上滚动（没有滑动）一周，它的
中心O点所经过的路径长为 ×6=2aπ．故选C．
5. D 点拨：A.∵点C是Com的中点，
bin
∴OC⊥BE，∵AB为圆O的直径，∴AE⊥BE，∴OC∥AE，本选项正确；
B.∵Com=Com，∴EC=BC，本选项正确；
bin bin
C.∵AD为圆O的切线，∴AD⊥OA，
∴∠DAE+∠EAB=90°，∵∠ABE+∠EAB=90°，
∴∠DAE=∠ABE，本选项正确；
D.AC不一定垂直于OE，本选项错误.故选D.
6. C 点拨：∵AB∥CD，
∴∠BMN+∠MND=180°，
∵∠BMN与∠MND的平分线相交于点P，
∴∠PMN= ∠BMN，∠PNM= ∠MND，
∴∠PMN+∠PNM=90°.
∴∠MPN=180°－（∠PMN+∠PNM）=180°－90°=90°.
∴以MN为直径作⊙O时，OP= MN=⊙O的半径，
∴点P在⊙O上．故选C．
7. C 点拨：如答图2，连接IC．
答图2
∵CD为AB边上的高，∴∠ADC=90°，
∴∠BAC+∠ACD=90°.∵I为△ACD的内切圆圆心，
∴AI，CI分别是∠BAC和∠ACD的平分线，
∴∠IAC+∠ICA= （∠BAC+∠ACD）= ×90°=45°，
∴∠AIC=135°.又∵AB=AC，∠BAI=∠CAI，AI=AI,
∴△AIB≌△AIC，∴∠AIB=∠AIC=135°．故选C．
8. C 点拨：结合题图和已知条件，易知点B经过的路径长
=2× (cm)．故选C．
二、9. 32° 点拨：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，∵∠ABD=58°，
∴∠A=90°－∠ABD=32°，
∴∠BCD=∠A=32°．
10.π－2 点拨：S = =π，
扇形OAB
S = ×2×2=2，
△AOB
则S =S －S =π－2．
阴影 扇形OAB △AOB
11. 点拨：解答本题运用了方程思想.∵图中两个阴影部分的面
积相等，∴S =S ，即 = ·AC·BC，
扇形ADF △ABC
又∵AC=BC=1，∴AF2= ，∴AF= ．
12. 4 点拨：如答图3所示,根据题意，作O′D⊥BC于D，则O′D=
．在Rt△O′CD中，∠C=60°，O′D= ，
∴O′C=2，∴O′A=6－2=4.
∴以 O为圆心、 为半径的圆在运动过程中与△ABC的边第二次相
切时是出发后第4秒．答图3 答图4
13. 点拨： 连接 AE，如答图 4,由题意易得 AE=2 ,EP=1,
∠AEP=90°.∴在Rt△AEP中，
AP= = = .
14. a 点拨：连接OC,OP，如答图5所示.
∵C为半圆的三等分点，
答图5
∴∠BOC=120°,
已知PC，PB都是半圆O的切线，
由切线长定理可得：∠POB= ∠BOC=60°.在 Rt△POB 中，OB=a，
∠POB=60°，则PB= a；在Rt△ABP中，由勾股定理得：AP
= = a.
三、15. 解：∵CA=2cm＜ cm，∴点A在⊙C内;
∵BC=4cm＞ cm，∴点B在⊙C外；
在△ABC中，∠ACB=90°,∴由勾股定理，得AB= =2 （cm）.∵ CM是AB边
上的中线，∴ CM= AB= cm，∴ CM=⊙C的半径，∴点M在⊙C上．
16.（1）证明：连接OB，如答图6所示：
答图6
∵BC=AB，∠CAB=30°，
∴∠ACB=∠CAB=30°，
又∵OC=OB，
∴∠CBO=∠ACB=30°，
∴∠AOB=∠CBO+∠ACB=60°.
在△ABO中，∠CAB=30°，∠AOB=60°，
可得∠ABO=90°，即AB⊥OB，
∴AB是⊙O的切线.
（2）解：∵OB=2，∠BOD=60°，
∴Com的长度l= π．
bin
点拨：此题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，三角形的外角性
质以及弧长公式的运用.切线的判定方法有两种：有切点连半径，证明
垂直；无切点作垂线，证明垂线段等于半径．
17. 解：（1）如答图7所示，连接BC．
由∠BAC=90°得BC为⊙O的直径，∴BC=4.
在Rt△ABC中，由勾股定理可得：AB=AC=2 ，
∴S = =2π.
扇形ABC
答图7
（2）不能．
如答图7所示，连接AO并延长交Com于点D，交⊙O于点E，则
bin
DE=4－2 ．
Com
而l = = π，
bin
设能与扇形ABC围成圆锥的底面圆的直径为d，
则dπ= π，
∴d= ．
又∵DE=4－2 ＜d= ，即围成圆锥的底面圆的直径大于DE，
∴不能围成圆锥．
点拨：（1）由勾股定理求出扇形的半径，再根据扇形面积公式求值．
（2）题需要求出③中最大圆的直径以及圆锥底面圆的直径（圆锥底面
圆的周长即为弧BC的长）,然后进行比较即可．
18. 解：（1）线段AB长度的最小值为4.
理由如下：连接OP，如答图8所示.
答图8
∵AB切⊙O于P，
∴OP⊥AB.
取AB的中点C，
则AB=2OC；
当OC=OP时，OC最短，
即AB最短，
此时AB=4.
（2）设存在符合条件的点Q.
答图9
如答图9,设四边形APOQ为平行四边形,
∵∠APO=90°，
∴四边形APOQ为矩形，
又∵OP=OQ，∴四边形APOQ为正方形，
∴OQ=QA，∠QOA=45°.
在Rt△OQA中，
根据OQ=2，∠AOQ=45°，
得Q点坐标为（ ，－ ）；
如答图10，设四边形APQO为平行四边形,
答图10
∵OQ∥PA，∠APO=90°，
∴∠POQ=90°，
又∵OP=OQ，
∴∠PQO=45°，
∵PQ∥OA，
∴PQ⊥y轴.
设PQ⊥y轴于点H，
在Rt△OHQ中，根据OQ=2，∠HQO=45°，
得Q点坐标为（－ ， ）．
∴符合条件的点Q的坐标为（－ ， ）或（ ，－ ）．
方法规律：解答本题运用了分类讨论思想.（1）如答图8，设AB的中点为C，连接OP，由于AB是⊙O的切线，故△OPC是直角三角形，所
以当OC与OP重合时，OC最短,即AB最短（. 2）分两种情况：如答图
9，当四边形APOQ是正方形时，△OPA，△OAQ都是等腰直角三角形，
可 求 得 点 Q 的 坐 标 为 （ ， － ） ; 如 答 图 10 ， 可 求 得
∠QOP=∠OPA=90°，由于OP=OQ，故△OPQ是等腰直角三角形，可
求得点Q的坐标为（－ ， ）．
