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25.2.2 公式法
课标要点
1. 理解一元二次方程根的判别式Δ=b2−4ac 的定义与意义，能利用判别式准确判断一元二
次方程实数根的情况；
2. 掌握一元二次方程求根公式的推导逻辑与公式形式，熟记公式的使用前提a≠0 且Δ≥0；
3. 熟练运用公式法解一元二次方程，规范完成系数代入、判别式计算、求根求解全流程，
能结合实际问题对求出的根做合理性检验与取舍。
学习重难点
重点：
1. 根的判别式核心公式Δ=b2−4ac，能根据Δ>0（两个不相等实数根）、Δ=0（两个相等
实数根）、Δ<0（无实数根）准确判断根的情况；
2. 一元二次方程求根公式𝑥=
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
，牢记公式的适用条件与结构特征；
3. 公式法解方程的标准步骤：先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)、确定系数a、b、c、
计算判别式Δ、代入公式求解，规范书写每一步变形。
难点：
1. 确定系数a、b、c、时忽略符号，尤其是方程含负系数时，代入公式出现符号错误；
2. 忽略判别式的前提，Δ<0 时强行代入公式计算，错误得到不存在的实数根；
3. 求根公式中-b 的符号易看错，遗漏公式中的±，或分母2a 的计算出现疏漏；
4. 含参数的一元二次方程，使用判别式与求根公式时，易遗忘隐含条件a≠0；
5. 应用题中用公式法求出根后，忽略实际场景的限制条件（如长度、数量需为正数），不
会舍去不符合实际的解。
第二十五章
一元二次方程
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知识点
一元二次方程根的判别式
1.一元二次方程一般形式：ax²+bx+c=0(a≠0)
a：二次项系数，b：一次项系数，c：常数项。
注意：a≠0，这是一元二次方程的前提。
2.根的判别式：△=b²-4ac
用来判断一元二次方程实数根的个数：
①△>0：方程有两个不相等的实数根；②△=0：方程有两个相等的实数根；③△<0：方程没有实数根。
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随学随练
1．（25-26 八年级下·山东烟台·期末）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．𝑥2 + 𝑥−1＝0
B．𝑥2 + 𝑥+ 2＝0
C．𝑥2 −2𝑥＝0
D．𝑥2 −2𝑥+ 1＝0
【答案】B
【分析】利用根的判别式逐项判断即可．
【详解】解：A、Δ = 12 −4 × 1 × (−1) = 5 > 0，
∴该方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
B、Δ = 12 −4 × 1 × 2 = −7 < 0，
∴该方程没有实数根，符合题意；
C、Δ = (−2)2 −4 × 1 × 0 = 4 > 0，
∴该方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
D、Δ = (−2)2 −4 × 1 × 1 = 0，
∴该方程有两个相等的实数根，不符合题意．
2．（25-26 八年级下·安徽安庆·期末）关于一元二次方程
1
3 𝑥2 + 2𝑥−4 = 0的根的情况，下列说法正确的
是（ ）
A．只有一个实数根
B．没有实数根
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
【答案】D
【详解】解：一元二次方程
1
3 𝑥2 + 2𝑥−4 = 0中，𝑎=
1
3，𝑏= 2，𝑐= −4，
易错提醒
1.不化成一般形式，直接取系数
例：方程3x²=2x-1，不要直接写b=2，c=-1。
整理：3x²—2x+1=0，正确a=3，b=-2，c=1。
移项注意变号，b、c 可以是负数。
2.忽略a≠0 这个前提(含参大题最容易错)
“方程有两个实数根”：说明是一元二次方程，必须同时满足a≠0 且△≥0。
“方程有实数根”：可以是一元一次方程(a=0)，不需要强制a≠0。
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∵𝛥= 𝑏2 −4𝑎𝑐= 22 −4 ×
1
3 × (−4) =
28
3 > 0，
∴方程有两个不相等的实数根．
3．（2026·河南郑州·三模）若关于x 的一元二次方程2𝑘𝑥2 −3√𝑘+ 1𝑥+ 1 = 0有两个不相等的实数根，
则k 的取值范围是（ ）
A．𝑘> −9
B．𝑘> −9且𝑘≠0
C．𝑘≥−1且𝑘≠0
D．𝑘> −1且𝑘≠0
【答案】C
【分析】需同时满足二次项系数非零、二次根式被开方数非负、判别式大于0 三个条件，取公共部分求解．
【详解】解：∵方程是关于x 的一元二次方程，
∴2𝑘≠0，即𝑘≠0．
∵二次根式√𝑘+ 1有意义，
∴𝑘+ 1 ≥0，即𝑘≥−1．
∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ = (−3√𝑘+ 1)
2 −4 × 2𝑘× 1 > 0，
即9(𝑘+ 1) −8𝑘> 0，
解得𝑘> −9．
综上，𝑘的取值范围是𝑘≥−1且𝑘≠0．
知识点
解一元二次方程--公式法
对于一元二次方程：𝑎𝑥² + b𝑥+ c = 0(𝑎≠0)
步骤1：二次项系数化为1
两边同时除以𝑎(𝑎≠0)：𝑥2 +
b
a x +
c
a = 0
步骤2：常数项移到等号右边
𝑥2 + b
a x = −c
a
步骤3：配方，等式两边加上一次项系数一半的平方
𝑥2 + b
a x + ( b
2a)
2
= −c
a + ( b
2a)
2
步骤4：左边写成完全平方式，右边通分计算：
(x + b
2a)
2
= b2 −4ac
4a2
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步骤5：两边同时开平方
x + b
2a = ±√b2 −4ac
2a
步骤6：解出x，得出求根公式
x = −b ± √b2 −4ac
2a
（b2 −4ac ≥0）
随学随练
1．（25-26 九年级上·贵州黔南·期末）某一元二次方程的根用求根公式表示为𝑥=
−(−2)±√(−2)2−4×3×(−1)
2×3
，
则该一元二次方程为（ ）
A．−2𝑥2 + 3𝑥−1 = 0
B．3𝑥2 −2𝑥−1 = 0
C．2𝑥2 −3𝑥+ 1 = 0
D．3𝑥2 −2𝑥+ 1 = 0
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)的求根公式为𝑥=
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
，据此根据题意确定𝑎、𝑏、𝑐的值即可得到答案．
【详解】解：由题意得，𝑎= 3，𝑏= −2，𝑐= −1，
∴该一元二次方程为3𝑥2 −2𝑥−1 = 0，
故选：B．
2．（25-26 九年级上·湖北咸宁·阶段检测）用求根公式解一元二次方程2𝑥2 −4 = 3𝑥时，其中𝑎，𝑏，𝑐的
值分别是（ ）
A．𝑎= 2，𝑏= −4，𝑐= 3
B．𝑎= 2，𝑏= −3，𝑐= −4
C．𝑎= 2，𝑏= 3，𝑐= −4
D．𝑎= 2，𝑏= −3，𝑐= 4
【答案】B
【分析】本题考查了求根公式法解一元二次方程．
先移项，再找出𝑎，𝑏，𝑐的值即可．
【详解】2𝑥2 −4 = 3𝑥，
特别提醒
1.方程必须整理成一般形式ax²+bx+c=0；
2.𝑎≠0;
3.使用求根公式必须满足△≥0，才有实数根。
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2𝑥2 −3𝑥−4 = 0，
则𝑎= 2，𝑏= −3，𝑐= −4．
故选：B．
3．（25-26 八年级下·福建福州·期末）解方程：
(1)𝑥2 −4𝑥+ 2 = 0；
(2)2𝑥2 + 2𝑥−3 = 0．
【答案】(1)𝑥1 = 2 + √2,𝑥2 = 2 −√2
(2)𝑥1 =
−1+√7
2
, 𝑥2 =
−1−√7
2
【分析】（1）利用配方法解一元二次方程；
（2）利用公式法解一元二次方程．
【详解】（1）解：𝑥2 −4𝑥+ 2 = 0，
𝑥2 −4𝑥= −2，
𝑥2 −4𝑥+ 4 = −2 + 4，
(𝑥−2)2 = 2，
∴𝑥−2 = ±√2，
∴𝑥1 = 2 + √2,𝑥2 = 2 −√2；
（2）解：2𝑥2 + 2𝑥−3 = 0，
∵𝑎= 2, 𝑏= 2, 𝑐= −3，
∴Δ = 𝑏2 −4𝑎𝑐= 4 + 24 = 28 > 0，
∴𝑥=
−2±√28
2×2
=
−1±√7
2
，
∴𝑥1 =
−1+√7
2
, 𝑥2 =
−1−√7
2
．
拓展
一元二次方程与等腰三角形综合题
题型特征：一元二次方程的两个根是等腰三角形的两条边长；已知一条边长，求周长。两大考点：判别式、
等腰三角形分类讨论+三角形三边关系检验。
(1)求证无论参数取何值，方程总有实数根
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①确定方程ax²+bx+c=0 的系数；
②计算判别式△=b²-4ac;
③展开、合并，配方，化为「完全平方式+常数」;
④由平方非负，得到△≥0，证得总有实数根。
本质：证明判别式恒大于等于0，与参数无关。
(2)等腰三角形，一边已知，另两边是方程两根，求周长
核心思考：分两大类讨论(必分类，不能漏)
已知一边a，另两边b，c 是方程两根，等腰三角形存在两种情况：
情况①：已知的边a 是腰，则方程其中一个根等于a;
情况②：已知的边a 是底边，则两腰相等，即方程有两个相等实数根，△=0。
活学活用
1．（24-25 八年级下·浙江温州·期中）已知关于x 的方程𝑥2 −(2𝑘+ 1)𝑥+ 4𝑘−2 = 0
(1)求证：无论k 取何值，此方程总有实数根．
(2)若等腰△𝐴𝐵𝐶的一边长a 为4，另两边𝑏, 𝑐的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．
【答案】(1)
证明：Δ = [−(2𝑘+ 1)]2 −4 × 1 × (4𝑘−2)
= 4𝑘2 + 4𝑘+ 1 −16𝑘+ 8
= 4𝑘2 −12𝑘+ 9
= (2𝑘−3)2
∵无论k 取何值，(2𝑘−3)2 ≥0
∴Δ = (2𝑘−3)2 ≥0
∴无论k 取何值，此方程总有实数根；
(2)10
【分析】（1）先计算判别式的值得到Δ = (2𝑘−3)2 ≥0，根据判别式的意义即可得到结论；
（2）分类讨论：当𝑏= 𝑐时，方程有两个相等的实数根，解得𝑘=
3
2，然后解方程得到𝑏= 𝑐= 2；当𝑏= 𝑎= 4
或𝑐= 𝑎= 4时，方程𝑥2 −(2𝑘+ 1)𝑥+ 4𝑘−2 = 0有一个根𝑥= 4，可解得k 的值，则代入方程可解答．
【详解】（1）略；
（2）解： 由（1）得Δ = (2𝑘−3)2，
①当𝑏= 𝑐时，即方程有两个相等的实数根，
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∴Δ = (2𝑘−3)2 = 0，
解得𝑘=
3
2，
∴把𝑘=
3
2代入𝑥2 −(2𝑘+ 1)𝑥+ 4𝑘−2 = 0，
得𝑥2 −(2 ×
3
2 + 1) 𝑥+ 4 ×
3
2 −2 = 0，
整理得𝑥2 −4𝑥+ 4 = 0
∴(𝑥−2)2 = 0
∴𝑥= 2
∵2 + 2 = 4，
∴不能构成三角形，舍去
②当𝑏= 𝑎= 4或𝑐= 𝑎= 4时，即方程𝑥2 −(2𝑘+ 1)𝑥+ 4𝑘−2 = 0有一个根𝑥= 4，
∴16 −(2𝑘+ 1) × 4 + 4𝑘−2 = 0
解得：𝑘=
5
2，
方程化为𝑥2 −6𝑥+ 8 = (𝑥−2)(𝑥−4) = 0，
解得𝑥1 = 2,𝑥2 = 4，
即三边为4，4，2，能构成三角形，
则周长= 4 + 4 + 2 = 10，
∴这个等腰三角形的周长是10．
2．（25-26 九年级上·辽宁抚顺·阶段检测）已知关于𝑥的一元二次方程𝑥2 + (𝑚−3)𝑥−𝑚+ 1 = 0．
(1)求证：无论𝑚取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
(2)若𝑚= −2时，该一元二次方程的两个根恰好是等腰三角形的两边，求等腰三角形的周长．
【答案】(1)
证明：Δ = (𝑚−3)2 −4(−𝑚+ 1) = (𝑚−1)2 + 4，
∵无论𝑚取何值，(𝑚−1)2 + 4恒大于0，
∴原方程总有两个不相等的实数根．
(2)等腰三角形的周长为
15+√13
2
．
【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，三角形的三边关系，等腰三角形的定义
等，解题时要注意利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．
（1）证明根的判别式Δ = 𝑏2 −4𝑎𝑐恒大于0 即可；
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（2）将𝑚= −2代入方程，求出方程的两个根，结合三角形的三边关系求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：当𝑚= −2时，原方程为𝑥2 −5𝑥+ 3 = 0，
解得：𝑥1 =
5+√13
2
，𝑥2 =
5−√13
2
∵该一元二次方程的两个根恰好是等腰三角形的两边，且2𝑥2 < 𝑥1
∴等腰三角形的三边只能为
5+√13
2
，
5+√13
2
，
5−√13
2
．
∴等腰三角形的周长为
15+√13
2
．
题型一 利用根的判别式判断根的情况
▌例1-1 （2026·安徽芜湖·三模）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ）
A．𝑥2 + 4 = 0
B．𝑥2 −4𝑥+ 4 = 0
C．𝑥2 + 2𝑥+ 3 = 0
D．𝑥2 + 2𝑥−3 = 0
【答案】D
【分析】计算方程的判别式，解答即可；
【详解】解：A．𝑥2 + 4 = 0，在这里，𝑎= 1, 𝑏= 0, 𝑐= 4，得Δ = 02 −4 × 1 × 4 = −16 < 0，方程无实数
根，不符合要求；
B．𝑥2 −4𝑥+ 4 = 0，在这里，𝑎= 1, 𝑏= −4,𝑐= 4，得Δ = (−4)2 −4 × 1 × 4 = 0，方程有两个相等的实数
解题步骤
步骤1：化成标准一般形式
把方程整理成ax²+bx+c=0，移项，右边等于0。
注意：不要漏符号，a、b、c 带前面正负号。
步骤2：确定a、b、c 的值
a：二次项系数，b：一次项系数，c：常数项。
易错：常数项是负数时，c 为负；没有一次项则b=0；没有常数项则c=0。
步骤3：计算判别式△=b²-4ac
代入计算，化简，判断△大于0、等于0 还是小于0。
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根，不符合要求；
C．𝑥2 + 2𝑥+ 3 = 0，在这里，𝑎= 1, 𝑏= 2, 𝑐= 3，得Δ = 22 −4 × 1 × 3 = −8 < 0，方程无实数根，不符
合要求；
D．𝑥2 + 2𝑥−3 = 0，在这里，𝑎= 1, 𝑏= 2, 𝑐= −3，得Δ = 22 −4 × 1 × (−3) = 16 > 0，方程有两个不相
等的实数根，符合要求；
▌例1-2 （25-26 八年级下·江苏泰州·期末）关于x 的一元二次方程𝑥2 + 𝑘𝑥+ 𝑘−2 = 0的实数根的情况，
下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．实数根的个数与k 的取值有关
D．没有实数根
【答案】A
【分析】当Δ > 0时方程有两个不相等的实数根，Δ = 0时有两个相等的实数根，Δ < 0时没有实数根，计算
判别式并判断其符号即可得到结论．
【详解】解：∵方程𝑥2 + 𝑘𝑥+ 𝑘−2 = 0是一元二次方程，
∴𝑎= 1，𝑏= 𝑘，𝑐= 𝑘−2，
计算判别式得：
Δ = 𝑏2 −4𝑎𝑐= 𝑘2 −4 × 1 × (𝑘−2) = 𝑘2 −4𝑘+ 8 = (𝑘−2)2 + 4，
∵(𝑘−2)2 ≥0，
∴Δ = (𝑘−2)2 + 4 > 0恒成立，
∴方程有两个不相等的实数根．
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·山西大同·期末）关于x 的一元二次方程2𝑥2 + √3𝑥−1 = 0的根的情况
（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
【答案】A
【详解】解：对于一元二次方程2𝑥2 + √3𝑥−1 = 0，
可得𝑎= 2，𝑏= √3，𝑐= −1，
∵Δ = 𝑏2 −4𝑎𝑐= (√3)2 −4 × 2 × (−1) = 3 + 8 = 11 > 0，
∴方程有两个不相等的实数根.
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·山东泰安·期末）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（ ）
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A．𝑥2 −2𝑥+ 2 = 0
B．𝑥2 −4𝑥+ 4 = 0
C．𝑥2 + 3𝑥= 0
D．𝑥2 −5𝑥+ 6 = 0
【答案】B
【分析】对于一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)，当判别式Δ = 𝑏2 −4𝑎𝑐= 0时，方程有两个相等的实
数根，计算各选项的判别式即可判断．
【详解】解：A、对于方程𝑥2 −2𝑥+ 2 = 0，∵Δ = (−2)2 −4 × 1 × 2 = −4 < 0，∴方程没有实数根，不符
合题意；
B、对于方程𝑥2 −4𝑥+ 4 = 0，∵Δ = (−4)2 −4 × 1 × 4 = 0，∴方程有两个相等的实数根，符合题意；
C、对于方程𝑥2 + 3𝑥= 0，∵Δ = 32 −4 × 1 × 0 = 9 > 0，∴方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
D、对于方程𝑥2 −5𝑥+ 6 = 0，∵Δ = (−5)2 −4 × 1 × 6 = 1 > 0，∴方程有两个不相等的实数根，不符合题
意．
▌对点练1-3．（2026·河南新乡·三模）若一次函数𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏（𝑎, 𝑏为常数𝑎≠0）的图象如图所示，则
关于𝑥的一元二次方程𝑥2 −𝑎𝑥+ 𝑏= 0的根的情况是（ ）
A．无实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．无法确定
【答案】C
【分析】利用一次函数性质得出𝑎< 0, 𝑏< 0，再判断出𝛥，即可求解．
【详解】解：根据题意可知一次函数𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏（𝑎, 𝑏为常数𝑎≠0）的图象经过第二、三、四象限，
∴𝑎< 0, 𝑏< 0，
∴𝑎2 > 0，−4𝑏> 0，
对于一元二次方程𝑥2 −𝑎𝑥+ 𝑏= 0，Δ = (−𝑎)2 −4 × 1 × 𝑏= 𝑎2 −4𝑏 > 0，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根．
题型二 根据根的判别式求参数的取值范围
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▌例2 （2026·甘肃嘉峪关·二模）关于𝑥的一元二次方程𝑘𝑥2 −4𝑥+ 5 = 0有实数根，则𝑘的取值范围是（ ）
A．𝑘≤
4
5且𝑘≠0
B．𝑘≥−
4
5且𝑘≠0
C．𝑘≤
4
5
D．𝑘<
4
5且𝑘≠0
【答案】A
【分析】根据一元二次方程定义确定二次项系数不为0，再利用根的判别式𝛥≥0得到不等式，联立求出参
数取值范围．
【详解】解：∵方程是一元二次方程，
∴𝑘≠0，
∵方程有实数根，
∴𝛥= (−4)2 −4 × 𝑘× 5 ≥0，即16 −20𝑘≥0，
解得𝑘≤
4
5，
综上，𝑘的取值范围是𝑘≤
4
5且𝑘≠0．
解题思路
步骤1：审题，圈关键词
①“一元二次方程”→必须a≠0
②“有两个不相等实数根”→△>0
③“有两个实数根”(含相等)→△≥0
④“有实数根“(没有写一元二次)：要分类讨论：a=0(一次方程)、a≠0(二次方程，用△)
步骤2：化为一元二次方程标准形式ax²+bx+c=0
移项，把全部项移到左边，右边=0；把参数当成普通系数，正确写出a、b、c，符号一起带走。
步骤3：计算判别式△=b²-4ac
代入a、b、c 化简得到关于参数的不等式。
步骤4：解不等式
解出参数的初步范围。
步骤5：结合a≠0 取交集(高频丢分点)
只要是一元二次方程，二次项系数不能等于0!把解出来的范围，排除使a=0 的取值。
步骤6：写出最终取值范围
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▌对点练2-1．（25-26 八年级下·北京·阶段检测）关于𝑥的方程𝑘𝑥2 −(2𝑘+ 1)𝑥+ 𝑘= 0有两个不相等的
实根，则𝑘的取值范围是__________________；若该方程的两个实根均为有理数，则整数𝑘的最小值为
__________．
【答案】 𝑘> −
1
4且𝑘≠0 2
【分析】方程有两个不相等实根，说明该方程为一元二次方程，需满足二次项系数不为0，且根的判别式大
于0，据此求出𝑘的取值范围；
若两根为有理数，根据求根公式可知根的判别式需为完全平方数，结合𝑘的取值范围求出最小整数𝑘即可．
【详解】解：∵方程𝑘𝑥2 −(2𝑘+ 1)𝑥+ 𝑘= 0有两个不相等的实根，
∴该方程为一元二次方程，可得𝑘≠0，
∵方程有两个不相等的实根，
∴Δ = 𝑏2 −4𝑎𝑐= [−(2𝑘+ 1)]2 −4𝑘⋅𝑘= 4𝑘2 + 4𝑘+ 1 −4𝑘2 = 4𝑘+ 1 > 0，
解得𝑘> −
1
4，
∴𝑘的取值范围是𝑘> −
1
4且𝑘≠0；
若方程的两个实根均为有理数，由求根公式可知，判别式Δ必须是完全平方数，即4𝑘+ 1 为完全平方数
设4𝑘+ 1 = 𝑚2（𝑚为正整数），则𝑘=
𝑚2−1
4 ，
当𝑚= 1时，𝑘= 0，不符合𝑘≠0，舍去，
当𝑚= 3时，𝑘=
32−1
4
= 2，符合条件，
∴整数𝑘的最小值为2．
题型三 根的判别式中新定义类问题
▌例3 （2026·辽宁盘锦·模拟预测）对于实数𝑎，𝑏定义新运算：𝑎※𝑏= 𝑎2 −𝑎𝑏，例如：3※2 = 32 −3 × 2 =
3．若关于𝑥的方程𝑥※2 = 𝑚有两个不相等的实数根，则𝑚的取值范围是_________．
【答案】𝑚> −1
【分析】由新定义运算得出𝑥2 −2𝑥−𝑚= 0，再根据一元二次方程根的判别式计算即可得出结果．
【详解】解：∵对于实数𝑎，𝑏定义新运算：𝑎※𝑏= 𝑎2 −𝑎𝑏，
∴𝑥※2 = 𝑥2 −2𝑥= 𝑚，
∴𝑥2 −2𝑥−𝑚= 0，
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∵关于𝑥的方程𝑥※2 = 𝑚有两个不相等的实数根，
∴Δ = (−2)2 −4 × 1 × (−𝑚) > 0，
解得𝑚> −1．
▌对点练3-1．（24-25 九年级上·四川成都·阶段检测）新定义：给定一个矩形的长和宽，若存在另外一个
矩形的周长和面积分别是其周长和面积的𝑘倍（𝑘> 0），则称这个矩形是给定矩形的“𝑘倍”矩形．现有一
个长为3，宽为2 的矩形，若它的“𝑘倍”矩形存在，则𝑘的最小值为________．
【答案】
24
25
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，矩形的性质，根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
题目说一定存在满足条件的矩形，所以列得关于x 的方程的根的判别式一定大于等于零，得到关于k 的不等
式，进而求出k 的范围，于是得到结论．
【详解】解：∵现有一个长为3，宽为2 的矩形，
∴它的周长= (2 + 3) × 2 = 10，面积= 2 × 3 = 6，
∴它的“k 倍”矩形的面积= 6𝑘，周长= 10𝑘，
设它的“k 倍”矩形的长为x，则宽为5𝑘−𝑥，
由题意得：𝑥(5𝑘−𝑥) = 6𝑘，
整理得：𝑥2 −5𝑘𝑥+ 6𝑘= 0，
∴Δ = 25𝑘2 −24𝑘，
∵一定存在另一个矩形的周长和面积分别是已知矩形周长和面积k 倍，
∴Δ ≥0即：25𝑘2 −24𝑘≥0，
∵𝑘> 0，
∴𝑘≥
24
25，
∴𝑘的最小值为
24
25，
故答案为：
24
25．
▌对点练3-2．
（2025·甘肃·一模）对于实数𝑎, 𝑏定义运算“#”为𝑎#𝑏= 𝑏2 + 𝑎𝑏，例如：3#2 = 22 + 3 × 2 = 10，
则关于的𝑥方程(𝑘+ 1)#𝑥= −1有两个相等的实数根，则𝑘的值为______．
【答案】1或−3
【分析】本题主要考查了新定义实数运算、一元二次方程根的判别式等知识点．
根据新的运算法则列出一元二次方程，再根据一元二次方程根的判别式即可解答．
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【详解】解：∵𝑎#𝑏= 𝑏2 + 𝑎𝑏，
∴(𝑘+ 1)#𝑥= 𝑥2 + (𝑘+ 1)𝑥= −1，
整理得：𝑥2 + (𝑘+ 1)𝑥+ 1 = 0，
∵关于的𝑥方程(𝑘+ 1)#𝑥= −1有两个相等的实数根，
∴Δ = (𝑘+ 1)2 −4 × 1 × 1 = 0，
解得：𝑘= 1或𝑘= −3，
故答案为：1或−3．
题型四 根的判别式解答题综合
▌例4（25-26 九年级上·河南南阳·期中）已知关于𝑥的一元二次方程𝑥2 −(𝑚+ 2)𝑥+ 2𝑚= 0．
(1)证明：不论𝑚为何值时，方程总有实数根；
(2)若该方程有一个根为4，求𝑚的值．
【答案】(1)
证明：∵Δ = (𝑚+ 2)2 −4 × 2𝑚
= 𝑚2 + 4𝑚+ 4 −8𝑚
= 𝑚2 −4𝑚+ 4
易错提醒
1.忽略一元二次方程前提a≠0
题目说“有两个实数根”，说明是一元二次方程，二次项系数不能为0，很多同学只列Δ>0 或Δ≥0，漏
掉a≠0，直接丢分。
注意：只说“方程有实数根”，没有“两个”，要分类：a=0（一次方程）、a≠0（二次方程用△）。
2.△符号混淆
两个不相等实数根：△>0；两个实数根(允许相等)：△≥0
经常把“有两个实数根”错写成△>0。
3.代入a、b、c 符号出错
b、c 是负数时，要带着负号代入△=b²-4ac；尤其-4ac 部分，负负容易算错。
4.证明“无论参数取何值总有实数根”不会处理△
必须对△配方，化成完全平方加常数的形式；不会配方、展开计算错误是高频错。
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= (𝑚−2)2
∵(𝑚−2)2 ≥0，
∴Δ ≥0，
∴不论𝑚为何值时，方程总有实数根；
(2)4．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义以及根的判别式，熟练掌握相关公式是解题关键．
(1)根据根的判别式即可求出答案；
(2)把𝑥= 4代入方程中即可求出答案．
【小问1】
略
【小问2】
解：∵该方程有一个根为4，
∴42 −(𝑚+ 2) × 4 + 2𝑚= 0，
解得：𝑚= 4；
∴𝑚的值为4．
▌对点练4-1．（25-26 九年级上·江苏扬州·期中）关于𝑥的方程3𝑥2 + (𝑚+ 3)𝑥+ 𝑚= 0．
(1)求证：不论𝑚取何值，方程总有两个实数根；
(2)若方程有两个相等的实数根，请求出𝑚的值并求此时方程的根．
【答案】(1)
证明：∵ Δ = (𝑚+ 3)2 −4 × 3 × 𝑚
= 𝑚2 + 6𝑚+ 9 −12𝑚
= 𝑚2 −6𝑚+ 9
= (𝑚−3)2 ≥0，
∴不论𝑚取何值，方程总有两个实数根；
(2)𝑚= 3，此时方程的根为𝑥1 = 𝑥2 = −1
【分析】本题考查了根的判别式以及公式法解一元二次方程；
（1）由根的判别式Δ = (𝑚−3)2 ≥0，可证出：不论𝑚取何值，方程总有两个实数根；
（2）由关于𝑥的方程3𝑥2 + (𝑚+ 3)𝑥+ 𝑚= 0有两个相等的实数根，可得出根的判别式Δ = (𝑚−3)2 = 0，
解之可得出𝑚的值，将其代入原方程，再利用因式分解法解方程即可．
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【详解】（1）略
（2）解：∵关于𝑥的方程3𝑥2 + (𝑚+ 3)𝑥+ 𝑚= 0有两个相等的实数根，
∴ Δ = (𝑚−3)2 = 0，
解得：𝑚1 = 𝑚2 = 3．
将𝑚= 3代入原方程得：3𝑥2 + 6𝑥+ 3 = 0，
即3(𝑥+ 1)2 = 0
解得：𝑥1 = 𝑥2 = −1，
∴𝑚的值为3，此时方程的根为𝑥1 = 𝑥2 = −1．
▌对点练4-2．（25-26 九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知关于x 的一元二次方程𝑥2 −2𝑚𝑥+ 𝑚2 −4 = 0．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若该方程的一个根为𝑥= 0，且m 为正数，求m 的值以及另一个根．
【答案】(1)
证明：∵关于x 的一元二次方程𝑥2 −2𝑚𝑥+ 𝑚2 −4 = 0，
∴Δ = (−2𝑚)2 −4 × 1 × (𝑚2 −4) = 4𝑚2 −4𝑚2 + 16 = 16 > 0，
∴方程有两个不相等的实数根；
(2)𝑚= 2，另一个根为𝑥= 4
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)的根与Δ = 𝑏2 −4𝑎𝑐
有如下关系：①Δ > 0，方程有两个不相等的实数根，②Δ = 0，方程有两个相等的实数根，③Δ < 0，方程
没有实数根，也考查了一元二次方程的解以及解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题
的关键．
（1）计算出Δ = 16 > 0，由此即可得证；
（2）将𝑥= 0代入方程并结合题意即可求出𝑚= 2，从而可得出原方程为𝑥2 −4𝑥= 0，再解方程即可．
【详解】（1）略
（2）解：∵该方程的一个根为𝑥= 0，
∴𝑚2 −4 = 0，
解得𝑚= ±2，
∵m 为正数，
∴𝑚= 2，
∴原方程为𝑥2 −4𝑥= 0，
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解得𝑥= 0或𝑥= 4，
∴𝑚= 2，另一个根为𝑥= 4．
题型五 利用公式法还原一元二次方程
▌例5（25-26 九年级上·云南昆明·期中）若关于𝑥的一元二次方程的根为𝑥=
1±√(−1)2−4×3×(−5)
2×3
，则这个方
程是（ ）
A．3𝑥2 + 𝑥−5 = 0
B．3𝑥2 −𝑥−5 = 0
C．𝑥2 −3𝑥−5 = 0
D．𝑥2 + 3𝑥−
5 = 0
【答案】B
【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，通过比较给出的求根公式与标准求根公式，确定系数a、b、c
的值，从而得到原方程，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：由题意可得：𝑥=
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
=
1±√(−1)2−4×3×(−5)
2×3
，
∴−𝑏= 1，2𝑎= 6，
解得𝑏= −1，𝑎= 3，
∵𝑏2 −4𝑎𝑐= (−1)2 −4 × 3 × (−5)，
∴𝑐= −5，
∴原方程为3𝑥2 −𝑥−5 = 0，
故选：B．
▌对点练5-1．（24-25 九年级上·河南商丘·期中）下列一元二次方程的根可以根据𝑥=
−3±√32−4×2×(−1)
2×2
计
算出的是（ ）
A．2𝑥2 + 3𝑥+ 1 = 0 B．2𝑥2 + 3𝑥−1 = 0 C．3𝑥2 + 𝑥−2 = 0 D．−2𝑥2 −𝑥+ 3 = 0
【答案】B
【分析】本题考查公式法解一元二次方程，根据求根公式确定二次项系数，一次项系数和常数项即可．
解题思路
已知求根公式的表达式，还原一元二次方程
1.看分母2a：分母是2 乘以几，a 就等于几。
2.看根号前面那一项(分子的常数项)等于-b
-b=分子根号前面的数
这里最容易错!千万不要直接把这个数当成b!
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【详解】解：∵一元二次方程的根可以根据𝑥=
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
=
−3±√32−4×2×(−1)
2×2
计算，
∴𝑎= 2, 𝑏= 3, 𝑐= −1，
∴对应方程为：2𝑥2 + 3𝑥−1 = 0；
故选B．
▌对点练5-2．（24-25 九年级上·福建福州·期中）下列一元二次方程中，根是𝑥=
−2±√22−4×3×(−1)
2×3
的方程
是（ ）
A．3𝑥2 + 2𝑥−1 = 0
B．3𝑥2 −2𝑥−1 = 0
C．3𝑥2 + 4𝑥−1 = 0
D．−𝑥2 −2𝑥+ 3 = 0
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，
根据一元二次方程的求根公式计算判断即可．一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)，当𝑏2 −4𝑎𝑐≥0时，
𝑥=
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
．
【详解】因为一元二次方程3𝑥2 + 2𝑥−1 = 0的根是𝑥=
−2±√22−4×3×(−1)
2×3
，所以A 符合题意；
因为一元二次方程3𝑥2 −2𝑥−1 = 0的根是𝑥=
−(−2)±√(−2)2−4×3×(−1)
2×3
，所以B 不符合题意；
因为一元二次方程3𝑥2 + 4𝑥−1 = 0的根是𝑥=
−4±√42−4×3×(−1)
2×3
，所以C 不符合题意；
因为一元二次方程−𝑥2 −2𝑥+ 3 = 0的根是𝑥=
−(−2)±√(−2)2−4×(−1)×3
2×(−1)
，所以D 不符合题意．
故选：A．
题型六 利用公式法解一元二次方程
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▌例6 （25-26 八年级下·辽宁盘锦·期末）解方程
(1)𝑥2 −4𝑥= 8；
(2)(𝑥−1)2 = 2(1 −𝑥)．
【答案】(1)𝑥1 = 2 + 2√3，𝑥2 = 2 −2√3
(2)𝑥1 = 1，𝑥2 = −1
【分析】（1）利用配方法解方程即可；
（2）先去括号，移项，合并同类项，再开平方即可．
【详解】（1）解：𝑥2 −4𝑥= 8
𝑥2 −4𝑥+ 4 = 8 + 4，
(𝑥−2)2 = 12，
𝑥−2 = ±2√3，
𝑥1 = 2 + 2√3，𝑥2 = 2 −2√3；
（2）解：(𝑥−1)2 = 2(1 −𝑥)
𝑥2 −2𝑥+ 1 = 2 −2𝑥，
解题步骤
步骤1：化为一般形式ax²+bx+c=0
把方程移项，全部项移到等号左边，右边=0。
注意：整理时注意符号。
步骤2：确定系数a、b、c
a：二次项系数；b：一次项系数；c：常数项。
▲系数连同前面正负号一起取；没有的项系数为0。
步骤3：计算判别式△=b²-4ac
①如果△<0：方程无实数根，直接结束。
②如果△≥0，可以继续代入求根公式计算。
步骤4：把a、b、c 代入求根公式
𝑥= −𝑏± √𝑏2 −4𝑎𝑐
2𝑎
步骤5：化简，写出两个根x1、x2
化简二次根式、约分，分开写出两根。
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𝑥2 = 1，
𝑥1 = 1，𝑥2 = −1．
▌对点练6-1．（25-26 九年级上·河南安阳·阶段检测）解方程：
(1)2(𝑥−1)2 = 4
(2)2𝑥2 + 3𝑥−2 = 0
(3)𝑥2 −6𝑥−1 = 0
(4)𝑥2 −√2𝑥−
1
4 = 0．
【答案】(1)𝑥1 = √2 + 1, 𝑥2 = −√2 + 1
(2)𝑥1 =
1
2 , 𝑥2 = −2
(3)𝑥1 = √10 + 3, 𝑥2 = −√10 + 3
(4)𝑥1 = √2+√3
2
, 𝑥2 = √2−√3
2
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关
键．
（1）利用直接开平方法解方程；
（2）利用因式分解法解方程；
（3）利用配方法解方程；
（4）利用公式法解方程．
【详解】（1）解：2(𝑥−1)2 = 4
(𝑥−1)2 = 2
𝑥−1 = √2或𝑥−1 = −√2
∴𝑥1 = √2 + 1, 𝑥2 = −√2 + 1；
（2）解：2𝑥2 + 3𝑥−2 = 0，
(2𝑥−1)(𝑥+ 2) = 0
2𝑥−1 = 0或𝑥+ 2 = 0，
∴𝑥1 =
1
2 , 𝑥2 = −2；
（3）解：𝑥2 −6𝑥−1 = 0
𝑥2 −6𝑥= 1
𝑥2 −6𝑥+ 9 = 1 + 9
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(𝑥−3)2 = 10
𝑥−3 = √10或𝑥−3 = −√10
𝑥1 = √10 + 3, 𝑥2 = −√10 + 3；
（4）解：𝑥2 −√2𝑥−
1
4 = 0
𝑎= 1, 𝑏= −√2, 𝑐= −1
4
𝑏2 −4𝑎𝑐= (−√2)
2 −4 × 1 × (−1
4) = 3
𝑥= −𝑏± √𝑏2 −4𝑎𝑐
2𝑎
= √2 ± √3
2
∴𝑥1 = √2+√3
2
, 𝑥2 = √2−√3
2
．
▌对点练6-2．（25-26 九年级上·广东·期中）解方程：
(1)2𝑥2 −3𝑥+ 1 = 0
(2)𝑥2 −6𝑥+ 5 = 0
【答案】(1)𝑥1 = 1, 𝑥2 =
1
2
(2)𝑥1 = 1, 𝑥2 = 5
【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）运用因式分解法解方程，即可作答．
（2）运用因式分解法解方程，即可作答．
【详解】（1）解：∵2𝑥2 −3𝑥+ 1 = 0，
∴(𝑥−1)(2𝑥−1) = 0
∴𝑥−1 = 0或2𝑥−1 = 0，
解得𝑥1 = 1,𝑥2 =
1
2；
（2）解：∵𝑥2 −6𝑥+ 5 = 0，
∴(𝑥−1)(𝑥−5) = 0，
∴𝑥−1 = 0或𝑥−5 = 0，
解得𝑥1 = 1,𝑥2 = 5．
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题型七 公式法与几何综合
▌例7（25-26 九年级下·山东淄博·期末）古希腊数学家丢番图（公元250 年前后）在《算术》中就提到
了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式．只能用“图解法”来求解．在欧
几里得的《几何原本》中，形如𝑥2 + 𝑎𝑥= 𝑏2（𝑎> 0，𝑏> 0）的方程的“图解法”是：如图，以
𝑎
2和𝑏为两
直角边作Rt △𝐴𝐵𝐶，再在斜边上截取𝐵𝐷=
𝑎
2，则𝐴𝐷的长就是所求方程的一个解．
(1)若𝑎= 4，𝑏= 3，求图中线段𝐴𝐷的长，并验证线段𝐴𝐷的长是方程𝑥2 + 4𝑥= 32的一个解；
(2)请利用你已学的知识验证该“图解法”的正确性，并说说这种解法的不足之处．
【答案】(1)解：∵∠𝐶= 90°, 𝐵𝐶=
𝑎
2 = 2, 𝐴𝐶= 𝑏= 3 ，
∴𝐴𝐵= √𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = √32 + 22 = √13，
∴𝐴𝐷= 𝐴𝐵−𝐵𝐷= √13 −2，
当𝑥= √13 −2时，(√13 −2)
2 + 4(√13 −2)
= (13 −4√13 + 4) + 4√13 −8
= 17 −4√13 + 4√13 −8
= 9 = 32，
∴线段𝐴𝐷的长是方程𝑥2 + 4𝑥= 32的一个解；
(2)解：∵∠𝐶= 90°, 𝐵𝐶=
𝑎
2 , 𝐴𝐶= 𝑏，
∴𝐴𝐵= √𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = √𝑏2 +
𝑎2
4 ，
∴𝐴𝐷= 𝐴𝐵−𝐵𝐷= √𝑏2 +
𝑎2
4 −
𝑎
2 =
√4𝑏2+𝑎2−𝑎
2
，
用求根公式求得𝑥1 =
−√4𝑏2+𝑎2−𝑎
2
, 𝑥2 =
√4𝑏2+𝑎2−𝑎
2
，
正确性：𝐴𝐷的长就是方程的正根．
遗憾之处：图解法不能表示方程的负根．
【分析】（1）先根据勾股定理求得𝐴𝐵的长，可求𝐴𝐷的长，再代入方程验算即可；
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24 /
（2）正确性：形象直观；遗憾之处：图解法不能表示方程的负根．
【详解】（1）解：略
（2）解：略
▌对点练7-1．（25-26 八年级下·四川成都·期末）锐角△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 2𝐴𝐶，点𝐷在𝐵𝐶边上，𝐵𝐷= 3，
连接𝐴𝐷，将△𝐴𝐵𝐷沿线段𝐴𝐷所在直线翻折，点𝐵的对应点𝐸落在𝐴𝐶延长线上，连接𝐵𝐸．
(1)如图1，延长𝐴𝐷交𝐵𝐸于𝑁，求证：𝐴𝑁是𝐵𝐸的垂直平分线；
(2)在图1 中，请你延长𝐷𝐶至𝑀，使𝐶𝐷= 𝐶𝑀，连接𝐸𝑀．
①求𝐶𝐷的值；
②当𝐴𝐷= 2时，求𝐴𝐵的值：
(3)如图2，将线段𝐶𝐷绕点𝐶顺时针旋转60°得到𝐶𝑃，连接𝐴𝑃，求𝐴𝑃的最小值．
【答案】(1)证明：由翻折性质：𝐴𝐵= 𝐴𝐸，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐸，
即∠𝐵𝐴𝑁= ∠𝐸𝐴𝑁．
在等腰△𝐴𝐵𝐸中，𝐴𝐵= 𝐴𝐸，𝐴𝑁平分顶角∠𝐵𝐴𝐸，
根据等腰三角形三线合一：𝐴𝑁⊥𝐵𝐸，且𝐵𝑁= 𝑁𝐸．
直线𝐴𝑁垂直平分线段𝐵𝐸，
即𝐴𝑁是𝐵𝐸的垂直平分线．
(2)①
3
2；②√17
(3)
3√13−9
4
【分析】（1）由翻折性质及等腰三角形三线合一证明即可；
（2）①连接𝑀𝐴，可得四边形𝐴𝑀𝐸𝐷是平行四边形，𝑀𝐸⊥𝐵𝐸，𝑀𝐷= 𝐷𝐸= 𝐵𝐷，即可求出𝐶𝐷的长；
②由①知四边形𝐴𝑀𝐸𝐷是平行四边形，𝐵𝑀= 𝐵𝐷+ 𝐷𝑀= 6，根据勾股定理即可求出𝐵𝐸, 𝐷𝑁, 𝐴𝐵的长；
（3）由题意，定点𝐶, 𝐶𝑃=
3
2,即𝑃在以𝐶为圆心、半径为
3
2的圆上运动，当𝐴, 𝐶, 𝑃共线且𝑃在𝐴, 𝐶之间时取最小，
此时𝐴𝑃= 𝐴𝐶−𝐶𝑃= 𝐴𝐶−
3
2，根据已知条件及勾股定理即可解得𝐴𝑃的最小值．
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【详解】（1）略
（2）解：①如图，连接𝑀𝐴，
又点𝐵的对应点𝐸落在𝐴𝐶延长线上，𝐴𝐵= 2𝐴𝐶，
∴𝐴𝐸= 𝐴𝐵= 2𝐴𝐶，
∴𝐴𝐶= 𝐶𝐸，
∵𝐷𝐶= 𝐶𝑀，
∴𝐴𝐸与𝐷𝑀互相平分，
∴四边形𝐴𝑀𝐸𝐷是平行四边形，
∴𝑀𝐸∥𝐴𝑁，
∵𝐴𝑁⊥𝐵𝐸，
∴𝑀𝐸⊥𝐵𝐸，
又𝐵𝐷= 𝐷𝐸，
∴∠𝐷𝐵𝐸= ∠𝐷𝐸𝐵，
又∠𝐷𝐵𝐸+ ∠𝐸𝑀𝐵= ∠𝐷𝐸𝐵+ ∠𝐷𝐸𝑀= 90°，
∴∠𝐸𝑀𝐵= ∠𝐷𝐸𝑀，
∴𝑀𝐷= 𝐷𝐸= 𝐵𝐷= 3，
∴𝐶𝐷=
1
2 𝐷𝑀=
3
2；
②由①知四边形𝐴𝑀𝐸𝐷是平行四边形，𝐵𝑀= 𝐵𝐷+ 𝐷𝑀= 6，
∴𝑀𝐸= 𝐴𝐷= 2，
在Rt △𝐵𝐸𝑀中，由勾股定理得，𝐵𝐸= √𝐵𝑀2 −𝑀𝐸2 = √62 −22 = 4√2，
∴𝐵𝑁= 𝐸𝑁=
1
2 𝐵𝐸= 2√2，
在Rt △𝐵𝑁𝐷中，由勾股定理得，𝐷𝑁= √𝐵𝐷2 −𝐵𝑁2 = √32 −(2√2)
2 = 1，
∴𝐴𝑁= 𝐴𝐷+ 𝐷𝑁= 2 + 1 = 3，
在Rt △𝐵𝑁𝐴中，由勾股定理得，𝐴𝐵= √𝐴𝑁2 + 𝐵𝑁2 = √32 + (2√2)
2 = √17．
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（3）解：𝐶𝐷=
3
2 , 𝐶𝐷绕𝐶顺时针转60°得𝐶𝑃，
故𝐶𝑃= 𝐶𝐷=
3
2 , ∠𝐷𝐶𝑃= 60°,△𝐶𝐷𝑃为等边三角形，
定点𝐶, 𝐶𝑃=
3
2,即𝑃在以𝐶为圆心、半径为
3
2的圆上运动，
当𝐴, 𝐶, 𝑃共线且𝑃在𝐴, 𝐶之间时取最小，此时𝐴𝑃= 𝐴𝐶−𝐶𝑃= 𝐴𝐶−
3
2，
如图所示，∠𝐷𝐶𝐴= ∠𝐷𝐶𝑃= 60°，
作𝐵𝐹⊥𝐶𝐴交𝐶𝐴延长线于点𝐹，
则△𝐹𝐶𝐵为含60°的直角三角形，𝐶𝐵=
9
2
∴𝐹𝐶=
1
2 𝐵𝐶=
1
2 ×
9
2 =
9
4 , 𝐹𝐵= √3
2 𝐵𝐶= √3
2 ×
9
2 =
9
4 √3，
设𝐶𝐴= 𝑎，则𝐵𝐴= 2𝐴𝐶= 2𝑎，𝐴𝐹= 𝐹𝐶−𝐴𝐶=
9
4 −𝑎，
在Rt △𝐵𝐹𝐴中，有𝐴𝐵2 = 𝐵𝐹2 + 𝐴𝐹2，
∴(2𝑎)2 = (
9
4 √3)
2
+ (
9
4 −𝑎)
2
，
解得𝑎=
3√13−3
4
或𝑎=
−3√13−3
4
（舍去），
∴𝐴𝐶=
3√13−3
4
，
则𝐴𝑃min =
3√13−3
4
−
3
2 =
3√13−9
4
．
▌对点练7-2．（25-26 九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，对角线𝐴𝐶与𝐵𝐷交于点𝑂，
且𝑂𝐴= 𝑂𝐵= 𝑂𝐶= 𝑂𝐷= √2
2 𝐴𝐵．
(1)求证：四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形；
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27 /
(2)若𝐻是边𝐴𝐵上一点（𝐻与𝐴，𝐵不重合），连接𝐷𝐻，将线段𝐷𝐻绕点𝐻顺时针旋转90°，得到线段𝐻𝐸，过点
𝐸分别作𝐵𝐶及𝐴𝐵延长线的垂线，垂足分别为𝐹，𝐺．设四边形𝐵𝐺𝐸𝐹的面积为𝑠1，以𝐻𝐵, 𝐵𝐶为邻边的矩形的
面积为𝑠2，且𝑠1 = 𝑠2．
①求证：△𝐴𝐷𝐻≌△𝐺𝐻𝐸；
②当𝐴𝐵= 4时，求𝐴𝐻的长．
【答案】(1)
证明：∵ 𝑂𝐴= 𝑂𝐶，𝑂𝐵= 𝑂𝐷，
∴ 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形，
∵ 𝑂𝐴= 𝑂𝐵= 𝑂𝐶= 𝑂𝐷，
∴ 𝐴𝐶= 𝐵𝐷，
∴ 平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是矩形，
∵ 𝑂𝐴= √2
2 𝐴𝐵，𝑂𝐴= 𝑂𝐵，
∴𝑂𝐴2 + 𝑂𝐵2 = 𝐴𝐵2，
∴ ∠𝐴𝑂𝐵= 90°，即𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，
∴
矩形𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形；
(2)①证明：∵ 𝐸𝐺⊥𝐴𝐺，𝐸𝐹⊥𝐵𝐶，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，
∴ ∠𝐺= ∠𝐷𝐴𝐻= 90°，𝐴𝐷= 𝐴𝐵，∠𝐴𝐵𝐶= 90°，
∵ 线段𝐷𝐻绕点𝐻顺时针旋转90°得到线段𝐻𝐸，
∴ 𝐷𝐻= 𝐻𝐸，∠𝐷𝐻𝐸= 90°
∴ ∠𝐴𝐷𝐻+ ∠𝐴𝐻𝐷= ∠𝐺𝐻𝐸+ ∠𝐴𝐻𝐷= 90°，
∴ ∠𝐴𝐷𝐻= ∠𝐺𝐻𝐸，
在△𝐴𝐷𝐻和△𝐺𝐻𝐸中，
{
∠𝐷𝐴𝐻= ∠𝐺
∠𝐴𝐷𝐻= ∠𝐺𝐻𝐸
𝐷𝐻= 𝐻𝐸
，
∴ △𝐴𝐷𝐻≌△𝐺𝐻𝐸(AAS)；
②−2 + 2√5
【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再证是矩形，最后证邻边相等得正方形；
（2）①通过角度推导和已知条件证三角形全等；②利用全等和面积关系建立方程求解．
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【详解】（1）略
（2）解：①略
②∵ 𝐴𝐵= 4，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，
∴ 𝐴𝐷= 𝐴𝐵= 4，
∵△𝐴𝐷𝐻≌△𝐺𝐻𝐸，
∴ 𝐴𝐷= 𝐺𝐻= 4，𝐴𝐻= 𝐺𝐸，
设𝐴𝐻= 𝑥，则𝐻𝐵= 4 −𝑥，𝐺𝐸= 𝑥，𝐵𝐺= 𝐺𝐻−𝐻𝐵= 4 −(4 −𝑥) = 𝑥，
∵∠𝐴𝐵𝐶= 90°，
∴∠𝐺𝐵𝐹= 180° −∠𝐴𝐵𝐶= 90°，
∵𝐸𝐹⊥𝐵𝐶，𝐸𝐺⊥𝐴𝐺，
∴ 四边形𝐵𝐺𝐸𝐹是矩形，
∴ 𝐸𝐹= 𝐵𝐺= 𝑥，
𝑠1 = 𝐵𝐺⋅𝐺𝐸= 𝑥2，𝑠2 = 𝐻𝐵⋅𝐵𝐶= (4 −𝑥) × 4，
∵ 𝑠1 = 𝑠2，
∴ 𝑥2 = 4(4 −𝑥)，
∴𝑥1 = −2 −2√5（舍去）或𝑥2 = −2 + 2√5，
故𝐴𝐻的长为−2 + 2√5．
【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质及一元二次方程的
应用，熟练掌握正方形的判定与性质和全等三角形的判定是解题的关键．
基础通关
1．（26-27 九年级上·全国·课后作业）一元二次方程𝑥2 −2𝑥−5 = 0根的情况为（ ）
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．无法确定
【答案】C
【详解】解：∵在一元二次方程𝑥2 −2𝑥−5 = 0中，𝑎= 1，𝑏= −2，𝑐= −5，
∴这个方程根的判别式Δ = 𝑏2 −4𝑎𝑐= (−2)2 −4 × 1 × (−5) = 24 > 0，
∴这个方程有两个不相等的实数根．
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2．（25-26 九年级上·河北邯郸·开学考试）已知关于𝑥的一元二次方程(𝑎+ 𝑏)𝑥2 + 2𝑐𝑥+ (𝑎−𝑏) = 0，其
中𝑎、𝑏、𝑐分别为△𝐴𝐵𝐶三边的长．如果方程有两个相等的实数根，则△𝐴𝐵𝐶的形状是（ ）
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根的判别式可得一个关于𝑎, 𝑏, 𝑐的等式，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可．
【详解】解：∵关于𝑥的一元二次方程(𝑎+ 𝑏)𝑥2 + 2𝑐𝑥+ (𝑎−𝑏) = 0有两个相等的实数根，
∴这个方程根的判别式Δ = (2𝑐)2 −4(𝑎+ 𝑏)(𝑎−𝑏) = 4𝑐2 −4(𝑎2 −𝑏2) = 0，
∴4𝑐2 −4𝑎2 + 4𝑏2 = 0，
∴𝑏2 + 𝑐2 = 𝑎2，
又∵𝑏与𝑐不一定相等，
∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，不一定是等腰直角三角形．
3．（26-27 九年级上·全国·课后作业）关于x 的一元二次方程3𝑥2 −4𝑥+ 2 = 0中，根的判别式𝑏2 −4𝑎𝑐的
值为（ ）
A．8
B．12
C．−8
D．−12
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根的判别式公式计算即可得出结果．
【详解】解：在方程3𝑥2 −4𝑥+ 2 = 0中，𝑎= 3，𝑏= −4，𝑐= 2，
故𝑏2 −4𝑎𝑐= (−4)2 −4 × 3 × 2 = 16 −24 = −8．
4．（2025·山东枣庄·模拟预测）已知关于x 的方程(1 −2𝑘)𝑥2 −2√𝑘+ 1𝑥−1 = 0有实数根，则k 的取
值范围是（ ）
A．−1 ≤𝑘≤2
B．𝑘≥−1 且𝑘≠
1
2
C．−1 ≤𝑘≤2 且𝑘≠
1
2
D．𝑘≥2
【答案】A
【分析】当1 −2𝑘= 0时，原方程是一元一次方程，方程有解，符合题意；当1 −2𝑘≠0时，根据一元二次
方程有实数根以及二次根式有意义的条件列出关于k 的不等式组求解即可．
【详解】解：当1 −2𝑘= 0，即𝑘=
1
2时，原方程为−2√
1
2 + 1𝑥−1 = 0，
解得𝑥= −√6
6 ，符合题意；
当1 −2𝑘≠0，即𝑘≠
1
2时，
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∵关于x 的方程(1 −2𝑘)𝑥2 −2√𝑘+ 1𝑥−1 = 0有实数根，
∴{(−2√𝑘+ 1)
2 −4(1 −2𝑘) × (−1) ≥0
𝑘+ 1 ≥0
，
解得−1 ≤𝑘≤2，
∴−1 ≤𝑘≤2且𝑘≠
1
2，
综上，−1 ≤𝑘≤2．
5．（25-26 八年级下·河北张家口·期末）用公式法解方程𝑥2 −1 = 2𝑥时，得𝑥=
□±√4−4×(−1)
2
，则“□”处
应填（ ）
A．1
B．−1
C．2
D．−2
【答案】C
【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，确定𝑎, 𝑏, 𝑐的值，再对照求根公式即可得到方框内的
数值．
【详解】解： ∵𝑥2 −1 = 2𝑥，
∴ 移项得𝑥2 −2𝑥−1 = 0，
此处𝑎= 1，𝑏= −2，𝑐= −1，
𝑥=
−(−2)±√(−2)2−4×1×(−1)
2×1
=
2±√4−4×(−1)
2
，
对比题干给出的式子，可知□处应填2．
6．（25-26 八年级下·山东·期末）已知一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏（𝑘≠0）的图象不过第三象限，则方程𝑏𝑥2 −
2𝑥+ 𝑘= 0的根的个数为（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．1 个或2 个
【答案】D
【分析】先根据一次函数位置得到𝑘、𝑏的取值范围，再分情况讨论方程类型，判断根的个数．
【详解】解：∵一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏(𝑘≠0)的图象不过第三象限，
∴𝑘< 0，𝑏≥0，
分两种情况讨论：
当𝑏= 0时，原方程化为−2𝑥+ 𝑘= 0，是一元一次方程，仅有1 个根；
当𝑏> 0时，原方程为一元二次方程，计算判别式得Δ = (−2)2 −4𝑏𝑘= 4 −4𝑏𝑘，
∵𝑘< 0，𝑏> 0，
∴−4𝑏𝑘> 0，
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∴Δ = 4 −4𝑏𝑘> 0，即方程有2 个不相等的实数根，
综上，方程根的个数为1 个或2 个．
7．（25-26 九年级下·吉林长春·开学考试）一元二次方程𝑥2 −3𝑥+ 𝑘= 0有两个实数根，则𝑘所取的可能
的值是______. (填一个即可)
【答案】2（答案不唯一）
【详解】解：∵一元二次方程𝑥2 −3𝑥+ 𝑘= 0有两个实数根，
∴Δ = (−3)2 −4 × 1 × 𝑘= 9 −4𝑘> 0，
解得𝑘<
9
4，
取𝑘= 2(答案不唯一)．
8．（2026·贵州铜仁·模拟预测）若关于𝑥的一元二次方程𝑥2 + 2𝑥−𝑘= 0有不相等实数根，则𝑘的取值范
围是______．
【答案】𝑘> −1
【分析】根据一元二次方程判别式与根的情况关系，由题意得到判别式大于0，代入方程系数计算后解不等
式即可得到𝑘的取值范围．
【详解】解：∵关于𝑥的一元二次方程𝑥2 + 2𝑥−𝑘= 0有不相等实数根，
∴ 𝑎= 1，𝑏= 2，𝑐= −𝑘，
∴Δ = 22 −4 × 1 × (−𝑘) = 4 + 4𝑘> 0，解得𝑘> −1．
9．（25-26 九年级上·全国·课后作业）已知一元二次方程(x −3)2 = 1．
（1）若方程的两个根恰好是等腰三角形𝐴𝐵𝐶的底边长和腰长，则△𝐴𝐵𝐶的周长为_________．
（2）若方程的两个根恰好是Rt △𝐷𝐸𝐹的两边长，则Rt △𝐷𝐸𝐹的面积为_________．
【答案】 10 4 或2√3
【分析】（1）先利用直接开平方法求解方程求出𝑥1 = 4，𝑥2 = 2，再分两种情况解答即可．
（2）分两种情况并结合勾股定理计算解答即可.
【详解】解：（1）∵(𝑥−3)2 = 1，
∴𝑥−3 = ±1
解得𝑥1 = 4，𝑥2 = 2．
①当底边长和腰长分别为4 和2 时，4 = 2 + 2，此时不能构成三角形；
②当底边长和腰长分别是2 和4 时，符合题意，
∴△𝐴𝐵𝐶的周长为2 + 4 + 4 = 10．
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（2）由（1）知，方程的两个根为𝑥1 = 4，𝑥2 = 2．
①若2，4 是Rt △𝐷𝐸𝐹的两条直角边的长，则SRt△𝐷𝐸𝐹=
1
2 × 2 × 4 = 4，
②若2，4 分别是Rt△𝐷𝐸𝐹的一条直角边长和斜边长，
则另一条直角边长为√42 −22 = 2√3，
SRt△𝐷𝐸𝐹=
1
2 × 2 × 2√3 = 2√3．
∴ Rt △𝐷𝐸𝐹的面积为4 或2√3．
10．（25-26 九年级上·福建莆田·阶段检测）解方程
(1)𝑥2 + 8𝑥−9 = 0；（配方法）
(2)3𝑥2 = 4 −2𝑥；（公式法）
【答案】(1)𝑥1 = 1，𝑥2 = −9
(2)𝑥1 =
−1+√13
3
，𝑥2 =
−1−√13
3
【分析】（1）把方程化为：𝑥2 + 8𝑥= 9，可得𝑥2 + 8𝑥+ 16 = 9 + 16，再进一步解方程即可；
（2）先求解Δ = 𝑏2 −4𝑎𝑐= 52 > 0，再利用公式法解方程即可．
【详解】（1）解：𝑥2 + 8𝑥−9 = 0，
移项得：𝑥2 + 8𝑥= 9，
配方得：𝑥2 + 8𝑥+ 16 = 9 + 16，即(𝑥+ 4)2 = 25，
开方得：𝑥+ 4 = ±5，
∴𝑥1 = 1，𝑥2 = −9；
（2）解：3𝑥2 = 4 −2𝑥，即3𝑥2 + 2𝑥−4 = 0，
∴𝑎= 3，𝑏= 2，𝑐= −4，
∴Δ = 𝑏2 −4𝑎𝑐= 22 −4 × 3 × (−4) = 52 > 0，
∴𝑥=
−2±√52
2×3
=
−2±2√13
6
=
−1±√13
3
，
即𝑥1 =
−1+√13
3
，𝑥2 =
−1−√13
3
．
11．（2026·北京门头沟·模拟预测）已知关于𝑥的方程𝑥2 −2(𝑚+ 1)𝑥+ 𝑚2 = 0．
(1)当𝑚取什么值时，原方程没有实数根；
(2)对𝑚选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根．
【答案】(1)𝑚< −
1
2
(2)𝑚= 1时，𝑥1 = 2 + √3,𝑥2 = 2 −√3
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【分析】（1）计算一元二次方程根的判别式得出Δ = [−2(𝑚+ 1)]2 −4𝑚2 = 8𝑚+ 4，根据原方程没有实数
根得出Δ < 0，解不等式即可得出答案；
（2）根据原方程有两个实数根得出𝑚≥−
1
2，选取𝑚= 1，利用公式法解方程求出两个实数根即可．
【详解】（1）解：∵关于𝑥的方程𝑥2 −2(𝑚+ 1)𝑥+ 𝑚2 = 0，
∴判别式Δ = [−2(𝑚+ 1)]2 −4𝑚2 = 8𝑚+ 4，
∵原方程没有实数根，
∴Δ < 0，即8𝑚+ 4 < 0，
解得：𝑚< −
1
2，
∴当𝑚< −
1
2时，原方程没有实数根．
（2）解：∵原方程有两个实数根，
∴Δ ≥0，即8𝑚+ 4 ≥0，
解得：𝑚≥−
1
2，
∴选取满足条件的非零整数𝑚= 1（答案不唯一，符合要求即可），
∴原方程为𝑥2 −4𝑥+ 1 = 0，
∵𝑎= 1，𝑏= −4，𝑐= 1，
∴𝑥=
4±√(−4)2−4×1×1
2×1
= 2 ± √3，
∴𝑥1 = 2 + √3，𝑥2 = 2 −√3．
12．（25-26 八年级下·湖南长沙·期末）定义：方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0（𝑎𝑐≠0）与方程𝑐𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑎= 0互
为“换位方程”．如一元二次方程2𝑥2 −3𝑥−1 = 0的“换位方程”是−𝑥2 −3𝑥+ 2 = 0．已知关于𝑥的一元
二次方程①：𝑥2 + (2𝑚+ 1)𝑥+ 𝑚−2 = 0，其中𝑚≠2．
(1)写出方程①的“换位方程”；
(2)求证：当𝑚≠2时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根；
(3)若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根𝑥0，求这个公共根及𝑚的值．
【答案】(1)(𝑚−2)𝑥2 + (2𝑚+ 1)𝑥+ 1 = 0
(2)当𝑚≠2时，对于方程①及其“换位方程”均有
Δ = (2𝑚+ 1)2 −4(𝑚−2) = 4𝑚2 + 9 > 0，
∴方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根．
(3)𝑥0 = −1或𝑥0 = 1，𝑚= −2或𝑚= 0
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【分析】（1）根据“换位方程”的定义解答即可；
（2）根据一元二次方程根的判别式得出Δ = 4𝑚2 + 9 > 0，即可得出结论；
（3）把𝑥0分别代入方程①及其“换位方程”可得(𝑚−3)(𝑥0
2 −1) = 0，根据𝑚= 3时两方程相同得出𝑥02 −1 =
0，解方程得出𝑥0 = −1或𝑥0 = 1，分别代入方程①求出𝑚的值即可得出答案．
【详解】（1）解：在方程𝑥2 + (2𝑚+ 1)𝑥+ 𝑚−2 = 0中，𝑎= 1，𝑐= 𝑚−2，
∴方程①的“换位方程”为(𝑚−2)𝑥2 + (2𝑚+ 1)𝑥+ 1 = 0．
（2）解：略
（3）解：∵方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根𝑥0，
∴𝑥02 + (2𝑚+ 1)𝑥0 + 𝑚−2 = 0，(𝑚−2)𝑥02 + (2𝑚+ 1)𝑥0 + 1 = 0，
∴(𝑚−3)𝑥0
2 + 3 −𝑚= 0，
∴(𝑚−3)(𝑥0
2 −1) = 0，
当𝑚= 3时，方程①与其“换位方程”相同，不符合题意，
∴𝑥02 −1 = 0
解得：𝑥0 = −1或𝑥0 = 1，
当𝑥0 = −1时，代入方程①得，(−1)2 −(2𝑚+ 1) + 𝑚−2 = 0，
解得：𝑚= −2；
当𝑥0 = 1时，代入方程①得，12 + (2𝑚+ 1) + 𝑚−2 = 0，
解得：𝑚= 0．
素养提升
1．（25-26 八年级下·浙江台州·期末）关于𝑥的一元二次方程𝑚𝑥2 −2√2𝑚𝑥+ 𝑛+
3
2 = 0有两个相等的实
数根，则下列成立的是（ ）
A．若0 < 𝑛< 1，则0 < √𝑚< 1
B．若0 < 𝑛< 1，则√𝑚> 1
C．若𝑛> 1，则0 < √𝑚< 1
D．若𝑛> 1，则√𝑚> 1
【答案】D
【分析】由一元二次方程有两个相等实数根得判别式为0，推导m 与n 的数量关系，结合n 的范围判断√𝑚的
范围．
【详解】解：∵方程是关于x 的一元二次方程，
∴𝑚≠0．
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∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ = (−2√2𝑚)
2 −4𝑚(𝑛+
3
2) = 0，
即8𝑚2 −4𝑚𝑛−6𝑚= 0，
两边同除以2𝑚，得 4𝑚−2𝑛−3 = 0，
整理得 𝑚=
2𝑛+3
4 ．
当0 < 𝑛< 1时，3 < 2𝑛+ 3 < 5，
∴
3
4 < 𝑚<
5
4，
则 √3
2 < √𝑚< √5
2 ，√𝑚可能小于1 也可能大于1，故A、B 均不成立．
当𝑛> 1时，2𝑛+ 3 > 5，
∴𝑚>
5
4 > 1，
∴√𝑚> 1，故C 错误，D 正确．
2．（2026 九年级上·上海奉贤·竞赛）设二次方程𝑥2 + 2𝑝𝑥+ 2𝑞= 0有实数根，其中𝑝、𝑞都是素数，那
么它的根一定是（ ）
A．奇数
B．偶数
C．分数
D．无理数
【答案】D
【分析】先利用一元二次方程根的判别式得到p 和q 的关系，结合p、q 均为素数的性质，推导得到根的属
性．
【详解】∵一元二次方程𝑥2 + 2𝑝𝑥+ 2𝑞= 0有实数根，
∴Δ = (2𝑝)2 −4 × 1 × 2𝑞= 4(𝑝2 −2𝑞) ≥0，即𝑝2 ≥2𝑞，
∴ 𝑥=
−2𝑝±√Δ
2
= −𝑝± √𝑝2 −2𝑞，
∵𝑝, 𝑞均为素数，素数中唯一的偶数是2，其余均为奇数，
当𝑝，𝑞均为奇素数时，
∴𝑝2 −2𝑞为奇数，且不可能是完全平方数，
∴𝑥一定是无理数，
当𝑝= 2，𝑞为奇素数时，即4 ≥2𝑞，
∴𝑞≤2，
∴不存在这相的奇素数，
当𝑞= 2，𝑝为奇素数时，即𝑝2 ≥4，
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∴𝑝≥2，
设𝑝2 −2𝑞= 𝑘2（k 为非负整数），即(𝑝+ 𝑘)(𝑝−𝑘) = 4，
∵𝑝，𝑘均为非负整数，
∴{𝑝+ 𝑘= 4
𝑝−𝑘= 1
或{𝑝+ 𝑘= 2
𝑝−𝑘= 2
，
解得{𝑝= 2.5
𝑘= 1.5
或{𝑝= 2
𝑘= 0
，均不符，
∴𝑝2 −2𝑞不可能是完全平方数，
∴𝑥一定是无理数，
当且仅当𝑝= 𝑞= 2时，𝑥1 = 𝑥2 = −2，
综上所述，原方程的根一定是无理数．
3．（2026 九年级上·重庆江津·竞赛）若关于x 的一元二次方程
1
2 𝑥2 + 4𝑥−𝑎= 0有两个不相等的实数根，
且关于y 的分式方程
2𝑦
𝑦+1 =
𝑎
𝑦+1 −1的解为负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ）
A．−15
B．−13
C．−7
D．−5
【答案】D
【分析】先根据一元二次方程根的情况，利用判别式求出𝑎的取值范围，再解分式方程，根据解为负整数且
分式有意义，确定符合条件的整数𝑎，最后计算所有符合条件的𝑎的和即可．
【详解】∵关于𝑥的一元二次方程
1
2 𝑥2 + 4𝑥−𝑎= 0有两个不相等的实数根，
∴根的判别式Δ = 42 −4 ×
1
2 × (−𝑎) = 16 + 2𝑎> 0，
解得𝑎> −8；
解分式方程
2𝑦
𝑦+1 =
𝑎
𝑦+1 −1，
方程两边同乘𝑦+ 1（𝑦≠−1，否则分式无意义）得：2𝑦= 𝑎−(𝑦+ 1)，
整理得3𝑦= 𝑎−1，
解得𝑦=
𝑎−1
3 ，
∵分式方程的解为负整数，
∴
𝑎−1
3 < 0，且
𝑎−1
3 为整数，且
𝑎−1
3 ≠−1，
即𝑎< 1，𝑎−1是3的倍数，𝑎≠−2，
结合𝑎> −8且𝑎为整数，可得符合条件的整数𝑎只有−5，
∴所有满足条件的整数𝑎的值之和是−5．
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4．（25-26 九年级下·山东淄博·期末）如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行
有1 个点，第二行有2 个点……，第𝑛行有𝑛个点，前𝑛行的点数和可能是以下哪个结果（ ）
A．100
B．93
C．86
D．78
【答案】D
【分析】根据题意得出前𝑛行的点数和公式，进而列一元二次方程求解即可．
【详解】解：∵第一行有1 个点，第二行有2 个点，……第𝑛行有𝑛个点，
∴前𝑛行的点数和为1 + 2 + 3 + ⋯+ 𝑛=
𝑛(𝑛+1)
2
．
A、若和为100，则
𝑛(𝑛+1)
2
= 100，即𝑛(𝑛+ 1) = 200，解得：𝑛1 =
−1+√801
2
, 𝑛2 =
−1−√801
2
，无正整数解，故A
不符合题意；
B、若和为93，则
𝑛(𝑛+1)
2
= 93，即𝑛(𝑛+ 1) = 186，解得：𝑛1 =
−1+√745
2
, 𝑛2 =
−1−√745
2
，无正整数解，故B
不符合题意；
C、若和为86，则
𝑛(𝑛+1)
2
= 86，即𝑛(𝑛+ 1) = 172，解得：𝑛1 =
−1+√689
2
, 𝑛2 =
−1−√689
2
，无正整数解，故C
不符合题意；
D、若和为78，则
𝑛(𝑛+1)
2
= 78，即𝑛(𝑛+ 1) = 156，解得𝑛= 12或𝑛= −13（舍去），即前12 行的点数之和
为78，故D 符合题意．
5．（25-26 八年级下·重庆忠县·期末）已知关于𝑥的整式𝑓(𝑥) = (2 −|𝑎|)𝑥2 −2𝑥+ 2 −𝑎，其中𝑎为常数．给
出下列命题：①若𝑓(𝑥)是关于𝑥的二次三项式，则𝑎≠±2；②若𝑓(𝑥)为单项式，则𝑎= ±2；③若𝑓(𝑥)是关于
𝑥的一次函数，则𝑎= 2；④当|𝑎| < 1时，𝑓(𝑥)不能分解为两个关于𝑥的一次因式的乘积．其中正确的命题个
数是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】C
【分析】根据多项式、一次函数的定义，逐个判断四个命题，利用判别式判断二次多项式能否分解为一次
因式乘积，最终统计正确命题个数．
【详解】解：已知𝑓(𝑥) = (2 −|𝑎|)𝑥2 −2𝑥+ 2 −𝑎，逐个判断：
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①若𝑓(𝑥)是二次三项式，需满足二次项系数不为0，且一次项、常数项均不为0，
∴一次项系数为−2 ≠0，由二次项系数2 −|𝑎| ≠0得𝑎≠±2，常数项2 −𝑎≠0得𝑎≠2，
∴满足二次三项式要求𝑎≠±2，
∴①正确．
②若𝑓(𝑥)为单项式，需二次项系数为0且常数项为0，
∴ 2 −|𝑎| = 0得𝑎= ±2，2 −𝑎= 0得𝑎= 2，
∴当𝑎= 2时𝑓(𝑥) = −2𝑥是单项式，
当𝑎= −2时𝑓(𝑥) = −2𝑥+ 4是二项式，
∴②错误．
③若𝑓(𝑥)是一次函数，需二次项系数为0，一次项系数不为0，
∴ 2 −|𝑎| = 0得𝑎= ±2，
∴𝑎= ±2均满足一次函数要求，与命题𝑎= 2不符，
∴③错误．
④当|𝑎| < 1时，2 −|𝑎| ≠0，𝑓(𝑥)是二次多项式，计算判别式Δ = (−2)2 −4(2 −|𝑎|)(2 −𝑎)：
当𝑎≥0时，|𝑎| = 𝑎，Δ = 4 −4(2 −𝑎)2 = 4(𝑎−1)(3 −𝑎)，
∵0 ≤𝑎< 1，
∴𝑎−1 < 0，3 −𝑎> 0得Δ < 0，
当𝑎< 0时，|𝑎| = −𝑎，Δ = 4 −4(2 + 𝑎)(2 −𝑎) = 4(𝑎2 −3)，
∵|𝑎| < 1，
∴𝑎2 < 1 < 3，得Δ < 0，
∴Δ < 0，二次多项式无实根，不能分解为两个一次因式的乘积，
∴④正确．
综上所述，正确的命题个数是2．
6．（25-26 八年级下·浙江宁波·阶段检测）关于𝑥的一元二次方程𝑥2 + 𝑥−𝑘= 0有两个实数根𝑥1，𝑥2，
若[2 + 𝑥1(1 + 𝑥1)] ⋅[3 −2𝑥2(1 + 𝑥2)] = 3，则𝑘的值为________．
【答案】1
【分析】利用一元二次方程根的定义化简已知等式，得到关于𝑘的一元二次方程，求解后结合根的判别式判
断即可．
【详解】解：∵𝑥1，𝑥2是一元二次方程𝑥2 + 𝑥−𝑘= 0的两个实数根，
∴根据根的定义，得𝑥1
2 + 𝑥1 −𝑘= 0，即𝑥1
2 + 𝑥1 = 𝑘，同理可得𝑥2
2 + 𝑥2 = 𝑘，
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∴化简已知等式的两个因式：2 + 𝑥1(1 + 𝑥1) = 2 + 𝑥1 + 𝑥1
2 = 2 + (𝑥1
2 + 𝑥1) = 2 + 𝑘，3 −2𝑥2(1 + 𝑥2) = 3 −
2(𝑥2 + 𝑥2
2) = 3 −2𝑘，
代入[2 + 𝑥1(1 + 𝑥1)] ⋅[3 −2𝑥2(1 + 𝑥2)] = 3，得：(2 + 𝑘)(3 −2𝑘) = 3，
整理得：2𝑘2 + 𝑘−3 = 0，解得𝑘= 1或𝑘= −
3
2，
∵原方程有两个实数根，
∴根的判别式Δ ≥0，即Δ = 12 −4 × 1 × (−𝑘) = 1 + 4𝑘≥0，解得𝑘≥−
1
4，
∴满足题意，且符合等式的解为𝑘= 1．
7．（25-26 八年级下·福建福州·期末）如图，在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐸为𝐶𝐷上一点，连接𝐵𝐸，过点𝐴作𝐴𝐹⊥𝐵𝐸
于点𝐹，若𝐷𝐸= 4√2，𝐵𝐹= √2
4 𝐷𝐸，则𝐶𝐸=________．
【答案】2√6 −2√2
【分析】根据题意，得𝐵𝐹= √2
4 × 4√2 = 2，设𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 𝐶𝐷= 𝐷𝐴= 𝑥，根据勾股定理，得𝐸𝐹2 = 𝐴𝐸2 −
𝐴𝐹2 = 𝑥2 + 32 −𝑥2 + 4 = 36，继而求得𝐵𝐸= 𝐵𝐹+ 𝐸𝐹= 8，根据勾股定理，得𝐵𝐸2 = 𝐵𝐶2 + 𝐸𝐶2，故82 =
𝑥2 + (𝑥−4√2)
2，解方程即可．
【详解】解：如图，连接𝐴𝐸，
∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，
∴𝐴𝐷= 𝐷𝐶= 𝐶𝐵= 𝐵𝐴, ∠𝐷𝐴𝐵= ∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐵𝐶𝐷= ∠𝐶𝐷𝐴= 90°，
∵𝐷𝐸= 4√2，𝐵𝐹= √2
4 𝐷𝐸，
∴𝐵𝐹= √2
4 × 4√2 = 2，
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设𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 𝐶𝐷= 𝐷𝐴= 𝑥，
∵𝐴𝐹⊥𝐵𝐸，
∴∠𝐴𝐹𝐵= ∠𝐴𝐹𝐸= 90°，
∴𝐴𝐸2 = 𝐴𝐷2 + 𝐷𝐸2 = 𝑥2 + 32，𝐴𝐹2 = 𝐴𝐵2 −𝐵𝐹2 = 𝑥2 −4，
∴𝐸𝐹2 = 𝐴𝐸2 −𝐴𝐹2 = 𝑥2 + 32 −𝑥2 + 4 = 36，
解得𝐸𝐹= 6，负的舍去，线段长不能为负，
∴𝐵𝐸= 𝐵𝐹+ 𝐸𝐹= 8，
根据勾股定理，得𝐵𝐸2 = 𝐵𝐶2 + 𝐸𝐶2，
∴82 = 𝑥2 + (𝑥−4√2)
2，
整理，得𝑥2 −4√2𝑥−16 = 0，
解得𝑥= 2√2 + 2√6或𝑥= 2√2 −2√6，负的舍去，线段长不能为负，
故𝐶𝐷= 2√2 + 2√6,
故𝐶𝐸= 𝐶𝐷−𝐷𝐸= 2√2 + 2√6 −4√2 = 2√6 −2√2；
8．（25-26 八年级下·北京·阶段检测）关于𝑥的方程𝑘𝑥2 −(2𝑘+ 1)𝑥+ 𝑘= 0有两个不相等的实根，则𝑘的
取值范围是__________________；若该方程的两个实根均为有理数，则整数𝑘的最小值为__________．
【答案】 𝑘> −
1
4且𝑘≠0 2
【分析】方程有两个不相等实根，说明该方程为一元二次方程，需满足二次项系数不为0，且根的判别式大
于0，据此求出𝑘的取值范围；
若两根为有理数，根据求根公式可知根的判别式需为完全平方数，结合𝑘的取值范围求出最小整数𝑘即可．
【详解】解：∵方程𝑘𝑥2 −(2𝑘+ 1)𝑥+ 𝑘= 0有两个不相等的实根，
∴该方程为一元二次方程，可得𝑘≠0，
∵方程有两个不相等的实根，
∴Δ = 𝑏2 −4𝑎𝑐= [−(2𝑘+ 1)]2 −4𝑘⋅𝑘= 4𝑘2 + 4𝑘+ 1 −4𝑘2 = 4𝑘+ 1 > 0，
解得𝑘> −
1
4，
∴𝑘的取值范围是𝑘> −
1
4且𝑘≠0；
若方程的两个实根均为有理数，由求根公式可知，判别式Δ必须是完全平方数，即4𝑘+ 1 为完全平方数
设4𝑘+ 1 = 𝑚2（𝑚为正整数），则𝑘=
𝑚2−1
4 ，
当𝑚= 1时，𝑘= 0，不符合𝑘≠0，舍去，
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当𝑚= 3时，𝑘=
32−1
4
= 2，符合条件，
∴整数𝑘的最小值为2．
9．（25-26 八年级下·福建泉州·期末）已知关于𝑥的一元二次方程𝑚𝑥2 −(2𝑚−3)𝑥+ 𝑚−3 = 0．
(1)求证：该方程有两个实数根；
(2)若𝑚为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由．
【答案】(1)证明：∵该方程是关于𝑥的一元二次方程，
∴𝑚≠0
∵Δ = (2𝑚−3)2 −4𝑚(𝑚−3)
= 4𝑚2 −12𝑚+ 9 −4𝑚2 + 12𝑚
= 9 > 0
∴该方程有两个不相等的实数根，即有两个实数根；
(2)解：可以，理由如下：
由求根公式得𝑥=
(2𝑚−3)±√9
2𝑚
=
(2𝑚−3)±3
2𝑚
，
∴𝑥1 =
2𝑚−3+3
2𝑚
= 1，𝑥2 =
2𝑚−3−3
2𝑚
= 1 −
3
𝑚
∵𝑚为整数，且方程的两个实数根都为正整数，
∴1 −
3
𝑚为正整数
∴
3
𝑚为整数，且1 −
3
𝑚> 0
∵𝑚为整数，
∴𝑚的可能取值为±1，±3
当𝑚= −1时，𝑥2 = 4，两根为1和4，均为正整数；
当𝑚= −3时，𝑥2 = 2，两根为1和2，均为正整数；
当𝑚= 1时，𝑥2 = −2，不符合要求；
当𝑚= 3时，𝑥2 = 0，不符合要求
∴该方程的两个实数根可以都为正整数．
【分析】（1）计算Δ值，再判断Δ的符号即可；
（2）先由求根公式求出𝑥1 = 1，𝑥2 =
2𝑚−3−3
2𝑚
= 1 −
3
𝑚，则1 −
3
𝑚为正整数，故
3
𝑚为整数，且1 −
3
𝑚> 0，则𝑚的
可能取值为±1，±3，再分别代入求解即可．
【详解】（1）略
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（2）略
10．（25-26 八年级下·福建莆田·期末）如图，在等腰Rt △𝐴𝐵𝑂中，∠𝐴= 90°，点𝐵的坐标为(0,2)．
(1)求直线𝐴𝐵的解析式；
(2)若直线𝑙: 𝑦= 𝑚𝑥+ 𝑚(𝑚≠0)，则直线𝑙必过点 ．
当直线𝑙把△𝐴𝐵𝑂分成面积相等的两部分，求𝑚的值．
【答案】(1)𝑦= −𝑥+ 2
(2)直线𝑙必过点(−1,0)；𝑚的值为
5−√13
2
【分析】（1）过点A 作𝐴𝐸⊥𝐵𝑂于点E，根据等腰三角形三线合一的性质求出A 点的坐标，再利用待定系
数法求出直线𝐴𝐵的解析式；
（2）根据𝑦= 𝑚𝑥+ 𝑚= 𝑚(𝑥+ 1)，即可得直线𝑙必过点(−1,0)；画出直线𝑙，与𝐴𝐵的交点为D，求出直线𝑙与
y 轴的交点C，联立直线𝑙与𝐴𝐵的解析式求出D 点坐标，再根据直线𝑙把△𝐴𝐵𝑂分成面积相等的两部分，得到
𝑆△𝐵𝐶𝐷=
1
2 𝑆△𝐴𝐵𝑂，即可列方程求解．
【详解】（1）解：如图，过点A 作𝐴𝐸⊥𝐵𝑂于点E，
∵在等腰Rt △𝐴𝐵𝑂中，∠𝐴= 90°，𝐴𝐵= 𝐴𝑂，
∴𝐵𝐸= 𝐸𝑂= 𝐴𝐸=
1
2 𝐵𝑂，
∵点𝐵的坐标为(0,2)，
∴𝐵𝑂= 2，
∴𝐵𝐸= 𝐸𝑂= 𝐴𝐸= 1，
∴𝐴(1,1)，
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设直线𝐴𝐵的解析式为𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏，将𝐴(1,1)、𝐵(0,2)代入得，
{𝑘+ 𝑏= 1
𝑏= 2
，
解得{𝑘= −1
𝑏= 2
，
∴直线𝐴𝐵的解析式为𝑦= −𝑥+ 2；
（2）解：∵𝑦= 𝑚𝑥+ 𝑚= 𝑚(𝑥+ 1)，
∴函数𝑦= 𝑚𝑥+ 𝑚一定过点(−1,0)；
当𝑥= 0时，𝑦= 𝑚，
∴点C 的坐标为(0,𝑚)，𝑚< 2，
如图，当直线l 与𝑂𝐴相交时，很显然直线l 不可能把△𝐴𝑂𝐵分成面积相等的两部分，
∴直线l 一定与直线𝐴𝐵相交，才可能将△𝐴𝑂𝐵分成面积相等的两部分，设交点为D，
联立得{ 𝑦= −𝑥+ 2
𝑦= 𝑚𝑥+ 𝑚
，解得{
𝑥=
2−𝑚
𝑚+1
𝑦=
3𝑚
𝑚+1
，
∴𝐷(
2−𝑚
𝑚+1 ,
3𝑚
𝑚+1)，
∴𝐵𝐶= 2 −𝑚，
∵直线𝑙: 𝑦= 𝑚𝑥+ 𝑚(𝑚≠0)把△𝐴𝐵𝑂分成面积相等的两部分，
∴𝑆△𝐵𝐶𝐷=
1
2 𝑆△𝐴𝐵𝑂，
∴
1
2 𝐵𝐶⋅𝑥𝐷=
1
2 ×
1
2 𝑂𝐵⋅𝑥𝐴，
∴
1
2 (2 −𝑚) ⋅
2−𝑚
𝑚+1 =
1
2 ×
1
2 × 2 × 1，
解得，𝑚1 =
5−√13
2
，𝑚2 =
5+√13
2
（舍去），
∴𝑚的值为
5−√13
2
．
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迁移创新
1．（25-26 八年级下·浙江金华·期末）我们把形如𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐（𝑎，𝑏，𝑐是常数，𝑎≠0，𝑏≠0且𝑐≠0）的
多项式叫做关于𝑥的二次三项式．通过学习可知，利用因式分解可解一元二次方程．反过来，也可以利用求
出一元二次方程两个根的方法，把某些二次三项式因式分解．例如：一元二次方程2𝑥2 + 10𝑥+ 12 = 0的两
个根为𝑥1 = −2，𝑥2 = −3，则二次三项式2𝑥2 + 10𝑥+ 12因式分解的结果是2(𝑥+ 2)(𝑥+ 3)．
(1)下面是代数推理过程，请补全过程：
设一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0（𝑎≠0，且𝑏2 −4𝑎𝑐≥0）的两个实数根为𝑥1 =
−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
，𝑥2 =
−𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
则𝑎(𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥2) = 𝑎(𝑥−
−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
)(𝑥− ) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐．
即𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 𝑎(𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥2)．
(2)已知关于𝑥的一元二次方程𝑥2 + 𝑚𝑥+ 𝑛= 0（𝑚，𝑛是常数）的两个实数根为𝑥1 = −3，𝑥2 = 4，则二次三
项式𝑥2 + 𝑚𝑥+ 𝑛因式分解的结果是 ．
(3)请仔细阅读内容中的方法，将多项式3𝑥2 −8𝑥−4进行因式分解．
【答案】(1)
−𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
(2)(𝑥+ 3)(𝑥−4)
(3)3 (𝑥−
4+2√7
3
) (𝑥−
4−2√7
3
)
【分析】（1）根据题干所给例子即可得出结果；
（2）根据题干所给例子即可得出结果；
（3）利用公式法求出一元二次方程3𝑥2 −8𝑥−4 = 0的解，并结合题意即可得出结果．
【详解】
（1）解：设一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0（𝑎≠0，且𝑏2 −4𝑎𝑐≥0）的两个实数根为𝑥1 =
−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
，
𝑥2 =
−𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
则𝑎(𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥2) = 𝑎(𝑥−
−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
)(𝑥−
−𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐．
即𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 𝑎(𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥2)．
（2）解：∵关于𝑥的一元二次方程𝑥2 + 𝑚𝑥+ 𝑛= 0（𝑚，𝑛是常数）的两个实数根为𝑥1 = −3，𝑥2 = 4，
∴二次三项式𝑥2 + 𝑚𝑥+ 𝑛因式分解的结果是(𝑥+ 3)(𝑥−4)；
（3）解：对于一元二次方程3𝑥2 −8𝑥−4 = 0，其中𝑎= 3，𝑏= −8，𝑐= −4，
∴Δ = 𝑏2 −4𝑎𝑐= (−8)2 −4 × 3 × (−4) = 112，
∴𝑥=
−(−8)±√112
2×3
=
8±4√7
6
=
4±2√7
3
，
小学
初中
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∴𝑥1 =
4+2√7
3
，𝑥2 =
4−2√7
3
，
∴将多项式3𝑥2 −8𝑥−4进行因式分解为3 (𝑥−
4+2√7
3
) (𝑥−
4−2√7
3
)．
2．（25-26 八年级下·山东烟台·期末）【新定义】如图．四边形𝐴𝐶𝐷𝐸是证明勾股定理时用到的一个图
形．𝑎、𝑏、𝑐是Rt △𝐴𝐵𝐶和Rt △𝐸𝐷𝐵的边长，易知𝐴𝐸= √2𝑐．这时我们把关于x 的形如𝑎𝑥2 + √2𝑐𝑥+ 𝑏= 0
的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
(1)写出一个“勾系一元二次方程”______________（一个即可）；
(2)求证：关于x 的“勾系一元二次方程”𝑎𝑥2 + √2𝑐𝑥+ 𝑏= 0必有实数根；
(3)若𝑥= −1是“勾系一元二次方程”𝑎𝑥2 + √2𝑐𝑥+ 𝑏= 0的一个根，且四边形𝐴𝐶𝐷𝐸的周长是9√2．求△𝐴𝐵𝐶
的面积．
【答案】(1)3𝑥2 + 5√2𝑥+ 4 = 0（答案不唯一）
(2)证明：由题意可知：𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2，
∵Δ = (√2𝑐)2 −4𝑎𝑏= 2𝑐2 −4𝑎𝑏，
∴Δ = 2(𝑎2 + 𝑏2) −4𝑎𝑏= 2(𝑎2 + 𝑏2 −2𝑎𝑏) = 2(𝑎−𝑏)2 ≥0，
∴关于𝑥的“勾系一元二次方程”𝑎𝑥2 + √2𝑐𝑥+ 𝑏= 0必有实数根．
(3)
9
4
【分析】（1）直接根据“勾系一元二次方程”的定义写出方程即可；
（2）利用勾股定理以及根的判别式进行证明即可；
（3）先说明𝑎+ 𝑏= √2𝑐，再结合四边形𝐴𝐶𝐷𝐸的周长是9√2可得2(𝑎+ 𝑏) + √2𝑐= 9√2，进而求得𝑐= 3，
可得𝑎2 + 𝑏2 = 9；再利用完全平方公式求得𝑎𝑏=
9
2，最后利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：由“勾系一元二次方程”的定义可知：3𝑥2 + 5√2𝑥+ 4 = 0是“勾系一元二次方程”．
（2）略
（3）解：把𝑥= −1代入𝑎𝑥2 + √2𝑐𝑥+ 𝑏= 0中得：𝑎−√2𝑐+ 𝑏= 0，即𝑎+ 𝑏= √2𝑐，
∵四边形𝐴𝐶𝐷𝐸的周长是9√2，
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∴2𝑎+ 2𝑏+ √2𝑐= 9√2，
∴2(𝑎+ 𝑏) + √2𝑐= 9√2，
∴2√2𝑐+ √2𝑐= 9√2，解之得：𝑐= 3，
∴𝑎2 + 𝑏2 = 9，
∵𝑎+ 𝑏= √2𝑐= 3√2，
∴(𝑎+ 𝑏)2 = (3√2)
2，即𝑎2 + 𝑏2 + 2𝑎𝑏= 18，
∴2𝑎𝑏= 18 −(𝑎2 + 𝑏2) = 18 −9 = 9，
∴𝑎𝑏=
9
2，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 × 𝑎𝑏=
9
4．
