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学科网（北京）股份有限公司 1 / 25.2.2 公式法 课标要点 1. 理解一元二次方程根的判别式Δ=b2−4ac 的定义与意义，能利用判别式准确判断一元二 次方程实数根的情况； 2. 掌握一元二次方程求根公式的推导逻辑与公式形式，熟记公式的使用前提a≠0 且Δ≥0； 3. 熟练运用公式法解一元二次方程，规范完成系数代入、判别式计算、求根求解全流程， 能结合实际问题对求出的根做合理性检验与取舍。 学习重难点 重点： 1. 根的判别式核心公式Δ=b2−4ac，能根据Δ>0（两个不相等实数根）、Δ=0（两个相等 实数根）、Δ<0（无实数根）准确判断根的情况； 2. 一元二次方程求根公式𝑥= −𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐 2𝑎 ，牢记公式的适用条件与结构特征； 3. 公式法解方程的标准步骤：先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)、确定系数a、b、c、 计算判别式Δ、代入公式求解，规范书写每一步变形。 难点： 1. 确定系数a、b、c、时忽略符号，尤其是方程含负系数时，代入公式出现符号错误； 2. 忽略判别式的前提，Δ<0 时强行代入公式计算，错误得到不存在的实数根； 3. 求根公式中-b 的符号易看错，遗漏公式中的±，或分母2a 的计算出现疏漏； 4. 含参数的一元二次方程，使用判别式与求根公式时，易遗忘隐含条件a≠0； 5. 应用题中用公式法求出根后，忽略实际场景的限制条件（如长度、数量需为正数），不 会舍去不符合实际的解。 第二十五章 一元二次方程 学科网（北京）股份有限公司 2 / 知识点 一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程一般形式：ax²+bx+c=0(a≠0) a：二次项系数，b：一次项系数，c：常数项。 2.根的判别式：△=b²-4ac 用来判断一元二次方程实数根的个数： ①△>0：方程有两个不相等的实数根；②△=0：方程有两个相等的实数根；③△<0：方程没有实数根。 学科网（北京）股份有限公司 3 / 随学随练 1．（25-26 八年级下·山东烟台·期末）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A．𝑥2 + 𝑥−1＝0 B．𝑥2 + 𝑥+ 2＝0 C．𝑥2 −2𝑥＝0 D．𝑥2 −2𝑥+ 1＝0 2．（25-26 八年级下·安徽安庆·期末）关于一元二次方程 1 3 𝑥2 + 2𝑥−4 = 0的根的情况，下列说法正确的 是（ ） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 3．（2026·河南郑州·三模）若关于x 的一元二次方程2𝑘𝑥2 −3√𝑘+ 1𝑥+ 1 = 0有两个不相等的实数根， 则k 的取值范围是（ ） A．𝑘> −9 B．𝑘> −9且𝑘≠0 C．𝑘≥−1且𝑘≠0 D．𝑘> −1且𝑘≠0 知识点 解一元二次方程--公式法 对于一元二次方程：𝑎𝑥² + b𝑥+ c = 0(𝑎≠0) 步骤1：二次项系数化为1 两边同时除以𝑎(𝑎≠0)：𝑥2 + b a x + c a = 0 步骤2：常数项移到等号右边 𝑥2 + b a x = −c a 步骤3：配方，等式两边加上一次项系数一半的平方 易错提醒 1.不化成一般形式，直接取系数 例：方程3x²=2x-1，不要直接写b=2，c=-1。 整理：3x²—2x+1=0，正确a=3，b=-2，c=1。 移项注意变号，b、c 可以是负数。 2.忽略a≠0 这个前提(含参大题最容易错) “方程有两个实数根”：说明是一元二次方程，必须同时满足a≠0 且△≥0。 “方程有实数根”：可以是一元一次方程(a=0)，不需要强制a≠0。 学科网（北京）股份有限公司 4 / 𝑥2 + b a x + ( b 2a) 2 = −c a + ( b 2a) 2 步骤4：左边写成完全平方式，右边通分计算： (x + b 2a) 2 = b2 −4ac 4a2 步骤5：两边同时开平方 x + b 2a = ±√b2 −4ac 2a 步骤6：解出x，得出求根公式 x = −b ± √b2 −4ac 2a （b2 −4ac ≥0） 随学随练 1．（25-26 九年级上·贵州黔南·期末）某一元二次方程的根用求根公式表示为𝑥= −(−2)±√(−2)2−4×3×(−1) 2×3 ， 则该一元二次方程为（ ） A．−2𝑥2 + 3𝑥−1 = 0 B．3𝑥2 −2𝑥−1 = 0 C．2𝑥2 −3𝑥+ 1 = 0 D．3𝑥2 −2𝑥+ 1 = 0 2．（25-26 九年级上·湖北咸宁·阶段检测）用求根公式解一元二次方程2𝑥2 −4 = 3𝑥时，其中𝑎，𝑏，𝑐的 值分别是（ ） A．𝑎= 2，𝑏= −4，𝑐= 3 B．𝑎= 2，𝑏= −3，𝑐= −4 C．𝑎= 2，𝑏= 3，𝑐= −4 D．𝑎= 2，𝑏= −3，𝑐= 4 3．（25-26 八年级下·福建福州·期末）解方程： (1)𝑥2 −4𝑥+ 2 = 0； (2)2𝑥2 + 2𝑥−3 = 0． 特别提醒 1.方程必须整理成一般形式ax²+bx+c=0； 2.𝑎≠0; 3.使用求根公式必须满足△≥0，才有实数根。 学科网（北京）股份有限公司 5 / 拓展 一元二次方程与等腰三角形综合题 题型特征：一元二次方程的两个根是等腰三角形的两条边长；已知一条边长，求周长。两大考点：判别式、 等腰三角形分类讨论+三角形三边关系检验。 (1)求证无论参数取何值，方程总有实数根 ①确定方程ax²+bx+c=0 的系数； ②计算判别式△=b²-4ac; ③展开、合并，配方，化为「完全平方式+常数」; ④由平方非负，得到△≥0，证得总有实数根。 本质：证明判别式恒大于等于0，与参数无关。 (2)等腰三角形，一边已知，另两边是方程两根，求周长 核心思考：分两大类讨论(必分类，不能漏) 已知一边a，另两边b，c 是方程两根，等腰三角形存在两种情况： 情况①：已知的边a 是腰，则方程其中一个根等于a; 情况②：已知的边a 是底边，则两腰相等，即方程有两个相等实数根，△=0。 活学活用 1．（24-25 八年级下·浙江温州·期中）已知关于x 的方程𝑥2 −(2𝑘+ 1)𝑥+ 4𝑘−2 = 0 (1)求证：无论k 取何值，此方程总有实数根． (2)若等腰△𝐴𝐵𝐶的一边长a 为4，另两边𝑏, 𝑐的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长． 2．（25-26 九年级上·辽宁抚顺·阶段检测）已知关于𝑥的一元二次方程𝑥2 + (𝑚−3)𝑥−𝑚+ 1 = 0． (1)求证：无论𝑚取何值，原方程总有两个不相等的实数根； (2)若𝑚= −2时，该一元二次方程的两个根恰好是等腰三角形的两边，求等腰三角形的周长． 题型一 利用根的判别式判断根的情况 学科网（北京）股份有限公司 6 / ▌例1-1 （2026·安徽芜湖·三模）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ） A．𝑥2 + 4 = 0 B．𝑥2 −4𝑥+ 4 = 0 C．𝑥2 + 2𝑥+ 3 = 0 D．𝑥2 + 2𝑥−3 = 0 ▌例1-2 （25-26 八年级下·江苏泰州·期末）关于x 的一元二次方程𝑥2 + 𝑘𝑥+ 𝑘−2 = 0的实数根的情况， 下列说法正确的是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．实数根的个数与k 的取值有关 D．没有实数根 ▌对点练1-1．（25-26 八年级下·山西大同·期末）关于x 的一元二次方程2𝑥2 + √3𝑥−1 = 0的根的情况 （ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 ▌对点练1-2．（25-26 八年级下·山东泰安·期末）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（ ） A．𝑥2 −2𝑥+ 2 = 0 B．𝑥2 −4𝑥+ 4 = 0 C．𝑥2 + 3𝑥= 0 D．𝑥2 −5𝑥+ 6 = 0 ▌对点练1-3．（2026·河南新乡·三模）若一次函数𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏（𝑎, 𝑏为常数𝑎≠0）的图象如图所示，则 关于𝑥的一元二次方程𝑥2 −𝑎𝑥+ 𝑏= 0的根的情况是（ ） 解题步骤 步骤1：化成标准一般形式 把方程整理成ax²+bx+c=0，移项，右边等于0。 注意：不要漏符号，a、b、c 带前面正负号。 步骤2：确定a、b、c 的值 a：二次项系数，b：一次项系数，c：常数项。 易错：常数项是负数时，c 为负；没有一次项则b=0；没有常数项则c=0。 步骤3：计算判别式△=b²-4ac 代入计算，化简，判断△大于0、等于0 还是小于0。 学科网（北京）股份有限公司 7 / A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 题型二 根据根的判别式求参数的取值范围 ▌例2 （2026·甘肃嘉峪关·二模）关于𝑥的一元二次方程𝑘𝑥2 −4𝑥+ 5 = 0有实数根，则𝑘的取值范围是（ ） A．𝑘≤ 4 5且𝑘≠0 B．𝑘≥− 4 5且𝑘≠0 C．𝑘≤ 4 5 D．𝑘< 4 5且𝑘≠0 ▌对点练2-1．（25-26 八年级下·北京·阶段检测）关于𝑥的方程𝑘𝑥2 −(2𝑘+ 1)𝑥+ 𝑘= 0有两个不相等的 解题思路 步骤1：审题，圈关键词 ①“一元二次方程”→必须a≠0 ②“有两个不相等实数根”→△>0 ③“有两个实数根”(含相等)→△≥0 ④“有实数根“(没有写一元二次)：要分类讨论：a=0(一次方程)、a≠0(二次方程，用△) 步骤2：化为一元二次方程标准形式ax²+bx+c=0 移项，把全部项移到左边，右边=0；把参数当成普通系数，正确写出a、b、c，符号一起带走。 步骤3：计算判别式△=b²-4ac 代入a、b、c 化简得到关于参数的不等式。 步骤4：解不等式 解出参数的初步范围。 步骤5：结合a≠0 取交集(高频丢分点) 只要是一元二次方程，二次项系数不能等于0!把解出来的范围，排除使a=0 的取值。 步骤6：写出最终取值范围 学科网（北京）股份有限公司 8 / 实根，则𝑘的取值范围是__________________；若该方程的两个实根均为有理数，则整数𝑘的最小值为 __________． 题型三 根的判别式中新定义类问题 ▌例3 （2026·辽宁盘锦·模拟预测）对于实数𝑎，𝑏定义新运算：𝑎※𝑏= 𝑎2 −𝑎𝑏，例如：3※2 = 32 −3 × 2 = 3．若关于𝑥的方程𝑥※2 = 𝑚有两个不相等的实数根，则𝑚的取值范围是_________． ▌对点练3-1．（24-25 九年级上·四川成都·阶段检测）新定义：给定一个矩形的长和宽，若存在另外一个 矩形的周长和面积分别是其周长和面积的𝑘倍（𝑘> 0），则称这个矩形是给定矩形的“𝑘倍”矩形．现有一 个长为3，宽为2 的矩形，若它的“𝑘倍”矩形存在，则𝑘的最小值为________． ▌对点练3-2． （2025·甘肃·一模）对于实数𝑎, 𝑏定义运算“#”为𝑎#𝑏= 𝑏2 + 𝑎𝑏，例如：3#2 = 22 + 3 × 2 = 10， 则关于的𝑥方程(𝑘+ 1)#𝑥= −1有两个相等的实数根，则𝑘的值为______． 题型四 根的判别式解答题综合 ▌例4（25-26 九年级上·河南南阳·期中）已知关于𝑥的一元二次方程𝑥2 −(𝑚+ 2)𝑥+ 2𝑚= 0． 易错提醒 1.忽略一元二次方程前提a≠0 题目说“有两个实数根”，说明是一元二次方程，二次项系数不能为0，很多同学只列Δ>0 或Δ≥0，漏 掉a≠0，直接丢分。 注意：只说“方程有实数根”，没有“两个”，要分类：a=0（一次方程）、a≠0（二次方程用△）。 2.△符号混淆 两个不相等实数根：△>0；两个实数根(允许相等)：△≥0 经常把“有两个实数根”错写成△>0。 3.代入a、b、c 符号出错 b、c 是负数时，要带着负号代入△=b²-4ac；尤其-4ac 部分，负负容易算错。 4.证明“无论参数取何值总有实数根”不会处理△ 必须对△配方，化成完全平方加常数的形式；不会配方、展开计算错误是高频错。 学科网（北京）股份有限公司 9 / (1)证明：不论𝑚为何值时，方程总有实数根； (2)若该方程有一个根为4，求𝑚的值． ▌对点练4-1．（25-26 九年级上·江苏扬州·期中）关于𝑥的方程3𝑥2 + (𝑚+ 3)𝑥+ 𝑚= 0． (1)求证：不论𝑚取何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有两个相等的实数根，请求出𝑚的值并求此时方程的根． ▌对点练4-2．（25-26 九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知关于x 的一元二次方程𝑥2 −2𝑚𝑥+ 𝑚2 −4 = 0． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为𝑥= 0，且m 为正数，求m 的值以及另一个根． 题型五 利用公式法还原一元二次方程 ▌例5（25-26 九年级上·云南昆明·期中）若关于𝑥的一元二次方程的根为𝑥= 1±√(−1)2−4×3×(−5) 2×3 ，则这个方 程是（ ） A．3𝑥2 + 𝑥−5 = 0 B．3𝑥2 −𝑥−5 = 0 C．𝑥2 −3𝑥−5 = 0 D．𝑥2 + 3𝑥− 5 = 0 ▌对点练5-1．（24-25 九年级上·河南商丘·期中）下列一元二次方程的根可以根据𝑥= −3±√32−4×2×(−1) 2×2 计 算出的是（ ） A．2𝑥2 + 3𝑥+ 1 = 0 B．2𝑥2 + 3𝑥−1 = 0 C．3𝑥2 + 𝑥−2 = 0 D．−2𝑥2 −𝑥+ 3 = 0 ▌对点练5-2．（24-25 九年级上·福建福州·期中）下列一元二次方程中，根是𝑥= −2±√22−4×3×(−1) 2×3 的方程 是（ ） A．3𝑥2 + 2𝑥−1 = 0 B．3𝑥2 −2𝑥−1 = 0 C．3𝑥2 + 4𝑥−1 = 0 D．−𝑥2 −2𝑥+ 3 = 0 解题思路 已知求根公式的表达式，还原一元二次方程 1.看分母2a：分母是2 乘以几，a 就等于几。 2.看根号前面那一项(分子的常数项)等于-b -b=分子根号前面的数 这里最容易错!千万不要直接把这个数当成b! 学科网（北京）股份有限公司 10 / 题型六 利用公式法解一元二次方程 ▌例6 （25-26 八年级下·辽宁盘锦·期末）解方程 (1)𝑥2 −4𝑥= 8； (2)(𝑥−1)2 = 2(1 −𝑥)． ▌对点练6-1．（25-26 九年级上·河南安阳·阶段检测）解方程： (1)2(𝑥−1)2 = 4 (2)2𝑥2 + 3𝑥−2 = 0 (3)𝑥2 −6𝑥−1 = 0 (4)𝑥2 −√2𝑥− 1 4 = 0． ▌对点练6-2．（25-26 九年级上·广东·期中）解方程： (1)2𝑥2 −3𝑥+ 1 = 0 (2)𝑥2 −6𝑥+ 5 = 0 解题步骤 步骤1：化为一般形式ax²+bx+c=0 把方程移项，全部项移到等号左边，右边=0。 注意：整理时注意符号。 步骤2：确定系数a、b、c a：二次项系数；b：一次项系数；c：常数项。 ▲系数连同前面正负号一起取；没有的项系数为0。 步骤3：计算判别式△=b²-4ac ①如果△<0：方程无实数根，直接结束。 ②如果△≥0，可以继续代入求根公式计算。 步骤4：把a、b、c 代入求根公式 𝑥= −𝑏± √𝑏2 −4𝑎𝑐 2𝑎 步骤5：化简，写出两个根x1、x2 化简二次根式、约分，分开写出两根。 学科网（北京）股份有限公司 11 / 题型七 公式法与几何综合 ▌例7（25-26 九年级下·山东淄博·期末）古希腊数学家丢番图（公元250 年前后）在《算术》中就提到 了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式．只能用“图解法”来求解．在欧 几里得的《几何原本》中，形如𝑥2 + 𝑎𝑥= 𝑏2（𝑎> 0，𝑏> 0）的方程的“图解法”是：如图，以 𝑎 2和𝑏为两 直角边作Rt △𝐴𝐵𝐶，再在斜边上截取𝐵𝐷= 𝑎 2，则𝐴𝐷的长就是所求方程的一个解． (1)若𝑎= 4，𝑏= 3，求图中线段𝐴𝐷的长，并验证线段𝐴𝐷的长是方程𝑥2 + 4𝑥= 32的一个解； (2)请利用你已学的知识验证该“图解法”的正确性，并说说这种解法的不足之处． ▌对点练7-1．（25-26 八年级下·四川成都·期末）锐角△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 2𝐴𝐶，点𝐷在𝐵𝐶边上，𝐵𝐷= 3， 连接𝐴𝐷，将△𝐴𝐵𝐷沿线段𝐴𝐷所在直线翻折，点𝐵的对应点𝐸落在𝐴𝐶延长线上，连接𝐵𝐸． (1)如图1，延长𝐴𝐷交𝐵𝐸于𝑁，求证：𝐴𝑁是𝐵𝐸的垂直平分线； (2)在图1 中，请你延长𝐷𝐶至𝑀，使𝐶𝐷= 𝐶𝑀，连接𝐸𝑀． ①求𝐶𝐷的值； ②当𝐴𝐷= 2时，求𝐴𝐵的值： (3)如图2，将线段𝐶𝐷绕点𝐶顺时针旋转60°得到𝐶𝑃，连接𝐴𝑃，求𝐴𝑃的最小值． ▌对点练7-2．（25-26 九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，对角线𝐴𝐶与𝐵𝐷交于点𝑂， 且𝑂𝐴= 𝑂𝐵= 𝑂𝐶= 𝑂𝐷= √2 2 𝐴𝐵． 学科网（北京）股份有限公司 12 / (1)求证：四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形； (2)若𝐻是边𝐴𝐵上一点（𝐻与𝐴，𝐵不重合），连接𝐷𝐻，将线段𝐷𝐻绕点𝐻顺时针旋转90°，得到线段𝐻𝐸，过点 𝐸分别作𝐵𝐶及𝐴𝐵延长线的垂线，垂足分别为𝐹，𝐺．设四边形𝐵𝐺𝐸𝐹的面积为𝑠1，以𝐻𝐵, 𝐵𝐶为邻边的矩形的 面积为𝑠2，且𝑠1 = 𝑠2． ①求证：△𝐴𝐷𝐻≌△𝐺𝐻𝐸； ②当𝐴𝐵= 4时，求𝐴𝐻的长． 基础通关 1．（26-27 九年级上·全国·课后作业）一元二次方程𝑥2 −2𝑥−5 = 0根的情况为（ ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 2．（25-26 九年级上·河北邯郸·开学考试）已知关于𝑥的一元二次方程(𝑎+ 𝑏)𝑥2 + 2𝑐𝑥+ (𝑎−𝑏) = 0，其 中𝑎、𝑏、𝑐分别为△𝐴𝐵𝐶三边的长．如果方程有两个相等的实数根，则△𝐴𝐵𝐶的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 3．（26-27 九年级上·全国·课后作业）关于x 的一元二次方程3𝑥2 −4𝑥+ 2 = 0中，根的判别式𝑏2 −4𝑎𝑐的 值为（ ） A．8 B．12 C．−8 D．−12 4．（2025·山东枣庄·模拟预测）已知关于x 的方程(1 −2𝑘)𝑥2 −2√𝑘+ 1𝑥−1 = 0有实数根，则k 的取 值范围是（ ） A．−1 ≤𝑘≤2 B．𝑘≥−1 且𝑘≠ 1 2 C．−1 ≤𝑘≤2 且𝑘≠ 1 2 D．𝑘≥2 5．（25-26 八年级下·河北张家口·期末）用公式法解方程𝑥2 −1 = 2𝑥时，得𝑥= □±√4−4×(−1) 2 ，则“□”处 应填（ ） 学科网（北京）股份有限公司 13 / A．1 B．−1 C．2 D．−2 6．（25-26 八年级下·山东·期末）已知一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏（𝑘≠0）的图象不过第三象限，则方程𝑏𝑥2 − 2𝑥+ 𝑘= 0的根的个数为（ ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．1 个或2 个 7．（25-26 九年级下·吉林长春·开学考试）一元二次方程𝑥2 −3𝑥+ 𝑘= 0有两个实数根，则𝑘所取的可能 的值是______. (填一个即可) 8．（2026·贵州铜仁·模拟预测）若关于𝑥的一元二次方程𝑥2 + 2𝑥−𝑘= 0有不相等实数根，则𝑘的取值范 围是______． 9．（25-26 九年级上·全国·课后作业）已知一元二次方程(x −3)2 = 1． （1）若方程的两个根恰好是等腰三角形𝐴𝐵𝐶的底边长和腰长，则△𝐴𝐵𝐶的周长为_________． （2）若方程的两个根恰好是Rt △𝐷𝐸𝐹的两边长，则Rt △𝐷𝐸𝐹的面积为_________． 10．（25-26 九年级上·福建莆田·阶段检测）解方程 (1)𝑥2 + 8𝑥−9 = 0；（配方法） (2)3𝑥2 = 4 −2𝑥；（公式法） 11．（2026·北京门头沟·模拟预测）已知关于𝑥的方程𝑥2 −2(𝑚+ 1)𝑥+ 𝑚2 = 0． (1)当𝑚取什么值时，原方程没有实数根； (2)对𝑚选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根． 12．（25-26 八年级下·湖南长沙·期末）定义：方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0（𝑎𝑐≠0）与方程𝑐𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑎= 0互 为“换位方程”．如一元二次方程2𝑥2 −3𝑥−1 = 0的“换位方程”是−𝑥2 −3𝑥+ 2 = 0．已知关于𝑥的一元 二次方程①：𝑥2 + (2𝑚+ 1)𝑥+ 𝑚−2 = 0，其中𝑚≠2． (1)写出方程①的“换位方程”； (2)求证：当𝑚≠2时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根； (3)若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根𝑥0，求这个公共根及𝑚的值． 素养提升 1．（25-26 八年级下·浙江台州·期末）关于𝑥的一元二次方程𝑚𝑥2 −2√2𝑚𝑥+ 𝑛+ 3 2 = 0有两个相等的实 数根，则下列成立的是（ ） A．若0 < 𝑛< 1，则0 < √𝑚< 1 B．若0 < 𝑛< 1，则√𝑚> 1 C．若𝑛> 1，则0 < √𝑚< 1 D．若𝑛> 1，则√𝑚> 1 学科网（北京）股份有限公司 14 / 2．（2026 九年级上·上海奉贤·竞赛）设二次方程𝑥2 + 2𝑝𝑥+ 2𝑞= 0有实数根，其中𝑝、𝑞都是素数，那 么它的根一定是（ ） A．奇数 B．偶数 C．分数 D．无理数 3．（2026 九年级上·重庆江津·竞赛）若关于x 的一元二次方程 1 2 𝑥2 + 4𝑥−𝑎= 0有两个不相等的实数根， 且关于y 的分式方程 2𝑦 𝑦+1 = 𝑎 𝑦+1 −1的解为负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A．−15 B．−13 C．−7 D．−5 4．（25-26 九年级下·山东淄博·期末）如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行 有1 个点，第二行有2 个点……，第𝑛行有𝑛个点，前𝑛行的点数和可能是以下哪个结果（ ） A．100 B．93 C．86 D．78 5．（25-26 八年级下·重庆忠县·期末）已知关于𝑥的整式𝑓(𝑥) = (2 −|𝑎|)𝑥2 −2𝑥+ 2 −𝑎，其中𝑎为常数．给 出下列命题：①若𝑓(𝑥)是关于𝑥的二次三项式，则𝑎≠±2；②若𝑓(𝑥)为单项式，则𝑎= ±2；③若𝑓(𝑥)是关于 𝑥的一次函数，则𝑎= 2；④当|𝑎| < 1时，𝑓(𝑥)不能分解为两个关于𝑥的一次因式的乘积．其中正确的命题个 数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．（25-26 八年级下·浙江宁波·阶段检测）关于𝑥的一元二次方程𝑥2 + 𝑥−𝑘= 0有两个实数根𝑥1，𝑥2， 若[2 + 𝑥1(1 + 𝑥1)] ⋅[3 −2𝑥2(1 + 𝑥2)] = 3，则𝑘的值为________． 7．（25-26 八年级下·福建福州·期末）如图，在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐸为𝐶𝐷上一点，连接𝐵𝐸，过点𝐴作𝐴𝐹⊥𝐵𝐸 于点𝐹，若𝐷𝐸= 4√2，𝐵𝐹= √2 4 𝐷𝐸，则𝐶𝐸=________． 8．（25-26 八年级下·北京·阶段检测）关于𝑥的方程𝑘𝑥2 −(2𝑘+ 1)𝑥+ 𝑘= 0有两个不相等的实根，则𝑘的 取值范围是__________________；若该方程的两个实根均为有理数，则整数𝑘的最小值为__________． 学科网（北京）股份有限公司 15 / 9．（25-26 八年级下·福建泉州·期末）已知关于𝑥的一元二次方程𝑚𝑥2 −(2𝑚−3)𝑥+ 𝑚−3 = 0． (1)求证：该方程有两个实数根； (2)若𝑚为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由． 10．（25-26 八年级下·福建莆田·期末）如图，在等腰Rt △𝐴𝐵𝑂中，∠𝐴= 90°，点𝐵的坐标为(0,2)． (1)求直线𝐴𝐵的解析式； (2)若直线𝑙: 𝑦= 𝑚𝑥+ 𝑚(𝑚≠0)，则直线𝑙必过点 ． 当直线𝑙把△𝐴𝐵𝑂分成面积相等的两部分，求𝑚的值． 迁移创新 1．（25-26 八年级下·浙江金华·期末）我们把形如𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐（𝑎，𝑏，𝑐是常数，𝑎≠0，𝑏≠0且𝑐≠0）的 多项式叫做关于𝑥的二次三项式．通过学习可知，利用因式分解可解一元二次方程．反过来，也可以利用求 出一元二次方程两个根的方法，把某些二次三项式因式分解．例如：一元二次方程2𝑥2 + 10𝑥+ 12 = 0的两 个根为𝑥1 = −2，𝑥2 = −3，则二次三项式2𝑥2 + 10𝑥+ 12因式分解的结果是2(𝑥+ 2)(𝑥+ 3)． (1)下面是代数推理过程，请补全过程： 设一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0（𝑎≠0，且𝑏2 −4𝑎𝑐≥0）的两个实数根为𝑥1 = −𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐 2𝑎 ，𝑥2 = −𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐 2𝑎 则𝑎(𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥2) = 𝑎(𝑥− −𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐 2𝑎 )(𝑥− ) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐． 即𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 𝑎(𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥2)． (2)已知关于𝑥的一元二次方程𝑥2 + 𝑚𝑥+ 𝑛= 0（𝑚，𝑛是常数）的两个实数根为𝑥1 = −3，𝑥2 = 4，则二次三 项式𝑥2 + 𝑚𝑥+ 𝑛因式分解的结果是 ． (3)请仔细阅读内容中的方法，将多项式3𝑥2 −8𝑥−4进行因式分解． 2．（25-26 八年级下·山东烟台·期末）【新定义】如图．四边形𝐴𝐶𝐷𝐸是证明勾股定理时用到的一个图 形．𝑎、𝑏、𝑐是Rt △𝐴𝐵𝐶和Rt △𝐸𝐷𝐵的边长，易知𝐴𝐸= √2𝑐．这时我们把关于x 的形如𝑎𝑥2 + √2𝑐𝑥+ 𝑏= 0 的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 学科网（北京）股份有限公司 16 / 请解决下列问题： (1)写出一个“勾系一元二次方程”______________（一个即可）； (2)求证：关于x 的“勾系一元二次方程”𝑎𝑥2 + √2𝑐𝑥+ 𝑏= 0必有实数根； (3)若𝑥= −1是“勾系一元二次方程”𝑎𝑥2 + √2𝑐𝑥+ 𝑏= 0的一个根，且四边形𝐴𝐶𝐷𝐸的周长是9√2．求△𝐴𝐵𝐶 的面积．
