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第二十二章 二次函数
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．抛物线y= x2-4x+3的顶点坐标和对称轴分别是
A．（1，2），直线x=1 B．（-1，2），直线x=-1
C．（-4，-5），直线x=-4 D．（4，-5），直线x=4
【答案】D
【解析】y= x2-4x+3= （x2-8x）+3= （x-4）2-5，所以顶点坐标为（4，-5），对称轴是直线
x=4．故选D．
[来源:学科网ZXXK]
2．抛物线y=-2（x+1）2-2可由抛物线y=-2x2平移得到，则下列平移过程正确的是
A．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
D．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
【答案】D
[来源:学科网ZXXK]
3．已知二次函数y=3x2-12x+13，则函数值y的最小值是
A．3 B．2 C．1 D．-1
【答案】C
【解析】先将二次函数y=3x²-12x+13配方成顶点式得： ，根据二次函数顶点式图象和
性质可得：函数值y的最小值是1，故选C．
4．一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是A． B． C． D．
【答案】C
5．一个二次函数的图象经过点A（0，0），B（-1，-11），C（1，9）三点，则这个二次函数的关系式是
A． B．
C． D．
【答案】D
[来源:学科网]
【解析】由于抛物线经过原点，则可以设其函数关系式为 ，将B、C两点坐标代入，得
，解得 ，则函数关系式为 ，故选D．
6．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法：①b2-4ac=0；②2a+b=0；③若（x ，y ），
1 1
（x，y）在函数图象上，当x<x 时，y<y；④a-b+c<0．其中正确的是
2 2 1 2 1 2
A．②④ B．③④ C．②③④ D．①②④
【答案】A
【解析】①∵二次函数与x轴有两个交点，∴Δ=b2-4ac>0，故①错误；②∵二次函数的开口向下，∴a<0，∵对称轴x=1，∴- =1，∴2a+b=0，故②正确；③若（x ，y ），（x ，y ）在函数图象上，
1 1 2 2
当x<x 时，无法确定y 与y 的大小，故③错误；④观察图象，当x=-1时，函数值y=a-b+c<0，故④正
1 2 1 2
确．故选A．
二、填空题：请将答案填在题中横线上．
7．已知抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1，则实数b的值为__________．
【答案】-2
【解析】抛物线的对称轴为x= ．故答案为：-2．
8．已知二次函数 的图象如图所示，则点P（a，bc）在第__________象限．
【答案】一
9．如图，某涵洞的截面是抛物线型，现测得水面宽AB=1.6 m，涵洞顶点O到水面的距离CO=2.4 m，在
图中直角坐标系内涵洞截面所在抛物线的表达式是__________．
【答案】y=- x2
【解析】设为 y=kx2，由 CO 和 AB 的长，得 A 的坐标应该是（-0.8，-2.4），将其代入函数中得：-2.4=0.8×0.8×k，解得k=- ，那么函数的解析式就是：y=- x2．故答案为：y=- x2．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
10．已知抛物线 ．
（1）用配方法求它的顶点坐标、对称轴；
（2）x取何值时，y随x的增大而减小？
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（3）x取何值时，抛物线在x轴上方？
[来源:学科网]
【解析】（1）∵y=- -x+4=- （x2+2x-8）=- [（x+1）2-9]=- + ，
∴它的顶点坐标为（-1， ），对称轴为直线x=-1．
（2）∵抛物线对称轴是直线x=-1，开口向下，∴当x>-1时，y随x的增大而减小．
（3）当y=0时，即- + =0，解得x=2，x=-4，而抛物线开口向下，
1 2
∴当-4<x<2时，抛物线在x轴上方．
11．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中点A（-1，0），点C（0，5），点D
（1，8）都在抛物线上，已知M为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求△MCB的面积；
（3）根据图形直接写出使直线MC表示的一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．（2）如图，连接OM，BM．
∵y=-x2+4x+5=-（x-2）2+9，∴M（2，9）．
∵抛物线的对称轴为直线x=2，A（-1，0），∴B（5，0）．
∴S =S +S -S = ×5×2+ ×5×9- ×5×5=15．
△BCM △OCM △BOM △OBC
（3）x<0或x>2．
