文档文本内容
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
25.2.4 一元二次方程根与系数的关系（教学设计）
1.教学内容
本节课时是人教版2024 版九年级上册第二十五章《一元二次方程》，第二节《降次----解一元二次方程》，
25.2.4 一元二次方程根与系数的关系.核心内容为一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）.主要包括：
通过具体一元二次方程的两根计算、观察归纳出根与系数的基本规律；结合求根公式严谨推导一般形式一
元二次方程
的两根和、两根积与系数的关系式；明确定理成立的前提条件；运用根
与系数关系进行简单求值、验根、求待定系数等基础运算，是一元二次方程解法、根的判别式知识的延伸
与拓展.
2.内容解析
本节课是一元二次方程章节的核心拓展内容，承接前面直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解方
程，以及根的判别式的知识，实现了由“解方程求根”到“不解方程研究根的特征” 的思维跨越。此前
学生研究方程根依赖具体求解，本节课通过系数直接关联根的和与积，简化了运算流程，为后续二次函数
与一元二次方程综合题、代数式求值、方程参数求解、根系综合问题奠定核心基础，在初中方程知识体系
中起到承上启下的关键作用.新教材遵循“特殊到一般”的认知规律，先通过多个简单一元二次方程计算
两根和、两根积，引导学生观察猜想规律，再结合求根公式严谨证明，最后搭配基础例题、习题巩固应用，
弱化复杂偏难题型，侧重定理的推导理解与基础应用，注重培养学生归纳推理、逻辑证明的数学核心素养，
贴合新课标对初中代数运算与推理的能力要求.
基于以上分析，本节课的教学重点为：一元二次方程根与系数的关系公式理解与基础应用，能够熟练利用
韦达定理求解两根和、两根积及简单根系代数式的值.
1. 教学目标
(1)理解一元二次方程根与系数关系的推导过程，熟记韦达定理公式；掌握定理成立的前提条件（
）；能不解方程，利用根系关系求两根和、两根积、含两根的代数式的值，能简单检验方
程根的正确性、求解简单参数问题.
(2)经历“计算观察—猜想归纳—严谨证明—应用拓展”的探究过程，提升从特殊到一般的归纳推理能力、
代数逻辑证明能力，体会数形结合、整体代入的数学思想.
(3)在自主探究与合作交流中感受数学规律的简洁性与统一性，培养严谨的数学思维习惯；通过定理的推
导与应用，增强学习代数知识的兴趣，提升自主探究、合作解题的自信心.
2.目标解析
目标1 是基础性目标为学生能准确记忆根系关系公式，区分二次项系数为1 和不为1 的两种方程形式的根
系规律；核心目标为理解公式推导逻辑，明确前提条件，规避无实数根时误用定理的错误；应用性目标为
熟练运用整体代入思想解决根系相关求值、参数问题.
目标拆2 通过特殊方程探究，培养学生观察、对比、归纳的直观推理能力；通过公式严谨证明，规范学生
代数证明的步骤与逻辑；通过分层例题练习，提升学生知识迁移、灵活解题的应用能力.
目标3 依托规律探究过程，落实数学抽象、逻辑推理核心素养；依托代数式求值运算，提升数学运算核心
素养；依托易错点辨析，培养学生严谨求实的数学理性思维.
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
九年级学生已经熟练掌握一元二次方程的四种解法、一元二次方程一般形式、根的判别式的判定方法，熟
记求根公式，具备一定的代数运算和简单推理能力，为本节课根系关系的探究与证明提供了必备知识支撑.
学生已初步掌握“特殊到一般”的探究方法，但逻辑严谨性不足，对公式推导的必要性、前提条件的约束
性理解薄弱；同时学生习惯具体运算解题，对“不解方程、整体代入”的抽象解题思维不够熟练，容易出
现机械套用公式、忽略符号、遗漏前提条件的问题.学生容易混淆二次项系数为1 和不为1 的根系公式，频
繁看错一次项、常数项符号；普遍忽略
的前提，在方程无实数根时强行套用韦达定理；对
需要配方、变形的根系代数式求值，缺乏解题思路.
基于以上分析，本节课的教学难点确定为：根与系数关系的严谨推导过程；解题中精准把握定理成立的前
提条件，规避无实数根时误用定理、看错系数符号的易错问题；灵活运用整体代入思想变形求解复杂的根
系代数式.
创设情景，引入新课
情境导入，特例探究
教师出示三组简单一元二次方程，要求学生快速解方程，求出两根并计算两根之和、两根之积：
①
②
③
学生独立计算后汇报结果，教师板书整理数据，引导学生观察：
方程的两根和、两根积与方程的二次项、一次项、常数项之间存在什么规律？
学生小组交流，自主猜想：当二次项系数为1 时，两根和等于一次项系数的相反数，两根积等于常数项；
当二次项系数不为1 时，两根和、两根积与系数存在固定比例关系.
(设计意图：从学生熟悉的解方程运算入手，降低探究门槛，贴合学生认知基础。通过特殊实例的计算、
观察、猜想，让学生自主感知根系关联规律，激发探究兴趣，自然完成从“具体运算”到“规律猜想”的
思维过渡，培养归纳推理能力.)
探究点1 严谨推导，得出定理
活动1：猜想的规律是否适用于所有有实数根的一元二次方程？怎样进行推导.
师生共同推导：对于一般形式一元二次方程
，当
时，方程的两个实
数根为：
，
.
分步计算两根和、两根积：
；
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
.
归纳总结：一元二次方程根与系数的关系：
若一元二次方程
的两个实数根为
，则
.
核心前提：方程必须有实数根，即
.
特例：当a=1 时，方程
，则
.
（设计意图：通过严谨的代数推导，验证猜想的正确性，让学生知其然更知其所以然，突破本节课推导难
点.明确定理前提条件，从根源上规避学生后续误用公式的问题，培养学生严谨的数学证明思维和逻辑素
养.）
探究点2：理解定理，及时应用
活动2. 判断下列说法是否正确.
方程
的两根和为-2，两根积为3.
（×，无实数根，不能用定理）
（2）方程
的两根和为2，两根积为
.
（√，根据一元二次方程根与系数关系结论正确）
活动3：根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根
的和与积:
（1）
； （2）
； （3）
.
（1）
（2）
（3）方程化为
，所以
（设计意图：通过辨析题直击核心易错点，强化学生对“
前提条件”和“系数符号”的认
知；基础例题简单直白，帮助学生熟练套用公式，夯实新知，建立解题信心.）
探究点3 灵活运用 拓展提升
活动4：代数式变形求值（核心应用）
已知
是方程
的两根，不解方程，求下列代数式的值：（1）
（2）
学生讨论交流：结合完全平方公式、分式通分，将所求代数式整体变形为含
、
的形式，再代入
计算.
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
推导核心变形公式：
学生独立完成解题，教师规范解题步骤，强调整体代入思想.
活动5：参数解决综合问题
已知方程
的两根之和为1，求m 的值及两根之积。
学生交流讨论：1. 根据根系关系得：-(m-2)=1，解得m=1；
2. 验证
，确保方程有实数根；
3. 代入求两根积.
（设计意图：拓展题型贴合中考基础考点，通过代数式变形、参数求解，突破本节课难点.引导学生掌握
整体代入的核心解题思想，实现知识的灵活迁移，提升学生综合解题能力，兼顾分层教学，满足不同层次
学生的学习需求.）
典型例题
例1.已知关于x 的方程
有两实数根．
(1)求k 的取值范围;
(2)设方程两实数根分别为：
，
，且
，求实数k 的值．
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程；
（1）根据方程有两个实数根得出
，解之可得．
（2）利用根与系数的关系可用
表示出
的值，根据条件可得到关于
的方程，可求得
的值，
注意利用根的判别式进行取舍．
【详解】（1）解：∵关于x 的方程
有两实数根，
∴
解得：
；
（2）解：∵方程
两实数根分别为：
，
，
∴
，
，
∵
∴
∴
解得：
，
（经检验都是原方程的解），
∵
故
．
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
例2．若关于x 的一元二次方程
有一个根是
，求b 的值及方程的另一个根．
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若
有两实数根为
，
，则
，
．根据根与系数的关系求解即可．
【详解】解：设方程的另一个根为
，
根据题意，得
，
解得
，
∴
，方程的另一个根为
．
例3．已知
，
是关于
的一元二次方程
的两个不相等的实数根，
(1)求
的值
(2)求
的值
(3)求
的值
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，对于一元二次方程
，若
是该方程的两个实数根，则
．
（1）根据根与系数的关系即可得到答案；
（2）根据根与系数的关系即可得到答案；
（2）根据（1）（2）所求结合
进行求解即可．
【详解】（1）解：∵
，
是关于
的一元二次方程
的两个不相等的实数根，
∴
；
（2）解：∵
，
是关于
的一元二次方程
的两个不相等的实数根，
∴
；
（3）解：∵
，
∴
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
．
（设计意图：落实本节课重点知识，规范解题书写过程，提升学生分析问题、解决问题能力.）
课本课堂练习（P16）.
（设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的
理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略）
1．已知关于
的一元二次方程
．
(1)若方程有实数根，求实数
的取值范围；
(2)若方程两实数根分别为
，
，且满足
，求实数
的值．
【详解】（1）解：
关于
的一元二次方程
有实数根，
，
解得：
，
即
的取值范围是
；
（2）
，
，
，
，
，即
，
解得
或
．
；
．
故
的值为2．
(设计意图:强化本节课核心知识的拓展．)
1．（2025•湖北）一元二次方程x2﹣4x+3＝0 的两个实数根为x1，x2，下列结论正确的是（ ）
A．x1+x2＝﹣4
B．x1+x2＝3
C．x1x2＝4
D．x1x2＝3
【解答】解：根据一元二次方程根与系数的关系，x2﹣4x+3＝0，
a＝1，b＝﹣4，c＝3，
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴x1+x2=−b
a =4，x1•x2= c
a =3，
故选：D．
2．（2025•绥化）已知m，n 是关于x 的一元二次方程x2﹣2025x+1＝0 的两个根，则（m+1）（n+1）＝
．
【解答】解：∵m，n 是关于x 的一元二次方程x2﹣2025x+1＝0 的两个根，
∴m+n＝2025，mn＝1，
∴（m+1）（n+1）＝mm+m+n+1＝1+2025+1＝2027，
故答案为：2027．
3．（2025•眉山）已知方程x2﹣2x﹣5＝0 的两根分别为x1，x2，则（x1+1）（x2+1）的值为 ．
【解答】解：由题意，∵方程x2﹣2x﹣5＝0 的两根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣5．∴（x1+1）（x2+1）＝x1x2+x1+x2+1＝﹣5+2+1＝﹣2．故答案为：﹣2．
4．（2025•广安）已知方程x2﹣5x﹣24＝0 的两根分别为a 和b，则代数式a2﹣4a+b 的值为 ．
【解答】解：∵方程x2﹣5x﹣24＝0 中的两根分别为a、b，
∴a+b＝5，a2﹣5a﹣24＝0．
∴a2﹣5a＝24，
∴a2﹣4a+b＝a2﹣5a+a+b，
＝24+5，
＝29．
故答案为：29．
5．（2025•泸州）若一元二次方程2x2﹣6x﹣1＝0 的两根为α，β，则2α2﹣3α+3β 的值为 ．
【解答】解：将x＝α 代入原方程得：2α2﹣6α﹣1＝0，
∴2α2﹣6α＝1．
∵一元二次方程2x2﹣6x﹣1＝0 的两根为α，β，
∴α+β＝3，
∴2α2﹣3α+3β＝（2α2﹣6α）+3（α+β）＝1+3×3＝10．
故答案为：10．
6．（2025•南充）设x1，x2是关于x 的方程（x﹣1）（x﹣2）＝m2的两根．
（1）当x1＝﹣1 时，求x2及m 的值．
（2）求证：（x1﹣1）（x2﹣1）≤0．
【解答】解：（1）把x1＝﹣1 代入方程（x﹣1）（x﹣2）＝m2，
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
得m2＝6，
∴m=± ❑√6．
∴（x﹣1）（x﹣2）＝6，即x2﹣3x﹣4＝0．
∴（x﹣4）（x+1）＝0．
∴x1＝﹣1，x2＝4．
∴x2= 4，m=± ❑√6．
（2）方程（x﹣1）（x﹣2）＝m2可化为x2﹣3x+2﹣m2＝0．
∵Δ＝9﹣4（2﹣m2）＝4m2+1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
∵方程（x﹣1）（x﹣2）＝m2即x2﹣3x+2﹣m2＝0 的两根为x1、x2，
∴x1+x2＝3，x1•x2＝2﹣m2．
∴（x1﹣1）（x2﹣1）
＝x1•x2﹣（x1+x2）+1
＝2﹣m2﹣3+1
＝﹣m2．
∵m2≥0，
∴﹣m2≤0，即（x1﹣1）（x2﹣1）≤0．
（设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检
验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力）
1. 知识与技能：（1）核心定理：对于
，当
时，方程两个实数根为
，则
；（2）特殊形式：方程
，则两根和为-p，两根积为q；
（3）核心应用：不解方程求根系代数式的值、求方程参数、检验方程根的正确性.
2. 思想方法：（1）特殊到一般：从具体方程猜想规律，再推导一般公式，是代数探究的核心方法；
（2）整体代入：将复杂代数式变形为两根和、两根积的整体形式代入计算，简化运算；（3）转化思想：
将陌生的代数式求值问题转化为熟悉的根系关系基础问题.
3. 易错提醒：（1）忽略前提条件：必须先判断
，方程无实数根时，韦达定理不成立，严
禁盲目套用公式；（2）符号错误：两根和公式是
，容易遗漏负号，需重点关注一次项系数符号；
（3）系数混淆：必须将方程化为一般形式后再找a、b、c，避免非一般形式下系数取值错误；（4）变形
失误：代数式变形（完全平方、通分）时容易漏项、符号出错，变形后需及时检查.
(设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ）
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
必做题：课本习题25.2 第7、11 题.
探究性作业：课本习题25.2 第12 题
（设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ）
主板书
25.2.4 一元二次方程根与系数的关系
一、根与系数关系（核心）
一般形式：
前提：
关系：
特殊形式：
二、核心变形公式
三、易错警示
副板书
典型例题
（预留区域，课堂书写化简、检验例题）
例题
学生练习板演
