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一元二次方程及其应用【十大题型】
1 一元二次方程
1.1 概念
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程.
一般形式：𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)，其中𝑎𝑥2、𝑏𝑥、𝑐分别叫做二次项、一次项、常数项，
𝑎、𝑏、𝑐分别称为二次项系数、一次项系数、常数项.
1.2 一元二次方程的解
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是这个一元二次的解，也称为根.
1.3 一元二次方程的解法
（1）直接开平方法
形如(𝑥+ 𝑚)2 = 𝑛(𝑛≥0)的方程，可直接开平方求解.
（2）配方法
利用完全平方公式进行配方；当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时，使
用配方法较容易.
（3）公式法
一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)的求根公式为𝑥= ―𝑏± 𝑏2―4𝑎𝑐
2𝑎
(𝑏2 ―4𝑎𝑐≥0).
（4）因式分解法
把一元二次方程化为(𝑎𝑥+ 𝑚)(𝑏𝑥+ 𝑛) = 0的形式，可用因式分解法.常见因式分解的方法是
提取公因式、公式法、十字相乘法等.
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（5）换元法
2 一元二次方程根的判别式
一般地，式子𝑏2 ―4𝑎𝑐叫做一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0根的判别式，通常用希腊字母Δ表
示，即Δ = 𝑏2 ―4𝑎𝑐.
（1）当Δ = 𝑏2 ―4𝑎𝑐> 0时，原方程有两个不相等的实数根；
（1）当Δ = 𝑏2 ―4𝑎𝑐= 0时，原方程有两个相等的实数根；
（1）当Δ = 𝑏2 ―4𝑎𝑐< 0时，原方程没有实数根.
3 一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0有实数根𝑥1，𝑥2，则𝑥1 + 𝑥2 = ―
𝑏
𝑎，𝑥1𝑥2 =
𝑐
𝑎.
4 一元二次方程与实际问题
4.1 列一元二次方程解应用题的解题步骤
①审题；②设未知数；③列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤检验根是否有意义；⑥作
答.
4.2 常见应用题
① 平均增长率问题
公式𝑏= 𝑎(1 ± 𝑥)𝑛，𝑎表示基数，𝑥表示平均增长率（降低率），𝑛表示变化次数，𝑏表示𝑛次
变化后的量。
② 利润问题
单利润=售价-成本，总利润=单利润*件数，利润率=利润/成本.
③ 传播问题
④ 握手、比赛问题
𝑛个人之间相互握手的次数是
𝑛(𝑛―1)
2
；
𝑥支球队相互进行主客场比赛，总场数为𝑥(𝑥― 1)场.
⑤ 几何问题
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【题型1】 一元二次方程的解
【典题1】 （2024·四川凉山·中考真题）若关于𝑥的一元二次方程(𝑎+ 2)𝑥2 +𝑥+ 𝑎2 ―4 = 0
的一个根是𝑥= 0，则𝑎的值为（ ）
A．2
B．―2
C．2 或―2
D．
1
2
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为0．由一元二
次方程的定义，可知𝑎+ 2 ≠0；一根是0，代入(𝑎+ 2)𝑥2 +𝑥+ 𝑎2 ―4 = 0可得𝑎2 ―4 = 0，
即可求答案．
【详解】解：(𝑎+ 2)𝑥2 +𝑥+ 𝑎2 ―4 = 0是关于𝑥的一元二次方程，
∴𝑎+ 2 ≠0，即𝑎≠―2①
由一个根𝑥= 0，代入(𝑎+ 2)𝑥2 +𝑥+ 𝑎2 ―4 = 0，
可得𝑎2 ―4 = 0，解之得𝑎=± 2；②
由①②得𝑎= 2；
故选A
【巩固练习】
1.（2024·广东中山·模拟预测）如果―3是方程𝑥2 +2𝑥+ 𝑘= 0的一个根，则𝑘的值为（ ）
A．3
B．2
C．―3
D．―2
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，将𝑥= ―3代入方程𝑥2 +2𝑥+ 𝑘= 0，求解即可．
【详解】解：根据题意得：( ―3)2 +2 × ( ―3) +𝑘= 0，
∴ 𝑘= ―3，
故选：C．
2.（2024·河北唐山·模拟预测）若𝑥= 𝑚是方程𝑥2 +𝑥― 4 = 0的根，则𝑚2 +𝑚+ 2021的值为
（ ）
A．2021
B．2023
C．2025
D．2029
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的解（使方程左右两边相等的未知数的值），根据题意可得
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𝑚2 +𝑚― 4 = 0，从而可得𝑚2 +𝑚= 4，然后代入式子中进行计算即可．掌握方程解的定义
是解题的关键．也考查了求代数式的值．
【详解】解：∵𝑥= 𝑚是方程𝑥2 +𝑥― 4 = 0的根，
∴𝑚2 +𝑚― 4 = 0，
∴𝑚2 +𝑚= 4，
∴𝑚2 +𝑚+ 2021 = 4 + 2021 = 2025．
故选：C．
3.（2023·北京东城·模拟预测）如果𝑥= 5是关于𝑥的一元二次方程(𝑥― 𝑚)(𝑥― 4 + 𝑚) = 𝑛的
一个根，那么关于𝑥的一元二次方程(𝑥+ 𝑚― 1)(𝑥+ 3 ― 𝑚) = 𝑛的解为（ ）
A．𝑥1 = ―4,𝑥2 = 2B．𝑥1= ― 2,𝑥2=4
C．𝑥1 = ―1,𝑥2 = 3
D．𝑥1 = ―3,𝑥2 = 1
【答案】A
【分析】此题考查了一元二次方程的解，因式分解法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌
握以上知识点．将𝑥= 5代入(𝑥― 𝑚)(𝑥― 4 + 𝑚) = 𝑛得到(5 ― 𝑚)(1 + 𝑚) = 𝑛，然后结合
(𝑥+ 𝑚― 1)(𝑥+ 3 ― 𝑚) = 𝑛得到𝑥+ 3 = 5或𝑥― 1 = 1，然后求解即可．
【详解】解：∵𝑥= 5是关于𝑥的方程(𝑥― 𝑚)(𝑥― 4 + 𝑚) = 𝑛的根，
∴(5 ― 𝑚)(5 ― 4 + 𝑚) = 𝑛，得(5 ― 𝑚)(1 + 𝑚) = ( ― 5 + 𝑚)( ― 1 ― 𝑚) = 𝑛，
∵(𝑥+ 𝑚― 1)(𝑥+ 3 ― 𝑚) = 𝑛，
∴𝑥+ 3 = 5或𝑥― 1 = ―5或𝑥+ 3 = ―1或𝑥― 1 = 1，
解得𝑥= 2或𝑥= ―4．
故选：A．
【题型2】一元二次方程的根的情况
【典题1】 （2022·辽宁抚顺·模拟预测）关于𝑥的一元二次方程(𝑚― 1)2𝑥2 + (2𝑚― 1)
𝑥+ 1 = 0有实数根，则𝑚的取值范围是（ ）
A．𝑚>
3
4
B．𝑚>
3
4且𝑚≠1
C．𝑚≥
3
4
D．𝑚≥
3
4且𝑚≠1
【答案】D
【分析】此题考查了一元二次方程的根的判别式求参数，正确掌握一元二次方程的根与判别
式的关系是解题的关键．根据一元二次方程有实数根得到Δ ≥0且𝑚― 1 ≠0，即可求出答案．
【详解】解：∵一元二次方程(𝑚― 1)2𝑥2 + (2𝑚― 1)𝑥+ 1 = 0有实数根，
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∴Δ = (2𝑚― 1)2 ―4(𝑚― 1)2 × 1 ≥0，且𝑚― 1 ≠0，
解得𝑚≥
3
4且𝑚≠1，
故选：D．
【巩固练习】
1.（2024·山东济南·中考真题）若关于𝑥的方程𝑥2 ―𝑥― 𝑚= 0有两个不相等的实数根，则实
数𝑚的取值范围是（ ）
A．𝑚< ―
1
4
B．𝑚> ―
1
4
C．𝑚< ―4
D．𝑚> ―4
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)的根
与Δ = 𝑏2 ―4𝑎𝑐有如下关系：①Δ > 0，方程有两个不相等的实数根，②Δ = 0，方程有两个
相等的实数根，③Δ < 0，方程没有实数根，由题意得出Δ = ( ―1)2 ―4 × 1 × ( ―𝑚) > 0，计
算即可得出答案．
【详解】解：∵关于𝑥的方程𝑥2 ―𝑥― 𝑚= 0有两个不相等的实数根，
∴Δ = ( ―1)2 ―4 × 1 × ( ―𝑚) > 0，
解得：𝑚> ―
1
4，
故选：B．
2.（2024·上海·模拟预测）关于x 的方程2𝑥2 ―𝑚𝑥― 1 = 0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等实数根
B．有两个相等实数根
C．无实数根
D．由于不知道m 的值，无法确定
【答案】A
【分析】本题考查根的判别式，对于一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)，当Δ > 0时，方
程有两个不相等的实数根；当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根；当Δ < 0时，方程没有实
数根．根据根的判别式即可求出答案．
【详解】解：Δ = 𝑚2 ―4 × 2 × ( ― 1) = 𝑚2 +8 > 0，
∴方程有两个不相等实数根，
故选A．
3.若关于x 的一元二次方程𝑘𝑥2 ―6𝑥+ 9 = 0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是
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（ ）
A．𝑘> 1
B．𝑘≠0
C．𝑘< 1
D．𝑘< 1且𝑘≠0
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根
的判别式，即可求解．
【详解】解：∵关于x 的一元二次方程𝑘𝑥2 ―6𝑥+ 9 = 0有两个不相等的实数根，
∴Δ = ( ―6)2 ―4𝑘× 9 > 0，且𝑘≠0，
解得：𝑘< 1且𝑘≠0，
即k 的取值范围是𝑘< 1且𝑘≠0．
故选：D
4.（2024·安徽六安·模拟预测）已知关于𝑥的一元二次方程𝑥2 ―𝑥+
1
4𝑎= 0有两个不相等的实
数根，设此方程的一个实数根为𝑏，令𝑚= 4𝑏2 ―4𝑏― 5𝑎+ 4，则（ ）
A．𝑚> ―2
B．𝑚≥―2
C．𝑚≤―2
D．𝑚< ―2
【答案】A
【分析】本题考查了根的判别式及一元二次方程的解，解答本题的关键是掌握一元二次方程
判别式与方程根的关系．先根据Δ = 1 ― 𝑎> 0得出𝑎的取值范围，根据𝑏是方程的一个实数
根，可得4𝑏2 ―4𝑏+ 𝑎= 0，整体代入，可得𝑚的取值范围．
【详解】解：∵一元二次方程𝑥2 ―𝑥+
1
4𝑎= 0有两个不相等的实数根，
∴ Δ = 1 ― 𝑎> 0，
∴𝑎< 1，
∵𝑏是方程的一个实数根，
∴𝑏2 ―𝑏+
1
4𝑎= 0，
∴4𝑏2 ―4𝑏+ 𝑎= 0，
∴𝑚= 4𝑏2 ―4𝑏― 5𝑎+ 4 = ―𝑎― 5𝑎+ 4 = ―6𝑎+ 4，
∵𝑎< 1，
∴ 𝑚= ―6𝑎+ 4 > ―2，
故选：A．
5.（2024·安徽池州·模拟预测）对于一个函数上的一个点𝑚，𝑛，若自变量m 与对应函数值
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n 互为相反数，我们称m 为这个函数的“反自变量”．如果二次函数𝑦= ― 𝑥2 +𝑏有两个相异
的反自变量𝑥1，𝑥2，且𝑥1 < 2 < 𝑥2，则b 的取值范围是（ ）
A．𝑏> 2
B．𝑏> 3
C．𝑏>
1
4
D．―
1
4 < 𝑏< 2
【答案】A
【分析】本题是新定义题，考查了二次函数的性质，一元二次方程的根的情况．根据题意可
得― 𝑥2 +𝑏= ―𝑥，再利用𝑥1，𝑥2为该方程的两个不等实根，且𝑥1 < 2 < 𝑥2，即可求出答案．
【详解】由题意知，𝑥1，𝑥2为二次函数𝑦= ― 𝑥2 +𝑏上的两个相异的反自变量，
则𝑦= ―𝑥，
∴ ― 𝑥2 +𝑏= ―𝑥，
即𝑥2 ―𝑥― 𝑏= 0，
∵ 𝑥1，𝑥2为该方程的两个不等实根，且𝑥1 < 2 < 𝑥2，
∴
△= 1 + 4𝑏> 0
22 ― 2 ― 𝑏< 0
，
∴𝑏> 2，
故选：A．
【题型3】一元二次方程的根与系数的关系
【典题1】
（2024·四川遂宁·中考真题）已知关于𝑥的一元二次方程𝑥2 ― (𝑚+ 2)𝑥+ 𝑚― 1 = 0．
(1)求证：无论𝑚取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为𝑥1,𝑥2，且𝑥2
1 + 𝑥2
2 ― 𝑥1𝑥2 = 9，求𝑚的值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)𝑚1 = 1或𝑚2 = ―2．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌
握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
（1）根据根的判别式证明Δ > 0恒成立即可；
（2）由题意可得，𝑥1 + 𝑥2 = 𝑚+ 2，𝑥1 ⋅𝑥2 = 𝑚― 1，进行变形后代入即可求解．
【详解】（1）证明：Δ = [ ―(𝑚+ 2)]2 ―4 × 1 × (𝑚― 1) = 𝑚2 +8，
∵无论𝑚取何值，𝑚2 +8 > 0，恒成立，
∴无论𝑚取何值，方程都有两个不相等的实数根．
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（2）解：∵𝑥1,𝑥2是方程𝑥2 ― (𝑚+ 2)𝑥+ 𝑚― 1 = 0的两个实数根，
∴𝑥1 + 𝑥2 = 𝑚+ 2，𝑥1 ⋅𝑥2 = 𝑚― 1，
∴𝑥2
1 + 𝑥2
2 ― 𝑥1𝑥2 = (𝑥1 + 𝑥2)2 ―3𝑥1𝑥2 = (𝑚+ 2)2 ―3(𝑚― 1) = 9，
解得：𝑚1 = 1或𝑚2 = ―2．
【典题2】（2024·四川内江·中考真题）已知关于𝑥的一元二次方程𝑥2 ―𝑝𝑥+ 1 = 0（𝑝为常数）
有两个不相等的实数根𝑥1和𝑥2．
(1)填空：𝑥1 + 𝑥2 = ________，𝑥1𝑥2 = ________；
(2)求
1
𝑥1 +
1
𝑥2，𝑥1 +
1
𝑥1；
(3)已知𝑥2
1 + 𝑥2
2 = 2𝑝+ 1，求𝑝的值．
【答案】(1)𝑝，1；
(2)
1
𝑥1 +
1
𝑥2 = 𝑝，𝑥1 +
1
𝑥1 = 𝑝；
(3)𝑝= 3．
【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程根和系
数的关系是解题的关键．
（1）利用根和系数的关系即可求解；
（2）
1
𝑥1 +
1
𝑥2变形为
(𝑥1+𝑥2)2―2𝑥1𝑥2
𝑥1𝑥2
，再把根和系数的关系代入计算即可求解，由一元二次方程
根的定义可得𝑥12 ―𝑝𝑥1 +1 = 0，即得𝑥1 ―𝑝+
1
𝑥1 = 0，进而可得𝑥1 +
1
𝑥1 = 𝑝；
（3）把方程变形为(𝑥1 + 𝑥2)2 ―2𝑥1𝑥2 = 2𝑝+ 1，再把根和系数的关系代入得𝑝2 ―2 = 2𝑝+ 1，
可得𝑝= ―1或𝑝= 3，再根据根的判别式进行判断即可求解．
【详解】（1）解：由根与系数的关系得，𝑥1 + 𝑥2 = 𝑝，𝑥1𝑥2 = 1，
故答案为：𝑝，1；
（2）解：∵𝑥1 + 𝑥2 = 𝑝，𝑥1𝑥2 = 1，
∴
1
𝑥1 +
1
𝑥2 =
𝑥1+𝑥2
𝑥1𝑥2 = 𝑝，
∵关于𝑥的一元二次方程𝑥2 ―𝑝𝑥+ 1 = 0 （𝑝为常数）有两个不相等的实数根𝑥1和𝑥2，
∴𝑥12 ―𝑝𝑥1 +1 = 0，
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∴𝑥1 ―𝑝+
1
𝑥1 = 0，
∴𝑥1 +
1
𝑥1 = 𝑝；
（3）解：由根与系数的关系得，𝑥1 + 𝑥2 = 𝑝，𝑥1𝑥2 = 1，
∵𝑥2
1 + 𝑥2
2 = 2𝑝+ 1，
∴(𝑥1 + 𝑥2)2 ―2𝑥1𝑥2 = 2𝑝+ 1，
∴𝑃2 ―2 = 2𝑝+ 1，
∴𝑃2 ―2𝑝― 3 = 0，
解得𝑝= ―1或𝑝= 3，
∴一元二次方程𝑥2 ―𝑝𝑥+ 1 = 0为𝑥2 +𝑥+ 1 = 0或𝑥2 ―3𝑥+ 1 = 0，
当𝑝= ―1时，Δ = 12 ―4 × 1 × 1 = ―3 < 0，不合题意，舍去；
当𝑝= 3时，Δ = ( ―3)2 ―4 × 1 × 1 = 5 > 0，符合题意；
∴𝑝= 3．
【巩固练习】
1.（2023·广东清远·二模）对于一元二次方程2𝑥2 ―3𝑥+ 1 = 0，下列说法不正确的是（ ）
A．根的判别式Δ > 0
B．两根之和为
3
2
C．两根之积为
1
2
D．方程的解𝑥1 = ―1，𝑥2 = 2
【答案】D
【分析】此题主要考查了一元二次方程．熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程
根与系数的关系，解一元二次方程，是解本题的关键．
由已知方程，写出根的判别式，根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，解一元二次
方程，逐一判断，即得．
【详解】解：A、∵一元二次方程2𝑥2 ―3𝑥+ 1 = 0根的判别式为，
Δ = ( ―3)2 ―4 × 2 × 1 = 1 > 0，
∴A 正确；
B、设一元二次方程2𝑥2 ―3𝑥+ 1 = 0的两根分别为𝑥1，𝑥2，
则𝑥1 + 𝑥2 = ―
―3
2 =
3
2，
∴B 正确；
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C、设一元二次方程2𝑥2 ―3𝑥+ 1 = 0的两根分别为𝑥1，𝑥2，
则𝑥1 ⋅𝑥2 =
1
2，
∴C 正确；
D、解方程2𝑥2 ―3𝑥+ 1 = 0，
(2𝑥― 1)(𝑥― 1) = 0，
∴2𝑥― 1 = 0，𝑥― 1 = 0，
∴𝑥1 =
1
2，𝑥2 = 1，
∴D 不正确．
故选：D．
2.（2024·贵州铜仁·一模）已知关于x 的方程𝑥2 + (𝑚― 1)𝑥― 2 = 0的两实数根为𝑥1，𝑥2，若
𝑥1𝑥2 ― 𝑥1 ― 𝑥2 = 2，则𝑚的值为（ ）
A．1
B．―5
C．3
D．5
【答案】D
【分析】本题主要考查了根与系数的关系的知识．根据根与系数的关系，得出𝑥1 + 𝑥2和𝑥1 ⋅
𝑥2，再代入等式求得𝑚即可．
【详解】解：∵关于𝑥的方程𝑥2 +(𝑚― 1)𝑥― 2 = 0的两实数根为𝑥1，𝑥2，
∴𝑥1 + 𝑥2 = 1 ― 𝑚，𝑥1 ⋅𝑥2 = ―2，
∵𝑥1𝑥2 ― 𝑥1 ― 𝑥2 = 2，
∴𝑥1𝑥2 ―(𝑥1 + 𝑥2) = 2，
∴―2 + 𝑚― 1 = 2，
∴𝑚= 5．
故选：D．
3.（2024·四川乐山·中考真题）若关于x 的一元二次方程𝑥2 +2𝑥+ 𝑝= 0两根为𝑥1、𝑥2，且
1
𝑥1 +
1
𝑥2 = 3，则p 的值为（ ）
A．―
2
3
B．
2
3
C．―6
D．6
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)根与系数的关系：若方程的两实
数根为𝑥1,𝑥2，则𝑥1 + 𝑥2 = ―
𝑏
𝑎,𝑥1 ⋅𝑥2 =
𝑐
𝑎．
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根据一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)根与系数的关系得到𝑥1 + 𝑥2 = ―
2
1 = ―2,𝑥1 ⋅𝑥2
= 𝑝，然后通分，
1
𝑥1 +
1
𝑥2 =
𝑥1+𝑥2
𝑥1𝑥2 =
―2
𝑝，从而得到关于p 的方程，解方程即可．
【详解】解：∵𝑥1 + 𝑥2 = ―
2
1 = ―2,𝑥1 ⋅𝑥2 = 𝑝，
∴
1
𝑥1 +
1
𝑥2 =
𝑥1+𝑥2
𝑥1𝑥2 =
―2
𝑝，
而
1
𝑥1 +
1
𝑥2 = 3，
∴
―2
𝑝= 3，
∴𝑝= ―
2
3，
故选：A．
4.（2024·湖北武汉·模拟预测）已知a，b 分别为方程𝑥2 ―2𝑥― 𝑐= 0的两个不相等的实数根，
则1
𝑎+ 1
𝑏⋅
𝑎𝑏
(𝑎―𝑏)2+4𝑎𝑏值为（ ）
A．
1
4
B．
1
2
C．2
D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，完全平方公式，先由
根与系数的关系得到𝑎+ 𝑏= 2，再根据分式的混合计算法则求出所求式子的化简结果，最
后利用整体代入法求解即可．
【详解】解：∵a，b 分别为方程𝑥2 ―2𝑥― 𝑐= 0的两个不相等的实数根，
∴𝑎+ 𝑏= 2，
∴1
𝑎+ 1
𝑏⋅
𝑎𝑏
(𝑎―𝑏)2+4𝑎𝑏
= 𝑎+ 𝑏
𝑎𝑏
⋅
𝑎𝑏
(𝑎+ 𝑏)2
=
1
𝑎+ 𝑏
=
1
2，
故选：B．
5.（2024·湖北武汉·模拟预测）已知方程𝑥2 ―2024𝑥+ 1 = 0的两根分别为𝑥1，𝑥2，则𝑥2
1 ―
2024
𝑥2
的值为（ ）
A．1
B．―1
C．2024
D．―2024
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【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程解的定义及根与系数的关系．
根据一元二次方程解的定义及根与系数的关系可得𝑥12 = 2024𝑥1 ―1，𝑥1 ⋅𝑥2 = 1，再代入通
分计算即可求解．
【详解】解：∵方程𝑥2 ―2024𝑥+ 1 = 0的两根分别为𝑥1，𝑥2，
∴𝑥12 ―2024𝑥1 +1 = 0，𝑥1 ⋅𝑥2 = 1，
∴𝑥12 = 2024𝑥1 ―1，
∴𝑥2
1 ―
2024
𝑥2 = 2024𝑥1 ―1 ―
2024
𝑥2 =
2024𝑥1⋅𝑥2―𝑥2
𝑥2
―
2024
𝑥2 =
2024×1―𝑥2―2024
𝑥2
=
―𝑥2
𝑥2 = ―1．
故选B．
6.（2024·山东烟台·中考真题）若一元二次方程2𝑥2 ―4𝑥― 1 = 0的两根为m，n，则3𝑚2 ―4𝑚+
𝑛2的值为
．
【答案】6
【分析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解，若𝑥1,𝑥2是一元二次方程𝑎𝑥2
+𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)的两根时，𝑥1 + 𝑥2 = ―
𝑏
𝑎,𝑥1𝑥2 =
𝑐
𝑎，熟练掌握一元二次方程根与系数的
关系是解题关键．
根据根与系数的关系得𝑚+ 𝑛= 2，𝑚𝑛= ―
1
2，2𝑚2 ―4𝑚= 1，再把3𝑚2 ―4𝑚+ 𝑛2变形为
2𝑚2 ―4𝑚+ 𝑚2 + 𝑛2，然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程2𝑥2 ―4𝑥― 1 = 0的两个根为𝑚，𝑛，
∴𝑚+ 𝑛= 2，𝑚𝑛= ―
1
2，2𝑚2 ―4𝑚= 1
∴3𝑚2 ―4𝑚+ 𝑛2
= 2𝑚2 ― 4𝑚+ 𝑚2 + 𝑛2
= 𝑚2 + 𝑛2 + 1
= (𝑚+ 𝑛)2 ― 2𝑚𝑛+ 1
= 22 ― 2 × ( ― 1
2 ) + 1
= 6
故答案为：6．
7.（2023·浙江宁波·模拟预测）已知实数𝑚，𝑛满足3𝑚2 +5𝑚― 3 = 0，3𝑛2 ―5𝑛― 3 = 0．且
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𝑚𝑛≠1，则
1
𝑛2 +
𝑚
𝑛―
5
3𝑚 的值为
．
【答案】
25
9 /2
7
9
【分析】本题考查了根与系数的关系．把3𝑛2 ―5𝑛― 3 = 0变形为3 ⋅
1
𝑛
2
+5 ⋅
1
𝑛―3 = 0，则
可以把𝑚、
1
𝑛看作方程3𝑥2 +5𝑥― 3 = 0的两根，根据根与系数的关系得到𝑚+
1
𝑛= ―
5
3，𝑚⋅
1
𝑛
= ―1，然后利用1
𝑛
2
= ―
5
3𝑛+1，所以
1
𝑛2 +
𝑚
𝑛―
5
3𝑚变形为―
5
3(𝑚+
1
𝑛)，再利用整体代入的
方法计算．
【详解】解：∵3𝑛2 ―5𝑛― 3 = 0，
∴3 + 5𝑛― 3𝑛2 = 0，
∴3 ⋅
1
𝑛
2
+5 ⋅
1
𝑛―3 = 0，
∵3𝑚2 +5𝑚― 3 = 0，
∴𝑚、
1
𝑛可看作方程3𝑥2 +5𝑥― 3 = 0的两根，
∴𝑚+
1
𝑛= ―
5
3，𝑚⋅
1
𝑛= ―1，
∵
1
𝑛
2
= ―
5
3𝑛+1，
∴
1
𝑛2 +
𝑚
𝑛―
5
3𝑚= ―
5
3𝑛+1 ― 1 ―
5
3𝑚= ―
5
3(𝑚+
1
𝑛) = ―
5
3 ×
― 5
3 =
25
9 ．
故答案为：
25
9 ．
8.（2023·河南商丘·模拟预测）已知关于𝑥的方程𝑥2 ―(2 + 3𝑚)𝑥+ 2𝑚2 +5𝑚― 4 = 0．
(1)求证：无论𝑚为何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若该方程的两个实数根恰好为斜边为2 7的直角三角形的两直角边长，求𝑚的值．
【答案】(1)见解析
(2)
8
5
【分析】本题主要考查了根与系数的关系，根的判别式及解一元二次方程，熟练掌握根与系
数的关系，根的判别式及解一元二次方程的方法进行求解是解决本题的关键．
（1）根据题意可得，𝑎= 1，𝑏= ―(2 + 3𝑚)，𝑐= 2𝑚2 +5𝑚― 4，即可算出Δ = 𝑏2 ―4𝑎𝑐，
化简得(𝑚― 4)2 +4，根据非负数的性质即可得出答案；
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（2）记直角三角形的两直角边为𝐴𝐵、𝐴𝐶，由𝐴𝐵、𝐴𝐶的长是该方程的两个实数根，可得
𝐴𝐵+ 𝐴𝐶= 2 + 3𝑚，𝐴𝐵⋅𝐴𝐶= 2𝑚2 +5𝑚― 4，再由△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，可得𝐴𝐵2 +𝐴𝐶2
= 𝐵𝐶2，即(𝐴𝐵+ 𝐴𝐶)2 ―2𝐴𝐵⋅𝐴𝐶= 𝐵𝐶2，再列出方程并解一元二次方程即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵𝑎= 1，𝑏= ―(2 + 3𝑚)，𝑐= 2𝑚2 +5𝑚― 4，
∴ Δ = 𝑏2 ―4𝑎𝑐= [ ― (2 + 3𝑚)]2 ―4 × 1 × (2𝑚2 +5𝑚― 4)
= 𝑚2 ― 8𝑚+ 20
= (𝑚― 4)2 +4，
∵(𝑚― 4)2 ≥0，
∴(𝑚― 4)2 +4 ≥4 > 0，
即Δ > 0，
∴无论𝑚为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：记直角三角形的两直角边为𝐴𝐵、𝐴𝐶
∵ 𝐴𝐵、𝐴𝐶的长是该方程的两个实数根，
∴ 𝐴𝐵+ 𝐴𝐶= 2 + 3𝑚，𝐴𝐵⋅𝐴𝐶= 2𝑚2 +5𝑚― 4，
∵ △𝐴𝐵𝐶是直角三角形，
∴𝐴𝐵2 +𝐴𝐶2 = 𝐵𝐶2，
∴(𝐴𝐵+ 𝐴𝐶)2 ―2𝐴𝐵⋅𝐴𝐶= 𝐵𝐶2，
即(2 + 3𝑚)2 ―2 × (2𝑚2 +5𝑚― 4) = (2 7)
2，
整理，得5𝑚2 +2𝑚― 16 = 0，
解得𝑚1 =
8
5，𝑚2 = ―2（舍去）
∴ 𝑚的值是
8
5
9.（2024·广东汕头·二模）如果关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)有两个实数根𝑥1，
𝑥2，且|𝑥1 ― 𝑥2| = 1，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程𝑥2 ―𝑥= 0的
两个根是𝑥1 = 0，𝑥2 = 1，|0 ― 1| = 1，则方程𝑥2 ―𝑥= 0是“邻近根方程”．
(1)判断方程2𝑥2 ―6 3𝑥+ 13 = 0是否是“邻近根方程”；
(2)若关于𝑥的方程2𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑏，𝑐是常数）是“邻近根方程”，求3𝑏2 ―4𝑐2的最大值．
【答案】(1)是“邻近根方程”
(2)当𝑐= 3时，3𝑏2 ―4𝑐2有最大值，最大值为48．
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【分析】本题考查了根与系数的关系：若𝑥1，𝑥2是一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)的
两根时，𝑥1 + 𝑥2 = ―
𝑏
𝑎，𝑥1𝑥2 =
𝑐
𝑎．也考查了配方法的应用．
（1）先利用求根公式得到𝑥1 = 3 3―1
2
，𝑥2 = 3 3+1
2
，再计算出|𝑥1 ― 𝑥2| = 1，从而可判断方
程2𝑥2 ―6 3𝑥+ 13 = 0是“邻近根方程”；
（2）设一元二次方程两个实数根𝑥1，𝑥2，则利用根与系数的关系得𝑥1 + 𝑥2 = ―
𝑏
2，𝑥1𝑥2 =
𝑐
2，再利用|𝑥1 ― 𝑥2| = 1得到(𝑥1 + 𝑥2)2 ―4𝑥1𝑥2 = 1，所以( ― 𝑏
2 )
2 ―4 ×
𝑐
2 = 1，从而得到𝑏2
= 8𝑐+ 4，所以3𝑏2 ―4𝑐2 = ―4𝑐2 +24𝑐+ 12，然后根据配方法结合二次函数的性质解决问
题即可．
【详解】（1）∵ Δ = ( ― 6 3)
2 ―4 × 2 × 13 = 4 > 0，
∴𝑥= 6 3±2
2×2 = 3 3±1
2
，
∴𝑥1 = 3 3―1
2
，𝑥2 = 3 3+1
2
，
∴|𝑥1 ― 𝑥2| = |3 3―1
2
― 3 3+1
2
| = 1，
∴方程2𝑥2 ―6 3𝑥+ 13 = 0是“邻近根方程”；
（2）设一元二次方程两个实数根𝑥1，𝑥2，
根据根与系数的关系得𝑥1 + 𝑥2 = ―
𝑏
2，𝑥1𝑥2 =
𝑐
2，
∵|𝑥1 ― 𝑥2| = 1，
∴(𝑥1 ― 𝑥2)2 = 1，
∴(𝑥1 + 𝑥2)2 ―4𝑥1𝑥2 = 1，
即( ― 𝑏
2 )
2 ―4 ×
𝑐
2 = 1，
∴𝑏2 = 8𝑐+ 4，
∴3𝑏2 ―4𝑐2 = 3(8𝑐+ 4) ― 4𝑐2 = ―4𝑐2 +24𝑐+ 12 = ―4(𝑐― 3)2 +48，
∴当𝑐= 3时，3𝑏2 ―4𝑐2有最大值，最大值为48．
【题型4】解一元二次方程
【典题1】）按指定的方法解下列方程：
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(1)
1
2(2𝑥― 1)2 ―32 = 0（直接开平方法）；
(2)3𝑥2 +4𝑥+ 1 = 0（配方法）；
(3)𝑥2 ―𝑥― 7 = 0（公式法）；
(4)𝑥2 ―1 = 3𝑥― 3（因式分解法）．
【答案】(1)𝑥1 =
9
2，𝑥2 = ―
7
2
(2)𝑥1 = ―
1
3，𝑥2 = ―1
(3)𝑥1 = 1+ 29
2
，𝑥2 = 1― 29
2
(4)𝑥1 = 1，𝑥2 = 2
【分析】本题考查了解一元二次方程，解此题的关键是能根据方程的特点选择适当的方法解
一元二次方程．
（1）移项，整理，利用直接开平方法求得方程的解即可；
（2）利用配方法解方程求得答案；
（3）利用公式法，首先求出判别式△的值，继而求得答案；
（4）利用因式分解法求得方程的解即可．
【详解】（1）解：
1
2(2𝑥― 1)2 ―32 = 0，
整理得(2𝑥― 1)2 = 64，
∴2𝑥― 1 =± 8，
解得𝑥1 =
9
2，𝑥2 = ―
7
2；
（2）解：3𝑥2 +4𝑥+ 1 = 0，
3𝑥2 +4𝑥= ―1，
𝑥2 +
4
3𝑥= ―
1
3，
𝑥2 +
4
3𝑥+
4
9 = ―
1
3 +
4
9，
𝑥+ 2
3
2
=
1
9，
𝑥+
2
3 =±
1
3，
解得𝑥1 = ―
1
3，𝑥2 = ―1；
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（3）解：𝑥2 ―𝑥― 7 = 0，
∵𝑏2 ―4𝑎𝑐= ( ―1)2 ―4 × 1 × ( ―7) = 29，
∴𝑥= 1± 29
2
，
解得𝑥1 = 1+ 29
2
，𝑥2 = 1― 29
2
；
（4）解：𝑥2 ―1 = 3𝑥― 3，
𝑥2 ―3𝑥+ 2 = 0，
(𝑥― 2)(𝑥― 1) = 0，
解得𝑥1 = 1，𝑥2 = 2．
【巩固练习】
1.（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）解方程：𝑥(𝑥― 5) = 3𝑥+ 15
【答案】𝑥1 = 4 +
31，𝑥2 = 4 ―
31
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，把原式变形配方为(𝑥― 4)2 = 31，开平方即可
求出方程的解．
【详解】解：∵𝑥(𝑥― 5) = 3𝑥+ 15，
∴𝑥2 ―5𝑥― 3𝑥= 15，
∴𝑥2 ―8𝑥+ 16 = 31，
∴(𝑥― 4)2 = 31，
解得𝑥1 = 4 +
31，𝑥2 = 4 ―
31．
2.（2022·辽宁抚顺·模拟预测）（1）解方程：5𝑥2 ―4𝑥= 1
（2）解方程：2𝑥2 ―4𝑥― 3 = 0
【答案】（1）𝑥1 = 1，𝑥2 = ―
1
5；（2）𝑥1 = 1 +
10
2 ，𝑥2 = 1 ―
10
2
【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键．
（1）利用解一元二次方程---公式法进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程---配方法进行计算即可解答．
【详解】解：（1）5𝑥2 ―4𝑥= 1，
5𝑥2 ―4𝑥― 1 = 0，
∵𝑎= 5,𝑏= ―4,𝑐= ―1,
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Δ = ( ―4)2 ―4 × 5 × ( ―1) = 16 + 20 = 36 > 0，
∴𝑥= 4± 36
10
=
4±6
10 ，
∴𝑥1 = 1，𝑥2 = ―
1
5；
（2）2𝑥2 ―4𝑥― 3 = 0，
𝑥2 ―2𝑥―
3
2 = 0，
𝑥2 ―2𝑥=
3
2，
𝑥2 ―2𝑥+ 1 =
3
2 +1，
(𝑥― 1)2 =
5
2，
𝑥― 1 =±
10
2 ，
𝑥― 1 =
10
2 或𝑥― 1 = ―
10
2 ，
∴𝑥1 = 1 +
10
2 ，𝑥2 = 1 ―
10
2
【题型5】 一元二次方程的应用之传播问题
【典题1】 （2023·安徽合肥·三模）如果不防范，病毒的传播速度往往很快，有一种病毒1
人感染后，经过两轮传播，共有361人感染．
(1)平均每人每轮感染多少人？
(2)第二轮传播后，人们加强防范，使病毒的传播力度减少到原来的𝑎%，这样第三轮传播后
感染的人数只是第二轮传播后感染人数的10倍，求𝑎的值．
【答案】(1)18人
(2)50
【分析】
（1）设平均每人每轮感染𝑥人，开始是1个人，则第一轮感染𝑥人，第二轮感染𝑥(𝑥+ 1)
人，根据经过两轮传播，共有361人感染，得出关于𝑥的方程，解方程即可得出结果；
（2）由第二轮传播后，病毒的传播力度减少到原来的𝑎%可知，第三轮的传染人数为
361 × 18 × 𝑎%，根据第三轮传播后感染的人数只是第二轮传播后感染人数的10倍列出关于
𝑎的方程求解即可．
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【详解】（1）.解：设平均每人每轮感染𝑥人，
根据题意得，1 + 𝑥+ 𝑥(𝑥+ 1) = 361，
解得𝑥1 = 18，𝑥2 = ―20（舍去），
答：平均每人每轮感染18人；
（2）依题意得：361 + 361 × 18 ⋅𝑎% = 361 × 10，
解得𝑎= 50，
答：𝑎的值为50．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，读懂题意找出等量关系列方程求解是解答本
题的关键．
【巩固练习】
1.（2023·安徽六安·三模）春季是传染病多发季节．2023 年3 月，我国某地甲型流感病毒传
播速度非常快，开始有1 人被感染，经过两轮传播后，就有256 人患了甲型流感．若每轮传
染的速度相同，求每轮每人传染的人数．
【答案】每轮每人传染的人数为15 人
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据题意列出方程并解答是解题关
键．设每人每轮传染的人数为x 人，则第一轮传染后有(1 + 𝑥)人患病，第二轮传染后有
1 + 𝑥+ (1 + 𝑥)𝑥= (𝑥2 + 2𝑥+ 1)人患病，据此列出方程求解即可
【详解】解：设每人每轮传染的人数为x 人，
由题意得，1 + 𝑥+ (1 + 𝑥)𝑥= 256，
解得𝑥= 15或𝑥= ―17（舍去），
∴每轮每人传染的人数为15 人．
2.（2023·广东阳江·一模）自2023年1月以来，甲流便肆虐横行，成为当前主流流行疾病．某
一小区有1位住户不小心感染了甲流，由于甲流传播感染非常快，小区经过两轮传染后共有
121人患了甲流．
(1)每轮感染中平均一个人传染几人？
(2)如果按照这样的传播速度，经过三轮传染后累计是否超过1500人患了甲流？
【答案】(1)10人
(2)不超过
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【分析】（1）设每轮感染中平均一个人传染𝑥人，根据题意列方程解方程即可；
（2）根据（1）可知每轮感染中平均一个人传染10人，进而得到三轮后患病总人数为1331
即可解答．
【详解】（1）解：设每轮感染中平均一个人传染𝑥人．
根据题意得1 + 𝑥+ 𝑥(1 + 𝑥) = 121，
解得𝑥= 10，或𝑥= ―12，
∵𝑥> 0，
∴𝑥= 10，
答：每轮感染中平均一个人传染10人；
（2）解：根据题意可得：
第三轮的患病人数为(10 + 1)3 = 1331，
∵1331 < 1500，
∴经过三轮传染后累计患甲流的人数不会超过1500人，
答：经过三轮传染后累计患甲流的人数不超过1500人；
【点睛】本题考查了一元二次方程与实际问题，读懂题意明确数量关系是解题的关键．
【题型6】一元二次方程的应用之数字问题
【典题1】 （2023·山东枣庄·模拟预测）第十四届国际数学教育大会(𝐼𝐶𝑀𝐸― 14)会徽的主
题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古
代的计数符号写出的八进制数3745.八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基
本数字，八进制数3745换算成十进制数是3 × 83 +7 × 82 +4 × 81 +5 × 80 = 2021，表示
𝐼𝐶𝑀𝐸― 14的举办年份．
(1)请把八进制数3747换算成十进制数；
(2)小华设计了一个𝑛进制数265，换算成十进制数是145，求𝑛的值（𝑛为正整数）．
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【答案】(1)2023
(2)7
【分析】本题考查有理数的混合运算，解题关键是根据题意找到进制转化的方法．
（1）根据题意，从个位数字起，将八进制的每一位数分别乘以80，81，82，83，再把所得
的结果相加即可；
（2）根据𝑛进制数和十进制数的计算方法得到关于𝑛的方程，解方程即可．
【详解】（1）3747 = 3 × 83 +7 × 82 +4 × 81 +7 × 80
= 1536 + 448 + 32 + 7
= 2023．
故答案为：2023；
（2）依题意有：2𝑛2 +6𝑛+ 5 = 145，
解得𝑛1 = 7，𝑛2 = ―10(负值舍去)．
故𝑛的值是7．
【巩固练习】
1.（2024·山西朔州·三模）“五一国际劳动节”是世界上80多个国家的全国性节日，中国中央
人民政府政务院于1949年12月作出决定，将5 月1 日确定为“劳动节”．如图是2024年5 月
的月历表，用一个方框在表中圈出六个数（如图所示），若圈出的六个数中，最小的数与最
大的数的乘积为136，求这个最小的数（请用方程知识解答）．
【答案】8
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
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设这个最小的数为x，则最大的数为(𝑥+ 9)．依题意得𝑥(𝑥+ 9) = 136，计算求出满足要求
的解即可．
【详解】解：设这个最小的数为x，则最大的数为(𝑥+ 9)．
依题意得𝑥(𝑥+ 9) = 136．
解得𝑥1 = 8，𝑥2 = ―17（不合题意，舍去）．
∴这个最小的数为8．
2.（2019·河北张家口·二模）发现：四个连续的整数的积加上1是一个整数的平方．
验证：(1)3 × 4 × 5 × 6 + 1的结果是哪个数的平方？
(2)设四个连续的整数分别为𝑛― 1,𝑛,𝑛+ 1,𝑛+ 2，试证明他们的积加上1是一个整数的平方；
延伸：(3)有三个连续的整数，前两个整数的平方和等于第三个数的平方，试求出这三个整
数分别是多少．
【答案】(1)3×4×5×6＋1 的结果是19 的平方；(2)见解析；(3)这三个连续的整数分别是3、
4、5 或-1、0、1
【分析】(1)按照有理数的乘法计算出结果，即可判断是19 的平方；
(2)设出四个连续整数，根据题意得到式子，对式子进行转化，利用完全平方公式得到一个
整数的平方；
(3)设中间的整数是x，则另外两个整数分别为x-1、x+1，根据“前两个整数的平方和等于第
三个数的平方”，列出方程求解即可．
【详解】(1)3×4×5×6＋1=361=192，
即3×4×5×6＋1 的结果是19 的平方；
(2)设这四个连续整数依次为：n-1，n，n+1，n+2，则
(n-1)n(n+1)(n+2)+1，
=[(n-1)(n+2)][n(n+1)]+1
=(n2+n-2)(n2+n)+1
=(n2+n)2-2(n2+n)+1
=(n2+n-1)2．
故四个连续整数的积加上1 是一个整数的平方；
(3)设中间的整数是x，则第一个是x-1，第三个是x+1，根据题意得
(x-1)2+x2=(x+1)2
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解之得x1=4，x2=0，
则x-1=3，x+1=5，
或x-1=-1，x+1=1，x=0，
答：这三个整数分别是3、4、5 或-1、0、1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，因式分解的应用；利用完全平方公式得到一个整
数的平方是正确解答本题的关键．
【题型7】一元二次方程的应用之销售问题
【典题1】（2023·辽宁丹东·中考真题）某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市
每天购进一批成本价为每千克4 元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7 元的价格销
售．当每千克售价为5 元时，每天售出大米950kg；当每千克售价为6 元时，每天售出大米
900kg，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量𝑦(kg)与每千克售价𝑥（元）满足一次
函数关系．
(1)请直接写出y 与x 的函数关系式；
(2)超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800 元？
(3)当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？
【答案】(1)𝑦= ―50𝑥+ 1200
(2)6 元
(3)当每千克售价定为7 元时，每天获利最大，最大利润为2550 元
【分析】（1）根据题意可得，该函数经过点(5,950),(6,900)，y 与x 的函数关系式为
𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏，将(5,950),(6,900)代入，求出k 和b 的值，即可得出y 与x 的函数关系式；
（2）根据总利润=每千克利润×销售量，列出方程求解即可；
（3）设利润为w，根据总利润=每千克利润×销售量，列出w 关于x 的函数表达式，再根据
二次函数的性质， 即可解答．
【详解】（1）解∶ 根据题意可得，该函数经过点(5,950),(6,900)，
设y 与x 的函数关系式为𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏，
将(5,950),(6,900)代入得：
950 = 5𝑘+ 𝑏
900 = 6𝑘+ 𝑏
，解得：𝑘= ―50
𝑏= 1200
，
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∴y 与x 的函数关系式为𝑦= ―50𝑥+ 1200，
（2）解；根据题意可得：(𝑥― 4)𝑦= 1800，
∴(𝑥― 4)( ―50𝑥+ 1200) = 1800，
整理得：𝑥2 ―28𝑥+ 132 = 0，
解得：𝑥1 = 6,𝑥2 = 22，
∵售价不低于成本价且不超过每千克7 元，
∴每千克售价定为6 元时，利润可达到1800 元；
（3）解：设利润为w，
𝑤= (𝑥― 4) (―50𝑥+ 1200)
= ―50𝑥2 + 1400𝑥― 4800
= ―50(𝑥― 14)2 +5000，
∵―50 < 0，函数开口向下，
∴当𝑥< 14时，w 随x 的增大而增大，
∵4 ≤𝑥≤7，
∴当𝑥= 7时，w 有最大值，此时𝑤max = ―50(7 ― 14)2 +5000 = 2550，
∴当每千克售价定为7 元时，每天获利最大，最大利润为2550 元．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应
用，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，正确理解题意，根
据题意找出等量关系，列出方程和函数关系式，熟练掌握二次函数的性质．
【巩固练习】
1.（2024·辽宁·中考真题）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量𝑦（件）与每件
售价𝑥（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
每件售价𝑥/元
⋅⋅⋅
45
55
65
⋅⋅⋅
日销售量𝑦/件
⋅⋅⋅
55
45
35
⋅⋅⋅
(1)求𝑦与𝑥之间的函数关系式（不要求写出自变量𝑥的取值范围）；
(2)该商品日销售额能否达到2600元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由．
【答案】(1)𝑦= ―𝑥+ 100；
(2)该商品日销售额不能达到2600元，理由见解析。
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【分析】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）利用待
定系数法求出𝑦与𝑥之间的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
（1）根据表格中的数据，利用待定系数法即可求出𝑦与𝑥之间的函数表达式；
（2）利用销售额= 每件售价× 销售量，即可得出关于𝑥的一元二次方程，利用根与系数的
关系求解即可．
【详解】（1）解：设𝑦与𝑥之间的函数表达式为𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏（𝑘≠0），
将(45,55)，(55,45)代入𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏得
45𝑘+ 𝑏= 55
55𝑘+ 𝑏= 45
，
解得𝑘= ―1
𝑏= 100
，
∴𝑦与𝑥之间的函数表达式为𝑦= ―𝑥+ 100；
（2）解：该商品日销售额不能达到2600元，理由如下：
依题意得𝑥( ―𝑥+ 100) = 2600，
整理得𝑥2 ―100𝑥+ 2600 = 0，
∴Δ = 𝑏2 ―4𝑎𝑐= ( ―100)2 ―4 × 1 × 2600 = ―400 < 0，
∴该商品日销售额不能达到2600元．
2.（2024·山东烟台·中考真题）每年5 月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技
助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，
每辆轮椅盈利200 元时，每天可售出60 辆；单价每降低10 元，每天可多售出4 辆．公司决
定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180 元，设每辆轮椅降价x 元，
每天的销售利润为y 元．
(1)求y 与x 的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多
少元？
(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160 元，请问这天售出了多少辆轮椅？
【答案】(1)𝑦= ―
2
5𝑥2 +20𝑥+ 12000，每辆轮椅降价20 元时，每天的利润最大，为12240
元
(2)这天售出了64 辆轮椅
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【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键：
（1）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质求
最值即可；
（2）令𝑦= 12160，得到关于𝑥的一元二次方程，进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得：𝑦= (200 ― 𝑥) 60 + 𝑥
10 × 4 = ―
2
5𝑥2 +20𝑥+ 12000；
∵每辆轮椅的利润不低于180 元，
∴200 ― 𝑥≥180，
∴𝑥≤20，
∵𝑦= ―
2
5𝑥2 +20𝑥+ 12000 = ―
2
5(𝑥― 25)2 +12250，
∴当𝑥< 25时，𝑦随𝑥的增大而增大，
∴当𝑥= 20时，每天的利润最大，为―
2
5 × (20 ― 25)2 +12250 = 12240元；
答：每辆轮椅降价20 元时，每天的利润最大，为12240元；
（2）当𝑦= 12160时，―
2
5𝑥2 +20𝑥+ 12000 = 12160，
解得：𝑥1 = 10，𝑥2 = 40（不合题意，舍去）；
∴60 +
10
10 × 4 = 64（辆）；
答：这天售出了64 辆轮椅．
【题型8】 一元二次方程的应用之工程问题
【典题1】 （2022·重庆·一模）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长
5000 米．甲，乙分别从桥梁两端向中间施工．计划每天各施工5 米，因地质情况不同，两
支队伍每合格完成1 米桥梁施工所需成本不一样．甲每合格完成1 米桥梁施工成本为10 万
元，乙每合格完成1 米桥梁施工成本为12 万．
(1)若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的
6
5，求甲最多施工多少米．
(2)实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都
发生变化，甲每合格完成1 米隧道施工成本增加a 万元时，则每天可多挖
1
6𝑎米．乙在施工成
本不变的情况下，比计划每天少挖
2
9𝑎米．若最终每天实际总成本在少于150 万的情况下比计
划多(7𝑎― 12)万元．求a 的值．
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【答案】(1)甲最多施工2500 米
(2)a 的值为6
【分析】（1）设甲工程队施工x 米，则乙工程队施工（5000-x）米，由工程结算时乙总施工
成本不低于甲总施工成本的
6
5，即可得出关于x 的一元一次不等式，解之取其中的最大值即
可得出结论；
（2）根据总成本=每米施工成本×每天施工的长度结合甲每合格完成1 米隧道施工成本增加
a 万元时，则每天可多挖
1
6𝑎米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖
2
9𝑎米，即可得
出关于a 的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：设甲工程队施工x 米，则乙工程队施工（5000-x）米，
依题意，得：12（5000-x）≥
6
5×10x，
解得：x≤2500，
答：甲最多施工2500 米．
（2）依题意，得：(10 + 𝑎) 5 + 1
6 𝑎+12 5 ― 2
9 𝑎= 12 × 5 + 10 × 5 + (7𝑎― 12) ，
整理，得：𝑎2 ―18𝑎+ 72 = 0，
解得：𝑎1 = 12，𝑎2 = 6，
当𝑎1 = 12时，总成本为：12 × 5 + 10 × 5 + 7 × 12 ― 12 = 182（万元），
∵182＞150，
∴𝑎1 = 12不符合题意舍去；
当𝑎2 = 6时，总成本为：12 × 5 + 10 × 5 + 7 × 6 ― 12 = 140（万元），
∵140＜150，
∴𝑎2 = 6符合题意；
答：a 的值为6．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：
（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一
元二次方程．
【巩固练习】
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1.（2023·重庆开州·一模）某工程队采用A，B 两种设备同时对长度为3600 米的公路进行施
工改造．原计划A 型设备每小时铺设路面比B 型设备的2 倍多30 米，则30 小时恰好完成
改造任务．
(1)求A 型设备每小时铺设的路面长度；
(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600 米多了750 米．在实际施工中，B 型设
备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了(𝑚+ 25)小时，同时，A 型设备的铺路速
度比原计划每小时下降了3m 米，而使用时间增加了m 小时，求m 的值．
【答案】(1)𝐴型设备每小时铺设的路面长度为90 米
(2)𝑚的值为10
【分析】（1）设𝐵型设备每小时铺设路面𝑥米，则𝐴型设备每小时铺设路面(2𝑥+ 30)米，根据
题意列出方程求解即可；
（2）根据“𝐴型设备铺设的路面长度+𝐵型设备铺设的路面长度= 3600 + 750”列出方程，求
解即可．
【详解】（1）解：设𝐵型设备每小时铺设路面𝑥米，则𝐴型设备每小时铺设路面(2𝑥+ 30)米，
根据题意得，
30𝑥+ 30(2𝑥+ 30) = 3600，
解得：𝑥= 30，
则2𝑥+ 30 = 90，
答：𝐴型设备每小时铺设的路面长度为90 米；
（2）根据题意得，
30(30 + 𝑚+ 25) + (90 ― 3𝑚)(30 + 𝑚) = 3600 + 750，
整理得，𝑚2 ―10𝑚= 0，
解得：𝑚1 = 10，𝑚2 = 0（舍去），
∴𝑚的值为10．
【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等
量关系并列出方程．
2.（2022·重庆·一模）某公司主营铁路建设施工．
(1)原计划今年一季度施工里程包括平地施工，隧道施工和桥梁施工共146 千米，其中平地
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施工106 千米，隧道施工至少是桥梁施工的9 倍，那么，原计划今年一季度，桥梁施工最多
是多少千米？
(2)到今年3 月底，施工里程刚好按原计划完成，且桥梁施工的里程数正好是原计划的最大
值，已知一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本之比1：3：10，总成本为254
亿元，预计二季度平地施工里程会减少7a 千米，隧道施工里程会减少2a 千米，桥梁施工里
程会增加a 千米，其中平地施工，隧道施工每千米的成本与一季度持平，桥梁施工每千米的
成本将会增加
1
2a 亿元，若二季度总成本与一季度相同，求a 的值．
【答案】(1)4；
(2)2．
【分析】（1）设桥梁施工最多是m 千米，则隧道施工为(146 ― 106 ― 𝑚)千米，利用隧道施
工至少是桥梁施工的9 倍，列不等式求解即可；
（2）求出一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工的里程数，设一季度平地施工，隧道施工
和桥梁施工每千米的成本分别为x，3x，10x，利用总成本为254 亿元，列方程求出x，找出
二季度平地施工，隧道施工和桥梁施工的里程数及每千米的成本，利用二季度总成本与一季
度相同，列方程求解即可．
【详解】（1）解：设桥梁施工最多是m 千米，则隧道施工为(146 ― 106 ― 𝑚)千米，
∵隧道施工至少是桥梁施工的9 倍，
∴146 ― 106 ― 𝑚≥9𝑚，
解之得：𝑚≤4，
∴桥梁施工最多是4 千米．
（2）解：由（1）可知一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工分别为106 千米，36 千米和4
千米，
设一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本分别为x，3x，10x，
∵总成本为254 亿元，
∴106𝑥+ 36 × 3𝑥+ 40𝑥= 254，
解之得：𝑥= 1，
由题意可知：二季度平地施工里程为106 ― 7𝑎千米，隧道施工里程为36 ― 2𝑎千米，桥梁施
工里程为4 + 𝑎千米；平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本分别为：1，3，10 +
1
2𝑎
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∵二季度总成本与一季度相同，
∴106 ― 7𝑎+ (36 ― 2𝑎) × 3 + (4 + 𝑎) 10 + 1
2 𝑎= 254，
即𝑎(𝑎― 2) = 0，
解之得：𝑎= 0（舍去）或𝑎= 2，
故𝑎= 2．
【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用和一元二次方程的应
用．（1）的关键是根据各数量之间的关系，列出不等式求解即可；（2）的关键找出等量关系
列出一元一次方程和一元二次方程求解．
【题型9】一元二次方程的应用之图表信息问题
【典题1】 （2019·河北唐山·二模）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，
如图是2019 年1 月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中
去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：9 × 11 ― 3 × 17 = 48，
13 × 15 ― 7 × 21 = 48．不难发现，结果都是48．
（1）请证明发现的规律；
（2）若用一个如图所示菱形框，再框出5 个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出
这5 个数中的最大数；
（3）嘉琪说：她用一个如图所示菱形框，框出5 个数字，其中最小数与最大数的积是95，
直接判断他的说法是否正确（不必叙述理由）．
【答案】（1）证明见解析；（2）这5 个数中最大数为29．（3）嘉琪的说法不正确．
【分析】（1）、根据题目数据，设中间的数为a，则另外4 个数可以用a 的式子表示出来，
即可列出算式进行证明；
（2）、设最大数为x，列出方程组解答即可；
（3）参考（2）问题思路，解出最大数，然后根据最大数所在位置即可判定．
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【详解】（1）证明：设中间的数为a，则另外4 个数分别为（a﹣7），（a﹣1），（a+1），
（a+7），
∴（a﹣1）（a+1）﹣（a﹣7）（a+7），
=a2﹣1﹣（a2﹣49），
=48．
（2）解：设这5 个数中最大数为x，则最小数为（x﹣14），
依题意，得：x（x﹣14）＝435，
解得：x1＝29，x2＝﹣15（不合题意，舍去）．
答：设这5 个数中最大数为29．
（3）嘉琪的说法不正确．
设这5 个数中最大数为y，则最小数为（y﹣14），依题意，得：y（y﹣14）=95，解得：y1＝
19，y2＝﹣5（不合题意，舍去）．∵19 在日历的最后一列，∴不符合题意，∴嘉琪的说法
不正确．
【点睛】本题考查方程的应用问题，解题关键是准确的设未知数，然后列出方程解答．
【巩固练习】
1.（2020·山西临汾·模拟预测）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图
是2019 年1 月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分将每个菱形框部分中去掉中
间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：9 × 11 ― 3 × 17 = 48，
13 × 15 ― 7 × 21 = 48．不难发现，结果都是48．
（1）请证明发现的规律；
（2）若用一个如图所示菱形框，再框出5 个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出
这5 个数的最大数；
（3）小明说：他用一个如图所示菱形框，框出5 个数字，其中最小数与最大数的积是
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120．直接判断他的说法是否正确．（不必叙述理由）
【答案】（1）见解析；（2）29；（3）他的说法不正确
【分析】（1）设中间的数为a，则另外4 个数分别为（a−7），（a−1），（a＋1），（a＋7），利
用（a−1）（a＋1）−（a−7）（a＋7）＝48 可证出结论；
（2）设这5 个数中最大数为x，则最小数为（x−14），根据两数之积为435，可得出关于x
的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（3）设这5 个数中最大数为y，则最小数为（y−14），根据两数之积为120，可得出关于y
的一元二次方程，解之取其正值，由该值在第一列可得出小明的说法不正确．
【详解】（1）证明：设中间的数为𝑎，
∴(𝑎― 1)(𝑎+ 1) ― (𝑎― 7)(𝑎+ 7) = 𝑎2 ―1 ― (𝑎2 ― 49)
= 𝑎2 ―1 ― 𝑎2 +49 = 48．
（2）解：设这五个数中最大数为𝑥，
由题意，得𝑥(𝑥― 14) = 435，
解方程，得𝑥1 = 29，𝑥2 = ―15（不合题意，舍去）．
答：这5 个数中最大的数是29．
（3）他的说法不正确．
解：设这5 个数中最大数为y，则最小数为（y−14），
依题意，得：y（y−14）＝120，
解得：y1＝20，y2＝−6（不合题意，舍去）．
∵20 在第一列，
∴不符合题意，
∴小明的说法不正确．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用及菱形的性质，以及规律型：数字的变化类，找准
等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【题型10】一元二次方程的应用之动态几何问题
【典题1】（2022·广东湛江·三模）在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，𝐴𝐶= 20cm，𝐵𝐶= 15cm，现
有动点𝑃从点𝐴出发，沿𝐴𝐶向点𝐶方向运动，动点𝑄从点𝐶出发，沿线段𝐶𝐵也向点𝐵方向运动，
如果点𝑃的速度是4cm/s，点𝑄的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端
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点时，就停止运动．设运动时间为𝑡秒．
(1)求𝑡为多少秒时，△𝐶𝑃𝑄的面积为为24cm2
(2)当𝑡为多少时，以点𝐶，𝑃，𝑄为顶点的三角形与△𝐴𝐵𝐶相似.
【答案】(1)当𝑡为2s或3s秒时，△𝐶𝑃𝑄的面积为为24cm2.
(2)𝑡= 3s或𝑡=
40
11s时，以点𝐶、𝑃、𝑄为顶点的三角形与△𝐴𝐵𝐶相似
【分析】（1）根据路程= 速度× 时间可知𝐴𝑃= 4𝑡cm，𝐶𝑄= 2𝑡cm，𝐶𝑃= (20 ― 4𝑡)cm，再
根据三角形的面积公式列方程即可解答；
（2）根据根据路程= 速度× 时间可知𝐴𝑃= 4𝑡cm，𝐶𝑄= 2𝑡cm，𝐶𝑃= 20 ― 4𝑡cm，再根据
相似三角形的性质列方程即可解答．
【详解】（1）解：设运动时间为t 秒，
∵点P 的速度是4cm/s，点Q 的速度是2cm/s，
∴𝐴𝑃= 4𝑡cm/s，𝐶𝑄= 2𝑡cm/s，
∵𝐴𝐶= 20cm，
∴𝐶𝑃= (20 ― 4𝑡)cm/s，
∴△𝐶𝑃𝑄的面积为𝑆=
1
2 × (20 ― 4𝑡) × 2𝑡= 24cm2，
即𝑡2 ―5𝑡+ 6 = 0，
解得：𝑡1 = 2 ，𝑡2 = 3,
∴当𝑡为2s或3s秒时，△𝐶𝑃𝑄的面积为为24cm2；
（2）解：设运动时间为𝑡秒，
∵点𝑃的速度是4cm/s，点𝑄的速度是2cm/s，
∴𝐴𝑃= 4𝑡cm，𝐶𝑄= 2𝑡cm，
∵𝐴𝐶= 20cm，
∴𝐶𝑃= (20 ― 4𝑡)cm，
①当Rt △𝐶𝑃𝑄∽Rt △𝐶𝐴𝐵时，
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∴
𝐶𝑃
𝐶𝐴=
𝐶𝑄
𝐶𝐵，
即
20―4𝑡
20
=
2𝑡
15，
解得𝑡= 3；
②当Rt △𝐶𝑃𝑄∽Rt △𝐶𝐵𝐴时，
∴
𝐶𝑃
𝐶𝐵=
𝐶𝑄
𝐶𝐴，
即
20―4𝑡
15
=
2𝑡
20，
解得𝑡=
40
11．
∴𝑡= 3s或𝑡=
40
11s时，以点𝐶、𝑃、𝑄为顶点的三角形与△𝐴𝐵𝐶相似．
【点睛】本题考查了三角形的面积公式，路程= 速度× 时间，相似三角形的性质，一元二
次方程与几何图形，一元一次方程与几何图形，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
【巩固练习】
1.（2023·贵州黔东南·一模）如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，AC = 8 m，𝐵𝐶= 6 m，点
𝑃由𝐶点出发以2m/s的速度向终点𝐴匀速移动，同时点𝑄由点𝐵出发以1m/s的速度向终点𝐶匀速
移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动．
(1)当点𝑃移动时间为2秒时，△𝑃𝐶𝑄的面积为多少？
(2)点𝑃移动多少秒时，△𝑃𝐶𝑄的面积为8m2？
(3)在点𝑃、𝑄的运动过程中，△𝑃𝐶𝑄的面积是否会达到10m2？为什么？
【答案】(1)8m2
(2)2秒或4秒
(3)不会达到10m2，理由见解析
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【分析】本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积公式，灵活运用这些性质解决问题
是解题的关键．
(1)由三角形的面积公式可求解；
(2)设点𝑃移动经过𝑡秒，△𝑃𝐶𝑄的面积为8m2，列出方程可求解；
(3)列出方程，由Δ < 0，可得△𝑃𝐶𝑄的面积不会达到10m2．
【详解】（1）解：当点𝑃移动时间为2秒时，𝑃𝐶= 2 × 2 = 4m，𝐵𝑄= 1 × 2 = 2m，
∴𝐶𝑄= 4m，
∴△𝑃𝐶𝑄的面积
1
2 × 4 × 4 = 8m2；
（2）解：设点𝑃移动经过𝑡秒，△𝑃𝐶𝑄的面积为8m2，由题意可得∶
1
2 × 2𝑡× (6 ― 𝑡) = 8，
∴𝑡= 2或𝑡= 4，
答∶点𝑃移动经过2秒或4秒，△𝑃𝐶𝑄的面积为8m2；
（3）解：△𝑃𝐶𝑄的面积不会达到10m2．理由如下∶
设点𝑃移动经过𝑡秒，△𝑃𝐶𝑄的面积为10m2，由题意可得∶
1
2 × 2𝑡× (6 ― 𝑡) = 10，
𝑡2 ―6𝑡+ 10 = 0，
∴Δ = 36 ― 40 = ―4 < 0，
∴方程无解，
∴△𝑃𝐶𝑄的面积不会达到10m2．
2.（2023·河北廊坊·三模）在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 3cm，𝐵𝐶= 4cm，点𝑃从点𝐴出发沿𝐴𝐵边
以1cm/s的速度向点𝐵移动（点𝑃可以与点𝐵重合），同时，点𝑄从点𝐵出发沿𝐵𝐶以2cm/s的速度
向点𝐶移动（点𝑄可以与点𝐶重合），其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时
间为𝑡秒．
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(1)如图1，几秒后，𝑃𝑄的长度等于3cm?
(2)如图1，几秒后，△𝐵𝑃𝑄的面积等于四边形𝐴𝐵𝐶𝐷面积的
1
6?
(3)若以𝑄为圆心，𝑃𝑄为半径作⊙𝑄．如图2，若⊙𝑄与四边形𝐶𝐷𝑃𝑄的边有三个公共点，则
𝑡的取值范围为_____．（直接写出结果，不需说明理由）
【答案】(1)
6
5s后𝑃𝑄的长度等于3cm
(2)1 秒或2 秒后，△𝐵𝑃𝑄的面积等于四边形𝐴𝐵𝐶𝐷面积的
1
6
(3)0 < 𝑡< ―5 +
41
【分析】（1）根据题意可得𝐴𝑃= 𝑡cm，𝐵𝑄= 2𝑡cm，∠𝐵= 90°，则𝐵𝑃= (3 ― 𝑡)cm，由勾股
定理可得𝑃𝑄=
𝑃𝐵2 + 𝐵𝑄2 =
(3 ― 𝑡)2 + (2𝑡)2 = 3cm，进行计算即可得到答案；
（2）表示出𝑆△𝐵𝑃𝑄= ― 𝑡2 +3𝑡，计算出𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷= 12cm2，由△𝐵𝑃𝑄的面积等于四边形
𝐴𝐵𝐶𝐷面积的
1
6，可得― 𝑡2 +3𝑡=
1
6 × 12，进行计算即可得到答案；
（3）当𝑡= 0时，如图，⊙𝑄与四边形𝐷𝑃𝑄𝐶有两个公共点，如图，当⊙𝑄经过点𝐷时，⊙𝑄
与四边形𝐷𝑃𝑄𝐶有两个公共点，则𝑄𝐷= 𝑃𝑄，由勾股定理可得32 + (4 ― 2𝑡)2 =
(3 ― 𝑡)2 + (2𝑡)2，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意可得：𝐴𝑃= 𝑡cm，𝐵𝑄= 2𝑡cm，∠𝐵= 90°，
∵𝐴𝐵= 3cm，
∴𝐵𝑃= (3 ― 𝑡)cm，
∴𝑃𝑄=
𝑃𝐵2 + 𝐵𝑄2 =
(3 ― 𝑡)2 + (2𝑡)2 = 3cm，
解得：𝑡=
6
5或𝑡= 0（舍去），
∴
6
5s后𝑃𝑄的长度等于3cm；
（2）解：根据题意可得：𝐴𝑃= 𝑡cm，𝐵𝑄= 2𝑡cm，∠𝐵= 90°，
∵𝐴𝐵= 3cm，𝐵𝐶= 4cm，
∴𝐵𝑃= (3 ― 𝑡)cm，𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷= 3 × 4 = 12cm2，
∴𝑆△𝐵𝑃𝑄=
1
2𝐵𝑃⋅𝐵𝑄=
1
2 × (3 ― 𝑡) ⋅2𝑡= ― 𝑡2 +3𝑡，
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∵ △𝐵𝑃𝑄的面积等于四边形𝐴𝐵𝐶𝐷面积的
1
6，
∴― 𝑡2 +3𝑡=
1
6 × 12，
解得：𝑡= 1或𝑡= 2，
∴1 秒或2 秒后，△𝐵𝑃𝑄的面积等于四边形𝐴𝐵𝐶𝐷面积的
1
6；
（3）解：当𝑡= 0时，如图，⊙𝑄与四边形𝐷𝑃𝑄𝐶有两个公共点，
，
如图，当⊙𝑄经过点𝐷时，⊙𝑄与四边形𝐷𝑃𝑄𝐶有两个公共点，则𝑄𝐷= 𝑃𝑄，
，
根据题意可得：𝐴𝑃= 𝑡cm，𝐵𝑄= 2𝑡cm，∠𝐵= 90°，
∵𝐴𝐵= 3cm，𝐵𝐶= 4cm，
∴𝐵𝑃= (3 ― 𝑡)cm，𝐶𝑄= 𝐵𝐶― 𝐵𝑄= (4 ― 2𝑡)cm，
∵𝐷𝑄=
𝐶𝐷2 + 𝐶𝑄2 =
32 + (4 ― 2𝑡)2cm，𝑃𝑄=
𝐵𝑄2 + 𝐵𝑃2 =
(3 ― 𝑡)2 + (2𝑡)2cm，
∴
32 + (4 ― 2𝑡)2 =
(3 ― 𝑡)2 + (2𝑡)2，
解得：𝑡= ―5 ―
41（舍）或𝑡= ―5 +
41，
∴当0 < 𝑡< ―5 +
41时，⊙𝑄与四边形𝐶𝐷𝑃𝑄的边有三个公共点，
故答案为：0 < 𝑡< ―5 +
41．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、三角形的面积公式、一元二次方程的应用、
圆的基本性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
