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专题 06 一元二次方程及其应用
考情概览
考点1 一元二次方程根与系数的关系
考点 1 一元二次方程根与系数的关系
1．（2025·北京·中考真题）若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，
则实数a的值为（ ）
A． B． C．1 D．4
【答案】C
【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到 ，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得： ，
解得： ；
故选C．
2．（2024·北京·中考真题）若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，
则实数 的值为（ ）
A． B． C．4 D．16
【答案】C
【分析】根据方程的根的判别式 即可．本题考查了一元二
次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
【详解】∵方程 有两个相等的实数根， ，
∴ ，
∴ ，
解得 ．
故选C．3．（2023·北京·中考真题）若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，
则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．9
【答案】C
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得 ，进而即可求解．
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ ．
解得： ．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程 ( 为常数)的根的判别式
，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当 时，方程有两
个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根．
4．（2022·北京·中考真题）若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，
则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用方程有两个相等的实数根，得到 =0，建立关于m的方程，解答即可．
【详解】∵一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ =0，
∴ ，
解得 ，故C正确．
故选：C．
【点睛】此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根有三种情况：
有两个不等的实数根时 >0；当一元二次方程有两个相等的实数根时， =0；当方程没有
实数根时， <0，正确掌握此三种情况是正确解题的关键．5．（2025·北京东城·一模）已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数
根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【答案】C
【分析】题目主要考查一元二次方程的定义及根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题关
键，当 ，方程有两个不相等的实数根；当 ，方程有两个相等的实数根；当 ，
方程没有实数根．
根据一元二次方程的定义及根的判别式求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ 且 ，即 ，
解得： 且 ．
故选：C．
6．（2025·北京门头沟·一模）关于x的一元二次方程 有两个不相等实数根，
则k的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义得到k≠0，根据一元二次方程有两个不相等的实数根得
到 = ，求出k的取值范围．
△
【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得k＜4，
又k≠0，
∴k＜4且k≠0，
故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项
系数不为零这一隐含条件．
7．（2025·北京顺义·一模）若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，
则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据当一元二次方程
有两个相等的实数根时，根的判别式 ，即可求解．
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，
即 ，
解得： ．
故选：B．
8．（2025·北京石景山·一模）若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，
则实数m的值为（ ）
A． B． C．1 D．4
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程
，若 ，则方程有两个不相等的实数根，若
，则方程有两个相等的实数根，若 ，则方程没有实数根，据
此列式求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
∴ ，
故选：A．9．（2025·北京平谷·一模）若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程 的根的判别式．根据一元二次方程
有两个不相等的实数根可得 ，解得k的取值范围即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
， ， ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
10．（2025·北京丰台·一模）若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，
则实数 的值为（ ）
A． B．4 C．4或 D．16
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，理解方程有两个相等的实数根是关键．
根据题意得到 ，由此即可求解．
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
解得， ，
∴实数 的值为 或 ，
故选：C ．
11．（2025·北京大兴·一模）若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，
则a的值为（ ）
A．2 B．-2 C．4 D．-4
【答案】A【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可求出a的值.
【详解】解：∵一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
解得： ；
故选择：A.
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握当△=0时，一元二次方
程有两个相等的实数根.
12．（2025·北京通州·一模）已知关于 的一元二次方程 有两个相等的实数
根，那么实数 的值是（ ）
A．16 B．4 C． D．1
【答案】D
【分析】本题考查了根的判别式的应用，注意：一元二次方程 （ 为
常数， ），当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有
两个相等的实数根；当 时，方程无实数根．
根据一元二次方程 有两个相等的实数根得出 ，求解即可
得到答案．
【详解】解：∵一元二次方程 有两个相等的实数根，
，
解得： ，
故选：D．
13．（2025·北京房山·一模）若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，
则实数c的值为（ ）
A． B．4 C． D．1
【答案】D
【分析】本题考查根的判别式，根据方程有2个相等的实数根，得到判别式等于0，进行
求解即可．【详解】解：由题意，得： ，
∴ ；
故选D．
14．（2025·北京海淀·一模）若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，
则实数c的值为（ ）
A． B． C．1 D．4
【答案】C
【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到 ，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得： ，
解得： ；
故选C．
15．（2025·北京东城·二模）一元二次方程2x2﹣3x+1=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】B
【详解】解：根据题意得：△= ，
则方程有两个不相等的实数根．
故选：B
16．（2025·北京房山·二模）若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，根据一元二次方程根的情况与
判别式的关系：① ，方程有两个不相等的实数根；② ，方程有两个相等的实数
根；③ ，方程无实数根，直接列式求解即可得到答案．
【详解】解： 关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，，解得 ，
故选：C．
17．（2025·北京大兴·二模）方程 的根的情况是（ ）
A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．无实数根
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：①当 ，方程有两个不相等的实数根；
②当 ，方程有两个相等的实数根；③当 ，方程没有实数根．先求出 的值，再
判断，即可解题．
【详解】解：在一元二次方程 中，
∵ ， ， ，
，
一元二次方程 有两个不相等的实数根，
故选：B．
18．（2025·北京顺义·二模）若 是方程 的一个根，则 的值为（ ）
A． B． C．2 D．6
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题的关键．
代入 到方程 ，得到关于 的方程，即可求解．
【详解】解：代入 得， ，
解得： ．
故选：D．
19．（2025·北京丰台·二模）若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，
则实数 的值为（ ）
A．36 B．9或 C． D．9
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，
根据一元二次方程根的判别式可知 ，求出解即可．【详解】解：∵一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
解得 ．
故选：D．
20．（2025·北京石景山·二模）关于 的方程 有两个不相等的实数根，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关
系式解答本题的关键．
由于方程有两不相等的实数根，则根的判别式 ，由此建立关于m的不等式，解不等
式即可求出m的取值范围．
【详解】∵方程 有两个不相等实数根，
∴ ，
∴ ．
解得： ．
故选：D．
21．（2025·北京西城·二模）若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根，则k的取值
范围是 ．
【答案】 ＞
【分析】由关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根，可得： ＜ 再列不等式，解
不等式可得答案．
【详解】解： 关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根，
＜
＜
＜
＜
＞
故答案为： ＞【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，一元一次不等式的解法，掌握一元二
次方程根的判别式是解题的关键．
22．（2025·北京朝阳·二模）若关于 的一元二次方程 有两个相等的
实数根，则实数 的值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，理解方程有两个相等的实数根得到
是解题的关键．
根据题意， , ，由此即可求解．
【详解】解：关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ ， ，
∴ ， ，
解得， 或 ，
∴ ，
故答案为： ．
23．（2025·北京西城·二模）关于 的方程 ．
(1)若方程有实数根，求 的取值范围；
(2)若方程的两个根都是整数，求正整数 的值．
【答案】(1)
(2)3
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式以及求根公式的应用．解题关键在于理解
根的判别式与根的关系，利用 判断根的情况并求解参数范围；同时掌握求根公式，通过
对根的表达式分析及代入验证来确定满足条件的参数值．
（1）根据一元二次方程根的判别式 与根的关系，已知方程有实数根，所以 ，通过
构建关于 的不等式求解 的取值范围．
（2）先利用求根公式得出方程的根的表达式，再结合第一问 的取值范围确定正整数
可能的值，然后通过代入逐一验证根是否为整数，从而确定符合条件的 值．【详解】（1）解：∵方程有实数根，
∴ ．
∴ ．
解得 ．
即 的取值范围是 ．
（2）解：解方程，得 ．
∵ ，
∴正整数 的值为1，2，3．
当 时， ，不合题意，所以 舍去；
当 时， ，不合题意，所以 舍去；
当 时， ，得到方程的根为 ， ，都是整数．
∴正整数 的值是3．
24．（2025·北京海淀·二模）已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实
数根．
(1)求 的取值范围；
(2)若 是一元二次方程 的解，求该方程的另一个解．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程 的根与
有如下关系：当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实
数根；当 时，方程无实数根．
（1）根据根的判别式得出 ，解不等式即可；（2）根据 是方程 的解，得出 ，求出 ，得出一元二次
方程 ，解方程即可．
【详解】（1）解： 方程有两个不相等的实数根，
，
解得： ；
（2）解： 是方程 的解，
，
．
方程为 ．
解得 ．
方程的另一个解为 ．
25．（2025·北京门头沟·二模）已知关于 的一元二次方程 有两个不相
等的实数根．
（1）求 的取值范围；
（2）若 为正整数，且该方程的根都是整数，求 的值．
【答案】（1）k＜ ；（2）2
【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的
不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围；
（2）找出k范围中的整数解确定出k的值，经检验即可得到满足题意k的值．
【详解】解：（1）∵关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ．
解得：k＜ ；
（2）∵k为正整数，
∴k=1或2．当k=1时，方程为 ，两根为 ，非整数，不合题意；
当k=2时，方程为 ，两根为 或 ，都是整数，符合题意．
∴k的值为2．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根
的判别式与根的关系是解答的关键．
26．（2025·北京昌平·二模）已知关于 的一元二次方程 有实根．
(1)求 的取值范围；
(2)当 取最大整数时，求该方程的两个根．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程．
（1）根据一元二次方程根的判别式，列不等式即可；
（2）由（1）求出k，代入原方程，解方程即可．
【详解】（1）解： 一元二次方程有实根，
，
即 ，
，
；
（2）解： 取最大整数，
，
原方程为 ，
∴ ，
解得： ．
