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一元二次方程及其应用【十大题型】
1 一元二次方程
1.1 概念
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程.
一般形式：𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)，其中𝑎𝑥2、𝑏𝑥、𝑐分别叫做二次项、一次项、常数项，
𝑎、𝑏、𝑐分别称为二次项系数、一次项系数、常数项.
1.2 一元二次方程的解
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是这个一元二次的解，也称为根.
1.3 一元二次方程的解法
（1）直接开平方法
形如(𝑥+ 𝑚)2 = 𝑛(𝑛≥0)的方程，可直接开平方求解.
（2）配方法
利用完全平方公式进行配方；当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时，使
用配方法较容易.
（3）公式法
一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)的求根公式为𝑥= ―𝑏± 𝑏2―4𝑎𝑐
2𝑎
(𝑏2 ―4𝑎𝑐≥0).
（4）因式分解法
把一元二次方程化为(𝑎𝑥+ 𝑚)(𝑏𝑥+ 𝑛) = 0的形式，可用因式分解法.常见因式分解的方法是
提取公因式、公式法、十字相乘法等.
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（5）换元法
2 一元二次方程根的判别式
一般地，式子𝑏2 ―4𝑎𝑐叫做一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0根的判别式，通常用希腊字母Δ表
示，即Δ = 𝑏2 ―4𝑎𝑐.
（1）当Δ = 𝑏2 ―4𝑎𝑐> 0时，原方程有两个不相等的实数根；
（1）当Δ = 𝑏2 ―4𝑎𝑐= 0时，原方程有两个相等的实数根；
（1）当Δ = 𝑏2 ―4𝑎𝑐< 0时，原方程没有实数根.
3 一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0有实数根𝑥1，𝑥2，则𝑥1 + 𝑥2 = ―
𝑏
𝑎，𝑥1𝑥2 =
𝑐
𝑎.
4 一元二次方程与实际问题
4.1 列一元二次方程解应用题的解题步骤
①审题；②设未知数；③列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤检验根是否有意义；⑥作
答.
4.2 常见应用题
① 平均增长率问题
公式𝑏= 𝑎(1 ± 𝑥)𝑛，𝑎表示基数，𝑥表示平均增长率（降低率），𝑛表示变化次数，𝑏表示𝑛次
变化后的量。
② 利润问题
单利润=售价-成本，总利润=单利润*件数，利润率=利润/成本.
③ 传播问题
④ 握手、比赛问题
𝑛个人之间相互握手的次数是
𝑛(𝑛―1)
2
；
𝑥支球队相互进行主客场比赛，总场数为𝑥(𝑥― 1)场.
⑤ 几何问题
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【题型1】 一元二次方程的解
【典题1】 （2024·四川凉山·中考真题）若关于𝑥的一元二次方程(𝑎+ 2)𝑥2 +𝑥+ 𝑎2 ―4 = 0
的一个根是𝑥= 0，则𝑎的值为（ ）
A．2
B．―2
C．2 或―2
D．
1
2
【巩固练习】
1.（2024·广东中山·模拟预测）如果―3是方程𝑥2 +2𝑥+ 𝑘= 0的一个根，则𝑘的值为（ ）
A．3
B．2
C．―3
D．―2
2.（2024·河北唐山·模拟预测）若𝑥= 𝑚是方程𝑥2 +𝑥― 4 = 0的根，则𝑚2 +𝑚+ 2021的值为
（ ）
A．2021
B．2023
C．2025
D．2029
3.（2023·北京东城·模拟预测）如果𝑥= 5是关于𝑥的一元二次方程(𝑥― 𝑚)(𝑥― 4 + 𝑚) = 𝑛的
一个根，那么关于𝑥的一元二次方程(𝑥+ 𝑚― 1)(𝑥+ 3 ― 𝑚) = 𝑛的解为（ ）
A．𝑥1 = ―4,𝑥2 = 2B．𝑥1= ― 2,𝑥2=4
C．𝑥1 = ―1,𝑥2 = 3
D．𝑥1 = ―3,𝑥2 = 1
【题型2】一元二次方程的根的情况
【典题1】 （2022·辽宁抚顺·模拟预测）关于𝑥的一元二次方程(𝑚― 1)2𝑥2 + (2𝑚― 1)
𝑥+ 1 = 0有实数根，则𝑚的取值范围是（ ）
A．𝑚>
3
4
B．𝑚>
3
4且𝑚≠1
C．𝑚≥
3
4
D．𝑚≥
3
4且𝑚≠1
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【巩固练习】
1.（2024·山东济南·中考真题）若关于𝑥的方程𝑥2 ―𝑥― 𝑚= 0有两个不相等的实数根，则实
数𝑚的取值范围是（ ）
A．𝑚< ―
1
4
B．𝑚> ―
1
4
C．𝑚< ―4
D．𝑚> ―4
2.（2024·上海·模拟预测）关于x 的方程2𝑥2 ―𝑚𝑥― 1 = 0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等实数根
B．有两个相等实数根
C．无实数根
D．由于不知道m 的值，无法确定
3.若关于x 的一元二次方程𝑘𝑥2 ―6𝑥+ 9 = 0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是
（ ）
A．𝑘> 1
B．𝑘≠0
C．𝑘< 1
D．𝑘< 1且𝑘≠0
4.（2024·安徽六安·模拟预测）已知关于𝑥的一元二次方程𝑥2 ―𝑥+
1
4𝑎= 0有两个不相等的实
数根，设此方程的一个实数根为𝑏，令𝑚= 4𝑏2 ―4𝑏― 5𝑎+ 4，则（ ）
A．𝑚> ―2
B．𝑚≥―2
C．𝑚≤―2
D．𝑚< ―2
5.（2024·安徽池州·模拟预测）对于一个函数上的一个点𝑚，𝑛，若自变量m 与对应函数值
n 互为相反数，我们称m 为这个函数的“反自变量”．如果二次函数𝑦= ― 𝑥2 +𝑏有两个相异
的反自变量𝑥1，𝑥2，且𝑥1 < 2 < 𝑥2，则b 的取值范围是（ ）
A．𝑏> 2
B．𝑏> 3
C．𝑏>
1
4
D．―
1
4 < 𝑏< 2
【题型3】一元二次方程的根与系数的关系
【典题1】
（2024·四川遂宁·中考真题）已知关于𝑥的一元二次方程𝑥2 ― (𝑚+ 2)𝑥+ 𝑚― 1 = 0．
(1)求证：无论𝑚取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为𝑥1,𝑥2，且𝑥2
1 + 𝑥2
2 ― 𝑥1𝑥2 = 9，求𝑚的值．
【典题2】（2024·四川内江·中考真题）已知关于𝑥的一元二次方程𝑥2 ―𝑝𝑥+ 1 = 0（𝑝为常数）
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有两个不相等的实数根𝑥1和𝑥2．
(1)填空：𝑥1 + 𝑥2 = ________，𝑥1𝑥2 = ________；
(2)求
1
𝑥1 +
1
𝑥2，𝑥1 +
1
𝑥1；
(3)已知𝑥2
1 + 𝑥2
2 = 2𝑝+ 1，求𝑝的值．
【巩固练习】
1.（2023·广东清远·二模）对于一元二次方程2𝑥2 ―3𝑥+ 1 = 0，下列说法不正确的是（ ）
A．根的判别式Δ > 0
B．两根之和为
3
2
C．两根之积为
1
2
D．方程的解𝑥1 = ―1，𝑥2 = 2
2.（2024·贵州铜仁·一模）已知关于x 的方程𝑥2 + (𝑚― 1)𝑥― 2 = 0的两实数根为𝑥1，𝑥2，若
𝑥1𝑥2 ― 𝑥1 ― 𝑥2 = 2，则𝑚的值为（ ）
A．1
B．―5
C．3
D．5
3.（2024·四川乐山·中考真题）若关于x 的一元二次方程𝑥2 +2𝑥+ 𝑝= 0两根为𝑥1、𝑥2，且
1
𝑥1 +
1
𝑥2 = 3，则p 的值为（ ）
A．―
2
3
B．
2
3
C．―6
D．6
4.（2024·湖北武汉·模拟预测）已知a，b 分别为方程𝑥2 ―2𝑥― 𝑐= 0的两个不相等的实数根，
则1
𝑎+ 1
𝑏⋅
𝑎𝑏
(𝑎―𝑏)2+4𝑎𝑏值为（ ）
A．
1
4
B．
1
2
C．2
D．4
5.（2024·湖北武汉·模拟预测）已知方程𝑥2 ―2024𝑥+ 1 = 0的两根分别为𝑥1，𝑥2，则𝑥2
1 ―
2024
𝑥2
的值为（ ）
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A．1
B．―1
C．2024
D．―2024
6.（2024·山东烟台·中考真题）若一元二次方程2𝑥2 ―4𝑥― 1 = 0的两根为m，n，则3𝑚2 ―4𝑚+
𝑛2的值为
．
7.（2023·浙江宁波·模拟预测）已知实数𝑚，𝑛满足3𝑚2 +5𝑚― 3 = 0，3𝑛2 ―5𝑛― 3 = 0．且
𝑚𝑛≠1，则
1
𝑛2 +
𝑚
𝑛―
5
3𝑚 的值为
．
8.（2023·河南商丘·模拟预测）已知关于𝑥的方程𝑥2 ―(2 + 3𝑚)𝑥+ 2𝑚2 +5𝑚― 4 = 0．
(1)求证：无论𝑚为何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若该方程的两个实数根恰好为斜边为2 7的直角三角形的两直角边长，求𝑚的值．
9.（2024·广东汕头·二模）如果关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑎≠0)有两个实数根𝑥1，
𝑥2，且|𝑥1 ― 𝑥2| = 1，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程𝑥2 ―𝑥= 0的
两个根是𝑥1 = 0，𝑥2 = 1，|0 ― 1| = 1，则方程𝑥2 ―𝑥= 0是“邻近根方程”．
(1)判断方程2𝑥2 ―6 3𝑥+ 13 = 0是否是“邻近根方程”；
(2)若关于𝑥的方程2𝑥2 +𝑏𝑥+ 𝑐= 0(𝑏，𝑐是常数）是“邻近根方程”，求3𝑏2 ―4𝑐2的最大值．
【题型4】解一元二次方程
【典题1】）按指定的方法解下列方程：
(1)
1
2(2𝑥― 1)2 ―32 = 0（直接开平方法）；
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(2)3𝑥2 +4𝑥+ 1 = 0（配方法）；
(3)𝑥2 ―𝑥― 7 = 0（公式法）；
(4)𝑥2 ―1 = 3𝑥― 3（因式分解法）．
【巩固练习】
1.（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）解方程：𝑥(𝑥― 5) = 3𝑥+ 15
2.（2022·辽宁抚顺·模拟预测）（1）解方程：5𝑥2 ―4𝑥= 1
（2）解方程：2𝑥2 ―4𝑥― 3 = 0
【题型5】 一元二次方程的应用之传播问题
【典题1】 （2023·安徽合肥·三模）如果不防范，病毒的传播速度往往很快，有一种病毒1
人感染后，经过两轮传播，共有361人感染．
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(1)平均每人每轮感染多少人？
(2)第二轮传播后，人们加强防范，使病毒的传播力度减少到原来的𝑎%，这样第三轮传播后
感染的人数只是第二轮传播后感染人数的10倍，求𝑎的值．
【巩固练习】
1.（2023·安徽六安·三模）春季是传染病多发季节．2023 年3 月，我国某地甲型流感病毒传
播速度非常快，开始有1 人被感染，经过两轮传播后，就有256 人患了甲型流感．若每轮传
染的速度相同，求每轮每人传染的人数．
2.（2023·广东阳江·一模）自2023年1月以来，甲流便肆虐横行，成为当前主流流行疾病．某
一小区有1位住户不小心感染了甲流，由于甲流传播感染非常快，小区经过两轮传染后共有
121人患了甲流．
(1)每轮感染中平均一个人传染几人？
(2)如果按照这样的传播速度，经过三轮传染后累计是否超过1500人患了甲流？
【题型6】一元二次方程的应用之数字问题
【典题1】 （2023·山东枣庄·模拟预测）第十四届国际数学教育大会(𝐼𝐶𝑀𝐸― 14)会徽的主
题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古
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代的计数符号写出的八进制数3745.八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基
本数字，八进制数3745换算成十进制数是3 × 83 +7 × 82 +4 × 81 +5 × 80 = 2021，表示
𝐼𝐶𝑀𝐸― 14的举办年份．
(1)请把八进制数3747换算成十进制数；
(2)小华设计了一个𝑛进制数265，换算成十进制数是145，求𝑛的值（𝑛为正整数）．
【巩固练习】
1.（2024·山西朔州·三模）“五一国际劳动节”是世界上80多个国家的全国性节日，中国中央
人民政府政务院于1949年12月作出决定，将5 月1 日确定为“劳动节”．如图是2024年5 月
的月历表，用一个方框在表中圈出六个数（如图所示），若圈出的六个数中，最小的数与最
大的数的乘积为136，求这个最小的数（请用方程知识解答）．
2.（2019·河北张家口·二模）发现：四个连续的整数的积加上1是一个整数的平方．
验证：(1)3 × 4 × 5 × 6 + 1的结果是哪个数的平方？
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(2)设四个连续的整数分别为𝑛― 1,𝑛,𝑛+ 1,𝑛+ 2，试证明他们的积加上1是一个整数的平方；
延伸：(3)有三个连续的整数，前两个整数的平方和等于第三个数的平方，试求出这三个整
数分别是多少．
【题型7】一元二次方程的应用之销售问题
【典题1】（2023·辽宁丹东·中考真题）某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市
每天购进一批成本价为每千克4 元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7 元的价格销
售．当每千克售价为5 元时，每天售出大米950kg；当每千克售价为6 元时，每天售出大米
900kg，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量𝑦(kg)与每千克售价𝑥（元）满足一次
函数关系．
(1)请直接写出y 与x 的函数关系式；
(2)超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800 元？
(3)当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？
【巩固练习】
1.（2024·辽宁·中考真题）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量𝑦（件）与每件
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售价𝑥（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
每件售价𝑥/元
⋅⋅⋅
45
55
65
⋅⋅⋅
日销售量𝑦/件
⋅⋅⋅
55
45
35
⋅⋅⋅
(1)求𝑦与𝑥之间的函数关系式（不要求写出自变量𝑥的取值范围）；
(2)该商品日销售额能否达到2600元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由．
2.（2024·山东烟台·中考真题）每年5 月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技
助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，
每辆轮椅盈利200 元时，每天可售出60 辆；单价每降低10 元，每天可多售出4 辆．公司决
定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180 元，设每辆轮椅降价x 元，
每天的销售利润为y 元．
(1)求y 与x 的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多
少元？
(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160 元，请问这天售出了多少辆轮椅？
【题型8】 一元二次方程的应用之工程问题
【典题1】 （2022·重庆·一模）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长
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5000 米．甲，乙分别从桥梁两端向中间施工．计划每天各施工5 米，因地质情况不同，两
支队伍每合格完成1 米桥梁施工所需成本不一样．甲每合格完成1 米桥梁施工成本为10 万
元，乙每合格完成1 米桥梁施工成本为12 万．
(1)若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的
6
5，求甲最多施工多少米．
(2)实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都
发生变化，甲每合格完成1 米隧道施工成本增加a 万元时，则每天可多挖
1
6𝑎米．乙在施工成
本不变的情况下，比计划每天少挖
2
9𝑎米．若最终每天实际总成本在少于150 万的情况下比计
划多(7𝑎― 12)万元．求a 的值．
【巩固练习】
1.（2023·重庆开州·一模）某工程队采用A，B 两种设备同时对长度为3600 米的公路进行施
工改造．原计划A 型设备每小时铺设路面比B 型设备的2 倍多30 米，则30 小时恰好完成
改造任务．
(1)求A 型设备每小时铺设的路面长度；
(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600 米多了750 米．在实际施工中，B 型设
备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了(𝑚+ 25)小时，同时，A 型设备的铺路速
度比原计划每小时下降了3m 米，而使用时间增加了m 小时，求m 的值．
2.（2022·重庆·一模）某公司主营铁路建设施工．
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(1)原计划今年一季度施工里程包括平地施工，隧道施工和桥梁施工共146 千米，其中平地
施工106 千米，隧道施工至少是桥梁施工的9 倍，那么，原计划今年一季度，桥梁施工最多
是多少千米？
(2)到今年3 月底，施工里程刚好按原计划完成，且桥梁施工的里程数正好是原计划的最大
值，已知一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本之比1：3：10，总成本为254
亿元，预计二季度平地施工里程会减少7a 千米，隧道施工里程会减少2a 千米，桥梁施工里
程会增加a 千米，其中平地施工，隧道施工每千米的成本与一季度持平，桥梁施工每千米的
成本将会增加
1
2a 亿元，若二季度总成本与一季度相同，求a 的值．
【题型9】一元二次方程的应用之图表信息问题
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【典题1】 （2019·河北唐山·二模）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，
如图是2019 年1 月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中
去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：9 × 11 ― 3 × 17 = 48，
13 × 15 ― 7 × 21 = 48．不难发现，结果都是48．
（1）请证明发现的规律；
（2）若用一个如图所示菱形框，再框出5 个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出
这5 个数中的最大数；
（3）嘉琪说：她用一个如图所示菱形框，框出5 个数字，其中最小数与最大数的积是95，
直接判断他的说法是否正确（不必叙述理由）．
【巩固练习】
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1.（2020·山西临汾·模拟预测）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图
是2019 年1 月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分将每个菱形框部分中去掉中
间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：9 × 11 ― 3 × 17 = 48，
13 × 15 ― 7 × 21 = 48．不难发现，结果都是48．
（1）请证明发现的规律；
（2）若用一个如图所示菱形框，再框出5 个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出
这5 个数的最大数；
（3）小明说：他用一个如图所示菱形框，框出5 个数字，其中最小数与最大数的积是
120．直接判断他的说法是否正确．（不必叙述理由）
【题型10】一元二次方程的应用之动态几何问题
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【典题1】（2022·广东湛江·三模）在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，𝐴𝐶= 20cm，𝐵𝐶= 15cm，现
有动点𝑃从点𝐴出发，沿𝐴𝐶向点𝐶方向运动，动点𝑄从点𝐶出发，沿线段𝐶𝐵也向点𝐵方向运动，
如果点𝑃的速度是4cm/s，点𝑄的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端
点时，就停止运动．设运动时间为𝑡秒．
(1)求𝑡为多少秒时，△𝐶𝑃𝑄的面积为为24cm2
(2)当𝑡为多少时，以点𝐶，𝑃，𝑄为顶点的三角形与△𝐴𝐵𝐶相似.
【巩固练习】
1.（2023·贵州黔东南·一模）如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，AC = 8 m，𝐵𝐶= 6 m，点
𝑃由𝐶点出发以2m/s的速度向终点𝐴匀速移动，同时点𝑄由点𝐵出发以1m/s的速度向终点𝐶匀速
移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动．
(1)当点𝑃移动时间为2秒时，△𝑃𝐶𝑄的面积为多少？
(2)点𝑃移动多少秒时，△𝑃𝐶𝑄的面积为8m2？
(3)在点𝑃、𝑄的运动过程中，△𝑃𝐶𝑄的面积是否会达到10m2？为什么？
2.（2023·河北廊坊·三模）在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 3cm，𝐵𝐶= 4cm，点𝑃从点𝐴出发沿𝐴𝐵边
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以1cm/s的速度向点𝐵移动（点𝑃可以与点𝐵重合），同时，点𝑄从点𝐵出发沿𝐵𝐶以2cm/s的速度
向点𝐶移动（点𝑄可以与点𝐶重合），其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时
间为𝑡秒．
(1)如图1，几秒后，𝑃𝑄的长度等于3cm?
(2)如图1，几秒后，△𝐵𝑃𝑄的面积等于四边形𝐴𝐵𝐶𝐷面积的
1
6?
(3)若以𝑄为圆心，𝑃𝑄为半径作⊙𝑄．如图2，若⊙𝑄与四边形𝐶𝐷𝑃𝑄的边有三个公共点，则
𝑡的取值范围为_____．（直接写出结果，不需说明理由）
