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第二十一章 一元二次方程 重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用 0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
一、选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程中，一定是关于 的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，
然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
【详解】解：A、该方程含有分式，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、该方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、该方程 中，当 时，没有二次项，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．
故选：D．
2．（23-24八年级下·广西百色·期中）一元二次方程 的两根为 ， ，则 的值为
（ ）
A．3 B． C．5 D．
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，直接利用一元二次方程的根与系数的关系即可得解．
【详解】解：∵一元二次方程 的两根为 ， ，
∴ ，
故选：B．
3．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）用配方法解方程 ，下列配方正确的是( )A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，根据配方法进行计算即可求解．
【详解】解： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
4．（2024·山东济宁·一模）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经
销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为21万元，5月份售价为18万元．设该款汽车
这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用．首先根据3月份售价为21万元，月均下降率是 可得出4
月份的售价为 万元，5月份的售价为 万元，据此根据5月份售价为18万元可
列出方程，进而可得出答案．
【详解】解： 月份售价为21万元，月均下降率是 ，5月份售价为18万元，
．
故选：D．
5．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，在 中， 于点E， ，
，且a是一元二次方程 的根，则 的周长为（ ）
A． B． C．10 D．【答案】A
【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，以及用因式分解法解一元二次方程，是基础知识要熟
练掌握．先解方程求得 ，再根据勾股定理求得 ，从而计算出 的周长即可．
【详解】解： 是一元二次方程 的根，
，
即 ，
解得， 或 （不合题意，舍去）．
∴ ， ，
在 中， ，
，
的周长 ．
故选：A．
6．（2024·四川南充·中考真题）当 时，一次函数 有最大值6，则实数m的值为
（ ）
A． 或0 B．0或1 C． 或 D． 或1
【答案】A
【分析】本题主要考查了一次函数的性质，以及解一元二次方程，分两种情况，当 时和当
，根据一次函数性质列出关于m的一元二次方程，求解即可得出答案．
【详解】解：当 即 时，一次函数y随x的增大而增大，
∴当 时， ，
即 ，
整理得：
解得： 或 （舍去）
当 即 时，一次函数y随x的增大而减小，
∴当 时， ，
即 ，
整理得：解得： 或 （舍去）
综上， 或 ，
故选：A
7．（2024·河南周口·三模）已知实数m，现甲、乙、丙、丁四人对关于x的方程( 讨
论如下，则下列判断正确的是（ ）
甲：该方程一定是关于x 乙：该方程有可能是关于 丙：当 时，该方 丁：当 时，该方
的一元二次方程 x的一元二次方程 程没有实数根 程有两个实数根
A．甲和丙说得对 B．甲和丁说得对 C．乙和丙说得对 D．乙和丁说得对
【答案】D
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程 的根与 有如下关系：当
时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程无实数根．
根据一元二次方程的定义对甲和乙的说法进行判断；根据根的判别式的意义对丙和丁的说法进行判断．
【详解】解：当 时，方程( 变形为 ，此时方程为一元一次方程，所以甲
的判断错误；
当 时，方程 为一元二次方程，所以乙的判断正确；
∵ ，
若 ，则 ，
∴该方程有两个不相等的实数根，
∴丙的判定错误；
∴ ，
则 ，
∴该方程有两个相等的实数根，
∴丁的判定正确.
故选D
8．（2024·江苏南京·二模）若关于 的方程 的两根之和为p，两根之积为q，则关于y
的方程 的两根之积是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查根与系数的关系，设关于 的方程 的两个根为 ，得到
，换元法，得到 的两个根为 ，再进行求解即可．
【详解】解：设关于 的方程 的两个根为 ，则： ，
∴关于y的方程 的两根为 ，
∴ ；
故选A．
9．（2024·天津河西·一模）把一根长为 的绳子剪成两段，并把每一段绳子都围成一个正方形，如图
所示，有以下结论：
①当 的长是 时， 的长为 ；
②这两个正方形的面积之和可以是 ；
③这两个正方形的面积之和可以是 ．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】①利用 的长 （绳子的长度 的长） ，即可求出 的长；②假设这两个正方形的面
积之和可以是 ，设 的长为 ，则 的长为 ，根据这两个正方形的面积
之和是 ，可列出关于 的一元二次方程，由根的判别式 ，可得出原方程没有实数根，进而
可得出假设不成立，即这两个正方形的面积之和不能是 ；③假设这两个正方形的面积之和可以是
，设 的长为 ，则 的长为 ，根据这两个正方形的面积之和是
，解之可得出 的值，结合 ，可得出假设成立，即这两个正方形的面积之和可以是 ．
本题考查了一元二次方程的应用、根的判别式以及正方形的性质，找准等量关系，正确列出一元二次方程
是解题的关键．
【详解】解：①当 的长是 时， 的长是 ，结论①正确；
②假设这两个正方形的面积之和可以是 ，
设 的长为 ，则 的长为 ，
根据题意得： ，
整理得： ，
，
原方程没有实数根，
假设不成立，即这两个正方形的面积之和不能是 ，结论②不正确；
③假设这两个正方形的面积之和可以是 ，
设 的长为 ，则 的长为 ，
根据题意得： ，
整理得： ，
解得： ， ，
，
符合题意，
假设成立，即这两个正方形的面积之和可以是 ，结论③正确．
正确的结论有2个．
故选：C．
10．（23-24九年级上·重庆江北·阶段练习）下列结论①当 时，若 ，则 ；②
无论x取任何实数，等式 都恒成立，则 ；③若 ，
，则 ；④满足 的整数解 共有12个．正确的个
数有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】①将 代入代数式，计算即可；②提出来公因式 ，可求得结果；③两方程相加，令 ，
可求得有两个值；④根据题意可得 ，列出整式解即可．
【详解】解：①当 时，
即 ，
则 或 ，
即 或 ，
故①错误；
② ，
即 ，
则 或 ，
∵ 取任何实数都成立，
∴ ，
∴ ，
故②正确；
③两式相加可得： ，
则 ，
合并可得： ，
令 ，可得 ，
解得 或 ，
即 或 与原说法矛盾，
故③错误；
④ ，即 ，
∴ ，
整数解有： 共13个，
故④错误；
∴正确的个数有1个，
故选：A．
【点睛】本题考查了整式的加减、二元一次不等式的解、完全平方公式、一元二次方程的解，解题的关键
是熟练掌握相关运算法则以及灵活运用完全平方公式．
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
11．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）若一元二次方程 有一个根为2，则另一根为
．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的
关键．
由一元二次方程 有一个根为2，另一根为 ，可得 ，计算求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程 有一个根为2，另一根为 ，
∴ ，
解得， ，
故答案为： ．
12．（2024·重庆·中考真题）重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行
了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架次
的平均增长率为 ，根据题意，可列方程为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为
，则第二季度低空飞行航线安全运行了 架次，第三季度低空飞行航线安全运行了 架
次，据此列出方程即可．【详解】解：设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为 ，
由题意得， ，
故答案为： ．
13．（2024·湖南长沙·三模）已知关于 的一元二次方程 的两个实数根分别为 和 ，则
的值为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若 ， 为方程 的两个根，则
， 与系数的关系式： ， ．由题意知， ， ，代入求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：6．
14．（2024·福建·模拟预测）已知 为方程 的根，那么 的值为
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义；将方程的根代入方程，化简得 ，将代数式
变形，整体代入求值即可．
【详解】∵ 为方程 的根，
∴ ，
∴ ，
∴原式
．故答案为： ．
15．（2024·山东滨州·三模）若一个菱形的两条对角线长分别是关于 的一元二次方程 的两
个实数根，且其面积为24，则该菱形的边长为 ．
【答案】5
【分析】设菱形的两条对角线长分别为a、b，利用根与系数的关系及对角线与菱形面积的关系得等式，再
根据菱形的边长与对角线的关系求出菱形的边长．
【详解】解：设菱形的两条对角线长分别为a、b，
由题意得： ，
∵菱形面积为24，
∴ ，解得： ，
∴菱形的边长为
，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了根与系数的关系及菱形的性质，掌握菱形对角线与菱形的面积、边长间的关系，
根与系数的关系及等式的变形是解决本题的关键．
16．（2024·四川广元·三模）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股
定理的证明．如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，
若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，则 ．【答案】2
【分析】本题考查勾股定理、解一元二次方程，设 ， ，根据题意得到关于b的一元二次方程，
然后解方程即可．
【详解】解：由题意，设 ， ，则 ，
∵大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，
∴ ， ，即 ，
∴ ，则 ，
解得 或 （舍去），
则 ，
故答案为：2．
17．（23-24九年级上·四川成都·期中）已知m、n、6分别是等腰三角形的三边长，且m、n是关于x的一
元二次方程 的两根，则k的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，一元二次方程根的判别式，分两种情况讨论： 为底边或 为腰，
依次代入计算，即可解答，根据题意，注意无法组成三角形的情况，是解题的关键．
【详解】解：当 为底边时，则 ，
即关于x的一元二次方程 的两根相等，
，
解得 ，
当 时，可得方程 ，解得 ，等腰三角形的三边长为 ，符合题意；
当 为腰时，则 其中有一个为6，
将 代入 ，可得 ，
解得 ，
当 时，可得方程 ，
解得 ，
无法组成三角形，
该种情况，不符合题意，
综上所述， ，
故答案为：1．
18．（2024九年级·全国·竞赛）若关于 的一元二次方程 至少有一个整数根，且
为正整数，则满足条件的 共有 个．
【答案】3
【分析】若一元二次方程至少有一个整数根，则根的判别式 ，建立关于a的不等式，求出
根的判别式和a的取值范围．还要注意二次项系数不为0．再根据根的判别式是完全平方数进行求解即可．
本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别
式以及根与系数的关系是解本题的关键．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有整数根，
∴ 且 ，
解得 且 ，
∴方程的根为 ，
根据根与系数的关系可得 ， ，且 为正整数，
∴ ，
∵ 为完全平方数且 为正整数，
∴ 或 或 ，解得 或6或13，
即满足条件的 共有3个，
故答案为：3．
三、解答题（8小题，共64分）
19．（浙江省杭州市保俶塔实验学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题）解方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适方法解一元二次方程是解题的关键．
（1）利用配方法或公式法解一元二次方程即可；
（2）先移项，再利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解： ，
移项，得： ，
配方，得： ，
即 ，
开方，得 ，
∴ ， ；
（2） ，
移项，得： ，因式分解，得 ，
∴ 或 ，
∴ ， ．
20．（23-24九年级下·辽宁鞍山·期中）已知 ，求代数式 的值．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，利用配方法将原式变形后，把 的值代入计算即可求解，掌握
配方法是解题的关键．
【详解】解：
．
．
．
21．（2024·江苏泰州·二模）随着新能源电动汽车的快速增加，某市正在快速推进全市电动汽车的充电桩
建设，已知到2023年底，该市约有 万个充电桩，根据规划到2025年底，全市的充电桩数量将会达到
万个，则从2023年底到2025年底，该市充电桩数量的年平均增长率为多少？
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该市充电桩数量的年平均增长率为 ，根据题意列出一元二
次方程，解方程，即可求解．
【详解】设该市充电桩数量的年平均增长率为 ，可列方程：
解得 ， （舍去）
答：该市充电桩数量的年平均增长率为 ．
22．（23-24八年级下·山东济宁·期中）如图，要修建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长为18米），
其余三边用竹篱笆，篱笆的总长度为35米，围成长方形鸡场的四周不能有空隙．(1)若要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各应为多少米？
(2)围成鸡场的面积能达到160平方米吗？如果能，写出计算过程，如果不能，说明理由．
【答案】(1)鸡场的长为15米，宽为10米
(2)不能
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，
列出方程是解题的关键，注意宽的取值范围．
（1）先设养鸡场的宽为 ，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，求出x的值即可，注意x要符
合题意；
（2）先设养鸡场的宽为 ，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，根据根的判别式的值，即可得
出答案．
【详解】（1）解：设养鸡场的宽为 ，根据题意得：
，
解得： ，
当 时， ，
当 时， ，（舍去），
则养鸡场的宽是 ，长为 ．
（2）解：设养鸡场的宽为xm，根据题意得：
，
整理得： ，
，
∵方程没有实数根，
∴围成养鸡场的面积不能达到160平方米．23．（2024·安徽芜湖·三模）用相同规格的黑、白两种颜色的正方形按如图所示的方式铺成图形．
(1)铺第4个图形需要黑色正方形_________块，白色正方形_________块．
(2)按照此方式，铺第n个图形需要黑色正方形_________块，白色正方形__________块．（用含 的代数式
表示）
(3)若第 个图形中黑色正方形数量的4倍等于白色正方形数量的平方，请求出 的值．
【答案】(1)17；10
(2) ；
(3)2
【分析】本题考查了图形的变化规律，仔细观察图形，总结出变化规律是解题的关键．
（1）根据图形即可解答；
（2）由图可知，黑色正方形依次增加4个，白色正方形依次增加2个，即可解答；
（3）根据（2）可得第 个图形中有 块黑色正方形，有 块白色正方形，再建立方程求解，
即可解答．
【详解】（1）解：根据题意可得：
铺第4个图形用黑色正方形 块，用白色正方形 块，
（2）解：由图可知，黑色正方形依次增加4个，白色正方形依次增加2个，
∴铺第 个图形用黑色正方形 块，用白色正方形 块，
（3）解：由（2）可得：第 个图形中有 块黑色正方形，有 块白色正方形，
∴ ，
∴ ，
解得 （不符合题意的根舍去）．24．（2024·四川南充·中考真题）已知 ， 是关于 的方程 的两个不相等的实数根．
(1)求 的取值范围．
(2)若 ，且 ， ， 都是整数，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数范围、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方
程根的情况与判别式的关系是解题的关键．
（1）根据“ ， 是关于 的方程 的两个不相等的实数根”，则 ，得出关于
的不等式求解即可；
（2）根据 ，结合（1）所求 的取值范围，得出整数 的值有 ， ， ，分别计算讨论整数 的不同
取值时，方程 的两个实数根 ， 是否符合都是整数，选择符合情况的整数 的值
即可．
【详解】（1）解：∵ ， 是关于 的方程 的两个不相等的实数根，
∴ ，
∴ ，
解得： ；
（2）解：∵ ，由（1）得 ，
∴ ，
∴整数 的值有 ， ， ，
当 时，方程为 ，
解得： ， （都是整数，此情况符合题意）；
当 时，方程为 ，
解得： （不是整数，此情况不符合题意）；
当 时，方程为 ，解得： （不是整数，此情况不符合题意）；
综上所述， 的值为 ．
25．（2024八年级下·浙江·专题练习）附加题
(1)试用一元二次方程的求根公式，探索方程 的两根互为相反数的条件是 ．
(2)已知 、 为实数， ，则 ．
(3)在直角梯形 中， ， 度， ， ， ，动点 从点 出发，沿
线段 方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点 从点 出发，在线段 以每秒1个单位长度的速度
向点 运动．点 、 分别从点 、 同时出发，当点 运动到点 时，点 随之停止运动，设运动时间
为 秒．
①设 的面积为 ，求 和 之间的函数关系式；
②当 为何值时，以 、 、 三点为顶点的三角形是等腰三角形？（分类讨论）
【答案】(1) ，且 ， 异号
(2)
(3)① ；② 或 ， 、 、 三点为顶点三角形是等腰三角形
【分析】本题考查了根与系数的关系；根式和完全平方式的意义；三角形面积公式及勾股定理的应用．
（1）根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和等于 ，可求出 ；
（2）先将原式变形为 ，再根据二次根式与平方都是非负数，即可求得 ， ，即
可求得 ．（3）①作 ，则 ，根据三角形的面积公式 即可求解．
②若以 、 、 三顶为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：第一种： ；第二种：
；第三种：若 ．根据勾股定理可求得 或 ， 、 、 三点为顶点三角形是等腰
三角形．
【详解】（1）解：依题意可知： ，
．
并且判别式△ ，则 ， 异号．
故方程 的两根互为相反数的条件是： ，且 ， 异号．
故答案为： ，且 异号；
（2）解： ，
即 ，
， ，
， ，
．
故答案为： ；
（3）解：①作 ，垂足为 ．则四边形 为矩形．
，
．②由①可知 ， ，
若以 、 、 三顶为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：
第一种： ，在 中，
则 ，解 ．
第二种： ，在 中， ，
则 ，
整理得 ，
∵ ，
∴方程无实根，
．
第三种：若 ，由 得 ，解得 ， （舍去）
综上可知： 或 ， 、 、 三点为顶点三角形是等腰三角形．
26．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）阅读材料：
材料1：法国数学家弗朗索瓦·书达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，
提出一元二次方程 （ ， ）的两根x，x 有如下的关系（韦达定理）：
1 2
， ；
材料2：如果实数m、n满足 、 ，且 ，则可利用根的定义构造一元二次方程
，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题．
请根据上述材料解决下面问题：
(1)若实数a，b满足： ， 则 _______， _______；
(2)若 是方程 两个不等实数根，且满足 ，求k的值；(3)已知实数m、n、t满足： ， ，且 ，求 的取值范
围．
【答案】(1)
(2) 或
(3)
【分析】本题考查根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键：
（1）根据题意，得到实数a，b是方程 的两个根，根据根与系数的关系进行求解即可；
（2）根据根与系数的关系，得到 ，进而得到 ，代入 ，求出 的值，再根
据根与系数的关系，进行求解即可；
（3）构造一元二次方程 ，得到 是它的两个实数根，得到 ，将
进行配方，求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得a，b是方程 的两个根，
∴ ；
故答案为： ；
（2）由题意，得： ， ，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；当 时， ，解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
综上： 或 ；
（3）∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 是一元二次方程 的两个实数根， ，
∴ ，
∴
；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∴．
