文档内容
【考试时间：2024年11月5日14：15—16：15】
高中 2024 级学生学业发展指导（文化学科）测评
数学
本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组
成，共4页：答题卡共6页．满分150分，测试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用 0.5毫米黑色墨水签字笔填写清楚，同时
用2B铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内．
2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后
再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，案超出答
题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
3．考试结束后将答题卡收回．
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
.
1 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据交集的定义可求 .
【详解】 ，
故选：C
2. 若 ，则下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D【解析】
【分析】利用反例可判断ABC的正误，利用不等式的性质可判断D的正误.
【详解】取 ，则 ， ，故AC错误；
取 ，则 ，故B错误；
对于D，由不等式的性质可得 成立，故D正确；
故选：D.
3. 设函数 则 （ ）
A. 12 B. 10 C. 5 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据题设条件求出 后可求 .
【详解】 ，
故选：B
4. 已知命题 ，若命题 是假命题，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. 或 D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先求命题 为真命题时 的取值范围，再求其补集.
【详解】若命题 为真命题，则 ，解得： 或 ，
所以当命题 为假命题时， 得到取值范围是 .
故选：A
5. 下列函数中，是偶函数，且在 上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.【答案】A
【解析】
【分析】根据偶函数的定义及幂函数的性质逐项判断后可得正确的选项.
【详解】对于A，设 ，则 ，
故 为 上偶函数，而 在 为增函数，
故A正确；
对于B，设 ，则 ，故 为 上奇函数，故B错误；
对于C， 在 上为减函数，故C错误；
对于D， ，该函数为反比例函数，为 上的奇函数，
故D错误；
故选：A.
6. 函数 的图象不可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】讨论 ， 和 三种情况，讨论函数类型，即可判断函数的图象.
【详解】当 时， ， ，为A的图象；
当 时， 为对勾函数，为B图象；
当 时， ，函数的零点是 ，函数的单调递增区间是 和 ，为C图象；不管 为何值，都不可能是D的图象.
故选：D
7. 某公园有如图所示一块直角三角形空地，直角边 ．现欲建一个如图的内接矩形花园
，点 在斜边 上（不包括端点），则花园 的面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
的
【分析】利用基本不等式可求面积 最大值.
【详解】设 ，则 ，
因为 ，所以 ，解得 ，其中 ，
所以花园 的面积为 ，
当且仅当 即 时等号成立，
故花园 的面积的最大值为 ，
故选：B.
8. 已知函数 ，对任意 ，使得关于 的不等式 成立，则实数
的取值范围是（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先判断函数 的单调性，不等式转化为 ，结合函数的单调性，利用
参变分离，转化为函数的最值问题，即可求解.
【详解】 ，在区间 和 都是增函数，且 ，
所以函数在 上单调递增，
且 ，
所以不等式 ，
即 ，在 恒成立，
即 ， 恒成立，即 ，得 或 .
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数 ，下面有关结论正确的有（ ）
A. 定义域为 B. 函数 在 上的值域为
C. 在 上单调递增 D. 函数 的图象关于 轴对称
【答案】AB
【解析】
【分析】根据反例可判断BC的正误，求出函数的定义域后可判断A的正误，判断函数的单调性求出函数
的值域后可判断D的正误.【详解】因为 ，故其定义域为 ，故A正确；
而 ， ，故 在 上不 是单调递增，
故C错误，
而 ，故函数 的图象关于 轴对称，故D错误；
又当 时，因 均为增函数，故 在 上为增函数，
故其值域为 ，故B正确.
故选：AB.
10. 下列叙述中正确的是（ ）
A. “ ”是“ ”的充分不必要条件
B. 命题“ ”的否定是“ ”
C. “ ”的一个必要不充分条件是“ ”
D. 集合 中只有一个元素的充要条件是
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于ACD，根据各选项中条件之间的推出关系可判断它们的条件关系，根据存在性命题的否定的
结构形式可判断B的正误，从而可得正确的选项.
【详解】对于A，当 时，由 ，而 ， 成立，但 不成立，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，故A正确；
对于B，命题“ ”的否定是“ ”，故B正确；对于C，若 ，则 ，故 成立，
若 ， 成立，但 ，
故“ ”的一个必要不充分条件是“ ”，故C成立；
对于D，若 ，则 ，
集合 中只有一个元素推不出 ，
但 时， ，该集合为单元素集合，
故集合 中只有一个元素的充分不必要条件是 ，
故D错误，
故选：ABC.
11. 高斯是著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．设 ，用 表示不超过
的最大整数， 也被称为“高斯函数”，例如： ， ．已知函数 ，
下列说法中正确的是（ ）
.
A 若 ，则
B. 方程 在区间 上有4个实数根
C. 函数 在 上单调递增
D. ，都有
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，根据高斯函数的定义可得 ，故可判断A的正误，对于B，分段讨论后可判断其正误，对于C，利用反例可判断其正误，结合A的范围及高斯函数的定义可判断其正误.
【详解】对于A，因为[x]表示不超过 的最大整，故 ，
故 ，所以 ， ，
，所以 ，故A正确；
对于B，当 时， ，此时 的解为 ；
当 时， ，此时 的解为 ；
当 时， ，此时 的解为 ；
当 时， ，此时 的解为 ；
当 时， ， 不是 的解，
故方程 在区间 上有4个实数根，故B正确；
对于C， ，
故 在(0,+∞)上不是单调递增，故C错误；
对于D，由A的分析可得 ，故 ，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】思路点睛：对于函数新定义题，应根据新定义研究函数的性质，必要时需分段讨论.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数 的定义域为______．【答案】
【解析】
【分析】根据具体函数的形式，列不等式，即可求解.
【详解】函数的定义域需满足 ，解得： ，且 ，
所以函数的定义域是 .
故答案为：
13. 已知 是定义在 上的奇函数，若 ，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】利用奇函数的性质计算可求得 的值.
【详解】因为 ， ，所以 ，
又因为 是定义在 上的奇函数，所以 ，
又 ，所以 ，解得 .
故答案为： .
14. 若关于 的方程 有四个不同的实数根，则实数 的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】把原方程 的解转化为 在(0,+∞)上有两个不同的正数解，利用判别式及韦达
定理可求参数的范围.
【详解】令 ，则 ，则原方程可化为 ，因为关于 的方程 有四个不同的实数根，
故 在(0,+∞)上有两个不同的正数解，
故 ，解得 .
故答案为： .
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 设集合 ．
（1）若 ，求 ；
（2）若“ ”是“ ”的充分不必要条件，求 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出结合 ，根据补集并集的定义可求 .
（2）根据条件关系可得集合的包含关系，从而得到关于 的不等式组，求出其解后可得 的取值范围．
【小问1详解】
当 时， ，而 ，
故 .
【小问2详解】
因为“ ”是“ ”的充分不必要条件，故 是 的真子集，故 ，故 .
16. 已知幂函数 的图象关于 轴对称，且 在 上单调递增．
（1）求 的值及函数 的解析式；
（2）若 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ， .
（2） 或 .
【解析】
【分析】（1）根据单调性可得 ，再根据奇偶性可得 ，从而得到函数解析式；
（2）根据单调性和奇偶性可得 ，解该不等式可得实数 的取值范围．
【小问1详解】
因为 在 上单调递增，故 即 ，
而 为整数，故 ，
因为幂函数 的图象关于 轴对称，
故 为偶数，故 ，此时 .
【小问2详解】
因为 ，故 ，
所以 ，所以 或 .
17. 已知 ，且 ．
（1）若 ，求 的最小值及此时相应 的值；（2）若 ，求 的最小值，并求出此时 的值．
【答案】（1） 的最小值为 ，此时 .
（2） 的最小值为 ，此时 .
【解析】
【分析】（1）根据基本不等式求得 ，故可求其 的最小值及对应的 的值；
（2）利用“1”的代换结合基本不等式可求 的最小值及对应的 的值，从而可求原代数式的最
小值.
【小问1详解】
因为 ，所以 ，
当 或 （舍），故 ，当且 等号成立，
故 的最小值为 ，此时 .
【小问2详解】
因为 ，
故 ，
又 ，故 ，
当且仅当 时等号成立，
而 ，
故 的最小值为 ，此时 .
18. 某文旅公司设计文创作品，批量生产并在旅游景区进行售卖．经市场调研发现，若在旅游季在文创作品 的 原 材 料 上 多 投 入 万 元 ， 文 创 作 品 的 销 售 量 可 增 加 千 个 ， 其 中
每千个的销售价格为 万元，另外每生产1千个产品还需要投入其他成本
0.5万元．
（1）求该文旅公司在旅游季增加的利润 与 （单位：万元）之间的函数关系；
（2）当 为多少万元时，该公司在旅游季增加的利润最大？最大为多少万元？
【答案】（1）
（2）当 （万元）时，该公司在旅游季增加的利润最大，最大为 万元.
【解析】
【分析】（1）由利润公式，结合 与 的函数关系式，分段写出函数解析式；
（2）根据（1）的结果，分段求函数的最值，再比较即可求解.
【小问1详解】
本季度增加的利润 ，
当 时， ，
当 时， ，
所以该公司增加的利润 与 （单位：万元）之间的函数关系式为 ；
【小问2详解】
，当 时， ，
当 ，即 时，等号成立，
当 时， 是减函数，当 时，取得最大值16，
因为 ，所以当 （万元）时，该公司在旅游季增加的利润最大，最大为 万元.
19. 定义在 上的函数 满足：对任意 ，都存在唯一 ，使得 ，
则称函数 是“ 型函数”（其中 ）．
（1）判断 是否为“ 型函数”？并说明理由；
（2）是否存在实数 ，使得函数 是“ 型函数”，若存在，求出 的取值范围；
若不存在，请说明理由；
（3）若函数 是“ 型函数”，求实数 的取值范围．
【答案】（1） 不是“ 型函数”
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）分别求函数在 和 时函数值的范围，再结合定义，即可判断；
（2）根据 的定义域求 的取值范围，结合“ 型函数”的定义以及函数的单调性求得 的取值范
围；（3）对 进行分类讨论，根据函数的单调性分别求两段函数的范围，再结合“ 型函数”的定义，即可
求解.
【小问1详解】
函数 ，当 时， ，当 时， ，
当 时， ，不存在 ，使 ，
所以 不是“ 型函数”；
【小问2详解】
首先函数 的定义域为 ，则 ，得 ，
由复合函数单调性可知，函数 在 单调递减，在区间 单调递增，
所以只需 对任意 恒成立即可，
所以 ；
【小问3详解】
函数 是“ 型函数”，
当 时， 在 上单调递增， ，
而 ，要使 存在且唯一，则有 ，解得： ，
所以 ，
当 时， 在 单调递减，在 单调递增，所以 ，
而 ，要使 存在且唯一，则有 ，设 ，即 ，解得 ，
解得：
所以 .
【点睛】关键点点睛：本题的关键1是理解新定义，理解新定义的关键词：任意，存在唯一，关键2是理
解每一问出现的函数，以及函数图象.
