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第二十二章 二次函数
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式
学习目标：1.会用待定系数法求二次函数的解析式.
2.会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题.
重点：会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题.
难点：会用待定系数法求二次函数的解析式.
自主学习
一、知识链接
1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的解析式？
2.求一次函数解析式的方法是什么？它的一般步骤是什么？
课堂探究
二、要点探究
探究点1：用一般式法求二次函数的解析式
问题1 （1）由几个点的坐标可以确定二次函数？这几个点应满足什么条件？
（2）如果一个二次函数的图象经过（-1，10 ），（1，4），（2，7）三点，能求出这个
二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式.
想一想
确定二次函数的这三点应满足什么条件？
典例精析
例1 一个二次函数的图象经过 (0，1)、(2，4)、(3，10)三点，求这个二次函数的解析式.归纳总结： 一般式法求二次函数解析式的方法
已知三点求二次函数解析式的方法叫做一般式法.其步骤是：
①设函数解析式为y=ax2+bx+c；
②代入已知的三点的坐标后得到一个三元一次方程组；
③解方程组得到a，b，c的值；
④把待定系数用所求得的值换掉，写出函数解析式.
练一练
下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分，试求出这个二次函数的解析式.
x －3 －2 －1 0 1 2
y 0 1 0 －3 －8 －15
探究点2：用顶点法求二次函数的解析式
试一试
已知二次函数y=a(x-1)2+4的图象经过点(-1，0)．求这个二次函数的解析式.
例2 一个二次函数的图象经点(0，1)，它的顶点坐标为(8，9)，求这个二次函数的解析式.
归纳总结：顶点法求二次函数的方法
这种知道抛物线的顶点坐标，求解析式的方法叫做顶点法.其步骤是：
①设函数解析式是y=a(x－h)2+k；
②先代入顶点坐标，得到只含一个参数a的解析式；
③将另一点的坐标代入解析式求出a的值；
④将a用所求得的值换掉，写出函数解析式.
练一练
已知一个二次函数有最大值4，当x＞5时，y随x的增大而减小；当x＜5时，y随x的增大
而增大，且该函数图象经过点(2，1)，求该函数的解析式．
探究点3：交点法求二次函数的解析式
问题 选取(－3，0)，(－1，0)，(0，－3)，试出这个二次函数的解析式.归纳总结：交点法求二次函数解析式的方法
这种已知抛物线与x轴的交点，求解析式的方法叫做交点法.其步骤是：
①设函数解析式是y=a(x－x)(x－x)(其中x， x 分别是两交点的横坐标)；
1 2 1 2
②讲抛物线经过的第三点的坐标代入到解析式中，得到关于 a 的一元一次方程；
③解方程得出 a 值；
④将a用所求得的数值换掉，写出函数解析式.
例3 分别求出满足下列条件的二次函数的解析式．
（1）图象经过点A(1，0)，B(0，-3)，对称轴是直线x=2；
（2）图象顶点坐标是(-2，3)，且过点(1，-3)；
（3）如图，图象经过A，B，C三点．
三、课堂小结
已知条件
所选方法
已知三点坐标
用一般式法：y=ax2+bx+c
待定系数法求二次
函数解析式
已知顶点坐标或对称轴或最值
用顶点法：y=a(x－h)2+k
用交点法：y=a(x－x)(x－x)
已知抛物线与x轴的两个交点 1 2
(x，x 为与x轴交点的横坐标)
1 2
当堂检测1.如图，平面直角坐标系中，函数图象的解析式应是 .
2.若抛物线过点(2，4)，且当x=1时，y有最值为6，则其解析式是 .
3.已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)．求这个二次函数的解析式．
4.已知抛物线与x轴相交于点A(－1，0)，B(1，0)，且过点M(0，1)，求此函数的解析式．
5.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(－4，－3)，与y轴交于点B，对称轴是x＝－3，请解
答下列问题：
(1)求抛物线的解析式；
(2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD＝8，求
△BCD的面积．
参考答案
自主学习
知识链接1.2个 2个
2.(1)设：（解析式） (2)代：（坐标代入） (3)解：方程（组）(4)还原：（写解析式）
课堂探究
二、要点探究
探究点1：用一般式法求二次函数的解析式
问题 （1）3个 由两点 (连线不与坐标轴垂直) 的坐标，可以确定一次函数的解析式；
类似地，由三点 (不在同一条直线上) 的坐标，可以确定二次函数的解析式.
（2）解：设所求二次函数的解析式为 y=ax2+bx+c.由已知，图象经过（-1，10 ），（1，
4），（2，7）三点，得关于a，b，c的三元一次方程组 解得
所求二次函数解析式为y=2x2-3x+5.
想一想
任意三点不在同一直线上(其中两点的连线可垂直于 y 轴，但不可以垂直于 x 轴).
典例精析
例1 解： 设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c，由于这个函数经过点(0，1)，可得
c=1.
又由于其图象经过(2，4)、(3，10)两点，可得 解得 ∴所求的二
次函数的解析式是
练一练 解： 设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c，把（-3，0），（-1，0），（0，-
3）代入y=ax2+bx+c得 解得 ∴所求的二次函数的解析式是y=-x2-4x-3.
探究点2：用顶点法求二次函数的解析式
试一试 解：把（-1，0）代入二次函数解析式得4a+4=0，即a=-1，则函数解析式为y=-
(x-1)2+4即y = −x2 +2x+3.
例2 解： 因为这个二次函数的图象的顶点坐标为(8，9)，因此，可以设函数解析式为
=a(x-8)2+9.又由于它的图象经过点（0，1），可得1=a(0-8)2+9.解得a= ∴所求的二次函
y
数的解析式是 y= 即
练一练 解：由题意得，二次函数 的顶点坐标为（5，4），设关系式为y=a(x-5)2+4，把(2，
1) 代 入 得 ， 1=9a+4 ， 解 得 a= ∴ 二 次 函 数 的 关 系 式 为 y=
探究点3：用交点法求二次函数的解析式
问题：解：∵(-3，0)、(-1，0)是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.所以可设这个二次函数的
解析式是y=a(x-x)(x-x).其中x 、x 为交点的横坐标.因此得y=a(x+3)(x+1).再把点（0，-3）
1 2 1 2
代入上式得a(0+3)(0+1)=-3，解得a=-1，∴所求的二次函数的解析式是y=-(x+3)(x+1),即
y=-x2-4x-3.例3 解：（1）∵图象经过点A(1，0)，对称轴是直线x=2，∴图象经过另一点(3，0).∴设
该二次函数的解析式为y=a(x-1)(x-3).将点(0，-3)代入，得-3=a·(-1)(-3).解得a=-1.∴该二次
函数的解析式为y=-(x-1)(x-3)=-x2+4x-3.
（2） -2，3)，且经过点(1，-3)，设抛物线的解析式为y=a(x+2)2+3，
解：∵图象的顶点为(
把(1，-3)代入，得a(1+2)2+3=-3，解得a= ∴抛物线的解析式为y=
即为
（3）根据图象可知抛物线y=ax2+bx+c经过A（-1，0），B（0，-3），C（4，5）三点，代
入可得 解得 ∴所求的二次函数的解析式是y=x2-2x-3.
当堂检测
1. 2.y = -2x2 +4x+4
3.解：设这个二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c．依题意得 解得 ∴
这个二次函数的解析式为y＝2x2＋3x－4.
4.解：因为点A(－1，0)，B(1，0)是图象与x轴的交点，所以设二次函数的解析式为y＝a(x
＋1)(x－1)．又因为抛物线过点M(0，1)，所以1＝a(0＋1)(0－1)，解得a＝－1，所以所求
抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－1)，即y＝－x2＋1.
5.解：(1)把点A(－4，－3)代入y＝x2＋bx＋c得16－4b＋c＝－3，c－4b＝－19.∵对称轴是x
＝－3，∴ ＝－3，∴b＝6，∴c＝5，∴抛物线的解析式是y＝x2＋6x＋5.
(2)∵CD∥x轴，∴点C与点D关于x＝－3对称．∵点C在对称轴左侧，且CD＝8，∴点C
的横坐标为－7，∴点 C 的纵坐标为(－7)2＋6×(－7)＋5＝12.∵点B的坐标为(0，5)，
∴△BCD中CD边上的高为12－5＝7，∴S ＝ ×8×7＝28.
△BCD
