25.2.3因式分解法（分层作业）（原卷版）_2026秋初中教辅合集_2027学科网&_2026秋《同步备课系列》9上数学_第二十五章一元二次方程_题型专练

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分层作业
25.2.3 因式分解法
目录
A 组巩固过关
题型01 因式分解法解一元二次方程
题型02 换元法解一元二次方程
题型03 选择适当方法解一元二次方程
B 组能力进阶
C 组思维拔高
拓展链接中考
题型01
因式分解法解一元二次方程
1．方程


2
3
4
0
x
x



的根是__________．
2．
（北京市昌平区2025－2026 学年第二学期初二年级期末质量抽测数学（第一组））一元二次方程
2
2
0
x
x


的解为_________．
3．（25-26 八年级下·安徽合肥·期末）用适当的方法解方程：
2
4
12
0
x
x



．
4．（25-26 八年级下·安徽池州·期末）解方程：
(1)
2
2
5
x
x


．
(2)
2
2
2
4
x
x
x



5．（24-25 九年级上·安徽淮南·期末）解下列方程：
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(1)
2
4
5
0
x
x


(2)



2
2
4
5
2
x
x



题型02
换元法解一元二次方程
6．（25-26 九年级上·贵州贵阳·阶段检测）若关于x 的一元二次方程


2
5
0
0
ax
bx
a




有一根为
2025
x 
，
则一元二次方程

2
2
2
5
a x
bx
b



有一个根为（
）
A．2021
B．2023
C．2025
D．2027
7．（25-26 八年级下·安徽滁州·期末）已知实数a，b 满足


2
2
2
2
2
2
3
10
a
b
a
b




，则
2
2
2
a
b

的值为（
）
A．5 或2

B．5
或2
C．5
D．2
8．（24-25 八年级下·上海·阶段检测）用换元法解方程
1
3
2
1
x
x
x
x



时，设
1
x
y
x


，则原方程可化为关于
y 的方程是（
）
A．
2
2
3
0
y
y



B．
2
2
3
0
y
y



C．
2
2
3
0
y
y



D．
2
2
3
0
y
y



9．（25-26 九年级上·江苏常州·阶段检测）关于x 的方程

2
0
a x
m
b



的解是
1
2
x ，
2
4
x （a 、b 、m
均为常数，
0
a 
），则方程
2
(
1)
0
a x
m
b




的解是______．
10．（24-25 九年级上·河南商丘·期中）已知(
)(
4)
12
a
b a
b




，那么式子(
)
a
b

的值为：____________．
题型03
选择适当方法解一元二次方程
11．（2026·安徽·模拟预测）解方程：
2
8
15
x
x


．
12．（25-26 八年级下·浙江温州·期中）选择适当的方法解下列方程：
(1)
2
2
3
0
x
x


；
(2)
2
4
3
0
x
x


．
13．（24-25 九年级上·江苏南京·期中）解方程：
(1)
2
6
4
0
x
x



(2)
(
)
3
2
4
2
x x
x



．
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14．（25-26 八年级下·浙江·期中）用适当的方法解下列方程：
(1)
2
4
1
0
x
x


(2) 



2
2
9
3
4
2
x
x



15．用适当的方法解下列方程．
(1)3 (
1)
1
x x
x


(2)
2
2
5
0
x
x



16．给定实数,x y ，满足
0
xy 
，若
2
2
3
2
8
0
x
xy
y



，则,x y 之间的关系是_____．
17．（25-26 八年级下·江苏泰州·期末）关于x 的方程


2
6
5
5
0
x
m
x
m




．
(1)求证：不论m 取何值，方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根小于3，求m 的取值范围．
18．（25-26 八年级下·安徽马鞍山·期末）已知关于x 的一元二次方程


2
5
0
0
ax
bx
a




．
(1)若
5
0
a
b

，则方程必有一个根为________．
(2)若a，b 满足
1
4
0
a
b



，求一元二次方程的根．
19．（25-26 八年级下·安徽合肥·期末）【观察思考】如图，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．
【规律发现】
(1)第⑥个图案中“●”的个数为________个；
(2)第①个图案中“○”的个数可表示为1 2
2

，第②个图案中“○”的个数可表示为2 3
2
´
，第③个图案中“○”的个数
可表示为3 4
2

，第④个图案中“○”的个数可表示为4 5
2
，…，第n 个图案中“○”的个数可表示为________；
【规律应用】
(3)按照此规律继续摆下去，第n 个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的2.5 倍，求n 的值．
20．（25-26 八年级下·安徽滁州·期末）阅读材料：
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为解方程


2
2
2
(
1)
5
1
4
0
x
x





，我们可以将

2
1
x 
视为一个整体，然后设
2
1
x
y

，则
2
2
2
(
1)
x
y


，
原方程可化为
2
5
4
0
y
y



，①
解得
1
4
y 
，
2
1
y ．
当
4
y 
时，
2
1
4
x 
，
2
5
x


，
5
x

．
当
1
y 时，
2
1 1
x ，
2
2
x


，
2
x

．
原方程的解为
1
2
x 
，
2
2
x 
，
3
5
x 
，
4
5
x 
．
以上方法就叫换元法，体现了转化的思想．
请仿照材料解决问题：
(1)解方程：
2
2
2
(
2 )
5
10
6
0
x
x
x
x





．
(2)若四个连续正整数的积为120，求出这四个连续的正整数．
21．（25-26 九年级上·山东德州·阶段检测）如果关于x 的一元二次方程


2
0
0
ax
bx
c
a




有两个实数根，
且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程
2
0
x
x


的两个根是
1
0
x 
，
2
1
x ，则方程
2
0
x
x


是“邻根方程”．下列方程是邻根方程的是（
）．
A．
2
2
1
0
x
x


B．
2
2
3
4
0
x
x



C．
2
1
0
x 
D．
2
2
2 3
1
0
x
x


22．（25-26 八年级上·上海徐汇·期中）我们称一元二次方程的两个根差的绝对值为两个根的距离，若关于x
的方程


2
0
x
mx
n



的两根距离为3，则3
m
n
m

=_______
23．已知关于x 的一元二次方程
2
(
1)
2
0
x
m
x
m





．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若该方程仅有一个根是负数，求m 的取值范围．
24．（25-26 八年级上·上海·期中）阅读下面的材料，回答问题．
解方程
4
2
5
4
0
x
x



．
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这是一个一元四次方程，由这个方程的特点，可以采用“换元法”起到降次的目的，将其转化成一元二次方程
求解，它的解法如下：
解：设
2x
y

，那么
4
2
x
y

，于是原方程可变为
2
5
4
0
y
y



，解得
1
1
y ，
2
4
y 
．
当
1
y 时，
2
1
x ，
1
x
；
当
4
y 
时，
2
4
x 
，
2
x
；
所以，原方程有四个根，分别为
1
1
x ，
2
1
x ，
3
2
x 
，
4
2
x ．
请运用以上方法回答问题：已知


2
2
6
1
6
7
7
x
x
x
x





，求x 的值为_____．
25．（25-26 八年级下·浙江宁波·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分
通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合
非负数的意义来解决一些问题．先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题．
例：求代数式
2
4
6
y
y


的最小值．
解：


2
2
2
4
6
4
4
2
2
2
y
y
y
y
y









．
因为

2
2
0
y 

，所以

2
2
2
2
y 


，所以
2
4
6
y
y


的最小值是2 ．
(1)代数式
2
4
3
x
x


的最小值为．
(2)关于x 的二次多项式
2
2
4
2
6
x
ax
a
a



（a 为常数）有最小值为9
，求常数a 的值．
(3)已知实数x ，y 满足
2
7
3
0
2
x
x
y





，求
2
x
y

的最大值．
26．（25-26 九年级上·湖北襄阳·阶段检测）定义：如果关于x 的一元二次方程
2
0
ax
bx
c



（
0
a 
）有两
个实数根，且其中一个根比另个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”
(1)下列方程是“邻根方程”的是_________（填序号）
①
2
6
x
x

；②
2
3
2
0
x
x



；③
2
1
0
49
x 

；④
2
5
6
x
x

．
(2)若方程
2
2
1
0
x
x
k



是“邻根方程”，
1x ，
2x 是方程的两根，求：请求出k 的值．
(3)若
2
(
)
0
a x
m
b


（a ，m ，b 均为常数，
0
a 
）是关于x 的“邻根方程”，则方程
2
(
4)
a x
m


b
是“邻
根方程”吗？若是，请求出它的根；若不是，请说明理由．
27．（25-26 八年级下·安徽淮北·期末）已知不等边ABC的三条边分别为BC
a

，AC
b

，AB
c

．
(1)若
2
a
c
b

，求b
c
a
b


的值；
(2)已知D 为BC 边上一点，连接AD ，若ABD 与ACD的周长相等，求BD的长；
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(3)若关于x 的一元二次方程





2
0
a b x
c
a x
b c






有两个相等的实数根，且2
2
a
b
c


，求证：ABC
为直角三角形．
28．
（2026·山东·中考真题）若关于x 的一元二次方程(
2)(
)
0
x
x
m



的一个根是10，则另一个根是________．
29．（2026·江苏连云港·中考真题）解方程
1
8
8
x x
x


．
30．（2026·山东德州·中考真题）探究小组发现了日历中的数学奥秘．规定如下：在日历中选取某月，任意
框出3 3
的方格即“九宫格”，九宫格中心位置的数称为“中心数”，请完成以下探究任务．
星期日
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
A
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
n
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
C
D
28
29
30
(1)如图，若九宫格的中心数为n ，四个角的数字分别是A 、B 、C 、D ．
①用含n 的式子表示A ；
②探究B C
A D



是否为定值，请证明：
(2)若框选出的九宫格的中心数是方程
2
13
22
0
x
x



的根，求九宫格中最大的数．