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第3讲 二次函数与一元二次不等式
第1课时 二次函数及其性质
复习要点 1.掌握二次函数的图象与性质.2.能用二次函数、一元二次方程、一元二次
不等式之间的关系解决简单问题．
二次函数及其性质
1．二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( a ≠0) ．
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为 ( m ， n ) ．
零点式：f(x)＝a(x－x)(x－x)(a≠0)，x，x 为f(x)的零点．
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2．二次函数的图象与性质
f(x)＝ax2
a>0 a<0
＋bx＋c
图象
定义域 R
值域
单调性 在上单调递减；在上单调递增 在上单调递增；在上单调递减
奇偶性 当b＝0时，为偶函数；当b≠0时，既不是奇函数也不是偶函数
①对称轴：x＝－；
图象特点
②顶点坐标：
常/用/结/论
设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，闭区间为[m，n]．
(1)当－≤m时，最小值为f(m)，最大值为f(n)；
(2)当m<－≤时，最小值为f，最大值为f(n)；
(3)当<－≤n时，最小值为f，最大值为f(m)；
(4)当－>n时，最小值为f(n)，最大值为f(m)．
二次函数在闭区间[m，n]上最大值的讨论，分两种情况进行讨论：
(ⅰ)(ⅱ)
最小值的讨论，分三种情况进行讨论．
1．判断下列结论是否正确．
(1)函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有2个交点．()
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当c＝0时，图象过原点．(√)
(3)函数y＝ax2＋c的图象关于y轴对称．(√)
(4)二次函数y＝2(x－1)2＋3的图象顶点坐标为(－1,3)．()2．若一次函数y＝ax＋b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2＋bx(a≠0)
的图象只可能是( )
解析：因为一次函数y＝ax＋b的图象经过第二、三、四象限，所以a＜0，b＜0，所以
二次函数的图象开口向下，对称轴方程x＝－＜0.只有选项C符合，故选C．
答案：C
3．若函数y＝x2－2tx＋3在[1，＋∞)上为增函数，则t的取值范围是________．
解析：函数y＝x2－2tx＋3的图象开口向上，以直线x＝t为对称轴．又函数y＝x2－2tx
＋3在[1，＋∞)上为增函数，则t≤1.
答案：(－∞，1]
4．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R，a≠0)，x∈R，若函数f(x)的最小值为f(－
1)＝0，则f(x)＝________.
解析：设函数f(x)的解析式为f(x)＝a(x＋1)2＝ax2＋2ax＋a(a≠0)，又f(x)＝ax2＋bx＋1，
所以a＝1，故f(x)＝x2＋2x＋1.
答案：x2＋2x＋1
题型 二次函数解析式的求解技巧
典例1已知二次函数f(x)满足 f (2) ＝－ 1 ， f ( － 1) ＝－ 1 ，且 f ( x ) 的最大值是 8 ，
① ② ③
三个条件转化为三个方程．
则此二次函数的解析式为________．
解析：方法一(一般式)：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意，得解得
所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
方法二(顶点式)：设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
因为 f (2) ＝ f ( － 1) ，
透露出对称轴x＝m＝.
所以抛物线的对称轴为x＝＝.
所以m＝.
又根据题意 函数有最大值 8 ，所以 n ＝ 8 ，
开口向下，且顶点纵坐标n＝8.
所以f(x)＝a2＋8.
因为f(2)＝－1，所以a2＋8＝－1，
解得a＝－4，所以f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.
方法三(两根式)：由已知，得f(x)＋1＝0的两根为x＝2，x＝－1，
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故可设 f ( x ) ＋ 1 ＝ a ( x － 2)( x ＋ 1)( a ≠0) ，
这是两点式的巧妙运用，利用了f(x)＝－1的两个根为2和－1，从而构造出f(x)＋1的
两点式形式．
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数的最大值是8，即＝8，解得a＝－4，
所以所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.故答案为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：
对点练1已知函数f(x)＝x2＋bx＋c，且g(x)＝f(x)＋2x为偶函数，再从条件①、条件②、
条件③中选择一个作为已知，求f(x)的解析式．
条件①：函数f(x)在区间[－2,2]上的最大值为5；
条件②：函数f(x)≤0的解集为{1}；
条件③：方程f(x)＝0有两根x，x，且x＋x＝10.
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注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
解：函数f(x)＝x2＋bx＋c，则g(x)＝f(x)＋2x＝x2＋(b＋2)x＋c，
因为g(x)为偶函数，所以g(－x)＝g(x)，
即x2－(b＋2)x＋c＝x2＋(b＋2)x＋c，可得b＝－2，
所以f(x)＝x2－2x＋c，图象开口向上，对称轴为直线x＝1.
若选条件①，因为函数f(x)在区间[－2,2]上的最大值为5，所以f(－2)＝4＋4＋c＝5，
解得c＝－3.
所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3.
若选条件②，由函数f(x)≤0的解集为{1}，
可得f(1)＝0，即1－2＋c＝0，解得c＝1，
所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x＋1.
若选条件③，方程f(x)＝0有两根x，x，且x＋x＝10.
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由根与系数的关系，得x＋x＝2，xx＝c，
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又(x＋x)2＝x＋x＋2xx，
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所以4＝10＋2c，解得c＝－3.
所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3.题型 探究二次函数的图象和单调性
典例2(1)设abc＞0，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )
(2)已知二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0,2]上是增函数，若f(a)≥f(0)，则
实数a的取值范围是( )
A．[0，＋∞)
B．(－∞，0]
C．[0,4]
D．(－∞，0]∪[4，＋∞)
解析：(1)若a＞0，b＜0，c＜0，则函数图象的对称轴为直线x＝－＞0，函数f(x)的图
象与y轴的交点(0，c)在x轴下方．故D符合．故选D．
(2)由 f (2 ＋ x ) ＝ f (2 － x ) 可知，函数f(x)图象的对称轴为直线x＝＝2，
代数特点，转化为图形特点，即对称轴方程为x＝2.
又函数f(x)在[0,2]上是增函数，所以由f(a)≥f(0)可得0≤a≤4.故选C．
二次函数的图象与对称性
(1)研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析．“三点”中有一个点是顶点，
另外两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与 x轴的交点；“一线”是指对称
轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向．
(2)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依
据其图象的对称轴、开口方向进行分类讨论．
对点练2(1)(多选)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则( )
A．b＝－2a B．a＋b＋c＜0
C．a－b＋c＞0 D．abc＜0
(2)(2024·河北唐山模拟)设函数f(x)＝x2＋x＋a(a＞0)．已知f(m)＜0，则( )
A．f(m＋1)≥0B．f(m＋1)≤0
C．f(m＋1)＞0
D．f(m＋1)＜0
解析：(1)根据题图中函数图象的对称轴为x＝－＝1可得b＝－2a，A正确；当x＝1时，
y＝a＋b＋c＞0，B错误；当x＝－1时，y＝a－b＋c＜0，C错误；因为抛物线开口向下，
所以a＜0，b＝－2a＞0，当x＝0时，y＝c＞0，故abc＜0，D正确．
(2)因为f(x)图象的对称轴为x＝－，f(0)＝a＞0，所以f(x)的大致图象如图所示，设图象
与x轴交点的横坐标分别为x，x，且x＜x.
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由f(m)＜0，得－1＜x＜m＜x＜0，所以m＋1＞0，所以f(m＋1)＞f(0)＞0.
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答案：(1)AD (2)C
题型 有关二次函数的值域问题
典例3(1) 求 y ＝ x 2 ＋ 4 x － 2 ， x ∈ [ － 6 ，－ 3] 的值域．
确定值域，主要确定其最值，因此单调性很重要，二次函数则关心对称轴和区间的关
系．
(2)(2024·福建福州模拟)已知二次函数f(x)＝ax2－x＋2a－1.若a＞0，设函数 f ( x ) 在区间
[1,2] 上的最小值为 g ( a ) ，求g(a)的表达式．
依据对称轴和区间的三种情形，讨论三次最小值.或或
解：(1)配方，得y＝(x＋2)2－6.
因为x∈[－6，－3]，
所以当x＝－3时，y ＝－5；
min
当x＝－6时，y ＝10.
max
故函数的值域是[－5,10]．
(2)①当0＜＜1，即a＞时，f(x)在区间[1,2]上单调递增，此时g(a)＝f(1)＝3a－2.
②当1≤≤2，即≤a≤时，f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，此时 g(a)＝f＝2a
－－1.
③当＞2，即0＜a＜时，f(x)在区间[1,2]上单调递减，此时g(a)＝f(2)＝6a－3.
综上所述，
g(a)＝
求二次函数最值问题的类型
轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．不论哪种类型，解题的关键都是对称轴
之所以“动”，是因为参数出现的位置不同. 若参数出现在对称轴，则轴动；若参数
出现于区间端点，则区间动. 在运动过程中，思考单调性，确定最值点．
与区间的位置关系．当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．对点练3已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a的值．
解：f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.
当a＝0时，函数f(x)在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；
当a＞0时，函数f(x)在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝；
当a＜0时，函数f(x)在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝
－3.综上可知，a的值为或－3.
