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分层作业
25.1 一元二次方程的概念
目录
A 组巩固过关
题型01 一元二次方程的定义
题型02 化成一元二次方程的一般形式
题型03 判断一元二次方程的解
题型04 由一元二次方程的定义求参数
题型05 由一元二次方程的解求参数
B 组能力进阶
C 组思维拔高
拓展链接中考
题型01
一元二次方程的定义
1．（26-27 九年级·全国·暑假作业）下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（
）
A．2
3
4
x
B．
2
0
ax
bx
c
C．
2
1
0
x
mx
D．
2024
x
y
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足三个条件：只含一个未知数，未知数的最高
次数为2，是整式方程，逐个验证选项即可．
【详解】解：∵选项A：2
3
4
x
中未知数的最高次数为1，是一元一次方程，∴A 不符合要求；
∵选项B：
2
0
ax
bx
c
未说明
0
a
，当
0
a
时，方程不是一元二次方程，∴B 不符合要求；
∵选项C：
2
1
0
x
mx
只含一个未知数x ，未知数的最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的
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定义，∴C 符合要求；
∵选项D：
2024
x
y
含有两个未知数，是二元一次方程，∴D 不符合要求．
2．（25-26 八年级下·湖南长沙·阶段检测）在下列方程中，属于一元二次方程的是（
）．
A．
2
2
1
0
x
y
B．
2
2
3
x
x
C．
2
1
1
x
x
D．
2
1
2
x x
x
【答案】B
【详解】选项A 中方程含有x 和y 两个未知数，不符合一元二次方程定义，所以A 不符合题意；
选项B 中方程整理为
2
3
2
0
x
x
，只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二
次方程定义，所以B 符合题意；
选项C 中方程含1
x ，分母含有未知数，不是整式方程，不符合一元二次方程定义，所以C 不符合题意；
选项D 中方程展开化简得
2
1
2
x x
x
x
，即
2
x
，是一元一次方程，不符合一元二次方程定义，
所以D 不符合题意．
3．（26-27 九年级·江苏·暑假作业）下列方程，是一元二次方程的有_________________________
①
2
3
20
x
x
，②
2
2
3
4
0
x
xy
，③
2
1
4
x
x
，④
2
0
x
．
【答案】①④/④①
【详解】解：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2 的整式方程是一元二次方程．
①
2
3
20
x
x
，只含有一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义；
②
2
2
3
4
0
x
xy
，含有x 和y 两个未知数，不符合一元二次方程的定义；
③
2
1
4
x
x
，分母中含有未知数，不符合一元二次方程的定义；
④
2
0
x
，只含有一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义；
综上所述，是一元二次方程的有①④．
题型02
化成一元二次方程的一般形式
4．（25-26 八年级下·浙江宁波·期末）将一元二次方程2
(
3)
3
x
x x
化为一般形式，正确
．．的是（
）
A．
2
5
3
x
x
B．
2
5
3
x
x
C．
2
5
3
0
x
x
D．
2
5
1
0
x
x
【答案】C
【分析】一元二次方程的一般形式为
2
0
0
ax
bx
c
a
，只需展开原式，移项合并同类项即可得到结果
【详解】解：原方程为
2
3
3
x
x x
，
∵展开方程左边，得
2
2
3
3
x
x
x
，
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合并同类项得
2
5
3
x
x
，
移项整理为一般形式，两边同乘1
得
2
5
3
0
x
x
5．（25-26 八年级下·安徽合肥·期中）将一元二次方程
2
2
(
)
(
5
3
2)
x
x
x
化为一般形式是(
)
A．
2
5
6
4
x
x
x
B．
2
7
1
0
x
x
C．
2
7
1
0
x
x
D．
2
7
9
0
x
x
【答案】C
【分析】对原方程依次进行去括号、移项、合并同类项，整理得到符合要求的一般形式即可．
【详解】解：∵原方程为
2
5
2 3
2
x
x
x
先去括号，可得
2
5
6
4
x
x
x
将所有项移到等号左侧，移项变号得
2
5
6
4
0
x
x
x
合并同类项得
2
7
1
0
x
x
．
6．
（25-26 八年级下·广西梧州·期中）一元二次方程
2
2
1
x
x
的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（
）
A．1，2，1
B．1，2
，1
C．0 ，2
，1
D．1，2
，1
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程的知识，先将一元二次方程整理为一般形式，一元二次方程的一般形式为
2
0
ax
bx
c
（
0
a
），其中a 是二次项系数，b 是一次项系数，c是常数项.排除二次项系数为0的错误选
项，即可得到结果．
【详解】解：将原方程移项整理为一般形式：原方程为
2 - 2
1
x
x 移项得
2 - 2 -1
0
x
x
，
∴二次项系数为1，一次项系数为2
- ，常数项为-1．
题型03
判断一元二次方程的解
7．（2026·广东珠海·一模）下列选项中是一元二次方程
2
2
3
0
x
x
的解是（
）
A．
1
x
B．
3
x
C．
3
x
D．
2
x
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的解，将题中的一元二次方程通过因式分解得到
3
0
x
或
1
0
x
，解得
x 的值，再对应选项中的值即可．
【详解】解：(
3)(
1)
0
x
x
，
3
0
x
或
1
0
x
，
解得：
3
x
，
1
x ．
故选：C．
8．（26-27 九年级·江苏·暑假作业）下列方程中，有一根为2 的一元二次方程是（
）
A．
2
0
x
B．
3
4
0
x
x
C．
2
4
0
x
D．
2
0.125
x
【答案】C
【详解】解：A、
2
0
x
未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合题意；
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B、
3
4
0
x
x
未知数最高次数为3，不是一元二次方程，不符合题意；
C、
2
4
0
x
符合一元二次方程的定义，将
2
x
代入方程左边得：左边
2
2
4
0
右边，
2
x
是
2
4
0
x
的根，符合题意；
D、
2
0.125
x
即
2
1
0.125
x
，不是一元二次方程，不符合题意．
9．（25-26 八年级下·浙江杭州·阶段检测）如下表是某同学求代数式
2
ax
bx
（a，b 为常数）的值的情况．根
据表格中数据，可知关于x 的方程
2
2
0
ax
bx
的实数根是（
）
x
…
2
1
0
1
2
…
2
ax
bx
…
6
2
0
0
2
…
A．
1
2
x
，
2
3
x
B．
1
1
x ，
2
2
x
C．
1
0
x
，
2
1
x
D．
1
2
x ，
2
3
x
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的根，解题关键是熟练掌握一元二次方程根的定义．
观察表格可得，当
1
x 或
2
x
时，
2
2
ax
bx
，据此即可求解．
【详解】解：由表格可得，当
1
x 或
2
x
时，
2
2
ax
bx
，
∴关于x 的方程
2
2
0
ax
bx
的实数根是
1
1
x ，
2
2
x
．
故选：B．
题型04
由一元二次方程的定义求参数
10．（25-26 八年级下·安徽合肥·期末）若关于x 的方程
1
2
5
0
m
x
x
是一元二次方程，则m ______．
【答案】1
【详解】解：
关于x 的方程
1
2
5
0
m
x
x
是一元二次方程
未知数x 的最高次数为2，可得
1
2
m
解得
1
m ，此时二次项系数为1
0
，符合一元二次方程的定义．
11．（25-26 八年级下·陕西西安·阶段检测）已知关于x 的方程
1
1
3
1
0
k
k
x
x
是一元二次方程，则k 的
值为_____．
【答案】
1
【分析】根据方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是2，二次项系数不
为0 ，像这样的方程叫做一元二次方程，据此解答即可．
【详解】解：
方程
1
1
3
1
0
k
k
x
x
是一元二次方程，
1
2
k
，且
1
0
k
，
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解得
1
k ．
题型05
由一元二次方程的定义求参数
12．（25-26 八年级下·江苏淮安·期末）如果a 是方程
2
2
1
0
x
x
的一个实数根，则
2
2
2026
a
a
的值为
________．
【答案】2027
【分析】根据方程根的定义可推出
2
2
1
a
a
，然后整体代入式子即可解答．
【详解】解：∵a 是方程
2
2
1
0
x
x
的一个实数根，
∴
2
2
1
0
a
a
，
∴
2
2
1
a
a
，
∴
2
2
2026
1
2026
2027
a
a
．
13．（25-26 八年级下·安徽六安·期末）已知a是方程
2
3
2
0
x
x
的一个根，则代数式
2
a
3a
的值为（
）
A．2
B．4
C．1
D．4
或10
【答案】A
【分析】根据方程根的定义，方程的根满足原方程，将a代入原方程变形即可得到所求代数式的值．
【详解】解：∵a 是方程
2
3
2
0
x
x
的一个根，
∴将x
a
代入原方程，得
2
3
2
0
a
a
，
移项得
2
3
2
a
a
，
∴代数式
2
a
3a
的值为2
．
14．（24-25 八年级下·浙江台州·期中）关于x 的一元二次方程
2
2
2
0
kx
k x
的一个解为1，则k ________．
【答案】2
【分析】将已知解
1
x 代入原方程得到关于k 的方程，求解后结合一元二次方程二次项系数不为0 的条件，
确定k 的值．
【详解】解：把
1
x 代入
2
2
2
0
kx
k x
，得
2
2
2
1
1
0
k
k
，
整理得
2
2
0
k
k
，因式分解得
2
0
k k
，
解得
1
0
k
，
2
2
k
，
原方程为一元二次方程，
二次项系数2
0
k
，即
0
k
，
2
k
．
15．（26-27 九年级·浙江·暑假作业）若方程
2
1
x
是关于x 的一元二次方程，则“
”可以是（
）
A．2x
B．
2
2x
C．
23
D．
2y
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【答案】B
【分析】根据一元二次方程的定义，得到“
”是含x 的二次项，进行判断即可.
【详解】解：∵方程
2
1
x
是关于x 的一元二次方程，
∴“
”是含x 的二次项，
∴“
”可以是
2
2x ，其他选项均不能构成一元二次方程.
16．（26-27 九年级·江苏·暑假作业）已知一元二次方程
2
0
ax
bx
c
，a，b ，c满足4
2
0
a
b
c
，
4
2
0
a
b
c
，则一元二次方程
2
0
ax
bx
c
的根为（
）
A．
1
1
x ，
2
2
x
B．
1
1
x ，
2
2
x
C．
1
1
x ，
2
1
x
D．
1
2
x
，
2
2
x
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根是解题的关键．根据当
2
x
时，
4
2
0
a
b
c
；当
2
x
时，4
2
0
a
b
c
作答即可．
【详解】解：∵一元二次方程
2
0
ax
bx
c
，a ，b ，c满足4
2
0
a
b
c
，4
2
0
a
b
c
，
∴当
2
x
时，4
2
0
a
b
c
；当
2
x
时，4
2
0
a
b
c
，
∴方程的根是
1
2
x
，
2
2
x ．
故选：D．
17．
（26-27 九年级·江苏·暑假作业）在一元二次方程
2
0
0
ax
bx
c
a
中，实数a，b，c 满足4
2
0
a
b
c
，
则此方程必有一根为________．
【答案】2
【分析】将
2
x 代入方程求解判断即可．
【详解】解：将
2
x 代入
2
0
ax
bx
c
得，4
2
0
a
b
c
，
此方程必有一根为2
．
18．（26-27 九年级·全国·暑假作业）已知关于x 的一元二次方程
2
2
4
0
x
kx
的一个根为
2
x
，则k 的值为
____．
【答案】6
【分析】根据一元二次方程根的含义，将已知根代入原方程即可求解k 的值．
【详解】把
2
x
代入原方程
2
2
4
0
x
kx
得：
2
2
2
2
4
0
k
，
整理得8
2
4
0
k
，
即2
12
k
，
解得
6
k
．
19．（25-26 九年级上·陕西渭南·期中）请你写出其中一个解为
2
x
的一个一元二次方程______
【答案】
2
2
0
x
x
（答案不唯一）
【分析】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是理解一元二次方程的解的定义，即能使方程左右两
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边相等的未知数的值．
根据一元二次方程解的定义，构造一个含有因式(
2)
x
的一元二次方程即可．
【详解】解：因为一元二次方程的一个解为
2
x
，
所以方程可以构造为(
2)(
)
0
x
x
a
（a为常数）的形式．
例如，取
0
a
，则方程为(
2)
0
x
x
，即
2
2
0
x
x
．
验证：当
2
x
时，左边
2
2
2 2
4
4
0
，右边
0
，左边等于右边，所以
2
x
是该方程的解．
故答案为：
2
2
0
x
x
（答案不唯一）
20．（26-27 九年级·全国·暑假作业）对于一元二次方程
2
0
0
ax
bx
c
a
，下列判断正确的是（
）
A．若x
c
是该方程的一个根，则一定有
1
0
ac
b
成立；
B．若a
c
b
，则方程
2
0
ax
bx
c
有一根为
1
x ；
C．若该方程的解为
2
x
和x
1
3
，则方程
2
0
cx
bx
a
的解是
3
x
或
1
2
x
D．当
0
a
，
0
b
c
，
0
b
c
时，方程一定有实数根；
【答案】D
【分析】A．将x
c
代入方程判断即可；
B．将a
c
b
变为
0
a
b
c
，将
1
x 代入方程可得
0
a
b
c
，即方程有一根为
1
x ；
C．根据解为
2
x
和
1
3
x
可将原方程化为
1
2
0
3
a x
x
，展开后可知
7
3
a
b
，
2
3
a
c
，代入
2
0
cx
bx
a
求解即可；
D．根据不等式的性质得到
0
c
，则4
0
ac
，判断判别式的正负即可．
【详解】解：对选项A：∵x
c
是方程
2
0
0
ax
bx
c
a
的根，代入方程得
2
0
ac
bc
c
，整理得
1
0
c ac
b
，∴
0
c
或
1
0
ac
b
，并非一定满足
1
0
ac
b
，故A 错误．
对选项B：∵a
c
b
，移项得
0
a
b
c
，将
1
x 代入方程得
2
( 1)
1
0
a
b
c
a
b
c
，∴方程有
一根为
1
x ，不是
1
x ，故B 错误．
对选项C：∵原方程
2
0
ax
bx
c
的解为
2
x
和
1
3
x
，则原方程可写为
1
2
0
3
a x
x
，展开得
2
7
2
0
3
3
a
a
ax
x
，即
7
3
a
b
，
2
3
a
c
，代入新方程
2
0
cx
bx
a
得：
2
2
7
0
3
3
a
a
x
x
a
，
0
a
，整理
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得
2
2
7
3
0
x
x
，解得
3
x
或
1
2
x
，与选项结论不符，故C 错误．
对选项D：∵
0
b
c
，
0
b
c
，∴b
c
，可得
0
c
，又∵
0
a
，∴4
0
ac
，方程判别式
2
2
4
4
0
b
ac
b
ac
，∴方程一定有实数根，故D 正确．
21．（2022·山东枣庄·模拟预测）已知a 是方程
2
3
1
0
x
x
的一个根，则
2
2
2
1
9
3
a
a
a
的值是（
）
A．2
B．
5
1
2
C．1
D．1
【答案】D
【分析】根据a 是方程
2
3
1
0
x
x
的一个根，得出
2
3
1
0
a
a
，从而得出
2
3
1
a
a
，再将
2
2
2
1
9
3
a
a
a
变形，然后整体代入求值即可．
【详解】解：∵a 是方程
2
3
1
0
x
x
的一个根，
∴
2
3
1
0
a
a
，即
2
3
1
a
a
，
∴
2
2
2
1
9
3
a
a
a
2
1
3
3
3
a
a
a a
2
3
3
3
3
3
a
a
a a
a
a a
a
2
3
3
3
a
a
a a
a
3
3
3
a
a a
a
1
3
a a
2
1
3
a
a
1
．
22．（25-26 八年级下·福建福州·期末）已知x
a
是方程
2
3
1
0
x
x
的一个根，则代数式
2
3
3
a
a
的值
为________．
【答案】1
3
/ 3
1
【分析】根据一元二次方程的根满足方程得到
2
3
1
a
a
，进而整体代入求值即可．
【详解】解：∵x
a
是方程
2
3
1
0
x
x
的一个根，
∴
2
3
1
0
a
a
，即
2
3
1
a
a
，
∴
2
3
3
1
3
a
a
．
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23．（26-27 九年级·全国·暑假作业）已知关于x 的方程
2
(
)
0
a x
m
b
（a 、b 、m 为常数，
0
a
）的解是
1
2
x
，
2
1
x ，那么方程
2
2
2
(
)
0
a
x
m
b
的解为_______．
【答案】
1
0
x
，
2
3
2
x
【分析】将所求方程变形后，利用整体换元思想，结合已知原方程的解得到关于x 的一次方程，即可求解．
【详解】解：∵
2
2
2
(
)
0
a
x
m
b
，
∴
2
2
2
0
a
x
m
b
，
∵
2
(
)
0
a x
m
b
的解是
1
2
x
，
2
1
x ，
∴2
2
2
x
或2
2
1
x
，
解得
1
0
x
，
2
3
2
x
．
24．
（25-26 八年级下·全国·课后作业）在一元二次方程
2
0
0
ax
bx
c
a
的研究中小明发现4
2
0
a
b
c
，
小红发现9
3
0
a
b
c
，而小刚听完他们的发现后直接说出了方程的两个解，则这个方程的根为__________．
【答案】
1
2
2,
3
x
x
【详解】解：依题意，当
2
x - 时，代入方程左边得：
2
( 2)
2
4
2
a
b
c
a
b
c
，已知4
2
0
a
b
c
，
即左边右边，所以
2
x - 是方程
2
0
0
ax
bx
c
a
的一个解．
当
3
x
时，代入方程左边得：
23
3
9
3
a
b
c
a
b
c
，已知9
3
0
a
b
c
，即左边右边，所以
3
x
是
方程
2
0
0
ax
bx
c
a
的一个解．
所以这个方程的根为
1
2
x - ，
2
3
x
．
25．（2026·黑龙江绥化·三模）若一元二次方程
2
2
1
0
x
x
的两根为m，n，则
2
1
2
m
n
n
m
的值为______．
【答案】3
【分析】本题主要考查一元二次方程根的定义，掌握方程的根满足原方程是解题的关键，先利用根的定义
对所求代数式中的部分式子进行变形，再代入计算即可得到结果．
【详解】解：∵一元二次方程
2 - 2 -1
0
x
x
的两根为m ，n ，
∴由方程根的定义可得，
2
2
1
0
n
n
，即
2
2
1
n
n
，
同理可得，
2
2
1
0
m
m
，
将
0
m
代入方程左边，得1
0
，因此
0
m
，
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将
2
2
1
0
m
m
两边同时除以m ，得
1
2
0
m
m
，整理得
1
2
m
m
，
因此
2
1
2
2
1
3
m
n
n
m
，
故答案为3．
26．（2026·广东广州·三模）已知
2
2
1
3
3
2
A
x
x
x
x
．
(1)化简A ；
(2)若x 为方程
2
2
3
0
x
x
的解，求A 的值．
【答案】(1)
2
3
6
10
x
x
(2)19
【分析】（1）根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项即可得到答案；
（2）根据方程的解的定义得到
2
2
3
x
x
，再根据
2
2
3
6
10
3
2
10
A
x
x
x
x
计算求解即可．
【详解】（1）解：
2
2
1
3
3
2
A
x
x
x
x
2
2
4
4
1
9
2
x
x
x
x
2
2
4
4
1
9
2
x
x
x
x
2
3
6
10
x
x
；
（2）解：∵x 为方程
2
2
3
0
x
x
的解，
∴
2
2
3
0
x
x
，
∴
2
2
3
x
x
，
∴
2
2
3
6
10
3
2
10
3 3 10
9
10
19
A
x
x
x
x
．
27．（26-27 九年级·江苏·暑假作业）定义：方程
2
0
cx
bx
a
是一元二次方程
2
0
ax
bx
c
的倒方程，其
中a，b，c 为常数（且a，
0
c
）．根据此定义解决下列问题：
(1)一元二次方程
2
4
3
1
0
x
x
的“倒方程”是______；
(2)若
1
x 是一元二次方程
2
2
0
x
x
c
的“倒方程”的解，求出c的值；
(3)若m 是一元二次方程
2
6
1
0
x
x
的“倒方程”的一个实数根，则
3
2
6
2025
m
m
m
的值为_____．
【答案】(1)
2
3
4
0
x
x
(2)
3
c
(3)2025
【分析】（1）根据新定义的含义可得答案；
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（2）根据题意得到方程
2
2
0
x
x
c
的倒方程为
2
2
1
0
cx
x
，把
1
x 代入即可得到c 的值；
（3）根据题意得到方程
2
6
1
0
x
x
的倒方程为
2
6
0
x
x
，再结合方程根的定义得到
2
6
0
m
m
，得
到
3
2
6
0
m
m
m
，然后整体代入求解即可．
【详解】（1）解：根据新定义，方程
2
4
3
1
0
x
x
的倒方程是：
2
3
4
0
x
x
；
（2）解：由题知，方程
2
2
0
x
x
c
的倒方程为
2
2
1
0
cx
x
，
将
1
x 代入此方程得，
2
1
0
c
，
解得
3
c ；
（3）解：由题知，一元二次方程
2
6
1
0
x
x
的倒方程是
2
6
0
x
x
，
∵m 是此方程的一个实数根，
∴
2
6
0
m
m
，
∴
3
2
6
0
m
m
m
，
∴
3
2
6
2025
0
2025
2025
m
m
m
．
28．（2026·河南·中考真题）已知
2
x
是关于x 的方程
2
6
x
mx
的一个根，则m 的值为（
）
A．5
B．5
C．1
D．1
【答案】D
【分析】将已知根代入原方程，即可得到关于参数m 的一元一次方程，解出m 即可．
【详解】解：∵
2
x
是方程
2
6
x
mx
的一个根，
∴将
2
x
代入原方程，得
2
2
2
6
m
，
整理得4
2
6
m
，
移项得2
2
m
，
两边同除以2
，得
1
m ．
29．（2026·广东·中考真题）已知方程
2
3
0
x
x
c
的一个根是1，则c _____．
【答案】4
【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程，得到关于c的一元一次方程，求解即可得到c
的值．
【详解】解: 因为1是方程
2
3
0
x
x
c
的根，
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将
1
x 代入方程得：
21
3 1
0
c
，
整理得4
0
c
，
移项得
4
c ．
30．（2026·甘肃天水·中考真题）已知m 是一元二次方程
2
2
3
0
x
x
的一个根，则代数式
2
2
4
m
m
的值是
________________．
【答案】6
【分析】根据一元二次方程根的定义得到
2
2
3
m
m
，再变形所求代数式代入计算即可．
【详解】解：∵m 是一元二次方程
2
2
3
0
x
x
的一个根，
∴
2
2
3
0
m
m
，
∴
2
2
3
m
m
，
∴
2
2
2
4
2
2
2 3
6
m
m
m
m
．
