25.2.2公式法（分层作业）（解析版）_2026秋初中教辅合集_2027学科网&_2026秋《同步备课系列》9上数学_第二十五章一元二次方程_题型专练

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分层作业
25.2.2 公式法
目录
A 组巩固过关
题型01 根据根的判别式判定一元二次方程根的情况
题型02 根据一元二次方程根的情况求参数
题型03 用公式法解一元二次方程
B 组能力进阶
C 组思维拔高
拓展链接中考
题型01
根据根的判别式判定一元二次方程根的情况
1．（25-26 八年级下·安徽合肥·期末）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（
）
A．
2
1
0
x 
B．
2
1
0
x
x



C．
2
2
1
0
x
x


D．
2
4
4
1
0
x
x


【答案】D
【分析】对于一元二次方程


2
0
0
ax
bx
c
a




，当判别式
2
Δ
4
0
b
ac



时，方程有两个相等的实数根，
计算各选项的判别式即可得到结果．
【详解】解：对于一元二次方程


2
0
0
ax
bx
c
a




，
根的判别式为
2
Δ
4
b
ac


，
当Δ
0

时方程有两个相等的实数根，依次计算各选项：
A 选项：方程
2
1
0
x 
中，
1,
0,
1
a
b
c


，
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

2
Δ
0
4 1
1
4
0



，
方程有两个不相等的实数根，不符合要求；
B 选项：方程
2
1
0
x
x


中，
1,
1,
1
a
b
c


，


2
Δ
( 1)
4 1
1
5
0



，
方程有两个不相等的实数根，不符合要求；
C 选项：方程
2
2
1
0
x
x


中，
1,
2,
1
a
b
c


，


2
Δ
( 2)
4 1
1
8
0



，
方程有两个不相等的实数根，不符合要求；
D 选项：方程
2
4
4
1
0
x
x


中，
4,
4,
1
a
b
c


，
2
Δ
4
4
4 1
0


，
方程有两个相等的实数根，符合要求．
2．（25-26 八年级下·浙江宁波·期末）下列关于x 的一元二次方程中有两个不相等的实数根的是（
）
A．
2
1
0
x 
B．
2
2
2
0
x
x



C．
2
2
1
0
x
x


D．
2
2
1
0
x
x


【答案】D
【分析】对于一元二次方程


2
0
0
ax
bx
c
a




，当判别式
2
Δ
4
0
b
ac



时，方程有两个不相等的实数
根，分别计算各选项的判别式即可得到结果．
【详解】解：对选项A，
1,
0,
1
a
b
c


，
2
0
4 1 1
4
0


，方程没有实数根，A 不符合要求．
对选项B，
1,
2,
2
a
b
c
=
=
=
，
2
2
4 1 2
4
8
4
0





，方程没有实数根，B 不符合要求．
对选项C，
1,
2,
1
a
b
c


，
2
Δ
2
4 1 1
0



，方程有两个相等的实数根，C 不符合要求．
对选项D，
1,
2,
1
a
b
c


，


2
2
4 1
1
4
4
8
0





，方程有两个不相等的实数根，D 符合要
求．
3．（25-26 八年级下·安徽合肥·期末）已知关于x 的方程
2
0
ax
bx
c



（
0
a 
），当
2
4
0
ac
b


时，方程的
解为（
）
A．
1
2
b
x
a

，
2
2
b
x
a

B．
1
b
x
a

，
2
b
x
a

C．
1
2
2
b
x
x
a


D．
1
2
2
b
x
x
a


【答案】D
【分析】已知
2
4
0
ac
b


，即判别式为0，方程有两个相等的实数根，通过配方即可得到方程的解．
【详解】解：∵一元二次方程
2
0
ax
bx
c



，
0
a 
，且
2
4
0
ac
b


，
∴
2
4
0
b
ac


，方程有两个相等的实数根．
对原方程配方：
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移项得
2
ax
bx
c

，
两边同除以a 得
2
b
c
x
x
a
a


，
配方得
2
2
2
2
2
4
2
4
4
b
b
c
b
ac
x
a
a
a
a











，
∵
2
4
0
b
ac


，
∴
2
0
2
b
x
a








，
∴
1
2
2
b
x
x
a


．
4．（25-26 八年级下·江苏泰州·期末）关于x 的一元二次方程
2
2
0
x
kx
k




的实数根的情况，下列说法正
确的是（
）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．实数根的个数与k 的取值有关
D．没有实数根
【答案】A
【分析】当Δ
0

时方程有两个不相等的实数根，Δ
0

时有两个相等的实数根，Δ
0

时没有实数根，计算
判别式并判断其符号即可得到结论．
【详解】解：∵方程
2
2
0
x
kx
k




是一元二次方程，
∴
1
a ，b
k

，
2
c
k


，
计算判别式得：
(
)
2
2
2
2
4
4 1
2
4
8
(
2)
4
b
ac
k
k
k
k
k
D =
-
=
-
创
-
=
-
+
=
-
+
，
∵
2
(
2)
0
k 

，
∴
2
(
2)
4
0
k




恒成立，
∴方程有两个不相等的实数根．
5．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）关于x 的一元二次方程
2
2
2
6
6
0
x
x
k



根的情况为（
）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．无实数根
D．只有一个实数根
【答案】C
【分析】通过计算判别式并判断其符号即可确定方程根的情况即可
【详解】解：对于一元二次方程
2
2
2
6
6
0
x
x
k




，
其中
2
a 
，
6
b ，
2
6
c
k


，
2
2
2
2
2
Δ
4
(
6)
4 2 (
6)
36
8
48
8
12
b
ac
k
k
k










∵
2
0
k 
，
∴
2
8
0
k


，
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∴
2
Δ
8
12
12
0
k




，
因此方程无实数根
题型02
根据一元二次方程根的情况求参数
6．（25-26 八年级下·浙江温州·期末）关于x 的一元二次方程
2
3
0
x
x
m



有两个不相等的实数根，则m 的
取值范围是（
）
A．
9
4
m 
B．
9
4
m 
C．
9
4
m 
D．
9
4
m 
【答案】C
【分析】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式
2
Δ
4
0
b
ac



，据此计算即可求出m 的取
值范围．
【详解】解：∵关于x 的一元二次方程
2
3
0
x
x
m



有两个不相等的实数根，
其中
1
a ，
3
b 
，c
m

，
∴
2
2
4
3
4 1
0
b
ac
m





，
化简得9
4
0
m


，
解得
9
4
m 
．
7．（2026·河南平顶山·三模）若关于x 的一元二次方程
2
3
0
x
k


没有实数根，则k 的取值范围是（
）
A．
0
k 
B．
0
k 
C．
0
k 
D．
0
k 
【答案】B
【分析】根据一元二次方程根的判别式列出不等式，求解即可．
【详解】解：∵关于x 的一元二次方程
2
3
0
x
k


没有实数根，
∴


2
Δ
0
4 3
0
k




，
∴
0
k 
．
8．（2026·北京通州·三模）若关于x 的一元二次方程
2
2
0
x
x
m



有两个不相等的实数根，则实数m 的取
值范围是（
）
A．
1
m


B．
1
m 
C．
1
m 
D．
1
m 
【答案】A
【分析】利用“一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式Δ
0

”列不等式求解即可得到结果．
【详解】解：∵关于x 的一元二次方程
2
2
0
x
x
m



有两个不相等的实数根
∴根的判别式
2
Δ
4
0
b
ac



，
其中
1
a ，
2
b 
，c
m

代入得


2
Δ
2
4 1
4
4
0
m
m





，
解不等式得
1
m ．
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9．
（2026·北京·三模）若关于x 的一元二次方程
2
4
0
x
x
c



有两个不等的实数根，则实数c的值可以为（
）
A．16

B．8

C．6

D．2

【答案】D
【分析】由一元二次方程根的情况与判别式关系列出不等式求解即可．
【详解】解：
关于x 的一元二次方程
2
4
0
x
x
c



有两个不等的实数根，




2
Δ
4
4 1
0
c





，解得
4
c ，
观察四个选项，只有2
4
．
10．已知关于x 的一元二次方程




2
4
1
4
1
0
ax
a
x
a




有两个实数根，求a 的取值范围．
【答案】
1
12
a 
且
0
a 
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得到
0
a 
且
0

，求解即可．
【详解】解：∵关于x 的一元二次方程




2
4
1
4
1
0
ax
a
x
a



有两个实数根，
∴
0
a 
，且




2
Δ
4
1
4
4
1
0
a
a
a








，
即
0
a 
，且12
1
0
a 
，
∴
1
12
a 
且
0
a 
．
题型03
用公式法解一元二次方程
11．用公式法解方程
2
2
6
3
t
t

时，a，b，c 的值分别为（
）
A．2，6，3
B．2，6
，3

C．2
，6，3

D．2，6，3

【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，公式法解一元二次方程，首先要把方程化成一般形式，其
中
2
ax 叫二次项，bx 叫一次项，c是常数项，其中a ，b ，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】解：∵原方程
2
2
6
3
t
t

，
移项得
2
2
6
3
0
t
t



，
∴
2
a 
，
6
b ，
3
c ．
故选：B．
12．（25-26 九年级上·河北邢台·阶段检测）用公式法解方程
2
2
5
7
x
x


时，得


2
7
4 2
5
2 2
x




，则
“□”处应填（）
A．7

B．5

C．5
D．7
【答案】A
【分析】本题考查公式法解一元二次方程，熟记公式法解一元二次方程的方法是解决问题的关键．
先将题中一元二次方程化为一般式，再由求根公式代入求解即可得到答案．
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【详解】解：用公式法解方程
2
2
5
7
x
x


时，得


2
7
4 2
5
2 2
x




，
先化为一元二次方程一般式：
2
2
7
5
0
x
x



，
2,
7,
5
a
b
c



，



2
7
7
4 2
5
2 2
x




，
则“□”处应填7
，
故选：A．
13．某一元二次方程的根用求根公式表示为






2
2
2
4 3
1
2 3
x






，则该一元二次方程为（
）
A．
2
2
3
1
0
x
x



B．
2
3
2
1
0
x
x
-
- =
C．
2
2
3
1
0
x
x


D．
2
3
2
1
0
x
x


【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，一元二次方程


2
0
0
ax
bx
c
a




的求根公式为
2
4
2
b
b
ac
x
a



，据此根据题意确定a
b
c
、、的值即可得到答案．
【详解】解：由题意得，
3
2
1
a
b
c



，
，
，
∴该一元二次方程为
2
3
2
1
0
x
x


，
故选：B．
14．（25-26 九年级上·河北邢台·期中）习题课上，数学老师展示了一道习题及其错误的解答过程
用公式法解方程：
2
3
5
2
x
x


解：将方程化为一般形式，得
2
3
5
2
0
x
x



，
第一步，
3
a 
，
5
b 
，
2
c 
，
第二步；
2
2
4
5
4 3 2
1
0
b
ac





，
第三步；
5
1
5 1
2 3
6
x





第四步，
即
1
2
3
x 
，
2
1
x 
第五步．
(1)开始出现错误的步骤是第___________步；
(2)请给出此题正确的解答过程．
【答案】(1)一
(2)
1
1
3

x
，
2
2
x 
，解答过程见解析
【分析】本题考查公式法解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键．
（1）根据公式法解一元二次方程的步骤解答即可；
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（2）根据公式法解一元二次方程的步骤解答即可．
【详解】（1）解：将方程
2
3
5
2
x
x


化为一般形式，得
2
3
5
2
0
x
x



，
∴第一步开始出现错误．
故答案为：一．
（2）解：解方程化为一般形式，得
2
3
5
2
0
x
x



，
3
a 
，
5
b ，
2
c


，




2
2
Δ
4
5
4 3
2
49
0
b
ac






，


5
49
5
7
2 3
6
x







，
即
1
1
3

x
，
2
2
x 
．
15．（25-26 九年级上·吉林延边·阶段检测）用公式法解方程：
2
4
2
0
x
x



【答案】
1
2
2
x 
，
2
2
2
x 
【分析】根据求根公式
2
4
2
b
b
ac
x
a



，代入系数解答即可．
【详解】解：∵
2
4
2
0
x
x



,
在这里，
2
2
1,
4,
2,
4
4
4 1 2
8 0
a
b
c
b
ac






＞
∴
4
8
4
2 2
2
2
2
2
x





，
解得
1
2
2
x 
，
2
2
2
x 
．
【点睛】注意：一元二次方程必须要化成一般形式．
16．
（25-26 八年级下·安徽宣城·期末）若关于x 的方程

2
1
1
0
m
x
x



有实数根，则m 的取值范围是（
）
A．
5
4
m 
B．
5
4
m 
C．
5
4
m 
且
1
m 
D．
5
4
m 
且
1
m 
【答案】A
【分析】当
1
0
m 
，即
1
m 时，原方程为一元一次方程，满足题意；当
1
0
m 
，即
1
m 时，原方程是
一元二次方程，利用判别式求出此时m 的取值范围即可得到答案．
【详解】解：当
1
0
m 
，即
1
m 时，此时原方程为
1
0
x 
，解得
1
x ，有实数根，符合题意；
当
1
0
m 
，即
1
m 时，原方程是一元二次方程，
∵原方程有实数根，
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∴


2
Δ
1
4
1 1
0
m




，
∴5
4
0
m


，
解得
5
4
m 
，即此时满足条件的范围是
5
4
m 
且
1
m ，
综上所述，m 的取值范围是
5
4
m 
．
17．（2026·广东清远·三模）若关于方程
2
4
0
ax
x
a



有且只有一个实数根，则实数a的值是（
）
A．
0
a 
或
2
a 
B．
2
a 
C．
2
a 
D．
0
a 
【答案】D
【分析】本题需分类讨论方程的类型，结合一元一次方程，一元二次方程根的概念求解，注意一元二次方
程中两个相等的实数根仍属于两个根。
【详解】∵题目未明确方程为一元二次方程，需对二次项系数a分类讨论，
当
0
a 
时，原方程化简为4
0
x 
，属于一元一次方程，有且只有一个实数根，符合题意，
当
0
a 
时，原方程是一元二次方程，即使判别式Δ
0

，方程也只有两个相等的实数根，并非一个实数根，
不符合题意，
∴只有
0
a 
满足条件．
18．（25-26 八年级下·江苏泰州·期末）若关于x 的方程
2
1
2
mx
x

（m 为常数）有两个不相等的实数根，则
m 的取值范围为________．
【答案】
1
m 且
0
m 
【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，根据方程有两个不相等的实数根，可得二次项系数
不为0，且根的判别式大于0，据此列出不等式求解即可．
【详解】解：将原方程整理为一般形式得
2
2
1
0
mx
x


，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴
2
( 2)
4
1
4
4
0
m
m





，且
0
m 
，
解得：
1
m ，
m 的取值范围是
1
m 且
0
m 
．
19．已知关于x 的方程
2
2
2
0
x
ax
a
b




，其中a、b 为实数．
(1)若此方程有一个根为


2
0
a a 
，判断a 与b 的大小关系__________；
(2)若对于任何实数a，此方程都有实数根，b 的取值范围为__________．
【答案】
a
b

1
8
b 
【分析】（1）把
2
x
a

代入方程，求出b 的值，进行判断即可；
（2）根据方程都有实数根，得到Δ
0

，进而求出b 的取值范围即可.
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【详解】解：（1）∵方程
2
2
2
0
x
ax
a
b




有一个根为2a，
∴
2
2
4
4
2
0
a
a
a
b




，
整理，得
2
a
b 
；
∵
0
a 
，
∴
2
a
a 
，即a
b

；
（2）由题意，


2
2
Δ
4
4
2
4
4
8
a
a
b
a
a
b






，
∵对于任何实数a，此方程都有实数根，
∴对于任何实数a，都有
2
4
4
8
0
a
a
b



，即
2
2
0
a
a
b



，
∴对于任何实数a，都有
2
2
a
a
b


，
∵
2
2
1
1
1
1
2
2
2
8
8
a
a
a











，
∴b 的取值范围是
1
8
b 
.
20．（2026·辽宁盘锦·模拟预测）对于实数a，b 定义新运算：
2
a
b
a
ab


※
，例如：
2
3 2
3
3 2
3



※
．若
关于x 的方程
2
x
m

※
有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是_________．
【答案】
1
m


【分析】由新定义运算得出
2
2
0
x
x
m



，再根据一元二次方程根的判别式计算即可得出结果．
【详解】解：∵对于实数a ，b 定义新运算：
2
a
b
a
ab


※
，
∴
2
2
2
x
x
x
m



※
，
∴
2
2
0
x
x
m



，
∵关于x 的方程
2
x
m

※
有两个不相等的实数根，
∴




2
2
4 1
0
m



，
解得
1
m


．
21．（25-26 八年级下·江苏苏州·期末）解下列方程：
(1)
2
4
2
0
x
x



(配方法)；
(2)
2
3
2
1
0
x
x


(公式法)．
【答案】(1)
1
2
2
x 
，
2
2
2
x 
(2)
1
1
x ，
2
1
3
x 
【详解】（1）解：
2
4
2
0
x
x



，
2
4
2
x
x

，
2
4
4
2
x
x



，
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

2
2
2
x 

，
∴
2
2
x 

，
∴
1
2
2
x



，
2
2
2
x



；
（2）解：
2
3
2
1
0
x
x


，
∵
3
a 
，
2
b 
，
1
c


，
∴


2
Δ
2
4 3
1
16
0




，
∴
2
16
2
4
2 3
6
x





，
∴
1
1
x ，
2
1
3
x 
．
22．（25-26 八年级下·安徽滁州·期末）对于一元二次方程


2
0
0
ax
bx
c
a




，给出下列说法：
①若方程
2
0
ax
c


有两个不相等的实根，则方程
2
0
ax
bx
c



必有两个不相等的实根；
②若c是方程
2
0
ax
bx
c



的一个根，则一定有
1
0
ac
b


成立；
③若
0x 是一元二次方程
2
0
ax
bx
c



的根，则


2
2
0
4
2
b
ac
ax
b



；
④存在实数


m
n m
n

，
，使得
2
2
am
bm
c
an
bn
c





．
其中正确的是（
）
A．只有①③
B．只有①②
C．只有①③④
D．①②③④
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系、根的定义及代数变形逐一判断各命题．
【详解】解：①
方程
2
0
ax
c


有两个不相等的实根，
Δ
0
4
0
ac




，
4
0
ac


，
则方程
2
0
ax
bx
c



的判别式
2
Δ
4
0
b
ac



，
方程
2
0
ax
bx
c



必有两个不相等的实根，故①正确；
②c是方程
2
0
ax
bx
c



的一个根，则
2
0
ac
bc
c



，

1
0
c ac
b



，
若
0
c 
，等式仍然成立，但
1
0
ac
b


不一定成立，故②不正确；
③若
0x 是一元二次方程
2
0
ax
bx
c



的根，
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则由求根公式得
2
0
4
2
b
b
ac
x
a



或
2
0
4
2
b
b
ac
x
a



，
2
0
2
4
ax
b
b
ac




或
2
0
2
4
ax
b
b
ac



，


2
2
0
4
2
b
ac
ax
b




，故③正确；
④存在实数


m
n m
n

、
，使得
2
2
am
bm
c
an
bn
c





，
整理得



2
2
0
a m
n
b m
n




，即



0
m
n
a m
n
b








，
因为m
n

，只需取
b
m
n
a


即可满足，
例如取
0
m 
，


0
b
n
a
a


，就有
2
2
am
bm
c
an
bn
c





，故④正确．
23．若直线y
x
m

不经过第三象限，则关于x 的方程
2
1
0
mx
x


的实数根有（
）个
A．0
B．1
C．2
D．1 或2
【答案】D
【分析】本题考查一次函数图象经过的象限，一元二次方程的根的判别式．先根据一次函数的性质确定m
的取值范围，再分
0
m 
和
0
m 
两种情况，结合一次方程、一元二次方程根的判别式判断方程实数根的个
数．
【详解】解：∵直线y
x
m

不经过第三象限，
∴
0
m 
，
①当
0
m 
时，方程
2
1
0
mx
x


化为
1
0
x

-
，是一元一次方程，
∴方程有1 个实数根；
②当
0
m 
时，方程
2
1
0
mx
x


是一元二次方程，
此时


21
4
1
1
4
m
m




，
∵
0
m 
，
∴1
4
0
m


，
∴方程有2 个不相等的实数根，
综上，方程的实数根有1 个或2 个，
故选：D．
24．（25-26 九年级下·江苏南通·阶段检测）在ABC 中，
2
AB
AC 
，BC 边上的高是10，则BC 的最小值为（
）
A．13
B．14
C．15
D．16
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【答案】C
【分析】以点B 为原点，BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设

,10
A m
，

,0
C k
，求出
2
100
AB
m


，


2
100
AC
m
k



，根据
2
AB
AC 
化简得
2
2
3
8
4
300
0
m
mk
k




，由
0

可求出
15
k 
可得结论．
【详解】解：以点B 为原点，BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设

,10
A m
，


,0
C k
，如图，
∴
2
2
2
10
100
AB
m
m




，




2
2
2
10
100
AC
m
k
m
k






，
∵
2
AB
AC 
，
平方后得：

2
2
100
4
100
m
m
k




，
化简得，
2
2
3
8
4
300
0
m
mk
k




，
∴
0

，
∴



2
2
8
4 3
4
300
0
k
k




，
∴
2
225
k 
，
∵
0
k 
∴
15
k 
，
∴BC 的最小值为15．
25．（25-26 八年级下·安徽六安·期末）等腰三角形边长分别为a，b ，2，且a ，b 是关于x 的一元二次方程
2
6
2
0
x
x
n




的两个根，则n 的值为______．
【答案】7
【分析】根据等腰三角形的性质，分两种情况讨论：①腰长为2，即
2
a 
或
2
b 
，②底边长为2 ，即a
b

，
分别结合一元二次方程根的性质求出n 的值，再利用三角形三边关系验证，舍去不符合条件的结果，得到n
的最终值．
【详解】解：
三角形为等腰三角形
分两种情况讨论：①
2
a 
或
2
b 
，②a
b

，
①当
2
a 
或
2
b 
时，
a ，b 是一元二次方程
2
6
2
0
x
x
n




的两个根，
2
x


是方程的一个根，
将
2
x 
代入方程得
2
2
6
2
2
0
n




，
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解得
6
n 
，
当
6
n 
时，方程为
2
6
8
0
x
x



因式分解得


2
4
0
x
x



，
解得
1
2
x 
，
2
4
x 
，
此时三角形三边长为2 ，2 ，4，
2
2
4


，不满足三角形三边关系中两边之和大于第三边，
6
n


不合题意，舍去；
②当a
b

时，一元二次方程
2
6
2
0
x
x
n




有两个相等的实数根
根的判别式


2
( 6)
4
2
0
n




，
解得
7
n 
，
此时方程为
2
6
9
0
x
x



，
解得
1
2
3
x
x


，
此时三角形三边长为3，3，2，满足三角形三边关系，符合题意；
综上所述，
7
n 
．
26．（25-26 八年级下·四川成都·期末）已知二次方程



2
2
2
4
3
3
0
m
x
m
x
m






的两根一个大于1，一
个小于1，则实数m 的取值范围为________．
【答案】
1
2
2
m


【分析】由二次方程和根的判别式解不等式组得出实数m 的取值范围．
【详解】解：



2
2
2
4
3
3
0
m
x
m
x
m





是二次方程，
2
0
m



，解得
2
m


．
二次方程有两根，





2
2
4
4
2
3
3
m
m
m





．





2
4
2
4
2
3
3
m
m
m









4
2
2
3
3
m
m
m












4
2
2
1
0
m
m





即


2
2
1
0
m
m



．
2
0
2
1
0
m
m






或
2
0
2
1
0
m
m






．
解
2
0
2
1
0
m
m






，得
1
2
2
m


．
解
2
0
2
1
0
m
m






，得
2
m


且
1
2
m


，不合题意舍去．
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实数m 的取值范围为
1
2
2
m


．
27．一元二次方程



2
2
1
2 1
1
0
m
x
m x




有两个实数根，则m 的取值范围是_____．
【答案】
1
m 且
1
m


【分析】根据一元二次方程的定义得到二次项系数不为0，再结合方程有两个实数根可得根的判别式大于等
于0 ，求解两个不等式的公共部分即可得到m 的取值范围．
【详解】解：∵原方程



2
2
1
2 1
1
0
m
x
m x





是一元二次方程，
∴二次项系数
2
1
0
m


，
解得
1
m ，
对于一元二次方程
2
0
ax
bx
c



，根的判别式为：
2
4
b
ac




2
2
[2(1
)]
4 1
( 1)
m
m









2
2
4 1
2
4 1
m
m
m





8
8m


∵方程有两个实数根，
∴8
8
0
m


∴
1
m 
∴
1
m 且
1
m


28．（25-26 九年级上·福建漳州·期末）定义：
2
0
cx
bx
a



是一元二次方程
2
0
ax
bx
c



的倒方程．则下
列四个结论：
①如果
2
x 
是
2
2
0
x
x
c



的倒方程的解，则
5
4
c 
；
②如果
0
ac 
，那么这两个方程都有两个不相等的实数根；
③如果一元二次方程
2
2
0
ax
x
c



无解，则它的倒方程也无解；
④如果一元二次方程
2
0
ax
bx
c



有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根．其中
正确的有_____（填正确的序号）．
【答案】
①②③
【分析】本题考查新定义和一元二次方程，根据倒方程的定义，分别验证每个结论的正确性：
①通过代入求解；
②利用判别式即可；
③通过判别式得到
1
ac ，代入倒方程判别式可得；
④举反例说明不成立．
【详解】解：结论①，原方程
2
2
0
x
x
c



的倒方程为
2
2
1
0
cx
x


，
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将
2
x 
代入得4
4
1
0
c 

，
解得
5
4
c 
，
故①正确；
结论②，当
0
ac 
时，
判别式
2
4
0
b
ac



，
两个方程均有两个不相等的实数根，
故②正确；
结论③，
原方程无解，
4
4
0
ac


，
即
1
ac ，
倒方程判别式4
4
0
ac


，
倒方程无解，
故③正确；
结论④，
举反例说明，当
0
c 
时，原方程为
2
0
ax
bx


，
若要其有两个不相等的实数根，则其判别式：
2
0
b


，
即
0
b 
，
原方程
2
0
ax
bx
c



的倒方程为
2
0
cx
bx
a



，
0
c 
，
0
b 
，
倒方程为
0
bx
a


，是一元一次方程，
只有一个根，
故④错误．
故答案为①②③．
29．（25-26 八年级下·浙江宁波·期中）设m 满足不等式
40
m 
，且关于x 的一元二次方程
2
2
2
(
2)
(
)
2
2
x
a
m
mx
a
am






有两个整数根，则符合条件的整数m 的个数为______．
【答案】7
【分析】首先把方程进行整理，根据一元二次方程的求根公式得
2
2
x
m
m



，再根据x，m 均是整数且
40
m 
，得m 为完全平方数，即可求解．
【详解】解：将方程整理得：


2
2
2
4
4
0
x
m
x
m




，
∴




2
2
2
4
4
4
16
m
m
m





，
∴当
0
m 
时，方程根为


2
2
4
2
2
2
m
m
x
m
m






，
∵x ，m 均是整数且
40
m 
，
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∴m 为完全平方数，
∴
0
m 
，1、4、9、16、25、36．
∴符合条件的整数m 的个数为7．
30．（25-26 八年级下·北京·阶段检测）关于x 的方程


2
2
1
0
kx
k
x
k




有两个不相等的实根，则k 的取值
范围是__________________；若该方程的两个实根均为有理数，则整数k 的最小值为__________．
【答案】
1
4
k 
且
0
k 
2
【分析】方程有两个不相等实根，说明该方程为一元二次方程，需满足二次项系数不为0，且根的判别式大
于0，据此求出k 的取值范围；
若两根为有理数，根据求根公式可知根的判别式需为完全平方数，结合k 的取值范围求出最小整数k 即可．
【详解】解：∵方程


2
2
1
0
kx
k
x
k




有两个不相等的实根，
∴该方程为一元二次方程，可得
0
k 
，
∵方程有两个不相等的实根，
∴


2
2
2
2
Δ
4
2
1
4
4
4
1 4
4
1
0
b
ac
k
k k
k
k
k
k















，
解得
1
4
k 
，
∴k 的取值范围是
1
4
k 
且
0
k 
；
若方程的两个实根均为有理数，由求根公式可知，判别式必须是完全平方数，即4
1
k 
为完全平方数
设
2
4
1
k
m

（m 为正整数），则
2
1
4
m
k


，
当
1
m 时，
0
k 
，不符合
0
k 
，舍去，
当
3
m 
时，
23
1
2
4
k



，符合条件，
∴整数k 的最小值为2 ．
31．（25-26 八年级下·浙江杭州·期中）已知,p q分别为满足条件的最大整数，关于x 的方程
2
4
2
0
x
x
p



没
有实数根，而方程
2
5
2
0
x
x
q



有两个不相等的实数根．
(1)求,p q的值；
(2)试判断关于x 的方程
2
0
x
px
q



的根的情况；
(3)若




2
4
4
1
5
3
x
q n
x
p
n




为完全平方式，求常数n 的值．
【答案】(1)
3
p ，
3
q 
(2)方程没有实数根
(3) 2
3

【分析】本题整体利用一元二次方程根的判别式求解；
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（1）分别根据两个方程的根的情况列不等式，得到
2
p ，
25
3.125
8
q 

，再取各自范围内的最大整数即
可；
（2）代入
3
p ，
3
q 计算判别式，根据判别式的符号判断根的情况；
（3）根据完全平方式对应一元二次方程判别式为0，代入
3
p ，
3
q 整理求解n 即可．
【详解】（1）解：∵关于x 的方程
2
4
2
0
x
x
p



没有实数根，
∴


2
Δ
4
4 1
2
16
8
0
p
p




，
解得
2
p ，
∵p 是满足条件的最大整数，
∴
3
p ，
∵方程
2
5
2
0
x
x
q



有两个不相等的实数根，
∴
25
4 1 2
25 8
0
q
q







，
解得
25
3.125
8
q 

，
∵q 是满足条件的最大整数，
∴
3
q 
；
（2）解：将
3,
3
p
q


代入方程
2
0
x
px
q



，得方程为
2
3
3
0
x
x



，
其判别式
2
Δ
( 3)
4 1 3
9 12
3
0




，
∴方程
2
0
x
px
q



没有实数根；
（3）解：把
3,
3
p
q


代入




2
4
4
1
5
3
x
q n
x
p
n




得






2
2
4
4
1
5
3
4
12
1
18
x
q n
x
p
n
x
n
x
n








，
∵






2
2
4
4
1
5
3
4
12
1
18
x
q n
x
p
n
x
n
x
n








为完全平方式，
∴方程


2
4
12
1
18
0
x
n
x
n



有两个相等的实数根，
∴




2
Δ
12
1
4 4
18
0
n
n








，
整理得
2
4
1
0
n
n


，
计算该方程的判别式得
2
Δ
4
4 1 1
12
0



，
∴
3
12
4
2
2
n



．
32．（2026·江苏扬州·中考真题）关于x 的一元二次方程
2
1
0
x
kx


根的情况是（
）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
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C．没有实数根
D．无法判断根的情况
【答案】A
【分析】计算根的判别式，根据判别式的符号即可判断根的情况．
【详解】解：对于一元二次方程
2
1
0
x
kx


，可得
1
a ，b
k

，
1
c ，


2
2
2
Δ
4
4 1
1
4
b
ac
k
k






，
又
无论k 取任意实数，都有
2
0
k 
，
2
4
0
k



，即Δ
0

，
该方程有两个不相等的实数根．
33．
（2026·安徽·中考真题）已知关于x 的一元二次方程


2
0
0
ax
bx
b
a
a





有两个相等的实数根，则b
a 
（
）
A．2

B．
1
2

C．1
2
D．2
【答案】D
【分析】利用一元二次方程根的判别式性质，方程有两个相等实数根时判别式Δ
0

，整理等式即可求出b
a 的
值．
【详解】解：∵一元二次方程


2
0
0
ax
bx
b
a
a





有两个相等的实数根，
∴根的判别式




2
Δ
4
0
b
a b
a





，
展开整理得
2
2
4
4
0
b
ab
a



，
即
2
2
)
0
( a
b


，
∴2
0
a
b


，得
2
b
a

，
∵
0
a 
，
等式两边同除以a 得
2
b
a 
．
34．（2026·四川内江·中考真题）对于实数a、b ，定义运算“☆”如下：
2
a
b
ab
ab


☆
，例如：
2
3
2
3 2
3 2
6



☆
，则方程2
3
x 
☆
的根的情况为（
）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【答案】A
【分析】根据题目给出的新定义，将方程2
3
x 
☆
转化为一元二次方程的一般形式，再利用根的判别式判断
根的情况即可．
【详解】解：∵
2
a
b
ab
ab


☆
，
∴
2
2
2
3
x
x


，
19 / 19
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∴
2
2
2
3
0
x
x



，
∴




2
Δ
2
4
2
3
4
24
28
0






，
∴原方程有两个不相等的实数根．