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2.6 直角三角形（第二课时）
题型一：含30°的直角三角形与垂直平分线综合
1．（2025 八年级下·全国·专题练习）如图，已知在
ABC
中，
90
C
=
，
15
B
=
，AB 的垂直平分线交BC
于点D，交AB 于点E．若
10cm
DB =
，则AC 的值是（ ）
A．5cm
B．6cm
C．8cm
D．10cm
2．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
B
?
? ，
30
C
=
，AC 的垂直平分线交AC 于点
D，交BC 于点E，若
12
BC =
，则DE 的长为（ ）
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A．4
B．5
C．6
D．7
3．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图， 在ABC
中，
90
C
=
，
15
B
=
，AB 的垂直平分线交BC 于点
D， 交AB 于点 E，若
6
AC =
， 则BD等于 （ ）
A．10
B．12
C．16
D．18
4．（24-25 八年级下·辽宁本溪·期末）如图，在
ABC
中，
90
15
C
B
=
=
，
，DE 垂直平分
,
AB D 为垂足，
DE 交BC 于点E，若
10
BE =
，则AC 的长为（ ）
A．5
B．5 3
C．10
D．10 3
5．（24-25 八年级下·陕西安康·期中）如图，在
ABC
中,
30 ,
C
AD
AB
=
⊥
，垂足为点A，交BC 于点D，
过点D 的直线m 恰好垂直平分线段AC ，
5
AD = ，则BC 的长是（ ）
A．12
B．15
C．18
D．20
6．（24-25 八年级下·陕西西安·期中）如图，ABC
中，
45
C
=
，
120
B
=
．BC 、AB 的中垂线DE 、FH
分别交BC 、CA 、AB 于D 、E 、F 、H ．若
3
CE =
，则AH 的长度是（ ）
A．4
B．6
C．7
D．8
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7．（24-25 八年级下·全国·期中）如图，在ABC
中，
90
C
=
，线段AB 的垂直平分线交CB
AB
、
于点D
和E，
30 ,
3
B
CD
=
=
，则BD的长为 ．
8．
（2025·江苏扬州·二模）如图，在Rt
ABC
△
中，线段AB 的垂直平分线分别交BC
AB
、
于点D
E
、，连接AD，
若
4
CAD
B
= ，
9
BD =
，则AC = ．
题型二：含30°的直角三角形与角平分线综合
1．（24-25 八年级下·广东深圳·期中）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
A
=
，
30
C
=
，
ABC
的平分线BD交
AC 于点D，若
3
AD = ，则DC = （ ）
A．5
B．6
C．8
D．12
2．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
30
B
=
，
6
BC =
，AD平分
CAB
交BC
于点D，E 为边AB 上一点，则线段DE 长度的最小值为 ．
3．
（24-25 八年级下·江西抚州·期末）如图，在
ABC
中，
90 ,
C
AE
=
平分
,
BAC EF
垂直平分
,
6
AB CE =
，
则BE的长为 ．
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4．（24-25 八年级下·江西上饶·期末）如图，在
ABC
中，
90
C
=
，AE 平分
BAC
，EF 垂直平分AB ，
6
CE =
，则BE 的长为 ．
5．
（24-25 八年级下·湖南永州·期中）如图，
30
AOB
=
，OP 平分
AOB
，PC OB
∥
交OA于C．如果
6
OC =
，
那么点P 到OB 的距离等于 ．
题型三：含30°的直角三角形的实际应用
1．（24-25 八年级下·广西来宾·阶段练习）如图，一辆货车为了方便装运货物，使用了三角形钢架，已知
90
ACB
=
，
30
BAC
=
，
1.6m
BC =
，则AB 的长为（ ）m ．
A．1.6
B．0.8
C．3.2
D．2.8
2．
（24-25八年级下·湖南郴州·期末）如图是某景区一段索道示意图，点A、B之间的距离为30米，
30
BAC
=
，
则缆车从点A 到点B 的过程中竖直上升的高度（BC 的长）为（ ）
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A．60 米
B．45 米
C．30 米
D．15 米
3．（24-25 八年级上·福建莆田·期中）如图所示的是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中
,
AB CD
分别表示一楼，二楼地面的水平线，
150 ,
ABC
BC
=
的长是40m．则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h是
（ ）
A．10
B．20
C．30
D．40
4．
（24-25 八年级下·湖南株洲·期末）如图是某商场一部手扶电梯的示意图，若
150
ABC
BC
=
，
的长为6 米，
则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h为 米．
5．（24-25 八年级下·黑龙江绥化·期中）某校在一块如图所示的三角形空地ABC 上种植草皮美化环境，已知
150
A
=
，这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮需要 元．
6．
（24-25 八年级下·内蒙古包头·期中）如图①，设计一张折叠型方桌，其示意图如图②，若
50cm
AO
BO
=
=
，
30cm
CO
DO
=
=
．现将桌子放平，两条桌腿需要叉开的角度
AOB
应为120，求出AB 距离地面CD的高
度是 cm．
7．（2025·广东深圳·二模）某停车场采用先进的车辆识别系统，车辆进出时被系统自动识别后栏杆抬起（如
图1）．已知停车场入口的栏杆AO 的长度为3 米（如图2 所示），栏杆AO 从水平位置绕点O顺时针旋转到A O
的位置，在旋转过程中，当栏杆的旋转角
AOA
为30时，栏杆A 端升高了 米．
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8．（24-25 八年级上·北京·期中）如图1 是某市地铁入口的双闸门，如图2，当它的双翼展开时，双翼边缘
的端点A 与B 之间的距离为10cm，双翼的边缘
45cm
AC
BD
=
=
，且与闸机侧立而夹角
30
PCA
BDQ
=
=
，
求当双翼收起时，两机箱之间的最大宽度为 cm．
9．（24-25 八年级上·内蒙古通辽·期末）如图所示，有一根垂直于地面的松树在A 处断裂，松树顶部落在地
面C 处，通过测量可知
30
ACB
=
，且松树断裂处A 与地面的距离AB 的长为6 米，则松树断裂前的高为
米．
题型四：含30°的直角三角形中尺规作图问题
1．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在
ABC
中，
90
BAC
=
，
60
C
=
，
2
AC =
．以点A 为圆心，AC
长为半径作弧，交BC 于点D ；再分别以点C 和点D 为圆心，以大于1
2 DC 长为半径作弧，两弧相交于点E ，
作射线AE 交BC 于点F ，则BF 的长为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．2 3
2
−
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2．（24-25 八年级下·山西晋中·期末）如图，在
ABC
中，
120
AB
AC
A
=
=
，
，分别以点A、C 为圆心，
大于1
2 AC 的长为半径作弧，两弧相交于点P 和点Q，作直线PQ ，分别交BC
AC
、
于点D 和点E．若
5
CD = ，
则BD长为（ ）
A．8
B．10
C．5 2
D．5 3
3．（24-25 七年级下·四川成都·期末）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，按以下步骤作图：①以顶点C
为圆心，BC 的长为半径画弧，交AB 于B，D 两点；②分别以点B，D 为圆心，大于1
2 BD 的长为半径画弧，
两弧交于点E：③作射线CE 交AB 于点F．若
30
A
=
，
4
BC =
，则DF 的长为 ．
4．（23-24 八年级下·四川成都·期中）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
30
B
=
，分别以点A 和点B 为
圆心，大于1
2 AB 的长为半径作弧，两弧相交于M，N 两点，连接MN ，交BC 于点D，连接AD，若
10
DC =
，
则BD的长度为 ．
5．（24-25 八年级下·湖南邵阳·期末）如图，在
ABC
中，
90 ,
30
C
B
=
=
，以A 为圆心，任意长为半径
画弧分别交AB
AC
、
于点M 和N，再分别以M、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于P，连接AP
并延长交BC 于点D，若
2
CD = ，则BD = ．
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6．（2025·山东聊城·三模）如图，在
ABC
中，
90
C
=
，
30
B
=
，
4
AC =
，点P 为AB 上一点，点Q
为BC 上一点，且BP
PQ
=
，分别以点P，Q 为圆心，以大于1
2 PQ的长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直
线MN ，若MN 恰好经过AB 的中点，则PB 的长为 ．
7．（2025·湖南·模拟预测）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
B
?
? ，
30
C
=
，按以下步骤作图：①以点A 为圆
心，任意长为半径作弧，分别交AC ，AB 于点M，N；②分别以点M，N 为圆心，大于1
2 MN 的长为半径
作弧，两弧交于点O；③作射线AO ，交BC 于点D．若
1
BD = ，则BC 的长为 ．
8．（2025·江西赣州·二模）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，
30
B
=
，分别以点B 和点C 为圆心，适
当的长为半径作弧，两弧相交于D 、E 两点，直线DE 交AB 于点F ，连结CF ．若
2
AC =
，则CF = ．
题型五：含30°的直角三角形中的简单证明题
1．（24-25 八年级下·广东河源·期中）如图，在
ABC
中，
,
30
CA
CB
A
=
=
，D 是AC 的中点，DE
AC
⊥
交AB 于点E ．求证：
2
BE
AE
=
．
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2．（24-25 八年级下·陕西渭南·期末）如图，在Rt
ABC
△
中，
90 ,
30
ACB
B
=
=
，点D 为AB 的中点，
连接CD，求证：
ADC
△
是等边三角形．
3．
（24-25 八年级下·甘肃平凉·阶段练习）如图，Rt
ABC
△
中，
90
30
C
ABC
=
=
，
，线段AD平分
BAC
交BC 于点E，连接BD，BD
AC
∥
．
(1)求证：AE
BE
=
；
(2)求证：BC
CE
DE
+
=
．
4．（24-25 八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，
ABC
中，AB
AC
=
，
30
BAC
=
，BE
AC
⊥
，AD
BC
⊥
，
点F 是BE与AD的交点，点M 是AC 的中点，过点 A 作 AH
AB
⊥
交 FM 延长线于点 H．
(1)试判断AH 与 BF 的数量关系并说明理由；
(2)求证：
1
2
AH
FE
AC
+
=
．
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5．
（24-25 八年级上·甘肃定西·期中）如图，在等边三角形ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，DE
AB
∥
，
过点E 作EF
DE
⊥
，交直线BC 于点F 求证：
1
2
DE
DF
=
．
6．（24-25 八年级上·四川绵阳·期中）如图，在等边ABC 中，D、E 分别是BC 、CA 上的点，且AE
CD
=
，
AD与BE 交于点F．
(1)求证：
ABF
CAD
=
；
(2)作BG
AD
⊥
，垂足为G，求证：
2
BF
FG
=
．
7．（2024 八年级上·全国·专题练习）如图：在
ABC
中，AB
BC
AC
=
=
，AE
CD
=
，AD与BE 相交于点P ，
BQ
AD
⊥
于Q ．求证：
(1) ADC
BEA
≌
；
(2)
2
BP
PQ
=
．
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题型六：含30°的直角三角形中综合应用
1．（24-25 九年级上·江西宜春·期末）如图，
ABC
是等腰三角形，AB
AC
=
，点D 是AB 上一点，过点D
作DE
BC
⊥
交BC 于点E，交CA 的延长线于点F．
(1)证明：
ADF
△
是等腰三角形；
(2)若
60 ,
16,
5
B
BD
AD
=
=
=
，求EC 的长．
2．（24-25 七年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，在
ABC
中，AE 是中线，AD是角平分线，AF 是高，
30
B
=
，
80
C
=
，
2,
3
BE
AF
=
=
，
(1) AB 的长
(2)
BAD
的度数．
(3)
DAF
的度数．
(4)
AEC
S
是多少？
3．（23-24 八年级下·四川巴中·期中）如图，在
ABC
中，
90
ACB
=
，AD平分
BAC
，DE
AB
⊥
于E，
连接CE ，交AD于点F．
(1)求证：AE
AC
=
；
(2)若
60
BAC
=
，
10
AD =
，求DF 的长．
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4．（23-24 八年级上·广东汕头·期中）如图，
ABC
中，
120
AB AC
BAC
AD
AC
⊥
=
，
=
，
交BC 于点D，
(1)求证：
3
BC
AD
=
．
(2)若
6
4
AB
AD
=
=
，
，求
ABC
的面积．
5．
（24-25 八年级上·广东汕头·期中）如图，ABC
是等边三角形，BD是中线，延长BC 至点E，使CE
CD
=
．
(1)求证：DB
DE
=
；
(2)过点D 作DF 垂直于BE ，垂足为F，若
3
CF = ，求
ABC
的周长．
6．（24-25 七年级下·重庆·期末）如图，点A、F、C、D 在同一条直线上，
90
ABC
DEF
=
=
，BC
EF
∥
，
AF
DC
=
，连接BF ，EC ，BE ，BE 与AC 相交于点O．
(1)求证：
ABC
DEF
≌△
△
；
(2)若BF
BC
=
，OF
OC
=
，
30
A
=
，
6
AB =
，求线段BE 的长．
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7．（24-25 八年级下·河南郑州·期中）如图，在等边
ABC
中，D 是边AC 上的一点，点E 在边BC 的延长线
上．
(1)若BD
ED
=
，D 为AC 的中点，求证：CD
CE
=
．
(2)过点D 作DM
BC
⊥
于点M，在（1）的条件下，当
18
BE =
时，求MC 的长．
8．
（24-25 八年级下·河南平顶山·期中）如图，ABC
是等边三角形，E，F 分别是边
,
AB AC 上的点，且
，
AE
CF
=
且
,
CE BF 交于点P，且EG
BF
⊥
，垂足为G．
(1)求证：
ACE
CBF
=
；
(2)若
1
PG = ，求PE的长度．
9．（24-25 八年级下·湖南娄底·期中）如图，在
ABC
中，
90
ACB
=
，AD平分
BAC
，DE
AB
⊥
于E ，
连接CE ，交AD于点F ．
(1)求证：AE
AC
=
；
(2)若
60
BAC
=
，
10
AD =
，求DF 的长．
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10．（24-25 八年级下·山东菏泽·期中）已知，如图，ABC
为等边三角形，AE
CD
=
，AD、BE相交于点.
P
(1)求证：ABE
CAD
≌
；
(2)求
BPQ
的度数；
(3)若BQ
AD
⊥
于Q ，
6
PQ =
，
2
PE =
，求AD的长.
11．（2025·浙江·模拟预测）如图，在
ABC
中，
,
90
=
=
AC
AB
BAC
，在AC 右侧作等边三角形ACD ．
(1)求
CBD
的度数；
(2)若
4
BC =
，求BD的长度．
12．（24-25 八年级上·北京·期中）如图，在四边形ABCD中，AD
BC
∥
，E 是AB 的中点，连接DE 并延长
交CB 的延长线于点F，点G 在边BC 上，且
GDF
ADF
=
．
(1)求证：
DGF
△
是等腰三角形；
(2)连接EG ，若
2
60
EG
DGC
=
=
，
，求DG 的长．
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题型七：含30°的直角三角形尺规作图综合应用
1．（24-25 八年级下·山西运城·期末）已知：如图，
ABC
中，点D 边AC 上的一点，连接BD，点G 是AC
的中点．
(1)实践与操作：过点A 作直线AF
BD
⊥
于点E ，交BC 于点F （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作
法，标明字母）；
(2)推理与计算：若
60
ABC
=
，且BD平分
ABC
，
1.5,
8
AE
BC
=
=
，直接写出
,
E G 两点之间的距离（若
完成（1）题有困难，可直接画草图完成（2）题）．
2．（24-25 八年级上·福建福州·期中）如图，在Rt
ABC
中，
90
ACB
=
，
30
ABC
=
，CD平分
ACB
，
交AB 于点P．
(1)尺规作图：作线段AB 的垂直平分线l（要求：保留作图痕迹，不写作法）．
(2)记直线l 与AB ，CD的交点分别是点E，F．
①求证：BE
AC
=
；
②当
6
AC =
时，求EF 的长．
3．（2025·广东珠海·三模）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
．
(1)尺规作图：过点C 作斜边AB 边上的高CD，垂足为D；（不写作法，只保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，若
30 ,
6
A
BC
=
=
，求BD的长．
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4．（24-25 八年级下·福建漳州·期中）如图，在
ABC
中，
90 ,
30
ACB
A
=
=
．
(1)尺规作图：在AC 边上作点D ，使得
2
AD
CD
=
；（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若点D在AC 边上，
2
AD
CD
=
，过点D 作DE
AB
⊥
于点E ，连接BD，求证：AD
BD
=
．
5．
（2025·浙江衢州·一模）如图1，
30 ,
8
B
AB
=
=
．在图1 中，用无刻度的直尺和圆规作
ABC
，使AC
a
=
．
(1)若线段a 长如图2 所示，请作出所有满足条件的三角形；
(2)若这样的三角形只能作一个，请直接写出一个满足条件的a 的值．
6．（23-24 八年级下·广东揭阳·阶段练习）如图，在直角
ABC
中，
90
C
=
．
(1)尺规作图：作
B
的平分线，交AC 于点D ，在AB 上截取BE
BC
=
，连接DE （只保留作图痕迹，不写
作法）；
(2)在（1）的条件下，若
30
A
=
，
2
3
CD =
，求AC 的长．
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7．（2025·浙江舟山·三模）如图，在Rt
ABC
△
中，
30
A
=
，
90
C
=
．
(1)用尺规作图：在AC 边上找一点P ，使得PA
PB
=
；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)应用与证明：在（1）的条件下，求证：
1
3
PC
AC
=
．
8．（2025·广东云浮·一模）如图，在
ABC
中，
90
C
=
，
(1)实践与操作：用尺规作图法在边AC 上找一点D，使得BD
AD
=
；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)应用与计算：在（1）的条件下，若BD平分
ABC
，
2
CD = ，求线段BD的长．
9．（2025·广东汕头·一模）如图，
ABC
中，
90
ABC
=
．
(1)实践与操作：用尺规作图法作线段BC 的垂直平分线，交AC 于点Q；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)应用与计算：在（1）的条件下，连接BQ ，若
60
C
=
，
3
BQ =
，求AC 的长．
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题型八：利用直角三角形的判定定理求角度
1．
（24-25 七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在等腰三角形ABC 中，AB
AC
=
，AD为BC 边上的中线，
32
B =
∠
，
则
CAD
的度数为（ ）
A．58
B．56
C．54
D．62
2．（2024 八年级上·全国·专题练习）裁剪师傅将一块长方形布料ABCD沿着AE 折叠，使D 点落在BC 边上
的F 点处，若
50
BAF
=
，则
AEF
= ．
3．（24-25 八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图
ABC
中，
90
ACB
D
=
,
在AB 边上，E 在AC 边上，
,
2
AC
AD
B
ADE
=
=
，则
EDC
的大小为 度．
4．（24-25 八年级下·四川达州·阶段练习）如图，在
ABC
中，
90
ACB
=
，
28
A
=
，点D 在边AB 上，
将
ABC
沿CD折叠，使得点B 落在AC 边上的点B处，则
ADB
的度数为 ．
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19 /
题型九：利用直角三角形的判定定理判定是否为直角三角形
1．（2025 七年级下·全国·专题练习）满足下列条件的
ABC
不是直角三角形的是（ ）
A．
90
A
=
B．
:
:
3:4:5
A
B
C
=
C．
C
A
B
= +
D．
90
A
C
+
=
2．（24-25 八年级上·贵州毕节·阶段练习）在下列条件：①
A
B
C
=
+
；②
1 2 3
A
B
C
=
:
:
: : ；③
2
A
B
C
= = ；④
1
1
2
3
A
B
C
=
=
；⑤
1
2
A
B
C
=
=
中，能确定
ABC
为直角三角形的条件有（ ）
A．5 个
B．4 个
C．3 个
D．2 个
3．（24-25 七年级下·山西太原·阶段练习）在下列条件；①
A
B
C
=
+
；②
1 2 3
A
B
C
=
:
:
: : ；③
2
A
B
C
= = ；④
1
1
2
3
A
B
C
=
=
；⑤
2
3
A
B
C
= =
中，能确定
ABC
为直角三角形的条件有（ ）
A．5 个
B．4 个
C．3 个
D．2 个
4．（23-24 八年级上·山东日照·阶段练习）已知
ABC
的三个角分别是
A
、
B
、
C
，下列选项中：①
A
B
C
= −
；②
1 2 3
A
B
C
=
:
:
: : ；③
A
B
C
= =
，④
1
2
A
B
C
+
=
，⑤
2
3
A
B
C
= =
，
不能判断
ABC
是直角三角形的有（ ）个
A．1
B．2
C．3
D．4
5．（24-25 八年级上·吉林·期中）下列条件不能判定
ABC
是直角三角形的是（ ）
A．
1 2 3
A
B
C
=
:
:
: :
B．
B
C
A
−
=
C．
2
3
A
B
C
= =
D．
40
A
=
，
50
B
=
题型一：含30°的直角三角形最值问题
1．（24-25 七年级下·江苏·期末）如图，在等边
ABC
中，AD为边BC 上的中线，
3
AD = ．将
ABC
沿着
射线AD方向向下平移得A B C
，连接A B
，BB，则2A B
BB
+
的最小值为 ．
2．（24-25 八年级下·陕西西安·期中）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，
30
A
=
，
4
AB =
，D 是直角
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20 /
边AC 上的一个动点，连接BD，以BD为边向外作等边BDE
，连接CE ．在点D 运动的过程中，线段CE 的
长的最小值为 ．
3．（2025·辽宁铁岭·三模）如图，在
ABC
中，
90 ,
30 ,
6
BAC
B
AB
=
=
=
，D 为AB 上一点，且
ADE
为
等边三角形，
2
AD =
．点F 是边BC 上的一个动点，连结DF ，以DF 为边在左侧作一个等边DFG
，连结
AG ．在整个运动过程中，AG 的最小值是 ．
4．（2025·山东东营·中考真题）如图，在
ABC
中，
6
AB =
，
30
BAC
=
，
BAC
的平分线交BC 于点D ，
M 、N 分别是AD和AB 上的动点，则BM
MN
+
的最小值是 ．
5．（24-25 八年级上·广东广州·期中）如图，四边形ABCD是长方形，
8
AD
BC
=
=
，
30
ABD
=
，若点M
是对角线BD上的一个动点，点N 是边AB 上的一个动点，则AM
MN
+
的最小值 ．
6．（24-25 八年级下·广东揭阳·期中）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
30
ABC
=
，点D 是BC 边上的点，
3
CD =
，将ACD
沿直线AD翻折，使点C 落在AB 边上的点E 处，若点P 是直线AD上的动点，则PE
PB
+
的最小值是 ．
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21 /
7．（24-25 八年级下·黑龙江大庆·期末）如图，在四边形ABCD中，
90
BAD
BDC
=
=
，
30
DBC
=
，
且
6
BD =
，则AC 的最大值为 ．
8．（24-25 八年级下·山东济南·期中）如图，
ABC
为等边三角形，
4
AB =
，AD
BC
⊥
，点E 为线段AD上
的动点，连接CE ，以CE 为边作等边
CEF
△
，连接DF ，则线段DF 的最小值为 ．
题型二：含30°的直角三角形多结论问题
1．（24-25 八年级下·河南郑州·期末）如图，在
ABC
中，
90
BAC
=
，
60
ABC
=
，BE 平分
ABC
交AC
于点E ，AD
BE
⊥
于点D．下列结论：①AC
BE
AE
−
=
；②
BCE
ABE
S
2S
=
；③
DAE
C
=
；④
4 3
BC
AD
=
．其中正确的有（ ）
A．①②③
B．②③④
C．①②④
D．①③④
2．（2025·四川南充·三模）如图，在
ABC
中，
60
BAC
=
，
2
AC
AB
=
，点D 为AC 的中点，以A 为圆心，
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22 /
画两条半径不相等的弧，分别与AB ，AC 交于点E ，F 和点M ，N ，连接MF 与NE 交于点P ，作射线AP ，
分别与BC ，BD交于点G ，H ，则下列说法不正确的是（ ）
A．
90
ABC
=
B．
BAG
CAG
=
∠
∠
C．
3
AH
GH
=
D．
2
CG
DH
=
3．（24-25 七年级下·上海·阶段练习）如图，已知
ABC
和BDE
都是等边三角形（A，B，D 共线）．下列
结论，①AE
CD
=
；②BF
BG
=
；③
120
AHD
=
；④BFG
是等边三角形；⑤FG
AD
∥
；⑥BH 平分
CBE
；
⑦BH 平分
AHD
；⑧DH
HE
BH
+
．其中错误的有（ ）．
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
4．（24-25 七年级下·重庆南岸·期末）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ABC
=
，分别以顶点A，C 为圆心，大于
1
2 AC 的长为半径画弧，两弧分别相交于点M，N，作直线MN 分别与BC
AC
，
交于点E，F，连接BF ；以
点A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB
AC
，
于点H，G，再分别以点H，G 为圆心，大于1
2 HG 的长
为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP ．若射线AP 恰好经过点E，则下列四个结论，正确的个数是（ ）
①
30
C
=
；②AP 垂直平分线段BF ；③CE
AF
=
；④
1
6
BEF
ABC
S
S
=
△
△
．
A．1
B．2
C．3
D．4
5．（24-25 七年级下·重庆·期末）如图，在
ABC
中，
60
ABC
=
，CF 平分
ACB
交AB 于点F，AE 平分
BAC
交BC 于点E，AE 、CF 相交于点G，AD
CF
⊥
交CF 的延长线于点D，连接BD．当AB
AC
时，
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23 /
下列结论中正确的有（ ）
①若
80
ACE
=
，则
10
BAD
=
；②
2
AG
DG
=
；③AC
AF
BE
=
+
；④
AGF
CGE
S
AG
S
CG
=
．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
6．（24-25 九年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在
ABC
中，
90 ,
30
C
B
=
=
，以A 为圆心，任意长为半
径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，
连结AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是（ ）
①AD是
BAC
的平分线；②
60
ADC
=
；③DA
DB
=
；④
12
DAC
ABC
S
S
=
:
:
A．1
B．2
C．3
D．4
7．（24-25 八年级下·山东菏泽·期中）如图，在四边形ABCD中，
,
AB
BC AD
CD
=
=
，我们把这种两组邻边
分别相等的四边形叫做“筝形”，筝形ABCD的对角线
,
AC BD 相交于点O．已知
120
ADC
=
，
60
ABC
=
，
小婵同学得到如下结论：①
ABC
是等边三角形；②
2
BD
AD
=
；③
ABCD
S
AC BD
=
四边形
；④点M、N 分
别在线段
,
AB BC 上，且
60
MDN
=
，则MN
AM
CN
=
+
，其中正确的结论有（ ）
A．①②③
B．①③④
C．①②④
D．②③④
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24 /
题型三：直角三角形判定定理综合应用
1．（24-25 七年级下·安徽池州·期末）把一块含60角的直角三角尺EFG（其中
90
EFG
=
，
60
EGF
=
）
按下图所示的方式摆放在两条平行线AB ，CD之间．
(1)如图1，若三角形的60角的顶点G 落在CD上，且
2
1
= ，求1
的度数．
(2)如图2，若把三角尺的直角顶点F 放在CD上，30角的顶点E 落在AB 上，AEG
与
DFG
的数量如何？
说明理由．
2．（24-25 七年级下·四川成都·期末）在
ABC
中，
90
ABC
=
．
(1)当
30
BAC
=
时，
①如图1，作边AB 的垂直平分线DE ，交AC 于点D，交AB 于点E．若
3
BC = ，求AC 的长；
②如图2，AF 为
ABC
的角平分线，在边AB 上取一点G，使得GF
CF
=
，求
CFG
的度数；
(2)如图3，作BH
AC
⊥
于点H，AM 平分
HAB
，交BH 于点M，点N在边AB 上，连接CM
MN
，
，若AN
MN
=
，
2
90
CAB
BCM
+
=
，试探究CH
CM
+
与AH 的数量关系并说明理由．
3．（24-25 八年级下·辽宁沈阳·期末）在
ABC
中，点D 是AC 的中点，CE
AB
⊥
于点E ，BD与CE 交于点
O，且BE
CD
=
．
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25 /
(1)如图1，当点E 为AB 的中点时，
①求证：
ABC
是等边三角形；
②
OBC
ABC
S
S
=
___________；
(2)如图2，判断
BDC
与
ABD
的数量关系，并说明理由．
4．（24-25 七年级下·广东深圳·期末）几何探究：
已知：
ABD
△
利
AEC
△
都是等边三角形，连接CD，BE 交于点P ．
(1)如图1，①判断BE 与DC 的数量关系：_______________．
BPD
=______________：
②连接
,
AP
APD
与
APE
的数量关系是：______________；
(2)如图2，H，G 分别是DC ，BE 的中点，
①当
60
BAC
=
时，
AGH
=______________；
②当
BAC
发生变化时，请探究
AGH
的度数是否发生变化，并说明理由：
(3)连接AP ，求
2
PB
PC
PA
PD
PE
+
+
+
的值．
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26 /
5．
（24-25 八年级上·重庆秀山·期末）在
ABC
中，点P 为AB 上一点，D 为AC 上一点，连接PC 、BD、PD，
已知
,
,
PD
PB AP
CP
BPC
APD
=
=
=
．
(1)如图1，若
35
BAC
=
，求
ACB
的度数．
(2)如图2，点E 是BD的中点，过点E 作CP 的垂线，分别交CP 于点F ，交AC 于点G ，交BC 于点H ．求
证：AG
CG
=
．
(3)如图3，ABC
中，若
=60
B
，M 为线段BC 上一点，N 为线段AB 上一点，且BN
BC
=
，点Q 在AB 下
方，若
60 ,
MNQ
MN
NQ
=
=
，
24,
16
AB
BC
=
=
，连接AQ ，当AQ 取最小值时，直接写出BM 的长度．
6．（24-25 八年级下·全国·期中）已知，ABC
是等边三角形，
6
AB =
，将一块含有30角的直角三角板DEF
如图放置，让等边三角形ABC 向右平移( BC 只能在EF 上移动)，如图(1)，当点E 与点B 重合时，点A 恰好
落在直角三角板的斜边DF 上．
(1)若点C 平移到与点F 重合，求等边三角形ABC 平移的距离．
(2)等边三角形ABC 在向右平移过程中，AB ，AC 与三角板斜边的交点分别为G，H，连接EH 交AB 于点P，
如图(2)．
①求证：EB
AH
=
．
②若
30
HEF
=
，则EH = _ ．
③判断PG 的长是否会发生变化．如果不会变化，请求出PG 的长；如果会变化，请说明理由．
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27 /
题型四：直角三角形判定定理中实践探究问题
1．（24-25 八年级下·辽宁丹东·期中）（1）问题提出：如图1，点E 为等腰
ABC
内一点，AB
AC
=
，若另
有一个以AD、AE 为腰的等腰
AED
△
且
BAC
EAD
=
，求证：ABE
ACD
≌
．
（2）尝试应用：如图2，点D 为等腰Rt
ABC
△
外一点，AB
AC
=
，BD
CD
⊥
，过点A 的直线分别交DB的
延长线和CD的延长线于点N 、M ，BD与AC 交于点K ，
60
M
=
，
90
BAC
=
，求证：
2
MC
NB
AM
+
=
．
（3）问题拓展：如图3，ABC
中，AB
AC
=
，点D ，E 分别在边AC ，BC 上，
60
BDA
BEA
=
=
，AE ，
BD交于点H ，等边
ABF
△
的边AF 与BC 相交于G 点．若
4
CE =
，
2
AH =
，请直接写出BE 的长度．
2．（24-25 九年级下·北京·阶段练习）在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，
B
=
，点D 在AB 边上，点F 在射线AC
上，连接FD ，将线段FD 绕点F 逆时针旋转2得到线段FE，点E 在BC 边上．
(1)如图1，点F 与点C 重合，FD
AB
⊥
，求证：E 是BC 的中点；
(2)如图2，点F 在AC 的延长线上时，作EG
CA
交AB 于点G ，用等式表示线段BG 与AD的数量关系，并
证明．
3．（24-25 八年级下·河北邯郸·期中）定义：如果一个三角形中有两个内角a
，
满足
2
90
a
+
=
，那么我
们称这个三角形为“近直角三角形”．
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28 /
(1)在
ABC
中，
40
115
B
C
=
=
，
，则
ABC
___________“近直角三角形”（填“是”或“不是”）；
(2)如图①，若
ABC
是“近直角三角形”，
90
B
，
50
C
=
，则
A
=___________；
(3)如图②，在Rt
ABC
△
中，
90
30
1
BAC
C
AB
=
=
=
，
，
，在AB 的延长线上是否存在点E ，使得BCE
是“近直角三角形”？若存在，求出AE 的长；若不存在，请说明理由．
4．（24-25 八年级下·山东青岛·期中）【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．
例如：如图①．在
ABC
和A B C
中，AD，A D
分别是BC 和B C
边上的高线，且AD
A D
=
，则
ABC
和A B C
是等高三角形．
【性质探究】
如图①，用
ABC
S
，
A B C
S
分别表示
ABC
和A B C
的面积．
则
1
2
ABC
AD
S
BC
=
，
1
2
A B C
S
B C
A D
=
△
，
AD
AD
=
∴
:
:
.
ABC
A B C
S
S
BC B C
=
△
【性质应用】
(1)如图②，D是
ABC
的边BC 上的一点．若
3
BD =
，
4
DC =
，则
:
ABD
ADC
S
S
=
△
△
______；
(2)如图③，在
ABC
中，D ，E 分别是BC 和AB 边上的点．若
:
1:2
BE AB =
，
:
1:3
CD BC =
，
1
ABC
S
=
△
，
则
BEC
S
=
△
______，
CDE
S
=
△
______；
(3)如图③，在
ABC
中，D ，E 分别是BC 和AB 边上的点，若
:
1:
BE AB
m
=
，
:
1:
CD BC
n
=
，
ABC
S
a
=
，
则
CDE
S
=
△
______．
(4)在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，
30
A
=
，CD是AB 边上的高．
求：①ACD
与
BCD
△
的面积之比；
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29 /
②若
Rt
16
ABC
S
=
△
，求
ACD
S
和
BCD
S△
的具体值．
5．（24-25 八年级下·陕西西安·期中）回归教材
教材上通过对两个含30角的三角板的摆放，得到“在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半”
这一性质．小涵受此启发，给出如下不完整的证明过程．
已知：如图，在Rt
ABC
△
中，
90
30
ACB
ABC
=
=
，
．求证：
1
2
AC
AB
=
．
证明：如图，延长AC 至点D ，使CD
CA
=
，连接BD．
90
ACB
=
，
BC
垂直平分AD，
AB
BD
=
．
……
（1）请补全剩余的证明过程．
知识应用
（2）如图1，用两个大小不等的直角三角板作拼图，小三角板的斜边与大三角板的直角边正好重合．若
2
AD =
，
30
B
ACD
=
=
，则AB 的长为________．
（3）如图2，在（2）的条件下，若将小三角板ACD沿着射线AB 方向平移，设平移的距离为m ，当点D 平
移到大三角板ABC 的边上时，求出m 的值．
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30 /
6．（24-25 七年级下·辽宁沈阳·期末）【问题情境】
在综合与实践课上，同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线，为背景开展数学活动．如图，已知
两直线MN
PQ
，
且MN
PQ
∥
，在
ABC
中，
90
BCA
=
，
60
30
B
A
=
=
，
．
【解决问题】
（1）如图1，若
1
43
=
∠
，求
2
的度数；
【深入探究】
（2）如图2，当
1
43
=
∠
的度数不变时，创新小组的同学把直线MN 向上平移，求
3
的度数；
【拓展应用】
（3）创意小组将图形继续变化得到图3，若AC 平分
BAP
，求
4
的度数．
7．（24-25 七年级下·广东深圳·期末）综合实践：数学课上，王老师以“两条线段和的最小值”为题，把“两点
之间，线段最短”以及“垂线段最短”两个知识融合在一起展开一节探究活动课．
【活动一】情境再现，明晰原理
示例1：将最短路径问题（有人称“将军饮马”问题）转化为数学问题．如图①，用直线l 表示河岸，将军从
山脚下的点A 出发，到达河岸点C 饮马后回到点B 宿营，怎样走使他每天所走路程的和最短？
作法是：如图1②，作点B 关于直线l 的对称点B，连接AB与直线l 交于点C ，则点C 即为饮马的地方，
此时将军从点A 走到点C ，再回到点B 所走的总路程最短．
示例2，如图1③，要在河岸l 上建一座水泵房Q ，修建引水渠PQ，使得Q 到村庄P 的跑离最短．施工人员
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31 /
的做法是：过点P 作PQ
l
⊥于点Q ，将水泵房建在Q 处，这样修建引水渠PQ 最短，即省人力又省物力．示
例1 中所经含的数学原理是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短
【活动二】感悟方法，尝试应用
如图2，在等边三角形ABC 中，AD是
ABC
的中线．
①直接写出BD与AB 的数量关系__________________：
②若
4
=
AD
．点E 为AB 边的中点，点F 为AD上一点，当BF
EF
+
的值最小时，在图2 上标注点F 的位置，
并求出BF
EF
+
的最小值；
【活动三】迁移拓展，综合应用
如图3，在Rt
ABC
△
中，
30
B
=
，点D 在斜边BC 上，且
4
4
BC
CD
=
=
，AE 是BAC
的角平分线，点F ，
点G 分别为AC ，AE 上一点，求DG
FG
+
的最小值．
8．（2025·江西新余·一模）【课本再现】
（1）课本上通过对两个含30角的三角板的摆放，得到“在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的
一半”这一性质．小涵受此启发给出如下不完整的证明过程：
已知：如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，
30
ABC
=
．求
证：
1
2
AC
AB
=
．
证明：如图，延长AC 至点D ，使CD
CA
=
，连接BD，
90
ACB
=
，
BC
垂直平分AD，
BA
BD
=
……
请补充上述证明过程．
【知识应用】
（2）如图1，用两个大小不等的直角三角板作拼图，小三角板的斜边与大三角板的短直角边正好重合，已
知：
2
AD =
，
30
B
ACD
=
=
．
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①AB 的长为_____；
②如图2，若将小三角板ACD沿着射线AB 方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点A 沿AB 方向所经
过的线段长度）．当点D 平移到大三角板ABC 的边上时，直接写出相应的m 的值．
9．（24-25 八年级下·山西运城·期中）综合与探究
【问题情境】如图1，已知
ABC
是等边三角形，
6
AB =
，D 是AC 边的中点，以AD为边，在
ABC
外部
作等边三角形ADE ．
【操作探究】将
ADE
从图1 的位置开始，沿射线AC 方向平移，点A，D，E 的对应点分别为点A，D¢，
E．
（1）如图2，善思小组的同学画出了BA
BD
=
时的情形，求此时
ADE
平移的距离；
（2）如图3，F 是BC 的中点，A在线段AC 上（不与点C 重合），连接EF交AC 于点O，敏学小组的同学
发现OE
OF
=
始终成立，请你证明这一结论；
【拓展延伸】
（3）在
ADE
平移的过程中，当以F，A，D¢为顶点的三角形成为直角三角形时，直接写出
ADE
平移的
距离．
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10．（24-25 八年级下·山西晋中·期中）阅读与思考
下面是果果同学的数学日记片段，请认真阅读并完成相应的任务．
3 月28 日 星期五 晴
对含30角的三角形的进一步探索
在复习第一章《三角形的证明》时，我发现在基本的几何图形中，通过增加新的几何元素，
会出现新的结论．下面是我对含30角的三角形进行的一些探究．如图1，在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
30
A
=
．
【初步探究】
如图2，在图1 的基础上，作
ABC
的角平分线BD，可以得到
2
AD
CD
=
．
如图3，在图1 的基础上，作边AB 的垂直平分线分别交边AC
AB
，
于点D，E，也可以得
到
2
AD
CD
=
．
【深入探究】
如图4，在图1 的基础上，作
ABC
的高线CF ，发现了线段AF 与BF 的数量关系．
【拓展延伸】
如图5，在
ABC
中，AB
AC
=
，
30
B
=
，我发现利用上面的探究结论可以用尺规作图
找到边BC 的三等分点．
任务：
(1)求证：
2
AD
CD
=
（从图2、图3 中选择一个进行证明即可）；
(2)请直接写出图4 中线段AF 与BF 的数量关系；
(3)请在图5 中找到边BC 的一个三等分点（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
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1．（24-25 八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在四边形ABCD中，
60
90
AB
AD
A
ADC
=
=
=
，
，
，过点
C 作CE
AB
∥
，分别交AD、BD于点E
F
、，若
8
CE =
，则CF 的长为（ ）
A．7
B．6
C．5
D．4
2．（24-25 八年级下·湖南怀化·期末）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
B
?
? ，
30
A
=
．以点C 为圆心，任意长
为半径画弧，交CB
CA
、
于点D
E
、，再分别以点D
E
、为圆心，大于DE 长为半径作弧，两弧交于点P，作
射线CP 交AB 于点H．
8
CH = ，Q 是边AC 上一动点，则点H
Q
、
之间的最小距离为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．8
3．（24-25 八年级下·辽宁锦州·期末）如图，在
ABC
中，
60
C
=
，过点A 作AD
BC
⊥
于点D ，过点B 作
BE
AC
⊥
于点E ，交AD于点F ．若AF
DF
=
，
1
EF = ，则BE 长为（ ）
A．5 3
B．4 3
C．5
D．4
4．（24-25 八年级下·湖南永州·期中）如图，小丽在荷塘边观看荷花，她把一株竖直的荷花拉到岸边，花柄
正好与水面成60夹角，测得AB 长1m，则OB 长为（ ）
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A．1m
B．2 m
C．3 m
D．4 m
5．（24-25 八年级上·江苏无锡·期中）如图，ABC
中，
60
ACB
=
，点D 在AB 上，
14,
60
CD
BDC
=
=
，
延长CB 至点E，使CE
AC
=
，过点E 作EF
CD
⊥
于点F，交AB 于点G，若5
3
DG
AD
=
，则DF 的值是（ ）
A．14
13
B．19
13
C．20
13
D．21
13
6．（24-25 八年级下·广东揭阳·期中）如图，ABC
中，
90
C
=
，BD是
ABC
的角平分线，点D 在AB 的
垂直平分线上，若
6
AD =
，则CD = ．
7．（24-25 七年级下·山东威海·期末）如图，在
ABC
中，
90
C
=
，
60
BAC
=
．AD平分
BAC
，交BC
于点D，DE
AB
⊥
，垂足为点E ；DF 平分
BDE
，交AB 于点F ，FG
BC
⊥
，垂足为点G ．若
9
AC =
，
则FG = ．
8．（24-25 七年级下·河南洛阳·期末）如图，正三角形ABC 的面积是2，O 为三角形的中心（三条中线的交
点），点D、E 分别在边BC 、AB 上，且
120
DOE
=
，则阴影部分的面积为 ．
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9．（24-25 八年级上·内蒙古乌海·期中）如图，
ABC
是等边三角形，AD
BC
⊥
于点D，DE
AB
⊥
于点E，
若
6
AB =
，则BE 的长度为 ．
10．（24-25 七年级下·四川成都·期中）如图，点P 为等边
ABC
内一点，过点P 分别向AB ，BC ，AC 边作
垂线，垂足分别为D，E ，F ；若
6
AD =
，
4
BD =
，
3
CE =
，则AF 的值为 ．
11．（24-25 八年级下·陕西西安·期末）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，
30
ABC
=
．用尺规作图法，
在边BC 上求作一点D，使得
:
1:2
CD BD =
（保留作图痕迹，不要求写作法）．
12．（24-25 八年级下·全国·期中）已知在
ABC
中，
ACB
的平分线CD交AB 于点D，DE
BC
∥
．
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(1)如图1，求证：CDE
是等腰三角形；
(2)如图2，若DE 平分
ADC
交AC 于E，
30
ABC
=
，在BC 边上取点F 使BF
DF
=
，若
12
BC =
，求DF
的长．
13．（24-25 八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在
ABC
中，
30
ACB
=
，DE 是边AC 的垂直平分线，点O
在DE 上，
OAB
OBA
=
．
(1)求证：
OAB
△
是等边三角形；
(2)若
2
4
OD
OE
=
=
，
，求BE 的长．
14．
（24-25 七年级下·河南驻马店·期中）一艘客轮由西向东行驶，在A 点处测得距灯塔B 的距离为40nmile ，
前进方向AC 与直线AB 夹角为30．
(1)分别用方向和距离描述灯塔相对于客轮的位置和客轮相对于灯塔的位置？
(2)如果在灯塔B 的周围25nmile的范围内有暗礁，客轮若不改变方向有没有触礁的危险．（温馨提示：按照
适当的比例画图测量换算）
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15．（24-25 八年级下·陕西咸阳·期中）如图，
ABC
是等边三角形，
12 cm
AB
AC
BC
=
=
=
，点P 从点B 开
始以3 cm / s 的速度向点A 运动，点Q 从点C 开始以2cm / s的速度向点B 运动，
,
P Q 两点同时出发，当有一
点到达目标点时另一点也随之停止运动，连接PQ ，设运动的时间为st ，请解答下面的问题：
(1)用含t 的代数式表示：BP = _____cm，BQ = _____cm；
(2)当t 为何值时，
BPQ
是直角三角形？
16．（24-25 八年级下·广东深圳·期中）已知：
ABC
中，AB
AC
=
，点D 为AC 上一点，连接BD并延长至
点E ，连接AE
CE
，
，使
BEC
BAC
=
．
(1)【初步探究】如图1，当
60
BAC
=
时，求证：AE
CE
BE
+
=
．为了解决这一问题，八年级2 班数学兴趣
小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：“在BE 上截取BH
CE
=
，连接AH ，如图2 ，通过证明
(
)
SAS
ABH
ACE
≌
可推出AH
AE
=
，再证出
HAE
△
为等边三角形，从而顺利得到AE
CE
BE
+
=
这一结论”，
请你按照该思路写全
．．证明过程；
(2)【深入领会】如图3，当
90
BAC
=
时，（1）中结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请直
接写出结论： ；
(3)【问题解决】如图4 ，在（2 ）的条件下，在BE 上截取BF
CE
=
，连接CF ，点G 在EF 上，连接AG ，
且
75
EAG
=
，
BAG
ACF
=
，
4 3
CF =
，求AG 的长．
