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试卷第1 页，共59 页
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分层作业
2.3 二次根式
目 录
A 组 巩固过关
题型01 二次根式的认识
题型02 二次根式的成立条件
题型03 二次根式含参数问题
题型04 二次根式性质的应用
题型05 实数范围内配完全平方
题型06 最简二次根式
题型07 同类二次根式
题型08 二次根式的综合运用
题型09 分母有理化
题型10 实数运算的新定义题型
题型11 二次根式的实际应用
B 组 能力进阶
C 组 思维拔高
拓展 链接中考
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二次根式的认识
一、单选题
1．下列式子是二次根式的是（ ）
A．7
B．3 9
C．
5
−
D．
2
x+
【答案】A
【分析】二次根式的定义为：形如
(
)
0
a a
的式子叫做二次根式，二次根式需同时满足两个条件：根指数
为2，被开方数为非负数．
【详解】解：选项A 中7 根指数为2，被开方数7
0
，符合二次根式定义，
选项B 中3 9 根指数为3，是三次根式，不符合定义，
选项C 中
5
−被开方数5
0
−
，无意义，不符合定义，
选项D 中
2
x+
是多项式，不含二次根号，不符合定义．
2．下面式子中，不是二次根式的是（ ）
A．
4
9
B．
3
−
C．0.25
D．
2
a
【答案】B
【分析】二次根式的被开方数必须为非负数，据此判断选项即可得到答案．
【详解】解：选项A 中4
0
9
，满足被开方数非负，是二次根式，该选项不符合题意；
选项B 中被开方数3
0
−
，不满足二次根式的要求，不是二次根式，该选项符合题意；
选项C 中0.25
0
，满足被开方数非负，是二次根式，该选项不符合题意；
选项D 中对任意实数a 都有
2
0
a
，满足被开方数非负，是二次根式，该选项不符合题意．
3．下列各式是二次根式的是（ ）
A．5
B．
2
−
C．
2
π
−
D．3 3
【答案】A
【详解】解：选项A 中，被开方数5
0
，满足定义，故A 是二次根式；
选项B 中，被开方数2
0
−
，二次根号下负数无意义，故B 不是二次根式；
选项C 中，
3.14
，可得2
π
0
−
，二次根号下负数无意义，故C 不是二次根式；
选项D 中，3 3 是三次根式，不满足定义，故D 不是二次根式．
题型01
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4．下列式子①
1
3
：②
5
−；③
2
1
x
−
+ ；④3 3 ：⑤
2
1
3
−
中，二次根式的个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【分析】根据二次根式的定义逐个判断每个式子，统计符合条件的个数即可得到答案．
【详解】解：①
1
3
：根指数为2，被开方数1
0
3
，是二次根式；
②
5
−：被开方数5
0
−
，在实数范围内无意义，不是二次根式；
③
2
1
x
−
+ ：根指数为2，
2
0
x
，
2
1
1
0
x
+
，满足被开方数非负，是二次根式；
④3 3 ：根指数为3，属于三次根式，不是二次根式；
⑤
2
1
3
−
：根指数为2，被开方数
2
1
1
0
3
9
−
=
，是二次根式；
综上，符合条件的二次根式共3 个，故选B．
5．按一定规律排列的单项式：
2
a ，
4
2a ，
6
3a ，
8
2a ，
10
5a
，……；第n 个单项式为（ ）
A．
n
na
B．
2
1
n
n
a
+
C．
2n
na
D．
2
1
n
na
+
【答案】C
【分析】分别找出单项式的系数和次数的变化规律，即可推出第n 个单项式的表达式．
【详解】解：将已知单项式按序号整理可得：
第1 个：
2
2 1
1
a
a
=
，
第2 个：
4
2 2
2
2
a
a
=
，
第3 个：
6
2 3
3
3
a
a
=
，
第4 个：
8
2 4
2
4
a
a
=
，
第5 个：
10
2 5
5
5
a
a
=
，
...
根据规律可得，第n 个单项式的系数为n ，a 的次数为2n ，
∴第n 个单项式为
2n
na
．
试卷第4 页，共59 页
二、填空题
6．下列式子
3
−
，
(
)
0
a a
，
(
)
1
0
b
b
−
+
，(
)
2
1
m
−
中，二次根式的个数是________个．
【答案】3
【分析】根据二次根式的定义：形如
(
)
0
a a
的式子叫做二次根式，对各式子逐个判断．
【详解】解：
3
−
，被开方数3
0
，满足
0
a
，被开方数满足非负要求，是二次根式；
(
0)
a a
，被开方数
0
a
，不满足定义，不是二次根式；
(
)
1
0
b
b
−
+
，由
0
b
得
1 1
0
b+ ，被开方数满足非负要求，是二次根式；
2
(1
)
m
−
，根据平方的非负性，可得
2
(1
)
0
m
−
，被开方数满足非负要求，是二次根式；
综上所述，二次根式的个数是3 个．
二次根式的成立条件
一、单选题
1．二次根式2025
x
−
中字母x 的取值范围是（ ）
A．
2025
x
B．
2025
x
C．
2025
x
D．
2025
x
【答案】A
【分析】根据“二次根式被开方数为非负数”列不等式即可求解x 的取值范围．
【详解】解：∵二次根式a 有意义的条件是被开方数
0
a
，
∴对于二次根式2025
x
−
，可得不等式2025
0
x
−
，
解不等式得
2025
x
．
2．在函数
2
1
y
x
=
+ 中自变量x 的取值范围是（ ）
A．
1
x
−
B．
1
x
C．
1
x −
D．
1
x
−
【答案】C
【分析】本题考查函数自变量的取值范围，需同时满足二次根式的被开方数为非负数，且分母不为0，据此
列不等式求解即可.
题型02
试卷第5 页，共59 页
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【详解】∵函数
2
1
y
x
=
+ 中，
1
x + 是二次根式且在分母位置，
∴被开方数需满足
1
0
x+
，同时分母满足
1
0
x +
，
联立得
1
0
x+
，
解得
1
x −．
二、填空题
3．二次根式3
2
x −
中，x 的取值范围是_________________．
【答案】
2
3
x
【分析】根据二次根式被开方数大于等于0 列不等式求解即可．
【详解】解：根据二次根式有意义的条件可得
3
2
0
x−
，
移项得 3
2
x≥，
系数化为1得
2
3
x
．
4．若(
)
2
1
1
b
b
−
=
−，则b ___ 1（用“ , , , ,
= ”填空）
【答案】=
【分析】先根据二次根式有意义的条件得到1 b
−的取值范围，再结合二次根式的性质化简等式左边，最后
解方程得到b 与1的关系．
【详解】解：根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得1
0
b
−
，即
1
b ，
根据二次根式的性质，可得(
)
2
1
1
b
b
−
= −，
因此1
1
b
b
−= −，解得
1
b = ．
5．若式子1
2
x
+
−
在实数范围内有意义，则x 的取值范围是_______．
【答案】
2
x
【分析】二次根式有意义的条件为被开方数是非负数，据此列出不等式求解即可．
【详解】解：根据二次根式有意义的条件得：2
0
x
−
，
解得
2
x
．
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三、解答题
6．已知a
b
，为实数，且a
b
，满足
7
7
1
a
a
b
−
+
−
=
+ ．
(1)求a 的值；
(2)求
2
2
a
b
−
的平方根．
【答案】(1)
7
a =
；
(2)
2
2
a
b
−
的平方根为4 3
．
【分析】（1）由二次根式有意义的条件，可得
7
0
a −
，7
0
a
−
，即可得a 的值；
（2）由（1）得
7
a =
，结合已知可得
1
b = −，可得
2
2
a
b
−
，即可得
2
2
a
b
−
的平方根．
【详解】（1）解：∵
7
0
a −
，
∴
7
a
，
∵7
0
a
−
，
∴
7
a
，
∴
7
a =
．
（2）解：∵
7
a =
，
∴
7
0
a −
=
，7
0
a
−
=
，
∵
7
7
1
a
a
b
−
+
−
=
+ ，
∴
1
0
b+ =
，
∴
1
b = −，
∴
(
)
2
2
2
2
7
1
49 1
48
a
b
−
=
−−
=
−=
，
∴
2
2
a
b
−
的平方根为
48
4 3
=
．
7．按要求解答下列各题：
(1)已知x，y 为实数，且
3
3
2
y
x
x
=
−
+
−
−
，求
y
x 的值．
(2)设一个三角形的三边长为1，k，4，化简：
2
| 2
5|
12
36
k
k
k
−
−
−
+
．
【答案】(1) 1
9
(2)3
11
k −
【分析】（1）先根据二次根式有意义的条件求出x 的值，进而可得y 的值，再代入计算即可；
（2）根据三角形的三边关系定理可得3
5
k
，据此化简绝对值和二次根式，再计算整式的加减即可．
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【详解】（1）解：由题意得：
3
0
3
0
x
x
−
−
，
解得
3
x = ，
∵
3
3
2
y
x
x
=
−
+
−
−
，
∴
2
y = −，
∴
2
1
3
9
yx
−
=
=
．
（2）解：∵一个三角形的三边长为1, ,4
k
，
∴4 1
4 1
k
−
+ ，即3
5
k
，
∴1
2
5
5
k
−，
6
1
0
k −−
，
∴
2
2
5
12
36
k
k
k
−
−
−
+
(
)
2
2
5
6
k
k
=
−−
−
2
5
6
k
k
=
−−
−
(
)
2
5
6
k
k
=
−−
−
2
5 6
k
k
=
−−+
3
11
k
=
−
．
二次根式含参数问题
一、单选题
1．若72n 是整数，则正整数n 的最小值是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．8
【答案】A
【分析】先对72 分解因数，将根号内整理为平方数与剩余因数乘积的形式，根据二次根式结果为整数的要
求，即可求出最小正整数n．
【详解】解：∵
2
72
6
2
=
∴
2
72
6
2
6 2
n
n
n
=
=
∵72n 是整数，且n 为正整数
题型03
试卷第8 页，共59 页
∴
2n 是整数，即2n为完全平方数
∴ 正整数n 的最小值为2 ．
二、填空题
2．已知
5
n +
是整数，则正整数n 的最小值为____________．
【答案】4
【详解】解：
n
是正整数，
5
n +
是整数，
5
n
+ 是完全平方数，
∵大于5的最小完全平方数是9，
∴
5
9
n+ =
，
解得
4
n =
．
3．当x 的值为______时，5
1
4
x −+
的值最小，这个最小值为______．
【答案】 1
5 4
【分析】本题考查了二次根式的性质，利用二次根式的性质
(
)
0
0
a
a
解答即可，掌握二次根式的性质
是解题的关键．
【详解】解：∵5
1
0
x −
，
∴当5
1
0
x−=
时，即
1
5
x =
，
5
1
x −
取最小值0 ，
此时5
1
4
x −+
的值最小，最小值为0
4
4
+
=
，
故答案为：1
5 ，4 ．
4．若实数m 满足(
)
2
1
1
m
m
−
= −
，则m 的取值范围是 ___________．
【答案】
1
m /1
m
【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质即可求出m 的取值范围．理解
(
)
(
)
2
0
0
a a
a
a
a a
=
= −
是解决问题的关键．
【详解】解：由题意可知：
1
0
m−
，
解得：
1
m ，
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故答案为：
1
m ．
二次根式性质的应用
一、单选题
1．下列各式中运算结果正确的是（ ）
A．
2
3
2
3
−
=
−
B．2
3
5
+
=
C．
4
2
9
3
=
D．(
)
2
2
2
−
= −
【答案】C
【详解】解：A、∵
3
2 ，
∴
2
3
0
−
，
∴
2
3
3
2
−
=
−
，此项错误；
B、2 和3 不是同类二次根式，不可合并，此项错误；
C、
4
4
2
9
3
9
=
=
，此项正确；
D、(
)
2
2
4
2
−
=
=
，此项错误．
2．若
2
(
5)
5
a
a
−
=
−，则a 的取值范围是（ ）
A．
5
a
B．
5
a
C．
5
a
D．
5
a
【答案】A
【分析】利用二次根式的性质化简原式，再根据绝对值的性质列不等式求解即可．
【详解】解：根据二次根式的性质，得
2
(
5)
5
a
a
−
=
−
，
∵
2
(
5)
5
a
a
−
=
−，
∴
5
5
a
a
−
=
−，
根据绝对值的性质，若一个数的绝对值等于它本身，则这个数为非负数，
∴
5
0
a −
，
解得
5
a ．
3．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简
2
2
1
(
1)
(
)
a
b
a
b
+ −
−
+
−
= （）
题型04
试卷第10 页，共59 页
A．2
B．2
2b
−
C．2a
D．2
2
2
a
b
−
−
【答案】A
【分析】根据数轴上点的位置确定a 、b 的取值范围，进而判断
1
a + 、
1
b −、a
b
−
的正负，利用绝对值和二
次根式的性质化简求值即可．
【详解】解：由数轴可知：1
0
a
−
，1
2
b
．
1
0
a
+
，
1
0
b−
，
0
a
b
−
．
原式|
1|
|
1|
|
|
a
b
a
b
=
+
−
−
+
−
(
1)
(
1)
[ (
)]
a
b
a
b
=
+
−
−
+ −
−
1
1
a
b
a
b
=
+ −+ −
+
2
=
．
二、填空题
4．计算(
)
2
6
2π
−
的结果是______（结果保留π ）．
【答案】2π
6
−
【分析】先比较出2π
6
，再结合二次根式的性质计算即可得出结果．
【详解】解：∵π
3.14
，
∴2π
6.28
6
，
∴6
2π
0
−
，
∴(
)
2
6
2π
2π
6
−
=
−．
5．实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简(
)
2
2
a −
的结果为________．
【答案】2
a
−
/
2
a
−+
【分析】由数轴可知1
2
a
，进而化简二次根式即可．
【详解】解：由数轴可知，1
2
a
，
所以
2
0
a −
，
根据二次根式的性质可得(
)
2
2
2
a
a
−
=
−
，
试卷第11 页，共59 页
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根据绝对值的性质可得
(
)
2
2
2
a
a
a
−
= −
−
=
−
，
所以(
)
2
2
2
a
a
−
=
−
．
6．当2
4
x
时，化简：
2
4
(
2)
x
x
−
+
−
= ________．
【答案】2
【详解】解：∵2
4
x
，
∴
2
4
(
2)
4
2
2
x
x
x
x
−
+
−
=
−
+
−
= ．
三、解答题
7．阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．
化简：
2
( 2
3 )
1
x
x
−
−
−
．
解：隐含条件2
3
0
x
−
，解得
2
3
x
．
1
0
x
−
，
原式(
) (
)
2
3
1
2
3
1
1
2
x
x
x
x
x
=
−
−
−
=
−
−+
= −
．
【启发应用】按照上面的解法，试化简
2
2
(
π)
( 3
)
x
x
−
−
−
（结果保留π ）；
【答案】
3
−
【分析】根据例子找出隐含条件，求出x 的取值范围，再根据算术平方根和绝对值的非负性，对原式进行化
简．
【详解】解：
2
2
(
π)
( 3
)
x
x
−
−
−
，
∵隐含条件3
0
x
−
，解得
3
x
，
∴
π
0
x−
，
原式(
) (
)
π
3
π
3
π
3
x
x
x
x
=
−
−
−
=
−
−+
=
−．
实数范围内配完全平方
一、填空题
1．8
2 7
−
=_____．
题型05
试卷第12 页，共59 页
【答案】7
1
−
【分析】本题主要考查了二次根式的化简以及运用完全平方公式进行计算，将根号内的被开方数配成完全
平方形式，再利用二次根式的性质化简即可得到结果．
【详解】解：
(
)
(
)
2
2
2
8
2 7
7
2 7
1
7
2 1
7
1
7
1
7
1
−
=
−
+ =
−
+
=
−
=
−，
7
1
，
7
1
0
−
，
7
1
7
1
−
=
−．
2．4
2 3,
96
63
−
−
像这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平
方式进行化简，如
(
)
(
)
2
2
2
4
2 3
3
2 3
1
3
2
3
1
3
1
3
1
−
=
−
+ =
−
+
=
−
=
−
(
)
(
)
(
)
2
2
2
5
2 6
3
2 6
2
3
2
6
2
2
3
2
3
2
+
=
+
+
=
+
+
=
+
=
+
请用上述方法探索并解决下列问题：11
2 30
+
=__________．
【答案】5
6
+
/
6
5
+
【分析】本题考查利用完全平方公式化简复合二次根式，熟练掌握二次根式的性质与完全平方公式的结构
是解题关键，将被开方数拆分为两个正数的和，构造完全平方式即可化简．
【详解】解：11 2 30
5
6
2 5
6
+
=
+
+
(
)
(
)
2
2
5
2
5
6
6
=
+
+
(
)
2
5
6
=
+
5
6
=
+
二、解答题
3．阅读与思考：
形如
2
m
n
的化简，只要我们找到两个数a，b，使得a
b
m
+
=
，ab
n
= ，
这样(
)
(
)
2
2
a
b
m
+
=
，
a
b
n
=
，
试卷第13 页，共59 页
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那么便有
(
)
2
2
(
)
m
n
a
b
a
b a
b
=
=
．
例如：化简
7
4 3
+
．
解：首先把
7
4 3
+
化为7
2 12
+
，这里
7
m =
，
12
n =
．
由于4
3
7
+ = ，4 3 12
?
，(
)
(
)
2
2
4
3
7
+
=
，
4
3
12
=
(
)
2
7
4 3
7
2 12
4
3
2
3
+
=
+
=
+
=
+
．
仿照上面的例题，解决下列问题．
(1) 11 2 30
−
；
(2)
7
40
+
．
【答案】(1) 6
5
−
(2) 5
2
+
【分析】（1）令
11,
30
m
n
=
=
，根据5
6
11,5 6
30
+
=
=
，结合例题化简二次根式即可；
（2）把所求式子变形为
7
2 10
+
，令
7,
10
m
n
=
=
，根据5
2
7,5 2
10
+
=
=
结合例题化简二次根式即可．
【详解】（1）解：令
11,
30
m
n
=
=
，
∵5
6
11,5 6
30
+
=
=
，(
)
(
)
2
2
5
6
5
6
11
+
=
+
=
，5
6
30
=
，
∴
(
)
2
11 2 30
6
5
6
5
−
=
−
=
−
；
（2）解：
7
40
7
2 10
+
=
+
，
令
7,
10
m
n
=
=
，
∵5
2
7,5 2
10
+
=
=
，(
)
(
)
2
2
5
2
5
2
7
+
=
+
=
，5
2
10
=
，
∴
(
)
2
7
40
7
2 10
5
2
5
2
+
=
+
=
+
=
+
．
最简二次根式
一、单选题
1．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A．
4
B．18
C．7
D．0.2
题型06
试卷第14 页，共59 页
【答案】C
【分析】根据最简二次根式的两个判定条件逐一判断选项即可得到答案，判定条件为：被开方数不含能开
得尽方的因数（或因式），且被开方数不含分母．
【详解】解： 对于选项A，
4
2
=
，被开方数4 含能开得尽方的因数，不是最简二次根式．
对于选项B，
18
3 2
=
，被开方数18含能开得尽方的因数，不是最简二次根式．
对于选项C，
7
满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式．
对于选项D，
1
5
0.2
5
5
=
=
，被开方数含分母，不是最简二次根式．
2．下列二次根式中，不是最简二次根式的是（ ）
A．5
B．
2
1
x +
C．10
D．
1
2
【答案】D
【分析】最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，
据此逐项分析即可．
【详解】解：A．5 满足条件，是最简二次根式；
B．
2
1
x + 满足条件，是最简二次根式；
C．10 满足条件，是最简二次根式；
D．
1
2
的被开方数含有分母，不满足最简二次根式的条件，因此不是最简二次根式．
3．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A．8
B．9
C．10
D．121
【答案】C
【分析】最简二次根式需满足两个条件：1、被开方数不含分母；2、被开方数不含能开得尽方的因数或因
式，根据定义逐一判断即可．
【详解】解：A、
2
8
2
2
2 2
=
=
，被开方数含能开得尽方的因数，因此不是最简二次根式；
B、9
3
=
，被开方数9是3的平方，能开得尽方，因此不是最简二次根式；
C、10 的被开方数10不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的条件，因此是最简二次根
式；
D、121
11
=
，被开方数121是11的平方，能开得尽方，因此不是最简二次根式．
试卷第15 页，共59 页
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4．在给出的4 个代数式2 3
3
，
1
2
，
2
a ，
3
3 中，最简二次根式的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【详解】解：2 3
3
，
1
2
，
2
a ，
3
3 中，
2 3
3
，
3
3 是最简二次根式，
1
2
的被开方数含有分母，
2
a 的被开方数含有能开得尽的因式，都不是最简二次根式，
故最简二次根式的个数是2.
二、填空题
5．在二次根式3 ，
4x ，
3
5
，0.25 ，
20 中，最简二次根式的个数有______个．
【答案】1
【分析】根据最简二次根式的定义，最简二次根式需要满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含
能开得尽方的因数或因式，逐个判断所给二次根式即可．
【详解】解：3 满足两个条件，是最简二次根式；
4x 中被开方数含能开得尽方的因数4 ，不是最简二次根式；
3
5
中被开方数含分母，不是最简二次根式；
0.25 中
1
0.25
4
=
，被开方数可开得尽方，不是最简二次根式；
20 中20
4 5
= ，被开方数含能开得尽方的因数4 ，不是最简二次根式，
因此符合条件的最简二次根式共1个．
三、解答题
6．判断下列二次根式是不是最简二次根式：
(1)
5
3
a ；
(2) 42a ；
(3)
3
24x ；
(4)
(
)
2
3
2
1
a
a
+
+
．
【答案】(1)不是
试卷第16 页，共59 页
(2)是
(3)不是
(4)不是
【详解】（1）解：因为被开方数5
3
a 含分母3，
所以
5
3
a 不是最简二次根式；
（2）解：因为被开方数可分解为42
2 3 7
a
a
= ，各因式的指数都为1，
所以42a 是最简二次根式；
（3）解：因为被开方数含因式
3x ，它的指数不为1，
所以
3
24x 不是最简二次根式；
（4）解：因为被开方数可分解为(
)
(
)
2
2
3
2
1
3
1
a
a
a
+
+
=
+
，其中因式(
)
2
1
+
a
的指数为2 ，
所以
(
)
2
3
2
1
a
a
+
+
不是最简二次根式．
同类二次根式
一、单选题
1．下列二次根式中，能与8 合并的是（ ）
A．2
B．5
C．10
D．3
【答案】A
【详解】8
4 2
2 2
=
=
，最简二次根式的被开方数为2 ，
A 选项2 的被开方数为2 ，与2 2 是同类二次根式，可以合并；
B 选项5 的被开方数为5，不是同类二次根式，不能合并；
C 选项10 的被开方数为10，不是同类二次根式，不能合并；
D 选项3 的被开方数为3，不是同类二次根式，不能合并．
2．下列各组二次根式是同类二次根式的是（ ）
A．2 与12
B．
4 与8
C．8 与12
D．3 与12
题型07
试卷第17 页，共59 页
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【答案】D
【分析】所有二次根式化为最简二次根式，再比较化简后的被开方数，被开方数相同的即为同类二次根式．
【详解】解：选项A：∵
12
2 3
=
，
2 的被开方数为2 ，2 3 的被开方数为3，2
3
，∴ A 错误；
选项B：∵
4
2
=
，8
2 2
=
，不是同类二次根式，∴ B 错误；
选项C：∵
8
2 2
=
，12
2 3
=
，被开方数2
3
，∴ C 错误；
选项D：∵
12
2 3
=
，化简后与3 的被开方数均为3，∴ 二者是同类二次根式，D 正确．
3．下列二次根式中，不是同类二次根式的是（ ）
A．
45 和
20
B．1 8
3
和
1
2 2
C．
75 和12
D．0.24 和
3
5
【答案】D
【分析】将每个选项中的二次根式化为最简二次根式，比较被开方数，找出被开方数不同的一组即可．
【详解】解：A 选项：∵
45
9 5
3 5
=
=
，20
4 5
2 5
=
=
，
∴两个二次根式被开方数都是5，是同类二次根式；
B 选项：∵1
1
2
8
2 2
2
3
3
3
=
=
，
1
2
2
2
2
2
2
=
=
，
∴两个二次根式被开方数都是2 ，是同类二次根式；
C 选项：∵75
25 3
5 3
=
=
，12
4 3
2 3
=
=
，
∴两个二次根式被开方数都是3，是同类二次根式；
D 选项：∵
24
2 6
6
0.24
100
10
5
=
=
=
，
3
15
5
5
=
，
∴两个二次根式被开方数分别为6 和15，不相同，不是同类二次根式．
二、填空题
4．化简：
1
3 =___________．
【答案】
3
3
【详解】
1
1
3
3
3
3
=
=
．
试卷第18 页，共59 页
5．在二次根式：
1
3
，
3
4
，24 ，18 中，与3 是同类二次根式的个数有_________个．
【答案】2
【详解】解：先将各二次根式化为最简二次根式：
1
3
3
3
=
，化简后被开方数为3，与3 是同类二次根式；
3
3
4
2
=
，化简后被开方数为3，与3 是同类二次根式；
24
2 6
=
，化简后被开方数为6 ，与3 不是同类二次根式；
18
3 2
=
，化简后被开方数为2 ，与3 不是同类二次根式；
因此与3 是同类二次根式的共有2 个.
6．若最简二次根式
2
x +
与3 2
1
x −是同类二次根式，则x 的值为______．
【答案】3
【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义可得
2
2
1
x
x
+
=
−，解方程即可．
【详解】解：∵最简二次根式
2
x +
与3 2
1
x −是同类二次根式，
∴
2
2
1
x
x
+
=
−，且
2
0
2
1
0
x
x
+
−
解得：
3
x = ，且
1
2
x
．
∴x 的值为3．
7．若最简二次根式
2
3
a −
与2 5 可以合并，则a 的值为________．
【答案】4
【分析】根据同类二次根式被开方数相同列方程求解即可．
【详解】解：最简二次根式
2
3
a −
与2 5 可以合并，
二者为同类二次根式，被开方数相等，即2
3
5
a−= ，
移项得2
5 3
a = + ，
2
8
a =
，
系数化为1得
4
a =
．
试卷第19 页，共59 页
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二次根式的综合运算
一、单选题
1．下列计算正确的是（ ）
A．2
3
5
+
=
B．2
3
6
=
C．(
)
2
2
2
−
= −
D．10
2
5
=
【答案】B
【分析】本题考查二次根式的运算法则与算术平方根的性质，根据对应规则逐一计算选项即可判断正误．
【详解】解：∵
2 与3 不是同类二次根式，无法合并，∴
2
3
5
+
，A 错误；
根据二次根式乘法法则
(
)
0,
0
a
b
ab a
b
=
，可得2
3
2 3
6
=
=
，∴ B 正确；
∵
2
( 2)
4
2
2
−
=
=
−，算术平方根的结果为非负数，∴ C 错误；
根据二次根式除法法则
(
0,
0)
a
b
a
b a
b
=
，可得10
2
10
2
5
5
=
=
，∴ D 错误．
2．下列算式中，运算错误的是（ ）
A．10
2
5
=
B．3
7
10
+
=
C．5
3
15
=
D．
3
27
2 3
−
= −
【答案】B
【分析】本题考查二次根式的四则运算法则，根据二次根式的运算规则逐个判断即可得到结果．
【详解】解：A 选项：∵10
2
10
2
5
=
=
，∴A 运算正确．
B 选项：3 与7 不是同类二次根式，无法合并，3
7
10
+
，∴B 运算错误．
C 选项：∵5
3
5 3
15
=
=
，∴C 运算正确．
D 选项：∵3
27
3
3 3
2 3
−
=
−
= −
，∴D 运算正确．
综上，运算错误的是B．
3．估计(
)
2 15
12
3
+
的值在（ ）
A．3 到4 之间
B．6 到7 之间
C．4 到5 之间
D．5 到6 之间
【答案】B
【分析】先根据二次根式的除法运算法则化简原式，再估算化简后无理数的取值范围，即可得到结果．
【详解】解：(
)
2 15
12
3
+
题型08
试卷第20 页，共59 页
2 15
3
12
3
=
+
2 5
2
=
+ ，
∵2 5
20
=
，16
20
25
，
∴16
20
25
，即4
20
5
，
∴4
2 5
5
，
∴4
2
2 5
2
5
2
+
+
+
，
∴
2 5
2
+
，
∴(
)
2 15
12
3
+
的值在6 到7 之间．
4．下列式子变形错误
．．的是（ ）
A．
4
9
4 9
=
B．8
3
8 3
−
=
−
C．
4
4
9
9
=
D．
6
2
3
2
2
=
【答案】B
【分析】根据二次根式的乘除、加减运算法则，逐一判断变形是否正确即可．
【详解】解：A、
4
9
4 9
=
符合乘法法则，变形正确，故此选项不符合题意；
B、 左边8
3
2 2
3
−
=
−
，右边
8 3
5
−
=
，左右不相等，变形错误，故此选项符合题意；
C、
4
4
9
9
=
符合除法法则，变形正确，故此选项不符合题意；
D、6
2 3
2
3
=
=
，代入得
6
2
3
2
2
=
，变形正确，故此选项不符合题意．
5．有下列各式：①
1
a
b
b
a
= ；②
a
a
b
b
=
；③
a
ab
a
b
= −；④
a
ab
b
b
= −．如果
0
ab
，
0
a
b
+
，
那么等式成立的是（ ）
A．①②
B．①④
C．①③
D．②④
【答案】B
【分析】本题考查二次根式的乘除运算与性质，先根据已知条件判断,a b 的符号，再利用二次根式的运算法
试卷第21 页，共59 页
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则逐一化简判断即可；
【详解】解：
∵
0
ab
，
0
a
b
+
，∴
0
a
，
0
b
.
1
1
a
b
a b
b
a
b a
=
=
=
，①成立；
0,
0
a
b
，
a 与b 在实数范围内无意义，②不成立；
2
a
b
ab
ab
b
b
b
a
=
=
=
，
∵
0
b
，
∴ b
b
a
= −−，③不成立；
由③的推导可得
a
ab
b
b
= −，④成立；
二、填空题
6．计算：16 = ______；(
)
2
2 3
−
=______；
0
( 8
2)
+
= ______．
【答案】 4 12 1
【分析】根据算术平方根的定义，二次根式的乘法运算法则，零指数幂的运算法则计算即可得得出答案．
【详解】解：16
4
=
，(
)
2
2 3
12
−
=
，
0
( 8
2)
1
+
= .
7．化简：(
)(
)
5 1
5 1
−
+
= ________．
【答案】4
【详解】解：原式(
)
2
2
5
1
=
−
5 1
= −
4
=
三、解答题
8．计算：
(1) 80
45
−
(2)
2
( 3
2)
3 6
2 2
+
−
试卷第22 页，共59 页
【答案】(1) 5
(2)
5 3
7
2
+
【详解】（1）解：80
45
−
4 5
3 5
=
−
5
=
；
（2）解：
2
( 3
2)
3 6
2 2
+
−
3 3
3
4 3
4
2
=
+
+
−
5 3
7
2
=
+
．
9．计算：
(1)
8
1
32
2
2
+
−
(2)
27
2
18
8
3
(3)
1
2
24
2
27
6
3
−
+
(4)(
)(
) (
)
2
7
4 3
7
4 3
3 5
1
+
−
−
−
【答案】(1) 9 2
2
(2)
2
4
(3) 23 3
6
(4)6 5
45
−
【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式即可；
（2）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可；
（3）先根据二次根式的性质化简，然后再根据二次根式的四则混合运算法则计算即可；
（4）直接运用平方差公式、完全平方公式以及二次根式的混合运算法则计算即可．
【详解】（1）解：
8
1
32
2
2
+
−
2
4 2
2
2
2
2
=
+
−
试卷第23 页，共59 页
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9 2
2
=
．
（2）解：
27
2
18
8
3
27
2
18
8
3
=
1
9
8
4
=
1
9
8
4
=
1
9
1
4
8
=
1
8
=
1
2 2
=
2
4
=
．
（3）解：
1
2
24
2
27
6
3
−
+
6
6
3
6
2
2
2
3
3
=
−
+
3
11
2
2
3
6
3
6
=
+
11
2
3
6
3
=
+
23 3
6
=
．
（4）解：(
)(
) (
)
2
7
4 3
7
4 3
3 5
1
+
−
−
−
(
)
(
)
2
2
2
7
4 3
3 5
6 5
1
=
−
−
−
+
49
48
45 6 5 1
=
−
−
−
+
49
48
46
6 5
=
−
−
+
6 5
45
=
−
．
10．计算：
(1)(
)
2
3
32
−
+
；
试卷第24 页，共59 页
(2)
27
50
6
；
(3)(
)(
)
3
2 2
3 2 2
+
−
；
(4)
(
)
2
1
48
3 1
2 4 2
−
+
+
．
【答案】(1)3 4 2
+
(2)15
(3)1
(4)2 3
3 2
4
+
−
【详解】（1）解：(
)
2
3
32
−
+
3
4 2
= +
；
（2）解：
27
50
6
3 3 5 2
6
=
15 6
6
=
15
=
；
（3）解：(
)(
)
3
2 2
3 2 2
+
−
(
)
2
23
2 2
=
−
9 8
= −
1
= ；
（4）解：
(
)
2
1
48
3 1
2 4 2
−
+
+
(
)
4 3
3
2 3 1
3 2
=
−
+
+
+
4 3
4
2 3
3 2
=
−−
+
2 3
3 2
4
=
+
−．
11．已知
5
2,
5
2
a
b
=
+
=
−，求下列代数式的值．
(1)
2
2
a
b
−
；
(2)
2
2
a
b
ab
+
−
．
试卷第25 页，共59 页
学科网（北京）股份有限公司
【答案】(1)8 5
(2)17
【分析】（1）先求解
2 5
+
=
a
b
，
4
a
b
−
=
，再结合因式分解可得答案；
（2）先求解
(
)(
)
5
2
5
2
1
ab =
+
−
= ，结合完全平方公式的变形求解即可．
【详解】（1）解：
5
2,
5
2
a
b
=
+
=
−
，
5
2
5
2
2 5
a
b
+
=
+ +
−
=
，
5
2
5
2
4
a
b
−
=
+ −
+
=
，
(
)(
)
2
2
2 5 4
8 5
a
b
a
b
a
b
−
=
+
−
=
=
．
（2）解：
5
2,
5
2
a
b
=
+
=
−
，
(
)(
)
5
2
5
2
1
ab
=
+
−
= ，
(
)
(
)
2
2
2
2
3
2 5
3 1
20
3
17
a
b
ab
a
b
ab
+
−
=
+
−
=
−=
−
=
．
12．按要求完成作答：
(1)已知：
6
2
x =
+ ，
6
2
y =
−
，求代数式
2
2
x
xy
y
−
+
；
(2)实数a ，b ，c 在数轴上位置如图，化简式子(
)
(
)
(
)
2
2
2
a
b
b
c
c
a
−
+
−
−
−
．
【答案】(1)18
(2) 2
2
b
c
−
+
【分析】（1）先求出
(
)
6
2
6
2
4
x
y
−
=
+ −
−
=
，
(
)(
)
6
2
6
2
2
xy =
+
−
=
，再根据完全平方公式变形，最
后整体代入求值即可；
（2）根据数轴得出
0
a
b
−
，
0
b
c
−
，
0
c
a
−
，再根据二次根式性质进行化简即可．
【详解】（1）解：
6
2
x =
+
，
6
2
y =
−
，
(
)
6
2
6
2
4
x
y
−
=
+ −
−
=
，
(
)(
)
6
2
6
2
2
xy =
+
−
=
，
(
)
2
2
2
2
4
2
18
x
xy
y
x
y
xy
−
+
=
−
+
=
+
=
．
（2）解：由数轴可知，
0
a
b
−
，
0
b
c
−
，
0
c
a
−
，
试卷第26 页，共59 页
原式
a
b
b
c
c
a
=
−
+
−
−
−
a
b
c
b
c
a
=
−+ −+ −
2
2
b
c
= −
+
．
13．计算：
(1)
1
27
2
3
2
−
+
；
(2) 6
3
8
2
−
．
(3)已知
5 1
a =
− ，求代数式
2
2
5
a
a
+
− 的值．
【答案】(1)4 3
2
−
(2)3 2
2
−
(3) 1
−
【详解】（1）解：
1
27
2
3
2
−
+
3 3
2
3
=
−
+
4 3
2
=
−
（2）解：6
3
8
2
−
18
4
=
−
3 2
2
=
−
（3）解：
2
2
5
a
a
+
−
(
)
2
1
6
a
=
+
−
当
5 1
a =
− 时，
1
5
a + =
，
2
2
5
a
a
+
−
(
)
2
5
6
=
−
1
= − ．
分母有理化
一、填空题
题型09
试卷第27 页，共59 页
学科网（北京）股份有限公司
1．化简
1
5
2
=
−
______．
【答案】5
2
+
【分析】利用平方差公式将分母化为1 即可求出答案．
【详解】解：
1
5
2
−
(
)(
)
5
2
5
2
5
2
+
=
−
+
5
2
5
4
+
=
−
5
2
=
+
2．计算：
1
27
12
2
3
−
−
=
−
________．
【答案】2
−
【分析】先把题目中的每个二次根式化为最简二次根式，再将同类二次根式的系数进行加减运算，最终得
到结果．
【详解】解：
(
)(
)
(
)
1
2
3
27
12
3 3
2 3
3 3
2
3
2 3
2
2
3
2
3
2
3
+
−
−
=
−
−
=
−
+
−
= −
−
−
+
．
3．设
1
10
3
a =
−
，
10
3
b =
+ ，则a_________b．（填“”“”或“ = ”）
【答案】=
【分析】先对a 进行分母有理化化简，得到最简结果后，再与b 比较大小即可．
【详解】解：∵
(
)(
)
1
10
3
10
3
10
3
10
3
10
3
a
+
=
=
=
+
−
−
+
，
10
3
b =
+ ，
∴a
b
=
．
二、解答题
4．计算：
(1) 18
32
8
−
+
；
(2)
1
1
6
2
6
2
−
−
+
．
【答案】(1) 2
试卷第28 页，共59 页
(2) 2
【详解】（1）解：原式
3 2
4 2
2 2
=
−
+
2
=
；
（2）解：原式(
) (
)
(
)(
)
6
2
6
2
6
2
6
2
+
−
−
=
−
+
6
2
6
2
6
4
+
−
+
=
−
4
2
=
2
=
．
5．计算：
1
1
1
1
2
3
3
4
4
5
2022
2023
+
+
+
+
+
+
+
+
．
【答案】
2023
2
−
【分析】先对每一项进行分母有理化，再通过裂项相消抵消中间项，计算剩余项即可得到结果．
【详解】解：∵
(
)(
)
(
)
1
1
1
1
1
1
1
1
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
−
+ −
+ −
=
=
=
+ −
+
+
+
+ +
+ −
，
∴
1
1
1
1
2
3
3
4
4
5
2022
2023
+
+
+
+
+
+
+
+
(
) (
) (
)
(
)
3
2
4
3
5
4
2023
2022
=
−
+
−
+
−
+
+
−
2023
2
=
−
．
6．在数学课外学习活动中，小明遇到一道题：已知
1
2
3
a =
+
，求
2
8
1
a
a
−
+ 的值．他是这样解答的：∵
(
)(
)
1
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
a
−
=
=
=
−
+
+
−
，
(1)请你帮助小明接着完成这道题；
(2)请你根据小明的思路，解决如下问题
①
1
3
2
=
+
______；
②计算：
1
1
1
2
1
3
2
2026
2025
+
++
+
+
+
【答案】(1)4 3
8
−
(2)①3
2
−
；②
2026
1
−
试卷第29 页，共59 页
学科网（北京）股份有限公司
【分析】（1）把
2
8
1
a
a
−
+ 变形为(
)
2
4
15
a−
−
，然后把
2
3
a =
−
代入计算即可；
（2）①把分子分母都乘以3
2
−
化简即可；
②先分母有理化，再算加减即可．
【详解】（1）解：∵
(
)(
)
1
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
a
−
=
=
=
−
+
+
−
，
∴
2
8
1
a
a
−
+
2
8
16 16 1
a
a
=
−
+
−
+
(
)
2
4
15
a−
=
−
(
)
2
2
3
4
15
=
−
−
−
(
)
2
2
3
15
= −−
−
(
)
2
2
3
15
=
+
−
4
4 3
3 15
=
+
+ −
4 3
8
=
−；
（2）解：①
(
)(
)
1
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
−
=
=
−
+
+
−
；
②
1
1
1
2
1
3
2
2026
2025
+
++
+
+
+
(
)(
) (
)(
)
(
)(
)
2
1
3
2
2026
2025
2
1
2
1
3
2
3
2
2026
2025
2026
2025
−
−
−
=
+
++
+
−
+
−
+
−
2
1
3
2
2026
2025
=
−+
−
++
−
2026 1
=
−．
7．代入求值时，有时直接代入并不简便，通过观察，另辟蹊径，事半功倍．阅读下列短文：
已知
1
2
3
a =
+
，求
2
2
8
1
a
a
−
+ 的值．
分析与解答：
(
)(
)
1
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
a
−
=
=
=
−
+
+
−
，
2
3
a
−
= −
，
试卷第30 页，共59 页
(
)
2
2
3
a
−
=
，即
2
4
4
3
a
a
−
+
=
，
2
4
1
a
a
−
= −，
(
)
(
)
2
2
2
8
1
2
4
1
2
1
1
1
a
a
a
a
−
+ =
−
+ =
−
+ = −．
请你根据上面的分析过程，解决如下问题：
(1)计算
1
2
1
=
+
________；
1
5
3
=
−
________；
(2)若
1
2
1
a
，求
2
4
8
1
a
a
−
+ 值．
【答案】(1) 2 1
−；
5
3
2
+
(2)5
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，平方差公式和完全平方公式的运用．
（1）利用平方差公式对分母进行有理化，将分母中的根号去掉；
（2）先对a 进行分母有理化，再通过变形求出
1
a −的值，进而得到
2
2
a
a
−
的值，最后代入式子求值．
【详解】（1）解：
(
)
(
) (
)
1
2
1
1
2
1
2
1
2 1
2
1
2
1
2
1
−
−
=
=
=
−
−
+
+
−
；
(
)
(
) (
)
1
5
3
1
5
3
5
3
5
3
2
5
3
5
3
5
3
+
+
+
=
=
=
−
−
−
+
；
故答案为2 1
−；
5
3
2
+
；
（2）解：
(
)(
)
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
a
+
=
=
=
+
−
−
+
，
1
2
a
−=
，
(
)
2
1
2
a −
=
，即
2
2
1
2
a
a
−
+ =
，
2
2
1
a
a
−
= ，
(
)
2
2
4
8
1
4
2
1
4 1 1
5
a
a
a
a
−
+ =
−
+ =
+ =
．
实数运算的新定义题型
一、单选题
题型10
试卷第31 页，共59 页
学科网（北京）股份有限公司
1．对于任意正数m ，n 定义运算※为
(
)
(
)
m
n
m
n m
n
m
n
m
n m
n
=
−
=
+
※
※
，计算：
5
1
(8
40)
2
2
※
※
的结果为（ ）
A．3
2
B．3
10
2
+
C．6
2 5
+
D．1
2
【答案】C
【分析】先根据给定的运算规则分别计算8 40
2 2
2 10
=
+
※
，5
1
5
1
2
2
2
−
=
※
，然后得出
(
)
5
1
2 2
2 10
2
−
+
，再通过二次根式的运算法则即可求解．
【详解】解：∵8
40
，
∴8 40
8
40
2 2
2 10
=
+
=
+
※
，
∵5
1
2
2
，
∴5
1
5
1
5
1
2
2
2
2
2
−
=
−
=
※
，
∴(
)
5
1
8
40
2
2
※
※
(
)
5
1
2 2
2 10
2
−
=
+
(
)
2
2 2
2 10
5
1
=
+
−
4
4 5
5
1
+
=
−
(
)
(
)(
)
2
4
5
1
5
1
5
1
+
=
−
+
(
)
(
)
2
2
2
4
5
1
5
1
+
=
−
(
)
2
4
5
1
4
+
=
(
)
2
5
1
=
+
6
2 5
=
+
．
试卷第32 页，共59 页
二、填空题
2．定义新运算“☆”：
1
a
b
ab
=
+
☆
，则16
5
☆
________．
【答案】9
【详解】解：由定义新运算规则可得
1
a
b
ab
=
+
☆
，
16
5
16 5
1
81
9
☆
，
故答案为：9．
三、解答题
3．对于新运算※和*规定如下：
m
m
n
m
n
n
=
+
※
，
2
m n
mn
n
=
−
．（
0
m
，
0
n
）
(1)求2 4
※ 的值；
(2)求
(
)
2
2
1
−
的值．
【答案】(1) 5 2
2
；
(2)4 2
5
−．
【分析】（1）根据新定义运算求解即可；
（2）根据新定义运算求解即可．
【详解】（1）解：由定义
m
m
n
m
n
n
=
+
※
，得：
2 4
※
2
2
4
4
=
+
2
2 2
2
=
+
5 2
2
=
（2）解：由定义
2
m n
mn
n
=
−
，得：
(
)
2
2
1
−
(
) (
)
2
2
2
1
2
1
=
−
−
−
(
)
2 2
2
2
2 2
1
=
−−
−
+
试卷第33 页，共59 页
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2 2
2 3 2 2
=
−−+
4 2
5
=
−．
4．若最简二次根式
2
3
a −
与12
a
−
是同类二次根式．
(1)求a 的平方根；
(2)对于任意的正实数m 和n ，我们定义新运算：
(
)
*
(
)
m
n
m
n
m n
m
n
m
n
−
=
+
，求(
) (
)
*2
18*45
a
的值．
【答案】(1)
5
(2)
9
【详解】（1）解：∵最简二次根式
2
3
a −
与12
a
−
是同类二次根式，
∴2
3 12
a
a
−=
−
，
∴
5
a =
，
∴a 的平方根为
5
；
（2）解：∵
5
2
a =
，18
45
，
∴(
) (
)
(
) (
)
*2
18*45
5*2
18*45
a
=
(
) (
)
5
2
18
45
=
−
+
(
) (
)
5
2
3 2
3 5
=
−
+
(
) (
)
3
5
2
2
5
=
−
+
(
)
3
5
2
=
−
9
=
5．小明同学学完《实数》这章知识后，类比平方根、立方根知识探究四次方根的内容，(
)
4
1
1
= ，(
)
4
2
16
=
．
(1)尝试给四次方根下定义：定义：如果
(
)
4
0
x
a a
=
，那么这个数x 叫做a 的四次方根，记作
4
x
a
=
；
探究性质：①16的四次方根________；
②0 的四次方根________；
③4 81
−
________（填“存在”或“不存在”）
试卷第34 页，共59 页
(2)巩固应用：
①比较4 600 ________ 3 130 （填、或= ）
②计算：
3
4
64
256
3
3 3
−
+
−
；
③解方程：
4
57
(2
1)
24
x
−
−
−
=
．
【答案】(1)①
2
；②0 ；③不存在；
(2)①；②4
3
+
；③
2
x =
或1
−．
【分析】（1）①根据四次方根即可求解；
②根据四次方根即可求解；
③根据四次方根即可求解；
（2 ）①利用无理数的估算方法即可较大小；
②根据四次方根和立方根定义即可求解；
③根据四次方根即可求解．
【详解】（1）解：①∵(
)
4
2
16
=
，
∴16的四次方根是2
，
故答案为：2
；
②∵
4
0
0
=
，
∴0 的四次方根是0 ，
故答案为：0 ；
③4 81
−
不存在，
故答案为：不存在；
（2）解：①由256
600
625
，
∴4
4
4
256
600
625
，即
4
4
600
5
，
由125 130
216
，
∴3
3
3
125
130
216
，即
3
5
130
6
，
∴
3
4 600
130
，
故答案为：；
试卷第35 页，共59 页
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②
3
4
64
256
3
3 3
−
+
−
4
4
3
3 3
= −+
−
4
4 3
3 3
=
+
−
4
3
=
+
；
③
4
57
(2
1)
24
x
−
−
−
=
(
)
4
2
1
24
57
x−
−
−
=
−
(
)
4
2
1
81
x−
−
−
=
(
)
4
2
1
81
x−
=
2
1
3
x−= ，
∴
2
x =
或1
−．
二次根式的实际应用
一、单选题
1．如图，长方形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为
1
1
S = 和
2
2
S =
，则图中阴影部分的面
积为（ ）
A．1
B．2 1
−
C．2
1
+
D．2
2
+
【答案】B
【分析】根据正方形的面积公式求出两个正方形的边长，再根据长方形的面积公式求解即可．
【详解】解：设面积为1 的正方形的边长为a，面积为2 的正方形的边长为b，
∵
1
1
S = ，
2
2
S =
，
∴
2
2
1
2
，
=
=
a
b
，
∵
0
0
a
b
，
，
∴
1
2
a
b
=
=
，
，
题型11
试卷第36 页，共59 页
∴
(
)
(
)
1
2
1
2
1
S
a b
a
=
−
=
−
=
−
阴影
．
二、解答题
2．如图，长方形ABCD内两个相邻正方形的面积分别为6 和9．
(1)大正方形与小正方形的边长分别为 ；
(2)求阴影部分的面积；
(3)求长方形ABCD的周长．
【答案】(1)3，6
(2)阴影部分的面积为3 6
6
−
(3)周长为12
2 6
+
【分析】本题考查实数运算的实际应用，正确的识图，准确的列出算式，是解题的关键：
（1）利用算术平方根进行求解即可；
（2）用小长方形的面积减去小正方形的面积进行计算即可；
（3）根据周长公式列式计算即可．
【详解】（1）解：由题意，大正方形的边长为9
3
=
；小正方形的边长为6 ；
（2）解：阴影部分的面积为3 6
6
−；
（3）解：长方形ABCD的周长为
(
)
2
3 3
6
12
2 6
+ +
=
+
．
3．如图1，将两个1 2
的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个1 1
的正方形可以拼
成一个大正方形．容易知道，这个大正方形的面积是5，边长为5 ．因此，1 2
的长方形的对角线的长是5 ．
试卷第37 页，共59 页
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(1)如图2，小明在数轴上画出的点M 表示的数为______．
(2)一只蚂蚁从点A 沿数轴向右爬2 个单位长度到达点B，点A 表示的数为
5
−
，设点B 表示的数为n．
①求
5
n +
的立方根．
②求
3
2
n
n
−
+
+
的值．
【答案】(1) 5
(2)①3 2 ；②5
【分析】本题主要考查实数与数轴、实数的运算，熟练掌握实数与数轴、实数的运算是解题的关键．
（1）根据题意可直接进行求解；
（2）由题意得
5
2
n = −
+
，①把
5
2
n = −
+
代入进行进行求解即可；
②把
5
2
n = −
+
代入进行求解即可．
【详解】（1）解：由图可知：小明在数轴上画出的点M 表示的数为5 ；
故答案为：5 ；
（2）解：由题意得：
5
2
n = −
+
，
①
5
5
2
5
2
n+
= −
+ +
=
，
∵(
)
3
3 2
2
=
，
∴
5
n +
的立方根为3 2 ；
②
(
)
3
2
5
2 3
5
2
2
5
n
n
−
+ +
= −
+ −
+ −
+
+
=
．
一、单选题
1．下列计算中，正确的是（ ）
A．5
2
7
+
=
B．4 3
3
4
−
=
C．2 6
6
12
=
D．6 2
3 2
2 2
=
试卷第38 页，共59 页
【答案】C
【分析】根据同类二次根式合并规则和二次根式的乘除运算法则，逐个计算判断选项即可．
【详解】解：A、5 与2 不是同类二次根式，不能合并，选项计算错误；
B、
(
)
4 3
3
4 1
3
3 3
4
−
=
−
=
，选项计算错误；
C、
(
)
2 6
6
2
6
6
2 6
12
=
= =
，选项计算正确；
D、
(
) (
)
6 2
3 2
6 3
2
2
2 1
2
2 2
=
= =
，选项计算错误．
2．下列计算正确的是（ ）
A．2
5
7
+
=
B．3
12
3
−
= −
C．(
)
2
1
3
6
1
+
=
+
D．3 2
3
3
27
=
【答案】B
【分析】先化简二次根式，再根据运算法则逐一计算判断选项．
【详解】解：对于选项A，
2 与5 不是同类二次根式，不能直接合并，
∴A 错误；
对于选项B，3
12
3
2 3
3
−
=
−
= −
，计算正确，
∴B 正确；
对于选项C，(
)
2
1
3
2
3 1
3
6
3
6
1
+
=
+
=
+
+ ，
∴C 错误；
对于选项D，3 2
3 2
6
3
3
3
27
3 3
=
=
，
∴D 错误．
3．估计
(
)
2
3 2
7
+
的值应在（ ）
A．10 到11 之间 B．9 到10 之间
C．8 到9 之间
D．7 到8 之间
【答案】B
【分析】先利用二次根式乘法法则化简原式，再估计无理数14 的范围，即可确定原式的取值范围．
【详解】解：
(
)
2
3 2
7
2 3 2
2
7
6
14
+
=
+
=
+
，且9
14
16
，
试卷第39 页，共59 页
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3
14
4
，
6 3
6
14
6
4
+ +
+ ，即
(
)
9
2
3 2
7
10
+
，
(
)
2
3 2
7
+
的值在9到10之间．
4．如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，分别以AC ，BC 为边作正方形．若
6
AB =
，正方形ADEC 的面积
为9，则正方形BCFG 的边长为（ ）
A．3 3
B．2 6
C．
21
D．15
【答案】A
【分析】根据正方形ADEC 的面积为9可得
2
9
AC =
，再在Rt
ABC
△
中利用勾股定理求出
2
BC 的值，进而求
得BC 的长，即可求解．
【详解】解：∵四边形ADEC 为正方形，且面积为9，
∴
2
9
AC =
，
∵在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，
6
AB =
，
∴
2
2
2
2
6
36
AC
BC
AB
+
=
=
=
，
∴
2
2
36
36
9
27
BC
AC
=
−
=
−
=
，
∴BC =
27
3 3
=
．
∴正方形BCFG 的边长为3 3
5．如图，在四边形ABCD中，
90
ABC
=
，
10
AB
BC
=
=
，
4
AD =
，
2
CD =
，则四边形ABCD的面积是
（ ）
A．9
B．13
C．14
D．18
【答案】A
试卷第40 页，共59 页
【分析】连接AC ，先由勾股定理求出AC ，再由勾股定理逆定理证明ACD
是直角三角形，
90
C
=
，然
后根据四边形ABCD的面积
ABC
ACD
S
S
=
+
求解即可．
【详解】解：如图，连接AC ，
在ABC
中，
90
ABC
=
，
10
AB
BC
=
=
，
∴
2
2
2 5
AC
AB
BC
=
+
=
，
∵
4
AD =
，
2
CD =
，
(
)
2
2
2
4
2
2 5
+
=
，
∴
2
2
2
AD
CD
AC
+
=
，
∴ACD
是直角三角形，
90
C
=
，
∴四边形ABCD的面积
ABC
ACD
S
S
=
+
1
1
2
2
AB BC
AD CD
=
+
1
1
10
10
4 2
2
2
=
+
5
4
=
+
9
=
．
6．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简
2
2
1
(
1)
(
)
a
b
a
b
+ −
−
+
−
= （）
A．2
B．2
2b
−
C．2a
D．2
2
2
a
b
−
−
【答案】A
【分析】根据数轴上点的位置确定a 、b 的取值范围，进而判断
1
a + 、
1
b −、a
b
−
的正负，利用绝对值和二
次根式的性质化简求值即可．
【详解】解：由数轴可知：1
0
a
−
，1
2
b
．
1
0
a
+
，
1
0
b−
，
0
a
b
−
．
原式|
1|
|
1|
|
|
a
b
a
b
=
+
−
−
+
−
(
1)
(
1)
[ (
)]
a
b
a
b
=
+
−
−
+ −
−
试卷第41 页，共59 页
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1
1
a
b
a
b
=
+ −+ −
+
2
=
．
二、填空题
7．比较大小：
1
6
5
−
______
20 （填“ ”，“ = ”，“”）．
【答案】
【分析】根据(
)
2
2
2
2
a
b
a
ab
b
+
=
+
+
，(
)
(
)
2
0
a
a a
=
，比较解答即可．
【详解】解：
(
)(
)
1
6
5
6
5
6
5
6
5
6
5
+
=
=
+
−
−
+
(
)
2
6
5
6
2 30
5
11
2 30
+
=
+
+
=
+
，(
)
2
20
20
11 9
=
=
+ ，
2
(2 30)
4 30
120
=
=
，
2
9
81
=
∵120
81
，
∴2 30
9
，
故11 2 30
11 9
20
+
+
=
， 即(
)
(
)
2
2
6
5
20
+
，
因此6
5
20
+
， 即
1
20
6
5
−
．
8．已知m 是正整数，176m 是整数，则m 的最小值为________．
【答案】11
【分析】先化简176m ，根据二次根式的性质，若二次根式运算结果为整数，则被开方数应为完全平方数，
据此即可求出最小正整数m ．
【详解】解：
2
176
4
11
4 11
m
m
m
=
=
，
已知176m 是整数，m 是正整数，因此11m 为整数，即11m为完全平方数．
因为11是质数，所以满足条件的最小正整数m 为11．
9．已知
5
1
x =
−，代数式
2
2
6
x
x
+
−的值为________．
【答案】
2
−
试卷第42 页，共59 页
【分析】先把代数式
2
2
6
x
x
+
−化为(
)
2
6
x x +
−
的形式，再把
5
1
x =
−，代入原式，利用平方差公式计算即
可．
【详解】解：
(
)
(
)(
)
(
)(
)
(
)
2
2
2
2
6
2
6
5
1
5
1
2
6
5
1
5
1
6
5
1
6
5 1 6
2
x
x
x x
+
−
=
+
−
=
−
−+
−
=
−
+
−
=
−
−
=
−−
= −．
10．若
3
7
7
3
4
y
x
x
=
−
+
−
+
，则xy =_____________．
【答案】28
3
【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得到关于x 的不等
式组，求解得到x 的值，再代入原式求出y 的值，最后计算xy即可．
【详解】解：由题意得
3
7
0
7
3
0
x
x
−
−
，
解得
7
3
x =
，
7
7
3
7
7
3
4
0
0
4
4
3
3
y =
−
+
−
+
=
+ +
=
∴
，
7
28
4
3
3
xy =
=
∴
．
11．如图，长方形内两个正方形的面积分别为
2
3cm 、
2
1cm ，图中两块阴影部分的面积和为_____
2
cm ．
【答案】(
)
3 1
−
【分析】根据正方形面积得到边长，进而得到长方形的长和宽，即可得解．
【详解】解：长方形内两个正方形的面积分别为
2
3cm 、
2
1cm ，
两个正方形的边长分别为3cm 、1cm，
长方形的长为(
)
3 1 cm
+
，宽为3cm ，
阴影部分的面积和为(
)
(
)
2
3 1
3
3 1
3
3
3 1
3 1 cm
+
−−= +
−−=
−
．
12．已知a ，b 分别是8
5
−
的整数部分和小数部分，则
2
2
4
a
b
−
+
= ______．
【答案】6 5
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【分析】先估算出5 的取值范围，进而得到8
5
−
的整数部分a 和小数部分b ，再将a ，b 代入所求代数式
计算即可．
【详解】解：∵4
5
9
，
∴2
5
3
，
故3
5
2
−−
−，
∴8 3
8
5
8
2
−−
−；
即5
8
5
6
−
，
故8
5
−
的整数部分
5
a =
，小数部分
(
)
8
5
5
3
5
b =
−
−= −
，
将
5
a =
，
3
5
b = −
代入
2
2
4
a
b
−
+
，得
(
)
2
2 5
3
5
4
−
−
+
，
(
)
10
9
6 5
5
4
=
−
−
+
+
，
10 9
6 5
5
4
=
−+
−+
，
6 5
=
．
13．
27 与最简二次根式2 2
5
a −
是同类二次根式，则a =________．
【答案】4
【分析】先将
27 化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义得到关于a 的一元一次方程，求解方程即
可得到a 的值．
【详解】解：
27
3 3
=
，且
27 与最简二次根式2 2
5
a −
是同类二次根式，
二者最简形式的被开方数相同，即2
5
3
a−= ，
解得
4
a =
．
14．如图，用7 个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为
1．记这个图形的周长（实线部分）为c ，若
1
n
c
n
−
，则整数n =________．
试卷第44 页，共59 页
【答案】
11
【分析】根据图形规律利用勾股定理求出第7 个直角三角形的斜边长，进而得出周长表达式，统计长度为1
的线段数量，最后进行估算即可．
【详解】解：由勾股定理得：第1 个直角三角形的斜边长为
2
2
1
1
2
+
=
，
第2 个直角三角形的斜边长为
(
)
2
21
2
3
+
=
，
第3 个直角三角形的斜边长为
(
)
2
21
3
4
+
=
，
，
故第7 个直角三角形的斜边长为
(
)
2
21
7
8
+
=
，
观察图形可知，该图形的周长（实线部分）由8 条长度为1 的线段和第7 个直角三角形的斜边组成，
8 1
8
8
8
c
= +
= +
，
4
8
9
，
4
8
9
，即2
8
3
，
10
8
8
11
+
， 即10
11
c
，
1
n
c
n
−
，
1 10
n
−=
，即
11
n =
．
三、解答题
15．化简下列二次根式：
(1)
72 ；
(2)
3
12a ；
试卷第45 页，共59 页
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(3)
(
)
2
18
0
x
x
．
【答案】(1)6 2
(2)2
3
a
a
(3) 3 2x
【详解】（1）解：
2
72
6
2
6 2
=
=
．
（2）解：由
3
12
0
a
，可知
0
a
．
所以
(
)
2
3
2
2
12
2
3
2
3
2
3
2
3
a
a
a
a
a
a
a
a
a
=
=
=
=
．
（3）解：
2
2
2
18
3
2
3 2
x
x
x
=
=
．
因为
0
x
，所以
2
18
3 2
x
x
=
．
16．计算：
(1)
1
8
3
18
2
−
+
；
(2)
1
27
32
75
3
3
−
+
；
(3)(
)
(
)(
)
2
3
2
3 2
4 3
3 2
4 3
−
−
+
−
．
【答案】(1) 7
2
2
(2)8 4 2
−
(3)35
2 6
−
【分析】（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）先计算二次根式的乘法和除法，再计算加减即可；
（3）先利用完全平方公式和平方差公式，结合二次根式混合运算法则展开，再计算加减即可．
【详解】（1）解：
1
8
3
18
2
−
+
3
2 2
2
3 2
2
=
−
+
7
2
2
=
．
（2）解：
1
27
32
75
3
3
−
+
1
27
4 2
75 3
3
=
−
+
试卷第46 页，共59 页
3
4 2
5
=
−
+
8
4 2
=
−
．
（3）解：(
)
(
)(
)
2
3
2
3 2
4 3
3 2
4 3
−
−
+
−
(
)
(
)
(
)
2
2
3
2
2
3
2
3 2
4 3
=
−
+
−
−
=(
) (
)
5
2 6
18
48
−
−
−
5
2 6+30
=
−
35
2 6
=
−
．
17．【观察思考】
第1个等式：
2
2
2
2
3
3
+
=
；第2 个等式：
3
3
3
3
8
8
+
=
；第3个等式：
4
4
4
4
15
15
+
=
；…
(1)【规律发现】直接写出第4 个等式：__________________；
(2)【规律表达】写出第n 个等式：__________________（用含n 的式子表示）；
(3)【规律应用】根据上述规律，化简：
12
143
12
143
3
+
．
【答案】(1)
5
5
5
5
24
24
+
=
；
(2) (
)
(
)
(
)
(
)
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
+
+
+
+
=
+
+
−
+
−
；
(3)24
【分析】直接由前面式子的结构特征，得到规律即可解决（1）（2），再由（2）中写出的规律
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
+
+
+
+
=
+
+
−
+
−
对（3）化简即可．
【详解】（1）解：由前面式子所展示的规律可得第4 个等式：
5
5
5
5
24
24
+
=
；
（2）解：由前面式子所展示的规律可得第n 个等式：(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
+
+
+
+
=
+
+
−
+
−
；
（3）解：由（2）中规律(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
+
+
+
+
=
+
+
−
+
−
可得：
12
143
12
143
12
12
12 4
24
143
3
143
3
+
=
=
=
．
试卷第47 页，共59 页
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18．在解决问题“已知
1
2
3
a =
+
，求
2
2
8
1
a
a
−
+ 的值”时，小明是这样分析与解答的：
(
)(
)
1
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
a
−
=
=
=
−
+
+
−
2
3
a
−
= −
，
2
(
2)
3
a
−
= ，
2
4
4
3
a
a
−
+
=
2
4
1
a
a
−
= −，
(
)
(
)
2
2
2
8
1
2
4
1
2
1
1
1
a
a
a
a
−
+ =
−
+ =
−
+ = −
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)化简：
3
5
2
−
；
(2)若
1
2
1
a =
+ ，求
2
4
8
1
a
a
+
−的值．
【答案】(1) 5
2
+
(2)3
【分析】（1）因为分母是含有二次根式的差式，所以利用平方差公式对分母有理化，给分子分母同乘分母
的有理化因式即可化简．
（2）先对a 的表达式分母有理化，得到a 的最简形式；再将a 的最简形式变形得到关于a 的一次式，两边
平方后整理得到
2
a 与a 的关系式；因为所求代数式是二次多项式，所以将其变形为含有上述关系式的形式，
整体代入计算即可．
【详解】（1）解：
(
)
(
)(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
3
5
2
3
5
2
3
5
2
5
2
5
2
5
2
5
2
+
+
=
=
=
+
−
−
+
−
．
（2）解：
(
)(
)
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
a
−
=
=
=
−
+
+
−
，
1
2
a
+ =
，
2
2
(
1)
( 2)
2
a
+
=
=
，
2
2
1
2
a
a
+
+ =
，
2
2
1
a
a
+
= ，
(
)
2
2
4
8
1
4
2
1
4 1 1
3
a
a
a
a
+
−=
+
−=
−=
．
19．阅读下面的材料：我们在学习二次根式时，通过适当的运算，把分母变为有理数的过程称为分母有理
化．例如：
3
3
5
15
5
5
5
5
=
=
，
(
)
(
)(
)
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
−
=
=
−
+
+
−
，
其中5 、2 1
−叫做有理化因式，其实，有一个类似的方法叫作“分子有理化”，
试卷第48 页，共59 页
即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．
例如：
(
)(
)
3
2
3
2
1
3
2
3
2
3
2
−
+
−
=
=
+
+
．
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小．
例如：比较2
3
−
和3
2
−
的大小．
解：
1
2
3
2
3
−
=
+
，
1
3
2
3
2
−
=
+
，
2
3
3
2
+
+
，
2
3
3
2
−
−
．
(1)将二次根式5
3
−
进行“分子有理化”；
(2)比较14
13
−
和13
2 3
−
的大小．
【答案】(1)
2
5
3
+
(2) 14
13
13
2 3
−
−
【分析】（1）利用题干中的方法将分子有理化即可；
（2）利用题干中的方法先将它们分子有理化，通过比较倒数的大小得出结论．
【详解】（1）解：
(
)(
)
5
3
5
3
2
5
3
5
3
5
3
−
+
−
=
=
+
+
；
（2）解：由题意得，
1
14
13
14
13
−
=
+
，
1
13
2 3
13
2 3
−
=
+
，
14
12, 12
2 3
=
，
14
13
13
2 3
+
+
，
14
13
13
2 3
−
−
．
20．中国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．
如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么这个三角形的面积
2
2
2
2
2
2
1
4
2
a
b
c
S
a b
+
−
=
−
（秦九韶公式）．
试卷第49 页，共59 页
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古希腊数学家海伦利用三角形三条边的边长直接求出了三角形的面积．
如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记
2
a
b
c
p
+ +
=
，那么这个三角形的面积
(
)(
)(
)
S
p p
a
p
b
p
c
=
−
−
−
（海伦公式）．
(1)利用上述公式求ABC
的面积．
①ABC
的三边长分别为5，6，7，则
ABC
S
=
△
__________；（直接写出答案）
②ABC
的三边长分别为5 ，6 ，7 则
ABC
S
=
△
__________；（直接写出答案）
(2)请由秦九韶公式推导出海伦公式．
【答案】(1)①6 6 ；②
26
2
(2)解：
2
2
2
2
2
2
2
a
b
c
a b
+
−
−
(
)
2
2
2
2
2
2
a
b
c
ab
+
−
=
−
2
2
2
2
2
2
2
2
a
b
c
a
b
c
ab
ab
+
−
+
−
=
+
−
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ab
a
b
c
ab
a
b
c
−
+
+
−
−
+
=
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
a
b
c
c
a
b
+
−
−
−
=
(
)(
) (
)(
)
2
2
a
b
c
a
b
c
c
a
b
c
a
b
+
+
+
−
+
−
−
+
=
(
)(
)(
)(
)
4
a
b
c
a
b
c
c
a
b
c
a
b
+
+
+
−
+
−
−
+
=
，
令
(
)
1
2
p
a
b
c
=
+ +
，
∴
(
)
2
a
b
c
p
c
+
−
=
−
，
(
)
2
c
a
b
p
b
+
−
=
−
，
(
)
2
c
a
b
p
a
−
+
=
−
，
2
a
b
c
p
+
+
=
，
∴
(
)
(
)
(
)
(
)(
)(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
4
p
p
c
p
b
p
a
a
b
c
a b
p p
a
p
b
p
c
−
−
−
−
−
−
−
+
−
−
=
=
，
∴
2
2
2
2
2
2
1
4
2
a
b
c
S
a b
+
−
=
−
试卷第50 页，共59 页
(
)(
)(
)
1
4
4
p p
a
p
b
p
c
=
−
−
−
(
)(
)(
)
p p
a
p
b
p
c
−
−
−
=
．
【分析】（1）①
5
6
7
a
b
c
=
=
=
，
，
代入海伦公式求解即可；②根据秦九韶公式代入计算即可求解；
（2）根据平方差公式得到
(
)(
)(
)(
)
2
2
2
2
2 2
2
4
a
b
c
a
b
c
c
a
b
c
a
b
a
b
c
a b
+
+
+
−
+
−
−
+
+
−
−
=
，令
(
)
1
2
=
+ +
p
a
b
c ，
得到
(
)
2
a
b
c
p
c
+
−
=
−
，
(
)
2
c
a
b
p
b
+
−
=
−
，
(
)
2
c
a
b
p
a
−
+
=
−
，
2
a
b
c
p
+
+
=
，再得到
(
)(
)(
)
2
2
2
2
2 2
4
2
a
b
c
a b
p p
a
p
b
p
c
+
−
−
=
−
−
−
，再代入
2
2
2
2
2 2
1
4
2
a
b
c
S
a b
+
−
=
−
即可得出结论．
【详解】（1）解：①一个三角形三边长依次为5，6，7，即
5
6
7
a
b
c
=
=
=
，
，
，
(
)
(
)
1
1
5
6
7
9
2
2
p
a
b
c
=
+ +
=
+ +
= ．
根据海伦公式可得
(
)(
)(
)
9 4 3 2
6 6
S
p p
a
p
b
p
c
=
−
−
−
=
=
；
②根据题意可得
(
)
2
2
5
5
a =
=
，
(
)
2
2
6
6
b =
=
，
(
)
2
2
7
7
c =
=
，
由秦九韶公式得：
(
)
2
2
2
2
2
2
2
1
1
5
6
7
1
26
5 6
30
4
4
2
4
2
4
2
a
b
c
S
a b
+
−
+
−
=
−
=
−
=
−
=
；
（2）略
一、单选题
1．如图，网格中每个小正方形的边长为1，把图中阴影部分剪拼成一个正方形，正方形的边长为a ．已知4
a
−
的整数部分和小数部分分别是,x y，则(
)
a x
y
−
的值为（ ）
A．6
2 6
−+
B．2 6
6
−
−
C．6
2 6
−
D．2
2 6
−
试卷第51 页，共59 页
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【答案】C
【分析】根据三角形面积公式，求阴影部分的面积
3
= 个三角形面积的和，再求其算术平方根；把a 的值代
入4
a
−中，表示出x 和y，再代入求值即可．
【详解】解：由题意得：
1
3
2 2
6
2
S
=
=
阴影
，
∴
2
6
a =
，
∵
0
a
，
∴
6
a =
，
∵2
6
3
，
∴3
6
2
−−
−，
∴1
4
6
2
−
，
∵4
a
−的整数部分和小数部分分别是,x y，
∴
1
x = ，
4
6
1
3
6
y =
−
−=
−
，
∴(
)
(
)
(
)
6
1 3
6
6
6
2
6
2 6
a x
y
−
=
−+
=
−
=
−
．
二、填空题
2．化简(
)
(
)
2016
2017
7
5 2
7
5 2
−
−−
=______．
【答案】7 5 2
−−
【分析】利用平方差公式进行简便运算即可．
【详解】解：原式(
)
(
)
(
)
2016
2016
7
5 2
7
5 2
7
5 2
=
−
−−
−−
(
)
(
)
(
)
2016
2016
7
5 2
7
5 2
7
5 2
=
−
+
−−
(
)(
)
(
)
2016
7
5 2
7
5 2
7
5 2
=
−
+
−−
(
)
(
)
2016
2
2
7
5 2
7
5 2
=
−
−−
(
)
(
)
2016
49 50
7
5 2
=
−
−−
(
)
(
)
2016
1
7 5 2
= −
−−
7
5 2
−
=
−
试卷第52 页，共59 页
3．已知一列数：
2
2
−
，
3
4
−
，1
4 ，
5
16
−
，
6
32
−
，
7
64
，，根据其规律，第35 个数是___．
【答案】
34
3
2
−
【分析】分别从符号、分子的被开方数、分母三个维度寻找数字变化规律，归纳得到第n 个数的一般形式，
再代入
35
n =
化简计算即可.
【详解】解：
2
2
−
，
3
4
−
，1
4
4
8
=
，
5
16
−
，
6
32
−
，
7
64
，，
观察可知，该列数的符号为“负，负，正”三个为一组进行循环，分子为
1
n + ，分母为2n ，
∵35 3 11
2
=
，
故第35 个数的符号为负，分子为35 1
6
+ =
，分母为
35
2 ，
故第35 个数是
35
34
6
3
2
2
−
= −
.
三、解答题
4．计算：
(
)(
)
3
8
2 3
3 2
2 3
3 2
3 24
2
6
−
+
−
−
−−
．
【答案】
6
−
【分析】先分别计算二次根式乘法、平方差公式、二次根式除法及绝对值运算，再由二次根式加减运算法
则化简即可．
【详解】解：
(
)(
)
3
8
2 3
3 2
2 3
3 2
3 24
2
6
−
+
−
−
−−
(
)
(
)
2
2
3 8
2 3
3 2
3 2 6
2
6
=
−
−
−
−
(
)
2 6
12 18
3 6
6
=
−
−
−
−
(
)
2 6
6
3 6
6
=
−−
−
−
6
6
6
= −
+
−
6
= −
．
5．【阅读材料】
在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如：
试卷第53 页，共59 页
学科网（北京）股份有限公司
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
5
2 6
2
3
2 2 3
2
3
2
2
3
2
3
+
=
+
+
=
+
+
=
+
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
7
2 10
2
5
2 2
5
2
5
2 2
5
2
5
−
=
+
−
=
+
−
=
−
【类比归纳】
(1)①
(
)
2
4
2 3
1
3
2 1 3
1
−
=
+
−
=
+ （______）2 1
3
−
=（______
3
−
）2；
②10
2 21
+
=（_____+______）2；
(2)若
(
)
2
2
+
=
+
a
b
m
n
，当, ,
,
a b m n 均为正整数时，用含
,
m n的式子分别表示,a b ，得a =__________，b =
__________；
【拓展提升】
(3)如图，正方形DHFM 的面积为(
)
2
8 2 15 cm
−
，正方形BEFG的面积为(
)
2
23
4 15 cm
+
，求正方形ABCD
的面积．
【答案】(1)①3 ， 1；②
3 ，
7
(2) m
n
+
，mn ．
(3)45
【分析】（1）对照完全平方公式
2
2
2
(
)
2
x
y
x
xy
y
=
+
，拆分根号外的整数为两个正整数的和，根号内的数
为这两个正整数的乘积，匹配公式结构补全内容；
（2）将等式右侧(
)
2
m
n
+
利用完全平方公式展开，对应等式左侧
2
a
b
+
的有理部分和带根号部分，分
别得到a 、b 的表达式；
（3）因为正方形面积是边长的平方，所以先将两个已知正方形的面积化为完全平方形式，求出两个正方形
的边长；再观察图形得出正方形ABCD的边长为两个小正方形边长之和，最后利用完全平方公式计算正方
形ABCD的面积。
【详解】（1）①
(
)
(
)
(
)
2
2
2
4
2 3
1 3
2 1 3
1
3
2 1
3
1
3
−
=
+
−
=
+
−
=
−
；
②
(
)
(
)
(
)
2
2
2
10
2 21
3
7
2 3 7
3
7
2 3
7
3
7
+
=
+
+
=
+
+
=
+
．
试卷第54 页，共59 页
（2）解：
(
)
2
2
a
b
m
n
+
=
+
(
)
(
)
2
2
2
2
2
a
b
m
n
m
n
m
n
mn
+
=
+
+
=
+
+
通过比较等式两边的有理部分和无理部分，可得：
a
m
n
=
+
，b
mn
=
．
（3）解：根据题意，正方形DHFM 的面积为 (
)
2
8 2 15 cm
−
。
(
)
(
)
(
)
2
2
2
8
2 15
(3
5)
2 3 5
5
3
2 5
3
5
3
−
=
+
−
=
+
−
=
−
，
边长
5
3
HD =
−
(cm)。
正方形BEFG的面积为 (
)
2
23
4 15 cm
+
，
(
)
(
)
(
)
2
2
2
23
4 15
23
2
15
23
2
20
2 20
3
3
20
3
+
=
+
=
+
=
+
+
=
+
４
60
边长
20
3
3
2 5
BE =
+
=
+
(cm)。
由图可知，正方形 ABCD 的边长
5
3
2 5
3
3 5
AD
AH
HD
=
+
=
−
+
+
=
，
正方形 ABCD的面积为(
)
2
3 5
45
=
6．观察下列等式，并解答下列问题：
第1 个等式：1
2
1
1
2
3
2
3
=
−
；
第2 个等式：1
3
1
1
1
3
8
2
3
4
=
−
；
第3 个等式：1
4
1
1
1
4
15
3
4
5
=
−
；
……
(1)写出第4 个等式：__________________
(2)写出你猜想的第n 个等式：______________________（用含n 的等式表示，
1
n 且n 为整数），并证明等
式的正确性．
【答案】(1) 1
5
1
1
1
5
24
4
5
6
=
−
(2)
(
)
1
1
1
1
1
1
2
1
2
n
n
n n
n
n
n
+
=
−
+
+
+
+
，
试卷第55 页，共59 页
学科网（北京）股份有限公司
证明：∵
(
)
1
1
1
2
n
n
n n
+
+
+
(
)
(
)
2
1
1
2
1
n
n n
n
+
=
+
+
(
)(
)
1
1
2
n n
n
=
+
+
，
又∵
1
1
1
1
2
n
n
n
−
+
+
(
)(
)
(
)(
)
1
2
1
1
2
1
2
n
n
n
n
n
n
n
+
+
=
−
+
+
+
+
(
)(
)
1
1
1
2
n
n
n
=
+
+
(
)(
)
1
1
2
n n
n
=
+
+
，
∴
(
)
1
1
1
1
1
1
2
1
2
n
n
n n
n
n
n
+
=
−
+
+
+
+
．
【分析】（1）仿照题意写出第4 个等式即可；
（2）观察式子，可得第n 个等式为
(
)
1
1
1
1
1
1
2
1
2
n
n
n n
n
n
n
+
=
−
+
+
+
+
，然后利用二次根式的性质进行证
明即可．
【详解】（1）解：第1 个等式：1
2
1
1
2
3
2
3
=
−
；
第2 个等式：1
3
1
1
1
3
8
2
3
4
=
−
；
第3 个等式：1
4
1
1
1
4
15
3
4
5
=
−
；
第4 个等式为1
5
1 1
1
5
24
4 5
6
=
−
；
（2）略
7．小明在解决问题：已知
1
2
3
a =
+
，求
2
2
8
1
a
a
−
+ 的值．他是这样分析与解的：
试卷第56 页，共59 页
(
)(
)
1
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
a
−
=
=
=
−
+
+
−
，
2
3
a
−
= −
，
2
(
2)
3
a
−
= ，
2
4
4
3
a
a
−
+
=
，
2
4
1
a
a
−
= −，
(
)
(
)
2
2
2
8
1
2
4
1
2
1
1
1
a
a
a
a
−
+ =
−
+ =
−
+ = −
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)观察上面解答过程，请写出
1
1
n
n
=
+ +
________；
(2)化简
1
1
1
1
2
1
3
2
2
3
2026
2025
+
+
+
+
+
+
+
+
；
(3)若
1
37
6
a =
−
，请按照小明的方法求出
3
2
10
25
3
a
a
a
−
−
+
的值．
【答案】(1)
1
n
n
+ −
(2) 1
2026
−+
(3)5
【分析】（1）把
1
1
n
n
+ +
分母有理化即可；
（2）把算式中各部分进行分母有理化，再合并同类二次根式；
（3）按照小明的方法，先把
1
37
6
a =
−
分母有理化，可得：
6
37
a −
=
，两边同时平方可得：
2
12
1
a
a
−
= ，
等式两边同时乘以a 可得：
3
2
12
a
a
a
=
+
，然后利用整体代入法求出代数式
3
2
10
25
3
a
a
a
−
−
+
的值．
【详解】（1）解：
1
1
n
n
+ +
(
)(
)
1
1
1
n
n
n
n
n
n
+ −
=
+ +
+ −
(
)
(
)
2
2
1
1
n
n
n
n
+ −
=
+
−
1
1
n
n
n
n
+ −
=
+ −
1
n
n
=
+ −
；
试卷第57 页，共59 页
学科网（北京）股份有限公司
（2）解：
1
1
1
1
2
1
3
2
2
3
2026
2025
+
+
+
+
+
+
+
+
(
)(
) (
)(
) (
)(
)
(
)(
)
2
1
3
2
2
3
2026
2025
2
1
2
1
3
2
3
2
2
3
2
3
2026
2025
2026
2025
−
−
−
−
=
+
+
+
+
+
−
+
−
+
−
+
−
2
1
3
2
2
3
2026
2025
2 1
3
2
4
3
2026
2025
−
−
−
−
=
+
+
+
+
−
−
−
−
2
1
3
2
2
3
2026
2025
=
−+
−
+ −
++
−
1
2026
= −+
；
（3）解：
1
37
6
a =
−
，
(
)(
)
1
37
6
37
6
37
6
37
6
37
6
a
+
=
=
=
+
−
+
−
，
6
37
a
−
=
，
即
2
(
6)
37
a −
=
，
2
12
36
37
a
a
−
+
=
，
2
12
1
a
a
−
= ，
3
2
12
a
a
a
=
+
，
3
2
10
25
3
a
a
a
−
−
+
2
2
12
10
25
3
a
a
a
a
=
+
−
−
+
2
2
24
3
a
a
=
−
+
(
)
2
2
12
3
a
a
=
−
+
2 1 3
= +
5
=
．
8．阅读材料：
材料一：数学上有一种根号内又带根号的数；它们能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层（或多层）
根号，如：
(
)
(
)
(
)
2
2
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
2
1
+
−
=
−
=
−
=
−
材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配成完全平方式，
利用完全平方式来解决问题，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到．
试卷第58 页，共59 页
如：
(
)
(
)
2
2
2
2
2 2
3
2
2
2
1
2
1
x
x
x
x
x
+
+
=
+
+
+ =
+
+
(
)
2
2
0
x +
，(
)
2
2
1
1
x
+
+ ，即
2
2 2
3 1
x
x
+
+
2
2 2
3
x
x
+
+ 的最小值为1
阅读上述材料解决下面问题：
(1)
4
2 3
−
=________，
5
2 6
+
= ________；
(2)求
2
2 3
11
x
x
+
+
的最值；
(3)已知
3
13
4 3
x =
−
−
，求(
)
3 1
5
x
+
−的值．
【答案】(1) 3
1
−，
3
2
+
(2)
2
2 3
11
x
x
+
+
的最小值为8
(3) 3
−
【分析】本题考查二次根式的化简、配方法的应用、平方的非负性．
（1）将根号内的式子配方成完全平方式，结合二次根式的性质化简得到结果；
（2）利用配方法将原式变形为完全平方式加常数的形式，根据平方的非负性求出最值；
（3）从内向外逐层化简得到x 的值，再代入所求式子计算即可．
【详解】（1）解：
4
2 3
−
2
2
( 3)
1
2
3 1
=
+
−
2
( 3
1)
=
−
|
3
1|
=
−
3 1
=
−；
5
2 6
+
2
2
( 3)
( 2)
2
3
2
=
+
+
2
( 3
2)
=
+
3
2
=
+
3
2
=
+
试卷第59 页，共59 页
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（2）解：
2
2 3
11
x
x
+
+
2
2
2
2
3
( 3)
( 3)
11
x
x
=
+
+
−
+
2
(
3)
8
x
=
+
+
，
2
(
3)
0
x +
，
2
(
3)
8
8
x
+
+
，
2
2 3
11
x
x
+
+
的最小值为8．
（3）解：∵
2
2
2
13
4 3
(2 3)
1
2 2 3 1
(2 3
1)
2 3
1
−
=
+
−
=
−
=
−
∴
3
13
4 3
x =
−
−
(
)
3
2 3 1
4
2 3
3 1
=
−
−
=
−
=
−，
将
3 1
x =
−代入( 3
1)
5
x
+
−得
( 3
1)
5
x
+
−
(
)(
)
3 1
3 1
5
3 1 5
3
=
+
−
−= −−= −．
