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2.1 认识实数
课标要点
1.了解无理数、实数的概念，知道实数由有理数与无理数组成，感受数系从有理数扩充
到实数的必要性。
2.能正确区分有理数与无理数，掌握实数两种分类方式，会对一组实数进行分类整理。
3.了解实数与数轴上的点一一对应；能用数轴上的点表示实数，能借助数轴比较实数大
小。
4.类比有理数，理解实数范围内相反数、倒数、绝对值的含义，会求实数的相反数、绝
对值。
5.能用有理数估计无理数的大致范围，发展估算能力与数感。
6.在探究活动中体会数形结合、分类讨论、无限逼近思想，发展抽象能力、几何直观核
心素养。
学习重难点
重点：
1.无理数、实数的概念，能准确辨别有理数与无理数。
2.实数的两种分类方法，理清实数、有理数、无理数之间的包含关系。
3.实数范围内相反数、绝对值、倒数的相关性质。
4.实数与数轴上的点一一对应关系，会在数轴上表示简单无理数。
难点：
1.理解无理数 “无限不循环小数” 的本质，纠正误区：不要误认为 “带根号的数都是
无理数、开方开不尽才是无理数”。
2.深刻理解实数和数轴上的点一一对应的内涵，体会实数的连续性。
3.借助有理数估算无理数的大小，感悟无限逼近思想。
4.正确对实数分类，区分正、负实数，避免重复分类、漏分类。
第二章
实数
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知识点
无理数的概念
概念：无限不循环小数叫做无理数。
随学随练
1．下列各数中，是无理数的是（ ）
A．−2
B．−
1
3
C．0
D．√3
【答案】D
【详解】选项A，−2为整数，是有理数，不符合题意；
选项B，−
1
3为分数，是有理数，不符合题意；
选项C，0为整数，是有理数，不符合题意；
选项D，√3是无限不循环小数，是无理数，符合题意.
2．下列各数中是无理数的是（ ）
A．
1
6
B．π
C．−4
D．0.123456789
【答案】B
【分析】根据无理数的定义逐项判断即可．
【详解】解：∵有理数包括整数、分数、有限小数和无限循环小数，
∵
1
6是分数，−4是整数，0.123456789是有限小数，即选项A、C、D 均为有理数；
∵𝜋是无限不循环小数．
特别提醒
1.无理数必须同时满足两个条件：无限、不循环，缺一不可。
2.无理数不能写成分数
p
q（p、q为整数，q ≠0）的形式。
3.无理数是小数范畴，整数一定不是无理数。
易错提醒
1.误区：带根号的数就是无理数。纠正：能开得尽方的根号数是有理数，如√4、√9。
2.误区：无限小数就是无理数。纠正：无限循环小数是有理数，只有无限不循环才是无理数。
3.误区：小数部分不规则就是无理数。纠正：必须是永远不循环，局部不循环不算。
教材延伸
教材将无理数分为三类：开不尽方的数、含π的数、人为构造无限不循环小数；无理数是连续、稠密
的，填补了有理数在数轴上的空隙，是数系扩充的关键。
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∴选项B 是无理数．
3．在
𝜋
6，√3，√−2
3
，
23
9 ，√16，0.7，0，3.14159265，√8
3
这9 个数中无理数的个数（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】B
【分析】根据无理数的定义逐一判断各数即可．
【详解】解：
23
9 是分数，属于有理数；
√16 = 4，√8
3
= 2，0，这些都是整数，属于有理数；
0.7，3.14159265 是有限小数，属于有理数；
无理数有
𝜋
6，√3，√−2
3
，共有3 个．
4．写出一个你喜欢的无理数________．
【答案】
√2（答案不唯一）
【分析】根据无理数的定义，即无限不循环小数是无理数，任选一个满足定义的数即可．
【详解】解：√2是无限不循环小数，符合无理数的定义，
5．实数
2
3 , √29
3
,0.225,−√16中是无理数的是______．
【答案】√29
3
【分析】根据无理数的定义，即无限不循环小数是无理数，对给出的每个实数逐一判断，即可得到结果．
【详解】解：
2
3是分数，分数属于有理数，
0.225是有限小数，属于有理数，
−√16 = −4，−4是整数，属于有理数，
√29
3
开立方开不尽，是无限不循环小数，无理数．
知识点
无理数常见类型
基本概念：初中阶段常见无理数分为三类：开方开不尽的数；含π及π的运算式；有规律但不循环的无限
小数。
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随学随练
1．下列实数中，不是无理数的是（ ）
A．√2
B．𝜋
C．3.14
D．√2-1
【答案】C
【详解】解：无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数，整数和分数都属于有理数．
选项A：∵√2是无限不循环小数，是无理数，∴A 不符合要求；
选项B：∵𝜋是无限不循环小数，是无理数，∴B 不符合要求；
选项C：∵3.14是有限小数，属于有理数，不是无理数，∴C 符合要求；
选项D：∵√2 −1是无限不循环小数，是无理数，∴D 不符合要求．
2．下列实数
22
7 ，−√3，0，π中，是负无理数的是（ ）
A．
22
7
B．−√3
C．0
D．π
【答案】B
【分析】根据负无理数的两个条件，即小于0 且为无理数，逐一判断各数即可得到结果．
【详解】解：
22
7 是正有理数，不符合要求；
−√3是负无理数，符合要求；
0是有理数，且既不是正数也不是负数，不符合要求；
𝜋是正无理数，不符合要求．
3．在−1，2，𝜋，9 这四个实数中无理数的个数是（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【答案】B
【详解】解：根据定义逐个判断：∵ −1，2，9 都是整数，属于有理数，只有𝜋是无限不循环小数，属于
无理数，
∴ 四个数中无理数的个数为1 个．
特别提醒
1.判断前必须先化简，化简后再判定类型。
2.单独整数、有限小数、循环小数永远不属于无理数。
易错提醒
1.√0、√1、√4、√9 都是有理数，极易看错。
2.3.14是有限小数，是有理数；只有π本身是无理数。
3.0.333 ⋯循环，属于有理数。
教材延伸
混合型无理数判定。例：2 + √3、√5 −1 仍为无理数；有理数与无理数加减结果仍为无理数。
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4．下列各数：√16，﹣
22
7 ，
1
𝜋，0.13
·
，√2
2 ，2.1010010001……（相邻两个1 之间的0 的个数逐次加1），
3.1234567891011……（小数部分由相继的正整数组成）中，无理数有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】C
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数
与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择
项．
【详解】√16=4，
∴√16，﹣
22
7 ，
1
𝜋，0.13
·
，√2
2 ，2.1010010001……（相邻两个1 之间的0 的个数逐次加1），
3.1234567891011……（小数部分由相继的正整数组成）中无理数为
1
𝜋，√2
2 ，2.1010010001……（相邻两个1
之间的0 的个数逐次加1），3.1234567891011……（小数部分由相继的正整数组成），共4 个．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：𝜋，2𝜋等；开方开不尽的数；
以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
知识点
实数的定义
定义：有理数和无理数统称为实数，实数是初中阶段最大数系。
随学随练
1．下列说法正确的是（ ）
A．有理数是有限小数
B．无理数是无限小数
C．无限小数是无理数
D．
𝜋
3是分数
【答案】B
特别提醒
1.初中所有运算、比较大小、数轴问题全部在实数范围内进行。
2.数系扩充顺序：自然数→整数→有理数→实数。
易错提醒
1.误区：实数分为正数、负数。纠正：漏掉 0，0 是实数，既不正也不负。
1.误区：实数包含有限小数、循环小数、无限不循环小数。（正确，但很多学生漏写）
教材延伸
实数完成了数轴全覆盖，数轴上不再有空缺空隙。
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【分析】本题考查了实数的相关概念．
无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限
不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．．
【详解】A．有理数也包括无限循环小数（如
1
3），原说法错误，本选项不符合题意；
B．无理数是无限不循环小数，原说法正确，本选项符合题意；
C．无限小数也包括无限循环小数，而无限循环小数是有理数，故原说法错误，本选项不符合题意；
D．
𝜋
3是无理数，分数属于有理数，原说法错误，本选项不符合题意；
故选：B．
2．下列说法正确的是（ ）
A．正实数和负实数统称实数
B．正数、和负数统称有理数
C．带根号的数和负数统称实数
D．无理数和有理数统称实数
【答案】D
【分析】本题考查实数、有理数的定义，解题的关键是掌握：有理数和无理数统称为实数，整数和分数统
称为有理数．据此解答即可．
【详解】解：A．有理数和无理数统称为实数，实数包括正实数、负实数和0，原说法遗漏了0，故原说法
不正确，故此选项不符合题意；
B．有理数由正有理数、负有理数和0 组成，而选项中的“正数”包含了无理数（如𝜋），故原说法不正
确，故此选项不符合题意；
C．有理数和无理数统称为实数，原说法不正确，故此选项不符合题意；
D．无理数和有理数统称实数，原说法正确，故此选项符合题意．
故选：D．
3．关于实数，下列说法错误
．．的是（ ）
A．有理数与无理数统称实数
B．实数与数轴上的点一一对应
C．无理数就是无限不循环小数
D．带根号的数都是无理数
【答案】D
【分析】根据实数的分类，无理数的意义，实数与数轴，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、有理数与无理数统称实数，选项正确，故不符合题意；
B、实数与数轴上的点一一对应，选项正确，故不符合题意；
C、无理数就是无限不循环小数，选项正确，故不符合题意；
D、带根号的数不一定都是无理数，例如：√4是有理数，选项错误，故符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了实数，实数与数轴，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
知识点
实数的两种分类方法
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概念：按定义分类，实数{有理数
无理数
；按正负分类，实数{
正实数
0
负实数
。
随学随练
1．下列各数为分数的是（ ）
A．
1
2
B．−1
C．0
D．
π
2
【答案】A
【分析】根据分数的定义，判断各选项的数的类型即可求解．
【详解】解：A、
1
2是正分数；
B、−1是整数，不是分数；
C、0是整数，不是分数；
D、𝜋是无限不循环小数，属于无理数，因此
𝜋
2也是无理数，不是分数．
2．下列各数为整数的是（ ）
A．−2
B．0.5
C．
2
3
D．√2
【答案】A
【详解】解：整数包括正整数、0、负整数．
−2是负整数，属于整数 ；
0.5、
2
3是分数，√2是无理数，均不是整数．
3．下列各数中，既是有理数又是负数的是（ ）
A．√3
B．−𝜋
C．−3.14
D．0
【答案】C
【详解】解：A．√3是无理数，不符合题意；
B．−𝜋是无理数，不符合题意；
C．−3.14是有理数且为负数，符合题意；
特别提醒
1.两种分类不能混用。
2.0 是有理数、是实数，但不是正数、不是负数、不是无理数。
易错提醒
1.做题最容易错：把0 归入正数或负数集合。
2.正实数包含：正有理数、正无理数；负实数包含：负有理数、负无理数。
教材延伸
中考常考题型：数的集合填空、多重分类、非负数集合；非负数=正数+0。
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D．0 是有理数但不是负数，不符合题意．
4．若用𝐴表示有理数，𝐵表示无理数，𝐶表示分数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】分数属于有理数，故正确表示它们之间的关系是A 选项图形．
5．把下列各数填入相应的大括号内：
3√2，−
3
2，√−8
3
，0.5，2π，3.14159265，−|−√25|，1.3030030003…（两个3 之间依次增加一个0）．
有理数：｛ ｝；
无理数：｛ ｝；
整数：｛ ｝；
负实数：｛ ｝．
【答案】有理数：{−
3
2 ，√−8
3
，0.5，3.14159265，−|−√25|}；
无理数：{3√2, 2𝜋, 1.3030030003. . . }；
整数：{√−8
3
，−|−√25|}
负实数：{−
3
2 ，√−8
3
，−|−√25|}．
【分析】根据有理数包括整数和分数，有理数和无理数统称为实数，整数包括正整数，负整数和0，负实
数包括负有理数和负无理数解答．
【详解】解：有理数：{−
3
2 ，√−8
3
，0.5，3.14159265，−|−√25|}；
无理数：{3√2, 2𝜋, 1.3030030003. . . }；
整数：{√−8
3
，−|−√25|}
负实数：{−
3
2 ，√−8
3
，−|−√25|}．
6．在下列各数−3.21, √
1
9 ,
3
7 , 𝜋, −√4
3
, 0,2.1221222122221 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，中：
整数有{__________________}
有理数有{_________________}
无理数有{__________________}
负实数有{__________________}．
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【答案】整数有{0}；有理数有{−3.21, √
1
9 ,
3
7 , 0, }；无理数有{𝜋, −√4
3
，2.122.1222.12222.1 … . }；负实数有
{−3.12,−√4
3
}
【详解】解：在−3.21, √
1
9 ,
3
7 , 𝜋, −√4
3
,0,2.1221222122221 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅中，
整数有{0}，
有理数有{−3.21, √
1
9 ,
3
7 , 0, }
无理数有{𝜋, −√4
3
，2.122.1222.12222.1 … }
负实数有{−3.12,−√4
3
}．
故答案为：0；−3.21, √
1
9 ,
3
7 , 0；−√4
3
，2.122.1222.12222.1 …；−3.12, −√4
3
．
知识点
实数的相反数
内容：任意实数a的相反数是−a；互为相反数的两个数和为0。
随学随练
1．实数√10的相反数是（ ）
A．−10
B．−√10
C．10
D．√10
【答案】B
【详解】解：√10的相反数是−√10．
2．−√7的相反数是（ ）
A．7
B．−7
C．√7
D．−√7
【答案】C
【详解】解：−√7的相反数为−(−√7) = √7．
3．实数√5的相反数是_________．
【答案】−√5
特别提醒
1.无理数同样存在相反数。
2.0的相反数仍是0。
易错提醒
√3 −2的相反数：2 −√3（学生容易直接写−√3 −2）。
教材延伸
实数相反数性质完全继承有理数，所有规则通用，无变化。
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【详解】解：根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，因此√5的相反数为−√5.
4．实数3 −√6的相反数是________．
【答案】√6 −3
【详解】解：3 −√6的相反数为：−(3 −√6) = √6 −3．
5．实数2020的绝对值是（ ）
A．2020
B．−2020
C．
1
2020
D．−
1
2020
【答案】A
【详解】解：∵2020 > 0，
∴|2020| = 2020.
6．−|2023 −π|的相反数是（ ）
A．π −2023
B．2023 −π
C．2023
D．π
【答案】B
【详解】解：−|2023 −π| = −(2023 −π) = −2023 + π，
∴−|2023 −π|的相反数是−(−2023 + π) = 2023 −π．
知识点6 实数的绝对值
定义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是0；用公式表示任意实数𝑎的
绝对值：|𝑎| = {
𝑎
(𝑎> 0)
0
(𝑎= 0)
−𝑎
(𝑎< 0)
。
随学随练
1．√3的绝对值为（ ）
特别提醒
1.任意实数的绝对值恒为非负数，即|a| ≥0，这是实数绝对值的核心性质。
2.无理数的绝对值运算规则和有理数完全一致，无需额外新增规则。
3.互为相反数的两个实数，绝对值相等。
易错提醒
1.误区：负数的绝对值是本身。纠正：负实数绝对值为其相反数，结果一定是正数。
2.含根式绝对值化简易错：如|√2 −2| = 2 −√2，需先判断根号式子正负，再去绝对值符号。
3.忽略0 的特殊性：0 的绝对值、相反数均为0，是唯一正负性特殊的实数。
教材延伸
绝对值是实数大小比较、实数化简、化简根式、解方程的基础工具。中考常考：含无理数的绝对值化简、
利用绝对值非负性求值（若几个非负数的和为0，则每一个非负数均为0）。
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A．√3
B．−√3
C．3
D．−3
【答案】A
【分析】根据绝对值性质求解即可．
【详解】解：∵ √3 > 0，
∴ 根据绝对值的性质，正数的绝对值是它本身，可得√3的绝对值为√3．
2．计算|2 −√3| =（ ）
A．2 + √3
B．√3 −2
C．2 −√3
D．−2 −√3
【答案】C
【详解】解：∵√1 < √3 < √4，
∴1 < √3 < 2，
∴2 −√3 > 0，
∴|2 −√3| = 2 −√3．
3．计算：|−√7| =________．
【答案】√7
【详解】解：|−√7| = √7．
4．√11 −4的绝对值为___________．
【答案】4 −√11/−√11 + 4
【详解】解：∵11 < 16，
∴√11 < √16 = 4
∴√11 −4 < 0，
∴|√11 −4| = 4 −√11．
知识点7 实数的倒数
定义：乘积为1 的两个实数互为倒数。任意非零实数a的倒数为
1
a。
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1．
1
3的倒数是（ ）
A． −3
B．3
C．−
1
3
D．
1
3
【答案】B
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数即可得解．
【详解】
1
3的倒数是3．
2．2026 的倒数是（ ）
A．
1
2026
B．−2026
C．−
1
2026
D．|2026|
【答案】A
【详解】解：2026的倒数是
1
2026．
3．−2026 −1的倒数是（ ）
A．2027
B．−
1
2027
C．−2026
D．2026
【答案】B
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数进行判断即可．
【详解】解：−2026 −1 = −2027，
∵−2027 × −
1
2027 = 1
∴−2026 −1的倒数是−
1
2027．
故选：B．
4．2 + √3与2 −√3的关系是（ ）
A．互为相反数
B．互为倒数
C．相等
D．不能确定
【答案】B
【分析】根据相反数、倒数的定义，通过计算两数的乘积判断二者关系，用到平方差公式计算．
特别提醒
1.0 没有倒数，此规则在实数范围内依然成立。
2.1 的倒数是1，-1 的倒数是-1。
3.无理数也有倒数，可用于实数化简计算。
易错提醒
1.误区：所有实数都有倒数。纠正：0 是实数，但无倒数。
2.计算无理数倒数时，忘记分母有理化（二次根式的内容），导致结果不规范。
教材延伸
实数倒数常用于实数乘除运算、根式化简、代数式求值，是实数四则运算的基础知识点。
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【详解】解：∵(2 + √3)(2 −√3) = 22 −(√3)2 = 4 −3 = 1，
∴乘积为1的两个数互为倒数，因此二者是互为倒数的关系．
5．下列各数中，与2 + √3互为倒数的是（ ）
A．2 −√3
B．2
C．5
D．2 + √3
【答案】A
【分析】根据倒数定义得到所求表达式，再利用平方差公式化简即可得到结果．
【详解】解：乘积为1的两个数互为倒数，
设2 + √3的倒数为𝑥，
∴(2 + √3)𝑥= 1，
∴𝑥=
1
2+√3 对表达式分母有理化，将分子分母同乘2 −√3，
得 𝑥=
2−√3
(2+√3)(2−√3) = 2 −√3 ．
知识点8 实数与数轴的关系
定义：实数与数轴上的点一一对应。也就是说：每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点表示；数轴上的
每一个点都对应唯一的一个实数。
随学随练
1．在数轴上原点右边的点所表示的数是（ ）
A．正有理数
B．正实数
C．非负有理数
D．非负实数
【答案】B
【详解】解：∵数轴上的点与实数一一对应，
∴原点右边的点所表示的数是正实数．
2．实数a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
特别提醒
1.有理数无法铺满数轴，实数可以完整铺满数轴，无空隙、无遗漏。
2.数轴上右边的数恒大于左边的数，适用于所有实数（有理数、无理数）。
易错提醒
1.误区：数轴上的点只对应有理数。纠正：数轴上的点包含有理数和无理数，全部对应实数。
2.比较实数大小时，混淆数轴左右大小关系。
教材延伸
利用数轴可直观解决实数大小比较、实数化简、绝对值化简、数形结合类中考题型，是本章核心重难点。
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A．𝑎+ 𝑏> 0
B．−𝑎> 𝑏
C．𝑎𝑏> 0
D．−𝑏< 𝑎
【答案】B
【分析】先根据点在数轴上的位置得出𝑏= −2,1 < 𝑎< 2，则−𝑏= 2, −2 < −𝑎，再判断即可．
【详解】解：根据数轴上点的位置可知𝑏= −2,1 < 𝑎< 2，则−𝑏= 2, −2 < −𝑎，
∴𝑎+ 𝑏< 0, −𝑎> 𝑏, 𝑎𝑏< 0, −𝑏> 𝑎，则B 正确．
3．数轴上的点A 表示的数为√3，点B 表示的数为2，则点A 与点B 之间的距离为（ ）
A．2 −√3
B．√3 −2
C．√3 + 2
D．2√3
【答案】A
【分析】本题考查数轴上两点距离的计算，利用数轴上两点距离等于对应两数差的绝对值，先比较两数大
小，再去绝对值得到结果．
【详解】解：∵ 数轴上两点之间的距离等于两点对应数差的绝对值，点𝐴对应数为√3，点𝐵对应数为2，
又∵ √3 < √4 = 2，
∴ 𝐴与𝐵之间的距离为|2 −√3| = 2 −√3．
4．如图，估计√30的值可能是（ ）
A．A 点
B．B 点
C．C 点
D．D 点
【答案】C
【分析】先估算 √30 的取值范围，再结合数轴上各点的位置进行判断即可.
【详解】解：∵25 < 30 < 36，
∴√25 < √30 < √36，
∴5 < √30 < 6，
观察数轴可知： 点𝐴在3与4之间，点𝐵在4与5之间，点𝐶在5与6之间，点𝐷在6与7之间，
∴估计√30的值可能是点𝐶.
5．如图，数轴上点A 表示的实数是______．
【答案】−1 + √5/√5 −1
【分析】由图可知直角三角形的斜边长为√22 + 12 = √5，则点A 表示的数可确定．
【详解】解：由勾股定理得直角三角形的斜边长为√22 + 12 = √5，
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∴点A 表示的数为−1 + √5．
6．如图，在Rt △𝑂𝐴𝐵中，∠𝑂𝐴𝐵= 90°，𝑂𝐴= 2，𝐴𝐵= 1，以点𝑂为圆心，𝑂𝐵长为半径作弧，交数轴负
半轴于点𝐶，则点𝐶表示的数是________．
【答案】−√5
【分析】由勾股定理求出𝑂𝐵的长度，进而得𝑂𝐶的长度，则可求得点𝐶表示的数．
【详解】解：由勾股定理得𝑂𝐵= √𝑂𝐴2 + 𝐴𝐵2 = √22 + 12 = √5，
由作图知𝑂𝐶= 𝑂𝐵= √5，
则点𝐶表示的数为0 −√5 = −√5．
7．实数a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则𝑎𝑏___0．（填“>”“=”或“<”）
【答案】<
【详解】解：由数轴，可知𝑎> 0，𝑏< 0．故𝑎𝑏< 0．
知识点9 实数的大小比较
定义：实数大小比较通用规则：正数>0>负数；两个正数，绝对值大的数大；两个负数，绝对值大的数反
而小。
随学随练
1．在下列4 个实数中，最小的数是（ ）
A．0
B．
C．
D．3
【答案】C
【分析】根据负数小于0 和所有正数，结合四个选项的数字判定即可得答案.
特别提醒
1.含无理数大小比较，优先用平方比较法、作差法。
2.所有有理数大小比较规则，完全适用于实数。
易错提醒
1.比较负无理数大小时出错，如错误认为−√5 > −√3。
2.直接凭根号大小判断负数大小，忽略负号影响。
教材延伸
中考高频题型：无理数估值、实数排序、实数最值问题，常结合数轴、绝对值综合考查。
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【详解】解：∵ 负数小于0 和所有正数，且四个选项的数字中，只有
是负数，
∴ 最小的数是
，故A、B、D 错误，C 正确.
2．下列各数中，最大的数是（ ）
A．0
B．
C．2
D．
【答案】C
【分析】先比较出
，再根据正数大于0，负数小于0，即可得出结果．
【详解】解：∵
，
，
，
∴
，
∴
，
∴最大的数是
．
3．下列各数中，比
小的数是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查实数的大小比较，根据负数
正数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可得
到答案．
【详解】∵负数
正数，绝对值大的负数反而小，
∴
．
4．比较大小：
________
（填“
”或“
”或“
”）．
【答案】
【分析】先化简两个数，再根据实数大小比较规则判断大小即可．
【详解】解：
，
，
∵正数大于一切负数，
∴
．
5．比较大小：
_____ 3．
【答案】
【分析】对两个数同时立方，通过比较立方后的结果判断原数的大小．
【详解】解：∵
，
，
∵
，
∴
．
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6．比较大小：
________
．（填“
”“
”或“
”）
【答案】
【分析】比较平方后结果的大小判断原数大小，平方大的原数更大，据此求解即可．
【详解】解：∵
，
，
又
，
．
拓展
实数中的数感内涵
数感是对数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。在《认识实数》一节中，体现为理解数系从
有理数扩充到实数的意义，能够辨别有理数与无理数，感知无理数的大小，合理估算无理数范围，建立实
数整体认知。
素养拓展要点
1.能够区分有理数与无理数的本质差异，不被数字外在形式干扰，准确辨析各类实数；
2.掌握夹逼估算法，自主确定√2、√7这类无理数介于哪两个相邻整数之间，感知无理数的大致数值；
3.理解0、正实数、负实数的层级关系，能对一组实数有序排序，明晰实数大小规律；
体会数系扩充的合理性，明白无理数填补了数轴上空隙，完善对数的完整认知，为后续二次根式学习
铺垫基础。
活学活用
1．分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简
时，可以这样分类：当
时，
；当
时，
；当
时，
．用这种方法解决下列问题：
(1)当
时，
______；当
时，
______；
(2)若实数a 不等于零，求
的值；
(3)若实数a、b 均不等于零，试求
的值．
【答案】(1)1，
(2)1 或
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(3)2 或0 或
【分析】本题考查了绝对值，实数的运算，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键．
（1）把a 的值代入计算即可；
（2）分两种情况讨论：当
时，当
时，分别化简绝对值即可；
（3）分四种情况讨论：当
，
时，当
，
时，当
，
时，当
，
时，分
别化简绝对值即可．
【详解】（1）解：当
时，
；
当
时，
；
故答案为：1，
；
（2）当
时，
；
当
时，
；
即当实数a 不等于零时，
的值是1 或
；
（3）当
，
时，
；
当
，
时，
；
当
，
时，
；
当
，
时，
；
综上，
的值为2 或0 或
．
2．阅读下面的文字，解答问题
大家知道
是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此
的小数部分我们不可能全部地写出来，于
是小明用
来表示
的小数部分，你同意小明的表示方法吗?
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为
的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数
部分．
又例如：
，即
，
的整数部分为
，小数部分为
请解答：
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(1)
的整数部分是 ，小数部分是 ．
(2)如果
的小数部分为
，
的整数部分为
，求
的值．
(3)已知：
其中
是整数，且
，求
的相反数．
【答案】(1)
；
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意方法，则
，求
整数部分和小数部分的方法，即可；
（2）根据题意方法，分别求
和
整数部分和小数部分的方法，进行计算，即可；
（3）根据题意方法，求出
的取值范围，得到
，
的值，再进行计算，即可．
【详解】（1）解：∵
，
∴
，
∴
的整数部分是
；小数部分是
．
（2）解：∵
，
∴
，
∴
的小数部分为：
；
∵
，
∴
，
∴
的整数部分为：
；
∴
．
（3）解：∵
，
∴
，
∴
，
∴
整理得：
，
∵
其中
是整数，且
，
∴
，
∴
；
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∴
，
∴
的相反数为：
．
拓展
实数中的几何直观素养内涵
几何直观主要是利用图形描述和分析问题。本节依托数轴建立“数”与“点”的联系，借助数轴直观理解
实数相关概念，实现数形结合。
素养拓展要点
1.牢固掌握实数与数轴上的点一一对应，能够在脑海中将实数和数轴上的点位互相转化；
2.借助勾股定理，掌握在数轴上作出√2、√5等无理数对应点的作图思路，感受无理数的几何存在；
3.利用数轴直观比较任意实数的大小，理解 “右大左小” 通用规律；
4.借助数轴理解绝对值、相反数的几何意义：绝对值代表点到原点距离，相反数代表原点两侧对称的
点，简化绝对值化简题型。
活学活用
1．【结论初探】小谢利用数形结合的方式探究
的近似值，过程如下：
∵面积为
的正方形的边长是
，且
，
∴
可以设为以下两种形式：
①
；②
．
小谢展示了利用②探究近似值的过程．
通过数形结合，可画出正方形的面积示意图．
，
整理得
，
∵
，
∴
较小，可忽略不计．
∴
，
，
∴
．
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【方法运用】
(1)请写出
在哪两个连续整数之间：
；
(2)类比上述方法，选择其中一种形式，画出示意图，探究
的近似值．
【答案】(1)5；6
(2)方法一：如图，
，
整理得
，
∵
，
∴
较小，可忽略不计，
∴
，
，
∴
．
方法二：如图，
，
整理得
，
∵
，
∴
较小，可忽略不计．
∴
，
，
∴
．
【分析】（1）根据
即可得出
；
（2）根据题干提供的方法，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵
，
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∴
，
即
；
（2）略
2．如图，半径为 个单位长度的圆片上有一点
与数轴上的原点重合．（所有结果均保留
）
(1)若该圆片从原点沿数轴向左滚动一周，圆片上与原点重合的点
到达点
，设点
表示的数为
．求
的值：
(2)若圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，向左滚动的周数记为负数，依次滚动的情况记录如下：
，
，
，
，
．
①第几次滚动后，点
距离原点最近？第几次滚动后，点
距离原点最远？
②当圆片结束运动时，点
运动的路程共有多少？此时点
所表示的数是多少？
【答案】(1)
(2)①第四次滚动距离原点最近，第三次滚动距离原点最远；
②
点运动的路程共有
，此时点
所表示的数是
【分析】（1）将
的值代入，计算算术平方根即可得；
（2）①分别求出第
次滚动后，点
距离原点的距离，由此即可得；
②先将滚动记录的数字的绝对值相加，再乘以
即可得点
运动的总路程；先将滚动记录的数字相加，再
乘以
即可得此时点
所表示的数．
【详解】（1）解：该圆片滚动一周的距离为
，
∵该圆片从原点沿数轴向左滚动一周，圆片上与原点重合的点
到达点
，
∴点
表示的数
；
（2）解：①第1 次滚动后，
，点
距离原点2 周，
第2 次滚动后，
，点
距离原点1 周，
第3 次滚动后，
，点
距离原点4 周，
第4 次滚动后，
，点
在原点处，
第5 次滚动后，
，点
距离原点3 周，
由此可知，第4 次滚动后，点
距离原点最近；第3 次滚动后，点
距离原点最远；
②∵
，
∴当圆片结束运动时，点
运动的路程共有
；
∵
，
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∴当圆片结束运动时，此时点
所表示的数是
．
题型
有理数与无理数辨析
▌例1 下列实数中，无理数是（ ）
A．√25
B．π + 5
C．0
D．
1
7
【答案】B
【分析】先化简可开方的根式，再根据无理数的定义判断各选项．
【详解】解：A、√25 = 5，是整数，属于有理数，故选项不符合题意；
B、π是无限不循环小数，故π + 5是无理数，故选项符合题意；
C、0是整数，属于有理数，故选项不符合题意；
D、
1
7是分数，属于有理数，故选项不符合题意．
▌对点练1-1．下列四个实数中，有理数是（ ）
A．√3
B．π
C．−3
D．√16
3
【答案】C
【分析】根据定义逐个判断选项即可，有理数是整数和分数的统称，无理数是无限不循环小数．
【详解】解：A、√3是开方开不尽的数，属于无限不循环小数，故A 是无理数，不符合要求；
B、π是无限不循环小数，故B 是无理数，不符合要求；
C、−3是整数，整数属于有理数，故C 是有理数，符合要求；
D、√16
3
开立方开不尽，属于无限不循环小数，故D 是无理数，不符合要求．
▌对点练1-2．下列各数中：12，√2，
22
7 ，
π
3，−|−1|，0.1010010001 …（每两个1 之间的0 依次加1），其
中无理数有______个．
【答案】3
【分析】根据无理数的定义，即无限不循环小数是无理数，逐一判断各数即可得到无理数的个数．
【详解】解：12是整数，属于有理数；
解题贴士
解题必须坚持先化简、后判断的原则，不被数字外在形式干扰，整数、分数、有限小数、无限循环小数
均为有理数，开方能开尽的根式如√4、√9也属于有理数；只有开方开不尽的数、不含有理数结果的含π
式子、有规律但不循环的无限小数是无理数，牢牢抓住无理数=无限不循环小数的核心定义，即可精准
区分两类数.
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22
7 是分数，属于有理数；
−|−1| = −1，是整数，属于有理数；
无理数有√2，
𝜋
3，0.1010010001 …（每两个1 之间的0 依次加1），共3个．
题型
实数的分类
▌例1 下列四个选项是负有理数的是（ ）
A．−√2
2
B．−𝜋
C．1
D．−0.3
【答案】D
【分析】根据有理数的定义（整数和分数统称有理数，无限不循环小数是无理数），结合正负性判断各选
项即可．
【详解】解：A、∵−√2
2 中√2是无理数，
∴−√2
2 是负无理数，不符合题意；
B、∵−𝜋中𝜋是无限不循环小数，属于无理数，
∴−𝜋是负无理数，不符合题意；
C、由1是大于0的有理数，是正有理数，不符合题意；
D、∵−0.3 < 0，且−0.3是有限小数，属于分数，是有理数，
∴−0.3是负有理数，符合题意．
▌对点练1-1 下列各数中，是负分数的是（ ）
A．−20%
B．
3
7
C．−√2
2
D．0
【答案】A
【分析】本题主要考查了无理数、负分数的概念，解题的关键是要熟练掌握负分数的定义．
根据负分数的定义，在正分数前面加负号的数叫做负分数，即可判断．
【详解】解：A、−20% = −0.2是负分数，故本选项符合题意；
B、
3
7是正分数，故本选项不符合题意；
C、−√2
2 是无理数，故本选项不符合题意；
D、0 是整数，故本选项不符合题意；
解题贴士
实数有两套独立分类标准，做题不可混用，按定义分为有理数、无理数，按正负性分为正实数、0、负实
数，做题先化简所有根式，单独区分数字0，牢记0是有理数、是非负数、既不是正数也不是负数，非负
数满足非负数=正数+0，严格按照集合要求归类，避免漏分、重分、错分.
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故选：A．
▌对点练1-2 把下列各数的序号填入相应的括号内：
①0；②−0.1；③
π
2；④+(−4)；⑤6%；⑥20；⑦
22
7 ；⑧0.030030003 ⋯（相邻两个3 之间依次多1 个0）
负有理数：（ ）
正分数：（ ）
非负整数：（ ）
有理数：（ ）
【答案】②, ④；⑤, ⑦；①, ⑥；①, ②, ④,⑤, ⑥,⑦
【分析】实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，有理数也可分为正有理数，零和负有理数；
无理数分为正无理数和负无理数．实数还可以分为正实数、零和负实数，正实数分为正有理数和正无理
数，负实数分为负有理数和负无理数．
【详解】解：+(−4) = −4．
负有理数：（②, ④）
正分数：（⑤,⑦）
非负整数：（①, ⑥）
有理数：（①,②, ④, ⑤,⑥, ⑦）
题型
实数的相反数
▌例1 实数5 的相反数是（ ）
A．5
B．
1
5
C．−5
D．−
1
5
【答案】C
【分析】本题考查了相反数的定义，实数的性质，根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行作答即
可．
【详解】解：实数5 的相反数是−5，
故选：C．
▌对点练1-1 下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．-3 与√3
B．|−3|和−
1
3
C．|−√3|与−√3
D．3 和√(−3)2
【答案】C
解题贴士
任意实数a的相反数为−a，满足公式a + (−a) = 0，解题时无论简单数字还是复杂根式式子，只需对整体
式子进行整体变号即可，0的相反数仍是0，无需复杂运算，统一整体变号即可快速求解.
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【分析】先依据相反数和绝对值的定义化简各数，然后再依据相反数的定义进行判断即可．
【详解】解：A、-3 的相反数是3，故A 不符合题意
B、|-3|=3，3 的相反数是-3，故B 不符合题意；
C、|−√3|=√3，√3的相反数是−√3，故C 符合题意；
D、√(−3)2=| −3|=3，3 的相反数是-3，故D 不符合题意．
故选：C．
▌对点练1-2√2 −3的相反数是___________．
【答案】3 −√2
【详解】√2 −3的相反数是−(√2 −3) = 3 −√2．
题型
实数的倒数
▌例1 实数−4的倒数是（ ）
A．4
B．−
1
4
C．
1
4
D．2
【答案】B
【分析】此题考查了一个数的倒数的求法，实数的性质，解题的关键是要明确：互为倒数的两个数的乘积
是1．
根据倒数的定义求解即可．
【详解】解：实数−4的倒数是−
1
4．
故选：B．
▌对点练1-1 下列各数中，与实数6 互为倒数的是（ ）
A．
1
6
B．6
C．−6
D．−
1
6
【答案】A
【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，乘积为1 的两个数互为倒数，据此求解即可．
【详解】解：∵
1
6 × 6 = 1，
∴实数6 的倒数为
1
6，
故选；A．
▌对点练1-2−√3是√3的（ ）
解题贴士
任意不为0 的实数a，倒数为
1
a，满足公式a ⋅
1
a = 1，整数可看作分母为1 的分数直接倒置，根式可直接取
倒数再化简，需要特别注意0没有倒数，只要实数不为0，均存在唯一倒数.
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A．倒数
B．绝对值
C．相反数
D．立方根
【答案】C
【详解】解：∵−√3 + √3 = 0，
∴ −√3是√3的相反数．
故选：C．
题型
实数的绝对值
▌例1 实数7 的绝对值是（ ）
A．7
B．
1
7
C．−7
D．−
1
7
【答案】A
【详解】解：|7| = 7．
▌对点练1-1−√13的绝对值是（ ）
A．−√13
B．√13
C．±√13
D．13
【答案】B
【分析】本题主要考查了绝对值，根据绝对值的定义求解即可．
【详解】解：|−√13| = √13，
即−√13的绝对值是√13，
故选：B．
▌对点练1-21 −√2的绝对值是（ ）
A．1
B．1 −√2
C．√2
D．√2 −1
【答案】D
【分析】本题考查了实数的性质，先判断出√2与1的大小关系，得出1 −√2 < 0，再根据负数的绝对值是
其相反数，即可求解．
【详解】解：因为√2 > 1，
解题贴士
绝对值的本质是数轴上点到原点的距离，结果恒为非负数。化简含绝对值的实数式子时，第一步先判
断绝对值内部式子的正负性，再依据分段公式去绝对值符号。正数的绝对值是它本身，0 的绝对值是
0，负数的绝对值是它的相反数。遇到带根式、复杂算式的绝对值化简，务必先计算或化简内部数值，
再判断正负、去除绝对值符号，杜绝直接去符号出错；实数绝对值严格遵循分段公式：
|𝒂| = {
𝑎
(𝑎> 0)
0
(𝑎= 0)
−𝑎
(𝑎< 0)
.
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所以1 −√2 < 0，
故1 −√2的绝对值是−(1 −√2) = √2 −1．
故选：D．
题型
比较实数大小
▌例1 在实数−√2，−1，0，1 中，最小的是（ ）
A．−√2
B．−1
C．0
D．1
【答案】A
【详解】解：∵1 < 2 < 4，
∴√1 < √2 < √4，
∴1 < √2 < 2，
∵|−√2| = √2、|−1| = 1，
∴−√2 < −1，
∴−√2 < −1 < 0 < 1，
∴最小的是−√2．
▌对点练1-1 比较大小：√10______3（填“>”，“=”或“<”）
【答案】>
【分析】根据9 < 10，即可得出3 < √10．
【详解】解：∵9 < 10，
∴3 < √10．
▌对点练比较大小：√2−1
2 ________
1
4．（填写“>”或“<”）
【答案】<
【分析】利用作差法进行大小比较即可．
【详解】√2−1
2
−
1
4 =
2√2−2−1
4
=
2√2−3
4
，
∵(2√2)
2 = 8，32 = 9，
∴2√2 < 3，
解题贴士
核心口诀：正数大于0，0 大于负数；正数大于一切负数。两个负数比较大小，遵循“绝对值大的反而
小”的原则。常用解题方法：1、数轴法：数轴上右边的实数始终大于左边的实数；2、作差法：若a-b>0，
则a>b，若a-b<0，则a<b；3、平方比较法：针对正根式实数，可对两个数同时平方，平方后数值越大，
原数越大（仅适用于正数）.
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∴2√2 −3 < 0，
∴√2−1
2
−
1
4 < 0，
∴√2−1
2
<
1
4．
题型7 实数与数轴对应关系
▌例1 如图，数轴上表示√5的点落在（ ）
A．段①
B．段②
C．段③
D．段④
【答案】B
【分析】根据√4<√5<√9，结合数轴求解即可；
【详解】解：∵√4<√5<√9，
∴2<√5<3，
根据数轴的意义，得落在段②；
▌对点练1-1 如图，数轴上的点P 表示的无理数可能是（ ）
A．π
B．√3
C．−√3
D．√5
【答案】B
【详解】解：由图可知，点P 在1 和2 之间，即1 < 𝑃< 2，
A、𝜋≈3.14 > 2，故本选项不合题意；
B、由1 < 3 < 4可得1 < √3 < 2，故本选项符合题意；
C、−√3 < 0，故本选项不合题意；
D、由4 < 5 < 9得2 < √5 < 3，故本选项不合题意．
解题贴士
实数与数轴上的点一一对应，这是实数核心性质，有理数和无理数共同铺满整条数轴，数轴上不存在空
白点。核心考点：1、可在数轴上精准表示任意无理数（勾股定理作图法）；2、根据数轴上点的位置，判
断式子正负、化简绝对值；3、数轴上两点距离公式：数轴上两点对应实数为a、b，则两点距离 AB =
|a −b|。解题步骤：先根据数轴位置判断各数大小（右大左小），再判断代数式正负，最后结合绝对值公
式化简.
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▌对点练1-2 已知实数a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，化简：|𝑎+ 𝑏| −|𝑎| −|𝑏| =______．
【答案】−2𝑏
【详解】解：由数轴可知：−2 < 𝑎< −1,0 < 𝑏< 1, |𝑎| > |𝑏|，
∴𝑎+ 𝑏< 0，
∴|𝑎+ 𝑏| −|𝑎| −|𝑏| = −𝑎−𝑏−(−𝑎) −𝑏= −2𝑏．
题型8 理解实数的概念
▌例1 下列说法正确的是（ ）
A．两个无理数的和一定是无理数
B．无限小数都是无理数
C．实数可以用数轴上的点来表示
D．分数可能是无理数
【答案】C
【分析】根据实数的有关概念、实数与数轴的关系对各项逐一分析判断即可．
【详解】A. 两个无理数的和可能是无理数，也可能是有理数，如互为相反数的一对无理数√2和−√2，它
们的和是0，是有理数，故本选项说法错误，不符合题意；
B. 无理数是无限不循环小数，无限小数不一定是无理数，故本选项说法错误，不符合题意；
C. 实数可以用数轴上的点来表示，说法正确，符合题意；
D. 分数是有理数，故本选项说法错误，不符合题意．
故选：C．
▌对点练1-1 下列命题：①无理数都是实数；②实数都是无理数；③无限小数都是无理数：④带根号的数
都是无理数；⑤不带根号的数都是有理数，其中错误的命题的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】根据无理数的定义，即无理数是无限不循环小数，结合各选项说法进行判断即可．
【详解】解：①无理数都是实数，正确；②错误，实数包括无理数和有理数；③错误，无限循环小数是有
理数；④错误，带根号的数不一定是无理数，如√9；⑤错误，不带根号的数不一定是有理数，如π等无限
解题贴士
牢牢把握核心定义，有理数与无理数统称实数，无理数是无限不循环小数，做题先化简数字再判断类别，
区分开能开尽方的根式与开不尽方的根式、无限循环小数与无限不循环小数；实数有两套分类标准不可
混用，按定义分为有理数、无理数，按正负分为正实数、0、负实数，牢记 0 的特殊性，规避各类概念
误区.
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不循环小数，错误；
故选：D．
▌对点练1-2 下列说法：①实数分为整数和分数；②无限不循环小数叫作无理数；③一个有理数的绝对值
一定是正数；④倒数等于它本身的数是±1；⑤带根号的数都是无理数．其中正确的是________（填序
号）．
【答案】②④/④②
【分析】本题考查了实数的相关概念，无理数的概念，倒数的概念，绝对值的定义，解题的关键在于熟练
掌握相关概念．根据相关概念逐项判断，即可解题．
【详解】解：①实数分为有理数和无理数，故①错误；
②无限不循环小数叫作无理数，故②正确；
③|0| = 0，0既不是正数也不是负数，故③错误；
④倒数等于它本身的数是±1，故④正确；
⑤开方开不尽的数是无理数，故⑤错误．
综上所述，正确的有②④，
故答案为：②④．
基础通关
1．以下实数中，最小的数是（ ）
A．−1
B．√3
C．0
D．−√2
【答案】D
【分析】根据实数比较大小的基本规则判断．
【详解】解：根据实数比较大小的方法，可得−√2 < −1 < 0 < √3，
故最小的数是−√2．
2．下列四个选项中，是负无理数的是（ ）
A．√5
B．0
C．−𝜋
D．−3
【答案】C
【详解】解：选项A．√5是正无理数，不满足负数要求，排除；
选项B．0既不是正数也不是负数，且是有理数，排除；
选项C．−𝜋< 0，且𝜋是无限不循环小数，属于无理数，因此−π是负无理数，符合要求；
选项D．−3是负有理数，不是无理数，排除．
3．在下列实数2, −π, 0,2.6,
7
4 , √2中，有理数的个数是（ ）
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A．3 个
B．4 个
C．5 个
D．6 个
【答案】B
【详解】解：∵2是整数，属于有理数；
−𝜋是无限不循环小数，属于无理数；
0是整数，属于有理数；
2.6是有限小数，可化为分数，属于有理数；
7
4是分数，属于有理数；
√2是开方开不尽的无限不循环小数，属于无理数；
∴有理数共有4个．
4．√6的相反数是（ ）
A．6
B．−√6
C．
1
√6
D．√6
【答案】B
【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，根据定义直接求解即可；
【详解】解：√6的相反数是−√6．
5．若a 是无理数，且1 < 𝑎< 2，则a 的值可以是________．（写出一个即可）
【答案】
√2（答案不唯一）
【分析】先计算1和2的平方，再找出被开方数介于两个平方数之间的开方开不尽的数，即可得到符合要求
的无理数.
【详解】解：∵12 = 1，22 = 4，
∴1 = √1，2 = √4，
∵√2是无理数，且√1 < √2 < √4，即1 < √2 < 2，
∴𝑎的值可以是√2（答案不唯一）.
6．比较大小：√2________1（填“>”，“=”或“<”）．
【答案】
>
【详解】解：∵2 > 1，
∴√2 > √1 = 1．
7．1 −√2的相反数是______，3 −π的绝对值是______．
【答案】 √2 −1 π −3
【详解】解：1 −√2的相反数为−(1 −√2) = √2 −1.
∵π ≈3.14 > 3，
∴3 −π < 0，则 |3 −π| = −(3 −π) = π −3．
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8．如图，数轴上点𝐶表示2，点𝐵表示√5，点𝐶是线段𝐴𝐵的中点，则点𝐴表示的数是_______．
【答案】4 −√5
【分析】设点𝐴表示的数为𝑎，结合题意可得√5 −2 = 2 −𝑎，进一步可得答案．
【详解】解：设点𝐴表示的数为𝑎，
∵数轴上点𝐶表示2，点𝐵表示√5，点𝐶是线段𝐴𝐵的中点，
∴𝐴𝐶= 𝐵𝐶，即√5 −2 = 2 −𝑎，
∴𝑎= 4 −√5．
9．求下列各数的相反数和绝对值：
(1)√−27
3
．
(2)√5 −2．
【答案】(1)√−27
3
的相反数为3，|√−27
3
| = 3
(2)√5 −2的相反数为2 −√5，|√5 −2| = √5 −2
【分析】本题考查了立方根、算术平方根的化简，以及相反数和绝对值的定义，掌握先化简根式，再根据
定义求相反数和绝对值，绝对值要先判断数的正负是解题的关键．
（1）先化简立方根得到−3，再根据相反数、绝对值的定义，分别计算−3的相反数和绝对值；
（2）先判断√5 −2的正负性，再根据相反数的定义改变符号，正数的绝对值为其本身，直接得出结果．
【详解】（1）解：∵√−27
3
= −3，−(−3) = 3，
∴√−27
3
的相反数为3．
由绝对值的意义，得|√−27
3
| = | −3| = 3．
（2）解：∵√5 > √4 = 2，
∴√5 −2 > 0，
∵−(√5 −2) = 2 −√5，
∴√5 −2的相反数为2 −√5．
由绝对值的意义，得|√5 −2| = √5 −2．
10．把下列各数填入相应的大括号内：
3√2，−
3
2，√−8
3
，0.5，2π，3.14159265，−|−√25|，1.3030030003…（两个3 之间依次增加一个0）．
有理数：｛ ｝；
无理数：｛ ｝；
整数：｛ ｝；
负实数：｛ ｝．
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【答案】有理数：{−
3
2 ，√−8
3
，0.5，3.14159265，−|−√25|}；
无理数：{3√2, 2𝜋, 1.3030030003. . . }；
整数：{√−8
3
，−|−√25|}
负实数：{−
3
2 ，√−8
3
，−|−√25|}．
【分析】根据有理数包括整数和分数，有理数和无理数统称为实数，整数包括正整数，负整数和0，负实
数包括负有理数和负无理数解答．
【详解】解：有理数：{−
3
2 ，√−8
3
，0.5，3.14159265，−|−√25|}；
无理数：{3√2, 2𝜋, 1.3030030003. . . }；
整数：{√−8
3
，−|−√25|}
负实数：{−
3
2 ，√−8
3
，−|−√25|}．
11．比较√3−1
2 与
3
8的大小．
【答案】√3−1
2
<
3
8
【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握作差法比较大小是解题的关键．
将两数相减得到
4√3−7
8
，接着比较4√3 −7与0的大小，将4√3、7分别平方即可比较大小，由此可比较原数
的大小．
【详解】解：√3−1
2
−
3
8 =
4√3−4
8
−
3
8 =
4√3−7
8
．
∵(4√3)2 = 48，72 = 49，
∴4√3 −7 < 0，
∴
4√3−7
8
< 0，
∴√3−1
2
−
3
8 < 0，
∴√3−1
2
<
3
8．
12．如图，在数轴上找出表示−√5的点E．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
【答案】
如图，点𝐸即为所求，
【分析】取𝑂𝐵= 2，𝐴𝐵= 1，其中𝐴𝐵垂直于数轴，再以点𝑂为圆心，𝑂𝐴为半径画弧与数轴相交于点𝐸，
点𝐸即为所求．
【详解】如图所示
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素养提升
1．在−2，0，√2，
1
3这四个数中，比1大的数是（ ）
A．−2
B．0
C．√2
D．
1
3
【答案】C
【分析】本题考查实数的大小比较，只需分别判断四个数与1的大小关系，即可得到正确答案．
【详解】解：∵−2 < 0 < 1，
∴排除A 选项和B 选项；
∵
1
3 < 1，
∴排除D 选项；
比较√2和1，
∵12 = 1，(√2)2 = 2，1 < 2，
∴√2 > 1．因此比1大的数是√2．
2．如图，若数轴上的点𝐴，𝐵，𝐶，𝐷分别表示数−1，1，2，3，则表示数6 −√17的点应在（ ）
A．点𝐴与点𝑂之间
B．点𝑂与点𝐵之间
C．点𝐵与点𝐶之间
D．点𝐶与点𝐷之间
【答案】C
【详解】解：∵16 < 17 < 25，
∴4 < √17 < 5，
∴−5 < −√17 < −4，
∴1 < 6 −√17 < 2 ，
∴表示数6 −√17的点应在点𝐵与点𝐶之间．
3．如图，面积为3的正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的顶点𝐴在数轴上，且表示的数为1，若𝐴𝐷= 𝐴𝐸，则数轴上点𝐸所表示
的数为（ ）
A．−√3
B．1 −√3
C．−1 −√3
D．
−1−√5
2
【答案】B
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【分析】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据正方形面积公式求出边长𝐴𝐷，由𝐴𝐷= 𝐴𝐸得出𝐴𝐸
长度，结合点𝐴坐标及点𝐸位置求解．
【详解】解：∵正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为3，
∴𝐴𝐷= √3，
∵𝐴𝐷= 𝐴𝐸，
∴𝐴𝐸= √3，
∵点𝐴表示的数为1，且由图可知点𝐸在点𝐴左侧，
∴点𝐸表示的数为1 −√3．
4．下列结论正确的是（ ）
①在数轴上只能表示无理数；②任何一个有理数都能用数轴上的点表示；
③实数与数轴上的点一一对应；④开方开不尽的数是无理数
A．①②
B．②③
C．③④
D．②③④
【答案】D
【分析】利用实数与数轴的对应关系，无理数的概念等相关知识点逐一判断各结论即可得到答案.
【详解】解：①数轴上可以表示所有实数，既可以表示无理数，也可以表示有理数，原说法错误；
②有理数属于实数，任何一个有理数都能用数轴上的点表示，原说法正确；
③根据实数的基本性质，实数与数轴上的点一一对应，原说法正确；
④开方开不尽的数是无理数，因此原说法正确；
综上，正确的结论是②③④.
5．如图，在数轴上，点A、B 表示的数分别为0、2，𝐵𝐶⊥𝐴𝐵于点B，且𝐵𝐶= 1．连接𝐴𝐶，在𝐴𝐶上截取
𝐶𝐷= 𝐵𝐶，以点A 为圆心，𝐴𝐷的长为半径画弧，交线段𝐴𝐵于点E，则点E 表示的实数是（ ）
A．√3 −1
B．1
C．√5 −√3
D．√5 −1
【答案】D
【分析】先根据勾股定理求出𝐴𝐶的长，再结合𝐶𝐷= 𝐵𝐶求出𝐴𝐷的长，最后根据圆的半径相等得出𝐴𝐸的
长，从而确定点𝐸表示的数．
【详解】解：由题意可知，点𝐴表示0，点𝐵表示2，
∴𝐴𝐵= 2，
∵𝐵𝐶⊥𝐴𝐵，𝐵𝐶= 1，
∴在Rt△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶= √𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 = √22 + 12 = √5，
∵𝐶𝐷= 𝐵𝐶= 1，
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∴𝐴𝐷= 𝐴𝐶−𝐶𝐷= √5 −1，
∵以点𝐴为圆心，𝐴𝐷的长为半径画弧，交线段𝐴𝐵于点𝐸，
∴𝐴𝐸= 𝐴𝐷= √5 −1，
∵点𝐴表示的数为0，且点𝐸在点𝐴的右侧，
∴点𝐸表示的实数是√5 −1．
6．有下面四个推断：
①两个无理数的和一定是无理数；
②两个无理数的积一定是无理数；
③一个有理数与一个无理数的和一定是无理数；
④一个有理数与一个无理数的积一定是无理数．
上述推断中，正确的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】A
【分析】通过举反例和反证法逐个判断四个推断的正误即可得到结果．
【详解】① 推断“两个无理数的和一定是无理数”，取无理数√2和−√2，√2 + (−√2) = 0，0是有理数，
因此①错误；
② 推断“两个无理数的积一定是无理数”，取无理数√2和√2，√2 × √2 = 2，2是有理数，因此②错误；
③ 推断“一个有理数与一个无理数的和一定是无理数”，设𝑎是有理数，𝑏是无理数，假设𝑎+ 𝑏= 𝑐为有理
数，可得𝑏= 𝑐−𝑎，
∵ 两个有理数的差仍为有理数，
∴ 𝑏为有理数，与𝑏是无理数矛盾，因此③正确；
④ 推断“一个有理数与一个无理数的积一定是无理数”，取有理数0和无理数√2，0 × √2 = 0，0是有理
数，因此④错误；
综上，正确的推断只有1个．
7．在实数2，0，−
4
3，√5中，最大的数是_________．
【答案】
√5
【分析】根据实数大小比较法则，正数大于0，0 大于负数，先排除负数与0，再比较两个正数2和√5的大
小，即可得到最大的数．
【详解】解：∵−
4
3是负数，因此−
4
3 < 0，
2和√5都是正数，都大于0，且2 < √5，
∴−
4
3 < 0 < 2 < √5，
∴最大的数是√5．
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8．一个门框尺寸如图，一个长3m宽2.3m的薄木板___________穿过此门．（填“能”或填“不能”）
【答案】不能
【分析】连接门框的对角线𝐴𝐶，利用勾股定理求出𝐴𝐶的长度为√5 m，再通过无理数的估算，比较√5与
2.3的大小，进而判断木板能否通过门框．
【详解】解：连接𝐴𝐶，
在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 90∘，𝐴𝐵= 1m，𝐵𝐶= 2m，
∵根据勾股定理：𝐴𝐶2 = 𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2，
∴𝐴𝐶= √𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 = √12 + 22 = √5 m，
∵(√5)2 = 5，2.32 = 5.29，且5 < 5.29，
∴√5 < 2.3，
∴长3m宽2.3m的薄木板不能穿过此门．
9．如图，长方形𝑂𝐴𝐵𝐶的边𝑂𝐴在数轴的正半轴上，O 为原点，𝐵𝐶= 3，𝐴𝐵= 1，连接𝑂𝐵，以O 为圆心，
𝑂𝐵长为半径画弧，交数轴正半轴于点D，则点D 对应的数为_________．
【答案】√10
【分析】利用勾股定理求出𝑂𝐵的长度，根据画图的方法知𝑂𝐵= 𝑂𝐷求解．
【详解】解：在Rt △𝐴𝑂𝐵中，𝑂𝐴= 3, 𝐴𝐵= 1，
𝑂𝐵= √𝑂𝐴2 + 𝐴𝐵2 = √10，
∵以O 为圆心，𝑂𝐵长为半径画弧，交数轴正半轴于点D，
∴𝑂𝐷= √10，
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则点𝐷对应的数为√10．
10．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中给出已知任意三角形的三边求其面积的公
式，即已知三角形的三边长a，b，c，则该三角形的面积𝑆= √1
4 [𝑎2𝑏2 −(
𝑎2+𝑏2−𝑐2
2
)
2
]．现已知三角形的三
边长分别为2，4，4，其面积S 介于整数n 和𝑛+ 1之间，则n 的值是______．
【答案】3
【分析】先把三角形的三边长分别为2，4，4 代入求得𝑆，再估算S 的取值范围即可解答．
【详解】解：∵三角形的三边长分别为2，4，4，
∴设𝑎= 2，𝑏= 4，𝑐= 4，
∴𝑆= √1
4 [22 × 42 −(
22+42−42
2
)
2
] = √15；
∵3 < √15 < 4，𝑛< 𝑆< 𝑛+ 1，
∴n 为√15的整数部分，即𝑛= 3．
11．如图，数轴上A，B 两点表示的数分别是1 和√2，点A 关于点B 的对称点是点C，则点C 所表示的数
是什么？
【答案】2√2 −1
【分析】利用对称性可得𝐴𝐵= 𝐵𝐶，根据右边的数减去左边的数，得到距离相等进行求解即可．
【详解】解：设点C 表示的数为x，
∵点𝐴关于点𝐵的对称点是点𝐶，
∴𝐴𝐵= 𝐵𝐶，
∵数轴上𝐴，𝐵两点表示的数分别是1和√2，点C 表示的数为x，
∴√2 −1 = 𝑥−√2，
∴𝑥= 2√2 −1，
∴点𝐶所表示的数是2√2 −1．
迁移创新
1．已知点A、B、C、D 在数轴上，其中A、B 分别表示数1 −√3和1 + √3．点C 向左平移4 个单位长度后
与点B 重合．
(1)线段𝐴𝐵的长= ．
(2)点C 表示的数是 ．
(3)对于数轴上三点，若其中两点关于另一点对称，则称这三点为“优美关系”，如果点A、点B、点D 为
优美关系，那么点D 对应的实数为 ．
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【答案】(1)2√3
(2)5 + √3
(3)1 −3√3或1 或1 + 3√3
【分析】本题主要考查了实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键．
（1）线段𝐴𝐵的长等于较大的数减去较小的数，计算即可．
（2）点C 向左平移4 个单位长度后与点B 重合，也就是点B 向右平移4 个单位长度得到点C 解答即可．
（3）分三种情况考虑，利用数轴上点的特征和对称性解答即可．
【详解】（1）解：∵𝐴、B 分别表示数1 −√3和1 + √3，
∴𝐴𝐵= 1 + √3 −(1 −√3) = 2√3.
故答案为：2√3；
（2）解：∵点C 向左平移4 个单位后与点B 重合，
∴点C 表示的数是1 + √3 + 4 = 5 + √3.
故答案为：5 + √3；
（3）解：设点D 表示的数为𝑥𝐷，
∵点A、点B、点D 为优美关系，且点A、B 分别表示数1 −√3和1 + √3．
当点B 和点D 关于点A 对称时，则𝐴𝐷= 𝐴𝐵，
即(1 + √3) −(1 −√3) = (1 −√3) −𝑥𝐷，
解得𝑥𝐷= 2(1 −√3) −(1 + √3) = 1 −3√3；
当点B 和点A 关于点D 对称时，则𝐴𝐷= 𝐵𝐷，
即(1 + √3) −𝑥𝐷= 𝑥𝐷−(1 −√3)，
解得𝑥𝐷= 1；
当点A 和点D 关于点B 对称时，则𝐴𝐵= 𝐵𝐷，
即𝑥𝐷−(1 + √3) = (1 + √3) −(1 −√3)，
解得𝑥𝐷= 1 + 3√3；
∴点D 对应的实数为1 −3√3或1 或1 + 3√3.
故答案为：1 −3√3或1 或1 + 3√3.
2．如图，已知点A、B 是数轴上的两点，点A 对应的数为−√2，点B 在点A 的右侧，点C 为数轴上一动
点，设点B 对应的数为m，点C 对应的数为x，若𝐴𝐵= 2．
(1)求m 的值；
(2)对于数轴上三点，若其中两点关于另一点对称，则称这三点为“优美关系”，如果点A、点B、点C 为
“优美关系”，求x 的值．
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【答案】(1)𝑚= −√2 + 2；
(2)−√2 −2或−√2 + 1或−√2 + 4．
【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，轴对称的性质．
（1）直接根据数轴上两点间的距离作答即可；
（2）分三种情况作答即可．
【详解】（1）解：∵点A 对应的数为−√2，点B 在点A 的右侧，𝐴𝐵= 2，
∴点B 对应的数为−√2 + 2，
即𝑚= −√2 + 2；
（2）解：如图，当点B、点C 关于点A 对称时，
∴𝐴𝐶= 𝐴𝐵= 2，
即𝑥= −√2 −2；
如图，当点A、点B 关于点C 对称时，
∴𝐴𝐶=
1
2 𝐴𝐵= 1，
即𝑥= −√2 + 1；
如图，当点A、点C 关于点B 对称时，
∴𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 2，
即𝑥= −√2 + 2 + 2 = −√2 + 4；
综上所述，x 的值为−√2 −2或−√2 + 1或−√2 + 4．
3．小红：如图是课本第71 页的部分内容，你理解这部分内容吗？能用类比的方法
．．．．．说明√3是无理数吗？
小明：好的．
求证：√3是无理数．
证明√2是无理数我们可以用反证法证明√2是无理数：
假设√2不是无理数，那么√2是有理数．有理数都可以写成分数形式
𝑚
𝑛（m，n 是整数，𝑛≠0），所以√2
可以写成
𝑚
𝑛（m，n 是正整数，且没有大于1 的公约数），即√2 =
𝑚
𝑛．
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根据平方根的意义，(
𝑚
𝑛)
2
= 2，即
𝑚2
𝑛2 = 2，2𝑛2 = 𝑚2．
由于上式左边2𝑛2是偶数，所以右边𝑚2也是偶数，从而可知m 是偶数．
设𝑚= 2𝑝（p 是正整数），
把𝑚= 2𝑝代入2𝑛2 = 𝑚2，得2𝑛2 = 4𝑝2，即𝑛2 = 2𝑝2．
因此n 也是偶数．
于是，m，n 都是2 的倍数，这与m，n 没有大于1 的公约数相矛盾．
因此假设不成立，√2不是有理数，它是无理数．
【答案】如下
【分析】本题考查了用反证法说明√3是无理数，假设√3不是无理数，那么√3是有理数，设√3 =
𝑚
𝑛（m，n
是正整数，且没有大于1 的公约数），证明m，n 都是3 的倍数，与m，n 没有大于1 的公约数矛盾，故√3
不可能写成
𝑚
𝑛的形式（m，n 是正整数，且最大公约数是1），即可得证．
【详解】证明：假设√3不是无理数，那么√3是有理数．
设√3 =
𝑚
𝑛（m，n 是正整数，且没有大于1 的公约数），
根据平方根的意义：(
𝑚
𝑛)
2
= 3，即
𝑚2
𝑛2 = 3．
∴𝑚2 = 3𝑛2．
由上式右边3𝑛2是3 的倍数，
∴𝑚2是3 的倍数，𝑚2分解质因数时必有质因数3，
∴m 一定有质因数3（或m 是3 的倍数）．
设𝑚= 3𝑝（p 为正整数），
∴𝑚2 = (3𝑝)2 = 9𝑝2．
∴9𝑝2 = 3𝑛2．
∴𝑛2 = 3𝑝2．
∴𝑛2是3 的倍数．
∴n 是3 的倍数．
这样m，n 都是3 的倍数，与m，n 没有大于1 的公约数矛盾．
∴√3不可能写成
𝑚
𝑛的形式（m，n 是正整数，且最大公约数是1）．
∴√3是无理数．
