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2.1 认识实数
课标要点
1.了解无理数、实数的概念，知道实数由有理数与无理数组成，感受数系从有理数扩充
到实数的必要性。
2.能正确区分有理数与无理数，掌握实数两种分类方式，会对一组实数进行分类整理。
3.了解实数与数轴上的点一一对应；能用数轴上的点表示实数，能借助数轴比较实数大
小。
4.类比有理数，理解实数范围内相反数、倒数、绝对值的含义，会求实数的相反数、绝
对值。
5.能用有理数估计无理数的大致范围，发展估算能力与数感。
6.在探究活动中体会数形结合、分类讨论、无限逼近思想，发展抽象能力、几何直观核
心素养。
学习重难点
重点：
1.无理数、实数的概念，能准确辨别有理数与无理数。
2.实数的两种分类方法，理清实数、有理数、无理数之间的包含关系。
3.实数范围内相反数、绝对值、倒数的相关性质。
4.实数与数轴上的点一一对应关系，会在数轴上表示简单无理数。
难点：
1.理解无理数 “无限不循环小数” 的本质，纠正误区：不要误认为 “带根号的数都是
无理数、开方开不尽才是无理数”。
2.深刻理解实数和数轴上的点一一对应的内涵，体会实数的连续性。
3.借助有理数估算无理数的大小，感悟无限逼近思想。
4.正确对实数分类，区分正、负实数，避免重复分类、漏分类。
第二章
实数
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知识点
无理数的概念
概念：无限不循环小数叫做无理数。
随学随练
1．下列各数中，是无理数的是（ ）
A．−2
B．−
1
3
C．0
D．√3
2．下列各数中是无理数的是（ ）
A．
1
6
B．π
C．−4
D．0.123456789
3．在
𝜋
6，√3，√−2
3
，
23
9 ，√16，0.7，0，3.14159265，√8
3
这9 个数中无理数的个数（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
4．写出一个你喜欢的无理数________．
5．实数
2
3 , √29
3
,0.225,−√16中是无理数的是______．
知识点
无理数常见类型
基本概念：初中阶段常见无理数分为三类：开方开不尽的数；含π及π的运算式；有规律但不循环的无限
小数。
特别提醒
1.无理数必须同时满足两个条件：无限、不循环，缺一不可。
2.无理数不能写成分数
p
q（p、q为整数，q ≠0）的形式。
3.无理数是小数范畴，整数一定不是无理数。
易错提醒
1.误区：带根号的数就是无理数。纠正：能开得尽方的根号数是有理数，如√4、√9。
2.误区：无限小数就是无理数。纠正：无限循环小数是有理数，只有无限不循环才是无理数。
3.误区：小数部分不规则就是无理数。纠正：必须是永远不循环，局部不循环不算。
教材延伸
教材将无理数分为三类：开不尽方的数、含π的数、人为构造无限不循环小数；无理数是连续、稠密
的，填补了有理数在数轴上的空隙，是数系扩充的关键。
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随学随练
1．下列实数中，不是无理数的是（ ）
A．√2
B．𝜋
C．3.14
D．√2-1
2．下列实数
22
7 ，−√3，0，π中，是负无理数的是（ ）
A．
22
7
B．−√3
C．0
D．π
3．在−1，2，𝜋，9 这四个实数中无理数的个数是（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
4．下列各数：√16，﹣
22
7 ，
1
𝜋，0.13
·
，√2
2 ，2.1010010001……（相邻两个1 之间的0 的个数逐次加1），
3.1234567891011……（小数部分由相继的正整数组成）中，无理数有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
知识点
实数的定义
定义：有理数和无理数统称为实数，实数是初中阶段最大数系。
特别提醒
1.判断前必须先化简，化简后再判定类型。
2.单独整数、有限小数、循环小数永远不属于无理数。
易错提醒
1.√0、√1、√4、√9 都是有理数，极易看错。
2.3.14是有限小数，是有理数；只有π本身是无理数。
3.0.333 ⋯循环，属于有理数。
教材延伸
混合型无理数判定。例：2 + √3、√5 −1 仍为无理数；有理数与无理数加减结果仍为无理数。
特别提醒
1.初中所有运算、比较大小、数轴问题全部在实数范围内进行。
2.数系扩充顺序：自然数→整数→有理数→实数。
易错提醒
1.误区：实数分为正数、负数。纠正：漏掉 0，0 是实数，既不正也不负。
1.误区：实数包含有限小数、循环小数、无限不循环小数。（正确，但很多学生漏写）
教材延伸
实数完成了数轴全覆盖，数轴上不再有空缺空隙。
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随学随练
1．下列说法正确的是（ ）
A．有理数是有限小数
B．无理数是无限小数
C．无限小数是无理数
D．
𝜋
3是分数
2．下列说法正确的是（ ）
A．正实数和负实数统称实数
B．正数、和负数统称有理数
C．带根号的数和负数统称实数
D．无理数和有理数统称实数
3．关于实数，下列说法错误
．．的是（ ）
A．有理数与无理数统称实数
B．实数与数轴上的点一一对应
C．无理数就是无限不循环小数
D．带根号的数都是无理数
知识点
实数的两种分类方法
概念：按定义分类，实数{有理数
无理数
；按正负分类，实数{
正实数
0
负实数
。
随学随练
1．下列各数为分数的是（ ）
A．
1
2
B．−1
C．0
D．
π
2
2．下列各数为整数的是（ ）
A．−2
B．0.5
C．
2
3
D．√2
3．下列各数中，既是有理数又是负数的是（ ）
A．√3
B．−𝜋
C．−3.14
D．0
4．若用𝐴表示有理数，𝐵表示无理数，𝐶表示分数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（ ）
特别提醒
1.两种分类不能混用。
2.0 是有理数、是实数，但不是正数、不是负数、不是无理数。
易错提醒
1.做题最容易错：把0 归入正数或负数集合。
2.正实数包含：正有理数、正无理数；负实数包含：负有理数、负无理数。
教材延伸
中考常考题型：数的集合填空、多重分类、非负数集合；非负数=正数+0。
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A．
B．
C．
D．
5．把下列各数填入相应的大括号内：
3√2，−
3
2，√−8
3
，0.5，2π，3.14159265，−|−√25|，1.3030030003…（两个3 之间依次增加一个0）．
有理数：｛ ｝；
无理数：｛ ｝；
整数：｛ ｝；
负实数：｛ ｝．
6．在下列各数−3.21, √
1
9 ,
3
7 , 𝜋, −√4
3
, 0,2.1221222122221 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，中：
整数有{__________________}
有理数有{_________________}
无理数有{__________________}
负实数有{__________________}．
知识点
实数的相反数
内容：任意实数a的相反数是−a；互为相反数的两个数和为0。
随学随练
1．实数√10的相反数是（ ）
A．−10
B．−√10
C．10
D．√10
2．−√7的相反数是（ ）
A．7
B．−7
C．√7
D．−√7
特别提醒
1.无理数同样存在相反数。
2.0的相反数仍是0。
易错提醒
√3 −2的相反数：2 −√3（学生容易直接写−√3 −2）。
教材延伸
实数相反数性质完全继承有理数，所有规则通用，无变化。
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3．实数√5的相反数是_________．
4．实数3 −√6的相反数是________．
5．实数2020的绝对值是（ ）
A．2020
B．−2020
C．
1
2020
D．−
1
2020
6．−|2023 −π|的相反数是（ ）
A．π −2023
B．2023 −π
C．2023
D．π
知识点6 实数的绝对值
定义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是0；用公式表示任意实数𝑎的
绝对值：|𝑎| = {
𝑎
(𝑎> 0)
0
(𝑎= 0)
−𝑎
(𝑎< 0)
。
随学随练
1．√3的绝对值为（ ）
A．√3
B．−√3
C．3
D．−3
2．计算|2 −√3| =（ ）
A．2 + √3
B．√3 −2
C．2 −√3
D．−2 −√3
3．计算：|−√7| =________．
4．√11 −4的绝对值为___________．
知识点7 实数的倒数
定义：乘积为1 的两个实数互为倒数。任意非零实数a的倒数为
1
a。
特别提醒
1.任意实数的绝对值恒为非负数，即|a| ≥0，这是实数绝对值的核心性质。
2.无理数的绝对值运算规则和有理数完全一致，无需额外新增规则。
3.互为相反数的两个实数，绝对值相等。
易错提醒
1.误区：负数的绝对值是本身。纠正：负实数绝对值为其相反数，结果一定是正数。
2.含根式绝对值化简易错：如|√2 −2| = 2 −√2，需先判断根号式子正负，再去绝对值符号。
3.忽略0 的特殊性：0 的绝对值、相反数均为0，是唯一正负性特殊的实数。
教材延伸
绝对值是实数大小比较、实数化简、化简根式、解方程的基础工具。中考常考：含无理数的绝对值化简、
利用绝对值非负性求值（若几个非负数的和为0，则每一个非负数均为0）。
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1．
1
3的倒数是（ ）
A． −3
B．3
C．−
1
3
D．
1
3
2．2026 的倒数是（ ）
A．
1
2026
B．−2026
C．−
1
2026
D．|2026|
3．−2026 −1的倒数是（ ）
A．2027
B．−
1
2027
C．−2026
D．2026
4．2 + √3与2 −√3的关系是（ ）
A．互为相反数
B．互为倒数
C．相等
D．不能确定
5．下列各数中，与2 + √3互为倒数的是（ ）
A．2 −√3
B．2
C．5
D．2 + √3
知识点8 实数与数轴的关系
定义：实数与数轴上的点一一对应。也就是说：每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点表示；数轴上的
每一个点都对应唯一的一个实数。
特别提醒
1.0 没有倒数，此规则在实数范围内依然成立。
2.1 的倒数是1，-1 的倒数是-1。
3.无理数也有倒数，可用于实数化简计算。
易错提醒
1.误区：所有实数都有倒数。纠正：0 是实数，但无倒数。
2.计算无理数倒数时，忘记分母有理化（二次根式的内容），导致结果不规范。
教材延伸
实数倒数常用于实数乘除运算、根式化简、代数式求值，是实数四则运算的基础知识点。
特别提醒
1.有理数无法铺满数轴，实数可以完整铺满数轴，无空隙、无遗漏。
2.数轴上右边的数恒大于左边的数，适用于所有实数（有理数、无理数）。
易错提醒
1.误区：数轴上的点只对应有理数。纠正：数轴上的点包含有理数和无理数，全部对应实数。
2.比较实数大小时，混淆数轴左右大小关系。
教材延伸
利用数轴可直观解决实数大小比较、实数化简、绝对值化简、数形结合类中考题型，是本章核心重难点。
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1．在数轴上原点右边的点所表示的数是（ ）
A．正有理数
B．正实数
C．非负有理数
D．非负实数
2．实数a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．𝑎+ 𝑏> 0
B．−𝑎> 𝑏
C．𝑎𝑏> 0
D．−𝑏< 𝑎
3．数轴上的点A 表示的数为√3，点B 表示的数为2，则点A 与点B 之间的距离为（ ）
A．2 −√3
B．√3 −2
C．√3 + 2
D．2√3
4．如图，估计√30的值可能是（ ）
A．A 点
B．B 点
C．C 点
D．D 点
5．如图，数轴上点A 表示的实数是______．
6．如图，在Rt △𝑂𝐴𝐵中，∠𝑂𝐴𝐵= 90°，𝑂𝐴= 2，𝐴𝐵= 1，以点𝑂为圆心，𝑂𝐵长为半径作弧，交数轴负
半轴于点𝐶，则点𝐶表示的数是________．
7．实数a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则𝑎𝑏___0．（填“>”“=”或“<”）
知识点9 实数的大小比较
定义：实数大小比较通用规则：正数>0>负数；两个正数，绝对值大的数大；两个负数，绝对值大的数反
而小。
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随学随练
1．在下列4 个实数中，最小的数是（ ）
A．0
B．
C．
D．3
2．下列各数中，最大的数是（ ）
A．0
B．
C．2
D．
3．下列各数中，比
小的数是（ ）．
A．
B．
C．
D．
4．比较大小：
________
（填“
”或“
”或“
”）．
5．比较大小：
_____ 3．
6．比较大小：
________
．（填“
”“
”或“
”）
拓展
实数中的数感内涵
数感是对数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。在《认识实数》一节中，体现为理解数系从
有理数扩充到实数的意义，能够辨别有理数与无理数，感知无理数的大小，合理估算无理数范围，建立实
数整体认知。
素养拓展要点
1.能够区分有理数与无理数的本质差异，不被数字外在形式干扰，准确辨析各类实数；
2.掌握夹逼估算法，自主确定√2、√7这类无理数介于哪两个相邻整数之间，感知无理数的大致数值；
3.理解0、正实数、负实数的层级关系，能对一组实数有序排序，明晰实数大小规律；
体会数系扩充的合理性，明白无理数填补了数轴上空隙，完善对数的完整认知，为后续二次根式学习
特别提醒
1.含无理数大小比较，优先用平方比较法、作差法。
2.所有有理数大小比较规则，完全适用于实数。
易错提醒
1.比较负无理数大小时出错，如错误认为−√5 > −√3。
2.直接凭根号大小判断负数大小，忽略负号影响。
教材延伸
中考高频题型：无理数估值、实数排序、实数最值问题，常结合数轴、绝对值综合考查。
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铺垫基础。
活学活用
1．分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简
时，可以这样分类：当
时，
；当
时，
；当
时，
．用这种方法解决下列问题：
(1)当
时，
______；当
时，
______；
(2)若实数a 不等于零，求
的值；
(3)若实数a、b 均不等于零，试求
的值．
2．阅读下面的文字，解答问题
大家知道
是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此
的小数部分我们不可能全部地写出来，于
是小明用
来表示
的小数部分，你同意小明的表示方法吗?
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为
的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数
部分．
又例如：
，即
，
的整数部分为
，小数部分为
请解答：
(1)
的整数部分是 ，小数部分是 ．
(2)如果
的小数部分为
，
的整数部分为
，求
的值．
(3)已知：
其中
是整数，且
，求
的相反数．
拓展
实数中的几何直观素养内涵
几何直观主要是利用图形描述和分析问题。本节依托数轴建立“数”与“点”的联系，借助数轴直观理解
实数相关概念，实现数形结合。
素养拓展要点
1.牢固掌握实数与数轴上的点一一对应，能够在脑海中将实数和数轴上的点位互相转化；
2.借助勾股定理，掌握在数轴上作出√2、√5等无理数对应点的作图思路，感受无理数的几何存在；
3.利用数轴直观比较任意实数的大小，理解 “右大左小” 通用规律；
4.借助数轴理解绝对值、相反数的几何意义：绝对值代表点到原点距离，相反数代表原点两侧对称的
点，简化绝对值化简题型。
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活学活用
1．【结论初探】小谢利用数形结合的方式探究
的近似值，过程如下：
∵面积为
的正方形的边长是
，且
，
∴
可以设为以下两种形式：
①
；②
．
小谢展示了利用②探究近似值的过程．
通过数形结合，可画出正方形的面积示意图．
，
整理得
，
∵
，
∴
较小，可忽略不计．
∴
，
，
∴
．
【方法运用】
(1)请写出
在哪两个连续整数之间：
；
(2)类比上述方法，选择其中一种形式，画出示意图，探究
的近似值．
2．如图，半径为 个单位长度的圆片上有一点
与数轴上的原点重合．（所有结果均保留
）
(1)若该圆片从原点沿数轴向左滚动一周，圆片上与原点重合的点
到达点
，设点
表示的数为
．求
的值：
(2)若圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，向左滚动的周数记为负数，依次滚动的情况记录如下：
，
，
，
，
．
①第几次滚动后，点
距离原点最近？第几次滚动后，点
距离原点最远？
②当圆片结束运动时，点
运动的路程共有多少？此时点
所表示的数是多少？
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题型
有理数与无理数辨析
▌例1 下列实数中，无理数是（ ）
A．√25
B．π + 5
C．0
D．
1
7
▌对点练1-1．下列四个实数中，有理数是（ ）
A．√3
B．π
C．−3
D．√16
3
▌对点练1-2．下列各数中：12，√2，
22
7 ，
π
3，−|−1|，0.1010010001 …（每两个1 之间的0 依次加1），其
中无理数有______个．
题型
实数的分类
▌例1 下列四个选项是负有理数的是（ ）
A．−√2
2
B．−𝜋
C．1
D．−0.3
▌对点练1-1 下列各数中，是负分数的是（ ）
A．−20%
B．
3
7
C．−√2
2
D．0
▌对点练1-2 把下列各数的序号填入相应的括号内：
①0；②−0.1；③
π
2；④+(−4)；⑤6%；⑥20；⑦
22
7 ；⑧0.030030003 ⋯（相邻两个3 之间依次多1 个0）
负有理数：（ ）
正分数：（ ）
解题贴士
解题必须坚持先化简、后判断的原则，不被数字外在形式干扰，整数、分数、有限小数、无限循环小数
均为有理数，开方能开尽的根式如√4、√9也属于有理数；只有开方开不尽的数、不含有理数结果的含π
式子、有规律但不循环的无限小数是无理数，牢牢抓住无理数=无限不循环小数的核心定义，即可精准
区分两类数.
解题贴士
实数有两套独立分类标准，做题不可混用，按定义分为有理数、无理数，按正负性分为正实数、0、负实
数，做题先化简所有根式，单独区分数字0，牢记0是有理数、是非负数、既不是正数也不是负数，非负
数满足非负数=正数+0，严格按照集合要求归类，避免漏分、重分、错分.
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非负整数：（ ）
有理数：（ ）
题型
实数的相反数
▌例1 实数5 的相反数是（ ）
A．5
B．
1
5
C．−5
D．−
1
5
▌对点练1-1 下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．-3 与√3
B．|−3|和−
1
3
C．|−√3|与−√3
D．3 和√(−3)2
▌对点练1-2√2 −3的相反数是___________．
题型
实数的倒数
▌例1 实数−4的倒数是（ ）
A．4
B．−
1
4
C．
1
4
D．2
▌对点练1-1 下列各数中，与实数6 互为倒数的是（ ）
A．
1
6
B．6
C．−6
D．−
1
6
▌对点练1-2−√3是√3的（ ）
A．倒数
B．绝对值
C．相反数
D．立方根
题型
实数的绝对值
解题贴士
任意实数a的相反数为−a，满足公式a + (−a) = 0，解题时无论简单数字还是复杂根式式子，只需对整体
式子进行整体变号即可，0的相反数仍是0，无需复杂运算，统一整体变号即可快速求解.
解题贴士
任意不为0 的实数a，倒数为
1
a，满足公式a ⋅
1
a = 1，整数可看作分母为1 的分数直接倒置，根式可直接取
倒数再化简，需要特别注意0没有倒数，只要实数不为0，均存在唯一倒数.
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▌例1 实数7 的绝对值是（ ）
A．7
B．
1
7
C．−7
D．−
1
7
▌对点练1-1−√13的绝对值是（ ）
A．−√13
B．√13
C．±√13 D．13
▌对点练1-21 −√2的绝对值是（ ）
A．1
B．1 −√2
C．√2
D．√2 −1
题型
比较实数大小
▌例1 在实数−√2，−1，0，1 中，最小的是（ ）
A．−√2
B．−1
C．0
D．1
▌对点练1-1 比较大小：√10______3（填“>”，“=”或“<”）
▌对点练比较大小：√2−1
2 ________
1
4．（填写“>”或“<”）
题型7 实数与数轴对应关系
解题贴士
绝对值的本质是数轴上点到原点的距离，结果恒为非负数。化简含绝对值的实数式子时，第一步先判
断绝对值内部式子的正负性，再依据分段公式去绝对值符号。正数的绝对值是它本身，0 的绝对值是
0，负数的绝对值是它的相反数。遇到带根式、复杂算式的绝对值化简，务必先计算或化简内部数值，
再判断正负、去除绝对值符号，杜绝直接去符号出错；实数绝对值严格遵循分段公式：
|𝒂| = {
𝑎
(𝑎> 0)
0
(𝑎= 0)
−𝑎
(𝑎< 0)
.
解题贴士
核心口诀：正数大于0，0 大于负数；正数大于一切负数。两个负数比较大小，遵循“绝对值大的反而
小”的原则。常用解题方法：1、数轴法：数轴上右边的实数始终大于左边的实数；2、作差法：若a-b>0，
则a>b，若a-b<0，则a<b；3、平方比较法：针对正根式实数，可对两个数同时平方，平方后数值越大，
原数越大（仅适用于正数）.
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▌例1 如图，数轴上表示√5的点落在（ ）
A．段①
B．段②
C．段③
D．段④
▌对点练1-1 如图，数轴上的点P 表示的无理数可能是（ ）
A．π
B．√3
C．−√3
D．√5
▌对点练1-2 已知实数a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，化简：|𝑎+ 𝑏| −|𝑎| −|𝑏| =______．
题型8 理解实数的概念
▌例1 下列说法正确的是（ ）
A．两个无理数的和一定是无理数
B．无限小数都是无理数
C．实数可以用数轴上的点来表示
D．分数可能是无理数
▌对点练1-1 下列命题：①无理数都是实数；②实数都是无理数；③无限小数都是无理数：④带根号的数
都是无理数；⑤不带根号的数都是有理数，其中错误的命题的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
解题贴士
实数与数轴上的点一一对应，这是实数核心性质，有理数和无理数共同铺满整条数轴，数轴上不存在空
白点。核心考点：1、可在数轴上精准表示任意无理数（勾股定理作图法）；2、根据数轴上点的位置，判
断式子正负、化简绝对值；3、数轴上两点距离公式：数轴上两点对应实数为a、b，则两点距离 AB =
|a −b|。解题步骤：先根据数轴位置判断各数大小（右大左小），再判断代数式正负，最后结合绝对值公
式化简.
解题贴士
牢牢把握核心定义，有理数与无理数统称实数，无理数是无限不循环小数，做题先化简数字再判断类别，
区分开能开尽方的根式与开不尽方的根式、无限循环小数与无限不循环小数；实数有两套分类标准不可
混用，按定义分为有理数、无理数，按正负分为正实数、0、负实数，牢记 0 的特殊性，规避各类概念
误区.
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▌对点练1-2 下列说法：①实数分为整数和分数；②无限不循环小数叫作无理数；③一个有理数的绝对值
一定是正数；④倒数等于它本身的数是±1；⑤带根号的数都是无理数．其中正确的是________（填序
号）．
基础通关
1．以下实数中，最小的数是（ ）
A．−1
B．√3
C．0
D．−√2
2．下列四个选项中，是负无理数的是（ ）
A．√5
B．0
C．−𝜋
D．−3
3．在下列实数2, −π, 0,2.6,
7
4 , √2中，有理数的个数是（ ）
A．3 个
B．4 个
C．5 个
D．6 个
4．√6的相反数是（ ）
A．6
B．−√6
C．
1
√6
D．√6
5．若a 是无理数，且1 < 𝑎< 2，则a 的值可以是________．（写出一个即可）
6．比较大小：√2________1（填“>”，“=”或“<”）．
7．1 −√2的相反数是______，3 −π的绝对值是______．
8．如图，数轴上点𝐶表示2，点𝐵表示√5，点𝐶是线段𝐴𝐵的中点，则点𝐴表示的数是_______．
9．求下列各数的相反数和绝对值：
(1)√−27
3
．
(2)√5 −2．
10．把下列各数填入相应的大括号内：
3√2，−
3
2，√−8
3
，0.5，2π，3.14159265，−|−√25|，1.3030030003…（两个3 之间依次增加一个0）．
有理数：｛ ｝；
无理数：｛ ｝；
整数：｛ ｝；
负实数：｛ ｝．
11．比较√3−1
2 与
3
8的大小．
12．如图，在数轴上找出表示−√5的点E．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
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素养提升
1．在−2，0，√2，
1
3这四个数中，比1大的数是（ ）
A．−2
B．0
C．√2
D．
1
3
2．如图，若数轴上的点𝐴，𝐵，𝐶，𝐷分别表示数−1，1，2，3，则表示数6 −√17的点应在（ ）
A．点𝐴与点𝑂之间
B．点𝑂与点𝐵之间
C．点𝐵与点𝐶之间
D．点𝐶与点𝐷之间
3．如图，面积为3的正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的顶点𝐴在数轴上，且表示的数为1，若𝐴𝐷= 𝐴𝐸，则数轴上点𝐸所表示
的数为（ ）
A．−√3
B．1 −√3
C．−1 −√3
D．
−1−√5
2
4．下列结论正确的是（ ）
①在数轴上只能表示无理数；②任何一个有理数都能用数轴上的点表示；
③实数与数轴上的点一一对应；④开方开不尽的数是无理数
A．①②
B．②③
C．③④
D．②③④
5．如图，在数轴上，点A、B 表示的数分别为0、2，𝐵𝐶⊥𝐴𝐵于点B，且𝐵𝐶= 1．连接𝐴𝐶，在𝐴𝐶上截取
𝐶𝐷= 𝐵𝐶，以点A 为圆心，𝐴𝐷的长为半径画弧，交线段𝐴𝐵于点E，则点E 表示的实数是（ ）
A．√3 −1
B．1
C．√5 −√3
D．√5 −1
6．有下面四个推断：
①两个无理数的和一定是无理数；
②两个无理数的积一定是无理数；
③一个有理数与一个无理数的和一定是无理数；
④一个有理数与一个无理数的积一定是无理数．
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上述推断中，正确的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
7．在实数2，0，−
4
3，√5中，最大的数是_________．
8．一个门框尺寸如图，一个长3m宽2.3m的薄木板___________穿过此门．（填“能”或填“不能”）
9．如图，长方形𝑂𝐴𝐵𝐶的边𝑂𝐴在数轴的正半轴上，O 为原点，𝐵𝐶= 3，𝐴𝐵= 1，连接𝑂𝐵，以O 为圆心，
𝑂𝐵长为半径画弧，交数轴正半轴于点D，则点D 对应的数为_________．
10．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中给出已知任意三角形的三边求其面积的公
式，即已知三角形的三边长a，b，c，则该三角形的面积𝑆= √1
4 [𝑎2𝑏2 −(
𝑎2+𝑏2−𝑐2
2
)
2
]．现已知三角形的三
边长分别为2，4，4，其面积S 介于整数n 和𝑛+ 1之间，则n 的值是______．
11．如图，数轴上A，B 两点表示的数分别是1 和√2，点A 关于点B 的对称点是点C，则点C 所表示的数
是什么？
迁移创新
1．已知点A、B、C、D 在数轴上，其中A、B 分别表示数1 −√3和1 + √3．点C 向左平移4 个单位长度后
与点B 重合．
(1)线段𝐴𝐵的长= ．
(2)点C 表示的数是 ．
(3)对于数轴上三点，若其中两点关于另一点对称，则称这三点为“优美关系”，如果点A、点B、点D 为
优美关系，那么点D 对应的实数为 ．
2．如图，已知点A、B 是数轴上的两点，点A 对应的数为−√2，点B 在点A 的右侧，点C 为数轴上一动
点，设点B 对应的数为m，点C 对应的数为x，若𝐴𝐵= 2．
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(1)求m 的值；
(2)对于数轴上三点，若其中两点关于另一点对称，则称这三点为“优美关系”，如果点A、点B、点C 为
“优美关系”，求x 的值．
3．小红：如图是课本第71 页的部分内容，你理解这部分内容吗？能用类比的方法
．．．．．说明√3是无理数吗？
小明：好的．
求证：√3是无理数．
证明√2是无理数我们可以用反证法证明√2是无理数：
假设√2不是无理数，那么√2是有理数．有理数都可以写成分数形式
𝑚
𝑛（m，n 是整数，𝑛≠0），所以√2
可以写成
𝑚
𝑛（m，n 是正整数，且没有大于1 的公约数），即√2 =
𝑚
𝑛．
根据平方根的意义，(
𝑚
𝑛)
2
= 2，即
𝑚2
𝑛2 = 2，2𝑛2 = 𝑚2．
由于上式左边2𝑛2是偶数，所以右边𝑚2也是偶数，从而可知m 是偶数．
设𝑚= 2𝑝（p 是正整数），
把𝑚= 2𝑝代入2𝑛2 = 𝑚2，得2𝑛2 = 4𝑝2，即𝑛2 = 2𝑝2．
因此n 也是偶数．
于是，m，n 都是2 的倍数，这与m，n 没有大于1 的公约数相矛盾．
因此假设不成立，√2不是有理数，它是无理数．
