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2.6 直角三角形（第一课时）
题型一：利用直角三角形两锐角互余求角度（有图）
1．（24-25 八年级下·湖北孝感·期末）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
BAC
=
，AD
BC
⊥
于点D，
35
BAD
=
，
E 是斜边BC 的中点，则
DAE
的度数为（ ）
A．20
B．25
C．30
D．35
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【答案】A
【分析】根据垂直定义可得
90
ADB
=
，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得
55
B
=
，然后利用直
角三角形斜边上的中线性质可得AE
BE
=
，从而可得
55
BAE
B
= =
，最后利用角的和差关系进行计算，
即可解答．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形内角和定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题
的关键．
【详解】解：∵AD
BC
⊥
，
∴
90
ADB
=
，
∵
35
BAD
=
，
∴
90
90
35
55
B
BAD
=
−
=
−
=
，
∵
90
BAC
=
， E 是斜边BC 的中点，
∴
1
2
AE
BE
BC
=
=
，
∴
55
BAE
B
= =
，
∴
55
35
20
DAE
BAE
BAD
=
−
=
−
=
，
故选：A．
2．（24-25 七年级下·河南南阳·期末）如图所示，在Rt
ABC
△
中，
90
55
BAC
B
AD
BC
=
=
⊥
,
,
于点D ，
将ADB
沿AD折叠，使点B 落在点B处，则
CAB
的度数为（ ）
A．10
B．15
C．20
D．25
【答案】C
【分析】本题考查了三角形外角的性质，直角三角形的两个锐角互余，折叠的性质，先得出
90
55
35
C
=
−
=
，根据折叠的性质得
55
AB D
B
= =
，再结合
AB D
CAB
C
=
+
，然后代入数值
计算，即可作答．
【详解】解：∵
90 ,
55
BAC
B
=
=
，
∴
90
55
35
C
=
−
=
，
∵将ADB
沿AD折叠，使点B 落在点B处，
∴
55
AB D
B
= =
，
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∵
AB D
CAB
C
=
+
，
∴
55
35
20
CAB
AB D
C
=
−
=
−
=
，
故选：C．
3．（24-25 七年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，在
ABC
中，AD
BC
⊥
，AE 平分
BAC
．若
1
50 ,
2
40
=
=
，则
B
的度数是（ ）
A．20
B．25
C．30
D．40
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，垂直定义．先由垂直的定义得出
90
ADC
=
，
求出
90
2
50
C
=
−=
，由平分线的定义得出
1
1
2
CAE
BAC
=
=
，求出
1
2
10
DAE
= −=
，最后
根据三角形内角和定理即可得出答案．
【详解】解：∵AD
BC
⊥
，
∴
90
ADC
=
，
∴
90
2
50
C
=
−=
，
∵AE 平分
BAC
，
∴
1
1
2
CAE
BAC
=
=
，
∴
1
2
10
DAE
= −=
，
∴
180
1
2
30
B
DAE
C
=
−−−
−
=
，
故选：C．
4．（24-25 七年级下·四川成都·期末）如图，AB
CD
∥
，DH
BC
⊥
于点H，若
116
B
=
，则
D
的度数为
（ ）
A．26
B．30
C．32.5
D．36
【答案】A
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【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余，掌握以上知识，结合图形分析是解题的关键．
根据平行线的性质得到
64
C
=
，由直角三角形两锐角互余得到
90
D
C
=
−
，由此即可求解．
【详解】解：∵AB
CD
∥
，
116
B
=
∴
180
180
116
64
C
B
=
−=
−
=
，
∵DH
BC
⊥
，
∴
90
DHC
=
，
∴
90
90
64
26
D
C
=
−
=
−
=
，
故选：A ．
5．（24-25 七年级下·四川成都·期末）如图，在
ABC
中，BE 为AC 边上的高，CD平分
ACB
，CD，BE
相交于点F．若
70
A
=
，
60
ABC
=
，则
CFE
的度数为（ ）
A．25
B．50
C．65
D．75
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握三角
形的内角和定理是解题关键．
先根据三角形的内角和定理可得
50
=
°
ACB
，再根据角平分线的定义可得
25
ECF
=
，然后根据垂直的定
义可得
90
CEF
=
，最后根据直角三角形两锐角互余的即可得．
【详解】解：在
ABC
中，
70
A
=
，
60
ABC
=
，
180
50
AB
B
C
AC
A
=
−
=
−
，
CD
平分
ACB
，
1
25
2
ECF
ACB
=
=
，
BE
为AC 边上的高，
90
CEF
=
，
90
90
25
65
CFE
ECF
=
−
=
−
=
．
故选：C．
6．（24-25 七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，DE
AB
⊥
，垂足为E，
48
A
=
，
64
ACB
=
，则
D
=
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．
【答案】22
【分析】此题考查了三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握以上知识点．
首先根据三角形内角和定理求出
180
68
B
A
ACB
=
−−
=
，然后根据直角三角形两锐角互余求解即可．
【详解】解：∵
48
A
=
，
64
ACB
=
，
∴
180
68
B
A
ACB
=
−−
=
∵DE
AB
⊥
∴
90
DEB
=
∴
90
22
D
B
=
−=
．
故答案为：22．
7．
（24-25 七年级下·湖南衡阳·阶段练习）如图，在
ABC
中，AD平分
BAC
，AE
BC
⊥
，
40
B
=
，
70
C
=
，
则
ADE
= ．
【答案】75/75 度
【分析】此题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、直角三角形的性质，熟练掌握三角形内角和定
理、角平分线的定义，直角三角形两锐角互余的性质是解题的关键．由三角形内角和定理得到
70
BAC
=
，
由AD平分
BAC
，AE
BC
⊥
，得到
35
DAC
=
，
90
AEC
=
，即可得到
90
20
EAC
C
=
−
=
，即可得
到
15
DAE
DAC
EAC
=
−
=
，最后根据直角三角形两锐角互余求出结果即可．
【详解】解：∵
40
B
=
，
70
C
=
，
∴
180
180
40
70
70
BAC
B
C
=
−−
=
−
−
=
，
∵AD平分
BAC
，AE
BC
⊥
，
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∴
1
35
2
DAC
DAB
BAC
=
=
=
，
90
AEC
AEB
=
=
，
∴
90
90
70
20
EAC
C
=
−
=
−
=
，
∴
35
20
15
DAE
DAC
EAC
=
−
=
−
=
，
∴
90
15
75
ADE
=
−
=
．
故答案为：75
8．
（24-25 七年级下·四川巴中·期末）如图，CE
AF
⊥
，垂足为E，CE 与BF 相交于D ，
40
F
=
，
30
C
=
，
则
ABF
= ．
【答案】80/80 度
【分析】此题主要考查三角形的角度计算，三角形内角和定理，根据CE
AF
⊥
，可得
90
AEC
=
，则
90
60
A
C
=
−
=
，再根据三角形内角和为180 度可求出
ABF
．
【详解】解：∵CE
AF
⊥
，
∴
90
AEC
=
，
∵
30
C
=
，
∴
90
60
A
C
=
−
=
，
∴
180
80
ABF
A
F
=
−−
=
，
故答案为：80．
题型二：利用直角三角形两锐角互余求角度（无图）
1．
（24-25 八年级下·辽宁葫芦岛·期末）在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，CD是斜边AB 上的中线，若
55
B
=
，
则
ACD
的度数为 ．
【答案】35
【分析】本题考查了直角三角形的性质，等边对等角，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据斜边上的
中线等于斜边的一半，等边对等角，得到
BCD
B
= ，结合
90
BCD
ACD
+
=
解答即可．
【详解】解：∵
90
ACB
=
，CD是斜边AB 上的中线，
∴CD
BD
=
，
90
BCD
ACD
+
=
，
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∴
BCD
B
= ，
∵
55
B
=
，
∴
55
BCD
=
，
∴
90
35
ACD
BCD
=
−
=
，
故答案为：35．
2．（24-25 八年级下·广西桂林·期末）在 Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
70
B
=
，则
A
的度数为 ．
【答案】20/20 度
【分析】本题考查的是直角三角形的两锐角互余，根据直角三角形的两锐角互余可得答案.
【详解】解：在 Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
70
B
=
，
∴
90
70
20
A
−
=
=
，
故答案为：20
3．（24-25 七年级下·江苏常州·期末）在
ABC
中，
90
C
=
，
20
A
B
−=
，则
A
= ．
【答案】55
【分析】本题考查直角三角形中求角度问题，涉及直角三角形两锐角互余等知识，根据题意得到
A
B
=
+
90 ，再由
20
A
B
−=
消去
B
即可得到答案．熟记直角三角形两锐角互余是解决问题的关键．
【详解】解：在
ABC
中，
90
C
=
，则
A
B
=
+
90 ，
20
A
B
−=
，
(
) (
)
110
A
B
A
B
+
+ −
=
，即2
110
A
=
，
解得
55
A
=
，
故答案为：55．
4．（24-25 七年级下·山西太原·开学考试）在一个直角三角形中，已知一个锐角比另一个锐角的4 倍多15，
则较小锐角的度数为 ．
【答案】15/15 度
【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，关键步骤是正确设定变量并准确列方程，最终求出较
小的锐角度数．本题设定未知数，根据直角三角形两锐角互余的性质，建立方程求解较小的锐角度数．
【详解】解：设较小的锐角为x，则较大的锐角为4
15
x+
，
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根据直角三角形两锐角之和为90，得：
(4
15)
90
x
x
+
+
=
，
解得：
15
x =
，
所以较小锐角的度数为15．
故答案为：15．
5．（2025 八年级下·全国·专题练习）已知等腰三角形的顶角是110，则腰上的高与底边的夹角的度数
是 ．
【答案】55/55 度
【分析】这道题主要是考查等腰三角形和直角三角形．熟练掌握三角形内角和定理，等腰三角形性质，直
角三角形性质，是解题的关键．
首先根据顶角的度数求出等腰三角形的底角,然后根据腰上的高与底的夹角与等腰三角形的底角互余，解答
即可．
【详解】解：∵等腰三角形的顶角为110，
∴底角为(
)
1 180
110
35
2
−
=
，
∵一腰上的高与腰垂直，成90角，
∴一腰上的高与底边的夹角为90
35
55
−
=
．
故答案为：55．
6．（24-25 七年级下·重庆·期中）已知点E 为
ABC
中AB 边上一点，连接CE ，
10
A
=
，
50
B
=
，当BCE
为直角三角形时，则
ACE
的度数是 ．
【答案】30或80
【分析】本题考查三角形内角和，直角三角形的两个锐角互余，掌握分类讨论的思想是解题的关键．
分情况讨论：当
90
BCE
=
或当
90
BEC
=
时，根据三角形内角和，和直角三角形的两个锐角互余分别求
解即可．
【详解】解：∵
10
A
=
，
50
B
=
，
∴
1
180
10
50
20
BCA
−
=
=
−
，
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当
90
BCE
=
时，BCE
为直角三角形,
此时
120
90
30
ACE
ACB
BCE
=
−
=
−
=
，
当
90
BEC
=
时，BCE
为直角三角形,
此时
90
90 50 40
BCE
B
= −= −=
∵
1
180
10
50
20
BCA
−
=
=
−
∴
120
40
80
ACE
ACB
BCE
=
−
=
−
=
，
故答案为：30或80．
7．（24-25 八年级上·海南三亚·阶段练习）在一个直角三角形中，两个锐角度数之比为1:2，则这两个锐角
的度数分别是 、 ．
【答案】 30 60
【分析】该题考查了直角三角形的性质，根据在直角三角形中，两个锐角的和是90，求解即可．
【详解】解：在直角三角形中，两个锐角的和是90，
又已知两个锐角的度数比是1:2，
故两个锐角的度数分别是：
1
2
90
30 ,90
60
1 2
1 2
=
=
+
+
．
故答案为：30，60．
题型三：平行线中直角三角形两锐角互余问题
1．
（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，直线a
b
，Rt
ABC
△
的直角顶点C 在直线a 上，若1
54
=
，2
20
=
，
则
B
的度数为（ ）
A．30
B．46
C．50
D．56
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角定理，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握各知识
点并灵活运用是解题的关键．
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由平行结合三角形的外角得到
3
1 54
2
A
==
=+，求出
A
的度数，再由直角三角形锐角互余求出
B
．
【详解】解：如图：
∵a
b
，
∴
3
1 54
2
A
==
=+，
∵
2
20
=
，
∴
34
A
=
，
∵Rt
ABC
△
，
90
C
=
，
∴
90
56
B
A
=
−=
，
故选：D．
2．
（24-25七年级下·重庆秀山·期末）如图，直线AB
MN
∥
，线段AN 和线段BM 垂直于点Q ，若
25
ANM
=
，
则
ABM
的度数是（ ）
A．25
B．45
C．55
D．65
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质，垂线的定义，直角三角形的性质，由平行线的性质得
25
BAN
ANM
=
=
，由垂线的定义得
90
AQB
=
，进而根据直角三角形的性质即可求解，掌握以上知
识点是解题的关键．
【详解】解：∵AB
MN
∥
，
∴
25
BAN
ANM
=
=
，
∵AN
BM
⊥
，
∴
90
AQB
=
，
∴
90
65
ABM
BAN
=
−
=
，
故选：D ．
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3．（24-25 七年级下·浙江宁波·期中）如图，1
2
l
l
∥，3
4
l
l
⊥
，1
42
=
，那么
2
的度数为（ ）
A．21
B．38
C．42
D．48
【答案】D
【分析】本题考查了垂直的定义及平行线的性质，直角三角形中两个锐角互余等．如图所示标注字母，然
后利用垂直及平行线的性质即可得出结果．
【详解】解：如图所示标注字母，
∵1
2
l
l
∥，
∴
3
1
42
= =
，
∵3
4
l
l
⊥
，
∴
2
90
3
48
=
−=
，
故选：D．
4．（2025·海南省直辖县级单位·三模）如图，在同一平面内，已知AB
CD
∥
，直线EF 平分
GEB
，过点D
作DH
EF
⊥
于点H ，若
70
GEB
=
，则
CDH
的度数为（ ）
A．50
B．55
C．60
D．65
【答案】B
【分析】先对顶角定义得到
70
AED
GEB
=
=
∠
∠
，再由平行线的性质得到
110
CDE
=
，然后由角平分线
定义、对顶角相等得到
35
HED
DEH
=
=
，最后由直角三角形两锐角互余确定
55
HDE =
∠
，再数形结
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合表示出
CDH
CDE
HDE
=
−
求解即可得到答案．
【详解】解：
70
GEB
=
，
70
G
AED
EB
=
=
，
AB
CD
∥
，
180
70
110
CDE
=
−
=
,
直线EF 平分
GEB
，
1
35
2
GEF
BEF
GEB
=
=
=
,
则
35
HED
DEH
=
=
，
DH
EF
⊥
，
90
35
55
HDE
=
−
=
,
110
55
55
CDH
CDE
HDE
=
−
=
−
=
,
故选：B．
5．（24-25 七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，直线a
b
，AB
AC
⊥
，若
2
35
=
，则1
=
【答案】55
【分析】本题考查了平行线的性质以及垂直的定义，属于中考常考题．掌握平行线性质是解题关键．
根据垂直的定义和余角的定义计算得到
ABC
，再根据两直线平行，内错角相等可得1
55
ABC
．
【详解】解：∵AB
AC
⊥
，
∴
90
BAC
=
，
∵
2
35
=
，
∴
90
2
55
ABC
=
−=
，
∵a
b
，
∴1
55
ABC
．
故答案为：55
6．（2025·河南郑州·三模）如图，直线a
b
，直线l
a
⊥
，1 130
=
，则
2
的度数为 ．
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【答案】40/40 度
【分析】此题考查了平行线的性质，邻补角，直角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握以上知识点．
首先得出l
b
⊥
，然后求出1
的邻补角，然后根据直角三角形两锐角互余求解即可．
【详解】因为a
b
，l
a
⊥
，
所以l
b
⊥
，
则1
的邻补角为180
130
50
−
=
，
所以
2
90
50
40
=
−
=
．
故答案为：40．
7．
（24-25 七年级下·河南新乡·期末）如图，若AB
CD
∥
，G 是BC 上一点，GH
AB
⊥
于点H．若
110
ECF
=
，
则
BGH
的度数为 ．
【答案】20
【分析】本题考查了对顶角相等，两直线平行同旁内角互补，直角三角形两个锐角互余，解题关键是掌握
上述知识点，并能熟练运用求解．
先利用对顶角相等，求得
110
BCD
ECF
=
=
，再利用平行线的性质求得
70
B
=
，然后利用直角三角形
两个锐角互余，求得
BGH
．
【详解】解：∵
110
ECF
=
，
∴
110
BCD
ECF
=
=
，
∵AB
CD
∥
，
∴
180
B
BCD
+
=
，
∴
110
180
B
+
=
，解得：
70
B
=
，
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14 /
∵GH
AB
⊥
，
∴
90
B
BGH
+
=
，
∴70
90
BGH
+
=
，解得：
20
BGH
=
，
故答案为：20．
题型四：三角板中直角三角形两锐角互余问题
1．（2025·内蒙古鄂尔多斯·一模）将一副三角板按照如图方式摆放，则
BGE
的度数为（ ）
A．65
B．75
C．85
D．105
【答案】B
【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，对顶角的定义，熟练掌握相关知识点是解题
的关键．
根据自己三角形的性质求出
90
90
30
60
BCF
F
=
−
=
−
=
，
90
90
45
45
EAD
AED
=
−
=
−
=
，根
据三角形内角和定理求出
180
75
AGC
BCF
EAD
=
−
−
=
，得到
75
BGE
AGC
=
=
，即可得到答案．
【详解】解：根据题意得
90
90
30
60
BCF
F
=
−
=
−
=
，
90
90
45
45
EAD
AED
=
−
=
−
=
，
180
75
AGC
BCF
EAD
=
−
−
=
，
75
BGE
AGC
=
=
，
故选：B．
2．（2025·山东·二模）如图，把一个含60角的直角三角板ABC 的直角顶点C 放在直尺上，
60
A
=
，则
1
2
−等于（ ）
A．10
B．20
C．30
D．40
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15 /
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，找出角度之间的数量关系是
解题关键．根据三角板可得
30
B
=
，根据平行线的性质和三角形外角的性质，得到1
2
B
=+，即可
求解．
【详解】解：
60
A
=
，
90
ACB
=
，
30
B
=
，
a
b
∥
，
1
3
=
，
3
2
B
= +
，
1
2
B
=
+
1
2
30
B
−= =
，
故选：C．
3．（24-25 七年级下·全国·期末）将三角尺ABC 按如图位置摆放，顶点A 落在直线1l 上，顶点B 落在直线2l
上．若1
2
l
l
，1
35
=
，则
2
的度数是（ ）
A．15
B．20
C．25
D．35
【答案】C
【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，平行线的性质，掌握平行线的性质求角度的计算是关键．
根据题意，得到1
3
60
+=
，根据平行线的性质得到
2
3
25
= =
，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，
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16 /
1
3
30
60
C
+= −
=
，
∴
3
60
1
25
=
−=
，
∵1
2
l
l
，
∴
2
3
25
= =
，
故选：C ．
4．（2025·河南信阳·三模）一副三角板按如图方式叠合在一起，AD与BE 相交于点H，则
BHD
的度数是
（ ）
A．75
B．70
C．65
D．55
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角板中的角度计算，对顶角相等，以及直角三角形两锐角互余，由三角板可知
45 ,
30
EAB
DAC
=
=
，与角的和差可得出
15
EAD
EAB
DAC
=
−
=
，再根据对顶角相等以及直角三
角形两锐角互余
90
15
75
BHD
EHA
=
=
−
=
．
【详解】解：根据题意可知
45 ,
30
EAB
DAC
=
=
，
则
15
EAD
EAB
DAC
=
−
=
，
90
15
75
BHD
EHA
=
=
−
=
故选∶A
5．（24-25 七年级下·四川达州·期中）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点D 在BC 边上，且
45
30
A
F
=
=
，
．若BC
EF
∥
，则
CED
的度数是（ ）
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17 /
A．5
B．10
C．15
D．20
【答案】C
【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余、平行线的性质、三角形外角的性质等知识点，灵活运用
三角形外角的性质成为解题的关键．
由直角三角形两锐角互余可得
45
60
C
DEF
=
=
，
，再根据平行线的性质可得
60
BDE
DEF
=
=
，最
后根据三角形外角的性质即可解答．
【详解】解：∵
45
30
A
F
=
=
，
．
90
B
EDF
=
=
，
∴
45
60
C
DEF
=
=
，
，
∵BC
EF
∥
，
∴
60
BDE
DEF
=
=
，
∵
BDE
是CDE
的外角，
∴
15
CED
BDE
C
=
−
=
．
故选C．
6．
（24-25 七年级下·广东深圳·期中）把一块直尺与一块三角板如图放置，若
1
40
=
，则
2
的度数为 （ ）
A．140
B．130
C．50
D．120
【答案】B
【分析】根据题意，得
4
3
50
= =
，结合a
b
，得
4
5 180
+=
，求得
5
130
=
，结合
2
5
= 解答
即可．
本题考查了直角三角形的互余性质，对顶角相等，平行线的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得
3
90
1
50
=
−=
，
故
4
3
50
= =
，
又a
b
，
故
4
5 180
+=
，
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18 /
故
5
130
=
，
又
2
5
= ，
故
2
130
=
，
故选：B．
7．（2025·河北邯郸·一模）将直角三角板ABC（
90
C
=
）按下图的方式摆放在一条直线l 上，若
2
40
=
，
则1
=（ ）
A．40
B．50
C．60
D．90
【答案】B
【分析】本题考查对顶角相等，直角三角形两锐角互余．根据对顶角相等得到
3
2
40
= =
，再由直角三
角形两锐角互余求出
4
，进而即可解答．
【详解】解：如图，
∵
2
40
=
，
∴
3
2
40
= =
，
∵
90
C
=
，
∴
3
4
90
+ =
°，
4
90
40
50
=
−
=
，
1
4
50
= =
．
故选：B．
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19 /
题型五：直角三角形中两锐角互余实际应用
1．（2025·河南驻马店·三模）如图，在一个建筑工地有两根平行的钢梁1l 和2l ，它们分别固定在建筑物的不
同位置，用于支撑结构．工人师傅需要在钢梁上安装两根互相垂直的支架AB ，CD，以确保钢梁的稳定性
和安全性．经测量发现1
40
=
，则
2
的度数为（ ）
A．60
B．50
C．45
D．40
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，先根据垂直的定义得到
3
90
1
50
=
−=
，再根据平行线的性质即可得
解．熟记性质是解题的关键．
【详解】解：如图，
CD
AB
⊥
，1
40
=
，
3
90
1
50
=
−=
，
1
2
l
l
∥，
2
3
50
= =
，
故选：B．
2．（24-25 六年级下·山东济宁·期中）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB 与底座CD都平行于地
面，靠背DM 与支架OE 平行，前支架OE 与后支架OF 分别与CD交于点G 和点D ，AB 与DM 交于点N ，
当前支架OE 与后支架OF 正好垂直，
32
ODC
=
时，人躺着最舒服，则此时扶手AB 与靠背DM 的夹角
ANM
的度数为（ ）
A．92
B．122
C．148
D．138
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20 /
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
根据题意求出
90
90
32
58
OGD
ODC
=
−
=
−
=
，继而得到
180
122
CDM
OGD
=
−
=
，推出
122
ANM
CDM
=
=
，即可得到答案．
【详解】解：
OE
OF
⊥
，
90
GOD
=
，
90
90
32
58
OGD
ODC
=
−
=
−
=
，
OE
DM
∥
，
180
122
CDM
OGD
=
−
=
，
AB
CD
，
122
ANM
CDM
=
=
，
故选：B．
3．（2025·河南南阳·模拟预测）小丽的存钱罐静止在一个斜面上，如图所示，支持力
1F 的方向与斜面垂直，
摩擦力
2
F 的方向与斜面平行，重力G 的方向竖直向下，若斜面的坡角
22
=
，则摩擦力
2
F 与重力G 方向
的夹角的度数为（ ）
A．68°
B．112°
C．122°
D．158°
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的性质，直角三角形的两个锐角互余，
先对图形标注，三个力的交点为E，再求出
68
DBE
=
，然后根据“两直线平行，同旁内角互补”得出答案．
【详解】解：对图形标注，三个力的交点为E，
根据题意可知EG
BD
BC
AC
⊥
∥
，
，
在Rt
ABC
△
中，
90
68
ABC
=
−
=
，
∴
68
DBE
=
．
∵EG
BD
∥
，
∴
180
DBE
+
=
，
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21 /
∴
180
68
112
=
−
=
．
故选：B．
4．（24-25 七年级下·江西抚州·阶段练习）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从空气射入水
中要发生折射．物理课上，小军手持一激光笔射入水中，如图，水面与水杯下沿平行，光线从空气射入水
中，发生折射，若1
60
=
，
140
ABO
=
，则
2
的度数是（ ）
A．20
B．30
C．40
D．50
【答案】A
【分析】本题考查直角三角形的性质、角的和差计算，根据直角三角形的性质求得
30
CBO
=
，再利用角
的和差计算求解即可．
【详解】解：如图，∵1
60
=
，
∴
90
60
30
CBO
=
−
=
，
∵
140
ABO
=
，
∴
2 =140
90
30 = 20
−
−
，
故选：A．
5．（24-25 八年级下·浙江·阶段练习）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb 角
O
的大
小，需将
O
转化为与它相等的角，则图中与
O
相等的角是（ ）
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22 /
A．
BED
B．
BCO
C．
DEC
D．
ADO
【答案】A
【分析】本题考查直角三角形的性质的应用，根据直角三角形的两锐角互余，同角的余角相等可得结论．
【详解】解：∵BC
OD
⊥
，AD
OC
⊥
，
∴
O
ODA
ODA
BED
+
=
+
，
∴
O
BED
=
，
又∵
BED
AEC
=
，
∴
O
BED
AEC
=
=
，
故选：A．
6．（2025·河南驻马店·三模）一束平行光线经过水面后折射的光线也是平行的．如图，若杯底与水面平行，
折射角1 15
=
，则
2
的度数为（ ）
A．55
B．65
C．75
D．85
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质及直角三角形的两锐角互余，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；根
据互余及平行线的性质即可求解．
【详解】解：由题意可知，法线与杯底垂直，1
的余角为75，
由平行线的性质可知：
2
75
=
．
故选C．
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23 /
7．（24-25 七年级下·江西上饶·期中）如图为一盏可调节台灯及其示意图，固定支撑杆AO 垂直底座MN 于
点O，AB 与BC 是分别可绕点A 和B 旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C 旋转调节光线角度，在调节过程中，
最外侧光线CD、CE 组成的
DCE
始终保持不变，现调节台灯，使外侧光线
∥
CD
MN ，CE
BA
∥
，若
40
DCE
=
，则
BAO
= ．
【答案】130/130度
【分析】本题考查了平行线的性质，延长CE 交MN 于L ，延长BA交MN 于K ，根据平行线的性质推出
40
AKO
KLC
DCE
=
=
=
，再推出
50
OAK
=
，进而可求解，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：延长CE 交MN 于L ，延长BA交MN 于K ，如图：
CD
MN
∥
，
40
DCE
=
，
40
KLC
DCE
=
=
，
CE
BA
40
AKO
KLC
=
=
，
AO
MN
⊥
，
90
AOK
=
，
90
40
50
OAK
=
−
=
，
180
50
130
BAO
=
−
=
，
故答案为：130．
8．（24-25 六年级下·山东烟台·期中）如图，点B 在点A 的北偏东65方向，点C 在点B 的北偏西25方向，
若AB
CE
∥
，则点C 在点E 的南偏西 方向．
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24 /
【答案】65
【分析】本题考查了方位角的概念，平行线的性质，直角三角形两个锐角互余，解题关键是掌握平行线的
性质．
先利用平行线的性质证得
ECB
ABC
=
∠
∠
，再利用平行线的性质证得
180
FAB
ABG
+
=
，从而可得
65
180
ABG
+
=
，求得
115
ABG
=
，再利用
ABC
ABG
CBG
=
−
求得
ABC
，从而可得
90
ECB
=
，
再求得
CJB
即可．
【详解】解：如图，
AB
CE
∥
，
ECB
ABC
=
，
AF
BG
∥
，
180
FAB
ABG
+
=
∴
，
65
180
ABG
+
=
∴
，解得：
115
ABG
=
，
115
25
90
ABC
ABG
CBG
=
−
=
−
=
∴
，
90
ECB
=
，
0
90
9
25
65
CJB
CBG
−
=
=
−
=
∴
，
∴点C 在点E 的南偏西65方向．
故答案为：65．
题型六：直角三角形中两锐角互余折叠问题
1．（24-25 七年级下·陕西咸阳·期中）如图，把一张长方形纸条按如图的方式折叠后，量得
100
AOB
=
，
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25 /
则
OCB
的度数是 ．
【答案】50
【分析】本题考查折叠的性质、直角三角形的性质，由折叠的性质得，
=
= 40
BOC
BOC
，
=
OCB
OCB
，
再根据直角三角形的性质求得
=
= 50
OCB
OCB
即可．
【详解】解：由折叠的性质得，
=
B OC
BOC
，
=
OCB
OCB
，
∵
100
AOB
=
，
∴
=
= 40
BOC
BOC
，
又∵
90
B
?
? ，
∴
=
= 90
40 = 50
OCB
OCB
−
，
故答案为：50．
2．（24-25 七年级下·重庆巫溪·阶段练习）如图所示，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D
C
，
分别落在
D
C
，
位置．若
65
EFB
=
，则
DMB
的度数是
【答案】40
【分析】本题考查了折叠的性质，邻补角和对顶角的性质，直角三角形的性质，由邻补角性质得
115
EFC
=
，
由折叠得
90
C
C
=
=
，
115
EFC
EFC
=
=
，进而得
50
C FM
EFC
EFB
=
−
=
，即得
90
40
C MF
C FM
=
−
=
，再根据对顶角的性质即可求解，掌握折叠的性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴
90
C
=
，
∵
65
EFB
=
，
∴
180
65
115
EFC
=
−
=
，
由折叠得，
90
C
C
=
=
，
115
EFC
EFC
=
=
，
∴
115
65
50
C FM
EFC
EFB
=
−
=
−
=
，
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∴
90
90
50
40
C MF
C FM
=
−
=
−
=
，
∴
40
BMD
C MF
=
=
，
故答案为：40 ．
3．
（24-25 七年级下·宁夏银川·期中）如图，ABC
中，
90
ACB
=
，
30
A
=
，沿着图中的CD折叠
BCD
△
，
点B 刚好落在边AC 上的点E 处，则
CDE
的度数是 ．
【答案】75
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，掌握折叠前后图形的对应
线段和对应角相等是解题的关键．
由直角三角形的性质得到
90
60
B
A
=
−=
，由折叠的性质可求得
1
45
2
ACD
BCD
ACB
=
=
=
，
60
CED
B
= =
，得到
180
75
CDE
CD
CED
=
−
−
=
，即可得到答案．
【详解】解：
ABC
中，
90
ACB
=
，
30
A
=
，
90
60
B
A
=
−=
，
由折叠可得
1
45
2
ACD
BCD
ACB
=
=
=
，
60
CED
B
= =
，
180
75
CDE
CD
CED
=
−
−
=
，
故答案为：75 ．
4．（24-25 七年级下·贵州·期中）如图所示，将长方形纸片ABCD折一下，折痕为MN ，再折，使MB
MC
、
与MN 叠合，折痕分别为ME
MF
、
，若
70
CFM
=
，则
AEM
的度数为 ．
【答案】110/110 度
【分析】本题考查了折叠的性质、角的和差，平行线的性质，直角三角形的性质，掌握理解折叠的性质是
解题关键．
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27 /
由折叠的性质得
BME
NME
=
，
CMF
NMF
=
，求出
90
20
CMF
NMF
CFM
=
=
−
=
，得到
(
)
(
)
1
1
1
180
180
40
70
2
2
2
BME
BMN
CMN
=
=
−
=
−
=
，根据平行线的性质得到
180
110
AEM
BME
=
−
=
，即可得到答案．
【详解】解：由折叠的性质得
BME
NME
=
，
CMF
NMF
=
，
长方形纸片ABCD，
90
C
=
，AD
BC
∥
，
70
CFM
=
，
90
20
CMF
NMF
CFM
=
=
−
=
，
(
)
(
)
1
1
1
180
180
40
70
2
2
2
BME
BMN
CMN
=
=
−
=
−
=
，
AD
BC
，
180
110
AEM
BME
=
−
=
，
故答案为：110．
5．（24-25 七年级下·重庆·阶段练习）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
62
B
=
，D、E 分别在AB 、AC
上，将三角形ADE 沿DE 折叠得到三角形FDE，且满足EF
AB
∥
，则
EDF
= °．
【答案】76
【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，直角三角形的性质．首先根据平行的性质可得
62
CGE
B
=
=
，根据直角三角形的两个锐角互余可得
28
GEC
=
，根据邻补角的定义可得
152
FEA
=
，根据折叠的性质可得
76
DEA
=
，最后由EF
AB
∥
得到
76
EDF
DEA
=
=
．
【详解】解：如下图所示，
EF
AB
∥
，
62
CGE
B
=
=
，
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90
C
=
，
90
90
62
28
GEC
CGE
=
−
=
−
=
，
180
180
28
152
FEA
GEC
=
−
=
−
=
，
根据折叠的性质可知，
1
1 152
76
2
2
DEA
AEF
=
=
=
，
EF
AB
∥
，
76
EDF
DEA
=
=
．
故答案为：76 ．
6．
（2025·浙江宁波·一模）如图，长方形ABCD沿AE 折叠，使点D 落在BC 边上的点F 处．如果
55
BAF
=
，
那么
DAE
= ，
=
AEF
，
=
EFC
．
【答案】 17.5 72.5 55/55 度
【分析】此题考查了折叠的性质，全等三角形的性质，直角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握以上知
识点．
先根据矩形的性质得到
90
BAD
=
，进而根据角的运算得到
35
DAF
=
，再根据折叠的性质得到
ADE
AFE
△
≌△
，根据三角形全等的性质得到
1
17.5
2
DAE
EAF
DAF
=
=
=
，从而结合题意进行角的运
算即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴
90
BAD
=
，
∵
55
BAF
=
，
∴
35
DAF
BAD
BAF
=
−
=
，
由折叠得
ADE
AFE
△
≌△
，
1
17.5
2
DAE
EAF
DAF
=
=
=
；
又∵
90
D
B
=
=
，
∴
90
72.5
AED
DAE
AEF
=
−
=
=
，
90
35
BFA
BAF
=
−
=
，
∴
180
90
55
EFC
AFB
=
−
−
=
．
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故答案为：17.5，72.5，55．
7．（24-25 八年级上·四川成都·期末）如图，在
ABC
中，
90
ACB
=
，将
ABC
沿CD折叠，使得点B 落
在边AC 上的点E 处，若
A
ADE
=
，则
BDC
的度数为 ．
【答案】75
【分析】本题考查翻折变换，先确定
2
B
A
= ，利用直角三角形两锐角互余，求出
30
A
=
，再求出
150
BDE
=
可得结论．解题的关键是掌握翻折变换的性质．
【详解】解：∵将
ABC
沿CD折叠，使得点B 落在边AC 上的点E 处，
∴
B
DEC
=
，
CDB
CDE
=
，
∵
DEC
A
ADE
= +
，
A
ADE
=
，
∴
2
B
DEC
A
=
= ，
∵
90
ACB
=
，
∴
2
90
A
A
A
B
+ = +=
，
∴
30
A
=
，
∴
30
ADE
A
= =
，
∴
180
180
30
150
BDE
ADE
=
−
=
−
=
，
∴
1
1 150
75
2
2
BDC
EDC
BDE
=
=
=
=
，
即
BDC
的度数为75．
故答案为：75．
8．（24-25 八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，在
ABC
中，
90
ACB
=
，沿CD折叠
CBD
△
，使点B 恰
好落在边AC 上的点E 处．若
20
A
=
，则
BDC
的度数为 ．
【答案】65
【分析】本题考查了折叠的性质，直角三角形两锐角互余，三角形内角和定理，由直角三角形两锐角互余
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可得
90
70
B
A
=
−=
，由折叠可得
1
45
2
BCD
ECD
ACB
=
=
=
，再利用三角形内角和定理即可求解，
掌握折叠的性质是解题的关键．
【详解】解：∵
90
ACB
=
，
20
A
=
，
∴
90
90
20
70
B
A
=
−=
−
=
，
由折叠得，
70
DEC
B
= =
，
1
1 90
45
2
2
BCD
ECD
ACB
=
=
=
=
，
∴
180
180
70
45
65
BDC
B
BCD
=
−−
=
−
−
=
，
故答案为：65．
题型七：直角三角形中两锐角互余综合（解答题）
1．（24-25 七年级下·福建泉州·期末）如图，在
ABC
中，AD
BC
⊥
于点D，BE 平分
ABC
，AD，BE 相
交于点F，
60
BAC
=
，
70
C
=
，求
CAD
和
AFB
的度数．
【答案】
20
CAD
=
；
115
AFB
=
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质．根据直角三角形两锐角互余，可求出
CAD
；
再根据三角形内角和定理可得
ABC
，再结合角平分线的定义可得
CBE
，即可求解
【详解】解：
AD
BC
⊥
，
90
ADB
ADC
=
=
，
90
DAC
C
+
=
，
90
90
70
20
DAC
C
=
−
=
−
=
．
180
BAC
ABC
C
+
+
=
，
180
180
60
70
50
ABC
BAC
C
=
−
−
=
−
−
=
，
BE
平分
ABC
，
1
25
2
CBE
ABC
=
=
，
25
90
115
AFB
CBE
ADB
=
+
=
+
=
．
2．（24-25 七年级下·河南南阳·期末）如图，在
ABC
中，AE 平分
BAC
，AD 是BC 边上的高．
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(1)在图中将图形补充完整；
(2)当
82
BAC
=
，
72
C
=
时，求
DAE
的度数．
【答案】(1)见解析
(2)23
【分析】（1）根据高的定义补充图形；
（2）根据角平分线性质求出
CAE
，最后结合直角三角形的性质求出
DAE
．
【详解】（1）（1）解：如图所示：
（2）解：∵在
ABC
中，
82
BAC
AE
=
，
平分
BAC
，
1
41
2
CAE
BAC
=
=
，
AD
是BC 边上的高，
90
ADC
=
，
90
18
CAD
C
=
−
=
，
41
18
23
DAE
CAE
CAD
=
−
=
−
=
．
3．
（24-25 七年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在Rt ABC
中，
90
40
ACB
A
=
=
，
，ABC
的外角
CBD
的平分线BE交AC 的延长线于点E．过点D 作DF
BE
∥
，交AC 的延长线于点F，求
F
的度数．
【答案】25
【分析】此题考查三角形外角的性质，角平分线定义，平行线的性质，根据三角形外角性质求出
CBD
的
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度数，由角平分线得到
CBE
的度数，进而求出
CEB
，再根据平行线的性质即可得到答案．
【详解】解：∵
90
40
ACB
A
=
=
，
，
∴
130
CBD
ACB
A
=
+=
，
∵BE是
CBD
的角平分线，
∴
1
65
2
CBE
CBD
=
=
；
∵
90
65
ACB
CBE
=
=
，
，
∴
25
CEB
ACB
CBE
=
−
=
，
∵DF
BE
∥
，
∴
25
F
CEB
=
=
．
4．
（24-25 七年级下·陕西汉中·期末）已知
ABC
中，
50 ,
70 ,
B
C
AD
=
=
是
ABC
的角平分线，DE
AB
⊥
于E．
(1)求
EDA
∠
的度数；
(2)若
10,
8,
2
AB
AC
DE
=
=
=
，求
ABC
S
．
【答案】(1)60 度
(2)18
【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的性质的应用；
（1）先求解
180
60
BAC
B
C
=
−−
=
，结合角平分线可得
1
30
2
BAD
BAC
=
=
，再进一步求解即可；
（2）过点D作DF
AC
⊥
于点F ．结合AD是
ABC
的角平分线，DE
AB
⊥
，可得
2
DF
DE
=
= ，再进一步
求解即可.
【详解】（1）解：
50 ,
70
B
C
=
=
，
∴
180
60
BAC
B
C
=
−−
=
，
AD
是
ABC
的角平分线，
1
30
2
BAD
BAC
=
=
，
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DE
AB
∵
⊥
，
90
DEA
=
，
90
60
EDA
BAD
=
−
=
；
（2）解：如图，过点D 作DF
AC
⊥
于点F ．
AD
是
ABC
的角平分线，DE
AB
⊥
，
2
DF
DE
=
=
，
又
10,
8
AB
AC
=
=
，
1
1
10 2
8 2
18
2
2
ABC
S
=
+
=
.
5．（24-25 七年级下·山东烟台·期中）如图，已知在
ABC
中．
(1)若
:
:
3:4:5
A
ABC
ACB
=
，求
ABC
的最大内角的度数；
(2)若BD
AC
⊥
于点D，CE 是
ACB
的平分线，
69
A
=
，
40
CBD
=
，求
BEC
的度数．
【答案】(1)75
(2)94
【分析】本题考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、三角形外角的性质、角平分线的定义，熟练
掌握相关知识点是解题的关键．
（1）由题意可设
3
A
=
，
4
ABC
=
，
5
ACB
=
，根据三角形内角和定理列出方程，解出的值，
即可求解；
（2）根据垂直的性质得到
=90
BDC
，利用直角三角形的性质得出
90
50
BCD
CBD
=
−
=
，利用角平
分线的定义得到
1
25
2
ACE
BCD
=
=
，再利用三角形外角的性质即可求出
BEC
的度数．
【详解】（1）
解：
:
:
3:4:5
A
ABC
ACB
=
，设
3
A
=
，
4
ABC
=
，
5
ACB
=
，
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180
A
ABC
ACB
+
+
=
，
3
4
5
180
+
+
=
，解得：
15
=
，
5
75
ACB
=
=
，
ABC
的最大内角的度数75；
（2）
解：
BD
AC
⊥
，
90
BDC
=
，
40
CBD
=
，
90
50
BCD
CBD
=
−
=
，
CE
是
ACB
的平分线，
1
25
2
ACE
BCD
=
=
，
69
A
=
，
69
25
94
BEC
A
ACE
= +
=
+
=
．
6．（24-25 七年级下·上海·期中）如图，已知
,
,
,
AE
AB AF
AC AE
AB AF
AC
⊥
⊥
=
=
，BF 与CE 相交于点M ．
(1)求证：EC
BF
；
(2)求证：EC
BF
⊥
．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查“手拉手”模型证全等，涉及三角形全等判定与性质、直角三角形性的判定与性质等知识，
准确识别“手拉手”模型，掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键．
（1）由“手拉手”模型，结合两个三角形全等的判定定理SAS即可得证；
（2）由（1）中三角形全等得到
AFB
ACE
=
，在Rt
ACF
△
中，
90
AFC
ACF
+
=
，从而在
CFM
△
中，
求得
90
MFC
MCF
+
=
即可得证．
【详解】（1）证明：
,
AE
AB AF
AC
⊥
⊥
，
90
BAE
CAF
=
=
，
90
BAE
BAC
BAC
CAF
BAC
+
=
+
=
+
，
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即
EAC
BAF
=
，
在EAC
和
BAF
△
中，
AE
AB
EAC
BAF
AF
AC
=
=
=
，
(
)
SAS
EAC
BAF
≌
，
EC
BF
=
；.
（2）证明：由（1）知，
(
)
SAS
EAC
BAF
≌
，
AFB
ACE
=
，
在Rt
ACF
△
中，
90
AFC
ACF
+
=
，
在
CFM
△
中，
(
)
(
)
90
MFC
MCF
MFC
MCA
ACF
MFC
MFA
ACF
AFC
ACF
+
=
+
+
=
+
+
=
+
=
，
EC
BF
⊥
．
7．（24-25 七年级下·四川眉山·期末）如图，AD是
ABC
的高，CE 是
ABC
的角平分线，点F 是AC 的中
点，
38
ACB
=
，
30
BAD
=
．
(1)求
AEC
的度数；
(2)若
BCF
与
BAF
△
的周长差为5，
7
AB =
，求BC 的长．
【答案】(1)79°
(2)12
【分析】本题考查了直角三角形的性质、角平分线的定义、三角形的外角的性质和三角形的周长的计算，
熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
（1）根据直角三角形的性质、角平分线的定义和三角形的外角的性质即可得到结论；
（2）根据三角形的周长公式和已知条件即可得到结论．
【详解】（1）解：∵AD是
ABC
的高，
∴
90
ADB
=
，
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30
BAD
=
，
90
30
60
ABD
ADC
ACB
=
−
=
−
=
．
CE
平分
ACB
，
1
1
38
19
2
2
ECB
ACB
=
=
=
．
60
19
79
AEC
ABD
ECB
=
+
=
+
=
；
（2）解：点F 为AC 的中点，
AF
CF
=
．
BCF
与
F
BA
的周长差为5，
(
) (
)
5
BC
CF
BF
AB
BF
AF
+
+
−
+
+
= ，
5
BC
AB
−
=
，
7
5
BC −
= ，
12
BC =
．
8．（24-25 七年级下·陕西渭南·期末）如图所示，在Rt
ABC
中，
90
A
=
，点E 、D 、M 分别在AB 、BC 、
AC 上，连接ED、DM 、EM ，点F 、N 分别在BD、CD上，连接EF 、MN ．
(1)若EF 、MN 分别是BED
和DMC
的中线，
2
DF =
，
8
NC = ，求BC 的长度；
(2)若EF 、MN 分别垂直平分BD、DC ，判断ED与MD 是否垂直，并说明理由．
【答案】(1)20
(2) ED
MD
⊥
，理由见解析
【分析】此题考查了三角形中线的性质，垂直平分线的性质，等边对等角，直角三角形两锐角互余等知识，
解题的关键是掌握以上知识点．
（1）根据中线的性质得到
2
BF
DF
=
=
，
8
DN
NC
=
=
，进而求解即可；
（2）由垂直平分线的性质得到EB
ED
=
，MD
MC
=
，推出
B
EDB
=
，MDC
C
=
，然后结合
90
A
=
得到
90
EDM
=
，即可证明．
【详解】（1）因为EF 、MN 分别是BED
和DMC
的中线，
所以
2
BF
DF
=
=
，
8
DN
NC
=
=
，
所以
2
2 8 8
20
BC
BF
DF
DN
NC
=
+
+
+
=
+ + + =
．
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（2）ED
MD
⊥
，理由如下：
因为EF 垂直平分BD，MN 垂直平分CD，
所以EB
ED
=
，MD
MC
=
，
所以
B
EDB
=
，
MDC
C
=
，
因为
90
A
=
，
所以
90
EDB
MDC
B
C
+
= +
=
，
所以
90
EDM
=
，
所以ED
MD
⊥
．
9．（24-25 七年级下·四川成都·期中）ABC
中，点D 、F 分别为线段AC 、AB 上两点，连接BD、CF 交
于点E ．
(1)若BD
AC
⊥
，CF
AB
⊥
，如图1，试说明
180
BAC
BEC
+
=
；
(2)若BD平分
ABC
，CF 平分
ACB
，如图2 所示，若
120
BEC
=
，则
BAC
= ，并证明：EF
ED
=
．
【答案】(1)见解析
(2)60 ，证明见解析
【分析】（1）根据余角的性质得到
DEC
BAC
=
，由于
180
DEC
BEC
+
=
，即可得到结论；
（2）根据角平分线的性质得到
1
2
EBC
ABC
=
，
1
2
ECB
ACB
=
，于是得到结论；作
BEC
的平分线EM
交BC 于M ，由
60
BAC
=
，得到
90
120
BEC
BAC
=
+
=
，求得
60
FEB
DEC
=
=
，根据角平分线的
性质得到
60
BEM
=
，推出FBE
EBM
≌
，根据全等三角形的性质得到EF
E
=
，同理DE
EM
=
，即可得
到结论．
【详解】（1）解：
BD
AC
⊥
，CF
AB
⊥
，
90
DCE
DEC
DCE
FAC
+
=
+
=
，
DEC
BAC
=
，
180
DEC
BEC
+
=
，
180
BAC
BEC
+
=
；
（2）
BD
平分
ABC
，CF 平分
ACB
，
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1
2
EBC
ABC
=
，
1
2
ECB
ACB
=
，
(
)
180
BEC
EBC
ECB
=
−
+
(
)
180
ABC
ACB
=
−
+
1
1
180
180
2
2
BAC
=
−
−
1
90
2
BAC
=
+
；
120
BEC
=
，
60
BAC
=
；
作
BEC
的平分线EM 交BC 于M ，
60
BAC
=
，
90
120
BEC
BAC
=
+
=
，
60
FEB
DEC
=
=
，
EM
平分
BEC
，
60
BEM
=
，
在FBE
与EBM
中，
FBE
EBM
BE
BE
FEB
MEB
=
=
=
，
(
)
FBE
EBM ASA
≌
，
EF
EM
=
，
同理DE
EM
=
，
EF
DE
=
．
故答案为：60
题型八：利用斜边上的中线等于斜边的一半求线段长度
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39 /
1．（24-25 八年级下·云南昭通·阶段练习）如图，在
ABC
中，AB
AC
AD
=
，
为BC 边上的高，点E 为AC 的
中点，连接DE ．若
ABC
的周长为24，则CDE
的周长为（ ）
A．16
B．14
C．12
D．10
【答案】C
【分析】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的一
半是解题的关键．根据等腰三角形的三线合一得到BD
DC
=
，根据直角三角形的性质得到
1
2
DE
AC
AE
=
=
，
根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：
AB
AC
AD
=
，
为BC 边上的高，
BD
DC
=
，
ABC
的周长为24，
24
AB
AC
BC
+
+
=
，
12
AC
CD
+
=
，
在Rt ADC
中，点E 为AC 的中点，
1
2
DE
AC
AE
=
=
，
CDE
的周长
12
CD
CE
DE
CD
CE
AE
CD
AC
=
+
+
=
+
+
=
+
=
．
故选：C．
2．（24-25 八年级下·云南玉溪·期末）如图，在
ABC
中，
90
ACB
=
，AD
DB
=
，
5
CD = ，则AB 的长度
为（ ）
A．10
B．8
C．6
D．5
【答案】A
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握性质是解题的关键．
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40 /
【详解】解：
90
ACB
=
，AD
DB
=
，
5
CD = ，
故
2
10
AB
CD
=
=
，
故选：A．
3．（24-25 八年级下·河南驻马店·阶段练习）如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱
,
BC DE 分别垂直于横梁AC ，若
8 m,
30
AB
DCA
=
=
，则立柱DE 的长为 m ．
【答案】2
【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的
关键．
先根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求得
( )
1
1 8
4 m
2
2
CD
AD
AB
=
=
=
=
，再利用等腰三角形的性
质得
30
A
DCA
=
=
，然后由含30度的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵BC
AC
⊥
，
∴
90
ACB
=
，
∵点D 是AB 的中点，
∴
( )
1
1 8
4 m
2
2
CD
AD
AB
=
=
=
=
，
∴
30
A
DCA
=
=
，
∵DE
AC
⊥
，
∴
90
AED
=
，
∴
( )
1
1
4
2 m
2
2
DE
AD
=
=
=
，
故答案为：2．
4．（2025·福建·中考真题）某房梁如图所示，立柱AD
BC
⊥
，E，F 分别是斜梁AB ，AC 的中点．若
8m
AB
AC
=
=
，则DE 的长为 m．
【答案】4
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【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，是解题的
关键．根据AD
BC
⊥
，得出
ABD
△
为直角三角形，根据直角三角形的性质得出
1
4m
2
DE
AB
=
=
．
【详解】解：∵AD
BC
⊥
，
∴
ABD
△
为直角三角形，
∵E 是斜梁AB 的中点，
∴
1
4m
2
DE
AB
=
=
．
故答案为：4．
5．（24-25 八年级下·云南昆明·期中）如图，在四边形ABCD中，
90
ABC
ADC
=
=
，点O 是对角线AC
的中点，若
3
OB =
，则OD 的长为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了直角三角形的性质，掌握直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
在Rt ADC
和Rt
ABC
△
，由斜边上中线等于斜边的一半得到
1
2
OD
OB
AC
=
=
，即可求解．
【详解】解：∵
90
ABC
ADC
=
=
，点O 是对角线AC 的中点，
∴
1
3
2
OD
OB
AC
=
=
=
，
故答案为：3．
6．（24-25 八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，AD平分
CAB
，点E 为
AB 的中点，连接CE
DE
、
，若
1
CD = ，
3
CE =
，则
EBD
△
的面积为 ．
【答案】
3
2
【分析】本题考查了角平分线的性质，直角三角形的性质，三角形面积，掌握知识点的应用是解题的关键．
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过D 作DF
AB
⊥
于点F ，由角平分线性质可得
1
CD
DF
=
= ，然后通过直角三角形斜边上的中线等于斜边
的一半得出
3
CE
BE
AE
=
=
=
，最后通过面积公式即可求解．
【详解】解：如图，过D作DF
AB
⊥
于点F ，
∵
90
ACB
=
，
∴CD
AC
⊥
，
∵AD平分
CAB
，
∴
1
CD
DF
=
= ，
∵点E 为AB 的中点，
90
ACB
=
，
∴
3
CE
BE
AE
=
=
=
，
∴
EBD
△
的面积为1
1
3
1
3
2
2
2
BE
DF
=
=
，
故答案为：
3
2 ．
7．（23-24 八年级下·湖南·期中）如图，在
ABC
中，
90
BAC
=
，AD是BC 边上的中线，且
18
BC
AD
+
=
，
则BC 的长为 ．
【答案】12
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，掌握直角三角形的性质是解题的关键，根据
直角三角形的性质可知
1
2
AD
BC
=
，再根据已知条件即可解答．
【详解】解：∵在
ABC
中，
90
BAC
=
，
∴
ABC
是直角三角形，
∵AD是BC 边上的中线，
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∴
1
2
AD
BC
=
，
∵
18
BC
AD
+
=
，
∴3
18
2 BC =
，
∴
12
BC =
，
即BC 的长为12，
故答案为：12．
题型九：利用斜边上的中线等于斜边的一半求角度
1．（24-25 八年级下·北京海淀·期中）如图，在直角三角形ABC 中，
90
ACB
=
，CD
AB
⊥
于点D，点E
为边CB 中点，若
52
A
=
，则
EDB
= ．
【答案】38
【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质、等边对等角、直角三角形两锐角互余等知识点，
熟记直角三角形斜边上的中线的性质是解题的关键．
根据三角形内角和定理求出
38
B
=
，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求出
1
2
DE
BC
BE
=
=
，再根据等腰三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵
90
52
ACB
A
=
=
，
，
∴
180
38
B
ACB
A
=
−
−=
，
∵CD
AB
⊥
，点E 为边CB 中点，
∴
1
2
DE
BC
BE
=
=
，
∴
38
EDB
B
= =
．
故答案为：38．
2．
（24-25 八年级下·湖南长沙·期中）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，CD是斜边AB 上的中线，若
23
A
=
，
则
DCB
的大小为 ．
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【答案】67
【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据直角三角形的性质得到
90
67
B
A
=
−=
，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得到BD
CD
=
，
得出
67
DCB
B
= =
，即可得到答案．
【详解】解：
90
ACB
=
，
23
A
=
，
90
67
B
A
=
−=
，
CD是斜边AB 上的中线，
BD
CD
=
，
67
DCB
B
= =
，
故答案为：67．
3．
（24-25 八年级下·云南昆明·期中）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，CD
AB
⊥
于点D ，
3
ACD
BCD
=
，
E 是斜边AB 的中点，则
DEC
= ．
【答案】45
【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等边对等角，三角形外角的性质等知识，先求出
22.5
A
=
，
根据直角三角形斜边中线的性质得出
1
2
CE
AE
AB
=
=
，根据等边对等角得出
22.5
ECA
A
= =
，最后根据
三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：∵
3
ACD
BCD
=
，
90
ACB
=
，
∴
3
3 1
D
B
AC
AC
=
=
+
，
∵CD
AB
⊥
，
∴
90
ADC
=
，
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∴
22.5
A
=
，
∵
90
ACB
=
，E 是斜边AB 的中点，
∴
1
2
CE
AE
AB
=
=
，
∴
22.5
ECA
A
= =
，
∴
45
CED
ECA
A
=
+=
，
故答案为：45．
4．（24-25 七年级下·上海崇明·期末）如图，在
ABC
中，
BAC
为钝角，AF ，CE 都是这个三角形的高，
P 为AC 的中点，
1
2
PE
PF
AC
=
=
．若
35
B
=
，则
EPF
的度数为 ．
【答案】110/110 度
【分析】本题考查了三角形外角的性质，直角三角形斜边中线的性质．
利用三角形外角性质求出
125
EAF
B
AFB
= +
=
，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得到
PE
AP
PC
PF
=
=
=
，证得
AEP
EAP
=
，AFP
FAP
=
，求出
250
AEP
EAF
AFP
+
+
=
，利用四边
形内角和求出
EPF
的度数．
【详解】解：∵AF
BC
⊥
，
∴
90
AFB
AFC
=
=
，
∵
35
B
=
，
∴
125
EAF
B
AFB
= +
=
，
∵CE
BE
⊥
，
∴
90
AEC
AFC
=
=
，
∵
1
2
PE
PF
AC
=
=
，
∴P 为AC 的中点，
∴PE
AP
PC
PF
=
=
=
，
∴
AEP
EAP
=
，
AFP
FAP
=
，
∴
250
AEP
EAF
AFP
+
+
=
，
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∴
360
250
110
EPF
=
−
=
，
故答案为：110．
5．（24-25 八年级下·北京西城·期末）如图，在Rt
ABC
与Rt
ABD
△
中，
90
ACB
ADB
=
=
，点C 和点D
位于边AB 的同侧，E 为边AB 的中点．连接EC
ED
CD
，
，
，若
26
CED
=
，则
CDE
= ．
【答案】77
【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质，关键是由直角三角形斜边中线
的性质推出CE
DE
=
．
由直角三角形斜边中线的性质推出
1
2
CE
AB
=
，
1
2
DE
AB
=
，得到CE
DE
=
，推出
1
(180
26 )
77
2
CDE
DCE
=
=
−
=
．
【详解】解：
90
ACB
ADB
=
=
，E 为边AB 的中点，
1
2
CE
AB
=
，
1
2
DE
AB
=
，
CE
DE
=
，
26
CED
=
，
1
(180
26 )
77
2
CDE
DCE
=
=
−
=
．
故答案为：77．
6．（24-25 八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，一根木杆AB 斜靠在竖直的墙AC 上，
32
BAC
=
，木杆的
顶端A 沿墙面下滑至A位置，此时
32
A B C
=
，CD，CD分别是斜边AB ，A B
上的中线，则
DCD
的
度数为 ．
【答案】26/26 度
【分析】本题主要查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质．根据直角三角形斜边中线的性质，
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可得
,
CD
B D CD
AD
=
=
，从而得到
32
B CD
A B C
=
=
，
32
ACD
BAC
=
=
，即可求解．
【详解】解：∵CD，CD分别是斜边AB ，A B
上的中线，
∴
,
CD
B D CD
AD
=
=
，
∴
32
B CD
A B C
=
=
，
32
ACD
BAC
=
=
，
∵
90
ACB
=
，
∴
26
DCD
ACB
B CD
ACD
=
−
−
=
．
故答案为：26
7．（24-25 八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，
90 ,
ABC
ADC
E
=
=
为对角线AC 的
中点，连接
,
,
BE ED BD，若
56
BAD
=
，则
EDB
的度数为 度．
【答案】34
【分析】本题考查直角三角形斜边的中线，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，由直角三角形斜边中
线的性质得到DE
BE
AE
=
=
，推出
DAE
ADE
=
，
BAE
ABE
=
，得到
ADE
ABE
BAD
+
=
，由三角
形外角的性质得到
DEC
DAE
ADE
=
+
，BEC
BAE
ABE
=
+
，即可推出
BED
，然后利用三角形内
角和定理和等边对等角求解即可．
【详解】解：
90
ABC
ADC
=
=
，E 是AC 的中点，
1
2
DE
AC
=
，
1
2
BE
AC
=
，
1
2
AE
AC
=
，
DE
BE
AE
=
=
，
DAE
ADE
=
，
BAE
ABE
=
，
56
ADE
ABE
DAE
BAE
BAD
+
=
+
=
=
，
DEC
DAE
ADE
=
+
，
BEC
BAE
ABE
=
+
，
DEC
BEC
DAE
ADE
BAE
ABE
+
=
+
+
+
，
56
56
112
BED
BAD
ADE
ABE
=
+
+
=
+
=
∵DE
BE
=
∴
(
)
1 180
34
2
EDB
BED
=
−
=
．
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故答案为：34．
题型十：直角三角形中尺规作图问题
1．（24-25 八年级下·北京·期中）如图，在
ABC
中，
90
ACB
=
，分别以点A 、点B 为圆心，大于1
2 AB 长
为半径作弧，两弧分别相交于点M ，N ，作直线MN 交AB 于点D ，交BC 于点E ，连接CD，
20
CDE
=
，
则
ACD
的度数为（ ）
A．40
B．45
C．50
D．55
【答案】D
【分析】此题考查了线段垂直平分线的作图方法，直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，等边对等角，
三角形的内角和定理，由作图可知MN 垂直平分AB ，则AD
BD
=
，
90
ADE
=
，由直角三角形斜边中线
等于斜边一半的可知CD
AD
BD
=
=
，再求出
70
ADC
=
，最后通过等边对等角和三角形内角和定理即可求
解，正确理解线段垂直平分线的作图是解题的关键．
【详解】解：由作图可知MN 垂直平分AB ，
∴AD
BD
=
，
90
ADE
=
，
∵
90
ACB
=
，
∴CD
AD
BD
=
=
，
∴
ACD
A
= ，
∵
20
CDE
=
，
∴
70
ADC
=
，
∴
180
70
55
2
ACD
−
=
=
，
故选：D ．
2．（2025·天津河西·一模）如图，
ABC
中，
90
ABC
=
，
62
C
=
，分别以点A，C 为圆心，大于1
2 AC
的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于E，F 两点，连接EF ，EF 与AC 交于点O，则
ABO
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的大小为（ ）
A．28
B．30
C．31
D．36
【答案】A
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，等边对等角和线段垂直平分线的定义，直角三角形
的性质等等，由作图方法可得EF 垂直平分AC ，则点O是AC 的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于
斜边的一半推出OB
OC
=
，则
62
OBC
C
=
=
∠
∠
，据此可得答案．
【详解】解；由作图方法可得EF 垂直平分AC ，
∴点O是AC 的中点，
∵
90
ABC
=
，
∴
1
2
OB
OC
AC
=
=
，
∴
62
OBC
C
=
=
∠
∠
，
∴
28
ABO
ABC
OBC
=
−
=
∠
∠
，
故选：A．
3．
（24-25 八年级下·广东江门·期中）如图，在
ABC
中，
90
ACB
=
，
35
B
=
，作AB 的垂直平分线MN ，
且直线MN 交AB 于点D，交BC 于点E ，连接CD，则．
CDE
的度数为（ ）
A．3
B．10
C．15
D．20
【答案】D
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到
90
BDE
=
，AD
BD
=
，根据三角形的内角和定理得到
55
DEB
=
，根据直角三角形的性质得到
1
2
CD
BD
AB
=
=
，求得
35
DCE
B
= =
，进而即可得解．
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【详解】解：由题意可知：MN 为AB 的垂直平分线，
90
BDE
=
，AD
BD
=
，
35
B
=
，
55
DEB
=
90
ACB
=
，
1
2
CD
BD
AB
=
=
，
35
DCE
B
=
=
，
20
CDE
DEB
DCE
=
−
=
，
故选：D ．
4．（24-25 八年级下·河南焦作·阶段练习）如图，在
ABC
中，
90
ACB
=
，
30
A
=
，分别以点A ，B 为
圆心，大于1
2 AB 长为半径作弧，两弧交于点M ，N ，作直线MN 分别交AB ，AC 于点D ，E ，连接CD，
BE ，下列结论错误的是（ ）
A．AD
CD
=
B．BE
CD
C．
BEC
BDC
D．
CBE
DBE
=
【答案】C
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相
关知识点是解题的关键．
根据线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，逐项判断即可．
【详解】解：根据题意得，MN 是AB 的垂直平分线，
90
ACB
=
，
1
2
CD
AD
BD
AB
=
=
=
，
AD
CD
=
，
选项A 结论正确，不符合题意；
MN 是AB 的垂直平分线，
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51 /
BE
AE
=
，
90
ADE
=
，
AE
AD
，
BE
CD
，
选项B 结论正确，不符合题意；
90
ACB
=
，
30
A
=
，
1
2
BC
AB
BD
=
=
，
60
ABC
=
，
BDC
BCD
=
，
(
)
1 180
60
2
BDC
ABC
=
−
=
，
AE
BE
=
，
30
ABE
A
= =
，
30
CBE
ABC
ABE
=
−
=
，
90
60
BEC
CBE
=
−
=
，
CBE
DBE
=
，
选项D 结论正确，不符合题意；
BEC
BDC
=
，
选项C 结论错误，符合题意；
故选：C．
5．（24-25 八年级上·江苏南通·期末）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，根据步骤作图：（1）分别以点A ，
B 为圆心，大于1
2 AB 的长为半径作弧，两弧相交于点M ，N ；（2）作直线MN ，交AB 于点D ．若
3
CD =
，
则AB 的长为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】D
【分析】本题考查了尺规作图、线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边上
的中线等于斜边的一半是解题的关键．根据作图可知，MN 是AB 的垂直平分线，得出点D 是AB 的中点，
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再根据直角三角形的性质得到
1
2
CD
AB
=
，即可求出AB 的长．
【详解】解：由作图可知，MN 是AB 的垂直平分线，
直线MN 交AB 于点D，
点D 是AB 的中点，
90
ACB
=
，
1
2
CD
AB
=
，
2
2 3
6
AB
CD
=
= =
．
故选：D．
6．（24-25 八年级下·四川达州·期末） 如图，在Rt
ABC
△
中，
90
BAC
=
，分别以点C，B 为圆心，以大
于1
2 BC 为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN 分别交
,
AB CB 于点D，E，连接
,
CD AE 相交于点P．若
23
B
=
，则
APC
的大小为 ．
【答案】69/69 度
【分析】本题考查作图−基本作图，线段的垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的
关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．由作图可知AD
BD
=
，可得
23
DCB
B
= =
，根据
直角三角形斜边上中线的性质可得
=
=
AD
BD
AE ，然后由角的和差关系可得答案．
【详解】解：由作图可知MN 是BC 的垂直平分线，
CD
BD
=
，
23
DCB
B
= =
，
90
BAC
=
，
90
23
67
ACB =
−
=
，
46
ADC
DCB
B
=
+=
，AE
BE
=
，
∴
23
BAE
B
=
=
，
90
90
23
67
CAP
BAE
=
−
=
−
=
，
67
23
44
ACD
ACB
DCB
=
−
=
−
=
，
180
180
44
67
69
APC
ACP
PAC
=
−
−
=
−
−
=
，
故答案为：69．
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53 /
题型十一：直角三角形中综合解答题
1．（24-25 八年级下·陕西渭南·期中）如图，在四边形ABCD中，
90
ABC
ADC
=
=
，M 、N 分别是对
角线AC 、BD的中点，连接MN ，求证：MN
BD
⊥
．
【答案】见解析
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，根据
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得
1
2
BM DM
AC
=
=
，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即
可．
【详解】证明：如图，连接BM 、DM ，
90
ABC
ADC
=
=
，M 是AC 的中点，
1
2
BM DM
AC
=
=
，
点N 是BD的中点，
MN
BD
⊥
．
2．（24-25 八年级下·福建福州·期中）如图，AD
BC
∥
，点E 在AD上，且满足
2
ABE
EBC
=
．
(1)尺规作图：在BC 上求作点G ，使得
90
ABC
BAG
+
=
；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若AG 交BF 于点H ，F 是EH 的中点，连接AF ，求证：AB
AF
=
．
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【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）过点A 作AG
BC
⊥
于点G，故
90
ABC
BAG
+
=
，则点G 即为所求．
（2）由（1）可知
90
AGB
=
，由平行线的性质可得
AEH
EBC
=
，
90
EAH
AGB
=
=
，结合直角三
角形斜边上的中线的性质可得
1
2
AF
EH
EF
=
=
，则
EAF
AEF
=
，可得
2
AFB
EAF
AEF
AEF
=
+
=
，
进而可得
AFB
ABE
=
，则可得AB
AF
=
．
【详解】（1）解：如图，点G 即为所求．
（2）证明：由（1）可知，
90
AGB
=
．
∵AD
BC
∥
，
∴
AEH
EBC
=
，
90
EAH
AGB
=
=
，
∴
AEH
△
为直角三角形．
∵F 是EH 的中点，
∴
1
2
AF
EH
EF
=
=
∴
EAF
AEF
=
，
∴
2
AFB
EAF
AEF
AEF
=
+
=
．
∵
2
ABE
EBC
=
，
AEH
EBC
=
，
∴
2
ABE
AEH
=
，
∴
AFB
ABE
=
，
∴AB
AF
=
．
3．（2025 八年级下·全国·专题练习）如图，在
ABC
中，CF
AB
⊥
于F，BE
AC
⊥
于E，M 为BC 的中点．
(1)求证：MEF
是等腰三角形；
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(2)若
7
EF =
，
12
BC =
，求
EFM
△
的周长．
【答案】(1)见解析
(2)19
【分析】（1）根据直角三角形的性质得出
1
2
EM
BC
=
，
1
2
FM
BC
=
，进而利用等腰三角形的判定解答即可；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得
1
2
EM
BC
=
，
1
2
FM
BC
=
，然后根据三角形的周长
的定义列式计算即可得解．
本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握性质和判定是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵CF
AB
⊥
于F，BE
AC
⊥
于E，M 为BC 的中点，
∴
1
2
FM
BC
=
，
1
2
EM
BC
=
，
∴ME
MF
=
，
∴MEF
是等腰三角形．
（2）解：∵CF
AB
⊥
于F，BE
AC
⊥
于E，M 为BC 的中点，
∴
1
2
FM
BC
=
，
1
2
EM
BC
=
，
∴
1
1
2
2
FM
EM
BC
BC
BC
+
=
+
=
，
∴
EFM
△
的周长为：
12
7
19
EF
FM
EM
EF
BC
+
+
=
+
=
+
=
．
4．（24-25 八年级上·江苏扬州·期末）如图，在
ABC
中，AD
BC
⊥
，垂足为D ，CE
AB
⊥
，垂足为E ，F
是AC 的中点，连接DF 、EF ．
(1)求证：DF
EF
=
；
(2)连接DE ，若
8
AC = ，
4
DE =
．判断DEF
的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2) DEF
是等边三角形，见解析
【分析】本题考查了直角三角形的性质、等边三角形的判定定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此
题的关键．
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（1）由直角三角形的性质可得
1
2
EF
AC
=
，
1
2
DF
AC
=
，即可得证；
（2）由（1）知，
1
4
2
EF
FD
AC
=
=
=
，再结合
4
DE =
，即可得解．
【详解】（1）证明：
AD
BC
⊥
，CE
AB
⊥
，
90
AEC
ADC
=
=
，
在Rt
AEC
△
中，
90
AEC
=
，F 是AC 中点，
1
2
EF
AC
=
，
在Rt ADC
中，
90
ADC
=
，F 是AC 中点，
1
2
DF
AC
=
，
DF
EF
=
．
（2）解：等边三角形，
理由如下：如图，
由（1）知，
1
4
2
EF
FD
AC
=
=
=
，
4
DE =
∵
，
EF
FD
DE
=
=
，
DEF
是等边三角形．
5．（24-25 八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在
ABC
中，
90
ACB
=
，
30
A
=
，AB 的垂直平分线分别
交AB ，AC 于点D，E ，连接CD．
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(1)请判断
BCD
△
的形状，并说明理由．
(2)若
3
CE =
，求AC 的长．
【答案】(1)
BCD
△
是等边三角形，理由见解析
(2)
9
AC =
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的定义，含30角
的直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键．
（1）利用线段垂直平分线的定义得D 为AB 中点，再利用直角三角形斜边中线的性质得CD
BD
=
，结合
60
ABC
=
，即可证明；
（2）利用线段垂直平分线的定义得DE
AD
⊥
，结合
30
A
=
，则
60
AED
=
，
2
AE
DE
=
，再求得
30
ACD
=
，
再证明
ACD
EDC
=
，得出
3
DE
CE
=
= ，则可求出
2
6
AE
DE
=
= ，即可求解．
【详解】（1）解：
BCD
△
是等边三角形，理由如下：
∵DE 垂直平分AB ，
∴D为AB 中点，
∵
90
ACB
=
，
∴CD
BD
=
，
∵
90
ACB
=
，
30
A
=
，
∵
60
ABC
=
，
∴
BCD
△
是等边三角形；
（2）解：∵DE 垂直平分AB ，
∴DE
AD
⊥
，
∴
90
ADE
=
，
∵
30
A
=
，
∴
60
AED
=
，
2
AE
DE
=
，
∵
BCD
△
是等边三角形，
∴
60
BCD
=
，
∴
30
ACD
ACB
BCD
=
−
=
，
∴
30
EDC
AED
ACD
=
−
=
，
∴
ACD
EDC
=
，
∴
3
DE
CE
=
= ，
∴
2
6
AE
DE
=
= ，
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∴
9
=
+
=
AC
AE
CE
．
6．（24-25 八年级上·甘肃张掖·期末）如图，在
ABC
中，CF
AB
⊥
于F ，BE
AC
⊥
于E，M 为BC 的中点．
(1)求证：MEF
是等腰三角形；
(2)若
7
EF =
，
12
BC =
，求
EFM
△
的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
EFM
△
的周长
19
=
【分析】本题考查斜边上的中线，等腰三角形的判定：
（1）利用斜边上的中线得到
1
2
ME
BC
=
，
1
2
MF
BC
=
，进而得到EM
FM
=
，即可得证；
（2）利用三角形的周长公式进行计算即可．
【详解】（1）解：证明：
CF
AB
⊥
，BE
AC
⊥
，M 为BC 的中点，
1
2
ME
BC
=
，
1
2
MF
BC
=
，
ME
MF
=
，
MEF
是等腰三角形；
（2）由（1）得：
1
1 12
6
2
2
ME
MF
BC
=
=
=
=
，
又
7
EF =
，
EFM
的周长
6 6 7
19
= + +
=
．
7．（24-25 八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在
ABC
中，CE
BA
⊥
的延长线于E ，BF
CA
⊥
的延长线
于F ，M 为BC 的中点，分别连接ME 、MF 、EF ．
(1)若
2
EF =
，
8
BC = ，求
EFM
△
的周长；
(2)若
30
ABC
=
，
48
ACB
=
，求
EMF
的度数．
【答案】(1)10
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(2)24
【分析】（1）根据CE
BA
⊥
，BF
CA
⊥
，M 为BC 的中点，得
1
4
2
ME
MF
BC
=
=
= ，结合
2
EF =
，求
EFM
△
的周长即可．
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，解答即可．
本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关
键．
【详解】（1）解：∵CE
BA
⊥
，BF
CA
⊥
，M 为BC 的中点，
8
BC = ，
∴
1
4
2
ME
MF
BC
=
=
= ，
∵
2
EF =
，
∴
EFM
△
的周长为
4
4
2
10
ME
MF
EF
+
+
=
+ +
=
．
（2）解：
90
BEC =
，M 为BC 的中点，
BM
EM
BC
=
=
，
30
ABC
BEM
=
=
，
60
EMC
ABC
BEM
=
+
=
，
90
BFC
=
，M 为BC 的中点，
1
2
FM
CM
BC
=
=
，
48
ACB
CFM
=
=
，
96
BMF
ACB
CFM
=
+
=
，
180
24
EMF
EMC
BMF
−
−
=
=
，
EMF
的度数为24．
8．（23-24 八年级上·江苏盐城·期中）如图，已知锐角
ABC
中，CD、BE 分别是AB 、AC 边上的高，M、
N 分别是线段BC 、DE 的中点．
(1)证：MN
DE
⊥
；
(2)若
75
ABC
=
，
40
ACB
=
，连接DM 、ME ，求
DME
的度数．
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【答案】(1)见解析
(2)50
【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，熟记直
角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
（1）连接DM 、ME ，根据直角三角形斜边中线的性质得到
1
2
DM
BC
=
，
1
2
ME
BC
=
，则DM
ME
=
，然
后根据等腰三角形的性质得出结论；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出
115
BMD
CME
+
=
，结合平角的定义求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接DM 、ME ，
∵CD、BE 分别是AB 、AC 边上的高，M 是BC 的中点，
∴
90
BDC
BEC
=
=
，
∴
,
BCD
BCE
都是直角三角形，
∴
1
2
DM
BC
=
，
1
2
ME
BC
=
，
∴DM
ME
=
，
∴MDE
是等腰三角形，
又∵N 为DE 中点，
∴MN
DE
⊥
；
（2）解：∵
75
ABC
=
，
40
ACB
=
，
∴
115
ABC
ACB
+
=
，
由（1）知DM
ME
BM
MC
=
=
=
，
∴
,
ABC
BDM
MEC
ACB
=
=
，
∴
180
2
,
180
2
BMD
ABC
CME
ACB
=
−
=
−
，
∴
(
) (
)
(
)
180
2
180
2
360
2
130
BMD
CME
ABC
ACB
ABC
ACB
+
=
−
+
−
=
−
+
=
，
∴
(
)
180
50
DME
BMD
CME
=
−
+
=
．
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题型一：直角三角形两锐角互余需分情况讨论问题
1．（24-25 七年级下·河南南阳·期末）如图，在
ABC
中，
90
B
?
? ，
32
C
=
，以AC 为斜边作等腰直角
三角形ADC ，则
BAD
的度数为 ．
【答案】13或103
【分析】本题考查的是直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质，根据直角三角形的性质求出
BAC
，
分
ADC
△
与
ABC
在斜边AC 的两侧、同侧两种情况计算，得到答案．掌握直角三角形的两锐角互余是解
题的关键．
【详解】解：∵在
ABC
中，
90
B
?
? ，
32
C
=
，
∴
90
90
32
58
BAC
ACB
=
−
=
−
=
，
∵
ADC
△
为等腰直角三角形，
∴
90
ADC
=
，DA
DC
=
，
∴
(
)
1 180
90
45
2
DAC
DCA
=
=
−
=
，
当
ADC
△
与
ABC
在斜边AC 的两侧时，
45
DAC
=
，
58
45
103
BAD
BAC
DAC
=
+
=
+
=
，
当AD C
与
ABC
在斜边AC 的同侧时，
45
D AC
=
，
58
45
13
BAD
BAC
D AC
=
−
=
−
=
，
综上所述，
BAD
的度数为13或103．
故答案为：13或103．
2．（24-25 七年级下·河南安阳·阶段练习）如图，在
ABC
中，
90
A
=
，
30
ACB
=
．点P 为射线BC 上
一点，平面内有一射线CQ ，若CQ
AB
∥
，则
PCQ
的度数是 ．
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62 /
【答案】60或120
【分析】本题考查平行线求角度，涉及直角三角形两锐角互余、平行线性质和邻补角等知识，根据题意，
分两种情况，利用平行线的性质求解即可得到答案．
【详解】解：由题意可知，分两种情况：
如图所示：
在
ABC
中，
90
A
=
，
30
ACB
=
，则
=60
B
，
CQ
AB
∥
，
60
PCQ
B
=
=
；
如图所示：
在
ABC
中，
90
A
=
，
30
ACB
=
，则
=60
B
，
CQ
AB
∥
，
60
BCQ
B
=
=
，
180
120
PCQ
BCQ
=
−
=
；
综上所述，
PCQ
的度数是60或120，
故答案为：60或120．
3．（24-25 八年级上·山东聊城·期末）如图，在
ACB
△
中，
90
ACB
=
，
12
AC
cm
=
，
6 cm
BC =
，CD为AB
边上的高，点E 从点B 出发，在直线BC 上以3 cm / s 的速度移动，过点E 作BC 的垂线交直线CD于点F ，
当点E 运动 s 时，CF
AB
=
．
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【答案】6 或2
【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、分类讨论数学思想的运用等知识与方法．设点E 运动的
时间为st ，分两种情况讨论，一是点E 从点B 出发沿射线BC 方向运动，可证明CFE
ABC
≌
，则
12cm
CE
AC
=
=
，而
6cm
BC =
，且BE
BC
CE
=
+
，所以3
6 12
t =
+
，求得
6
t =
；二是点E 从点B 出发沿射线CB
方向运动，可证明CFE
ABC
≌
，则
12cm
CE
AC
=
=
，此时BE
CE
BC
=
−
，所以3
12
6
t =
−，求得
2
t =
，
于是得到问题的答案．
【详解】解：设点E 运动的时间为st ，
如图1，点E 从点B 出发沿射线BC 方向运动，
∵CD为AB 边上的高，
∴CD
AB
⊥
，
∵
90
ACB
=
，EF
BC
⊥
，
∴
90
CEF
ACB
BDC
=
=
=
，
∴
90
FCE
BCD
ABC
A
=
=
−
= ，
在
CFE
△
和
ABC
中，
CEF
ACB
FCE
A
CF
AB
=
=
=
，
∴
(
)
AAS
CFE
ABC
≌
，
∴
12cm
CE
AC
=
=
，
∵
6cm
BC =
，且BE
BC
CE
=
+
，
∴3
6 12
t =
+
，
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解得
6
t =
；
如图2，点E 从点B 出发沿射线CB 方向运动，则
90
CEF
ACB
=
=
，
90
FCE
A
ABC
= =
−
，
在
CFE
△
和
ABC
中，
CEF
ACB
FCE
A
CF
AB
=
=
=
，
∴
(
)
AAS
CFE
ABC
≌
，
∴
12cm
CE
AC
=
=
，
∵
6cm
BC =
，且BE
CE
BC
=
−
，
∴3
12
6
t =
−，
解得
2
t =
，
综上所述，当点E 运动6s或2s时，CF
AB
=
，
故答案为：6 或2．
4．（24-25 七年级下·河南南阳·期末）如图，在
ABC
中，
90
ABC
=
，
30
CAB
=
，D 是边AB 上的一个
动点，连接CD，将
CDB
△
沿着CD翻折得到CDE
，当DE 与
ABC
的一边垂直时，
CDB
= ．
【答案】45或60或30
【分析】本题主要考查了三角形折叠中的角度问题，直角三角形两锐角互余，正确进行计算是解题关键，
分当D 点在线段AB 上时，当点D 点在线段AB 延长线上讨论，画出对应的图形，根据三角形内角和定理和
折叠的性质求解即可．
【详解】解：当D 点在线段AB 上且DE
AB
⊥
时，
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由折叠可知：
90
E
ABC
=
=
，
90
BCE
=
，
1
45
2
ECD
BCD
ECB
=
=
=
，
90
ABC
=
，
45
CDB
BCD
=
=
；
当D 点在线段AB 上且DE
AC
⊥
时，
由折叠的性质可得
(
)
1 90
30
30
2
DCE
BCD
=
=
−
=
，
90
60
CDB
BCD
=
−
=
；
当D 点在线段AB 延长线上且DE
AB
⊥
时，
同理可得
45
CDB
=
；
当D 点在线段AB 延长线上且DE
AC
⊥
时，
90
AED
=
，
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30
CAB
=
，
90
30
60
ADE
=
−
=
，
1
30
2
CDB
EDC
ADE
=
=
=
，
故答案为：45或60或30．
5．（24-25 七年级下·河南郑州·期中）如图，将一个等腰直角三角形ABC 和一个等边三角形ADE 的顶点A 重
合放在一起（AC
AE
，0
90
BAE
且点E 在直线AB 的上方），其中
90
C =
∠
，
45
B
=
．当两个三
角形有一组边互相平行时，
BAE
的度数为 ．
【答案】15或60或75
【分析】分三种情况讨论，当DE
AB
∥
时，如图1，直接利用平行线的性质得到
60
=
∠BAE
；当AD
BC
∥
时，
如图2，先利用平行线的性质得到
180
DAB
B
+=
，然后利用
60
DAE
=
，
45
B
=
可计算出
BAE
的度
数；当DE
BC
∥
时，如图3，根据平行线的性质得到DE
AC
⊥
，则利用互余计算出
30
CAE
=
，然后计算
BAC
CAE
−
得到
BAE
的度数．
【详解】解：∵
ADE
为等边三角形，
∴
60
DAE
E
=
=
，
当DE
AB
∥
时，如图1，
60
BAE
E
= =
；
当AD
BC
∥
时，如图2，
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∴
180
DAB
B
+=
，
∴
180
DAE
BAE
B
+
+=
，
∵
60
DAE
=
，
45
B
=
，
∴60
45
180
BAE
+
+
=
，
∴
75
BAE
=
；
当DE
BC
∥
时，如图3，
∵BC
AC
⊥
，
∴DE
AC
⊥
，
∴
90
90
60
30
CAE
E
=
−=
−
=
，
∴
45
30
15
BAE
BAC
CAE
=
−
=
−
=
；
综上所述，∠BAE 的度数为15或60或75．
故答案为：15或60或75．
6．（24-25 八年级上·湖北武汉·期中）如图，在
ABC
中，
90
ACB
=
，
50
B
=
，O是射线CB 上的一个动
点，连接OA，将
ACO
△
沿着AO 翻折得到
ADO
△
，当
ADO
△
的三边与
ABC
的三边有一组边垂直时，则
AOC
= ．
【答案】70 或45 或25
【分析】本题主要考查了折叠中的角度问题，直角三角形想性质，垂直的定义，掌握折叠的性质和进行分
类讨论是解题的关键．分当AD
AC
⊥
时，当AD
AB
⊥
时，当OD
AB
⊥
时，画出对应的图形，根据三角形内
角和定理和折叠的性质求解即可．
【详解】解：当AD
AC
⊥
时，如图，
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90
CAD
=
，
由折叠性质，知
1
45
2
DAO
CAO
CAD
=
=
=
，
90
ACB
=
，
45
AOC
CAO
=
=
；
当AD
AB
⊥
时，如图，
由折叠性质，知
1
1
(90
40 )
65
2
2
DAO
CAO
BAC
=
=
=
+
=
，
90
25
AOC
CAO
=
−
=
；
当OD
AB
⊥
时，如图，
由折叠性质，知
1
20
2
DAO
CAO
BAC
=
=
=
，
90
70
AOC
CAO
=
−
=
；
当OD
BC
⊥
时与当AD
AC
⊥
时相同，
综上所述，
AOC
的度数为45或25或70．
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故答案为：45 或25 或70．
7．（24-25 八年级上·安徽合肥·期末）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
60
C
B
=
=
，
，M，N 分别是边AC
AB
，
上的动点，沿着直线MN 将AMN
对折，点A、的对称点是点A．若A N
BC
∥
，则
CMN
的度数为
．
【答案】150 或60
【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，直角三角形两锐角互余，三角形外角的性质，解题
的关键是根据题意画出图形，并注意分类讨论．分两种情况：当A在AB 下方时，当A在AB 下方时，分别
画出图形，求出结果即可．
【详解】解：当A在AB 下方时，如图所示：
AN
BC
∥
，
60
ANB
B
==
，
根据折叠可知，
1
(180
60 )
60
2
ANG
A NG
=
=
−
=
，
180
60
120
ANM
=
−
=
，
120
30
150
CMN
ANM
A
=
+=
+
=
；
当A在AB 下方时，如图所示：
AN
BC
∥
，
60
ANA
B
= =
，
根据折叠可知，
1
60
30
2
ANM
A NM
=
=
=
，
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30
30
60
CMN
ANM
A
=
+=
+
=
；
综上分析可知，此时
150
CMN
=
或60；
故答案为：150 或60．
题型二：直角三角形两锐角互余多结论问题
1．（24-25 七年级下·河南南阳·期末）如图，
,
90
ABE
ECD
B
C
=
=
△
≌△
，点
,
,
B E C 在同一条直线上，
则有下列4 个结论：①AB
DC
；②BC
AB
CD
=
+
；③
BAE
与
EDC
互补；④
ADE
为等腰直角三角
形．其中成立的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质
内容是解题的关键．先结合同旁内角互补得出AB
DC
，根据ABE
ECD
≌
对应边相等，故BC
AB
CD
=
+
，
再结合ABE
ECD
≌
得对应角相等以及直角三角形的两个锐角互余，则
BAE
与
EDC
互余，
90
AED
=
，
即可作答．
【详解】解：∵
90
B
C
=
=
，
即
180
B
C
+
=
，
∴AB
DC
，
故①符合题意；
∵ABE
ECD
≌
，
∴BE
CD AB
CE
=
=
,
，
∵
=
+
BC
CE
BE ，
∴BC
AB
CD
=
+
，
故②符合题意；
∵ABE
ECD
≌
∴
BAE
DEC
=
∵
90
C
=
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∴
90
EDC
DEC
+
=
∴
90
D
BAE
EC
=
+
即
BAE
与
EDC
互余；
故③不符合题意；
∵ABE
ECD
≌
∴AE
DE
=
，
BAE
DEC
=
∵
90
B
?
?
∴
90
AEB
BAE
+
=
∴
90
AEB
DEC
+
=
则
(
)
180
90
AED
AEB
DEC
=
−
+
=
故④符合题意；
故选：C
2．（24-25 七年级下·河南郑州·期末）如图，AB
CD
∥
，F 为AB 上一点，
∥
FD EH ，过点F 作FG
EH
⊥
于
点G ，且FE平分
AFG
，
2
=
AFG
D．有下列结论：①
30
D
=
；②FD 平分
HFB
；③
AFE
BFD
E
+
= ．其中正确的结论为（ ）
A．①③
B．①②
C．②③
D．①②③
【答案】A
【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的性质，直角三角形的性质，由垂直可得
90
FGH
FGE
=
=
，
由平行线的性质得
90
DFG
=
，BFD
D
=
，进而可得3
90
D
=
，即得
30
D
=
，即可判断①；由FD
平分
HFB
可得
90
EFH
=
，由已知无法得知
90
EFH
=
，即可判断②；由
90
FGE
=
，
30
EFG
=
可
得
60
E
=
，进而由
30
AFE
=
，
30
BFD
=
可判断③，综上即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵FG
EH
⊥
，
∴
90
FGH
FGE
=
=
，
∵
∥
FD EH ，
∴
180
90
DFG
FGH
=
−
=
，
∴
90
AFG
BFD
+
=
，
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∵AB
CD
∥
，
∴
BFD
D
=，
又∵
2
=
AFG
D，
∴3
90
D
=
，
∴
30
D
=
，故①正确；
∵
30
D
=
，
∴
30
BFD
=
，
60
AFG =
∠
，
∵FE平分
AFG
，
∴
1
30
2
EFG
AFE
AFG
=
=
=
，
若FD 平分
HFB
，则
30
HFD
BFD
=
=
，
∴
90
60
GFH
HFD
=
−
=
，
∴
30
60
90
EFH
EFG
GFH
=
+
=
+
=
，
显然，无法得知
90
EFH
=
，故无法确定FD 是否平分
HFB
，故②错误；
∵
90
FGE
=
，
30
EFG
=
，
∴
60
E
=
，
∵
30
AFE
=
，
30
BFD
=
，
∴
60
AFE
BFD
E
+
= =
，故③正确；
综上，正确的结论为①③，
故选：A ．
3．（24-25 七年级下·辽宁大连·期末）如图，在四边形ABCD中，AB
BC
⊥
，AE 平分
BAD
交BC 于点E，
连接DE ，点F 为AD上方一点，连接AF
DF
、
，点M、N 分别是BA CD
、
延长线上的点，已知AE
DE
⊥
，
1
2
90
+=
．下列结论错误的是（ ）
A．
F
与
FDN
为内错角
B．
180
AEB
ADC
+
=
C．AB
CD
∥
D．DE 平分
ADC
【答案】B
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【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的判定和性质．根据三角形内角和定理，平行线的判
定和性质，逐项判断，即可求解．
【详解】解：根据题意得：
F
与
FDN
为内错角，故A 选项正确，不符合题意；
∵AB
BC
⊥
，即
90
B
?
? ，
∴1
90
AEB
+
=
，
∵1
2
90
+=
，
∴
2
AEB
=
，
∵AE
DE
⊥
，即
90
AED
=
，
∴
90
CED
AEB
+
=
∠
∠
，
∴
1
CED
= ，
∴
2
1
90
CED
AEB
+
= +
=
，
∴
180
90
90
C
=
−
=
，
∴
180
B
C
+
=
，
∴AB
CD
∥
，故C 选项正确，不符合题意；
∴
BAD
ADN
=
，
∵
180
ADC
ADN
+
=
，
∴
180
ADC
BAD
+
=
，故B 选项错误，符合题意；
∵AE 平分
BAD
，
∴1
DAE
=
，
∵1
2
90
+=
，
∴
2
90
DAE
+=
，
∵
90
AED
=
，
∴
90
DAE
ADE
+
=
，
∴
2
ADE
=
，即DE 平分
ADC
，故D 选项正确，不符合题意；
故选：B
4．（24-25 七年级下·山东菏泽·期末）如图，在
ABC
中，
90
BAC
=
，AD是高，BE 是中线，CF 是角平
分线，CF 交AD于点G，交BE 于点H，下面说法中正确的序号是 ．
①ABE
的面积等于BCE
的面积；②
ABD
DAC
=
；③
AFG
AGF
=
．
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【答案】①②③
【分析】根据中线的性质，高线的性质，角的平分线定义，余角的性质，对等角相等解答即可．
【详解】解：∵BE 是中线，
∴ABE
的面积等于BCE
的面积；
故①正确；
∵
90
BAC
=
，AD是高，
∴
90 ,
90
ABD
BAD
DAC
BAD
+
=
+
=
，
∴
ABD
DAC
=
，
故②正确；
∵
90
BAC
=
，AD是高，
∴
90 ,
90
AFG
ACF
DGC
DCF
+
=
+
=
，
∵CF 是角平分线，
∴
ACF
DCF
=
，
∴
AFG
DGC
=
，
∵
DGC
AGF
=
，
∴
AFG
AGF
=
，
故③正确；
故答案为：①②③．
5．
（24-25 七年级下·河南许昌·期中）如图，AB
CD
∥
，点E
F
，
在直线CD上，点G 在直线AB 上，AE
BE
⊥
，
EB平分
GED
，
AEG
BGF
=
，则下列结论：
①AE
GF
∥
；②
90
BHG
=
；
③
3
A
B
= ；④GF 平分
EGB
，
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其中不一定正确的是 ．（填序号）
【答案】③
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是
解题的关键．
根据平行线的判定和性质，角平分线的定义，直角三角形的性质逐项判断即可．
【详解】解：EB平分
GED
，
GEB
DEB
=
，
AB
CD
，
B
DEB
=
，
GEB
B
=
，
AE
BE
⊥
，
90
AEB
AEG
GEB
=
+
=
，
90
A
B
+=
，
A
AEG
=
，
AEG
BGF
=
，
A
BGF
=
，
AE
GF
∥
，故①正确；
90
BHG
AEB
=
=
，故②正确；
AE
GF
，
AEG
EGF
=
，
EGF
BGF
=
，
GF 平分
EGB
，故④正确；
A
不一定等于3 B
，
故③不一定正确，
故答案为：③．
6．（24-25 七年级下·湖北宜昌·期中）如图，已知A ，B ，E ，G 四点共线，B ，M ，C ，D 四点共线，A ，
H ，C ，F 四点共线，GF
AB
⊥
，1
2
= ，
B
AGH
=
．则下列结论正确的有 （写序号）．
①GH
BC
∥
；
D
F
=
②
：
HE
③
平分
AHG
∠
；
HE
AB
⊥
④
．
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【答案】①④/④①
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，垂直定义等，根据平行线的判
定即可判断结论①；利用直角三角形的性质和判定可判断结论④；再由直角三角形性质可得：
90
D
B
=
−，
90
F
A
=
−，可判断结论②；再根据1
90
B
=
−，
90
AHE
A
?
? ?
，可判断结论③．
【详解】解：∵
AGH
B
=，
∴GH
BC
∥
，
故结论①正确；
∵FG
AB
⊥
，
∴
90
BGM
=
，
∴
2
90
B
+=
，
∵1
2
= ，
AGH
B
=，
∴2
90
AGH
?
?
? ，
∴
90
GEH
=
，
∴HE
AB
⊥
，
故结论④正确；
∵
90
D
B
+=
，
90
F
A
+=
，
∴
90
D
B
=
−，
90
F
A
=
−，
故结论②错误；
∵1
90
B
=
−，
90
AHE
A
?
? ?
，
∴1
与
AHE
不一定相等，
故结论③错误．
综上分析可知：正确的结论有：①④．
故答案为：①④．
7．（24-25 八年级下·辽宁朝阳·期中）如图，在
ABC
中，
90
C
=
，
30
B
=
，以A 为圆心，任意长为半
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径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M ，N 为圆心，大于1
2 MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，
连接AP 并延长交BC 于点D ，则下列结论中正确的有 ．
①AD是
BAC
的平分线；②
60
ADC
=
；③AD
BD
=
；④点D 在AB 的垂直平分线上；
⑤
ABD
ACD
S
S
=
；⑥若
2dm
AD =
，则到点D 到AB 的距离是1dm．
【答案】①②③④⑥
【分析】由作图可知AD平分
BAC
，判断①，三角形的内角和定理，结合角平分线求出
30
CAD
DAB
B
=
=
= ，进而求出
60
ADC
=
，判断②，等角对等边判断③和④，根据含30度角的
直角三角形的性质，推出
1
1
2
2
CD
AD
BD
=
=
，根据同高三角形的面积比等于底边比，判断⑤，根据含30度
角的直角三角形的性质可判断⑥．
【详解】解：由作图可知：AD平分
BAC
，故①正确；
∵
90
C
=
，
30
B
=
，
∴
60
CAB
=
，
∴
1
30
2
CAD
DAB
CAB
B
=
=
=
= ，
∴
90
60
ADC
CAD
=
−
=
，AD
BD
=
，
1
1
2
2
CD
AD
BD
=
=
，故②③正确；
∴点D 在AB 的垂直平分线上，
2
ABD
ACD
S
S
=
，故④正确，⑤错误；
如图，过点D 作DE
AB
⊥
于点E ，
∵
30
B
=
，
∴
1
1
1dm
2
2
DE
BD
AD
=
=
=
，故⑥正确
故答案为：①②③④⑥．
8．（24-25 八年级下·四川成都·期中）如图，在
ABC
中，
90
BAC
=
，AD是高，BE 是中线，CF 是角平
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分线，CF 交AD于点G ，交BE 于点H ．下面说法中：①
BE
BCE
S
S
=
△A
△
；②
AFG
AGF
=
；③
2
BAD
ACF
=
；④AF
FB
=
．正确的是 ．（填序号）
【答案】①②③
【分析】本题主要考查了三角形的中线，高线，角平分线，直角三角形两个锐角互余，
先根据等底等高的三角形面积相等可判断①；再根据直角三角形的性质求出
ABC
CAD
=
，再根据三角
形外角的性质推导②；然后根据直角三角形的性质求出
FAG
ACD
=
，根据角平分线定义判断③；最后根
据已知条件无法判断④，可得答案．
【详解】解：∵BE 是中线，
∴AE
CE
=
，
∴
BE
BCE
S
S
=
△A
△
．
∴①正确；
∵CF 是角平分线，
∴
ACF
BCF
=
．
∵AD为高线，
∴
90
ADC
=
．
∵
90
BAC
=
，
∴
90 ,
90
ABC
ACB
ACB
CAD
+
=
+
=
，
∴
ABC
CAD
=
．
∵
,
AFG
ABC
BCF
AGF
CAD
ACF
=
+
=
+
，
∴
AFG
AGF
=
．
∴②正确；
∵AD为高，
∴
90
ADB
=
．
∵
90
BAC
=
，
∴
90 ,
90
ABC
ACB
ABC
BAD
+
=
+
=
，
∴
ACB
BAD
=
．
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∵CF 是
ACB
的平分线，
∴
2
ACB
ACF
=
，
∴
2
BAD
ACF
=
．
∴③正确；
根据条件不能说明AF
BF
=
，
∴④不正确．
故答案为：①②③．
题型三：直角三角形综合应用压轴题
1．（24-25 七年级下·四川宜宾·期末）如图，
ABC
为直角三角形，
90
ABC
=
，
60
A
=
，点D 为AC 上
一点，将
ABD
△
沿BD翻折后得到BDE
．
(1)如图1，当点E 落在BC 上时，求
CDE
的度数；
(2)如图2，当点E 落在BC 下方时，DE 与BC 相交于点F，且DE
BC
⊥
，试说明：BE
AC
∥
；
(3)如图3，当点E 落在BC 下方时，DE 与BC 相交于点F，连结CE ，CED
的平分线EG 交BD的延长线于
点G，交AC 于点H．若CE
BG
∥
，试判断
BFE
与
G
之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)30
(2)见解析
(3)
4
30
BFE
G
=
−
，理由见解析
【分析】（1）由直角三角形的性质求得
30
C
=
，再由折叠的性质得
60
A
BED
=
=
，最后根据三角形
外角的性质求解即可；
（2）由折叠的性质得
60
BEF
BAD
=
=
，根据直角三角形的性质求得
=
EBF
ACB，再根据平行线的
判定即可得证；
（3）设
G
x
=
，由平行线的性质得
CEG
G
x
=
=
，再由角平分线的定义和三角形外角的性质得
2
BDE
x
=
，根据折叠的性质得
2
ADB
x
=
，再利用三角形内角和定理求得
120
2
ABD
x
=
−
，进而求得
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4
30
BFE
x
=
−
即可．
【详解】（1）解：
90
ABC
=
，
60
A
=
，
30
C
=
．
∵将
ABD
△
沿BD翻折后得到BDE
，
60
A
BED
=
=
．
30
CDE
BED
C
=
−
=
．
（2）解：根据翻折可得
60
BEF
BAD
=
=
，
DE
BC
⊥
，
90
=
BFE
．
90
30
EBF
BEF
=
−
=
．
90
30
BCA
BAD
=
−
=
，
EBF
ACB
=
．
//
BE AC
．
（3）解：
4
30
BFE
G
=
−
，理由如下：
设
G
x
=
，
//
CE BG
，
CEG
G
x
=
=
．
EG
平分
CED
，
DEG
CEG
G
x
=
=
=
．
2
BDE
x
=
．
ADB
BDE
=
，
2
ADB
x
=
．
60
A
=
，
180
120
2
ABD
BAD
ADB
x
=
−
−
=
−
，
90
ABC
=
，
90
2
30
CBD
ABD
x
=
−
=
−
．
4
30
BFE
FBD
FDB
x
=
+
=
−
．
4
30
BFE
G
=
−
．
2．
（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图1，AD是
ABC
的角平分线，E为射线CB 上一点，过点E作EF
AB
⊥
，
垂足为点F．
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(1)若
90
C
=
，且点E 在线段CD上．
①
CAD
CDA
+
=_______，理由是________；
②若EH 平分
CEF
交AC 于点H，求证：EH
AD
∥
；
(2)如图2，若点E 在线段CB 的延长线上，EI 平分
CEF
交AD的延长线于点I，用等式表示
I
与
C
的
数量关系，并证明．
【答案】(1)①90，直角三角形的两个锐角互余 ②证明见解析
(2)2
90
I
C
=
+
；证明见解析
【分析】（1）①根据直角三角形的两个锐角互余即可得到结论；
②先证明
EDG
EGD
=
，再利用三角形外角的性质证明
EDG
CEH
=
，进而可证EH
AD
∥
；
（2）设
BAD
CAD
x
=
=
，
BEI
FEI
y
=
=
，由三角形外角的性质得出x
C
y
I
+
=
+ ，
2
2
90
x
C
y
+
=
+
，消去x，y 即可求解．
【详解】（1）①∵
90
C
=
，
∴
90
CAD
CDA
+
=
，理由是直角三角形的两个锐角互余．
故答案为：90，直角三角形的两个锐角互余；
②证明：
AD
平分
BAC
，
BAD
CAD
=
，
90
C
=
，
90
EDG
CAD
+
=
，
EF
AB
⊥
，
90
AGF
BAD
+
=
，
EDG
AGF
=
，
又
EGD
AGF
=
，
EDG
EGD
=
，
2
CEF
EDG
EGD
EDG
=
+
=
．
EH
平分
CEF
，
2
CEF
CEH
=
，
EDG
CEH
=
，
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EH
AD
∥
．
（2）2
90
I
C
=
+
，理由如下：
AI
，BI 分别平分
BAC
，
CEF
，
设
BAD
CAD
x
=
=
，
BEI
FEI
y
=
=
，
CDI
CAD
C
CEI
I
=
+
=
+
，
即x
C
y
I
+
=
+ ，①
CBF
BAC
C
CEF
BFE
=
+
=
+
，
即2
2
90
x
C
y
+
=
+
，②
由①2
−②，得
2
90
C
I
= −
，
即2
90
I
C
=
+
．
3．（24-25 七年级下·四川巴中·期末）如图1，在
ABC
中，分别以AB ，BC 为边向外作等腰直角三角形BCD
和等腰直角三角形
,
90
ABF
CBD
ABF
=
=
，连接AD、CF ，AD与CF 交于点M ．
(1)求证：AD
CF
=
；
(2)判断AD与CF 的位置关系，并说明理由；
(3)如图2，连接FD ，若
10
AD =
，求四边形ACDF 的面积．
【答案】(1)见解析
(2) AD
CF
⊥
，理由见解析
(3)50
【分析】（1）根据等腰直角三角形的定义得到AB
FB
=
，CB
DB
=
，
90
ABF
CBD
=
=
，再利用SAS证
明ABD
FBC
≌
，由全等三角形的性质即可得出结论；
（2）由（1）的三角形全等，得到AD
FC
=
，
BAD
BFC
=
，利用等式的性质求得
90
AMF
=
，再由垂
直定义得到结论；
（3）根据
1
1
1
2
2
2
ACD
ADF
AFDC
S
S
S
AD CM
AD MF
AD CF
=
+
+
=
=
四边形
，求解即可．
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【详解】（1）证明：等腰直角三角形BCD和等腰直角三角形ABF ，
AB
FB
=
，CB
DB
=
，
90
ABF
CBD
=
=
，
ABF
ABC
CBD
ABC
+
=
+
，
即
ABD
CBF
=
，
在
ABD
△
和FBC
中，
AB
FB
ABD
CBF
DB
CB
=
=
=
，
(SAS)
ABD
FBC
≌
，
∴AD
CF
=
；
（2）解：AD
CF
⊥
，理由如下：
设CF 与AB 交于点N ，如图，
∵等腰直角三角形ABF ，
∴
90
BFC
BNF
+
=
，
∵ABD
FBC
≌
，
AD
FC
=
，
BAD
BFC
=
，
∵
CNA
BNF
=
，
180
180
(
)
180
90
90
AMF
BAD
CNA
BFC
BNF
=
−
−
=
−
+
=
−
=
，
AD
CF
⊥
；
（3）解：由（1）得
10
FC
AD
=
=
，由（2）知：AD
CF
⊥
，
ACD
ADF
AFDC
S
S
S
=
+
四边形
，
1
1
2
2
AD CM
AD MF
=
+
，
(
)
1
2 AD CM
MF
=
+
，
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1
2 AD CF
=
1 10 10
2
=
50
=
；
4．（24-25 七年级下·四川成都·期中）ABC
中，点D 、F 分别为线段AC 、AB 上两点，连接BD、CF 交
于点E ．
(1)若BD
AC
⊥
，CF
AB
⊥
，如图1，试说明
180
BAC
BEC
+
=
；
(2)若BD平分
ABC
，CF 平分
ACB
，如图2 所示，若
120
BEC
=
，则
BAC
= ，并证明：EF
ED
=
．
【答案】(1)见解析
(2)60 ，证明见解析
【分析】（1）根据余角的性质得到
DEC
BAC
=
，由于
180
DEC
BEC
+
=
，即可得到结论；
（2）根据角平分线的性质得到
1
2
EBC
ABC
=
，
1
2
ECB
ACB
=
，于是得到结论；作
BEC
的平分线EM
交BC 于M ，由
60
BAC
=
，得到
90
120
BEC
BAC
=
+
=
，求得
60
FEB
DEC
=
=
，根据角平分线的
性质得到
60
BEM
=
，推出FBE
EBM
≌
，根据全等三角形的性质得到EF
E
=
，同理DE
EM
=
，即可得
到结论．
【详解】（1）解：
BD
AC
⊥
，CF
AB
⊥
，
90
DCE
DEC
DCE
FAC
+
=
+
=
，
DEC
BAC
=
，
180
DEC
BEC
+
=
，
180
BAC
BEC
+
=
；
（2）
BD
平分
ABC
，CF 平分
ACB
，
1
2
EBC
ABC
=
，
1
2
ECB
ACB
=
，
(
)
180
BEC
EBC
ECB
=
−
+
(
)
180
ABC
ACB
=
−
+
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1
1
180
180
2
2
BAC
=
−
−
1
90
2
BAC
=
+
；
120
BEC
=
，
60
BAC
=
；
作
BEC
的平分线EM 交BC 于M ，
60
BAC
=
，
90
120
BEC
BAC
=
+
=
，
60
FEB
DEC
=
=
，
EM
平分
BEC
，
60
BEM
=
，
在FBE
与EBM
中，
FBE
EBM
BE
BE
FEB
MEB
=
=
=
，
(
)
FBE
EBM ASA
≌
，
EF
EM
=
，
同理DE
EM
=
，
EF
DE
=
．
故答案为：60
5．（24-25 七年级下·江苏苏州·期末）如图，在直角三角形ABC 中，
90
ACB
=
，点D ，E 分别是AC ，AB
边上一点，将
ADE
沿DE 翻折至FDE
，使得DF
AB
⊥
于点G ，点H 为CB 延长线上一点，设
ABC
=
．
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(1)若
54
=
，求
DEF
的度数；
(2)①尺规作图：用无刻度的直尺和圆规作
ABH
的角平分线BP；（不写作法，保留作图痕迹）
②在①的条件下，求证：BP
DE
∥
．
【答案】(1)117
(2)①见解析；②见解析
【分析】（1）根据折叠得出
ADE
EDF
=
，
36
F
A
= =
，根据垂线定义求出
90
EGF
EGD
=
=
，
根据直角三角形两锐角互余得出
90
54
GEF
F
=
−
=
，
90
63
DEG
EDF
=
−
=
，最后求出结果即可；
（2）①根据作一个角的平分线的基本作图方法，作图即可；
②作
ABC
的平分线BQ ，根据角平分线定义得出
90
ABP
ABQ
+
=
，证明
EDF
ABQ
=
，根据直角
三角形两锐角互余得出
90
EDF
DEG
+
=
，根据余角性质得出
DEG
ABP
=
，最后根据平行线的判定
得出结论即可．
【详解】（1）解：∵
54
=
，
∴
54
ABC
=
，
∴
90
90
54
36
A
ABC
=
−
=
−
=
，
根据折叠可知：
ADE
EDF
=
，
36
F
A
= =
，
∵DF
AB
⊥
，
∴
90
EGF
EGD
=
=
，
∴
90
54
ADG
A
=
−
=
，
90
54
GEF
F
=
−
=
，
∴
1
27
2
EDF
ADE
ADG
=
=
=
，
∴
90
63
DEG
EDF
=
−
=
，
∴
63
54
117
DEF
DEG
GEF
=
+
=
+
=
．
（2）解：①BP即为所求作的角平分线，如图所示：
②作
ABC
的平分线BQ ，如图所示：
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则
1
2
CBQ
ABQ
ABC
=
=
，
∵BP平分
ABH
，
∴
1
2
PBG
PBH
ABH
=
=
，
∵
180
ABC
ABH
+
=
，
∴
90
ABP
ABQ
+
=
，
∵
90
AGD
=
，
∴
90
ADG
A
+ =
，
∵
90
ABC
A
+=
，
∴
=
ADG
ABC ，
根据折叠可知：
1
2
ADE
EDF
ADG
=
=
，
∴
EDF
ABQ
=
，
∵
90
EDF
DEG
+
=
，
∴
DEG
ABP
=
，
∴BP
DE
∥
；
6．（24-25 七年级下·河南漯河·期中）已知AB
CD
∥
．点M 为直线AC 上的动点（点M 不与点A C
、
重合），
ME
AC
⊥
交直线CD于点E ．
(1)如图1，当点M 在CA 上时，若
48
MAB
=
，则
MEC
=__________；
(2)如图2 ，当点M 在CA 的延长线上时，
MAB
与
MEC
有怎样的数量关系？写出结论，并说明理由；
(3)当点M 在AC 的延长线上时，
MAB
与
MEC
有怎样的数量关系？写出结论，并说明理由．
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【答案】(1)42
(2)
90
MAB
MEC
=
+
，理由见解析
(3)
90
MEC
MAB
+
=
，理由见解析
【分析】（1）由平行线的性质得
48
ACD
MAB
=
=
，再根据直角三角形两锐角互余即可求解；
（2 ）由直角三角形两锐角互余得
90
MCE
MEC
=
−
，进而由平行线的性质得
90
BAC
MCE
MEC
=
=
−
，再根据邻补角的性质即可求证；
（3）先根据题意画出图形，再根据平行线的性质及直角三角形两锐角互余即可求证；
本题考查了直角三角形的两锐角互余，平行线的性质，邻补角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关
键．
【详解】（1）解：∵AB
CD
∥
，
∴
48
ACD
MAB
=
=
，
∵ME
AC
⊥
，
∴
90
EMC
=
，
∴
90
90
48
42
MEC
ACD
=
−
=
−
=
，
故答案为：42；
（2）解：
90
MAB
MEC
=
+
，理由如下：
∵ME
AC
⊥
，
∴
90
EMC
=
，
∴
90
MCE
MEC
=
−
，
∵AB
CD
∥
，
∴
90
BAC
MCE
MEC
=
=
−
，
∵
180
MAB
BAC
=
−
，
∴
(
)
180
90
90
MAB
MEC
MEC
=
−
−
=
+
，
即
90
MAB
MEC
=
+
；
（3）解：
90
MEC
MAB
+
=
，理由如下：
如图所示，
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∵AB
CD
∥
，
∴
BAC
MCE
=
，
∵ME
AC
⊥
，
∴
90
EMC
=
，
∴
90
MEC
MCE
+
=
，
∴
90
MEC
MAB
+
=
7．（24-25 七年级下·湖北荆州·期中）如图：已知AB
CD
和一块含60角的直角三角尺EFG ．
(1)如图1，三角尺的60角的顶点G 放在CD上，若
2
2 1
= ，求1
的度数；
(2)如图2 ，三角尺的两个锐角的顶点E 、G 分别放在AB 和CD上，若
8
AEF
= ，求
FGC
的度数．
【答案】(1)40；
(2)82．
【分析】本题主要考查了平行线的性质、直角三角形的两个锐角互余．解决本题的关键是根据平行线的性
质和直角三角形的两个锐角互余找角之间的关系．
（1）设
1
= ，则
2
2
=
，根据平行线的性质可知
1
EGD
= =
，根据平角的定义可知2
60
180
+
+
=
，
解方程即可求出1
的度数．
（2）根据两直线平行同旁内角互补可得：
180
AEF
FEG
EGF
FGC
+
+
+
=
，根据直角三角形的两个
锐角互余可得：
90
FEG
EGF
+
=
，所以可得：
90
AEF
FGC
+
=
，又因为
8
AEF
= ，可以求出
82
FGC
=
．
【详解】（1）解：设
1
= ，则
2
2
=
，
AB CD
，
1
EGD
= =
，
由已知可得：
60
EGF
=
，
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2
60
180
+
+
=
，
解得：
40
=
，
1
40
=
；
（2）解：
AB CD
，
180
AEG
CGE
+
=
，
即
180
AEF
FEG
EGF
FGC
+
+
+
=
，
又
90
FEG
EGF
+
=
，
90
AEF
FGC
+
=
，
90
90
8
82
FGC
AEF
=
−
=
−=
．
8．（2025·浙江杭州·模拟预测）在
ABC
中，AB
AC
=
，点D 在AC 上，过点D 作DL
BC
⊥
于L ，过点L 作
LF
AB
⊥
于F ，连接DF ，CD
LB
=
．
(1)如图1，求证：4
180
FDL
CAB
−
=
；
(2)如图2，过点L作DF 的垂线交AF 于H ，连接DH ，若
FDL
CAB
=
，在不添加任何辅助线的情况下，
直接写出图2 中四个与DLC
全等的三角形（DLC
除外）．
【答案】(1)见解析
(2)
LDH
△
，
LFH
△
，
LFB
△
，
FDA
△
【分析】（1）先证明BLF
CDL
≌
，得LF
LD
=
，FDL
LFD
=
，再通过四边形内角和以及角之间的转换
求出4
180
FDL
CAB
−
=
．
（2）由（1）得BLF
CDL
≌
，
DLF
B
C
= =
，
FDL
LFD
=
，4
180
FDL
CAB
−
=
，根据
FDL
CAB
=
，得DLF
是等边三角形，ABC
是等边三角形，进而利用三角形全等的判定方法即可得解．
【详解】（1）证明：
AB
AC
=
，DL
BC
⊥
，LF
AB
⊥
，
B
C
=
，
CLD
90
BFL
DLB
=
=
=
．
∴
180
2
BAC
B
=
−，
90
B
BLF
DLF
BLF
+
=
+
=
，
∴
B
FLD
=
，2
180
B
BAC
=
−
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∵CD
LB
=
，
B
C
=
，
90
BFL
CLD
=
=
，
∴BLF
CDL
≌
，
∴LF
LD
=
，
∴
FDL
LFD
=
，
∴2
180
FDL
FLD
=
−
，
∴4
360
2
FDL
CAB
FLD
CAB
−
=
−
−
360
2 B
CAB
=
−−
(
)
360
180
CAB
CAB
=
−
−
−
180
=
；
（2）解：由（1）得BLF
CDL
≌
，
DLF
B
C
= =
，
FDL
LFD
=
，4
180
FDL
CAB
−
=
，
∵
FDL
CAB
=
，
∴3
180
FDL
=
，
∴
60
FDL
LFD
CAB
=
=
=
，
∴DLF
是等边三角形，
∴DL
FD
FL
=
=
，
60
DLF
B
C
= =
=
=
FDL
LFD
CAB
=
=
∵AB
AC
=
，
∴ABC
是等边三角形，
∴AB
AC
BC
=
=
，
∵LF
AB
⊥
，
60
B
=
，
∴
30
BLF
=
，
90
LFH
LFB
=
=
，
∵LH
DF
⊥
，LD
LF
=
，
∴
30
HLF
HLD
BLF
=
=
=
，
∵LF
LF
=
，
∴LFH
LFB
≌
，
∴BL
LH
CD
=
=
，BF
FH
CL
=
=
，DL
LF
LF
=
=
，
∴CDL
HLF
≌
，
∵LD
LF
=
，
DLH
FLH
=
，LH
LH
=
，
∴DLH
FLH
≌
，
∴DL
FL
=
，DH
FH
CL
=
=
，CH
CD
=
，
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∴CDL
HLD
≌
，
∵
60
C
=
，DL
BC
⊥
，
∴
30
CDL
=
，
∴
180
30
60
90
ADF
DLC
=
−
−
=
=
，
∵
60
C
A
= =
，DF
DL
=
，
∴CDL
AFD
≌
，
综上可得，与DLC
全等的三角形有
LDH
△
，
LFH
△
，
LFB
△
，
FDA
△
．
题型四：直角三角形综合中动点问题
1．（24-25 八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在
ABC
中，AD为高，
24
AC =
，点E 为AC 上的一点，
3
CE
AE
=
，连接BE ，交AD于O，若BDO
ADC
≌
．
(1)求
BEC
的度数；
(2)动点P 从点O出发，沿线段OB 以每秒1个单位长度的速度向终点B 运动，动点Q 从点A 出发沿射线AC 以
每秒3个单位长度的速度运动，P 、Q 两点同时出发，当点P 到达点B 时，P 、Q 两点同时停止运动，设点
P 的运动时间为t 秒，
①设
POQ
△
的面积为s．请用含t 的式子表示s，并直接写出相应的t 的取值范围；
②点F 是直线BC 上一点，且CF
AO
=
．当AOP
与FCQ
全等时，求t 的值．
【答案】(1)
90
BEC
=
(2)①
2
2
3
3 ,(0
2)
2
3
3 ,(2
24)
2
t
t
t
s
t
t
t
−
+
=
−
；②6 或12
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形面积以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌
握全等三角形的性质是解题的关键．
（1）根据全等三角形的性质可得
OBD
DAC
=
，进而根据直角三角形的两个锐角互余，得出
90
ACD
DAC
+
=
，进而等量代换，即可得证；
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（2）①分两种情况，当0
2
t
时，当2
24
t
时，分别利用三角形面积公式即可求解；
②两种情况，点F 在线段BC 延长线上，当OP
CQ
=
时，
(
)
SAS
AOP
FCQ
≌
，得
24
3
t
t
=
−
，解得
6
t =
；
点F 在线段BC 上，当OP
CQ
=
时，
(
)
SAS
AOP
FCQ
≌
，得
3
24
t
t
=
−
，解得
12
t =
即可．
【详解】（1）解：∵在
ABC
中，AD为高，
∴
90
ADB
=
，
∴
90
ACD
DAC
+
=
，
∵BDO
ADC
≌
，
∴
OBD
DAC
=
，
∴
90
ACD
OBD
+
=
，
∴
90
BEC
=
．
（2）解：①∵BDO
ADC
≌
，
∴
24
BO
AC
=
=
，
∵
3
CE
AE
=
，
24
CE
AE
+
=
，
∴
6,
18
AE
CE
=
=
，
当点Q 运动到点E 时，
2
t =
，当点P 运动到点B 时，
24
t =
，
当0
2
t
时，
如图，
(
)
2
1
1
3
6
3
3
2
2
2
s
OP QE
t
t
t
t
=
=
−
= −
+
；
当2
24
t
时，如图，
(
)
2
1
1
3
3
6
3
2
2
2
s
OP QE
t
t
t
t
=
=
−
=
−
．
综上所述，
2
2
3
3 ,(0
2)
2
3
3 ,(2
24)
2
t
t
t
s
t
t
t
−
+
=
−
；
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②∵
BOD
ACD
≌
△
△
，
∴
BOD
ACD
=
，
当点F 在线段BC 延长线上时，如图，
∵
BOD
ACD
=
，
∴
AOP
ACF
=
，
∵AO
CF
=
，
∴当OP
CQ
=
时，
AOP
FCQ
≌
，
∴
24
3
t
t
=
−
，
解得：
6
t =
；
当点F 在线段BC 上时，如图，
∵
BOD
ACD
=
，
∴
AOP
FCQ
=
，
∴当OP
CQ
=
时，
AOP
FCQ
≌
，
∴
3
24
t
t
=
−
，
解得：
12
t =
．
综上所述，当AOP
与FCQ
全等时，t 的值为6 或12．
2．（24-25 七年级下·宁夏银川·阶段练习）如图，
7cm
AB =
，CA
AB
⊥
，DB
AB
⊥
，垂足分别为A B
，，
5cm
AC =
．点P 在线段AB 上以2cm/s的速度由点A 向点B 运动，同时点Q 在射线BD上运动，它们运动的时
间为st （当点P 运动结束时，点Q 运动随之结束）．
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(1)若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当
1
t = 时，
ACP
△
与
BPQ
是否全等？并判断此时线段PC 和
线段PQ 的位置关系，请分别说明理由；
(2)如图②，若“CA
AB
⊥
，DB
AB
⊥
”改为“
60
CAB
DBA
=
=
”，点Q 的运动速度为cm/ s
x
，其他条件不
变，当点P
Q
，
运动到某处时有
ACP
△
与
BPQ
全等，求出相应的x
t
，的值．
(3)在（2 ）成立的条件下且P
Q
、
两点的运动速度相同时，
CPQ
= _____（直接写出结果）
【答案】(1)
ACP
BPQ
△
≌△
，PC
PQ
⊥
，理由见解析
(2)当
ACP
BPQ
△
≌△
时，
2
x =
，
1
t = ；当
ACP
BQP
△
≌△
时，
20
7
x =
，
7
4
t =
(3)60
【分析】（1）由题意可得
90
A
B
= =
，
2cm
AP
BQ
=
=
，进而得
5cm
BP
AC
=
=
，即可证
(
)
SAS
ACP
BPQ
≌
△
△
，由全等三角形的性质得
ACP
BPQ
=
，即可由
90
ACP
APC
+
=
得
90
BPQ
APC
+
=
，即可求证；
（2 ）分
ACP
BPQ
△
≌△
和
ACP
BQP
△
≌△
两种情况，根据全等三角形的性质列出方程解答即可求解；
（3）由AP
BQ
=
得
ACP
BPQ
△
≌△
，即得
ACP
BPQ
=
，进而可得
120
BPQ
APC
+
=
，得到
60
CPQ
=
，即可求解；
本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：
ACP
BPQ
△
≌△
，PC
PQ
⊥
，理由如下：
∵AC
AB
⊥
，BD
AB
⊥
，
∴
90
A
B
= =
，
∵点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，且
1
t = ，
∴
2cm
AP
BQ
=
=
，
∴
5cm
BP =
，
∵
5cm
AC =
，
∴BP
AC
=
，
∴
(
)
SAS
ACP
BPQ
≌
△
△
，
∴
ACP
BPQ
=
，
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∵
90
ACP
APC
+
=
，
∴
90
BPQ
APC
+
=
，
∴
90
CPQ
=
，
即PC
PQ
⊥
；
（2）解：①若
ACP
BPQ
△
≌△
时，则AC
BP
=
，AP
BQ
=
，
∴5
7
2t
=
−
，2t
xt
=
，
解得
2
x =
，
1
t = ；
②若
ACP
BQP
△
≌△
，则AC
BQ
=
，AP
BP
=
，
∴5
xt
=
，2
7
2
t
t
=
−
，
解
20
7
x =
，
7
4
t =
；
综上，当
ACP
BPQ
△
≌△
时，
2
x =
，
1
t = ；当
ACP
BQP
△
≌△
时，
20
7
x =
，
7
4
t =
；
（3）解：∵P
Q
、
两点的运动速度相同，
∴AP
BQ
=
，
∴
ACP
BPQ
△
≌△
，
∴
ACP
BPQ
=
，
∵
60
CAB
=
，
∴
120
ACP
APC
+
=
，
∴
120
BPQ
APC
+
=
，
∴
60
CPQ
=
，
故答案为：60．
3．（24-25 九年级下·河北沧州·期中）如图，在
ABC
中，
90
ABC
=
，
8
AB =
，
12
BC =
，点B 在直线m 上，
点M 是直线m 上点B 左边的一点，且
4
BM =
，
60
ABM
=
．动点P 从点A 出发，以每秒2 个单位长度的
速度沿折线AB
BC
−
向终点C 匀速运动；同时动点Q 从C 点出发，以每秒6个单位长度的速度沿折线CB
BA
−
向终点A 匀速运动．两点到达相应的终点就分别停止运动，分别过点P 、点Q 作
⊥
PD
m于点D ，QE
m
⊥
于
点E ．设点P 的运动时间为( )(
)
s
0
t
t
．
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(1)用含t 的代数式表示BP的长；
(2)当点Q 在边BC 上时，求证：
PBD
BQE
=
；
(3)当
PBD
△
与
BQE
△
全等时，直接写出t 的值．
【答案】(1)8
2t
−
或2
8
t −
(2)见解析
(3)1 或5
2 或8
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、直角三角形的性质、一元一次方程等知识点，学会用分类讨
论的思想思考问题是解题的关键．
（1）由题意分0
4
t
和4
10
t
两种情况列出代数式即可；
（2）由直角三角形的性质以及平角的性质即可解答；
（3）由全等三角形的性质分三种情况，分别列出方程求解即可．
【详解】（1）解：当点P 到点B 时，
8 2
4
t =
=
；
当点P 到点C 时，
8 12
10
2
2
AB
BC
t
+
+
=
=
=
；
当0
4
t
时，P 在AB 上，则
2
AP
t
=
，
8 2
BP
AB
AP
t
=
−
= −
；
当4
10
t
时，点P 在BC 上，
8
AB =
，
2
2
8
BP
t
AB
t
=
−
=
−．
BP
的长为8
2t
−
或2
8
t −；
（2）证明：QE
m
⊥
，
90
BEQ
=
，
90
BQE
EBQ
+
=
，
90
ABC
=
，
90
PBD
EBQ
+
=
，
PBD
BQE
=
．
（3）解：当点P 到点B 时，
8
4
2
t =
=
，
当点P 到点C 时，
8 12
10
2
2
AB
BC
t
+
+
=
=
=
，
当点Q 到点B 时，
12
2
6
6
BC
t =
=
=
，
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当点Q 到点A 时，
8 12
10
6
6
3
AB
BC
t
+
+
=
=
=
，
当0
2
t
时，点P 在AB 边上，点Q 在BC 边上，
8
2 ,
12
6
PB
t BQ
t
=
−
=
−
，
此时
,
,
PBD
BQE PD
m OE
m
⊥
=
⊥
，则有PBD
BQE
≌
，
PB
BQ
=
，
8 2
12 6
t
t
−
=
−
，解得：
1
t = ；
当
10
2
3
t
时，点P、Q 都在AB 边上时，
8
2 ,
6
12
PB
t BQ
t
=
−
=
−
，
此时PBD
QBE
≌
，
PB
BQ
=
，
8 2
6
12
t
t
−
=
−
，解得：
5
2
=
t
；
当10
4
3
t
时，点Q 到终点A 停止不动，点P 在AB 边上此时两个三角形不全等；
当4
10
t
时，点Q 到终点A 停止不动，点P 在边BC 上，
8
,
2
8
PB
t
BQ
AB
=
−
=
=
，
此时PBD
BQE
≌
，
PB
BQ
=
，
2
8
8
t
−
=
，解得：
8
t =
．
综上，当
PBD
△
与
BQE
△
全等时，t 的值为1 或5
2 或8．
4．（24-25 七年级下·河南周口·阶段练习）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ABC
ABC
=
，
的平分线交AC 于点
D．点P 是AC 边上的一个动点，过点P 作PM
AB
∥
交BC 边于点E ．设
A
的度数为(
)
0
90
．
(1)如图，当点P 在线段AD上运动时（不与A D
，
重合），作PEC
的外角
CPM
的平分线PN ，交BD的延
长线于点F ．
①
C
= _____；（用含的代数式表示）
②当
40
=
时，求
BFP
的度数；
(2)类比（1）的思路，当点P 在线段CD上运动时（不与C
D
，
重合），作PEC
的外角
CPM
的平分线PN ，
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交直线BD于点F （点F 不与点B 重合），求
BFP
的度数．（用含的代数式表示）
【答案】(1)①90
−
；②25
(2)
1
135
2
+
或
1
45
2
−
【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余、平行线的性质、角平分线的定义、三角形外角的性质等
知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）①直接根据直角三角形两锐角互余即可解答；②先求出
50
C
=
，根据交平分线的定义可得
1
45
2
ABC
ACB
ABC
=
=
=
，再根据平行线的性质可得
90
MEC
ABC
=
=
，再根据三角形外角的性
质可求得
MPC
、
ADB
，再根据角平分线的定义求得
CPN
，最后根据三角形外角的性质即可解答；
（2）当点P 在线段BD上和点P 在线段DB的延长线上两种情况，先求出
C
，根据交平分线的定义可得
1
45
2
ABC
ACB
ABC
=
=
=
，再根据平行线的性质可得
90
MEC
ABC
=
=
，再根据三角形外角的性
质可求得
MPC
、
BDC
或
ADB
，再根据角平分线的定义求得
CPN
，进而求得
FPD
，最后根据三角
形外角的性质求解即可．
【详解】（1）解：①∵在Rt
ABC
△
中，
90
ABC
=
，设
A
的度数为(
)
0
90
，
∴
90
C
=
−
；
②：∵
40
=
，
∴
90
40
50
C
=
−
=
，
∵
ABC
的平分线交AC 于点D ，
∴
45
ABD
DBC
=
=
，
∵PM
AB
∥
，
∴
90
MEC
ABC
=
=
，
∴
140
MPC
C
MEC
=
+
=
，
95
ADB
C
CBD
=
+
=
，
∵PN 是
CPM
的平分线，
∴
1
70
2
CPN
MPC
=
=
，
∴
25
BFP
ADB
CPN
=
−
=
．
（2）解：如图：当点P 在线段BD上时，
∵在Rt
ABC
△
中，
90
ABC
=
，设
A
的度数为(
)
0
90
，
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∴
90
C
=
−
；
∵
ABC
的平分线交AC 于点D ，
∴
45
ABD
DBC
=
=
，
∵PM
AB
∥
，
∴
90
MEC
ABC
=
=
，
∴
180
MPC
C
MEC
= +
=
−
，
45
BDC
A
ABD
= +
=
+
，
∵PN 是
CPM
的平分线，
∴
1
1
90
2
2
CPN
MPC
=
=
−
，
∴
1
90
2
FPD
CPN
=
=
−
∴
1
1
45
90
135
2
2
BFP
BDC
DPF
+
=
+
=
+
−
=
+
．
如图：当点P 在线段DB的延长线上时，
∵在Rt
ABC
△
中，
90
ABC
=
，设
A
的度数为(
)
0
90
，
∴
90
C
=
−
；
∵
ABC
的平分线交AC 于点D ，
∴
45
ABD
DBC
=
=
，
∵PM
AB
∥
，
∴
90
MEC
ABC
=
=
，
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∴
180
MPC
C
MEC
=
+
=
−，
135
ADB
C
CBD
=
+
=
−
，
∵PN 是
CPM
的平分线，
∴
1
1
90
2
2
CPN
MPC
=
=
−
，
∴
1
90
2
FPD
CPN
=
=
−
∴
1
1
9
2
13
0
5
45
2
BFP
ADB
DPF
=
−
=
−
−
=
−
−
．
综上，
BFP
的度数为
1
135
2
+
或
1
45
2
−
．
5．（24-25 八年级上·广东湛江·阶段练习）如图，ABC
是边长是16cm的等边三角形，动点P，Q 同时从A，
B 两点出发，分别沿AB ，BC 方向匀速移动，其中点P 运动的速度是3
/ s
cm
，点Q 运动的速度是2
/ s
cm
，
当点P 到达点B 时，P、Q 两点都停止运动，设运动时间为( )s
t
，解答下列问题：
(1)在点P 与点Q 的运动过程中，当t 为何值时，
BPQ
是等边三角形？
(2)在点P 与点Q 的运动过程中，当t 为何值时，
BQP
是直角？
【答案】(1)16
5
(2)
16
7
t =
【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，等边三角形的性质和判定，几何动点问题，熟练掌握含30
的直角三角形的性质是解题关键．
（1）由等边三角形的性质列方程即可求解；
（2）结合
BQP
是直角，由直角三角形的性质列方程即可求解．
【详解】（1）解：∵
ABC
为等边三角形，
根据题意得
(
)
3 cm
AP
t
=
，
(
)
2
cm
BQ
t
=
，
(
)
16
3 cm
BP
t
=
−
，
60
B
=
．
BP
BQ
=
时，
BPQ
为等边三角形，
16 3
2
t
t
−
=
，
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解得
16
5
t =
；
（2）解：根据题意得
(
)
3 cm
AP
t
=
，
(
)
2
cm
BQ
t
=
，
(
)
16
3 cm
BP
t
=
−
，
∵
90
BQP
=
，
60
PBQ
=
，
30
BPQ
=
，
1
2
BQ
BP
=
，
即
(
)
1
2
16 3
2
t
t
=
−
，
解得
16
7
t =
；
当
16
7
t =
时，
BQP
是直角．
6．（24-25 八年级上·内蒙古乌海·期末）如图，
ABC
的两条高AD与BE 交于点O，AD
BD
=
，
6
AC =
．
(1)若
23
DBO
=
，则
DAC
=______；
(2)求BO的长；
(3)点F 是射线BC 上一点，且CF
AO
=
，动点P 从点O 出发，沿线段OB 以每秒1 个单位长度的速度向终点
B 运动，同时动点Q 从点A 出发，沿射线AC 以每秒5 个单位长度的速度运动，当点P 到达点B 时，P、Q
两点同时停止运动，设运动时间为t（秒），当AOP
与FCQ
全等时，直接写出t 的值．
【答案】(1)23
(2)6
(3) 3
2 或1
【分析】（1）由三角形的高的概念可得
90
BDO
ADC
AEB
=
=
=
，由直角三角形的两个锐角互余可得
90
DAC
AOE
+
=
，
90
DBO
BOD
+
=
，由对顶角相等可得
AOE
BOD
=
，进而可得
DAC
DBO
=
，
于是得解；
（2）由（1）得
DAC
DBO
=
，
90
BDO
ADC
=
=
，利用ASA可证得DAC
DBO
≌
，于是可得BO
AC
=
，
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由此即可求出BO的长；
（3）由三角形外角的性质可得
90
AOP
AEB
DAC
DAC
=
+
=
+
，
90
ACM
BCN
ADC
DAC
DAC
=
=
+
=
+
，进而可得
AOP
ACM
BCN
=
=
，依题意得OP
t
= ，
5
AQ
t
=
，然后分两种情况讨论：①当点F 在线段BC 上时；②当点F 在线段BC 的延长线上时；分别利用
全等三角形的性质列方程求解即可．
【详解】（1）解：
ABC
的两条高AD与BE 交于点O，
90
BDO
ADC
AEB
=
=
=
，
90
DAC
AOE
+
=
，
90
DBO
BOD
+
=
，
又
AOE
BOD
=
，
23
DAC
DBO
=
=
，
故答案为：23；
（2）解：由（1）得：
DAC
DBO
=
，
90
BDO
ADC
=
=
，
在
DAC
△
和DBO
中，
DAC
DBO
AD
BD
ADC
BDO
=
=
=
，
(
)
ASA
DAC
DBO
≌
，
6
BO
AC
\
=
=
；
（3）解：
90
AOP
AEB
DAC
DAC
=
+
=
+
，
90
ACM
BCN
ADC
DAC
DAC
=
=
+
=
+
，
AOP
ACM
BCN
=
=
，
依题意得：OP
t
= ，
5
AQ
t
=
，
点F 是射线BC 上一点，且CF
AO
=
，
分以下两种情况讨论：
①当点F 在线段BC 上时，
AOP
BCN
=
，
当AOP
与FCQ
全等时，点Q 在AC 的延长线上，如图1所示：
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104 /
此时OP
CQ
=
，
6
AC =
，
5
AQ
t
=
，
5
6
CQ
AQ
AC
t
=
−
=
−，
5
6
t
t
=
−
，
解得：
3
2
t =
；
②当点F 在线段BC 的延长线上时，
AOP
ACM
=
，
当AOP
与FCQ
全等时，点Q 在线段AC 上，如图2 所示：
此时OP
CQ
=
，
6
AC =
，
5
AQ
t
=
，
6
5
CQ
AC
AQ
t
=
−
=
−
，
6 5
t
t
=
−
，
解得：
1
t = ；
综上，当AOP
与FCQ
全等时，t 的值为3
2 或1．
7．（24-25 八年级上·广东广州·期中）如图，直线AM
AN
⊥
，AB 平分
MAN
，过点B 作BC
BA
⊥
交AN 于
点C．动点D，E 同时从点A 出发，其中动点E 以2cm/s的速度沿射线AN 运动，动点D 以1cm/s 的速度在直
线AM 上运动．已知
6cm
AC =
，设动点D，E 的运动时间为(s)
t
．
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(1)
ACB
的度数为________；
(2)当点D 沿射线AM 运动时，若
2
ABD
BEC
S
S
=
△
△
，求t 的值；
(3)当动点D 在直线AM 上运动时，是否存在某个时间t，使得ADB
与
BEC
全等？若存在，请求出时间t
的值；若不存在，请说出理由．
【答案】(1)45
(2)
12
5
t =
或4
(3)2 或6
【分析】（1）根据角平分线的定义、直角三角形的锐角互余即可解决问题；
（2）作BH
AC
⊥
于H ，BG
AM
⊥
于G ．由BA平分
MAN
，推出BG
BH
=
，由
2
ABD
BEC
S
S
=
△
△
，AD
t
= ，
2
AE
t
=
，可得1
1 (6
2 )
2
2
2
t BG
t
BH
=
−
，解方程即可解决问题．
（3）存在．由BA
BC
=
，
45
BAD
BCE
=
=
，可知当AD
EC
=
时，
ADB
CEB
△
≌△
，列出方程即可解决问
题．
【详解】（1）解：如图1 中，
AM
AN
⊥
，
90
MAN
=
，
AB
平分
MAN
，
45
BAC
=
，
CB
AB
⊥
，
90
ABC
=
，
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106 /
45
ACB
=
，
故答案为：45；
（2）解：如图2 中，
①当E 在线段AC 上时，作BH
AC
⊥
于H ，BG
AM
⊥
于G ．
BA
平分
MAN
，
BG
BH
=
，
2
ABD
BEC
S
S
=
，AD
t
= ，
2
AE
t
=
，
1
1 (6
2 )
2
2
2
t BG
t
BH
=
−
，
12
5
t
=
；
②当点E 运动到AC 延长线上，同法可得
4
t =
时，也满足条件，
当
12
5
t =
或4 时，满足
2
ABD
BEC
S
S
=
△
△
；
（3）解：存在某个时间t ，使得ADB
与
BEC
全等；理由如下：
由（1）知
90
ABC
=
，
45
ACB
=
，
ABC
是等腰直角三角形，
BA
BC
=
，
45
BAD
BCE
=
=
，
当AD
EC
=
时，
(
)
SAS
ADB
CEB
≌
，
6
2
t
t
=
−
，
2
t
=
，
2
t
=
时，
ADB
CEB
△
≌△
当D 在MA 延长线上时，2
6
t
t
−
= ，
解得：
6
t =
，
综上所述，满足条件的t 的值为2 或6，
故答案为：2 或6
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1．（24-25 八年级下·甘肃兰州·期末）在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，D 是AB 的中点，若
8
AB =
，则BD的
长为（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
【答案】C
【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是掌握：直角三角形斜边上的中线等于斜边的
一半．据此解答即可．
【详解】解：∵在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，D 是AB 的中点，且
8
AB =
，
∴
1
1 8
4
2
2
BD
AB
=
=
=
，
即BD的长为4 ．
故选：C．
2．（24-25 八年级下·安徽六安·阶段练习）如图，
ABC
中，点D 在边BC 上，若
25 ,
,
10,
5
B
AD
AB BD
AC
=
⊥
=
=
，则
CAD
的度数是（ ）
A．10
B．15
C．20
D．25
【答案】B
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理．取
BD的中点E，连接AE ，根据直角三角形的性质可得
1
5
2
AE
BD
BE
=
=
=
，从而得到
25
BAE
B
==
，
AE
AC
=
，结合三角形外角的性质可得
50
C
AEC
B
BAE
=
=
+
=
，然后三角形内角和定理可得
BAC
的度数，即可求解．
【详解】解：如图，取BD的中点E，连接AE ，
∵
90
BAD
=
，
10
BD =
，
小学
初中
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108 /
∴
1
5
2
AE
BD
BE
=
=
=
，
∴
25
BAE
B
==
，
∵
5
AC = ，
∴AE
AC
=
，
∴
50
C
AEC
B
BAE
=
=
+
=
，
∴
180
105
BAC
B
C
=
−−
=
，
∴
15
CAD
BAC
BAD
=
−
=
．
故选：B
3．（24-25 八年级下·云南曲靖·期末）某乡村旅居示范点计划在村内池塘上搭建小桥，如图所示，两条村内
道路AC 、BC 互相垂直，道路AB 的中点M 与点C 被湖隔开．若测得AB 的长为2400 m ，则M、C 两点间
的距离为（ ）
A．3600 m
B．2400 m
C．1200 m
D．600 m
【答案】C
【分析】本题考查了直角三角形性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，推出
1
2
CM
AB
=
，
即可解题．
【详解】解：AC 、BC 互相垂直，M 为AB 的中点，AB 的长为2400 m ，
1
1200m
2
CM
AB
=
=
，
故选：C．
4．（24-25 七年级下·湖北十堰·期末）如图，
ABC
中，
90
ABC
=
，BD是高，则
ABD
与
C
（ ）
A．互余
B．互补
C．相等
D．没有关系
【答案】C
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【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据直角的关系写出即可．
根据直角等于90写出关系式，然后根据同角的余角相等即可得出答案．
【详解】解：∵
90
ACB
=
，
∴
90
CBD
ABD
+
=
，
∵BD是高，
90
CDB
=
∴
90
C
CBD
+
=
，
∴
ABD
C
=
．
故选：C．
5．（24-25 八年级下·广东茂名·阶段练习）如图，已知方格纸中是4 个相同的小正方形，则1
2
+=（ ）
A．60
B．75
C．90
D．120
【答案】C
【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定
及直角三角形的性质是解题的关键．
由题意易得三角形全等，然后根据全等三角形的性质可进行求解．
【详解】解：如图所示，
ABC
和DEF
为直角三角形，且
,
,
90
AC
EF AB
FD
A
DFE
=
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
ABC
FDE
≌
，
1
EDF
=
，
∵
2
90
EDF
+
=
，
∴1
2
90
+=
，
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故选：C．
6．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在
ABC
中，
90
BAC
=
，
60
C
=
，
2
AC =
．以点A 为圆心，AC
长为半径作弧，交BC 于点D ；再分别以点C 和点D 为圆心，以大于1
2 DC 长为半径作弧，两弧相交于点E ，
作射线AE 交BC 于点F ，则BF 的长为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．2 3
2
−
【答案】B
【分析】本题考查了尺规作图—作垂线，直角三角形的性质，熟练掌握30 度所对直角边等于斜边的一半是
解题的关键．根据题意可知
30
B
=
，根据30 度所对直角边等于斜边的一半得出
2
BC
AC
=
，由作图可得
AF
BC
⊥
，即
90
AFC
=
，再根据30 度所对直角边等于斜边的一半得出
1
2
CF
AC
=
，最后由BF
BC
CF
=
−
即可得解．
【详解】解：∵在
ABC
中，
90
BAC
=
，
60
C
=
，
2
AC =
．
∴
90
90
60
30
B
C
=
−
=
−
=
，
∴
2
2 2
4
BC
AC
=
= =
；
由作图可得，AF
BC
⊥
，即
90
AFC
=
，
∴
90
90
60
30
FAC
C
=
−
=
−
=
，
∴
1
1
2
1
2
2
CF
AC
=
=
= ，
∴
4 1
3
BF
BC
CF
=
−
=
−=
．
故选：B．
7．（24-25 七年级下·湖北十堰·期末）
ABC
中，
90
C
=
，
30
B
A
=
-
，则
B
的度数为 ．
【答案】60
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，结合已知构造方程组解得即可．
本题考查了直角三角形的性质，解方程组，熟练掌握解方程组是解题的关键．
【详解】解：根据题意，
90
C
=
，
90
B
A
+=
，
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故
90
30
B
A
B
A
+ =
−=
，
两式相加，得2
120
B
=
，
解得
=60
B
，
故答案为：60．
8．
（24-25 七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，在
ABC
中，CD是高，CE 是角平分线，若
64
ACB
=
，
40
A
=
，
则
DCE
的度数为 ．
【答案】18
【分析】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的角平分线、直角三角形的两个锐角互余等知识．先根
据三角形的内角和求出
B
，再根据角平分线的定义求出
BCE
，根据直角三角形的性质求出
BCD
，进
而求解．
【详解】解：∵
64
ACB
=
，
40
A
=
，
∴
180
76
B
A
ACB
=
−−
=
，
∵CE 是
ACB
的平分线，
∴
1
32
2
BCE
ACB
=
=
∠
∠
，
∵CD是AB 边上的高，
∴
90
CDB
=
，
∴
90
14
BCD
B
=
−
=
，
∴
18
DCE
BCE
BCD
=
−
=
．
故答案为：18．
9．（24-25 七年级下·河北石家庄·期末）如图，在
ABC
中，CD是AB 边上的高，BE 是AC 边上的高，点F
是两条高线的交点，若
70
A
=
，
15
FBC
=
，则
FCB
= °
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【答案】55
【分析】本题主要考查三角形内角和定理、三角形的高等知识点，灵活运用三角形的内角和定理成为解题
的关键．先根据三角形内角和定理求得
,
BCE
ACD
，根据
BCF
BCE
ACD
=
−
求解即可．
【详解】解：∵CD是AB 边上的高，BE 是AC 边上的高，
90
ADC
BEC
=
=
，
70 ,
15
A
FBC
=
=
，
90
70
20 ,
90
15
75
ACD
BCE
=
−
=
=
−
=
，
75
20
55
BCF
BCE
ACD
=
−
=
−
=
，
故答案为：55．
10．（2025 七年级下·河南郑州·专题练习）生活情境·滑滑梯 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高
度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，且左边滑梯水平方向的长度AB 与右边滑梯的高度DE 相等，
若
32
CBA
=
，则
EFD
= ．
【答案】58/58 度
【分析】此题考查了全等三角形的应用，做题时要注意找已知条件，根据已知选择方法得出全等三角形是
解题关键．
由已知可根据SAS判定
ABC
DEF
≌
△
△
，再根据全等三角形的性质求解即可．
【详解】解：在
ABC
和DEF
中，
90
AB
DE
BAC
EDF
AC
DF
=
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
ABC
DEF
△
△
≌
，
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∵
32
CBA
=
∴
58
BCA
=
∴
58
EFD
BCA
=
=
．
故答案为：58．
11．（2025 八年级上·全国·专题练习）如图，在Rt
ABC
△
中，直角顶点A 在直线l 上，过点B 、C 分别作直
线l 的垂线，垂足分别为D 、
.
E 求证：
ABD
CAE
=
．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了余角的性质，直角三角形两锐角互余：根据
90
BAC
=
，可得
90
BAD
CAE
+
=
，
再利用垂直定义可得
90
CEA
BDA
=
=
，从而可得
90
ABD
BAD
+
=
，然后利用同角的余角相等即可
求证．
【详解】证明：
90
BAC
=
，
90
BAD
CAE
+
=
，
CE
l
BD
l
⊥
⊥
，
，
90
CEA
BDA
=
=
，
90
ABD
BAD
+
=
，
ABD
CAE
=
．
12．（24-25 七年级下·河南南阳·期末）如图，在
ABC
中，
45
B
=
，
65
C =
∠
，AD是
ABC
的边BC 上
的高．
(1)利用尺规作图作
BAC
的角平分线AE ；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)求
DAE
的度数．
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【答案】(1)见解析
(2)10
【分析】本题考查了作图—基本作图，以及三角形内角和定理的应用．
（1）（1）利用尺规根据要求作出图形即可；
（2）利用三角形内角和定理可得
70
BAC
=
，
25
DAC
=
，再结合角平分线的定义可得
1
35
2
CAE
BAC
=
=
，即可求解．
【详解】（1）解：如图，射线AE 即为所求；
（2）解：AD是
ABC
的边BC 上的高，
90
ADC
=
，
90
DAC
C
+
=
，
45
B
=
，
65
C =
∠
，
70
BAC
=
，
25
DAC
=
，
AE 平分
BAC
，
1
35
2
CAE
BAC
=
=
，
35
25
10
DAE
CAE
DAC
=
−
=
−
=
．
13．（24-25 七年级下·河南驻马店·阶段练习）如图1，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，D 是AB 上一点，且
A
BCD
=
．
(1)请说明CD
AB
⊥
；
(2)如图2，若AE 平分
BAC
，交CD于点F，交BC 于点E，
CEA
与
CFE
相等吗？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
CEA
CFE
=
，理由见解析
【分析】本题考查了垂直的定义、对顶角相等、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握三角形的内角和定
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理是解题关键．
（1）先求出
90
ACD
BCD
+
=
，再根据等量代换可得
90
ACD
A
+=
，从而可得
90
ADC
=
，由此即
可得；
（2）先根据角平分线的定义可得
BAE
CAE
=
，再求出
CEA
AFD
=
，然后根据对顶角相等可得
CFE
AFD
=
，由此即可得．
【详解】（1）解：∵
90
ACB
=
，
∴
90
ACD
BCD
+
=
，
∵
A
BCD
=
，
∴
90
ACD
A
+=
，
∴
(
)
180
90
ADC
ACD
A
=
−
+
=
，
∴CD
AB
⊥
．
（2）解：
CEA
CFE
=
，理由如下：
∵AE 平分
BAC
，
∴
BAE
CAE
=
，
∵
90
ACB
=
，
∴
90
CAE
CEA
+
=
，
由（1）已得：CD
AB
⊥
，
∴
90
BAE
AFD
+
=
，
∴
CEA
AFD
=
，
由对顶角相等得：
CFE
AFD
=
，
∴
CEA
CFE
=
．
14．（24-25 七年级下·辽宁大连·期末）如图，ABC
中，BD
AC
⊥
，垂足为D，点E 在BC 边上，连接DE ，
且
90
A
BDE
+
=
(1)求证：AB
DE
∥
；
在括号内填写相应的依据．
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证明：BD
AC
⊥
，垂足为D，
90
ADB
=
（___________），
在
ABD
△
中，
90
A
ABD
+
=
（___________），
90
A
BDE
+
=
，
ABD
BDE
=
（___________），
AB
DE
∥
（___________）；
(2)若
110
CED
=
，
50
CBD
=
，求
A
，
C
的度数．
【答案】(1)垂直的定义，直角三角形的两个锐角互余，同角的余角相等，内错角相等，两直线平行
(2)
30
A
=
，
40
C
=
【分析】（1）由垂直的定义，直角三角形的两个锐角互余，同角的余角相等，内错角相等，两直线平行求
证即可得到答案；
（2）由平行线的性质得到
110
ABC
CED
=
=
，数形结合即可得到
ABD
，再由
90
A
BDE
+
=
代值
求解即可得到
A
，在
ABC
中，由三角形内角和定理代值求解即可得到答案．
【详解】（1）证明：BD
AC
⊥
，垂足为D，
90
ADB
=
（垂直的定义），
在
ABD
△
中，
90
+
=
A
ABD
（直角三角形的两个锐角互余），
90
A
BDE
+
=
，
ABD
BDE
=
（同角的余角相等），
AB
DE
∥
（内错角相等，两直线平行）；
（2）解：AB
DE
∥
，
110
CED
=
，
110
ABC
CED
=
=
，
50
CBD
=
，
110
50
60
ABD
ABC
CBD
=
−
=
−
=
，
90
+
=
A
ABD
，
90
90
60
30
A
ABD
=
−
=
−
=
，
在
ABC
中，
180
A
ABC
C
+
+
=
，
180
180
30
110
40
C
A
ABC
=
−−
=
−
−
=
．
15．（24-25 七年级下·北京·期末）乐乐与爸爸、妈妈在操场上荡秋千．乐乐坐在秋千上的起始位置是A 处，
起始位置OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面 1.2 m 高的B 处接住她，妈妈用力一推，
爸爸在C 处接住她．若妈妈与爸爸到秋千起始位置OA的水平距离
,
BF CG 分别为2m 和2.4m
90
BOC
=
，
．
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(1) COG
与OBF
全等吗？ 请说明理由；
(2)爸爸在距离地面多高的地方接住乐乐？
【答案】(1) OBF
COG
≌
，见解析
(2)1.6m
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，证明OBF
COG
≌
是解答本题的关键．
（1）由直角三角形的性质得出
COG
OBF
=
，根据AAS可证明OBF
COG
≌
；
（2）由全等三角形的性质得出CG
OF
OG
BF
=
=
，
，求出FG 的长则可得出答案；
【详解】（1）解：OBF
COG
≌
．理由如下：
90
BOC
=
，
90
COG
BOF
BOF
OBF
+
=
+
=
，
COG
OBF
=
；
90
CFO
BFO
OB
OC
=
=
=
，
，
(AAS)
OBF
COG
≌
；
（2）解：∵OBF
COG
≌
，
CG
OF
OG
BF
=
=
，
；
∵
,
BF CG 分别为2m和2.4m，
2.4m
2m
CG
OG
=
=
，
，
2.4
2
0.4(m)
GF
OF
OG
=
−
=
−
=
；
∵妈妈在距地面 1.2m高的B 处，且1.2
0.4
1.6(m)
+
=
，
∴爸爸在距离地面1.6m高的地方接住乐乐．
16．（24-25 七年级下·山东济南·期中）已知
ABC
中，
90
ACB
=
，CD为AB 边上的高，BE 平分
ABC
，
分别交CD
AC
、
于点F、E．
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(1)试说明
A
BCD
=
；
(2)若
30
A
=
，试着求出
CEF
的度数；
(3)猜想
CEF
与
CFE
的数量关系：
CEF
______
CFE
（填“>”、“<”或“=”）．
【答案】(1)见解析
(2)
60
CEF
=
(3)=
【分析】
（1）
90
ACB
=
，CD为AB 边上的高，得
90
A
ABC
+
=
，
90
BCD
CBD
+
=
，即得
A
BCD
=
；
（2）根据
30
A
=
，
60
ABC
=
，BE 平分
ABC
，可得
60
CEF
A
ABE
= +
=
；
（3）根据
90
CBE
CEB
+
=
.
90
FBD
BFD
+
=
.
CBE
FBD
=
，
BFD
CFE
=
，即得
CFE
CEF
=
．
【详解】（1）解：∵
ABC
中，
90
ACB
=
，
∴
90
A
ABC
+
=
，
∵CD为AB 边上的高，
∴CD
AB
⊥
，
∴
=90
BDC
，
∴
90
BCD
CBD
+
=
，
∴
A
BCD
=
；
（2）解：∵
30
A
=
，
90
ACB
=
，
∴
90
60
ABC
A
=
−=
，
∵BE 平分
ABC
，
∴
1
30
2
ABE
CBE
ABC
=
=
=
，
∴
60
CEF
A
ABE
= +
=
；
（3）解：∵
90
ACB
=
，
∴
90
CBE
CEB
+
=
.
∵CD
AB
⊥
，
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∴
90
FBD
BFD
+
=
.
∵BE 平分
ABC
，
∴
CBE
FBD
=
，
∴
CEB
BFD
=
.
∵
BFD
CFE
=
，
∴
CEB
CFE
=
，
即
CFE
CEF
=
．
故答案为：=．
17．（24-25 七年级下·北京·期中）已知：如图，直线AB
CD
∥
，直线EF 与
、
AB
CD分别交于E、F 两点．过
F 作射线FG 交AB 于点G，且
EFG
EGF
=
，射线FG 上有一动点P，过P 作PQ
FG
⊥
，交直线EF 于点
Q，作
PQE
的角平分线，交射线FG 于点M．
(1)如图1，求证：FG 平分
EFD
．
(2)如图2，当
100
BEF
=
时，求
PMQ
的度数．
(3)当点P 在运动过程中，试探究
PMQ
与
BEF
的数量关系，请直接写出你的结论．
【答案】(1)见解析
(2)65
(3)
4
360
BEF
PMQ
+
=
或4 PMQ
BEF
=
，理由见解析
【分析】本题主要考查了平行线的性质定理、角平分线、直角三角形两锐角互余等知识点，熟练运用平行
线的性质并进行等量代换是解题的关键．
（1）根据平行线的性质得出
DFG
EGF
=
，再结合
EFG
EGF
=
以及角平分线的定义即可解答；
（2）根据平行线的性质及直角三角形的性质求解即可；
（3）根据平行线的性质和角平分线的定义分点Q 在线段EF 的延长线上和点Q 在线段EF 上两种情况分别
根据平行线的性质及直角三角形的性质求解即可．
【详解】（1）证明：如图1：∵AB
CD
∥
，
∴
DFG
EGF
=
，
∵
EFG
EGF
=
，
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∴
EFG
DFG
=
，即FG 平分
EFD
．
（2）解：如图2：∵AB
CD
∥
，
100
BEF
=
，
∴
180
80
EFD
BEF
=
−
=
，
∵FG 平分
EFD
，
∴
1
40
2
EFG
EFG
=
=
，
∵PQ
FG
⊥
，
∴
90
50
FQP
EFG
=
−
=
，
∵QM 是
PQE
的角平分线，
∴
1
25
2
MQP
PQF
=
=
，
∵PQ
FG
⊥
，
∴
90
65
QMP
MQP
=
−
=
．
（3）解：
4
360
BEF
PMQ
+
=
或4 PMQ
BEF
=
，理由如下：
如图2：当点Q 在线段EF 的延长线上时，
∵AB
CD
∥
，，
∴
180
EFD
BEF
=
−
，
∵FG 平分
EFD
，
∴
1
1
90
2
2
EFG
EFG
BEF
=
=
−
，
∵PQ
FG
⊥
，
∴
2
90
1
F
FQP
E
BE
FG
=
−
=
，
∵QM 是
PQE
的角平分线，
∴
1
4
1
2
MQP
P
F
QF
BE
=
=
，
∵PQ
FG
⊥
，
∴
90
1
0
4
9
QMP
MQ
F
P
BE
=
−
−
=
，即
4
360
BEF
PMQ
+
=
；
如图，当点Q 在线段EF 上，
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∵AB
CD
∥
，
∴
DFG
EGF
=
，
∵PQ
FG
⊥
，
∴
360
90
270
BEF
EQP
EGF
+
+
=
−
=
，
∵QM 平分
PQE
，
∴
1
2
EQM
EQP
EFG
FMQ
DFG
FMQ
=
=
+
=
+
，
即
2
2
EQP
DFG
FMQ
=
+
，
∴
2
2
3
2
270
BEF
DFG
FMQ
DFG
BEF
DFG
FMQ
+
+
+
=
+
+
=
，
又∵AB
CD
∥
，
∴
2
180
BEF
DFG
+
=
，
∴2
180
DFG
BEF
=
−
，
∴
(
)
3
3
180
2
DFG
BEF
=
−
，
∴
(
)
3 180
2
270
2
BEF
BEF
FMQ
+
−
+
=
，整理得：4 FMQ
BEF
=
，
∴4 PMQ
BEF
=
．
综上，
PMQ
与
BEF
的数量关系为
4
360
BEF
PMQ
+
=
或4 PMQ
BEF
=
．
