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学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 27.2 反比例函数的图象和性质 （第2 课时 反比例函数的图象和性质的综合应用） （导学案） （1）掌握反比例函数图像的两种对称性；熟练掌握跨象限、同象限函数值大小比较方法；理解并掌握k的几 何意义，能利用|k|求图形面积、由面积求k值；掌握正反比例函数交点关于原点对称的性质，能解决基础综 合题型. （2）通过图像观察、推理推导、例题探究，经历性质综合应用的过程，提升数形结合能力、几何推理能力 和综合解题能力. （3）体会反比例函数图像的对称美、数形结合的逻辑性，培养严谨、全面的数学思维，增强综合解题的信 心. 重点：跨象限函数值大小比较；反比例函数中k的几何意义及应用；函数对称性的简单运用. 难点：灵活区分同象限、跨象限函数值比较方法；理解任意点面积恒等于|k|的原理；含参数、含面积的综 合题型解题思路. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 复习旧知、类比导入 复习回顾：反比例函数k>0、k<0的图像象限与增减性. 提问设疑：① 若两个点不在同一个象限，还能用增减性比大小吗？ ② 双曲线上任意一点向坐标轴作垂线，围成的图形面积有什么规律？ 【学法指导】 新知自研：自研课本第70-71页的内容 【学法指导】自研课本P70-71 页内容 （一）反比例函数图象性质应用 观察图像：双曲线绕原点旋转180°与自身重合→关于原点中心对称； 折叠观察：沿直线y=x、y=-x折叠重合→两条对称轴轴对称； 推论：正比例函数与反比例函数若有两个交点，则两个交点关于原点对称. 问题1：已知反比例函数的图象经过点A（一2，4). （1）这个函数的图象位于哪些象限？随的增大如何变化？ (2）点B(1，-8)，C(2 1 2号，-3 1 5)，D(2，4)是否在这个函数的图象上? 追问1.已知反比例函数图象上的点，怎样求函数解析式？ 追问2.反比例函数图象的位置由什么确定的，如何确定的？ 追问3.如何判断一点是否在反比例函数图象上？ （二）函数值大小比较综合方法 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 问题2.如图中的曲线是反比例函数y= m−5 x 的图象的一支，根据图象，回答下列问题： （1）图象的另一支位于哪个象限？常数m的取值范围是什么？ (2)在这个函数图象的某一支上任取点A(x1，y1）和点B(x2，y2）.如果x1>x2，那么y1和y2有怎样的大小关系? 追问1.已知反比例函数图象的位置，怎样判断函数解析式中k的符号？ 追问2.反比例函数图象的增减性？ （三）比例系数k 的几何意义 设点P(x,y)是双曲线y= k x(k≠0)上任意一点： 1. 过P作x、y轴垂线，围成矩形面积：S=|k|； 2. 围成直角三角形面积：S= 1 2|k|； 3. 核心结论：无论点在双曲线上哪个位置，面积恒为定值. 问题3:如图，在平面直角坐标系中，点 ( ) 1,6 A 在反比例函数 6 y x = 的图象上，将点A先向右平移2个单位长度， 再向下平移a个单位长度后得到点B，点B恰好落在反比例函数 6 y x = 的图象上． (1)求点B的坐标． (2)连接BO并延长，交反比例函数的图象于点C，求ABC 的面积． 【自研自探】 自研课本P70-71 页内容 典型例题 例1.在反比例函数 5 k y x − = 图象的每一条曲线上，y随x的增大而减小． （1）函数经过哪些象限？ （2）求k 的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 例2.双曲线 12 y x = 过矩形ABCD的A、C两个顶点，AB y ∥ 轴，已知B点的坐标为( ) 2,1.5 ，求点D的坐标． 第二环节 合作探究 1.讨论反比例函数图象性质的应用. 2.讨论函数值大小比较综合方法 3.讨论比例系数k 的几何意义. 拓展提升： 1.综合运用 如图，直线 2 2 y x = + 与x轴交于C点，与y轴交于B点，在直线上取点 ( ) 2, A a ，过点A作反比例 函数 ( ) 0 k y x x = 的图象． (1)求a的值及反比例函数的表达式； (2)点P为反比例函数 ( ) 0 k y x x = 图象上的一点，若 2 POB AOB S S = △ △ ，求点P的坐标． (3)在x轴是否存在点Q，使得 BOA OAQ = ，若存在请求出点Q的坐标，若不存在请说明理由． 课本P71课堂练习. 1．（2025•扬州）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y= 𝑘 𝑥的图象与一次函数y＝ax+b 的图象交于点 A（﹣1，6），B（m，﹣2）． （1）求反比例函数、一次函数的表达式； （2）求△OAB 的面积． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2．（2025•山西）如图，在平面直角坐标系中，直线AB 分别与x 轴，y 轴交于点A，B，与反比例函数y= 𝑘 𝑥 （x＞0）的图象交于点C．已知点A 的坐标为（﹣2，0），点C 的坐标为（1，6），点D 在反比例函数 y= 𝑘 𝑥（x＞0）的图象上，纵坐标为2． （1）求反比例函数的表达式，并直接写出点B 的坐标； （2）连接BD，OD，请直接写出四边形ABDO 的面积． 3．(2026 年甘肃省武威市)如图，一次函数 3 y x b = + 的图象与反比例函数 k y x = （ 0 k ）的图象交于点 ( ) 2,3 A ，与x 轴交于点C ．在反比例函数图象上有一点 ( ) 3, B m − ，过点B 作BD x ⊥ 轴于点D ，连接 AD ，BC ． (1)求一次函数 3 y x b = + 与反比例函数 k y x = （ 0 k ）的表达式； (2)求四边形BDAC 的面积． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 4．（2025•山西）如图，在平面直角坐标系中，直线AB 分别与x 轴，y 轴交于点A，B，与反比例函数y= 𝑘 𝑥 （x＞0）的图象交于点C．已知点A 的坐标为（﹣2，0），点C 的坐标为（1，6），点D 在反比例函数y= 𝑘 𝑥 （x＞0）的图象上，纵坐标为2． （1）求反比例函数的表达式，并直接写出点B 的坐标； （2）连接BD，OD，请直接写出四边形ABDO 的面积． 知识技能:本节课掌握了反比例函数图像的 ；掌握 的结论；熟练掌握同 象限 的函数值比较方法；理解并熟记 ，能快速求解双曲线对应矩形、三角 形面积，能解决 基础题型. 思想方法:（1）数形结合思想：依托图像判断 ；（2）分类讨论思想：对比 大小时分同 分类讨论；（3）模型思想：建立 的固定模型，实现快速解题；（4）对称转 化思想：利用 计算. 易错提醒:（1）跨象限 ；（2）求面积忘记加绝对值，出现 ；已 知 ；（3）忽略“ ”，误以为 ；（4）多个点比 ，思 维 错误.
