文档内容
猜想 06 反比例函数（易错必刷 30 题 6 种题型专项训练）
一．反比例函数的性质 二．反比例函数系数k的几何意义
三．反比例函数图象上点的坐标特征 四．待定系数法求反比例函数解析式
五．反比例函数与一次函数的交点问 六．反比例函数的应用
题
一．反比例函数的性质（共2小题）
1．（2023•安阳二模）下列函数中，其图象一定不经过第三象限的是（ ）
A．y＝x2+2x﹣3 B．y＝2x C．y＝﹣x+2 D．
【分析】分别根据正比例函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质、一次函数的性质进行解答．
【解答】解：A、∵y＝x2+2x﹣3开口向上，对称轴是直线x＝﹣1，且函数图象过（0，﹣3）点，
∴该函数图象过一、二、三、四象限，故本选项不合题意；
B、∵y＝2x的系数2＞0，
∴该函数图象过一、三象限，故本选项不合题意；
C、在y＝﹣x+2中，k＝﹣1＜0，b＝2＞0，
∴该函数图象过一、二、四象限，故本选项符合题意；
D、∵y＝ 中，3＞0，
∴函数图象过一、三象限，故本选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了正比例函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的图象与性质、一次函数的性质，
关键是根据系数的符号判断图象的位置．
2．（2023•和平区模拟）已知反比例函数y＝ 经过平移后可以得到函数y＝ ﹣1，关于新函数y＝ ﹣
1，下列结论正确的是（ ）
A．当x＞0时，y随x的增大而增大
B．该函数的图象与y轴有交点C．该函数图象与x轴的交点为（1，0）
D．当0＜x≤ 时，y的取值范围是0＜y≤1
【分析】由反比例函数的性质可知，反比例函数 y＝ 当x＞0或x＜0时，y随x的增大而减小，且关于
（0，0）对称；经过平移后得到y＝ ﹣1，关于（0，﹣1）对称，增减性不变．
【解答】解：A．当x＞0时，y随x的增大而减小，本选项错误，不符合题意；
B．该函数的图象与y轴无限接近，但是没有交点，故本选项错误，不符合题意；
C．该函数图象与x轴的交点为（1，0），故本选项正确，符合题意；
D．当0＜x≤ 时，y的取值范围是y≥1，故本选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】考查了反比例函数图象上点的坐标特征，函数图象的平移；解题的关键是掌握反比例函数图象
与系数的关系．
二．反比例函数系数k的几何意义（共7小题）
3．（2023秋•来宾期中）如图所示，过反比例函数y＝ （k＞0）在第一象限内的图象上任意两点A，B，
分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，连接OA，OB，设△AOC与△BOD的面积为S ，S ，那么它们
1 2
的大小关系是（ ）
A．S ＞S B．S ＝S C．S ＜S D．不能确定
1 2 1 2 1 2
【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S
是个定值，即S＝ |k|．
【解答】解：依题意有：Rt AOC和Rt BOD的面积是个定值 |k|．
所以S 1 ＝S 2 ． △ △
故选：B．【点评】主要考查了反比例函数 中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐
标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S＝ |k|．
4．（2023•西安三模）如图，菱形OABC的边OA在x轴正半轴上，顶点B、C分别在反比例函数y＝
与y＝ 的图象上，若四边形OABC的面积为4 ，则k＝ ﹣ 2 ．
【分析】连接OB，设直线BC与y轴交于点P，根据菱形的性质可得△OBC的面积为2 ，结合反比
例函数k的几何意义可得△COP和△BOP的面积，利用S ＝S +S 建立方程，求解即可．
BCO POB COP
【解答】解：如图，连接OB，设直线BC与y轴交于点P，△ △ △
∵四边形OABC是菱形，且面积为4 ，
∴△OBC的面积为2 ，
∵BC∥x轴，
∴BC⊥y轴，
∵B、C分别在反比例函数y＝ 与y＝ 的图象上，
∴S ＝ ，S ＝ ，
COP BOP
△ △∴S ＝S +S ＝ + ＝2 ．
BCO POB COP
△ △ △
解得k＝﹣2 ，（正值舍去），
故答案为：﹣2 ．
【点评】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即在反比例函数y＝ 的图象上任意一点向坐标
轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 |k|，且保持不变．也考查了三角形的
面积．
5．（2022秋•二道区校级期末）如图，已知矩形ABCD的对角线BD中点E与点B都经过反比例函数
的图象，且S矩形ABCD ＝8，则k的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】过点E作EM⊥AD于点M，过点E作EN⊥AB于点N，设B（a，b），则AB＝a，根据S矩形
＝8可得AD＝ ，由点E为矩形ABCD对角线BD的中点可得ME＝ ＝ ，EN＝ ，以
ABCD
此得出E ，最后根据反比例函数系数k的几何意义结合图象经过第一象限即可求解．
【解答】解：过点E作EM⊥AD于点M，过点E作EN⊥AB于点N，设B（a，b），
∴AB＝a，
∵S矩形ABCD ＝8，
∴AD＝ ，
∵点E为矩形ABCD对角线BD的中点，EM⊥AD，EN⊥AB，
∴ME∥AB，EN∥AD，
∴ME＝ ＝ ，EN＝ ，
∴E ，
∵点E与点B都经过反比例函数 的图象，
∴ ，
∴ab＝4，
由图可知，反比例函数 的图象经过第一象限，
∴k＝ab＝4．
故选：B．
【点评】本题主要考查矩形的性质、反比例函数中k的几何意义，熟练掌握在反比例函数 图象中任
取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|是解题关键．
6．（2022秋•九龙坡区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 ABCD与y轴分别交于E、F
两点，对角线BD在x轴上，反比例函数 的图象过点A并交AD于点G，连接DF．若
BE：AE＝1：2，AG：GD＝3：2，且△FCD的面积为 ，则k的值是（ ）A． B．3 C． D．5
【分析】过点作AM⊥x轴于点M，GN⊥x轴于点N，设点A（a，b），则AM＝b，OM＝a，可得
△DGN∽△DAM，则OB：OM＝BE：AE，再由BE：AE＝1：2，AG：GD＝3：2，可得到OB＝ a，
GN＝ b，从而得到 ON＝ a，进而得到 MN＝ ，继而DN＝a，再由平行四边形的性质，可得
△BOF∽△DNG，从而得到OF＝ b，再由S ＝S ﹣S ，即可求解．
FCD BCD BDF
【解答】解：如图，过点A作AM⊥x轴于点M △，GN⊥△ x轴于点△ N，
设点A（a，b），则AM＝b，OM＝a，
∴AM∥NG，AM∥y轴，
∴△DGN∽△DAM，OB：OM＝BE：AE，
∴ ＝ ＝ ，
∵BE：AE＝1：2，AG：GD＝3：2，∴OB＝ OM＝ a， ＝ ＝ ， ＝ ，
∴GN＝ b，
∵点A、G在反比例函数y＝ （k≠0）的图象上，
∴k＝ab＝ b•ON，
∴ON＝ a，
∴MN＝ON﹣OM＝ a，
∴DN＝ × a，
∴BD＝OB+ON+DN＝4a，
∴∠OBF＝∠GDN，S ＝S ，
ABD BCD
∵∠BOF＝∠GND＝9 △ 0°， △
∴△BOF∽△DNG，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴OF＝ b，
∵S ＝S ﹣S ，
FCD BCD BDF
△ △ △
∴ b×4a﹣ × b×4a＝ ，
解得ab＝3，
∴k＝ab＝3．
故选：B．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，反比例函数中k的几何意义，平行四边形的性质，
熟练掌握相关知识点是解题的关键．
7．（2023•宿城区一模）如图，点A是反比例函数y＝ （x＜0）的图象上的一点，点B在x轴的负半轴上
且AO＝AB，若△ABO的面积为4，则k的值为 ﹣ 4 ．【分析】过点A作AC⊥x轴，设点A（x，y），可得出xy＝k，再根据三角形的面积公式即可得出答案．
【解答】解：过点A作AC⊥x轴，设点A（x，y），
∵OA＝AB，
∴OC＝BC，
∴点B（2x，0），
∵顶点A在反比例函数y＝ （x＜0）的图象上，
∴xy＝k，
∵△OAB的面积为4，
∴ OB•AC＝4，
即 ×2|x|×y＝4，
∴xy＝﹣4，
即k＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义以及等腰三角形的性质，反比例函数 y＝ 图象上的
点（x，y）一定满足xy＝k．
8．（2023秋•高新区校级期中）如图，已知点A，点C在反比例函数y＝ （k＞0，x＞0），AB⊥x轴，若
CD＝3OD，则△BDC与△ADO的面积比为 1 ： 5 ．【分析】过C作CE⊥x轴于E，依据AB⊥x轴于点B，即可得出S
AOD
＝S四边形BDCE ，设△BDO的面积
为S，即可得到△BDC的面积为3S，△BOC的面积为4S，进而得△到四边形BDCE的面积为12S+3S＝
15S，即△AOD的面积为15S，即可得出△BDC与△ADO的面积比．
【解答】解：如图所示，过C作CE⊥x轴于E，
∵AB⊥x轴于点B，
∴S ＝S ，
AOB COE
∴S △
AOD
＝S △
四边形BDCE
，
设△△ BDO的面积为S，
∵CD＝3OD，
∴△BDC的面积为3S，△BOC的面积为4S，
∵BD∥CE，
∴BE＝3OB，
∴△BCE的面积为12S，
∴四边形BDCE的面积为12S+3S＝15S，
即△AOD的面积为15S，
∴△BDC与△ADO的面积比为3：15＝1：5，
故答案为：1：5．
【点评】此题考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解本题的关键．
9．（2023•惠东县校级三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，第一象限内的点P（x，y）与点A（2，2）
在同一个反比例函数的图象上，PC⊥y轴于点C，PD⊥x轴于点D，那么矩形ODPC的面积等于 4．
【分析】根据点A的坐标可得出k的值，进而得出矩形ODPC的面积．
【解答】解：设点A（2，2）在反比例函数y＝ 的图象上，可得： ，
解得：k＝4，
因为第一象限内的点P（x，y）与点A（2，2）在同一个反比例函数的图象上，
所以矩形ODPC的面积等于4，
故答案为：4
【点评】此题考查反比例函数系数k的几何意义，关键是根据点A的坐标可得出k的值．
三．反比例函数图象上点的坐标特征（共3小题）
10．（2023•南开区一模）点A（x ，y ），B（x ，y ），C（x ，y ）在反比例函数y＝ 的图象上，若x
1 1 2 2 3 3 1
＜x ＜0＜x ，则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
2 3 1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 2 3 1 3 2 1 2 1 3
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x ＜x ＜0＜x ，判断出三点所
1 2 3
在的象限，再根据函数的增减性即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y＝ 中，k＝1＞0，
∴此函数图象的两个分支在一、三象限，
∵x ＜x ＜0＜x ，
1 2 3
∴A、B在第三象限，点C在第一象限，
∴y ＜0，y ＜0，y ＞0，
1 2 3
∵在第三象限y随x的增大而减小，
∴y ＞y ，
1 2
∴y ＜y ＜y ．
2 1 3
故选：D．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出函数图象所在的象限及三点所在的象限是解答此题的关键．
11．（2023•陕西）若点A（﹣1，2），B（1，m），C（4，n）都在同一个反比例函数的图象上，则m，n
的大小关系是m ＜ n．（填“＞”“＝”或“＜”）
【分析】依据题意，先由A求出解析式，再把所给点的横纵坐标代入反比例函数的解析式，求出 mn的
值，比较大小即可．
【解答】解：设反比例函数为y＝ ，
又A（﹣1，2）在反比例函数图象上，
∴k＝（﹣1）×2＝﹣2．
∴反比例函数为y＝﹣ ．
又点B（1，m）在反比例函数y＝﹣ 的图象上，
∴m＝﹣2．
∵C（4，n）都在反比例函数y＝﹣ 图象上，
∴n＝﹣ ，
∴m＜n．
故答案为：＜．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积等于
比例系数．
12．（2023春•巴东县期中）在平面直角坐标系xOy中，已知A（4，0），B（0，2），四边形ABCD为正
方形，双曲线y＝ （k≠0）经过边BC的中点E．
（1）求k的值；
（2）求（1）中双曲线与边AD的交点F的坐标．【分析】（1）依据题意，过点E作CH⊥y轴，从而可得△BCH≌△ABO，从而可以求出点C的坐标，
再利用中点坐标公式求出点E的坐标，最后将E的坐标代入y＝ ，即可得解．
（2）由题意，首先求出直线AB的解析式，然后根据AD⊥AB，进而求出AD的解析式，最后与（1）中
所求反比例函数组成方程组即可得解．
【解答】（1）解：依据题意，过点E作CH⊥y轴，垂足为H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝AB，∠CBA＝90°．
∴∠CBH+∠ABO＝90°．
∵∠BCH+∠CBH＝90°，
∴∠ABO＝∠BCH．
又∠CHB＝∠BOA＝90°，
∴△BCH≌△ABO．
∴CH＝B0，BH＝AO．
∵A（4，0），B（0，2），
∴CH＝BO＝2，BH＝AO＝4．
∴C（2，6）．
又B（0，2），
∴E（1，4）．
又点E在双曲线y＝ 上，
∴k＝4．
（2）∵A（4，0），B（0，2），
∴直线AB为：y＝﹣ x+2．
∵AB⊥AD，∴可设直线AD为y＝2x+m．
又A在直线AD上，
∴2×4+m＝0．
∴m＝﹣8．
∴直线AD为y＝2x﹣8．
将y＝2x﹣8与y＝ 联列方程组得，
∴ 或 ．
∵F在第一象限内，
∴F（2+ ，﹣4+2 ）．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象与性质的应用，解题时要能熟练掌握并理解．
四．待定系数法求反比例函数解析式（共5小题）
13．（2023•双柏县模拟）反比例函数y＝ 经过点（﹣1，﹣4），则反比例函数的解析式为（ ）
A．y＝﹣4x B．y＝ C．y＝﹣ D．y＝4x
【分析】依据题意，将点（﹣1，﹣4）代入反比例函数解析式可以求得k的值，进而可以得解．
【解答】解：由题意，将点（﹣1，﹣4）代入反比例函数解析式y＝ ，
∴﹣4＝ ．
∴k＝4．
∴反比例函数的解析式为y＝ ．
故选：B．
【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，解题时需要熟练掌握并理解．
14．（2023•兴隆台区二模）如图，正方形ABCD的边长为10，点A的坐标为（﹣8，0），点B在y轴上，
CE⊥y轴，若反比例函数 的图象过点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点F在反比例函数图象上，当△ECF面积为12时，求点F坐标．【分析】（1）依据题意，先求出OA，再根据勾股定理得出OB＝6，再由△ABO≌△BCE，进而求出点
C的坐标，即可得出结论；
（2）依据题意，由CE＝OB＝6，再结合△ECF面积为12，从而F到CE的距离为4，又C的纵坐标为
2，故F的纵坐标为6或﹣2，进而代入反比例函数解析式可以得解．
【解答】解：（1））∵A（﹣8，0），
∴OA＝8．
在Rt AOB中，AB＝10，根据勾股定理得，OB＝ ＝ ＝6，
∴B（△ 0，﹣6）．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°．
∴∠ABO+∠CBE＝90°．
∵CE⊥y轴，
∴∠BEC＝90°．
∴∠CBE+∠BCE＝90°．
∴∠ABO＝∠BCE．
∴△ABO≌△BCE（AAS）．
∴CE＝OB＝6，BE＝OA＝8．
∴OE＝BE﹣OB＝2．
∴C（6，2）．
∵反比例函数数y＝（k≠0）的图象过点C（6，2），
∴k＝6×2＝12．
∴所求反比例函数的解析式为y＝ ．（2）由题意，∵CE＝OB＝6，S ＝ ＝12，
ECF
∴h＝4，即从而F到CE的距离为△ 4．
又C的纵坐标为2，
∴F的纵坐标为6或﹣2．
又F在反比例函数y＝ 上，
∴F的横坐标为2或﹣6．
∴F（2，6）或（﹣6，﹣2）．
【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，解题时需要熟练掌握并理解是关键．
15．（2023•兴宁市校级一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，B，C两点的坐
标分别为（﹣4，0），（﹣1，0）．点D的纵坐标为4，CD边与y轴交于点F．反比例函数y＝ （x＞
0）的图象经过点D，反比例函数y＝ （x＜0）的图象经过点A，且与AB交于点E．
（1）求反比例函数y＝ （x＜0）的表达式；
（2）连接EF，猜想四边形AEFD是什么特殊四边形，并加以证明．
【分析】（1）由题意可得，D（2，4）．由四边形ABCD是平行四边形可知，AD∥BC，AD＝BC，所
以AD＝3，A，D两点的纵坐标相同，点A的横坐标比点D的横坐标少3，则A（﹣1，4），将点A的
坐标代入反比例函数解析式可得出结论；
（2）四边形AEFD是平行四边形．由点A，B的坐标可得，直线AB的解析式为：y＝ x+ ．联立反比例函数和直线AB的表达式可得，E（﹣3， ）．由C（﹣1，0），D（2，4），可得直线CD的解析
式为：y＝ x+ ，所以F（0， ），E（﹣3， ），所以EF∥x轴∥AD∥x轴，EF＝AD＝3，由平行
四边形的判定可知，四边形AEFD是平行四边形．
【解答】解：（1）∵点D的纵坐标为4，点D在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，
∴当y＝4时， ＝4，解得x＝2，
∴D（2，4）．
∵B（﹣4，0），C（﹣1，0）．
∴BC＝3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴AD＝3，A，D两点的纵坐标相同，点A的横坐标比点D的横坐标少3，
∴A（﹣1，4），
∵反比例函数y＝ （x＜0）经过点A（﹣1，4）；
∴k＝﹣4，
∴反比例函数y＝ （x＜0）的表达式为：y＝﹣ （x＜0）．
（2）四边形AEFD是平行四边形．证明如下：
设直线AB的解析式为：y＝mx+b，
∵A（﹣1，4），B（﹣4，0），
∴ ，解得 ．
∴直线AB的解析式为：y＝ x+ ．
令 x+ ＝﹣ ，解得x＝﹣1或x＝﹣3，
∴E（﹣3， ）．∵C（﹣1，0），D（2，4），
∴直线CD的解析式为：y＝ x+ ，
令x＝0，得y＝ ，
∴F（0， ），
∵E（﹣3， ），
∴EF∥x轴，EF＝3，
∵AD∥x轴，AD＝3，
∴EF∥AD，EF＝AD，
∴四边形AEFD是平行四边形．
【点评】本题主要考查反比例函数上点的坐标特点，待定系数法求函数表达式，平行四边形的性质与判
定等相关知识，熟知相关知识是解题关键．
16．（2022•易县三模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直x轴于点B，反
比例函数 的图象经过AO的中点C，与边AB相交于点D，若D的坐标为（4，m），AD
＝3．
（1）反比例函数 的解析式是 y ＝ ；
（2）设点E是线段CD上的动点，过点E且平行y轴的直线与反比例函数的图象交于点F，则△OEF面
积的最大值是 ．
【分析】（1）先确定出点A坐标，进而得出点C坐标，将点C，D坐标代入反比例函数中即可得出结
论；（2）由m＝1，求出点C，D坐标，利用待定系数法求出经过C、D两点的直线的解析式，设出点E坐
标，进而表示出点F坐标，即可建立面积与n的函数关系式即可得出结论．
【解答】解：（1）∵AD＝3，D（4，m），
∴A（4，m+3），
∵点C是OA的中点，
∴C（2， ），
∵点C，D在双曲线y＝ 上，
∴ ，
∴ ，
∴反比例函数解析式为y＝ ；
故答案为：y＝ ；
（2）∵m＝1，
∴C（2，2），D（4，1），
设直线CD的解析式为y＝ax+b，
∴ ，
∴ ，
∴直线CD的解析式为y＝﹣ x+3，
如图，设点E（n，﹣ n+3），∵C（2，2），D（4，1），
∴2＜n＜4，
∵EF∥y轴交双曲线y＝ 于F，
∴F（n， ），
∴EF＝﹣ n+3﹣ ，
∴S ＝ （﹣ n+3﹣ ）×n＝ （﹣ n2+3n﹣4）＝﹣ （n﹣3）2+ ，
OEF
∵2 △＜n＜3，
∴n＝3时，S 最大，最大值为 ，
OEF
△
故答案为： ．
【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，线段的中点坐标公式，解本题的关键是建
立S 与n的函数关系式．
OEF
△
17．（2022•西宁）如图，正比例函数y＝4x与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于点A（a，4），点B
在反比例函数图象上，连接AB，过点B作BC⊥x轴于点C（2，0）．
（1）求反比例函数解析式；
（2）点D在第一象限，且以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D的坐标．【分析】（1）先求a，再求解析式．
（2）数形结合，利用平行四边形的性质求D的坐标．
【解答】解：（1）∵正比例函数y＝4x与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于点A（a，4），
∴4＝4a，
∴a＝1，
∴A（1，4），
∴k＝4×1＝4．
∴反比例函数的表达式为：y＝ ．
（2）当x＝2时，y＝ ＝2，
∴B（2，2）．
∴BC＝2．
∵D在第一象限，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝2，
∵BC⊥x轴，
∴D的坐标为（1，2）或（1，6）．
【点评】本题考查求反比例函数表达式及点的坐标，掌握待定系数法，充分利用平行四边形性质是求解
本题的关键．
五．反比例函数与一次函数的交点问题（共9小题）
18．（2023•立山区一模）如图，直线y＝kx（k＞0）与双曲线y＝ 交于A，B两点，若A（2，m），则点
B的坐标为（ ）A．（2，2） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣2，﹣2） D．（﹣1，﹣4）
【分析】利用待定系数法求出点A坐标，根据A、B关于原点对称即可解决问题．
【解答】解：∵点A（2，m）在y＝ 上，
∴m＝2，
∴A（2，2）
∵A、B关于原点O对称，
∴B（﹣2，﹣2）．
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法，理解 A、B
关于原点对称．
19．（2023•思明区校级模拟）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线y＝x+m（m＜0）与双曲线
相交于点A，B，点A在第一象限，延长AO与已知双曲线交于点C，连接BC，若OA＝1，直线AC与x
轴所夹的锐角为15°，则△ABC的面积为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【分析】根据题意作出图形，可得点A和点C关于原点对称，即点O是AC的中点，连接OB，△OBC
和△OAB的面积相等，过点A作AE⊥x轴于点E，设直线AB与x轴交于点D，可得∠ADE＝∠DAE＝
45°，由对称可知，OA＝OB＝1，所以∠OBA＝∠OAB＝30°，∠OBC＝60°，过点B作BF⊥AC于点F，
求出△OAB的面积即可得出结论．
【解答】解：由反比例函数和一次函数的对称性可知，点A和点C关于原点对称，
连接OB，△OBC和△OAB的面积相等．
过点A作AE⊥x轴于点E，设直线AB与x轴交于点D，
∴D（﹣m，0），
设AE＝t，则x+m＝t，∴x＝t﹣m，即OE＝t﹣m，
∴DE＝t，
∴AE＝DE，
∴△ADE是等腰直角三角形，即∠ADE＝∠DAE＝45°，
由题意可知，∠AOE＝15°，
∴∠OAB＝30°，
由对称可知，OA＝OB＝1，
∴∠OBA＝∠OAB＝30°，
∴∠OBC＝60°，
过点B作BF⊥AC于点F，
∴OF＝ ，BF＝ OF＝ ，
∴S ＝ •OA•BF＝ ×1× ＝ ，
OAB
△
∴S ＝2S ＝ ．
ABC OAB
故选△：C． △
【点评】本题属于反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是得出△OAB与△OBC的面积相等
属于中考常考题型．
20．（2023•南关区校级模拟）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点E，DB⊥x轴于点B，AC所在直线交x轴于点F，点A、E同时在反比例函数y＝ （x＜0）的图象上，已知直线AC的解析式为y＝
x+b，矩形ABCD的面积为120，则k的值是（ ）
A．﹣20 B． C．﹣40 D．
【分析】过点 A 作 AM⊥BD 于点 M，设 AC 与 y 轴交于点 G，根据题意可知，△EAM∽△EFB，
△GOF∽△EBF，可得EM：AF＝EB：FB＝GO：FO，由直线AC的解析式为y＝ x+b，可得G（0，
b），F（﹣ b，0），则OG＝b，OF＝﹣ b，所以EM：AF＝GO：FO＝ ，设EM＝3a，则AM＝
4a，由矩形的性质可得AE＝EB＝5a，根据矩形ABCD的面积为120，列出方程，可得a2＝3；根据题意，
点A，E同时在反比例函数y＝ （x＜0）的图象上，则E（ ，5a），A（ ﹣4a，5a﹣3a），即A
（ ﹣4a，2a），所以k＝（ ﹣4a）•2a，由此可得结论．
【解答】解：如图，过点A作AM⊥BD于点M，设AC与y轴交于点G，
∵DB⊥x轴，
∴AM∥FB，DB∥GO，
∴△EAM∽△EFB，△GOF∽△EBF，∴EM：AM＝EB：FB，GO：FO＝EB：FB，
∴EM：AM＝GO：FO，
∵直线AC的解析式为y＝ x+b，
∴G（0，b），F（﹣ b，0），
∴OG＝b，OF＝﹣ b，
∴EM：AM＝GO：FO＝ ，
设EM＝3a，则AM＝4a，
∴EF＝5a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∴AE＝EB＝5a，
∵矩形ABCD的面积为120，
∴2× BD•AF＝120，即10a•4a＝120，
解得a2＝3，
根据题意，点A，E同时在反比例函数y＝ （x＜0）的图象上，
则E（ ，5a），A（ ﹣4a，5a﹣3a），即A（ ﹣4a，2a）．
∴k＝（ ﹣4a）•2a，
解得k＝﹣ ＝﹣40．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数与几何图形，相似三角形的性质与判定，一次函数与坐标轴交点问题，
矩形的性质，熟练运用以上知识是解题的关键．
21．（2023秋•锦江区校级期中）如图，直线 的图象与y轴交于点A，直线y＝kx+k（k＞0）与x轴交于点B，与 的图象交于点M，与 的图象交于点C．当S ：S ＝5：3
ABM AMC
△ △
时，k＝ 或 ．
【分析】过点M作ME⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，由△ABM于△ACM同高，且S ：S ＝
ABM AMC
△ △
5：3，得BM：CM＝5：3，进而可得BM：BC＝5：8，证△BME∽△BCF，得BE：BF＝ME：CF＝5：
8，设BE＝5t，BF＝8t，求出点B（﹣1，0），则OE＝5t﹣1，OF＝8t﹣1，据此可分别求出点M，C的
坐标，从而得ME＝ （t﹣1），CF＝ ，再根据ME：CF＝5：8，得 （t﹣1）： ＝
5：8，由此解出t ＝ ，t ＝ ，当t＝ 时得点C（4， ），将点C代入y＝kx+x即可求得k的值；当t
1 2
＝ 时得点C（3，3），将点C代入y＝kx+x即可求得k的值．
【解答】解：过点M作ME⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，如图所示：
∵△ABM于△ACM同高，且S ：S ＝5：3，
ABM AMC
∴BM：CM＝5：3， △ △∴BM：BC＝5：8，
∵ME⊥x轴，CF⊥x轴，
∴ME∥CF，
∴△BME∽△BCF，
∴BE：BF＝ME：CF＝5：8，
∴设BE＝5t，BF＝8t，
对于y＝kx+k（k＞0），当y＝0时，kx+k＝0，解得x＝﹣1，
∴点B的坐标为（﹣1，0），
∴OB＝1，
∴OE＝BE﹣OB＝5t﹣1，OF＝BF﹣OB＝8t﹣1，
∴点M的横坐标为：5t﹣1，点C的横坐标为8t﹣1，
∵点M在直线y＝ x+3上，
∴点M的纵坐标y＝ （5t﹣1）+3＝ （t﹣1），
即ME＝ （t﹣1），
∵点C在反比例函数y＝ 的图象上，
∴点C的纵坐标y＝ ，
∴CF＝ ，
∵ME：CF＝5：8，
∴ t﹣1）： ＝5：8，
整理得：16t2﹣18t+5＝0，
解得：t ＝ ，t ＝ ，
1 2
当t＝ 时，8t﹣1＝4， ＝ ，
∴点C的坐标为（4， ），
∵点C在直线y＝kx+x上，∴ ＝4k+k，解得：k＝ ，
当t＝ 时，8t﹣1＝3， ＝3，
∴点C的坐标为（3，3），
∵点C在直线y＝kx+x上，
∴3＝3k+k，解得：k＝ ．
综上所述：k的值为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，相似三角形的判定及性质，理解题意，灵活运
用相似三角形的性质进行计算是解决问题的关键．
22．（2023•荆州）如图，点A（2，2）在双曲线y＝ （x＞0）上，将直线OA向上平移若干个单位长度交
y轴于点B，交双曲线于点C．若BC＝2，则点C的坐标是 （ ， 2 ） ．
【分析】由题意，点 A（2，2），则∠AOx＝45°，同时可得双曲线解析式，再作 CH⊥x 轴，作
BG⊥CH，可得∠CBG＝45°，又BC＝2，再结合双曲线解析式可以得解．
【解答】解：∵点A（2，2）在双曲线y＝ （x＞0）上，
∴2＝ ．
∴k＝4．
∴双曲线解析式为y＝ ．
如图，作AD⊥x轴，CH⊥x轴，作BG⊥CH，垂足分别为D、H、G．∵A（2，2），
∴AD＝OD．
∴∠AOD＝45°．
∴∠AOB＝45°．
∵OA∥BC，
∴∠CBO＝180°﹣45°＝135°．
∴∠CBG＝135°﹣90°＝45°．
∴∠CBG＝∠BCG．
∵BC＝2，
∴BG＝CG＝ ．
∴C点的横坐标为 ．
又C在双曲线y＝ 上，
∴C（ ，2 ）．
故答案为：（ ，2 ）．
【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质的应用，需要熟练掌握并理解．
23．（2023•碑林区校级模拟）若一次函数 y＝2x﹣1的图象与反比例函数 的图象相交于点
（a，3），则k＝ 6 ．
【分析】利用一次函数求出交点坐标，再代入反比例函数中求出k值．
【解答】解：∵一次函数y＝2x﹣1的图象与反比例函数 的图象相交于点（a，3），
令y＝3，代入一次函数中，
解得x＝2，∴交点坐标为（2，3）．
将交点代入反比例函数解析式中，
解得k＝2×3＝6．
故答案为：6．
【点评】本题以一次函数和反比例函数交点为背景，考查了函数图象的性质，难度较小，解决问题的关
键就是求出交点坐标即可．
24．（2023•凤凰县模拟）如图，反比例函数y＝ 的图象与正比例函数y＝k x的图象交于A（a，1）、B
2
两点．点M（a﹣3，a）在反比例函数图象上，连接OM，BM交y轴于点N．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）求△BOM的面积．
【分析】（1）由点A（a，1），M（a﹣3，a）是反比例函数图象上的点，可得k ＝a×1＝a（a﹣3），
1
解得a＝4或a＝0（舍去），所以a﹣3＝1，所以反比例函数的解析式为y＝ ．
（2）由反比例函数的对称性可知，点B的坐标为（﹣4，﹣1），由点B和点M的坐标可求得直线BM
的函数关系式为y＝x+3，所以点N的坐标为（0，3），分别过M、B作y轴的垂线，垂足分别为点P、
点Q，则PM＝1，BQ＝4，由S ＝S +S 可求得△BOM的面积．
BOM BON MON
【解答】解：（1）∵点A（a，△ 1），M △（a﹣3 △，a）是反比例函数图象上的点，
∴k ＝a×1＝a（a﹣3），解得a＝4或a＝0（舍去），
1
∴则a﹣3＝1，
∴点A的坐标为（4，1），点M的坐标为（1，4），
∴反比例函数的解析式为y＝ ．（2）∵反比例函数y＝ 的图象与正比例函数y＝k x的图象交于A、B两点，且A（4，1）．
2
∴点B的坐标为（﹣4，﹣1），
设直线BM的函数关系式为y＝mx+b，
把点B（﹣4，﹣1），点M（1，4）分别代入得 ，解得 ，
∴直线BM的函数关系式为y＝x+3，
∴点N的坐标为（0，3），
如图，分别过M、B作y轴的垂线，垂足分别为点P、点Q，
则PM＝1，BQ＝4，
∴S ＝S +S ＝ ×3×4+ ×3×1＝ ．
BOM BON MON
△ △ △
【点评】本题主要考查反比例函数与一次函数交点的问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积等
知识，利用反比例函数上点的坐标特征求得反比例函数的解析式是解题关键．
25．（2023•晋中模拟）已知直线y ＝k x+b与反比例函数 的图象交于A（2，6），B（m，﹣2）两
1 1
点，
（1）求反比例函数的解析式及点B的坐标；
（2）当y ＞y 时，则x的取值范围是 ﹣ 6 ＜ x ＜ 0 或 x ＞ 2 ；
1 2
（3）连接BO并延长与第一象限的双曲线交于点C，连接OA、AC，请直接写出△ABC的面积与△OAC
的面积之间的数量关系．【分析】（1）依据题意，将A（2，6）代入反比例函数解析式可以得k2，再将B代入反比例函数解析
式可得m，进而可以得解；
（2）由（1）可得A、B两点坐标，当y ＞y 时，一次函数图象在反比例函数图象上方对应自变量的取
1 2
值范围；
（3）依据题意，由双曲线及过原点直线的对称性，可得 OB＝OC，再由三角形的中线将三角形分成面
积相等的两部分，从而可以得到S ＝2S ．
ABC OAC
【解答】解：（1）由题意，将A（△ 2，6）代△入反比例函数解析式，
∴6＝ ．
∴k ＝12．
2
∴反比例函数的解析式为y＝ ．
又点B在反比例函数图象上，
∴﹣2＝ ．
∴m＝﹣6．
∴B（﹣6，﹣2）．
（2）由（1）得B（﹣6，﹣2），又A（2，6），
∴当y ＞y 时，一次函数图象在反比例函数图象上方对应自变量的取值范围，即为：﹣6＜x＜0或x＞
1 2
2．
故答案为：﹣6＜x＜0或x＞2．
（3）由双曲线及过原点直线的对称性，可得OB＝OC，
又∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，
∴S ＝S ．
AOB OAC
△ △∴S ＝2S ．
ABC OAC
【点△评】本题△主要考查了反比例函数与一次函数的交点，解题时要熟练掌握并灵活运用．
26．（2023•镇平县模拟）如图，已知一次函数y＝ x﹣3与反比例函数y＝ 的图象相交于点A（4，n），
与x轴相交于点B．
（1）填空：n的值为 3 ，k的值为 1 2 ；
（2）以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，求点D的坐标；
（3）观察反比例函数y＝ 的图象，当y≥﹣3时，请直接写出自变量x的取值范围．
【分析】（1）把点A（4，n）代入一次函数y＝ x﹣3，得到n的值为3；再把点A（4，3）代入反比
例函数y＝ ，得到k的值为12；
（2）根据坐标轴上点的坐标特征可得点 B的坐标为（2，0），过点A作AE⊥x轴，垂足为E，过点D
作DF⊥x轴，垂足为F，根据勾股定理得到AB＝ ，根据AAS可得△ABE≌△DCF，根据菱形的性
质和全等三角形的性质可得点D的坐标；
（3）根据反比例函数的性质即可得到当y≥﹣3时，自变量x的取值范围．
【解答】解：（1）把点A（4，n）代入一次函数y＝ x﹣3，
可得n＝ ×4﹣3＝3；
把点A（4，3）代入反比例函数y＝ ，
可得3＝ ，
解得k＝12．故答案为：3，12．
（2）∵一次函数y＝ x﹣3与x轴相交于点B，
∴ x﹣3＝0，
解得x＝2，
∴点B的坐标为（2，0），
如图，过点A作AE⊥x轴，垂足为E，
过点D作DF⊥x轴，垂足为F，
∵A（4，3），B（2，0），
∴OE＝4，AE＝3，OB＝2，
∴BE＝OE﹣OB＝4﹣2＝2，
在Rt ABE中，
△
AB＝ ＝ ＝ ，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD＝BC＝ ，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠DCF，
∵AE⊥x轴，DF⊥x轴，
∴∠AEB＝∠DFC＝90°，
在△ABE与△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（ASA），
∴CF＝BE＝2，DF＝AE＝3，
∴OF＝OB+BC+CF＝2+ +2＝4+ ，
∴点D的坐标为（4+ ，3）．（3）当y＝﹣3时，﹣3＝ ，
解得x＝﹣4．
故当y≥﹣3时，自变量x的取值范围是x≤﹣4或x＞0．
【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，菱形的性质和全等三角形的判
定和性质，勾股定理，反比例函数的性质等知识，求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关
系式联立成方程组求解即可．
六．反比例函数的应用（共4小题）
27．（2023•海淀区校级三模）植物研究者在研究某种植物1～5年内的植株高度时，将得到的数据用如图
直观表示．现要根据这些数据选用函数模型来描述这种植物在 1～5年内的生长规律．若选择 y＝
ax2+bx+c，则a______0，b______0；若选择函数y＝ ，则a______0，b______0．依次填入的不等号
为（ ）
A．＜，＞，＜，＞ B．＜，＞，＞，＜ C．＞，＜，＜，＞ D．＞，＞，＜，＜
【分析】根据二次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质即可得．
【解答】解：若选择y＝ax2+bx+c，
由函数图象可知，此抛物线的开口向下，对称轴x＝﹣ ＞0，∴a＜0，b＞0；若选择函数y＝ ，
由函数图象可知，将反比例函数y＝ （a＜0）的图象从第四象限向上平移 b个单位即可得到函数y＝
的图象，
∴a＜0，b＞0；
则依次填入的不等号为＜，＞，＜，＞，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性
质、反比例函数的图象与性质是解题关键．
28．（2023•厦门模拟）某医药企业几年前研制并上市一种新的特效药，销售部门根据该药品过去几年的销
售数据、同类特效药的销售数据以及对市场的分析、预估，绘制了该药品年销售量y（单位：万盒）随
价格x（单位：元/盒）变化的大致图象（图象由部分双曲线AB与线段BC组成），如图所示．
该药品2021年价格为60元/盒，经国家医保局与该医药企业谈判，将该药纳人医保，2022年价格下调
至30元/盒．但在制药成本不变的情况下，当年销售该药品的利润还是与2021年相同．根据已知信息解
决下列问题：
（1）求2022年该药品的年销售量；
（2）该企业2023年将使用新研发的制药技术，使制药成本降低40%．为惠及更多患者，该企业计划在
2023年继续下调该药品的价格，并希望当年销售该药品的利润比 2022年至少增加2500万元用于制药技
术的研发．请你为该企业设定该药品价格的范围，并说明理由．
【分析】（1）设双曲线AB的解析式为y＝ （k＞0），将点（28，750）代入求出k，代入B点横坐标即可得结果．
（2）根据B，C两点可求出该药成本为25元，得到2022年利润，设2023年该药品价格为m元/盒，列
出不等式求出m的范围，又m＜30，最后求出结果．
【解答】解：（1）设双曲线AB的解析式为y＝ （k＞0），
将点（28，750）代入得，750＝ ，
∴k＝21000，
∴解析式为y＝ ，
当x＝30时，y＝ ＝700，
答：2022年该药品的年销售量为700万盒．
（2）设该药成本为a元，由题意得，
（60﹣a）×100＝（30﹣a）×700，
解得，a＝25，
∴2022年制药利润为（30﹣25）×700＝3500（万元），
2023年制药成本为25×（1﹣40%）＝15（元/盒），
设2023年该药品价格为m元/盒，则其年销量为 万盒，
由题意得，（m﹣15）• ﹣3500≥2500，
解得，m≥21，
又∵m＜30，
∴21≤m＜30，
∴该企业设定该药品价格的范围为：21≤m＜30．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，一元一次方程及一元一次不等式的应用，读懂题意，正确找出
等量或不等关系是解题的关键．
29．（2023•阳泉模拟）阅读与思考
下面是小宇同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．
今天是2023年5月8日（星期一），在下午数学活动课上，我们“腾飞”小组的同学，参加了一次
“探索输出功率P与电阻R函数关系的数学活动”．
第一步，我们根据物理知识P＝UI，（U表示电压为定值6V，I表示电流），通过测量电路中的电流计算电功率．
第二步，通过换用不同定值电阻，使电路中的总电阻成整数倍的变化．
第三步，计算收集数据如下：
R/Ω … 5 10 15 20 25 …
P/W … 7.2 3.6 2.4 1.8 1.6 …
第四步，数据分析，以R的数值为横坐标，P的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，在该坐标系中描出
以表中数对为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点．
数据分析中，我发现一组数据可能有明显错误，重新实验，证明了我的猜想正确，并对数据进行了修改．
实验结束后，大家有很多收获，每人都撰写了数学日记．
任务：
（1）上面日记中，数据分析过程，主要运用的数学思想是 B ；
A．数形结合
B．类比思想
C．分类讨论
D．方程思想
（2）你认为表中哪组数据是明显错误的，并直接写出P关于R的函数表达式；
（3）在下面平面直角坐标系中，画出此函数的图象．
（4）请直接写出：若想P大于30W，R的取值范围．
【分析】（1）通过类比思想发现各数据之间的对应关系；
（2）根据R与P的积是定值发现有问题的一组数据；（3）将描出的点用光滑的曲线连接即可；
（4）根据P＝ 计算出R的取值范围．
【解答】解：（1）通过类比思想发现数据之间的关系正确与否．
故选：B．
（2）通过前四组数据发现：R与P的积都是36定值，发现最后一组有问题：R＝25Ω时，P＝1.6是明
显错误的；P关于R的函数表达式是即P＝ ．
（3）函数图象如下：
（4）若想P大于30W，即 ＞30，
∴R的取值范围0＜R＜1.2．
【点评】本题考查了反比例函数的具体应用，理解题意是这类题目的突破口．
30．（2023•宁江区三模）小丽家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热，此
过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温
开始下降，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至20℃时，饮水机又自
动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题：
（1）当0≤x≤10时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式；
（2）求图中t的值；
（3）若小丽在通电开机后即外出散步，请你预测小丽散步70分钟回到家时，饮水机内的温度约为多
少℃？【分析】（1）利用待定系数法代入函数解析式求出即可；
（2）首先求出反比例函数解析式进而得出t的值；
（3）利用已知由x＝20代入求出饮水机内的水的温度即可．
【解答】解：（1）当0≤x≤10时，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系为：y＝kx+b，
依据题意，得 ，
解得： ，
∴此函数解析式为：y＝8x+20；
（2）当10≤x≤t，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为：y＝ ，
依据题意，得：100＝ ，
即m＝1000，
故y＝ ，
当y＝20时，20＝
解得：t＝50；
（3）∵70﹣50＝20＞10，
∴当x＝20时，y＝ ＝50，
答：小丽散步70分钟回到家时，饮水机内的水的温度约为50℃．
【点评】此题主要考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题关键．
